湍流力学课件二
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哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
同样的方法可得到纵向相关系数相应性质， 但一般两个相关系数不相等
1 1 2 f 2 2 f 2 r 1 2 r 0 2u1 u1 r r 0
2
对各向同性湍流
f 2g
得到密切抛物线函数p(r)，p(0)=f(0)，
2 u3 4 2 u 2 4 f (u f ) 4 r k 4 r t r r r r r
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
从K-H方程中可得： 1、存在方程封闭的问题，方程中存在两个未 知数 f 和 k； 2、k 和 ν分别代表了惯性过程和粘性过程； 3、当 r→0时，可以证明 k=0，对于偶函数f=1,
E ( )
u1 (t )u1 (t ) u12
由流场均匀性，同前面讨论纵向相关系数相似， 可以证明在t=0 附近，欧拉时间相关系数可表 示为
u1 u1 E ( ) 1 2 2 ... 2 2u1 t t 0 4!u1 t t 0
根据脉动速度的N-S方程
u j
ui u j 1 p 2u j t xi x j xi xi
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
根据各向同性流场条件，带入N-S方程后产生 两点三速度相关函数 S ijk (r , t ) ui ( x , t )u j ( x , t )uk ( x r , t ) 可以证明，所有的两点三速度相关函数可以被 下面函数唯一表示，
两点纵向f(r)和横向相关系数g(r)
对于各向同性流场，在 r e1r 2 2 R11 / u f (r , t ) u1 x e1r , t u1 x , t / u1 2 2 R22 / u g (r , t ) u2 x e1r , t u2 x , t / u2
L11 (t ) f (r , t )dr
0
L22 (t ) g (r , t )dr
0
对于各向同性湍流，可得
1 L22 (t ) L11 (t ) 2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
欧拉时间相关系数。 考虑xj为常数（位置不变）脉动速度分量u1， 欧拉时间相关系数为两个不同时刻t与t+τ 脉 动速度分量之间关联无因次化
Re L k L
1 2
源自文库
k2
得出微尺度表示
1/ 2 g L 10 Re L
g 10 2 3 L1 3
可见，在高雷诺数下，Taylor微尺度是介于 η和L之间的尺度。
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
湍流的积分尺度 表征了两点存在相关性最大特性距离，它 是湍流中最大涡尺的代表。可分为纵向积 分长度，横向积分长度
第二章 各向同性湍流
均匀湍流—如果任意n点空间几何构形在空间坐标
系平移后，脉动速度任意n阶统计相关函数不变 （或任意n点联合概率密度不变），则称湍流流场 均匀。 各向同性湍流—如果任意n点空间几何构形在空间 坐标系平移、转动和对称后，脉动速度任意n阶统 计相关函数不变（或任意n点联合概率密度不变）， 则湍流流场各向同性。 各向同性湍流首先是均匀的，同时统计特性与方 向无关，只能在无界流场中才能存在。
1 2g
2
1 2 f 2 2 r
1 2E 2 t 2
1 U 1
2
U
1 E
1
2
2g U1 E
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
2.2 Karman-Howarth 方程
Karman和Howarth在1938年从N-S方程得到了 f(r,t)的演化方程，Rij (r , x , t ) 时间导数可表示为
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
研究各向同性湍流的意义
各向同性湍流具有湍流质量、能量输运的基本
属性，这些性质对一般湍流研究十分重要。
虽然严格意义上各向同性湍流并不存在，但远
离地面大气以及远离海面、海岸和海底的湍流 可近似为各向同性。
Kolmogrov (1941) ，G. I. Taylor (1935) ，Von Karman 和Howarth(1938) 主要开展了研究。
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
同样可得到积分时间尺度
可以理解为保持湍流行为中最大时间尺度一种 度量
TE E ( )d
0
在均匀湍流场内有一常数平均速度<U1>，假
定 U1 u1 ，则在流场内一固定空间点上所观 测到u1(t) 随时间变化情况，可以近似的看成是 由在沿着过此点的x1方向的直线上分布的速度 空间变化，设想被冻结起来，以平均速度 <U1>移过此点形成——Taylor冻结流假设。
g (r ) u2 u2 u u2 u2 0 r r 0 r r 0 r r 0
2 2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
又由均匀性得，二阶导数为
g (r ) u2 u2 u u2 2 2 r r r r 0 r 0 r 0
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
从K-H方程中更多结果： 1、Loitsyanskii 积分 对K-H方程两面乘以r4，并从0积分至R,得四阶 积分矩
Loitsyanskii将R→∞同时假设f和k随着r下降 的充分快，得到Loitsyanskii积分
d R 2 4 3 4 2 4 u r f (r , t )dr u R k ( R, t ) 2 u R f ( R, t ) dt 0
当r→0时，K-H方程变为
