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垂径定理最新中考试题讲解

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部编数学九年级上册专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型(解析版)含答案

专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型利用垂径定理求值【答案】2【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设OC=△中，由勾股定理得，在Rt COE【变式训练】【答案】45cm/4【分析】连接BO，延长22=，即可求解．BC OB OC-【详解】解：如图，连接=，由折叠得：CD CEQ D是OC的中点，\=，CD OD\==，CE CD OD2\==，4OC OE【答案】310【分析】由题意易得【详解】解：连接OD∵AB 是O e 的直径，AB ∴152OD OB AB ===，∵CD AB ^，6CD =，∴13,2DE CD DEO ==Ð∴22OE OD DE =-=垂径定理的实际应用【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O （O 在水面上方）为圆心的圆，且圆O 被水面截得的弦AB 长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（ ）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米【答案】D 【分析】过圆O 作OD AB ^于E ，如图所示，由垂径定理可知4AE BE ==，设圆的半径为r ，再利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：过圆O 作OD AB ^于E ，如图所示：Q 弦AB 长为8米，\4AE BE ==，Q 盛水桶在水面以下的最大深度为2米，设圆的半径为r ，在Rt AOE △中，90AEO Ð=°，OA r =，4AE =，2OE OD ED r =-=-，则由勾【答案】26【分析】连接AO ，依题意，得出222AO AC CO =+，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接∵1CD =，10AB =，AB ∴5AC =，设半径为r ，则AO r =在Rt AOC V 中，2AO =利用弧、弦、圆心角的关系求解A．AB OC=C．12ABC BOC Ð+Ð=【答案】D 【变式训练】【答案】80°/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出即可求出答案．Ð【详解】解：∵OBC半圆（直径）所对的圆周角是直角A．43【答案】B【分析】如图：连接AQ QB=，最后根据勾股定理即可解答．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．【变式训练】【答案】13【分析】连接BD ，先由三角形内角和定理求出求出30ABD Ð=°，即有【详解】解：连接BD∵在ABC V 中，55B Ð=∴60A Ð=°，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB CDB Ð=Ð=°Ð的度数；(1)求BAC(2)若点E为OB中点，CE 【答案】(1)45°(2)3590°的圆周角所对的弦是直径例题：（2023上·广东汕头DA DC =，2AB BC ==【答案】32【分析】连接AC ，过点角三角形，勾股定理求得∵90ADC Ð=°，∴AC 是直径，∴90ABC Ð=°【变式训练】1．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 点沿线段AD 由A 向D【答案】2p【分析】连接BD 交EF 于点1222OB OD BD ===，再由∵四边形ABCD 是正方形，∴4BC AB AD ===，EDO Ð∴242BD AB ==，【答案】90°Ð【分析】（1）由ABP （2）首先证明点P理求出OC即可得到则OP OA OB ==，\点P 在以AB 为直径的O e 在Rt BCO V 中，90OBC Ð=225OC BO BC \=+=，532PC OC OP =-=-=，已知圆内接四边形求角度【答案】102°【分析】根据圆内接四边形的性质得出【详解】解：∵四边形∴180A DCB Ð+Ð=°，又180DCE DCB Ð+Ð=°，∴102DCE A ÐÐ==°，故答案为102°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．【变式训练】【答案】40【分析】根据已知可得»»BCBD =56DAC BAC BAD Ð=Ð+Ð=°，再利用圆内接四边形对角互补以及平角的定义可得56DBE DAC Ð=Ð=°，继而利用角平分线定义及三角形内角和定理即可求解．(1)求证：A AEBÐ=Ð(2)若90Ð=°，点CEDC【答案】(1)见解析e的半径为25 (2)O一、单选题1．（2023上·河北张家口·九年级统考期末）O e 中的一段劣弧»AB 的度数为80o ，则AOB Ð=（ ）A ．10oB ．80oC ．170oD ．180o【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．【详解】解：Q O e 中的一段劣弧»AB 的度数为80°，80AOB \Ð=°，故选：B ．A ．32°B ．42【答案】A 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到小即可．【详解】解：∵50A Ð=°，∴50D A Ð=Ð=°，A ．10【答案】D∴12AH BH AB===在Rt BOHV中，OH∴线段OP长的最小值为A．105°B．110【答案】D【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求出求解．A ．1米B ．()35+米C ．3米【答案】D 【分析】连接OC 交AB 于D ，根据圆的性质和垂径定理可知理求得OD 的长，由CD OC OD =-即可求解．则OC AB ^，12AD BD AB ==在Rt OAD △中，3OA =，AD ∴225OD AO AD =-=，【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．【答案】120【分析】过O 点作OD AC ^AD CD =，根据三角形中位线定理可得由折叠可得：12OD OE ==∵AB 是直径，∴90ACB Ð=°，12OD BC =【答案】64°/64度【分析】根据在同圆中，Ð=Ð可推出AOC BOD【详解】解：Q»AE=【答案】3【分析】由圆的性质可得OA后根据中位线的性质即可解答．【答案】45【分析】连接AC ，如图所示，由直径所对的圆周角为直角可知及勾股定理求出AC 【详解】解：连接Q OC AB ^，AB =12AD BD AB \==在Rt AOD V 中，OA 420r \=，解得r【答案】4【分析】如图，连接CD直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．三、解答题e的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，11．（2023上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，O，．==28AE CD(1)求O e 的半径长；(2)连接 BC ，作OF BC ^【答案】(1)5(2)5在Rt OCE V 中，2OE ∴()22224R R -+=，解得5R =，∴O e 的半径长为5；(1)若这个输水管道有水部分的水面宽半径；OE AB ^Q ，11168cm 22BD AB \==´=(1)连接AD，求证：(2)若52,==CD AB 【答案】(1)详见解析；(2)6Ð相等吗？为什么？(1)BAFÐ和CAD^，垂足为(2)过圆心O作OH AB【答案】(1)相等，理由见解析(2)10【详解】（1）解：连接BF ，Q AF 是O e 的直径，90F BAF \Ð+Ð=°Q AC BD ^，\90CAD BDA Ð+Ð=°，Q F BDA Ð=Ð，\BAF CAD Ð=Ð．（2）解：OH AB ^Q ，AH BH \=，OA OF =Q ，210BF OH \==，BAF CAD Ð=ÐQ ，10CD BF \==．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等角的余角相等，圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质，垂径定理，掌握圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质以及垂径定理是解题的关键．15．（2023上·山东威海·九年级统考期末）【初识模型】如图1，在ABC V 中，,90AB AC BAC =Ð=°．点D 为BC 边上一点，以AD 为边作ADE V ，使=90DAE а，AE AD =，连接CE ，则CE 与BD 的数量关系是__________；【构建模型】如图2，ABC V 内接于,O BC e 为O e 的直径，AB AC =，点E 为弧AC 上一点，连接,,AE BE CE ．若3,9CE BE ==，求AE 的长；【运用模型】如图3，等边ABC V 内接于O e ，点E 为弧AC 上一点，连接,,AE BE CE ．若6,10CE BE ==，求AE 的长．【答案】（1）BD CE =；（2）32；（3）4【分析】（1）只需要利用SAS 证明BAD CAE V V ≌，即可证明BD CE =（2）如图所示，过点A 作AD AE ^交BE 于D ，由BC 是直径，得到明BAD CAE Ð=Ð，再证明45ADE AED Ð=Ð=°，得到AD AE =，即可证明2（3）如图所示，在BE 上取一点∵ABC V 是等边三角形，∴60AB AC ACB ==°，∠，∴60AEB ACB Ð=Ð=°，∴ADE V 是等边三角形，∴60AE DE DAE ==°=，∠∠∴BAC CAD DAE Ð-Ð=Ð-Ð【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

九年级数学 垂径定理 专题练习(含解析)

九年级数学 垂径定理 专题练习(含解析)

