几种常见的二次曲面

z
x 2 2 pz 截得抛物线 y 0 与平面 y y1 的交线为抛物线.
2 y x 2 p z 2q y y 1
2 1
它的轴平行于 z 轴
2 y1 顶点 0, y1 , 2q
x
O
y
（3）用坐标面 yOz ( x 0) ， x x1与曲面相截 均可得抛物线. 同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法. 平面被称为一次曲面．
我们仅研究标准二次曲面及其图形.
x y z 2 2 2 a b c
四、旋转曲面
定义. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转
一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转
轴 . 例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0
若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
f ( y1 , z1 ) 0
即：用坐标面和平行于坐标面的一族平面与曲面 相截，由截出的一族交线（即截痕）的形状，加 以综合，从而了解曲面的全貌．
1. 椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c ( a , b, c 为正数)
(1)范围：
z
c
o
b
y
x a , y b, z c
(2)与坐标面的交线：椭圆
o x
y
f ( y, x z ) 0
2 2
例 4 直线 L绕另一条与 L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点，两直线的夹角 0 叫圆锥面的半顶 2 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶 角为 的圆锥面方程．
用x Байду номын сангаас x1截曲面
x
a
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
( p , q 同号) 2. 抛物面 x2 y2 (1) 椭圆抛物面 2 p 2q z 用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 1）用坐标面 xOy ( z 0) 与曲面相截
x
z
截得一点，即坐标原点 O (0,0,0)
与平行于坐标面平面的交线 与平面 z = h ( h ≠ 0)的交线为双曲线.
x y z 2 p 2q
2
2
x2 y2 z 2 z q p z h o x2 y2 1 2 ph 2qh x z h h 0 为双曲线,其顶点为 (0, 2qh , h) (5) 虚轴与x轴平行 h 0 为双曲线,其顶点为 ( 2 ph ,0, h) (4) 虚轴与y轴平行 双曲线顶点分别在两主抛物线上!
y
x2 y2 z ( p , q >0) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） 2 p 2q
用截痕法讨论： 设 p 0, q 0 图形如下：
z o x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面） x2 y2 z ( p , q >0) 2 p 2q 与平面 x x1 的交线为抛物线.
a
x y 2 2 1 , b a z0
2 2
y2 z2 2 2 1 , c b x0
x
x2 z2 2 2 1 c a y0
x y z 2 2 1 ( a , b, c 为正数) 2 a b c
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
y
x
z
l3
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴;
准线 xoz 面上的曲线 l3.
圆柱面
x
z
y
x y R
2 2
2
o
y
x

表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线.
z
o x
z
x y 2 2 1表示母线平行于 a b z 轴的椭圆柱面.
2
2
2
x2 2 2 a2 (c z1 ) c2
y2 1 2 2 b2 (c z1 ) c2
z
z z1
同样 y y1 ( y1 b )及 也为椭圆. 的截痕
椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z
截痕法
用z = z1截曲面 用y = y1截曲面
c
o
b
y
第四节 几种常见的二次曲面
一、曲面方程的概念
二、柱面 三、锥面 四、旋转曲面 五、二次曲面
一、曲面方程的概念
空间的曲面可用一个三元方程
F ( x, y, z ) 0
表示，称该方程为曲面的一般方程。
二次曲面方程的定义：
三元二次方程
a1 x a2 y a3 z a4 xy a5 yz a6 zx a7 x a8 y a9 z a10 0
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
2
2
2
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x2 y2 ( p , q 同号) z 2 p 2q
x2 y2 z 2 p 2q
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
研究方法___平面截割法（截痕法）：
2 2
2 2 x y y 2 2 zq x 2 2 zp 0 (5) (4) p (3) q x 0 y 0 z0 一对直线 开口指z轴正向 开口指z轴负向 y x 0 抛物线，其顶点均为原点，对称轴同 q p z 0 叫做双抛物面的主抛物线.
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
C
M ( x, y, z )
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2
2
o
y
故旋转曲面方程为
x
f ( x2 y2 , z) 0
思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？
z
C : f ( y, z ) 0
2 x12 ) y 2q ( z 2p x x 1 抛物线
z
y
o
x
3. 双曲面 (1)单叶双曲面
z
x2 y2 z2 2 2 1 ( a , b, c 为正数) 2 a b c
y o x
平面 z z1上的截痕为 椭圆.
平面 y y1 上的截痕情况:
1) y1 b 时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(1) 椭圆抛物面
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2 p 2q
z
椭圆抛物面的图形如下：
o
x y
x
o
y
p 0, q 0
p 0, q 0
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.
设 p 0, q 0 (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） x y z ( p , q 同号) 2 p 2q 与三个坐标面的交线 2 2 2 2 2 2 x y x x y y 2z 2z 2z q p q q p p z0 x0 y0
母线上的点.
X Y Z 设母线方程为 x y z
此母线与准线的交点为 ( x0 , y0 , c )
x0 y0 c 则 x y z
cx 2 cy 2 ( ) ( ) xc yc 2 2 2 x y z x0 , y0 z z 1 2 2 2. z z 2 2 a b c a b 注意：x 2 y 2 z 2为圆锥面方程。
x y 0 表示母线平行于 z 轴的平面. (且 z 轴在平面上)
2
2
y
z
o
y
o x
y
x
三、锥面
一条动直线通过一定点且沿空间一条固定曲线移动 所产生的曲面称为锥面。动直线称为母线，定点称 为顶点，固定曲线称为准线。
x2 y2 2 2 1 为准线，顶点在原点 例3 求以椭圆 a b z c 的锥面方程。 解 设M ( x , y , z )为锥面上的任意一点，它一定是一条
例4. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z 2 a 2 ( x2 y2 )
例5. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
原点也叫椭圆抛物面的顶点. 与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为椭圆.
O
y
x2 y2 z1 变动时，这种椭 当 1 圆的中心都在 z 轴上. 2 pz1 2qz1 z z 1
图形位于 xOy平面 的上方， 并关于 yOz及zOx 坐标面 对称.
2）用坐标面 xOz ( y 0)与曲面相截
分别绕 x
x y z 1 2 2 a c
2 2 2
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x y z 2 1 2 a c
2 2 2
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
五、二次曲面
三元二次方程
a1 x2 a2 y2 a3 z 2 a4 xy a5 yz a6 zx a7 x a8 y a9 z a10 0
x 2 y 2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M0
o
M
y
x
例2. 研究方程
的曲面. 解: 配方得 此方程表示: 球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5 的球面. 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
表示怎样
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
z
y
o
x
0
y
o x
(实轴平行于z 轴; 虚轴平行于x 轴）
(2) 双叶双曲面
z
x2 y2 z2 2 2 1 ( a , b, c 为正数) 2 a b c 平面 y y1 上的截痕为 双曲线
平面 x x1 上的截痕为双曲线
平面 z z1 ( z1 c )上的截痕为 椭圆
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
例1. 求动点到定点
方程.
距离为 R 的轨迹
依题意
解: 设轨迹上动点为
即
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R
故所求方程为 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R 2 z 特别,当M0在原点时,球面方程为