正弦信号激励下系统的稳态响应_例3
3 测试系统的基本特性 (动态识别、不失真)
ξ
ζ = ζ = ζ = ζ = ζ = ζ =
0 .0 5 0 .1 0 0 .1 5 0 .2 5 0 .5 0 1 .0 0
3
η = ω /ω
n
位移共 振频率
ω r = ω n 1 − 2ζ
2
精确求法：
A(ω r ) 1 = 2 A(0) 2ζ 1 − 2ζ
ωn ζ
测 试 系 统 动 态 特 性 的 识 别
利用半功率法求
ζ
ω 2－ω1 ζ＝ 2ω n
适合阻尼比较小。
测 （二）阶跃响应法 试 系 统 阶跃响应法是以阶跃信号作为测试 动 态 系统的输入，通过对系统输出响应的测 特 试，从中计算出系统的动态特性参数。 性 的 这种方法实质上是一种瞬态响应法。即 识 别 通过研究瞬态阶段输出与输入之间的关
系找到系统的动态特性参数。
u (t )
t
y u (t ) = 1 − e
动 态 传 递 特 性 的 时 域 描 述
结论：一阶系统在单位阶跃激励下稳态输出 的理论误差为零，并且，进入稳态的时间
t→∞。但是，当t =4τ时，y(4τ)=0.982；误
差小于2%；当t =5τ时，y(5τ)=0.993,误差小 于1%。所以对于一阶系统来说，时间常数τ越小 越好。
3.3.3 测试系统动态特性参数的识别
频率响应法是以一组频率可调的标准正弦信号作为 系统的输入，通过对系统输出幅值和相位的测试，获得 系统的动态特性参数。
测 试 系 统 动 态 特 性 的 识 别
系统特性识别试验原理框图
测 试 系 统 动 态 特 性 的 识 别
一阶系统
A(ω ) =
A( ϖ) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.707
信号与系统第3章 信号通过LTI系统的频域分析
这里需要指出的是，上面的等式对信号 的间断点不成立。
从数学上说，周期信号能进行傅里 叶级数展开的条件是信号须满足狄里赫 利（Dirichlet）条件：
（1）在一个周期内，如果有间断点存在， 则间断点的数目应是有限个；
（2）在一个周期内，极大值和极小值的 数目应是有限个； （3）在一个周期内，信号是绝对可积的， T f (t )dt 等于有限值。 即 0
式（3-8）的意义与三角函数形式的傅 里叶级数一样，表明函数f(t)可以分解为无 限个复正弦谐波信号 e jn0t 的线性组合。
必须注意的是，这里出现了n为负 的频率，但这个负频率只是“视在”的 ，是数学表达上的存在。
傅里叶级数的复指数形式在高等数学 课程中并未出现，而且表达式中出现了n为 负的频率，初学者可能会感到困惑。
Im[ H ( j )]
∞
∞
h(t )sin(t )dt
因此，ReH(j)是的偶函数，而ImH(j) 是的奇函数。同时，由于
H ( j )
Re H ( j Im H ( j)
2
2
Re[ H ( j )] ( ) arctan Im[ H ( j )]
工程中广泛使用了频域分析的概念 与方法，其依据是：实际应用中遇到的 信号通常都可以分解为正弦信号的线性 组合。
因此，如果了解了正弦信号通过LTI系 统的响应情况，那么根据LTI系统的线性 与时不变性，就可以得到任意信号通过 LTI系统的响应。
建立在这一基础上的分析方法称为 频域分析，也就是著名的傅里叶分析。 为了进行频域分析，首先必须解决 的两个问题是： ①频域中的信号分解； ②正弦信号通过LTI系统后的响应。
一阶系统中，RC称为系统的时间常 数，可用来表征系统的惯性，并据此对输 出波形与输入波形之间的关系做出定量的 解释，但对系统中存在两个以上储能元件 的情况，也即对二阶以上的系统，就难以 用系统的时域参数来定量地表征对信号的 影响。
信号与系统讲义第四章5系统频率特性及稳定性汇总
（系统的串联）
2020/3/10
信号与系统
2020/3/10
信号与系统
4.11 线性系统的稳定性
1、稳定系统
有限（界）激励，产生有限（界）输出，稳定系统 有限（界）激励，产生无限（界）输出，为不稳定系统
r(t) h(t)*e(t) h( )e(t )d
4.8由系统函数零、极点分布分析频响特性
一、系统的频响特性
1、频响特性
在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化
H( j) H( j) e j()
幅频特性 相频特性
2020/3/10
信号与系统
分析正弦信号e(t) Em sin 0t u(t)激励下系统的响应？
H (s)为稳定系统，极点在左半开平面,自由响应为暂态响应
➢ 系统的极零点图 ➢ 确定系统的时域响应特性、系统稳定性分析 ➢ 绘制系统的幅频响应和相频响应特性曲线，通频特性分析
2020/3/10
信号与系统
作业
4-39(a)(e) 4-42 (b) 4-45
自读4.9节内容 预习 4.12 4.13章节内容