答案：B 解析：解答：：∵AB 是⊙O 的弦，OD⊥AB 于 D， ∴AD=BD=
1 AB（垂径定理）， 2
∴AB=2AD， 在 Rt△ADO 中，OD⊥AB 于 D，若 AO=10，OD=6， ∴AD= AO2 ‒ OD2 = 102 ‒ 62 = 8（勾股定理）； ∴AB=16． 故选 B． 分析：先根据勾股定理求出 AD 的长，再根据垂径定理求出 AB 的长． 8、 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 弦 CD⊥AB 于 点 E， 连 接 OC， 若 OC=5， CD=8， 则 tan∠COE=（ ） A．
11、 如 图 ， ⊙O 过 点 B、 C， 圆 心 O 在 等 腰 Rt△ABC 的 内 部 ， ∠BAC=90°， OA=1， BC=6．则⊙O 的半径为（ ） A．6 B．13 C． 13 D．2 13
答案：B 解析：解答：如图：
过 O 作 OC⊥AB 于 C， ∵OC 过圆心 O，AB=24， ∴AC=BC=
1 AB=12， 2
AO2 ‒ AC2 = 132 ‒ 122=5．
在 Rt△AOC 中，由勾股定理得：OC= 故选：B．
分析：过 O 作 OC⊥AB 于 C，根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OC 即可． 6、如图，⊙O 的半径为 2，弦 AB⊥OC 于 C，AB=2 3，则 OC 等于（ ） A．2 2 B. 3 C．1 D．2− 3
答案：B 解析：解答：如图：
连接 OA， ∵⊙O 的直径为 10， ∴OA=5， ∵圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 4， 由垂径定理知，点 M 是 AB 的中点，AM= 由勾股定理可得，AM=3，所以 AB=6． 故选 B． 分析：先根据垂径定理求出 AM=
1 AB， 2Байду номын сангаас

部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案

专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．1．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）A．50m B．45m C．40m D．60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．【解题过程】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC=12AB＝150，∴OC=200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．2．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米，⊙O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．米D ．(3+米【思路点拨】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得AD ＝BD =12AB ＝2（米），再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可．【解题过程】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：OA ＝OC ＝3米，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2（米），∠ADO ＝90°，∴OD ==∴CD＝OC﹣OD＝（3即点C到弦AB所在直线的距离是（3故选：C．3．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）A．53m B．2m C．83m D．3m【思路点拨】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．【解题过程】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5 3，∴该拱门的半径为53 m，故选：A．4．（2021秋•海淀区校级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【思路点拨】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解题过程】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．5．（2021秋•曾都区期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解题过程】解：连接OA．作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG＝3分米，因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（ ）A．3cm B．134cm C．154cm D．174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可．【解题过程】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15 4，即球的半径长是154cm，故选：C．7．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【思路点拨】连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形，得出AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，由切线的性质得出OE ⊥CD ，得出OE ⊥AB ，得出四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），进而得出EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，由勾股定理得出方程r 2＝82+（r ﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解题过程】解：如图，连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，∴AC ∥BD ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∴四边形ACDB 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，∴OE ⊥AB ，∴四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），∴EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．8．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为　400π　.（结果保留π）【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．9．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是　5　cm．【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE=12 BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE=12BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．10．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为　26　寸．【思路点拨】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解题过程】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．11．（2021秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝　10　m．【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解题过程】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．12．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为　7.5　cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【思路点拨】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．13．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为　26　米．【思路点拨】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN=12AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解题过程】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：则AN＝BN=12AB＝10（米），∠ONC＝∠DMN＝90°，∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14，解得：r=26ON=24 OM=10，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．14．（2021秋•金安区校级期末）往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD的长．【解题过程】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600＝300mm，∵⊙O的直径为680mm∴OB＝340mm…（5分）∵在Rt△ODB中，OD=160（mm），∴DC＝OC﹣OD＝340﹣160＝180（mm）；答：油的最大深度为180mm．15．（2021秋•惠城区校级期中）如图，⊙O为水管横截面，水面宽AB＝24cm，水的最大深度为18cm，求⊙O的半径．【思路点拨】由垂径定理可知AD＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝（18﹣r）cm，在Rt△AOd中，再利用勾股定理即可求出r的值．【解题过程】解：作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×24＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝ED﹣OE＝（18﹣r）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（18﹣r）2+122，解得：r＝13，即⊙O的半径为13cm.16．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，测得AB是8mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，求这个圆的直径．【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，由垂径定理得AC＝BC=12AB＝4（mm），设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，则AC＝BC=12AB＝4（mm），CD＝8mm，设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5mm，∴⊙O的直径为10mm．17．（2021秋•阜阳月考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．【思路点拨】设⊙O的半径为x寸．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（x﹣1）寸，OA＝x寸，则有x2＝（x﹣1）2+52，解方程即可．【解题过程】解：设⊙O的半径为x寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12AB＝5寸，在Rt△AOD中，OA＝x，OD＝x﹣1，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+52，解得x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），答：这块圆形木材的直径（AC）是26寸．18．（2021秋•高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【思路点拨】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径OD⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD=12AB＝16．设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OC＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．19．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN ＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解题过程】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．（2021秋•余干县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【思路点拨】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【解题过程】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC=12AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2=65（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF== 1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．21．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m 2.236）【思路点拨】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．【解题过程】解：（1）如图②中，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC＝CB＝0.9m，∴OC= 1.2（m），∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ＝JF＝1m，≈1.118，∴OJ=2∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），∵0.5＞0.082，∴搬运该桌子时能够通过拱门．22．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．。

