微积分 第五章 第五节 有理函数的积分
有理函数的展开和积分
有理函数的展开和积分有理函数是一种非常基本的数学函数，它可以表示为多项式之间的比例。
事实上，所有的多项式都可以看作是有理函数，因为一个常数可以看作是一个常数函数。
在本文中，我们将介绍有理函数的展开和积分，这些技术在微积分和复变函数学中都非常重要。
一、有理函数的展开有理函数的展开是指将一个有理函数表示为若干个基本有理函数的和的形式。
基本上所有的有理函数都可以进行展开，而且这个过程是唯一的。
具体而言，如果我们知道一个有理函数在有限多个点处的值和其在无穷远处的极限，那么我们就可以展开这个有理函数。
值得注意的是，一个有理函数在某个点处的展开式的一般形式是$$\frac{P(z)}{Q(z)}=\frac{a_1}{z-z_1}+\frac{a_2}{z-z_2}+\cdots+\frac{a_n}{z-z_n}+\frac{R(z)}{Q(z)}$$其中$z_1,\cdots,z_n$是有理函数的极点，$a_1,\cdots,a_n$是相应的线性分式分解中的分子系数，$R(z)$是分母次数小于分子次数的对应多项式。
二、有理函数的积分有理函数的积分是指计算一个有理函数的不定积分的过程。
和有理函数的展开类似，有理函数的积分也有一个显式的公式。
具体而言，如果我们有一个有理函数$$\frac{P(z)}{Q(z)}$$其中$P(z)$和$Q(z)$都是多项式，并且$Q(z)$没有重根，那么这个有理函数的不定积分就可以表示为$$\int\frac{P(z)}{Q(z)} dz=\sum_{i=1}^n\frac{B_i}{z-z_i}+\int\frac{R(z)}{Q(z)} dz$$其中$z_1,\cdots,z_n$是有理函数的极点，$R(z)$是分母次数小于分子次数的对应多项式，$B_1,\cdots,B_n$是通过求导和代入极点计算得到的常数。
需要注意的是，有些情况下，一个有理函数的不定积分可能无法用上面的公式来表示。
《微积分》教材目录
《微积分》教材目录 第一章 函数、极限与连续1.1 函数1.2 数列的极限1.3 函数的极限1.4 极限的运算法则1.5 极限存在准则、两个重要极限1.6 无穷小、无穷大及无穷小的比较1.7 函数的连续性与间断点1.8 闭区间上连续函数的性质第二章 导数与微分2.1 导数概念2.2 函数的求导法则2.3 高阶导数2.4 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 2.5 函数的微分第三章 中值定理与导数的应用3.1 中值定理3.2 洛必达法则3.3 函数单调性的判别法3.4 函数的极值及其求法3.5 最大值、最小值问题3.6 曲线的凹凸性与拐点3.7 函数图形的描绘3.8 导数与微分在经济分析中的简单应用第四章 不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.2 换元积分法4.3 分部积分法4.4 有理函数的积分第五章 定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 微积分基本公式5.3 定积分的换元积分法与分部积分法5.4 定积分在几何学及经济学上的应用5.5 反常积分第六章 多元函数微积分6.1 空间解析几何简介6.2 多元函数的基本概念6.3 偏导数6.4 全微分6.5多元复合函数的导数6.6 隐函数的求导公式6.7 多元函数的极值6.8 二重积分第七章 无穷级数7.1 常数项级数的概念和性质7.2 常数项级数的审敛法7.3 函数项级数的概念与幂级数7.4函数展开成幂级数第八章 微分方程与差分方程初步8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程及解法8.3 一阶微分方程在经济学中的应用8.4 可降阶的高阶微分方程8.5 二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念及常系数线性差分方程解的结构 8.7 一阶常系数线性差分方程及应用举例第九章 Matlab在微积分中的应用9.1 MATLAB的基本操作9.2 MATLAB在一元微积分中的应用9.3 MATLAB在二元微积分中的应用 9.4 MATLAB在级数中的应用附录参考答案参考文献。
微积分课程教学大纲
微积分课程教学大纲摘要：微积分[M].上海:复旦大学出版社,2005年出版(05级使用).课程概述:微积分是研究变量及其变化规律的科学,它具有丰富的内容和深刻的思想.它为研究事物的发展变化提供...关键词：微积分类别：专题技术来源：牛档搜索（）本文系牛档搜索（）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。
