第四章 练习题及参考答案

第四章 静态场的解 练习题

1、设点电荷q 位于金属直角劈上方，其坐标如右图所示，求 （1） 画出镜像电荷所在的位置

（2） 直角劈内任意一点),,(z y x 处的电位表达式 （3）

解：（1）镜像电荷所在的位置如图1所示。 （2）如图2所示任一点),,(z y x 处的电位为

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+-=

4321011114r r r r q πεφ 其中，

()()()()()()()()2

22422

232

2222

22121212121z y x r z y x r z y x r z y x r +-++=

++++=+++-=+-+-=

2、 两个点电荷Q +和Q -位于半径为a 的接地导体球的直径延长线上，距球心均为

d 。证明镜像电荷构成一位于球心的电偶极子，且偶极矩大小为232d

Q

a 。

证明：由点电荷的球面镜像法知，＋Q 和－Q 的镜像电荷Q Q ''',分别位于球内＋Q 和－

Q 连线上大小分别为Q D

a

μ，且分别距球心为D a 2（分别位于球心两侧）。可见Q Q ''',构

成电偶极子，由电偶极距的定义式得偶极距的大小为：

图1

图2

q -

q

+q -

2

322D

Q

a D a Q D a ql p =⨯==。结论得证。 3、已知一个半径为a 的接地导体球，球外一个点电荷q 位于距球心O 为d 处。利用镜像法求球外空间任意点的电位分布。

解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷q '必定位于球内，且在q 与球心0连线上，位置在距离球心设为f 处。建立直角坐标系，由边界条件(ϕ球）=0可取球面上两个特殊点B A ,讨论。B A ,是q 与球心0连线所对应的直径与球面的两个交点。由图示及点电荷的电位公式得：

0)(4)(4)(00=+'

++=

f a q a d q A πεπεϕ，

0)

(4)(4)(00=-'

+-=

f a q a d q B πεπεϕ。

解此方程组得：d

a f q d a q 2

,=-='。

所以任意场点),(y x P 处的电位为： r q r

q '

'+

=

0044πεπεϕ。

其中r r ',分别是点电荷q 和q ' 到场点P 的距离。 值分别为21

2221

22])[(,])[(y f x r y d x r +-='+-=。

4、半径为a 的不接地导体球附近距球心O 为d （〉d a ）处有一点电荷q ，用镜像法计算

球外任一点的电位。

解：由点电荷的球面镜像法可知，q 的像电荷除了有q '（即导体球接地时对应的结果，

q d

a

q -='，其位置为d a f 2=），还在球心处有另外一个镜像电荷q ''，以保证导体球面电

势不为零的边界条件成立，且可知q q '-=''。 所以任意场点P 处的电位为：

r q r q r

q '

'''+

'

'+

=

000444πεπεπεϕ

其中r r r ''',,分别是点电荷q 、q '和q ''到场点P 的距离（可在具体坐标系中表示出来）。 5、接地无限大导体平面上半空间有一点电荷，电荷量为1，距导体平面为h 。 （1）导出电位函数满足的方程并应用镜像法求出位函数的解。 （2）求导体表面上感应面电荷密度，并证明总感应电荷为－1。

解：（1）由题意知，导体平面上半空间无点电荷体分布，即0=ρ。故电位函数满足拉普拉斯方程 02

=∇ϕ。建立坐标系，令0=z 为导体平面，已知点电荷位于z 轴上，坐标为（0，

0，h ）。边界条件为： 0)0(,0)(===∞z ϕϕ。则镜像电荷位于z 轴上（0，0，h -）点，大小为-1.于是空间任意场点P 【坐标为（z y x ,,），】的电位为已知点电荷1与镜像电荷-1共同产生的，其值为/

0041

41r r

πεπεϕ-+

=

。其中r r ',是场点分别到已知点电荷1与

镜像电荷-1的距离，其值分别为2

2

2

2

2

2

2

)(,)(h z y x r h z y x r +++='-++=。 （2）证明：由上题电位值可计算出P 点的电场强度各分量的值份分别为

)(41),11(4),11(

4330330330

r h z r h z E r r y E r r x E z

y x '

+--='-='-=

πεπεπε 由静电场的边界条件s n D ρ=，可得导体表面的电荷面密度为：

2

32

2

2

0)

(2h y x h

E Z s ++-

==περ

所以导体表面上总感应电荷为：

1)

(22

32

2

2

-=++-

=='⎰⎰

⎰∞∞-∞

∞

-h y x dxdy h

ds q s π

ρ ，结论得证。

6、如题图（a ）所示，在0z 和0

（2）介质表面的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q '。