初中垂径定理试题及答案

初中垂径定理试题及答案

初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。

A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。

A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。

A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。

答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。

答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。

答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。

7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。

答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。

根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。

四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。

答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。

要证明CM=MD。

由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。

根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。

数学九年级上册-垂径定理十大题型人教版解析版

数学九年级上册-垂径定理十大题型人教版解析版

专题24.3 垂径定理【十大题型】【人教版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (5)【题型3 利用垂径定理求最值】 (9)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (13)【题型5 利用垂径定理求整点】 (18)【题型6 利用垂径定理求面积】 (22)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (26)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (33)【题型10 垂径定理的应用】 (37)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于13点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2，则CD的长为（ ）A．1B．3C．2D．4【分析】由垂径定理得出AC＝BC＝4，连接BE，由∠CBE＝90°及CE长度求出BE＝6，在Rt△ABE中求出AE＝10，从而得出半径OA＝OD＝5，再在Rt△AOC中求出OC，从而得出答案．【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝BC＝4，如图，连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，13∵CE＝2，=CE2−BC2=(213)2−42=∴BE6，=AB2+BE2=82+62=则AE10，∴AO＝OD＝5，=AO2−AC2=52−42=在Rt△AOC中，OC3，则CD＝OD﹣OC＝2，故选：C．【变式1-1】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（ ）6282A．6B．C．8D．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O 的半径为10，AB ⊥CD ，垂足为P ，且AB ＝CD ＝16，∴∠FPE ＝90°，OB ＝10，BE ＝8，∴四边形OEPF 是矩形，OE ＝6，同理可得，OF ＝6，∴EP ＝6，∴OP ，=62+62=62故选：B ．【变式1-2】（2022•建华区二模）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，EB ＝1，∠AEC ＝30°，则CD 的长为（ ）A ．5B ．2C ．4D ．3222+3+1【分析】因为∠AED ＝30°，可过点O 作OF ⊥CD 于F ，构成直角三角形，先求得⊙O 的半径为3，进而求得OE ＝3﹣1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OFOE ＝1，再根据勾股定=12理求得DF 的长，然后由垂径定理求出CD 的长．【解答】解：过点O 作OF ⊥CD 于F ，连接DO ，∵AE ＝5，BE ＝1，∴AB ＝6，∴⊙O 的半径为3，∴OE ＝3﹣1＝2．∵∠AEC ＝30°，∴OF ＝1，2∴CF＝2，2∴CD＝2CF＝4，故选：C．【变式1-3】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA3交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为　2　．【分析】先证明△AFO和△BCE是等边三角形，设DE＝x，根据CD＝5列方程，求出x得到=3AD，从而得解．【解答】解：如图，记DC与⊙O交于点F，连接AF、OF、OB，过点C作CT⊥AB于点T，连接OE，OT．∵D为半径OA的中点，CD⊥OA，∴FD垂直平分AO，∴FA＝FO，又∵OA＝OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠OAF＝∠AOF＝∠AFO＝60°，∵CE＝CB，CT⊥EB，∴ET＝TB，∵BE＝2AE，∴AE＝ET＝BT，∵AD＝OD，∴DE∥OT，∴∠AOT＝∠ADE＝90°，∴OE＝AE＝ET，∵OA＝OB，∴∠OAE＝∠OBT，∵AO＝BO，AE＝BT，∴△AOE≌△BOT（SAS），∴OE＝OT，∴OE＝OT＝ET，∴∠ETO＝60°，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AED＝∠CEB＝60°，∴△CEB是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，设DE＝x，∴AE＝2x，BE＝CE＝4x，∴CD＝5x＝5，∴x＝1，=3∴AD，3∴AO＝2．3故答案为：2．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（ ）A ．15°或75°B ．20°或70°C ．20°D ．30°【分析】设圆的半径是r ，作直径BD ，作BC 关于直径BD 的对称线段BE ，连接EC ，BE ，ED ，AC ，再由直角三角形的性质即可解答．【解答】解：如图，设圆的半径是r ，则AO ＝r ，BO ＝r ，作直径BD ，作BC ⊙O 的弦BC ，使∠DBC ＝30°，作BC 关于直径BD 的对称线段BE ，连接EC ，BE ，ED ，AC ，直角△BED 中，可以得∠EBD ＝30°，∵线段BE 与线段BC 关于直线BD 对称，∴BC ＝BE ，∴BD 垂直平分线段CE ，∴，DE =CD ∴∠CBD ＝30°而∠BCA ∠AOB ＝45°．=12在△ABC 中，∠OAC ＝180°﹣∠ABO ﹣∠CBD ﹣∠ACB ﹣∠BAO ＝15°．同理，当E 为C 时，∠OAC ＝75°．故∠OAC 的度数为15°或75°．故选：A ．【变式2-1】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O 半径OA ＝4，点B 为圆上的一点，点C 为劣弧上AB的一动点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，连接DE ，要使DE 取得最大值，则∠AOB 等于（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°【分析】如图，延长CD 交⊙O 于P ，延长CE 交⊙O 于T ，连接PT ．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE PT ，当PT 是直径时，DE 的长最大，再证明∠AOB ＝90°，即可解决问题．=12【解答】解：如图，延长CD 交⊙O 于P ，延长CE 交⊙O 于T ，连接PT ．∵OA ⊥PC ，OB ⊥CT ，∴CD ＝DP ，CE ＝TE ，∴DE PT ，=12∴当PT 是直径时，DE 的长最大，连接OC ，∵OP ＝OC ＝OT ，OD ⊥PC ，OE ⊥CT ，∴∠COD ＝∠POA ，∠COB ＝∠BOT ，∴∠AOB ＝∠COA +∠COB∠POT ＝90°，=12故选：B ．【变式2-2】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O 中，半径OC 过弦AB 的中点E ，OC ＝2，OE ．=2（1）求弦AB 的长；（2）求∠CAB 的度数．【分析】（1）连接OB ，先由垂径定理得OC ⊥AB ，AE ＝BE ，OB ＝OC ＝2，再由勾股定理求出BE ，即可求解；=2（2）先证△BOE 是等腰直角三角形，得∠BOC ＝45°，再由圆周角定理即可求解．【解答】解：（1）连接OB ，如图所示：∵半径OC 过弦AB 的中点E ，∴OC ⊥AB ，AE ＝BE ，OB ＝OC ＝2，∴BE ，=OB 2−OE 2=22−(2)2=2∴AB ＝2BE ＝2；2（2）由（1）得：BE ＝OE ，OC ⊥AB ，∴△BOE 是等腰直角三角形，∴∠BOC ＝45°，∴∠CAB ∠BOC ＝22.5°．=12【变式2-3】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O 中，弦BC 与半径OA 垂直于点D ，连接AB 、AC ．点E 为AC 的中点，连接DE ．（1）若AB ＝6，求DE 的长；（2）若∠BAC ＝100°，求∠CDE 的度数．【分析】（1）根据垂径定理得到，则AC ＝AB ＝6，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得AB =AC 到DE 的长；（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和计算出∠C ＝40°，然后利用ED ＝EC 得到∠CDE ＝∠C ＝40°．【解答】解：（1）∵BC ⊥OA ，∴，∠ADC ＝90°，AB =AC ∴AC ＝AB ＝6，∵点E 为AC 的中点，∴DE AC ＝3；=12（2）∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠BAC ＝100°，∴∠C （180°﹣100°）＝40°，=12∵点E 为AC 的中点，∴ED ＝EC ，∴∠CDE ＝∠C ＝40°．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O 中，点C 为弦AB 上一点，AB ＝1，CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，则线段CD 的最大值是（ ）A ．B ．1C ．D ．21232【分析】因为CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，连接OD ，△OCD 是直角三角形，则CD ，因为半=OD 2−OC 2径OD 是定值，当OC 取得最小值时线段CD 取得最大值．【解答】解：连接OD ，∵CD ⊥OC 交⊙O 于点D ，∴△OCD 是直角三角形，根据勾股定理得CD ，=OD 2−OC 2∵半径OD 是定值，∴当OC ⊥AB 时，线段OC 最小，此时D 与B 重合，CD ，=OB 2−OC 2∵OC ⊥AB ，∴AC ＝BC AB ，=12=12∴CD BC ．