不代表牛档搜索（）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（）不对其付相应的法律责任！《微积分》课程教学大纲适用专业:经济类、管理类专业执笔人：鲍远圣、陈美霞审定人：李辉系负责人：张从军南京财经大学应用数学系《微积分》课程教学大纲课程代码：300001/300019英文名：Calculus课程类别：文化技能课适用专业：经济类、管理类专业前置课：初等数学后置课：线性代数、概率论与数理统计、数学建模学分：8学分课时：155课时主讲教师：王育全等选定教材：[1]龚德恩等.《经济数学基础（第一分册微积分）》[M]，成都:四川人民出版社，2004（04级使用）；[2]张从军、王育全、李辉、刘玉华. 微积分[M].上海:复旦大学出版社，2005年出版（05级使用）.课程概述：微积分是研究变量及其变化规律的科学，它具有丰富的内容和深刻的思想。
它为研究事物的发展变化提供了基本的数学基础和框架。
微积分在各种实际问题中有着广泛的应用。
《微积分》课程是高等财经院校中财经类专业的一门重要的公共基础课，是后继专业基础课和专业课程的基础。
本课程以函数为主要研究对象，以极限分析为基本方法，系统地介绍了微积分的基本理论与基本方法，同时着重介绍了微积分在实际问题尤其在经济问题中的应用。
教学目的：通过本课程的学习，使学生系统掌握微积分的基本理论和基本方法。
培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力，为进一步学习其它数学课程和专业课程打好基础。
微积分课程教学大纲
《微积分》课程教学大纲一、使用说明（一）课程性质《微积分》是高等学校财经、管理类专业核心课程经济数学基础之一，它有着深刻的实际背景，在自然科学、社会科学、工程技术、军事和工农业生产等领域中有广泛的应用。
微积分作为一学年的课程，是为财经类、管理类等非数学专业本科生开设的，制定大纲的原则是具有一定数学基础的学生对该领域的基础知识、背景有所了解，为进一步学习专业课打下坚实的基础。
（二）教学目的通过本课程的学习，使学生较好地掌握微积分特有的分析思想，并在一定程度上掌握利用微积分认识问题、解决问题的方法；对微积分的基本概念、基本方法、基本结果有所了解，并能运用其手法解决实际问题中的简单课题。
（三）教学时数本课程共132学时，8学分。
（四）教学方法采用课堂讲授、多媒体课件等方法和形式。
（五）面向专业经济学、管理学所有本科专业。
二、教学内容第一章函数（一）教学目的及要求[教学目的]使学生正确理解函数的定义。
理解函数的各种表示法，特别是分析表示法。
了解函数的几何特性及图形特征，了解反函数、复合函数概念。
熟练掌握基本初等函数的性质及图形，掌握初等函数的结构并能确定其定义域，能列出简单的实际问题中的函数关系。
[基本要求]1、理解实数及实数的绝对值的概念。
2、理解函数、函数的定义域和值域，熟悉函数的表示法。
3、了解函数的几何特性并掌握各几何特性的图形特征。
4、了解反函数概念；知道函数及其反函数的几何关系；给定函数会求其反函数。
5、理解复合函数的概念；了解函数能构成复合函数的条件；掌握将一个复合函数分解为较简单函数的方法。
6、基本初等函数及定义域、值域等概念；掌握基本初等函数的基本性质。
7、了解分段函数的概念。
8、会建立简单应用问题的函数关系。
（二）教学内容函数的定义，函数的几何特性，反函数，复合函数，初等函数，经济中的常用函数。
教学重点：1、五个基本初等函数的分析表达式、定义域、值域及其图形。
2、初等函数的概念，复合函数的复合步骤的分解方法。
不定积分有理函数的积分
不定积分有理函数的积分不定积分是微积分中的重要概念之一，它是对函数进行求导运算的逆运算。
在数学中，有些函数的不定积分可以用有理函数表示出来。
本文将介绍有理函数的积分，包括有理函数的定义、有理函数的积分规则以及一些例子。
首先，什么是有理函数？有理函数是指可以用两个整式的商表示的函数。
具体地说，设f(x)和g(x)是整式，g(x)≠0，那么f(x)/g(x)就是一个有理函数。
有理函数的积分有一定的规律可循。
对于整式1/x的不定积分∫1/x dx，则有∫1/x dx = ln|x| + C，其中C为常数。
这一结论称为常数倍分配律。
通过这个规则，我们可以计算更复杂的有理函数的不定积分。
例如，对于整式1/(x-a)的不定积分，其中a是常数，我们可以将它拆解成∫1/(x-a) dx = ln|x-a| + C。
这个结果可以用常数倍分配律推导出来。
具体过程如下：∫1/(x-a) dx = ∫[1/(x-a)]*(x-a)/(x-a) dx= ∫(x-a)/(x-a)^2 dx= ∫(x-a)^(-1) dx= ln|x-a| + C类似地，对于整式1/(ax+b)的不定积分，其中a和b是常数，我们可以将它拆解成∫1/(ax+b) dx = (1/a)ln|ax+b| + C。