2 d u 2 2 u (t ) 10 2 dt g 3
或
2 d 3 u 2 u ( t ) 15 2 dt 2 g
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4、对于Richardson-Kolmogorov能量级联的观 点，在高雷诺数条件下，能量将通过惯性作用 机制从大尺度旋涡向小尺度旋涡传递，其尺度 （r >> η）,因此能量传递的机制由k项完成。
Rij r , t ui ( x r , t )u j ( x , t ) t t
u j ( x , t ) ui ( x r , t ) u i ( x r , t ) u j ( x , t ) t t
15 u 2 / g2
• 但是这个旋涡并不是指场内最小的耗散涡，
主要因为u作为耗散涡的特征速度是不对 的。而耗散涡的特征尺度为Kolmogrove尺 度η 和 u η
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
• Taylor 微尺度和Kolmogrove尺度的比较
定义大涡的长度尺度，L=k3/2/ε 得到湍流雷诺数
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
• 在均匀各向同性流场内，两种相关系数的
特点： （1）g(0)= f(0)=1 （2） g( r ) 1 f ( r ) 1 （3）g(r)= g(-r)，对称性 （4）f ( ) g( ) 0 因为相隔无穷远距离两点 的脉动速度完全不相关。
2 3 3 k (r , t ) S111 (e1r , t ) / u u1 ( x , t ) u1 ( x e1r , t ) / u
且在 r→0处，k (r, t ) k III r 3 / 3!k V r 5 / 5!... 带入即可得到各向同性K-H动力学方程
2 2 2 2 2
将g(r)在r=0附近进行Taylor级数展开，
1 2 2 g 1 4 4 g g (r ) 1 r 2 r 4 2! r r 0 4! r r 0
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
将导数带入得，
1 2 1 g (r ) 1 r 2 2 u2 1 4 1 u2 r 2 r r 0 4! u2
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故 r U1
f (r ) u1 ( x1 )u1 x1 r u
2 1
u1 (t )u1 t u
2 1
E ( )
积分长度
L11 f (r )dr U1
0
0
E ( )d U1 TE
湍流的Taylor微尺度与Eular耗散时间尺度之间 的关系
R22 R33 , Rij 0, i j
对于均匀湍流，即整个流场内，湍流平均统计 性质均匀，f(r)可以表示为对ξ2取平均，即空 间平均，则
1 u1 ( 2 )u1 ( 2 r ) 2 2
u ( )u (
2 1 2 1
2
2
r )d 2
dp(0)/dr= df(0)/dr, d2p(0)/dr2= d2f(0)/dr2
1 p(r ) 1 f (0)r 2 1 r 2 2f 2
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λf
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
• Taylor给出在各向同性湍流中，利用λg可
以给出湍流耗散率的表达式，并且认为这 一尺度可以用于描述湍流场内耗散结构尺 度的大小，称为Taylor 微尺度。 2 15 ( u x ) 由耗散率的表达式 得 1 1
2
u2 ... r r 0
4
当r→0时，忽略4阶以上的小项，得出抛物线 函数，可定义长度尺度λg
g (r ) 1 r2
g2
2
其中
1 2 g 或 1 1 u2 ( 2 ) r 0 2 2 r g 2 r g 2u2 r 0 1
B2 u r f r , t dr in var iant
2 4 0
可解释为湍流场内总扰动量和总角动量守恒。
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
2、最终阶段的衰减 当各向同性湍流衰减，随着雷诺数的减少， 惯性作用相对于粘性作用逐渐消失，最终当雷 诺数充分小的时候，惯性作用可以忽略不计。 Batchelor and Townsend (1948)研究表明当 惯性项忽略后，K-H方程可以得到自相似的解
2 4 2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
2
2
曲线原点可得密切抛物线方程为
2 E ( ) 1 2 E
其中
1 u1 1 2E 2 2 2 E 2u1 t 2 t t 0 1
2
，τ E为一个时间尺度。
表示了脉动速度脉动u1(t)最快变化的时间尺度 的代表，从耗散角度讲，它是指小涡生存时间， 因为与Taylor微尺度之间密切联系，称为欧拉 耗散涡时间尺度。它不仅与流场内湍流结构有 关，且与主流速度对该点输运特性有关。
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2.1 两点相关（Two-point Correlation）
单点相关函数
对于各向同性湍流，两点相关表示为
Rij (r , t ) ui x r , t u j x , t
在原点 r=0
Rij (0, t ) ui u j
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
纵向和横向相关函数的形状讨论
对涡的形式，很难给出准确的分布曲线， 从均匀性出发，
u2 ( 2 )u2 ( 2 r ) u2 ( 2 r )u2 ( 2 )
u2 ( 2 r ) u2 ( 2 r ) u2 ( 2 ) u2 ( 2 ) ( 2 r ) ( 2 r )