2020/3/10
信号与系统
H ( j)
K
0
系统的零、极点分布→系统的频率响应特性 零、极点分布特点？？
2020/3/10
信号与系统
全通系统的零、极点分布
•极点在S左半平面，零点在右半平面 •极点数＝零点数，且与虚轴成镜像对称
2020/3/10
信号与系统
幅频特性： 相频特性：
2020/3/10
信号与系统
二、最小相移系统
e(t) Me
信号与系统历年考题
目录04-05A (1)04-05B (4)05-06A (7)05-06B (10)06-07A (14)07-08A (16)07-08B (19)08-09(A) (22)08-09(B) (25)09-10(A) (28)09-10(B) (30)04-05A一、填空（每空2 分，共20分）（1） LTI 表示 。
（2）⎰∞∞-=-dt t t t f )()(0δ 。
（3） 无失真传输的频域条件为 。
（4） )]([)(t u et u at-*＝ 。
（5） 设)(0t f 是周期脉冲序列)(t f （周期为T 1）中截取的主值区间，其傅里叶变换为)(0w F ，n F 是)(t f 傅里叶级数的系数。
则n F ＝ 。
（6） 设)3)(2(6)(+++=s s s s H ，=+)0(h 。
（7） 设)(t f 是带限信号，πω2=m rad/s ，则对)12(-t f 进行均匀采样的奈奎斯特采样间隔为 。
（8） 某连续系统的系统函数jw jw H -=)(，则输入为tj et f 2)(=时系统的零状态响应=)(t r zs 。
（9） 周期序列)873cos()(ππ-=n A n x ，其周期为 。
（10） 信号)(t f 的频谱如图如示，则其带宽为 。
二、选择题（将正确的答案的标号填在括号内，每小题2分，共20分）（1） 能正确反映)()(n u n 与δ关系的表达式是（ ）。
A. ∑∞=-=0)()(k k n n u δ B. ∑∞=-=1)()(k k n n u δC. ∑∞==)()(k k n u δ D. )1()()(+--=n u n u n δ（2） 下列叙述正确的是（ ）。
A. 各种离散信号都是数字信号B. 数字信号的幅度只能取0或1C. 将模拟信号采样直接可得数字信号D. 采样信号经滤波可得模拟信号（3） 下列系统中，属于线性时不变系统的是（ ）A. )1()(t e t r -=B. ∑∞-∞==m m x n y )()(C. ⎰∞-=td e t r 5)()(ττ D. )443sin()()(ππ+=n n x n y （4） 关于因果系统稳定性的描述或判定，错误的是（ ）A. 系统稳定的充要条件是所有的特征根都必须具有负实部。
郑君里《信号与系统》(第3版)【教材精讲+考研真题解析】讲义 第5章 傅里叶变换应用于通信系统——
3 2
c
j)2 (
3 2
c
)
2
| H ( j) | e
j ( )
| H ( j) |
1
[1
(
c
)
2
]2
(
c
)
2
(
)
arctan[
1
c
(c
)
2
]
h(t) F 1[H ( j)]
2 c 3
ct
e 2 sin(
3 2
ct
)
波形及频谱图：
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衰减不能过于迅速；佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
五、希尔伯特变换研究系统函数的约束条件
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希尔伯特变换对
R()
1
X
()
d
X
(
)
1
R( )
d
该变换对说明具有因果性的系统函数 H ( j) 的实部 R() 被已知的虚部 X () 唯一
轴上的相对位置产生变化；
（3）线性失真：幅度、相位变化，不产生新的频率成分；
（4）非线性失真：产生新的频率成分。
2．无失真传输条件
（1）无失真传输
系统的无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只是大小与出现的时间不同，而无波
形 上 的 变 化 。 设 激 励 信 号 为 e(t) ， 响 应 信 号 为 r(t) ， 则 无 失 真 传 输 的 条 件 是 r(t) Ke(t t0) ，K 为常数， t0 为滞后时间，如图 5-1 所示。
信号与系统第四章(2)
二. 零极点分布与h(t)的关系
∑ ∑ h(t)
=
L−1[H (s)] =
n
L−1 [
i =1
ki s− p
i
]=
n i=0
ki e pit
2 k1 eαt cos(ωt + θ )
jω
正弦振荡 (等幅)
h(t) 减幅的自由振荡
h(t)
2 k1 eαt cos(ωt + θ )
0
