最短路径多种算法的实际应用及研究

分析问题可知，所求为 问题一： 矩形内确定 4 个道路交叉点为： A(50,75)， B(40,40)， C(120,40)， D(115,70） 。 求满足约束条件后的总路程最短、道路设计路线图，并求出新修建道路的长度。。 问题二： 现在公园内可以任意修建道路， 求在满足条件下使总路程最少时道路交叉 点的坐标，画出道路设计，计算新修路的总路程。 问题三：若公园内有一条矩形的湖 R1(140,70), R2(140,45), R3=(165,45),
模型评价及推广 ......................................................................................................................... 22 参考文献 ..................................................................................................................................... 23
装
订
线
“工大出版社杯”第十三届西北工业大学数学 建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目 B题
密封号
2012 年 5 月 2 日
剪
切
线
密封号
2012 年 5 月 2 日
通信工程 学院
第
队
队员 1 姓名 班级 冯鸣月 011131
Biblioteka Baidu
队员 2 李璇 011151
队员 3 李晓扬 011151
摘
要
在生活中， 道路施工问题随处可见。 怎样用尽量少的施工量使道路达到更好的连通 性是一个值得讨论的问题。 在建设中要考虑结点选择， 路线设计等问题。 根据这些特点， 我们建立了 5 个有创新性思想的模型以解决这 3 个问题。 对于问题 1 我们用 Prim 算法首先建立了模型——总路程最短的最小生成树 E。对 模型进行了合理的理论证明和推导，所给出的理论证明结果大约为 416，然后借助于 Floyd 算法和 Matlab 软件，计算出 E 中任意两入口最短路程，将之与此两点间直线距 离的 1.4 倍进行比较验证。 对于问题 2 我们将矩形边沿内区域网格化。(取网格距离为 1 米)。第一个模型把平 面中的点化为离散化粒子群，通过引入若干“虚设站”并构造一个新的最小生成树，寻 求结点数目给定条件下的最短路径之和最小值。 第二个模型是求网格距离的最小值。 把 两点间的连通方式近似为网格直线 （即需平行于坐标轴） ， 用直线化简法求得最终结点。 对于问题 3 通过分析讨论， 本文根据所建的模型， 提出了一种很有价值的跨学科类 比模型设想。 （本文是将结点问题转化为有公式背景的物理电路问题，可以利用已有的 物理公式与定理将问题简化）。 在已知条件下， 模型给出的方案是令人满意的。 并且， 由于本文所给算法的普适性， 它的实用性很强， 对于一般实际生活中的普遍问题提供解决办法和思路， 并可以推广到 解决其他类似问题，可以获得较高使用价值，为我们的实际生活提供便利，并满足效益 最大化。 值得一提的是，对于问题一、二，本文提出了两种不同的模型，并分别进行了针对 性讨论。并对问题三运用了跨学科类比思想。
模型Ｉ：最小生成树模型................................................................................................... 8 模型 II：0—1 规划模型 .................................................................................................... 13 问题 1 的两种模型的比较................................................................................................. 15
最小生成树： ...................................................................................................................... 7
Prim 算法： ............................................................................................................................. 7 Floyd 算法: ............................................................................................................................... 8 问题 1 的两个模型 ....................................................................................................................... 8
关键词： Prim 算法， Floyd 算法, 最小生成树，0-1 规划思想。 决策区域网格化，直线简化法，回归分析思想，跨学科类比法。
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目录
一 二 三 四 五 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 1.4.1 六 七 问题重述 ....................................................................................................................................... 4 问题分析 ....................................................................................................................................... 5 模型假设 ....................................................................................................................................... 6 定义与符号说明 ........................................................................................................................... 6 模型的建立与求解 ....................................................................................................................... 7 模型准备 ....................................................................................................................................... 7
问题 3 的模型 ............................................................................................................................. 20
模型：电路模拟选址模型................................................................................................. 20
问题 2 的两个模型 ..................................................................................................................... 15
模型 I：离散化结点选址模型 .......................................................................................... 15 模型 II：直线简化模型 ..................................................................................................... 18 两种模型的比较 ................................................................................................................ 20
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一 问题重述
西安某大学计划建一个形状为矩形或其他不规则图形的公园， 不仅为了美化校园环 境，也是想为其学生提供更的生活条件。公园计划有若干个入口，现需要建立一个模型 去设计道路让任意两个入口相连 （可以利用公园四周的边， 即默认矩形的四条边上存在 已经建好的道路，此道路不计入道路总长），使总的道路长度和最小，前提要求是任意 的两个入口之间的最短道路长不大于两点连线的 1.4 倍。 提炼问题已知条件可知， 1. 2. 主要设计对象可假设为如图所示的矩形公园， 其相关数据为： 长 200 米， 宽 100 米， 1 至 8 各入口的坐标分别为： P1(20,0),P2(50,0),P3(160,0),P4(200,50), P5(120,100),P6(35,100),P7(10,100),P8(0,25). 3. 4. 在矩形公园内修建道路时，道路的交点只能在已设或所求交叉点或八个入口。 入口与入口间距离为通过矩形四条边上的距离（此道路不计入道路总长）或平面上 两点依次连线所得距离之和。 5. 6. 7. 任意的两个入口之间的最短路径长不大于两点连线的 1.4 倍。 新修的道路与四周的连接只能与 8 个路口相通，而不能连到四周的其它点。 新建道路需满足以上约束条件，并使道路总和最少。
R4=(165,70)，新修的道路不能通过，但可以到达湖四周的边。重复完成问题二 的任务。
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二 问题分析
本类型问题属于最短路径数学问题， 对于解决此类问题一般采用求最小生成树的数 学方法的分析。 对于求解最短路径， 传统的思路是需要使用计算量很大的且效率偏低的 穷举法及其相似算法，这里我们先据根据 Prim 算法找到最短路径的连通方案，再利用 Flod 算法和题目要求，求出任意两点间的最短路径，对结果进行修正。
1.1 问题 1 的分析
问题 1 属于已知各点的位置和距离求最短路径问题。 对于已知的相邻点间路径可分为三类： 入口与入口间的直线或折线最短路径 （直接 由图看出，并由条件“最短路径长不大于两点连线的 1.4 倍”进行约束） ；入口与交叉 点间直线路径； 交叉点与交叉点间直线距离。 这里还要注意矩形边界线上的路径长度不 计入总长度内，因此边界距离应计为 0。得出任意两点间最短路径后形成邻接矩阵，根 据 Prim 算法求出 12 个点的最短路径之和与最短路径时的连通方案（这里“连通”指任 意一点出发总能找到一条路径到达其余个点） 。 由于所求连通方案中一些两间折线距离可能不满足小于等于折线 1.4 倍， 因此最后 需用 Floyd 法则求出任意两点间连通距离与 1.4 倍直线距离进行比较。 对问题 1 所要求的结果进行分析。