同样的方法可得到纵向相关系数相应性质， 但一般两个相关系数不相等
1 1 2 f 2 2 f 2 r 1 2 r 0 2u1 u1 r r 0
2
对各向同性湍流
f 2g
得到密切抛物线函数p(r)，p(0)=f(0)，
2 u3 4 2 u 2 4 f (u f ) 4 r k 4 r t r r r r r
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
从K-H方程中可得： 1、存在方程封闭的问题，方程中存在两个未 知数 f 和 k； 2、k 和 ν分别代表了惯性过程和粘性过程； 3、当 r→0时，可以证明 k=0，对于偶函数f=1,
E ( )
u1 (t )u1 (t ) u12
由流场均匀性，同前面讨论纵向相关系数相似， 可以证明在t=0 附近，欧拉时间相关系数可表 示为
u1 u1 E ( ) 1 2 2 ... 2 2u1 t t 0 4!u1 t t 0
根据脉动速度的N-S方程
u j
ui u j 1 p 2u j t xi x j xi xi
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根据各向同性流场条件，带入N-S方程后产生 两点三速度相关函数 S ijk (r , t ) ui ( x , t )u j ( x , t )uk ( x r , t ) 可以证明，所有的两点三速度相关函数可以被 下面函数唯一表示，
两点纵向f(r)和横向相关系数g(r)
对于各向同性流场，在 r e1r 2 2 R11 / u f (r , t ) u1 x e1r , t u1 x , t / u1 2 2 R22 / u g (r , t ) u2 x e1r , t u2 x , t / u2
L11 (t ) f (r , t )dr
0
L22 (t ) g (r , t )dr
0
对于各向同性湍流，可得
1 L22 (t ) L11 (t ) 2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
欧拉时间相关系数。 考虑xj为常数（位置不变）脉动速度分量u1， 欧拉时间相关系数为两个不同时刻t与t+τ 脉 动速度分量之间关联无因次化
Re L k L
1 2
源自文库
k2
得出微尺度表示
1/ 2 g L 10 Re L
g 10 2 3 L1 3
可见，在高雷诺数下，Taylor微尺度是介于 η和L之间的尺度。
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湍流的积分尺度 表征了两点存在相关性最大特性距离，它 是湍流中最大涡尺的代表。可分为纵向积 分长度，横向积分长度
第二章 各向同性湍流
均匀湍流—如果任意n点空间几何构形在空间坐标
系平移后，脉动速度任意n阶统计相关函数不变 （或任意n点联合概率密度不变），则称湍流流场 均匀。 各向同性湍流—如果任意n点空间几何构形在空间 坐标系平移、转动和对称后，脉动速度任意n阶统 计相关函数不变（或任意n点联合概率密度不变）， 则湍流流场各向同性。 各向同性湍流首先是均匀的，同时统计特性与方 向无关，只能在无界流场中才能存在。
1 2g
2
1 2 f 2 2 r
1 2E 2 t 2
1 U 1
2
U
1 E
1
2
2g U1 E
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2.2 Karman-Howarth 方程
Karman和Howarth在1938年从N-S方程得到了 f(r,t)的演化方程，Rij (r , x , t ) 时间导数可表示为
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
研究各向同性湍流的意义
各向同性湍流具有湍流质量、能量输运的基本
属性，这些性质对一般湍流研究十分重要。
虽然严格意义上各向同性湍流并不存在，但远
离地面大气以及远离海面、海岸和海底的湍流 可近似为各向同性。
Kolmogrov (1941) ，G. I. Taylor (1935) ，Von Karman 和Howarth(1938) 主要开展了研究。
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
同样可得到积分时间尺度
可以理解为保持湍流行为中最大时间尺度一种 度量
TE E ( )d
0
在均匀湍流场内有一常数平均速度<U1>，假
定 U1 u1 ，则在流场内一固定空间点上所观 测到u1(t) 随时间变化情况，可以近似的看成是 由在沿着过此点的x1方向的直线上分布的速度 空间变化，设想被冻结起来，以平均速度 <U1>移过此点形成——Taylor冻结流假设。
g (r ) u2 u2 u u2 u2 0 r r 0 r r 0 r r 0
2 2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
又由均匀性得，二阶导数为
g (r ) u2 u2 u u2 2 2 r r r r 0 r 0 r 0
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
从K-H方程中更多结果： 1、Loitsyanskii 积分 对K-H方程两面乘以r4，并从0积分至R,得四阶 积分矩
Loitsyanskii将R→∞同时假设f和k随着r下降 的充分快，得到Loitsyanskii积分
d R 2 4 3 4 2 4 u r f (r , t )dr u R k ( R, t ) 2 u R f ( R, t ) dt 0
当r→0时，K-H方程变为
2 d u 2 2 u (t ) 10 2 dt g 3
或
2 d 3 u 2 u ( t ) 15 2 dt 2 g
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