t
p 位于左半平面
+
R1
+
R2
H (s)与U s (s)无关， 由网络结构和参数决定
∴H (s) = I2(s) =
R1CS
U (s) s
R1LCS 2 + (R1R2C + L)S + R1 + R2
转移导纳函数
3、H (s)的一般性质。
(1 ) h ( t ) = L − 1 [ H ( s )]
证 : Q H (s) = Rzs (s) E(s)
当e(t) = δ (t)时E(s) = 1,
故rzs (t) = h(t) = L−1[H (s)]
此时Rzs (s) = H (s)
例3、试求图示电路的冲激 响应u1(t)。
2Ω
L
R1
SL
+ R1
2H
+ 1
is (t ) u1(t ) 1F
C
2Ω R2
Is (s) U1(s)
CS
R2
−
−
解：H (s) = R(s) = U1(s) — —策动点阻抗 E(s) Is (s)
+
Us (s) −
什么是正弦稳态电路(精)
二、研究正弦稳态电路的意义
正弦电压和电流产生容易，与非电量转换方便，在实用 电路中使用广泛。 复杂信号皆可分解为若干不同频率正弦信号之和，因此可 利用叠加定理将正弦稳态分析推广到非正弦信号激励下的电 路响应。
三、正弦稳态电路的分析方法
采用相量分析法，引入相量的概念以后，在电阻电路 中应用的公式、定理均可以运用于正弦稳态电路。
试求 i3 (t )，并作出各电流相量的相量图。
解：由 i1 (t ) 、 i2 (t ) 的时域形式，得：
I1 20 I 2 2120
i1 (t )
i2 (t )
i3 (t )
由KCL的相量形式，得：
I3 I1 I 2 20 2120 2 1 j 3 2 120 A
u2 (t ) 2U 2 cos(t 2 )
相位差定义为：
12 (t 1 ) (t 2 ) 1 2
同频正弦量的相位差等于它们的初相之差，是一个与 时间无关的常数
比较两正弦量的相位差时应注意： （1）两正弦量必须是同类型的函数
（2）两正弦量必须具有相同的频率
i iR u(t) iC C iL L
R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求电流I. 解：利用KCL相量关系，有：
I I R IC I L
U 120 j120 V 2
U j120 IR j8 A R 15 I C j CU j 1000 (83.3 106 ) ( j120) 10 A U j120 IL 4A 3 j L j1000 (30 10 )
定理4
若A、B为复常数,若在所有的时刻都满足
Re[ Ae jt ] Re[ Be jt ]
信号与系统§6.4 由系统函数求频率响应
m
s
z
j
m
j
ω
z
j
H jω H s sjω K
j 1 n
sjω K
j 1 n
s Pi
jω pi
i 1
i 1
可见H jω的特性与零极点的位置 有关。
令分子中每一项 jω z j N j ejψj 分母中每一项 jω Pi Mi ejθi
ω ψ1 ψ2 ψm θ1 θ2 θn
当沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和
辐角都随之改变，于是得出幅频特性曲线和相 频特性曲线。
s jω
Hjω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
几种常见的滤波器
H ( j) 低通滤波器
H ( j) 高通滤波器
0
c
(a)
H ( j) 带通滤波器
0
c
H ( j)
(b)
带阻滤波器
0
c1
c 2
0
c1
c 2
(c)
(d)
图4-15 滤波网络频响特性示例
根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H
jω
K
N1 e jψ1 M1 e jθ1
N2 e jψ2 M 2 e jθ2
Nm e jψm M n e jθn
K
N1N2
N e jψ1ψ2 ψm m
M1M2
M e jθ1θ2 θn n
H jω K N1N2 Nm
M1M 2 M n
将 jω z j、jω - pi都看作两矢量之差，将矢量图画于复 平面内。
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析报告
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()(3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
信号与系统问题解答
第1章 1信号与系统的基本概念11．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：单边指数信号 （在t =0点时，不连续），单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。
