函数的单调性复习课

要点·疑点·考点
1.函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：
（1） 如果对于属于定义域 I 内某个区间上
的任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
（2）如果对于属于定义域I内某个区间上的
任意两个自变量的值x1 , x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
(C) h(x)= ? 2 (D) s(x)= log 1 (? x)
x? 1
2
2、函数f(x)=3x2－mx+4在[－5,+∞）上是增函数，
在(－∞,－5]上是减函数，则f(－1)的值是（ B ）
(A) 37
(B)―23
(C) 22
(D)―6
3.如果函数f (x) ? x2 ? 2(a ? 1)x ? 2在区间(?? ,4]上
如果函数u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数y=f(u) 在区间[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么 若u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数y=f[g(x)]为增函数； 若u=g(x)，y= f(u)增减性不同，则y=f[g(x)]为减函数．即
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例1 已知函数 y ? tan? x
在 ?? ? ? , ? ?? 内是减函数，则
? 2 2?
A．0<ω≤1 B. －1≤ω<0
C. ω ≥1
D． ω ≤－1
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针对性练习 1.下列函数中，在区间 (-∞，0)上是增函数的是 ( D )
(A) f(x)=x2-4x+8 (B) g(x)=ax+3 (a≥0)
分析:本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：
①使loga (2-ax)有意义，即 a＞0且a≠1，2-ax＞0．
②使a loga (2-ax)在[0，1]上是x的减函数．由于所给函数 可分a 解为y=loga u,u=2-ax, 其中u=2-ax在a＞0时为减函数, 所以必须 a＞1；
a
③
[0， a
3.用定义证明函数单调性的步骤 证明函数f(x)在区间M上具有单调性的步骤：
(1)取值：对任意x1,x2∈M，且x1＜x2；
(2)作差：f(x1)-f(x2)； 变形 (3)判定差的正负； (4)根据判定的结果作出相应的结论.
练习1
4.复合函数的单调性
复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x)，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：
1]
必须是
y=log
a
(2-ax)
定义域的子集
【解题回顾 】本题主要是考查复合函数的单调性，当内外 函数的增减性一致时，为增函数；当内外函数的增减性相 异时，为减函数.另外，复合函数的单调区间一定是定义域 的子区间，在解题时，要注意这一点.
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练习：证明 f (x) ? x ? 1 在(0,1)上为减函数
是减函数, 那么实数a的取值范围是( ).
A.(?? ,5) B.(?? ,? 3) C.(? 3,?? ) D.(?? ,3)
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例 设 0< a<1 ，函数
f (x) = loga(ax-2 )，则使f (x) < 0 的x取值范围是 _(_?_?_,_lo_g_a_3_)____
练习:函数 f (x) ? log1 (? x2 ? 3x ? 2) 的减区间是
3
3
(1, )
2
【解题回顾】函数的单调性有着多方面的应用，如求函数的值域、 最值、解不等式等，但在利用单调性时，不可忽略函数的定义域 .
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2.已知函数 f(x)=loga(2-ax)在区间 [0 ，1]上是减函 数，则a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
函数
单调性
u=g(x)
增
增
y=f(u)
增
减
y=f[g(x)]
增
减
减
减
增
减
减
增
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间
练2
5.函数的单调性：
① f ' (x) ? 0 （或 ? 0 )
? f (x) 单调递增（或单调递减）；
② f (x) 单调递增（或单调递减）
? f ?(x) ? 0（或 <0)
x
证明：设0 ? x1 ? x2 ? 1
则f (x1) ?
f (x2 ) ?
x1 ?
1 x1
?
x2 ?
1 x2
?
(x1 ?
x2 ) ?
x2 ? x1 x1x2
?
f ( x1) ?
?
f (x2 )

( x1
?
x2 )(1?
1 )? x1x2
0
? f (x) ? x ? 1 在(0,1)上为减函数 x
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（3）函数是增函数还是减函数.是对定义域 内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函 数，而在另一些区间上可能是减函数，例如函数 y=x2，当x∈[0，+∞]时是增函数，当x∈(-∞，0) 时是减函数.
2.单调区间
如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 那么就说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单 调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间.在单调区间 上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降 的.
3、证明要用定义证明
4、判断：1)观察 2)分解 3)图像 4)定义 5)导数
确定单调性一定是相对于某个区间而言，而且一定 要在定义域内。
函数的单调性复习课
?要点·疑点·考点 ?例题1 例 2 ?针对性练习 ?小结
要点·疑点·考点
函数的单调性，是函数的重要性质之一，是 高考数学中的常考内容，常与函数的最值或参数 的取值范围联系在一起，有时也用于比较大小， 多数在选择题中出现，但大题也有这类型的考题， 不过难度稍大，若是放在前三道大题，则多与三 角函数结合，求函数在某个区间的最值或值域为 主。
(05广东)1.函数f (x) ? x3 ? 3x2 ? 1是减函数的区间为 A (2,?? ) B (?? ,2) C (?? ,0) D (0,2)
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小结
1、在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简 转化为讨论一些熟知函数的单调性，因此，掌握并熟记一 次函数、反比例函数，二次函数、指数函数、对数函数的 单调性，将大大缩短我们的判断过程 2、注意数形结合以及利用复合函数的性质