=OB 2−OC 2==12故选：A ．【变式3-1】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB 交AB 于点D ．且OD ＝DC ．P为⊙O 上任意一点，连接PA ，PB ，若⊙O 的半径为1，则 S △PAB 的最大值为（ ）A ．1B ．C ．D ．233334332【分析】连接OA ，如图，利用垂径定理得到AD ＝BD ，，再根据OD ＝DC 可得到ODOA AC =BC =12，所以AD ，由勾股定理，则AB ．△PAB 底AB 不变，当高越大时面积越大，即P 点到=12=32=3AB 距离最大时，△APB 的面积最大．则当点P 为AB 所在优弧的中点时，此时PD ＝PO +OD ＝1，△APB 的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．+12=32【解答】解：连接OA ，如图，∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ，∵OD ＝DC ，∴OD OA ，=12=12∴AD ，AB ＝2AD ．=OA 2−OD 2=32=3当点P 为AB 所对的优弧的中点时，△APB 的面积最大，此时PD ＝PO +OD ＝1．+12=32∴△APB 的面积的最大值为．=12AB ⋅PD =12×3×32=334故选：C ．【变式3-2】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD 中，AB ＝20，AD ＝15，P ，Q 分别是AB ，AD 边上的动点，PQ ＝16，以PQ 为直径的⊙O 与BD 交于点M ，N ，则MN 的最大值为 8　．3【分析】过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，先利用勾股定理计算出BD ＝25，则利用面积法可计算出AH ＝36，再证明点O 在AH 上时，OH 最短，此时HM 有最大值，最大值为4，然后根据垂3径定理可判断MN 的最大值．【解答】解：过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，在Rt △ABD 中，BD 25，=AB 2+AD 2=202+152=∵AH ×BDAD ×AB ，12×=12×∴AH 12，=20×1525=∵⊙O 的直径为16，∴⊙O 的半径为8，∴点O 在AH 上时，OH 最短，∵HM ，=OM 2−OH 2∴此时HM 有最大值，OH ＝AH ﹣OA ＝4，则最大值为4，82−42=3∵OH ⊥MN ，∴MN ＝2MH ，∴MN 的最大值为2×48．3=3故答案为：8．3【变式3-3】（2022秋•延平区校级期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，D 、E 分别是AC 、BC 上的一点，且DE ＝3，若以DE 为直径的圆与斜边AB 相交于M 、N ，则MN 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．9106585125【分析】由题意可知，C 、O 、G 三点在一条直线上OG 最小，MN 最大，再由勾股定理求得AB ，然后由三角形面积求得CF ，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN 的最大值．【解答】解：过O 作OG ⊥AB 于G ，连接OC 、OM ，∵DE ＝3，∠ACB ＝90°，OD ＝OE ，∴OC DE ，=12=32只有C 、O 、G 三点在一条直线上OG 最小，∵OM ，=32∴只有OG 最小，GM 才能最大，从而MN 有最大值，过C 作CF ⊥AB 于F ，∴G 和F 重合时，MN 有最大值，∵∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB 5，=BC 2+AC 2=32+42=∵AC •BC AB •CF ，12=12∴CF ，=AC ×BC AB =4×35=125∴OG ＝CF ﹣OC，=125−32=910∴MG ，=OM 2−OG 2=(32)2−(910)2=65∴MN ＝2MG，=125故选：D ．【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8．点F 是弧BC 上动点，且与点B 、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m ＝PC +PF ，则m 的取值范围是（ ）A ．8＜m ≤4B ．4m ≤10C ．8＜m ≤10D ．6＜m ＜1055＜【分析】连接PD ，DF ，OC ，BD ，利用垂径定理可得AB 是CD 的垂直平分线，则PC ＝PD ；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式PD +PF ≥DF （当D ，P ，F 在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．【解答】解：连接PD ，DF ，OC ，BD ，如图，∵CD ⊥AB ，BA 为⊙O 的直径，∴CE ＝EDCD ＝4，=12∵OC AB ＝5，=12∴OE 3，=OC 2−CE 2=∴BE ＝OE +OB ＝8．∴BD 4．=BE 2+DE 2=5∵P 是直径AB 上的动点，CD ⊥AB ，∴AB 是CD 的垂直平分线，∴PC ＝PD ．∵m ＝PC +PF ，∴m ＝PD +PF ，由图形可知：PD +PF ≥DF （当D ，P ，F 在一条直线上时取等号），∵点F 是弧BC 上动点，且与点B 、C 不重合，∴DC ＜DF ≤直径，∴8＜m ≤10．故选：C ．【变式4-1】（2022•佛山）如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB ＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OB ，由垂径定理可知AE ＝BEAB ，再根据勾股定理求出=12OE 的长，由此可得出结论．【解答】解：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OB ，∵AB ＝8cm ，∴AE ＝BE AB 8＝4cm ，=12=12×∵⊙O 的直径为10cm ，∴OB 10＝5cm ，=12×∴OE 3cm ，=OB 2−BE 2=52−42=∵垂线段最短，半径最长，∴3cm ≤OP ≤5cm ．【变式4-2】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P 是⊙O 内一定点．（1）过点P 作弦AB ，使点P 是AB 的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O 的半径为13，OP ＝5，①求过点P 的弦的长度m 范围；②过点P 的弦中，长度为整数的弦有 4　条．【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可；（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB＝24，即可得出答案；②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OP并延长，过点P作AB⊥OP，则弦AB即为所求；（2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，连接OA，如图2所示：∵OP⊥AB，=OA2−OP2=132−52=∴AP＝BP12，∴AB＝2AP＝24，∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②∵过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，∴长度为25的弦有两条，∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条，故答案为：4．【变式4-3】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【分析】（1）连接OA，根据勾股定理求出AH，根据垂径定理得出即可；（2）求出HC和HD的值，结合图形得出即可；（3）先找出符合条件时的位置，求出三角形的高和底边，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：（1）连接OA，如图1，∵点O到弦AB的距离OH＝3，∴AB⊥OC，∴∠OHA＝90°，AB＝2AH，在Rt△AHO中，OA＝5，OH＝3，由勾股定理得：AH＝4，∴AB＝2AH＝8；（2）延长CO 交⊙O 于D ，如图2，∵CH ＝5﹣3＝2，HD ＝5+3＝8，∴点P 只有两个时d 的取值范围是2＜d ＜8；（3）如图3，∵CH ＝5﹣3＝2，HD ＝5+3＝8，∴点P 有且只有三个时，d ＝2，如图，P 在C 、E 、F 处，连接OE ，∵OC ⊥AB ，AB ∥EF ，∴OC ⊥EF ，∴EF ＝2EM ，∵OE ＝5，OM ＝5﹣2﹣2＝1，CM ＝2+2＝4，∴由勾股定理得：EM 2；=52−12=6∴EF ＝2EM ＝4，6∴S △CEF EF ×CM 44＝8=12×=12×6×6即点P 有且只有三个时，连接这三个点所得到的三角形的面积是8．6【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O 的直径CD ＝10，CD 与⊙O 的弦AB 垂直，垂足为M ，且AM ＝4.8，则直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有（ ）A ．1个B ．3个C ．6个D ．7个【分析】利用勾股定理得出线段AD 和AC 的长，根据垂线段的性质结合图形判断即可．【解答】解：∵CD 是直径，∴OC ＝OD CD 10＝5，=12=12×∵AB ⊥CD ，∴∠AMC ＝∠AMD ＝90°，∵AM ＝4.8，∴OM 1.4，=52−4．82=∴CM ＝5+1.4＝6.4，MD ＝5﹣1.4＝3.6，∴AC 8，AD 6，=4．82+6．42==4．82+3．62=∵AM ＝4.8，∴A 点到线段MD 的最小距离为4.8，最大距离为6，则A 点到线段MD 的整数距离有5，6，A 点到线段MC 的最小距离为4.8，最大距离为8，则A 点到线段MC 的整数距离有5，6，7，8，直径CD 上的点（包含端点）与A 点的距离为整数的点有6个，故选：C ．【变式5-1】（2022秋•新昌县期末）如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，连接OB ，点P 是半径OB 上任意一点，连接AP ，若OB ＝5，OC ＝3，则AP 的长不可能是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【分析】首先利用勾股定理得出AC 的长，求出AB 长，再利用三角形边之间的关系进而得出AO≤AP≤AB，即可得出答案．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB于点C，OB＝5，OC＝3，=52−32=∴BC4，∴AB＝2×4＝8，∵AO≤AP≤AB，∴5≤AP≤8，∴AP的长度不可能是：9（答案不唯一）．故选：D．【变式5-2】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是　3　，⊙C 上的整数点有　12　个．【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO＝BO＝4，根据勾股定理求出OC，再得出答案即可．