3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。
它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。
其重要特性是筛选性，即：()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。
5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。
即：如果一个系统，当输入信号分别为1()x t 和2()x t 时，输出信号分别是1()y t 和2()y t 。
当输入信号()x t 是1()x t 和2()x t 的线性叠加，即：12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+； 且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。
其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性； 如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。
信号与系统(程耕国)下册课后习题答案
信号与系统（程耕国）下册课后习题答案6.2 精选例题例 1 设一个LTI 离散系统的初始状态不为零，当激励为)()(1n u n f =时全响应为)(121)(1n u n y n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，当激励为)()(2n u n f -=时全响应为)(121)(2n u n y n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=。
（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为)(4)(3n u n f =时，求系统的全响应)(3n y 。
（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为)2(4)(4-=n u n f 时，求系统的全响应)(4n y 。
（3）求该系统的单位序列响应)(n h 。
解：设系统的初始状态保持不变，当激励为)()(1n u n f =时系统的零输入响应和零状态响应分别为)(n y x 、)(n y f 。
依题意，有：)(121)()()(1n u n y n y n y n f x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+= ○1根据LTI 系统的性质，当激励为)()(2n u n f -=时全响应为)(121)(()(2n u n y n y n y n f x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=） ○2联立式○1、○2，可解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++)(12121)()(2121(1111n u n y n u n y n n f n n x ）同样，根据LTI 系统的基本性质，不难得到：（1）当系统的初始状态保持不变，且激励为)(4)(3n u n f =时，系统的全响应为：)(4)()(3n y n y n y f x +=)(121214)(21211111n u n u n n n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++)(421321511n u n n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++（2）当系统的初始状态增加一倍，且激励为)2(4)(4-=n u n f 时，系统的全响应为：)2(4)(2)(4-+=n y n y n y f x)2(121214)(21211111-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=--++n u n u n n n n（3）由于)1()()(--=n u n u n δ，所以该系统的单位序列响应为：)1()()(--=n y n y n h f f)1(12121)(1212111-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++n u n u n n n n 例2 一个LTI 连续系统对激励)(sin )(t tu t f =的零状态响应)(t y f 如例2图所示，求该系统的冲激响应)(t h 。