4、对于Richardson-Kolmogorov能量级联的观 点，在高雷诺数条件下，能量将通过惯性作用 机制从大尺度旋涡向小尺度旋涡传递，其尺度 （r >> η）,因此能量传递的机制由k项完成。
Rij r , t ui ( x r , t )u j ( x , t ) t t
u j ( x , t ) ui ( x r , t ) u i ( x r , t ) u j ( x , t ) t t
15 u 2 / g2
• 但是这个旋涡并不是指场内最小的耗散涡，
主要因为u作为耗散涡的特征速度是不对 的。而耗散涡的特征尺度为Kolmogrove尺 度η 和 u η
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• Taylor 微尺度和Kolmogrove尺度的比较
定义大涡的长度尺度，L=k3/2/ε 得到湍流雷诺数
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哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
• 在均匀各向同性流场内，两种相关系数的
特点： （1）g(0)= f(0)=1 （2） g( r ) 1 f ( r ) 1 （3）g(r)= g(-r)，对称性 （4）f ( ) g( ) 0 因为相隔无穷远距离两点 的脉动速度完全不相关。
2 3 3 k (r , t ) S111 (e1r , t ) / u u1 ( x , t ) u1 ( x e1r , t ) / u
且在 r→0处，k (r, t ) k III r 3 / 3!k V r 5 / 5!... 带入即可得到各向同性K-H动力学方程
2 2 2 2 2
将g(r)在r=0附近进行Taylor级数展开，
1 2 2 g 1 4 4 g g (r ) 1 r 2 r 4 2! r r 0 4! r r 0
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
将导数带入得，
1 2 1 g (r ) 1 r 2 2 u2 1 4 1 u2 r 2 r r 0 4! u2
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故 r U1
f (r ) u1 ( x1 )u1 x1 r u
2 1
u1 (t )u1 t u
2 1
E ( )
积分长度
L11 f (r )dr U1
0
0
E ( )d U1 TE
湍流的Taylor微尺度与Eular耗散时间尺度之间 的关系
R22 R33 , Rij 0, i j
对于均匀湍流，即整个流场内，湍流平均统计 性质均匀，f(r)可以表示为对ξ2取平均，即空 间平均，则
1 u1 ( 2 )u1 ( 2 r ) 2 2
u ( )u (
2 1 2 1
2
2
r )d 2
dp(0)/dr= df(0)/dr, d2p(0)/dr2= d2f(0)/dr2
1 p(r ) 1 f (0)r 2 1 r 2 2f 2
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λf
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
• Taylor给出在各向同性湍流中，利用λg可
以给出湍流耗散率的表达式，并且认为这 一尺度可以用于描述湍流场内耗散结构尺 度的大小，称为Taylor 微尺度。 2 15 ( u x ) 由耗散率的表达式 得 1 1
2
u2 ... r r 0
4
当r→0时，忽略4阶以上的小项，得出抛物线 函数，可定义长度尺度λg
g (r ) 1 r2
g2
2
其中
1 2 g 或 1 1 u2 ( 2 ) r 0 2 2 r g 2 r g 2u2 r 0 1
B2 u r f r , t dr in var iant
2 4 0
可解释为湍流场内总扰动量和总角动量守恒。
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2、最终阶段的衰减 当各向同性湍流衰减，随着雷诺数的减少， 惯性作用相对于粘性作用逐渐消失，最终当雷 诺数充分小的时候，惯性作用可以忽略不计。 Batchelor and Townsend (1948)研究表明当 惯性项忽略后，K-H方程可以得到自相似的解
2 4 2
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
2
2
曲线原点可得密切抛物线方程为
2 E ( ) 1 2 E
其中
1 u1 1 2E 2 2 2 E 2u1 t 2 t t 0 1
2
，τ E为一个时间尺度。
表示了脉动速度脉动u1(t)最快变化的时间尺度 的代表，从耗散角度讲，它是指小涡生存时间， 因为与Taylor微尺度之间密切联系，称为欧拉 耗散涡时间尺度。它不仅与流场内湍流结构有 关，且与主流速度对该点输运特性有关。
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
2.1 两点相关（Two-point Correlation）
单点相关函数
对于各向同性湍流，两点相关表示为
Rij (r , t ) ui x r , t u j x , t
在原点 r=0
Rij (0, t ) ui u j
哈尔滨工业大学燃烧工程研究所
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纵向和横向相关函数的形状讨论
对涡的形式，很难给出准确的分布曲线， 从均匀性出发，
u2 ( 2 )u2 ( 2 r ) u2 ( 2 r )u2 ( 2 )
u2 ( 2 r ) u2 ( 2 r ) u2 ( 2 ) u2 ( 2 ) ( 2 r ) ( 2 r )