【解答】解：过C作直径UL∥x轴，连接CA ，则AC 10＝5，=12×∵MN 过圆心C ，MN ⊥AB ，AB ＝8，∴AO ＝BO ＝4，∠AOC ＝90°，由勾股定理得：CO 3，=AC 2−OC 2=52−42=∴ON ＝5﹣3＝2，OM ＝5+3＝8，即A （﹣4，0），B （4，0），M （0，8），N （0，﹣2），同理还有弦QR ＝AB ＝8，弦WE ＝TS ＝6，且WE 、TS 、QR 都平行于x 轴，Q （﹣4，6），R （4，6），W （﹣3，7），E （3，7），T （﹣3，﹣1），S （3，﹣1），U （﹣5，3），L （5，3），即共12个点，故答案为：3；12．【变式5-3】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3，则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】过O 点作OC ⊥AB ，交⊙O 于P ，由OC ＝3，OA ＝5，得到PC ＝2，即点P 到直线AB 的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，则还有两个点M ，N 到直线AB 的距离为3．【解答】解：过O 点作OC ⊥AB ，交⊙O 于P ，如图，∴OC ＝3，而OA ＝5，∴PC ＝2，即点P 到直线AB 的距离为2；在直线的另一边，圆上的点到直线的最远距离为8，而圆为对称图形，∴在直线AB 的这边，还有两个点M ，N 到直线AB 的距离为2．故选：B ．【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O 中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（ ）A ．B ．1C ．D ．23222【分析】连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，则△AOB 、△COD 分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到AB 、CD 长；再过点O 作OH ⊥EF 于点H ，根据垂径定理可得EF ＝2EH ，∠EOH ＝∠FOH ＝60°，根据锐角三角形函数可求出FH ，进而可得EF ；再根据AB 2+CD 2＝EF 2可判断以AB 、CD 、EF 为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．【解答】解：如图，连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，则∠AOB ＝60°，∠COD ＝90°，∠EOF ＝120°，在Rt △COD 中，CD ．=12+12=2∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝1，过点O 作OH ⊥EF 于点H ，则EF ＝2EH ，∠EOH ＝∠FOH ＝60°，∴FH ＝1．×32=32∴EF ＝2FH ．=3∵，即AB 2+CD 2＝EF 2，12+(2)2=(3)2∴以AB 、CD 、EF 为边的三角形为直角三角形，∴其面积为：．12×2×1=22故选：D ．【变式6-1】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH 的四个顶点都在⊙O 上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD ，若BD ＝12，DF ＝4，则菱形ABCD 的面积为　96　．【分析】先连接OH ，根据BD ＝12得出OD 长，那么可得到圆的半径为OD +DF ，利用三角形全等可得菱形边长等于圆的半径，再根据勾股定理求出OA 的长，由S 菱形ABCD ＝4S △AOD 即可得出结论．【解答】解：如图：连接OH ，∵BD ＝12，DF ＝4∴⊙O 的半径r ＝OD +DFBD +DF 12+4＝10，=12=12×∴OH ＝10在Rt △HOD 与Rt △ADO 中，OD ＝OD ，AO ＝HD ，∠AOD ＝∠HDO ＝90°∴△AOD ≌△GDO ，∴OH ＝AD ＝10，在Rt △AOD 中，∵AD ＝10，OD ＝6，∴OA 8，=AD 2−OD 2=102−62=∴S 菱形ABCD ＝4S △AOD ＝46×8＝96．×12×故答案为：96．【变式6-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB 为⊙O 直径，过点O 作OD ⊥BC 于点E ，交⊙O 于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB ＝6，求四边形CAOD的面积．【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及垂径定理证明即可；（2）根据平行四边形的判定和勾股定理解答即可．【解答】证明：（1）在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ，∴CE ＝BE ，∵CD ∥AB ，∴∠DCE ＝∠B ，在△DCE 与△OBE 中，{∠DCE =∠B CE =BE∠CED =∠BEO ∴△DCE ≌△OBE （ASA ），∴DE＝OE，∴E是OD的中点；（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC，∴∠CED＝90°＝∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC＝CD，∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，∴在Rt△CDE中，CD＝2DE，∵BC＝6，∴CE＝BE＝3，∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，=33∴DE，CD＝2，3∴OD＝CD＝2，3∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝6．【变式6-3】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．125π4275π4125π9275π9【分析】利用垂径定理和勾股定理建立方程求出ON ，再求出半径后，根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解答】解：如图，连接OA 、OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，MO 的延长线于AB 延长线交于N ，则四边形BCMN 是矩形，∵OM ⊥CD ，CD 是弦，∴CM ＝DM CD ＝1＝BN ，=12∴AN ＝AB +BN ＝4+1＝5，设ON ＝x ，则OM ＝8﹣x ，在Rt △AON 、Rt △COM 中，由勾股定理得，OA 2＝AN 2+ON 2，OC 2＝OM 2+CM 2，∵OA ＝OC ，∴AN 2+ON 2＝OM 2+CM 2，即52+x 2＝（8﹣x ）2+12，解得x，=52即ON ，=52∴OA 2＝52+（）2，52=1254∴S ⊙O ＝π×OA2π，=1254故选：A ．【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【分析】连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．【解答】解：如图所示，连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心．∵点A的坐标为（0，4），∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）．故选：C．【变式7-1】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【分析】根据同圆的半径相等可得点P的坐标．【解答】解：由图形可知：⊙P上的格点坐标为（4，2）．【变式7-2】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C 同时也在上，若点P 是的一个动点，则△ABP 面积的最大值是 88　AB BC 5−．【分析】作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AB AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，利用勾股定理得到r 2＝x 2+42①，r 2＝（x +2）2+22②，则利用②﹣①可求出得x ＝2，所以r ＝2，DE ＝22，然后根据55−三角形面积公式，点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值．【解答】解：作AB 的垂直平分线交AB 于D ，交于E ，圆心为0，则点O 在DE 上，连接AB AE 、BE ，CF ⊥OE 于F ，如图，设⊙O 的半径为r ，OD ＝x ，在Rt △BOD 中，r 2＝x 2+42①，在Rt △OCF 中，r 2＝（x +2）2+22②，②﹣①得4+4x +4﹣16＝0，解得x ＝2，∴OD ＝2，∴r 2，=22+42=5∴DE ＝OE ﹣OD ＝22，5−∵点P 是的一个动点，BC ∴点P 点与点E 重合时，△ABP 面积的最大值，最大值为8×（22）＝88．12×5−5−故答案为：88．5−【变式7-3】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为　（2，1）　；13（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为 ，∠ADC的度数为　90°　．【分析】（1）利用网格特点，作AB和BC的垂直平分线，然后根据垂径的推论可判定它们的交点为D点，从而得到D点坐标；（2）先利用勾股定理计算出DA、DC、AC，然后利用勾股定理的逆定理证明∠ADC的度数为90°．【解答】解：（1）如图，点D为所作，D点坐标为（2，1）；=22+32=13=22+32=13=12+52=26（2）AD，CD，AC，∵DA2+DC2＝AC2，∴△ADC为直角三角形，∠ADC＝90°，13即⊙D的半径为，∠ADC的度数为90°．13故答案为（2，1）；，90°．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（ ）(4−26，0)(−4+26，0)(−4+26，0)(4−26，0)A．B．C．D．【分析】过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，根据垂径定理得到CF＝DF，AH＝BH＝3，所以OH＝1，再利用勾股定理计算出EH＝4，则EF＝1，OF＝4，接着利用勾股定理计算出FD，然后计算出OD，从而得到D点坐标．【解答】解：过O点作EH⊥AB于H，EF⊥CD于F，连接ED，如图，则CF＝DF，AH＝BH∵A（0，﹣2），B（0，4），∴AB＝6，∴BH＝3，∴OH＝1，=EB2−BH2=52−32=在Rt△BHE中，EH4，∵四边形EHOF为矩形，∴EF＝OH＝1，OF＝EH＝4，=DE2−EF2=52−12=6在Rt△OEF中，FD2，6−∴OD＝FD﹣OF＝24，6−∴D（24，0）．故选：B．【变式8-1】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P 与y 轴交于点M （0，﹣4），N （0，﹣10），圆心P 的横坐标为﹣4．则⊙P 的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，由垂径定理得DM ＝3，在Rt △PMD 中，由勾股定理可求得PM 为5即可．【解答】解：过点P 作PD ⊥MN ，连接PM ，如图所示：∵⊙P 与y 轴交于M （0，﹣4），N （0，﹣10）两点，∴OM ＝4，ON ＝10，∴MN ＝6，∵PD ⊥MN ，∴DM ＝DNMN ＝3，=12∴OD ＝7，∵点P 的横坐标为﹣4，即PD ＝4，∴PM 5，=PD 2+DM 2=42+32=即⊙P 的半径为5，故选：C ．