第七讲 计算流体动力学基础

动量方程：
2u 2u uu uv 1 p 2 2 x y x x y 2v 2v u vv 1 p 2 2 x y y x y
能量方程：
2T 2T uT T a 2 2 x y y x
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
例：后台阶突扩流动
边界条件: (1)进口 (速度u、温度T)分布要给定 (2)中心线 (3)壁面
T 0 y
u 0
u 0 0 y
T Tw
(4)出口 数值处理方法
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
• 传质方程 ( C )
t 传质方程是物质的量守恒在流体运动中的体现
div( Cu) div( Ds gradC ) SC
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• 方程的通用形式
以上流体动力学方程可写为统一形式：
( ) div ( u) div ( grad ) S t
特点：
适应性强，适用于复杂的求解区域 一度有取代有限差分法的趋势

程序技巧要求高 数学基础不如有限差分法明确

7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
III. 有限体积法(FVM)
• 有限体积法是目前计算流体动力学中应用最广的一种方法
原理：将计算区域划分为一系列控制体积，将待解微分方程
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
总体步骤：
Step 1. 给出物理模型（Physical model/description)
物理模型 是指把实际的问题，通过相关的物理定律概 括和抽象出来并满足实际情况的物理表征。
Step 2. 借助基本原理给出数学模型（Mathematical model) 数学模型 是指对物理模型的数学描写，是 CFD 方法的 基础和出发点。
How?—计算流体动力学研究的一般方法
7-3 计算流体动力学的发展与应用
7-1 流体力学知识回顾
一、基本概念
理想流体与粘性流体 牛顿流体与非牛顿流体 可压流体与不可压流体 定常与非定常流动 层流与湍流 对流与扩散
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• 连续性方程
u 0 t
流体动力学仿真
电子科技大学
机械电子工程学院
第二部分：计算流体动力学
1. 教学内容


计算流体动力学基础知识
计算区域及控制方程的离散化


代数方程组的求解算法
流场仿真的经典算法——SIMPLE算法 边界条件处理 常用软件介绍
第二部分：计算流体动力学
2. 教学目标
初步掌握计算流体动力学的基本原理和基本方法。
Step 3. 离散化 经过四十多年的发展，CFD出现了多种数值解法。这些 方法之间的主要区别在于对控制方程的离散方式。根据离
散的原理不同，CFD大体上可分为三个分支：
Hale Waihona Puke Baidu
有限差分法 (Finite Different Method, FDM) 有限元法 (Finite EIement Method, FEM) 有限体积法 (Finite Volume Method, FVM)

Particle-in-cell
PIC
Marker-and-Cell
MAC
有限分析法 Finite Analytic Method 边界元法和混合元法 BEM
特点： 经典、成熟，数学理论基础明确
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
II. 有限元法(FEM)
• 有限元法在CFD中应用较晚，但具有较大发展潜力 将求解区域分成若干个小的单元（element） 设定待求变量在单元上的分布函数

原理：
采用了变分计算中选择逼近函数对区域进行积分
N-S方程是动量守恒定律在流体运动中的体现，是粘性流 体遵循的原则；当不考虑粘性时，方程退化为欧拉方程
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• N-S方程
若为定常流动，方程式可简化为：
p div( ui u) div( gradui ) fi div u xi 3 xi
边界条件。
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
例：后台阶突扩流动
物理模型：后台阶突扩层流流动与换热问题（二维、稳态、 不可压缩、常物性、无内热源）
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
例：后台阶突扩流动
数学模型： 连续方程：
u v 0 x y
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
完整的数学模型应不仅包括控制方程，还应包括初始 条件和边界条件。
初始条件 是所研究对象在过程开始时刻各个求解变量
的空间分布情况。对于瞬态问题，必须给定初始条件。对 于稳态问题，不需要初始条件。 边界条件 是在求解区域的边界上所求解的变量或其导 数随地点和时间的变化规律。对于任何问题，都需要给定
(1) (2) (3) (4) (1)：瞬态项——流场的非定常性对物理量的影响 (2)：对流项——流体的宏观运动对物理量的影响 (3)：扩散项——流体中微观粒子运动对物理量的影响 (4)：源项——其他所有因素(外力等)对物理量的影响
7-2 计算流体动力学概述
一、What—什么是计算流体动力学？
Computational Fluid Dynamics (CFD)：
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
I. 有限差分法(FDM)
• • 有限差分法是应用最早、最经典的CFD方法 有限差分法是一种直接将微分问题变为代数问题的近 似数值解法

原理：
将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点 代替连续的求解域 将偏微分方程的导数用差商代替