这个结果也可以通过常数倍分配律推导出来。
有时，有理函数的积分需要进行部分分式分解。
部分分式分解是指将一个分式表达式拆解成几个简单的部分，使得每个部分易于计算积分。
通过部分分式分解，我们可以将原函数转化为更容易求解的积分问题。
举个例子，考虑不定积分∫(3x+1)/(x^2-4) dx。
首先，我们需要分解分母x^2-4。
由于该分母是一个乘法形式，我们可以将它分解成(x-2)(x+2)。
因此，可以将原函数写成∫(3x+1)/[(x-2)(x+2)] dx。
接下来，我们可以进行部分分式分解：(3x+1)/[(x-2)(x+2)] = A/(x-2) + B/(x+2)通过等式两边的相乘，我们可以得到一个方程：(3x+1) = A(x+2) + B(x-2)。
大一微积分每章知识点总结
大一微积分每章知识点总结微积分是数学的重要分支之一，用于研究变化率与累积效应。
在大一微积分课程中，我们学习了许多重要的知识点，这些知识点为我们进一步学习高级数学打下了坚实的基础。
本文将对大一微积分每章的知识点进行总结，以帮助读者巩固所学内容。
第一章：函数与极限在这一章中，我们学习了函数的概念与性质，以及极限的定义与运算法则。
函数是一种将一个数集映射到另一个数集的规则，可以用数学公式或图形表示。
极限是函数在某个点无限接近于某个值的情况，是微积分的基础概念之一。
第二章：导数与微分导数是用来描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。
我们学习了导数的计算方法，包括基本导数公式、加减乘除法则、链式法则等。
微分则是导数的应用，用于计算函数在某一点的近似值，并研究函数的局部特征。
第三章：微分中值定理与导数的应用在这一章中，我们学习了微分中值定理和导数的应用。
微分中值定理是描述函数在某个区间内存在某点的斜率等于该区间的平均斜率的定理，包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
导数的应用包括函数的单调性、极值点、凹凸性等的判断与求解。
第四章：不定积分不定积分是导数的逆运算，用于求解函数的原函数。
我们学习了不定积分的基本性质和常用的积分公式，包括换元法、分部积分法、有理函数的积分等。
通过不定积分，我们可以求解函数的面积、曲线长度等问题。
第五章：定积分与定积分的应用定积分是用来计算曲线下面积的工具，也可以表示变化率与累积效应。
我们学习了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，如换元法、分部积分法和定积分的几何应用等。
定积分的应用包括计算曲线的弧长、质量、物体的质心等。
第六章：微分方程微分方程是用导数和未知函数构成的方程，研究函数之间的关系。
我们学习了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶线性微分方程和可分离变量的方程等。
微分方程是实际问题建模与求解的重要工具，应用广泛于物理、化学、工程等领域。
通过对大一微积分每章的知识点进行总结，我们回顾了函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与定积分的应用、微分方程等内容，巩固了所学知识，并为之后学习高级数学打下了坚实的基础。
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
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信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
微积分基本知识
微积分基本知识第一章、 极限与连续一、 数列的极限 1． 数列 定义：按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数 1,,,n x x 叫数列，记作{}n x ，并吧每个数叫做数列的项，第n 个数叫做数列的第n 项或通项 界的概念：一个数列{}n x ，若0M ∃>，..s t 对*n N ∀∈，都有n x M ≤，则称{}n x 是有界的： 若不论M 有多大，总*m N ∃∈，..s t m x M >，则称{}n x 是无界的 若n a x b ≤≤，则a 称为n x 的下界，b 称为n x 的上界{}n x 有界的充要条件：{}n x 既有上界，又有下界2． 数列极限的概念 定义：设{}n x 为一个数列，a 为一个常数，若对∀0ε>，总∃N ,..s t 当n N >时，有n x a ε-< 则称a 是数列{}n x 的极限，记作lim n n x a →∞=或()n x a n →→∞数列有极限时，称该数列为收敛的，否则为发散的 几何意义：从第1N +项开始，{}n x 的所有项全部落在点a 的ε邻域(,)a a εε-+3． 