【变式8-2】（2022•印江县三模）如图，直线l 为y ＝x ，过点A 1（1，0）作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x 轴于点A 3；…，按此作法进行下去，则点A 2022的坐标为 （（）2021，0）　．2=2=2【分析】利用直线y＝x平分第一、三象限，则B1（1，1），由于OA2＝OB1OA1，OA3＝OB2 =222OA2＝（）2，依此变化规律得到OA2022＝（）2021，从而得到点A2022的坐标．【解答】解：∵A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线y＝x交于点B1，∴OA1＝1，B1（1，1），∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，=2=2∴OA2＝OB1OA1，∵以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3，=2=2×2=2∴OA3＝OB2OA2（）2，2同理可得OA4＝（）3，•••2∴OA2022＝（）2021，2∴点A2022的坐标为（（）2021，0）．2故答案为：（（）2021，0）．【变式8-3】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y＝﹣2x+m图象过点P，则m＝　﹣15　．【分析】过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM，由点M（0，﹣4），N（0，﹣10）得MN＝6，所以ME＝NE＝3，得E（0，﹣7），由勾股定理得PE＝4，故P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得m．【解答】解：过P点作PE⊥ON交y轴于点E，连接PM，∵点M（0，﹣4），N（0，﹣10），∴MN＝6，∴ME＝NE＝3，∴E（0，﹣7），∵PM＝5，=52−32=∴PE4，∵点P在第三象限，∴P（﹣4，﹣7），代入y＝﹣2x+m得，m＝﹣15，故答案为：﹣15．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（ ）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【分析】分两种情况考虑：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，利用垂径定理得到E、F分别为AB、CD的中点，分别求出OE 与OF，由OE+OF即可得到EF的长；当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，过O 作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE与OF，由OE﹣OF即可求出EF的长．【解答】解：当圆心位于AB与CD之间时，连接OA，OC，如图1所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，∴E、F分别为AB、CD的中点，∴AE＝6cm，CF＝8cm，在Rt△AOE中，OA＝10cm，AE＝6cm，根据勾股定理得：OE＝8cm，在Rt△COF中，OC＝10cm，CF＝8cm，根据勾股定理得到OF＝6cm，此时AB和CD的距离EF＝8+6＝14cm；当圆心在AB与CD一侧时，连接OA，OC，如图2所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，同理求出OE＝8cm，OF＝6cm，此时AB和CD的距离EF＝8﹣6＝2cm，综上，AB和CD的距离为2cm或14cm．故选：C．【变式9-1】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（ ）A．1B．7C．8或1D．7或1【分析】连接OB，OC1，过O作OE⊥CD，OF⊥AB，则四边形EDFO是矩形，根据矩形的性质得到=52−42=OE＝DF，OF＝DE，根据勾股定理得到BF3，得到OE＝DF＝3，由勾股定理得到C1E=52−32=4，于是得到结论．【解答】解：如图，连接OB，OC1，过O作OE⊥CD，OF⊥AB，则四边形EDFO是矩形，∴OE＝DF，OF＝DE，∵圆O的半径为5，弦AB＝8，∴AF＝BF＝4，=52−42=∴BF3，∵AD＝1，∴DF＝3，∴OE ＝DF ＝3，∴C 1E 4，=52−32=∴C 2E ＝4，∴C 1D ＝7，C 2D ＝1，∴CD 长为7或1，故选：D ．【变式9-2】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O 的弦AB 与半径OC 垂直，点D 为垂足，OD ＝DC ，AB ＝2，点E 在⊙O 上，∠EOA ＝30°，则△EOC 的面积为　1或2　．3【分析】设⊙O 的半径为x （x ＞0），则OD ＝DC x ，根据垂径定理可知AD ，在Rt △ADO 中=12=3利用勾股定理即可求出x 值，再分点E 在外和点E 在上两种情况考虑△EOC 的面积，当点E 在AC AC 外时，通过角的计算可得出∠COE ＝90°，利用三角形的面积公式即可求出S △EOC 的值；当点E 在AC 上时，过点E 作EF ⊥OC 于点F ，通过角的计算可得出∠COE ＝30°，由此可得出EF 的长度，利用AC 三角形的面积公式即可求出S △EOC 的值．综上即可得出结论．【解答】解：依照题意画出图形，连接OA ．设⊙O 的半径为x （x ＞0），则OD ＝DCx ．=12∵OC ⊥AB 于点D ，∴∠ADO ＝90°，AD ＝DB AB ．=12=3在Rt △ADO 中，AO ＝x ，OD x ，AD ，=12=3∴∠OAD ＝30°，∠AOD ＝60°，AD x ，=AO 2−OD 2=32=3解得：x ＝2．当点E 在外时，∠COE ＝∠AOD +∠EOA ＝90°，AC ∴S △EOC EO •OC ＝2；=12当点E 在上时，过点E 作EF ⊥OC 于点F ，AC ∵∠COE ＝∠AOD ﹣∠EOA ＝30°，∴EF OE ＝1，=12∴S △EOC OC •EF ＝1．=12综上可知：△EOC 的面积为1或2．故答案为：1或2．【变式9-3】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O 的半径为2．弦AB 的长度为2，点C 是⊙O 上一动点，若△ABC 为等腰三角形，则BC 2的长为 8或12或4　．±43【分析】当△ABC 为等腰三角形时，分两种情况：①如图1，AC ＝BC ，在AB 的两侧各有一个符合条件的点C ，根据勾股定理可得结论；②如图2，当AB ＝AC 时，连接OC 3，AO ，AO 交BC 3于E ，则BE ＝C 3E ，根据直角三角形30度的性质和勾股定理，垂径定理可得结论．【解答】解：当△ABC 为等腰三角形时，分以下两种情况：①如图1，以AB 为底边时，AC ＝BC ，连接C 1C 2，AO ，则C 1C 2过圆心O ，∴C 1C 2⊥AB ，∴AD AB ＝1，=12∵OA ＝2，∴OD ，=22−12=3∴C 1D ＝2，C 2D ＝2，+3−3∴BC 128+4，BC 228﹣4；=(2+3)2+12=3=(2−3)2+12=3②如图2，以AB 为腰时，AB ＝AC 3＝BC 4＝2，连接OC 3，AO ，AO 交BC 3于E ，则BE ＝C 3E ，BC 42＝4，∵OC 3＝AO ＝AC 3＝2，∴△AC 3O 是等边三角形，∴∠EOC 3＝60°，∴∠OC 3E ＝30°，∴C 3E ，=3∴BC 3＝2，3∴BC 32＝（2）2＝12，3综上，BC 2＝8或12或4．±43故答案为：8或12或4．±43【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m ，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（ ）A ．16mB ．20mC ．24mD ．28m【分析】设圆弧形拱桥的圆心为O ，跨度为AB ，拱高为CD ，连接OA 、OD ，设拱桥的半径为R 米，由垂径定理得AD AB ＝12（米），再由勾股定理得出方程，解方程即可．=12【解答】解：设圆弧形拱桥的圆心为O ，跨度为AB ，拱高为CD ，连接OA 、OD ，如图：设拱桥的半径为R 米，由题意得：OD ⊥AB ，CD ＝4米，AB ＝24米，则AD ＝BD AB ＝12（米），OD ＝（R ﹣4）米，=12在Rt △AOD 中，由勾股定理得：R 2＝122+（R ﹣4）2，解得：R ＝20，即桥拱的半径R 为20m ，故选：B ．【变式10-1】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（ ）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【分析】设⊙O的半径为r寸．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解方程即可；【解答】解：设⊙O的半径为r寸．在Rt△ADO中，AD＝5，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：C．【变式10-2】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为　12　分钟．【分析】先求摩天轮转动的角速度为＝20°/分，再求出OC ＝OD ﹣CD ＝22（米），则OCOB ，得=12∠OBC ＝30°，然后求出最佳观赏位置的圆心角为240°，即可求解．【解答】解：如图所示：摩天轮转动的角速度为：360°÷18分＝20°/分，由题意得：AD ⊥BC ，AD ＝88米，AM ＝100米，CM ＝BN ＝34米，则OB ＝OD ＝44（米），DM ＝AM ﹣AD ＝12（米），∴CD ＝CM ﹣DM ＝34﹣12＝22（米），∴OC ＝OD ﹣CD ＝22（米），∴OC OB ，=12∵∠OCB ＝90°，∴∠OBC ＝30°，∴∠BOC ＝90°﹣30°＝60°，∴∠AOB ＝180°﹣∠BOC ＝120°，∴最佳观赏位置的圆心角为2×120°＝240°，∴在运行的一圈里最佳观赏时长为：240°÷20°/分＝12（分钟），故答案为：12．【变式10-3】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A ，B 是圆上的点，O 为圆心，∠AOB ＝120°，从A 到B 只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路ABAB ．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了 15　步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据： 1.732，π取3.142）3≈【分析】作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC ＝BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ＝30°，则OC ＝10，AC ＝10，所以AB ≈69（步），然后利用弧长公式计算出的长，3AB 最后求它们的差即可．【解答】解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC ＝BC ，∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B （180°﹣∠AOB ）（180°﹣120°）＝30°，=12=12在Rt △AOC 中，OC OA ＝10，AC OC ＝10，=12=33∴AB ＝2AC ＝2069（步）；3≈而的长84（步），AB =120⋅π⋅20180≈的长与AB 的长多15步．AB 所以这些市民其实仅仅少走了 15步．故答案为15．。