算对象进行抽象和简化，才有可能得出理论解。到目前
为止，只有极少数流动能给出解析结果。

实验往往受到模型尺寸、流场扰动、人身安全和测 实验还会遇到经费投入、人力和物力的巨大耗费及
量精度的限制，有时可能很难通过试验方法得到结果。

周期长等许多困难。
7-2 计算流体动力学概述
二、Why—为什么研究计算流体动力学？
u x u y 0 二元流动： t x y
u 一元流动： 0 t x
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• 连续性方程
若为定常流动，连续方程式可简化为：
ux u y uz 0 三元流动： x y z
一元流动： u1 A1 u2 A2 C
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• N-S方程
ui p 2 ui u fi ui u t xi 3 xi
或：
( ui ) p div( ui u) fi div( gradui ) div u t xi 3 xi
流动规则离散化
描述离散点上场变量之间关系的代数方程组
解方程
场变量的近似值
7-2 计算流体动力学概述
一、What—什么是计算流体动力学？
关键：离散化
7-2 计算流体动力学概述
二、Why—为什么研究计算流体动力学？
理论或实验研究方法在实验应用中有诸多限制：

流动问题一般是非线性的，理论研究往往需要对计
7-2 计算流体动力学概述
二、Why—为什么研究计算流体动力学？
通过计算流体动力学的数值模拟，可以实现：

得到极其复杂问题的流场内各个位置上的基本物理量
(如速度、压力、温度、浓度等)的分布。

得到物理量随时间的变化情况，确定旋涡分布特性、
空化特性及脱流区等。

还可据此算出相关的其他物理量，如旋转式流体机械 的转矩、水力损失和效率等。 根据计算结果，进行结构优化设计等。
ux u y 0 二元流动： x y
u 一元流动： 0 x
或：1u1 A1 2u2 A2 C
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• 连续性方程
若为不可压流动，连续方程式可简化为： 三元流动： 二元流动：
ux u y uz 0 x y z ux u y 0 x y
通过计算流体动力学的数值模拟，可以实现：

得到极其复杂问题的流场内各个位置上的基本物理量
(如速度、压力、温度、浓度等)的分布。
7-2 计算流体动力学概述
7-2 计算流体动力学概述
Velocity magnitude (0-6 m/s) on a dinosaur
7-2 计算流体动力学概述
Velocity vectors around a dinosaur
3. 参考书目

《计算流体动力学分析》，王福军 《有限体积法基础》，李人宪 《数值传热学》，陶文铨
第七讲 计算流体动力学基础
Lecture 7 Fundamental of CFD
本讲内容
7-1 流体力学知识回顾 7-2 计算流体动力学概述

What? —计算流体动力学是什么


Why?—为什么研究计算流体动力学
ϕ—— 通用变量，可代表1, u, v, w, T等求解变量 Γ—— 广义扩散系数 Sϕ——广义源项 基于通用形式的方程可以实现以同样的程序求解不同的 变量，区别仅在于Γ与Sϕ的具体表达式。
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• 方程的通用形式
以上流体动力学方程可写为统一形式：
( ) div ( u) div ( grad ) S t
连续性方程是质量守恒定律在流体运动中的体现，是一 切流体运动必须遵循的普遍原则。
或用另一种散度符号写为另一种形式：
div( u) 0 t
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• 连续性方程
直角坐标系下，连续方程式可写为：
ux u y uz 0 三元流动： t x y z
若为不可压流动，方程式可简化为：
ui 1 p div(ui u) div( gradui ) fi t xi
7-1 流体动力学知识回顾
二、基本方程
• 传热方程
( T ) k div( Tu) div( gradT ) ST t c
传热方程是能量守恒定律在流体运动中的体现
是应用计算机和离散化的数值方法对流体动力学问题进
行数值模拟和分析的学科；
借助计算机，在流动基本方程控制下对流动的数值模拟；
是流体动力学仿真的基本原理和实现手段。
7-2 计算流体动力学概述
一、What—什么是计算流体动力学？
时间域及空间域上连续物理量的场
时域及空间域离散化
基 本 思 想
有限个离散点上的变量值的集合
对每一个控制体积积分得出离散方程。 关键：在导出离散方程过程中，需要对界面上的被求函数本
身及其导数的分布作出某种形式的假定。
特点：用有限体积法导出的离散方程可以保证具有守恒特性， 而且离散方程系数物理意义明确，计算量相对较小。
7-2 计算流体动力学概述
三、HOW—计算流体动力学研究的一般方法
IV. 其他方法

7-2 计算流体动力学概述
二、Why—为什么研究计算流体动力学？
计算流体动力学研究特点：
CFD方法并不追求获得非线性流动问题的解析解，而
是应用数值方法找出满足工程需要的近似解 它不受物理模型和实验模型的限制，省钱省时，有较 多的灵活性，能给出详细和完整的资料，很容易模拟 特殊尺寸、高温、有毒、易燃等真实条件和实验中只 能接近而无法达到的理想条件 可利用计算机进行各种数值试验，例如，选择不同流 动参数进行物理方程中各项有效性和敏感性试验，从 而进行方案比较