数列极限的性质①唯一性 ②收敛必有界 ③保号性：极限大小关系⇒数列大小关系（n N >时） 二、 函数的极限 1.定义：两种情形①0x x →：设()f x 在点0x 处的某去心邻域有定义，A 为常数，若对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立， 则称()f x 在0x x →时有极限A记作0lim ()x x f x A →=或0()()f x A x x →→几何意义：对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，()f x 介于两直线y A ε=±单侧极限：设()f x 在点0x 处的右侧某邻域有定义，A 为常数，若对0ε∀>，0δ∃>，..s t 当00x x δ<-<时，恒有()f x A ε-<成立，称()f x 在0x 处有右极限A ，记作0lim ()x x f x A +→=或0()f x A += 0lim ()x x f x A →=的充要条件为：00()()f x f x +-==A 垂直渐近线：当0lim ()x x f x →=∞时，0x x =为()f x 在0x 处的渐近线②x →∞：设函数()f x 在0x b ≥≥上有定义，A 为常数，若对0ε∀>，,..X b s t ∃>当x X >时，有()f x A ε-<成立，则称()f x 在x →∞时有极限A ，记作lim ()x f x A →∞=或()()f x A x →→∞lim ()x f x A →∞=的充要条件为：lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==水平渐进线： 若lim ()x f x A →+∞=或lim ()x f x A →-∞=，则y A =是()f x 的水平渐近线2.函数极限的性质：①唯一性 ②局部有界性 ③局部保号性（②③在当00x x δ<-<时成立） 三、 极限的运算法则1． 四则运算法则设()f x 、()g x 的极限存在，lim (),lim ()f x A g x B ==则 ①lim ()()f x g x A B ±=± ②lim[()()]f x g x AB = ③()lim()f x Ag x B= （当0B ≠时） ④lim ()cf x cA = （c 为常数） ⑤lim[()]k k f x A = （k 为正整数） 2． 复合运算法则设[()]y f x ϕ=，若0lim ()x x x a ϕ→=，则0lim [()]()x x f x f a ϕ→=可以写成0lim [()][lim ()]x x x x f x f x ϕϕ→→= （换元法基础）四、极限存在准则及两个重要极限1．极限存在准则 ①夹逼准则设有三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z ，满足n n n y x z ≤≤ ， lim lim n n n n y z a →∞→∞== 则lim n n x a →∞=②单调有界准则 有界数列必有极限 3． 重要极限①0sin lim 1x x x →= ②1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1x x x e →+= 五、无穷大与无穷小 1．无穷小：在自变量某个变化过程中lim ()0f x =，则称()f x 为x 在该变化过程中的无穷小 ※ 若()0f x =，则()f x 为x 在所有变化过程中的无穷小若()f x ε=，则()f x 不是无穷小 性质：1.有限个无穷小的代数和为无穷小 2.常量与无穷小的乘积为无穷小 3.有限个无穷小的乘积为无穷小4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小定理：lim ()f x A =的充要条件是()()f x A x α=+，其中()x α为x 在该变化中过程中的无穷小无穷小的比较：(趋于0的速度的大小比较)(),()x x ααββ==，为同一变化过程中的无穷小若limc αβ=（0c ≠常数） 则α是β的同阶无穷小 （当1c =时为等价无穷小） 若limk c αβ=（0c ≠常数） 则α是β的k 阶无穷小 若lim0αβ= 则α是β的高阶无穷小 常用等价无穷小：(0x →)sin tan arcsin arctan ln(1)1x xxxxxx e +-；21cos 2x x-；(1)1x x βααβ+-；1ln x a x a -2．无穷大：设函数()f x 在0x 的某去心邻域有定义。
5.5--有理函数积分
三、部分分式的积分 例2
(1) ∫
1 x 1 dx = arctan +C 2 2 2 + x2