垂径定理专题备战2023年中考数学考点微专题

垂径定理专题备战2023年中考数学考点微专题

考向4.8 垂径定理专题例（2020·浙江衢州·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，连结OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD=∠CBA．（2）求OE的长．（1）证明：∵AE=DE，OC是半径，∴AC CD=，∴∠CAD=∠CBA；（2）解：如图：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AE=DE，∴OC⊥AD，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ACB，∴△AEC∽△BCA，∴CE AC AC AB=，∴6 610 CE=，∴CE=3.6，∵OC=12AB=5，∴OE=OC﹣EC=5﹣3.6=1.4．1、垂径定理是中考必考题，在填空、选择及大题中都要出现，理解并掌握其半径和弦的在位置关系垂直的前提下理解其数量关系。

2、本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，证明△AEC∽△BCA是解题关键．1、垂径定理的理解：垂直定理是指在弦与半（直径）垂直的前提下形成的数量关系；2、涉及的知识点有：勾股定理、面积问题、相似、全等、等腰三角形的“三线合一”、圆周角与圆心角关系等等；3、涉及到的数学思想：方程思想、转化思想等等；一、单选题1．（2021·广东增城·一模）如图，AB是半圆O的直径，AC，BC是弦，OD⊥AC于点D，若OD＝1.5，则BC等于（）A．1.5 B．2 C．3 D．4.52．（2021·湖北黄冈·一模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．965πD．39105π3．（2021·黑龙江香坊·一模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A7B．7C．6 D．84．（2021·河南安阳·模拟预测）如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），下列符合条件的OP的值是（）A ．6.5B ．5.5C ．3.5D ．2.55．（2021·全国·模拟预测）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，AB CD ⊥于E ，下列说法错误的是（ ）A ．CE DE =B ．AC AD = C ．OE BE = D ．2∠=∠COB BAD 6．（2021·四川·成都市树德实验中学二模）如图，在半径为5的O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EC EB 、．若2CD =，则EC 的长为（ ）A ．215B ．8C ．210D ．213二、填空题 7．（2021·黑龙江香坊·三模）△ABC 为半径为5的⊙O 的内接三角形，若弦BC =8，AB =AC ，则点A 到BC 的距离为_____．8．（2021·西藏日喀则·二模）如图，已知⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠ACD=22.5°，若CD=6cm ，则AB 的长为_____cm ．9．（2021·湖北咸宁·一模）如图，30PAC ∠=︒，在射线AC 上顺次截取3AD cm =，10DB cm =，以DB 为直径作O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是__________cm ．10．（2021·上海崇明·一模）如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的弧与x 轴交于A 、B 两点，已知点P 的坐标为()1,y ，点A 的坐标为()1,0-，那么点B 的坐标为___________．11．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学一模）如图将⊙O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB 的长为_______．12．（2021·江苏·南通田家炳中学二模）AB 是O 的弦，OM AB ⊥，垂足为M ，连接OA ．若60AOM ∠=︒，3OM =，则弦AB 的长为______．三、解答题13．（2021·河南·一模）已知如图，O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，15A ∠=︒，半径为2，则弦CD 的长为多少？14．（2021·河北承德·一模）如图，△ABC 中，AB=AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长交边AC 于点D ．（1）求证：∠BAC=2∠ABD ；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小．一、填空题1．（2021·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为4，圆心O 到弦AB 的距离为2，则AOC ∠的度数为______．2．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为________ ． 3．（2021·四川阿坝·中考真题）如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥于点H ，若10AB =，8CD =，则OH 的长度为__．4．（2020·江苏南通·中考真题）已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB 的长为10cm ，则圆心O 到AB 的距离为_____cm ．5．（2021·辽宁朝阳·中考真题）已知⊙O 的半径是7，AB 是⊙O 的弦，且AB 的长为73，则弦AB 所对的圆周角的度数为__________．6．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，⊙O 的直径AB ＝4，P 为⊙O 上的动点，连结AP ，Q 为AP 的中点，若点P 在圆上运动一周，则点Q 经过的路径长是______．7．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）AB 是O 的弦，OM AB ⊥，垂足为M ，连接OA ．若AOM 中有一个角是30°，23OM =，则弦AB 的长为_________．8．（2021·贵州黔东南·中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB ，量的弧AB 的中心C 到AB 的距离CD ＝1.6cm ，AB ＝6.4cm ，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 _________cm ．9．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以()23M ，为圆心，AB 为直径的圆与x 轴相切，与y 轴交于A ，C 两点，则点B 的坐标是____________．10．（2021·江苏南京·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．11．（2021·内蒙古通辽·中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，23AB =，点C 是⊙O 上的一个动点，且60ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．12．（2021·青海西宁·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，10CD =，2BE =，则O 的半径OC =_______．13．（2021·四川德阳·中考真题）在锐角三角形ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝2，设BC 边上的高为h ，则h 的取值范围是 __________________．14．（2021·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线32333y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．15．（2021·安徽·中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．16．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠BCD ＝30°，CD ＝23，则阴影部分面积S 阴影＝_____．17．（2021·湖北恩施·中考真题）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD 等于1寸，锯道AB 长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆形木材的直径___________寸；18．（2020·浙江·中考真题）如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦CD ∥AB ，CD ＝8．AB ＝10，则CD 与AB 之间的距离是_____．19．（2020·湖北襄阳·中考真题）在⊙O 中，若弦BC 垂直平分半径OA ，则弦BC 所对的圆周角等于_________°．20．（2019·宁夏·中考真题）如图，AB 是圆O 的弦，OC AB ⊥，垂足为点C ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，若210AB =，则圆O 的半径为_____．21．（2020·青海·中考真题）已知⊙O 的直径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，//AB CD ，8cm AB =，6cm CD =，则AB 与CD 之间的距离为________cm ．22．（2021·辽宁本溪·中考真题）如图，AB 是半圆的直径，C 为半圆的中点，(2,0)A ，(0,1)B ，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过点C ，则k 的值为________．23．（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝_____．∆是O的内接正三角形，点O是圆心，点D，24．（2020·贵州贵阳·中考真题）如图，ABC∠的度数是____度．E分别在边AC，AB上，若DA EB=，则DOE25．（2020·黑龙江穆棱·5⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB=CD=4，则S△ACP=______．二、解答题26．（2021·山东临沂·中考真题）如图，已知在⊙O中，AB BC CD＝＝，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．27．（2021·北京·中考真题）如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，AD BC⊥于点E．∠=∠；（1）求证：BAD CADOE=，（2）连接BO并延长，交AC于点F，交O于点G，连接GC．若O的半径为5，3求GC和OF的长．28．（2021·浙江·中考真题）如图，已知AB是⊙O的直径，ACD∠是AD所对的圆周角，∠=︒．30ACD（1）求DAB∠的度数；（2）过点D作DE ABAB=，求DF的长．⊥，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若41．C【分析】先根据垂径定理得到AD＝CD，则OD为△ABC的中位线，然后根据三角形中位线性质得到BC的长．解：∵OD⊥AC，∴AD＝CD，而OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴BC＝2OD＝2×1.5＝3．故选：C．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．2．B解：试题分析：连接OA，根据垂径定理得到AM=12AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=132，则可求周长．解：连接OA，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴AM=12AB=6，∵OM：MD=5：8，∴设OM=5x ，DM=8x ，∴OA=OD=13x ，∴AM=22OA OM -=12x=6，∴x=12，∴OA=132， ∴⊙O 的周长=2π•OA=13π.故选B ．3．B【分析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC ，在RT △OCE 中应用勾股定理即可． 解：试题解析：由题意连接OC ，得OE=OB-AE=4-1=3，CE=DE= 22OC OE -=7， CD=2CE=27，故选B ．4．C【分析】连接OB ，作OM ⊥AB 与M ．根据垂径定理和勾股定理，求出OP 的取值范围即可判断．解：连接OB ，作OM ⊥AB 与M ．∵OM ⊥AB ，∴AM =BM =12AB =4， 在直角△OBM 中，∵OB =5，BM =4，∴2222543OM OB BM =--．∴35OP ≤<，故选：C ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解．5．C【分析】根据垂径定理解题.解：CD 为O 的弦，AB CD ⊥于E ，CE ED ∴=，AC AD =，BC BD =，2CD BD ∴=2COB BAD ∴∠=∠故选项A 、B 、D 正确，无法判断OE BE =，故选项C 错误，故选：C【点拨】本题考查垂径定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 6．D【分析】由垂径定理和勾股定理得4AC BC ==，再证OC 是△ABE 的中位线，得26BE OC ==，然后由勾股定理求解即可．解：∵⊙O 的半径为5，∴OA ＝OD ＝5，∵CD ＝2，∴3OC OD CD =-=，∵OD ⊥AB ， ∴4AC BC =，∵OA ＝OE ，∴OC 是△ABE 的中位线，∴BE ＝2OC ＝6，∴EC ==故选：D ．