4-4系统函数零极点∽频响特性,拉氏变换VS傅里叶变换
m
( j p )
i i 1
j 1 n
频率特性取决于零、极点 z j , pi的分布
j z j N j e j j 令 ji j pi M i e
矢量：模、辐角
j
Mi
pi
i
Nj
j
zj
O
N1e j1 N 2e j 2 N me j m H ( j ) K M 1e j1 M 2e j2 M n e jn N1 N 2 N m j[(1 2 m ) (1 2 n )] K e M 1M 2 M n H ( j ) e
R
L
1 解： 令 Z1 sL, Z 2 ，则 Z1Z 2 R 2 sC 从 v2 端向左应用戴维南定理，
2Z1Z 2 Z Z1 V1 ( s) 2 内阻为 ，等效电源为 Z 2 Z1 Z1 Z 2
V2 ( s ) Z 2 Z1 ( Z 2 Z1 ) R R H (s) V1 ( s ) Z 2 Z1 R 2 Z 2 Z1 ( Z 2 Z1 ) R 2Z 2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 Z 2 Z1 2 Z 2 Z1 R Z 2 Z1 R Z1 L R Z 2 Z1 R Z1 s L s
j ( )
j
Mi
pi
i
Nj
j
zj
N1 N 2 N m H ( j ) K M 1M 2 M n 其中 ( ) ( ) ( ) 1 2 m 1 2 n
0
[例2] 研究图示的 RC 高通滤波网络的频响特性
1 1 z1 0, p1 , p2 R1C1 R2C2
《电路分析》——正弦稳态分析
>0， u超前i 角，或i 落后u 角(u 比i先到达最大值)；
u, i u i
O
t
yu yi
<0， i 超前 u 角，或u 滞后 i 角,i 比 u 先到达最大值。
Im A2
0
图解法
A1 Re
(2) 乘除运算——采用极坐标形式
若 A1=|A1| 1 ，A2=|A2| 2
则:
A1 A2
A1 e j1
A2 e j2
A1
A e j(12 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ1 | A2 |θ2
几种不同值时的旋转因子
Im
(1) ,
jI jI
I
2
j
e2
cos
j sin
j
2
2
I I
0
Re
jI
jI
(2) ,
jபைடு நூலகம்
e2
cos(
)
j sin(
)
j
2
2
2
(3) , e j cos( ) j sin( ) 1
其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；
（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值； （3）一般电压表和电流表的刻度都是按有效值来标定的； （4）交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效 值。如“220V，100W”的白炽灯，是指它的额定电压的有效 值是220V。
自动控制理论答案(孙扬声版)
T2-1 判断下列方程式所描述的系统的性质：线性或非线性，定常或时变，动态或静态。
（1）()()()t u dt t y d t t y =+22232； （3）()[]21)(t u t y =； （4）())(3)(t u t y =+dtt dy t sin ω；（7）在图T2-1中去掉一个理想二极管后，情况如何？解：先区别几组概念（线性和非线性；定常和时变；动态和静态） 线性系统（即系统变量间的关系）：多项式形式，各项变量的幂指数为1； 非线性系统：多项式形式，各项变量的幂指数不全为1； 定常系统：系统参数与时间无关；时变系统：系统参数与时间有关； 静态系统：输入到输出没有过渡过程； 动态系统：输入到输出有过渡过程。
（笔者认为在判断系统静态或动态的时候，我们可以看多项式里面有没T2-2 已知动态系统对输入信号u(t)的响应，试判断下列三个系统是否为线性的：（1）()⎰+=td u x t y 02)(0)(ττ；（2）()⎰+=td u x t y 0)(03)(ττ；（3）()⎰+--+=tt td u ex e t y 0)(0)(τττ。
解：先分清()0x 和()t u 这两个量：()0x 为状态变量（初始状态或初始条件）；()t u 为输入变量。
零状态线性和零输入线性的判定方法：(I) 当()00=x 时，为零状态，对应的输出称为零状态响应，此时看输出()t y 与输入()t u 的关系是否满足线性，若满足，则为零状态线性；(II) 当()00=t u 时，为零输入，对应的输出称为零输入响应，此时看输出()t y 与初始状态()0x 的关系是否满足线性，若满足，则为零输入线性；T2-3 有一线性动态系统，分别用0≥t 时的输入()()()[],,0,,,321τ∈t t u t u t u 对其进行试验。