x 1 1 dx = ∫ d (2 + x 2 ) 2 2 + x2 2 + x2
( 2) ∫
∴ A = 5 , B = −3
1 = ln( 2 + x 2 ) + C 2
例3
(1) ∫ 1 dx x2 + 2 x + 3 =∫ 1 dx = ∫ 1 dt ( x + 1)2 + 2 t2 + 2
其中 m, n 为非负整数，
例如
a0 ≠ 0
b0 ≠ 0
3x − 2 x4 + 3 x + 2 = x2 − 2 x + 2 + 2 2 x + 2x + 2 x + 2x + 2
假定分子分母没有公因 式 . 若 n < m , 称为真分式 , 若 n ≥ m , 称为假分式 .
二、真分式的分解 任一真分式总可以分解为若干部分分式之和. 部分分式如下：
2
4x + 6 4x + 6 A2 A = = 1 + x+1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)2 ( x + 1)2
∴ A1 = 4, A2 = 2
∴ 原式 = ∫ ( x 2 − 2 x + 3)dx − 4 ∫ 1 1 dx dx − 2 ∫ x+1 ( x + 1)2
3
+
B x + C2 B1 x + C1 + 22 2 x 2 + 2 x + 3 ( x + 2 x + 3)
《有理函数的积分》课件
有理函数积分的应
04
用
在微积分中的应用
计算定积分
证明数学定理
有理函数的积分可以用来计算定积分 ，特别是当被积函数为有理函数时。 通过计算有理函数的积分，可以得到 定积分的值。
有理函数积分在数学证明中也有广泛 应用。例如，可以通过有理函数积分 证明一些数学定理，如定积分的几何 意义等。
解决微分方程
详细描述
三角函数有理式是指分母和分子都包含三角函数的代数式，如 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$ 。求解这类有理函数的积分需要利用三角恒等式和有理函数的性质，如部分分式分解、三 角函数的倍角公式等。
举例说明
对于有理函数 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$，可以先将其转化为部分分式形式，然后利用三 角恒等式进行化简，最终得到其原函数。
有理函数的性质
总结词
有理函数具有一些重要的性质，如连续性、可微性等。
详细描述
有理函数在其定义域内是连续的，并且大部分情况下也是可微的。这意味着它们 的行为可以通过其导数来描述，这使得它们在微积分中有广泛的应用。
有理函数的分类
总结词
有理函数可以根据分子和分母的次数进行分类。
详细描述
有理函数可以根据分子和分母的次数被分为不同的类型。例如，如果分子和分母都是一次多项式，那么这个有理 函数被称为线性函数；如果分子和分母都是二次多项式，那么这个有理函数被称为二次函数，以此类推。此外， 根据分子和分母的符号，有理函数还可以被分类为正有理函数、负有理函数和无理函数等。
举例说明
对于有理函数 $frac{x^2+1}{x}$，可以先将其化为部分分式形式 $frac{x}{1} + frac{1}{x}$，然后分别对 每一部分进行积分，得到其原函数。
有理函数的积分PPT课件
dx
2x1
5 1
x2 5dx
2 5
ln(1
2
x)
1 5
1
2
x x
2
dx
1 5
1
1 x
2
dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
10
例6. 求
解: 原式
1 2
(2x
2)
3
x2 2x 3
dx
1 x
(x
1 1)2
x
1
1
dx
1dx x
(
x
1 1)2
dx
x
1
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
9
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2x)(1
x2 ) dx
4
5 1 2x
取 x 2, 并将 A, B 值代入 (1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
(x
1 1)2
1. x1
7
例3
(1
1 2 x )(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
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6
例2
1
AB
C
x( x 1)2 x x 1 ( x 1)2 ,
1 A( x 1)2 Bx( x 1) Cx ，
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取x 0, A1 取x 1, C 1
比较 x2 的系数, A B 0 , B 1 .
