2.4平面向量的坐标----教案

2-4平面向量的坐标

一、教学目标：

1.知识与技能

⑴平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算.

⑵理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.

2.过程与方法

通过探索平面向量共线的坐标形式，灵活运用公式解决一些问题。

3.情感态度价值观

通过本节的学习，了解相关数学知识的来龙去脉，认识其作用和价值，培养学生的探索研究能力。

二.教学重、难点

重点: 平面向量的坐标运算.

难点: 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.

三.学法与教学用具

自主性学习+探究式学习法

教学用具:电脑、投影机.

四.教学设想

【复习引入】 1．平面向量的基本定理：1212a e e λλ=+ ；

2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数(,)x y 表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示？

【新课讲解】

【知识点1】向量的坐标表示的定义 分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，对于任一向量a ，a xi y j =+ ，（,xy R ∈），实数对(,)x y 叫向量a 的坐标， 记作(,)a x y = ． 其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标，y 叫向量a 在y 轴上的坐标。 说明：⑴对于a ，有且仅有一对实数(,)x y 与之对应； ⑵(1,0)i = ，(0,1)j = ，0(0,0)= ； ⑶只有从原点引出的向量OA 的坐标(,)x y 才是点A 的坐标；不是从原点引出的向量C B 的坐标(,)x y ，就不是终点C 的坐标

⑷要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，若()3,5A ，()6,8B ，则()3,3AB = ；若()C 5,3-，()D 2,6-，则()3,3CD = 。这里AB CD = ，显然,,,A B C D 四点坐标各不相同。 ⑸向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量表示后，可使向量运算代数化，将数形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为数量运算。

【知识点2】向量的坐标运算 y x O (,)A x y j i a

已知11(,)a x y = ，22(,)b x y =

1.向量相等：a b = 等价于1212

x x y y =⎧⎨=⎩. 2.向量坐标的和与差

(1)()1212,a b x x y y +=++

(2)1212(,)a b x x y y -=--

即：向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差

3.向量坐标数乘

11(,)a x y λλλ=

即：实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积。

4.已知向量AB ，且点11(,)A x y ，22(,)B x y ，

则2211(,)(,)AB OB OA x y x y =-=- 2121(,)x x y y =--

即：一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标。

例1：已知()3,4a = ，()1,4b =- ，求a b + ，a b - ，23a b - 的坐标表示。

例2：已知平行四边形ABCD 的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(2,1)-、(1,3)-、(3,4)，求顶点D 的坐标。

变式训练:

1.已知(1,2),(2,1),(3,2),(2,3)A B C D --,以,AB AC 为一组基底来表示向量AD BD CD ++ .

2.设向量a =(1,－3)， b =(－2,4)， c =(－1,－2)，若表示向量4a 、4b －2c 、()

2a c - 、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 。

【知识点3】向量平行的坐标表示 设11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，（0b ≠ ），且//a b ， 则(,0)a b R b λλ=∈≠ ，∴112222(,)(,)(,)x y x y x y λλλ==.

∴1212

x x y y λλ=⎧⎨=⎩， ∴12210x y x y -=. 进一步可变形为：

1212

x x y y = 我们可以得到：

定理：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例。 定理：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行。

符号表示： ①//a b (0)b ≠⇔ (,0)a b R b λλ=∈≠ ；

②11(,)a x y = ，22(,)b x y = ，(0)b ≠

//a b ⇔12210x y x y -=⇔1212

x x y y = 例3.已知(4,2)a = ，(6,)b y = ，且//a b ，求y .

例4.已知()1,2a = ，()3,2b =- 试判断是否存在实数k ，试向量ka b + 与3a b - 共线？若

存在，求k 的值；若不存在，说明理由。

变式练习:

1.已知(1,1)A --，(1,3)B ，(2,5)C ，求证A 、B 、C 三点共线.

2.如三点A(1,2),B(2,4),C(3,m)共线,求m.

3.如果(,12)OA k = ,(4,5)OB = ,(,10)OC k =- ,且A,B,C 三点共线,求k..

4.已知A(-1,6),B(3,0),在直线AB 上求一点P,使1.3

AP AB = 【课堂小结】

1.熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；

2会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；

3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。