它们的初始状态都相同，且(),00≠x 三种试验中所得输出若为()()()。
正弦稳态响应
值考虑。
（2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
i , Im , I
16
相量变换(复习)
1. 复数及运算
复数A的表示形式 A=a+jb (j 1 为虚数单位)
Im
b
A
Im
b
A
|A|
0
a Re
A a jb
0
a Re
A | A | e j
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
24
•
例2 已知I 5015A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
相量图
•
U
在复平面上用向量表示相量的图
i(t) 2Icos(ω t ) I I
u(t) 2Ucos( t θ ) U Uθ
•
I
25
相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos( t Ψ 1) Re(
A2 e j2
A1
A e j(1 2 ) 2
A1 A2 1 2 乘法：模相乘，角相加。
A1 A2
| A1 |θ 1 | A2 |θ 2
| A1 | ejθ1 | A2 | ejθ 2
| A1 | e j(θ1θ 2 ) | A2 |
§5.2 利用系统函数求响应
5 1 cos(3t 72)
10
H j
1
1
11 2
1 21 1
10 5
5 10
3 2 1 O 1 2 3
Y j π
1
11 2 10 5
1 21 1
5 10
3 2 1 O 1 2 3
三．非周期信号的响应
第 5
页
• 傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差 异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理 概念清楚。 •用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。 •引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性， 简述滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义， 这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中 具有十分重要的指导意义。
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
•正弦信号激励下的稳态响应 •非周期信号激励下系统的响应
北京邮电大学电子工程学院 陈智娇
一．正弦信号激励下系统的稳态响应
第 2
页
设激励信号为 sin0t ，系统的频率响应为
H ( ) H ( ) ej()，则系统的稳态响应为
H(0 ) sin0t (0 )
正弦信号sin0t 作为激励的稳态响应为与激励同 频率的信号，幅度由H j0 加权，相移 0 。 H j 代表了系统对信号的处理效果。
画出系统的频域模型， 写出系统函数表达式
1
v1 (t )
R C
2
v2(t)
1
H
V2 V1RjC1来自jC11
R
2
2
V1( )
1
jC
V2 ( )
j
1 RC
1
2
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
《信号与系统》课程讲义4-5
§4.5系统函数零极点∽频响特性一、频响特性1．概念①系统在正弦信号激励下稳态响应随信号频率的变化情况②H (s )稳定系统0sin()m E t ω0()lim ()~ss t r t r t ω→∞=③包括：幅频特性、相频特性§4.5系统函数零极点∽频响特性00120012...j j n nK K K K K s j s j s p s p s p ωωωω−=++++++−−−−j e H E j j H E s R j s K j m m j s zs j 22)(|)()(00000000−=−−⋅=⋅+=−−=−ϕωωωωωωje H E j j H E s R j s K j m m j s zs j 22)(|)()(00000000ϕωωωωωω=⋅=⋅−==2．