1
11
1
x( x 1)2
x
x 1 ( x 1)2
常数项： 2 ACE,得E 0 ；
x 的系数： 2 B C D E ,得 D 2 ,
2x 2
1 x 1 2x
( x 1)( x2
1)2
x1
x2
1
(x2
1)2
.
8
真分式可分为以下四种类型的分式之和：
(1) A xa
A (2) ( x a)n (n 2)
Ax B
(3) x2 x
第五节
1
设 P( x), Q( x) 为多项式,称P( x) 为有理函数. Q( x)
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 xm
a1 x n1 b1 x m1
an1 x an bm1 x bm
其中m 、n都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
.
7
例3
2x 2 ( x 1)( x2 1)2
A x1
Bx C x2 1
Dx E ( x2 1)2
，
2x 2 A( x2 1)2 (Bx C)( x 1)( x2 1) (Dx E)( x 1)，
令 x 1,得A 1 ；比较 x4 的系数,得B 1 ；
x3 的系数：C B 0 ,得C 1；
tan9 t d tant
1 tan10 10
t
C
x10 10(1 x 2 )5
C
.
13
假定分子与分母之间没有公因式(既约分式).
(1) n m, 有理函数是真分式；
(2) n m, 有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式
和一个真分式之和.
2
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
. 1
以下只考虑真分式的积分.
要点 将真分式化为部分分式之和.
3
一、真分式的分解
真分式化为部分分式之和的一般规律：
1 x2 1
C
.
11
例7
x2 x2 2x 3 dx
x 1 3 ( x 1)2 2 dx
(
x
x1 1)2
2
dx
3
(
x
1 1)2
2
dx
1 ln(x2 2x 3) 3 arctan x 1 C .
2
2
2
1
1
x
a2 x2 dx a arctan a C
12
灵活运用其他方法：
（1）分母中若有因式 ( x a) ，则分解后有
A xa
（2）分母中若有因式 ( x a)k (k 2)，则分解后有
A1 xa
(x
A2 a)2
(x
Ak a)k
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数.
4
（3）分母中若有因式 ( x2 px q) ，其中 p2 4q 0 , 则分解后有
Mx N x2 px q
（4）分母中若有因式 ( x2 px q)k (k 2) ， 其中 p2 4q 0 ，则分解后有
M1x N1 x2 px q
M2x ( x2 px
N2 q)2
Mkx ( x2 px
Nk q)k
其中Mi , N i都是常数(i 1,2,, k).
dx
x4
例8 x(1 x5 ) x5 (1 x5 ) dx
1
5
1 ( x5
1
1 x5
) dx 5
1 x5 5 ln 1 x5
C .
例9
x9 (1 x 2 )6 dx
( | x | 1)
令 x sint ，
sin9 t cos12 t
cos
t dt
tan9 t sec2 t dt
( 2 4 0)
Ax B
(4) ( x2 x )n
( 2 4 0)(n 2)
这四类分式均可积分,且原函数为初等函数.
因此,有理函数的原函数都是初等函数.
9
二、部分分式的积分
例4
x2
x3 5x
dx 6
(
5 x2
x
6
) dx 3
5ln | x 2 | 6ln | x 3 | C .
5
真分式化为部分分式之和的待定系数法：
例1
x2
x3 5x
6
(x
x3 2)( x
3)
A x2
B x
, 3
x 3 A( x 3) B( x 2)
(A B)x (3A 2B),
比较同次项系数可得:
A B (3A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
例5
1 x( x 1)2 dx
[
1 x
1 x1
(x
1 1)2
]dx
ln x 1 C . x1 x1
10
2x 2
例6 ( x 1)( x2 1)2 dx
1 x 1 2x
[ x 1 x2 1 ( x2 1)2 ]dx
ln |
x
1|
1 2
ln( x 2
1) arctan x