稳定系统的频响特性)()(220s H s E s R m zs ωω+=①系统响应：000()j H j H e ϕω=000()j H j H e ϕω−−=令则§4.5系统函数零极点∽频响特性0000()lim ()j t j tss zs j j t r t r t K e K e ωωωω−−→∞==+)sin()(2000)()(00000ϕωωωϕωϕ+=+−=++−t H E e e jE m t j j t j m 0000sin()sin()m ss m E t r E H t ωφωφϕ+→=++②0000cos()cos()m ss m E t r E H t ωφωφϕ+→=++§4.5系统函数零极点∽频响特性③ωω()H s 当正弦激励信号频率改变时，将代入得到频率响应()()()|()j s j H j H s H j e ϕωωωω===幅频特性相频特性§4.5系统函数零极点∽频响特性[例1]求系统的稳态响应22()3()2()2()3()d d dr t r t r t e t e t dt dt dt ++=+()sin cos 2e t t t=+解：222323()()3232s j H s H j s s j ωωωω++=→=+++−2(arctan arctan3)33213(1)1310j j H j ej −+==+4(arctan arctan3)32345(2)26210j j H j ej π−−+==−+()ss r t 13251()sin(arctan arctan 3)cos(2arctan arctan 3)10332210ss r t t t π=+−++−−§4.5系统函数零极点∽频响特性c ωω()H j ωc c ωωωω<⎫⎬>⎭时，网络允许信号通过低通特性时，网络不允许信号通过cωω()H j ωc c ωωωω<⎫⎬>⎭时，网络不允许信号通过高通特性时，网络允许信号通过1c ω2c ωω()H j ω带阻特性3．滤波网络分类：幅频特性1c ω2c ωω()H j ω带通特性1c ω§4.5系统函数零极点∽频响特性1111()()()()()()mmj j j j nniii i K s z K j z H s H j s p j p ωωω====−−=→=→−−∏∏∏∏Oσ⋅×ip jz iθj ψj ωi M jN ,j i z p 频率特性取决于零、极点的分布4．频响特性的S 平面几何分析法()H j ωjj j j j z N eψω−=ij i i j p M eθω−=→令§4.5系统函数零极点∽频响特性121212121212[()()]1212()()()m nm n j j j m j j j n j m nj N e N e N e H j KM e M e M e N N N KeM M M H j e ψψψθθθψψψθθθϕωωω+++−+++=== 1212()()()m n ϕωψψψθθθ=+++−+++ 1212()m nN N N H j KM M M ω= 其中Oσ⋅×ip jz iθj ψj ωiM jN §4.5系统函数零极点∽频响特性RC 21()()11()V s R sH s V s R s sC RC ===++CR++-1v -2v 【例2】研究图示的高通滤波网络的频响特性10z =零点：11p RC=−极点：解：转移函§4.5系统函数零极点∽频响特性()|()s j H s H j ωω==11()1211()j j j N e V H j e M e V ψϕωθω==→211111,()V N V M ϕωψθ==−O ×j ω1M 1N 1θ190ψ=σ1RC−以矢量因子表示为1211111110,000,90()90N V N M RC M V θψϕω⎧==→=→=⎪⎨⎪==→=⎩0ω=时，§4.5系统函数零极点∽频响特性121111111222,2245,90()45N V N M RC RC M V θψϕω⎧==→=→=⎪⎨⎪==→=⎩ 1211111190,90()0N V M V θψϕω⎧→⇒→⎪⎨⎪→=→=⎩1RC ω=时，此点为高通滤波网络截止频率点ω→∞时，45 901RCω()ϕωO ()H j ω221§4.5系统函数零极点∽频响特性s RC 21()()()V j H j V j ωωω=1122R C R C ++-1v -2v C1R1C2R2++--3v 3kv 【例3】由平面几何法研究下图所示二阶系统的频响特性，，且§4.5系统函数零极点∽频响特性1311211112112223221()()1()()11()()()()()1sC V s V s R V s k s sC H s V s R C s s R R C R C V s kV s R sC ⎧⎪⎪=⎪+⎪⇒==⎨⎪++⎪=⎪+⎪⎩i 1121122110;,z p p R C R C ==−=−O ×j ω1M 1N 1θ190ψ= σ111R C −×2M 2θ221R C−解：零、极点为：1122R C R C 由于221R C −，所以靠近原点，111R C −离开较远。