【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．7．8或2【分析】分两种情况考虑：当三角形ABC 为锐角三角形时，过点A 作AH 垂直于BC ，根据题意得到AH 过圆心O ，连接OB ，在直角三角形OBH 中，由OB 与BH 长，利用勾股定理求出OH 的长，进而可求出AH 的长；当三角形ABC 为钝角三角形时，同理求出AH 的长即可；解：作AH ⊥BC 于H ，连结OB ，如图，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=4，AH必过圆心，即点O在AH上，在Rt△OBH中，OB=5，BH=4，∴OH=22OB BH-=3，当点O在△ABC内部，如图1，AH=AO+OH=5+3=8，当点O在△ABC内部，如图2，AH=AO﹣OH=5﹣3=2，∴综上所述，点A到BC的距离为8或2，故答案为8或2．【点拨】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理及其推论，熟练掌握三角形的外接圆的性质和垂径定理是解答关键，还要注意分类讨论.8．32【分析】连接AO，如图，由OA=OC得到∠OCA=∠CAO=22.5°，则利用三角形外角性质可得∠AOD=45°，接着根据垂径定理得到AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得22OE AE AO==，322AE=，所以AB=2AE=32.解：如图，连接AO，OA=OC，∴∠OCA=∠CAO=22.5°，∴∠AOD=45°，∵CD⊥AB，∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，而CD=6，∴OA=3，则2OE AE AO==32=根据垂径定理，232AB AE == . 故答案为32 .【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰三角形的性质．9．6【分析】过O 点作OH EF ⊥于H ，连OF ，根据垂径定理得EH FH =，在Rt AOH 中，358AOAD OD ，30A ∠=︒，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到142OH OA ，再利用勾股定理计算出HF ，由2EF HF 得到答案．解：过O 点作OH EF ⊥于H ，连OF ，如图则EH FH =，在Rt AOH 中，358AO AD OD ，30A ∠=︒，则142OH OA ，在Rt OHF 中，4OH =，5OF =，则223HFOF OH ， 则26EF HF cm ．故答案为6．【点拨】本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．10．()3,0【分析】连接P A 、PB ，作PF AB ⊥于点F ，再根据圆的垂径定理即可得出答案． 解：如图，连接P A 、PB ，作PF AB ⊥于点F ，根据题意可知OF =1，再由垂径定理可知，AF =BF =AO +OF =2，所以OB =OF +BF =1+2=3，即B 点坐标为（3，0）．故答案为：（3，0）．．【点拨】本题考查垂径定理．作出PF AB ⊥，再结合垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”是解答本题的关键．11．2π【分析】连接OA 、OB ，作OC ⊥AB 于C ，根据翻转变换的性质得到OB=OA ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB ，根据弧长公式计算即可．解：连接OA 、OB ，作OC ⊥AB 于C ，由题意得，OC=12OA ， ∴∠OAC=30°，∵OA=OB ，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°， ∴12032180180n r AB πππ⨯===， 故答案为：2π．【点拨】本题考查的是弧长的计算、垂径定理、含30度角的直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．6【分析】利用垂径定理得到AM BM =，由60AOM ∠=︒，利用正切求出AM ，得到AB 的长．解：如图，OM AB ⊥，AM BM ∴=，∵60AOM ∠=︒，3OM = ∴tan 333AM OM AOM =∠，26AB AM ∴==，故答案为6．【点拨】本题主要考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．同时也考查了解三角形．13．2【分析】根据垂径定理得到CE =DE ，∠CEO =90°，根据圆周角定理得到∠COE =30°，根据直角三角形的性质得到CE =12OC =1，最后由垂径定理得出结论． 解：∵O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE DE =，90CEO ∠=︒，∵15A ∠=︒，∴30COE ∠=︒，在Rt OCE 中，2OC =，30COE ∠=︒， ∴112CE OC ==，（直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半） ∴22CD CE ==．【点拨】本题是圆的计算题，考查了垂径定理和勾股定理的运用，是常考题型；熟练掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．14．（1）见解析；（2）67.5°或72°【分析】（1）连接OA ．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：①若BD=CB ，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD ．②若CD=CB ，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD ．③若DB=DC ，则D 与A 重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．解：（1）连接OA ，如下图1所示：∵AB=AC，∴AB AC，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67．5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67．5°或72°．【点拨】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，注意分类讨论思想的应用．1．45︒【分析】先根据垂径定理可得122AC AB ==，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可得． 解：由题意得：OC AB ⊥，4AB =，122AC AB ∴==， 2OC =，AC OC ∴=，Rt AOC ∴是等腰直角三角形，45AOC =∴∠︒，故答案为：45︒．【点拨】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键．2．123解：试题分析：圆心为O ，AB 为弦，半径与弦的交点为C ，则OC ⊥AB ，OA=12，OC=6，根据勾股定理可得AC=63，所以AB=2AC=123.考点：垂径定理.3．3【分析】连接OC ，由垂径定理可求出CH 的长度，在Rt △OCH 中，根据CH 和⊙O 的半径，即可由勾股定理求出OH 的长．解：连接OC ，Rt △OCH 中，OC=12AB=5，CH=12CD=4； 由勾股定理，得：2222543OC CH --；即线段OH 的长为3．故答案为：3．【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．4．12【分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝12AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝22135＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为：12．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．5．60°或120°【分析】∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，过O点作OH⊥AB于H，根据垂径定理得到AH＝BH＝732，则利用余弦的定义可求出∠OAH＝30°，所以∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理得到∠ACB＝60°，根据圆内接四边形的性质得到∠ADB＝120°．解：∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，连接OA、OB，如图，过O点作OH⊥AB于H，则AH＝BH＝12AB73，在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝AHOA＝73273∴∠OAH＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBH＝∠OAH＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝1∠AOB＝60°，2∵∠ADB＋∠ACB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣60°＝120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故答案为60°或120°．【点拨】本题考查了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．6．2π【分析】连接OQ，以OA为直径作⊙C，确定出点Q的运动路径即可求得路径长．解：连接OQ．在⊙O中，∵AQ=PQ，OQ经过圆心O，∴OQ⊥AP．∴∠AQO=90°．∴点Q在以OA为直径的⊙C上．∴当点P在⊙O上运动一周时，点Q在⊙C上运动一周．∵AB=4，∴OA=2．∴⊙C的周长为2π．∴点Q经过的路径长为2π．故答案为：2π【点拨】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键．7．12或4【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可. 解：∵OM⊥AB，∴AM=BM，若∠OAM=30°，则tan∠OAM=2333 OMAM AM==，∴AM=6，∴AB=2AM=12；若∠AOM=30°，则tan∠AOM=3323AM AMOM==，∴AM=2，∴AB=2AM=4.故答案为：12或4.【点拨】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论.8．4【分析】圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接AC，作AC的中垂线，与直线CD的交点就是圆心，已知圆心即可作出圆；连接圆心与A，根据勾股定理即可求得半径．解：如图，连接OA ，∵CD 是弦AB 的垂直平分线， ∴1 3.22AD AB ==， 设圆的半径是r ．在直角△ADO 中， 3.2 1.6AO r AD DO r ===-，， ．根据勾股定理得，()2223.2 1.6r r =+- ，∴4r =故答案为：4【点拨】本题主要考查圆的确定和垂径定理，熟练掌握垂径定理得出关于半径的方程是解题的关键．9．(4,35)-【分析】如图，连接BC ，设圆与x 轴相切于点D ，连接MD 交BC 与点E ，结合已知条件，则可得BC MD ⊥，勾股定理求解EM ，进而即可求得B 的坐标．解：如图，连接BC ，设圆与x 轴相切于点D ，连接MD 交BC 与点E ，则MD x ⊥轴，AB 为直径，则90ACB ∠=︒，BC MD ∴⊥，//BC x ∴轴，()23M ，，3MB MD ∴==，2CE EB ==， 2222325ME MB EB ∴=-=-=，CB 4=，35DE MD ME ∴=-=-，//BC x 轴，(4,35)B ∴-．故答案为：(4,35)-．【点拨】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．10．5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴OC AB ⊥∴14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，∵2cm CD =∴(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点拨】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键．11．4334【分析】阴影面积由弓形ADB 面积加上△MNB 的面积，而弓形面积不变，因此只需要求出△MNB 的最大面积，由M ,N 为AB ,BC 的中点，所以MN 是△ABC 的中位线，所以△BMN ∽△BAC ，所以S △BMN =14S △ABC ，求出△ABC 的最大面积即可，而AB 边为定值，当点C 到AB 的距离最大，三角形面积最大，当CM ⊥AB 时，三角形面积最大，即可求出阴影面积最大值．解：连接OA ,OB ，连接OM ，如图∵60ACB ∠=︒ ,∴2120AOB ACB ∠=∠=︒，∵M 为AB 中点，∴OM ⊥AB ，132AMBM AB ,60AOM BOM∴30OAM ∠=︒,设OM =x ，则AO =2x ，在Rt △AOM 中222,OM AM AO 即 222(3)(2)x x += ， 解得x =1， 即1,2OM AO ,S 弓形ADB =S 扇形OADB AOB S =2120214231336023，∵M ,N 为边AB ,BC 的中点，∴MN ∥AC ，∴BMNBAC , ∴14BMN ABC S S ,当C ,O ,M 在同一直线上时，△ABC 的面积最大，由垂径定理可知，AC =BC ,又∵∠ACB =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC =,在Rt △ACM 中， 2222(23)(3)3CMAC AM ,∴ABC S的最大值为：132⨯=, ∴1133=33444BMN ABC S S , ∴阴影面积的最大值为：4334333434． 故填：4334． 【点拨】本题考查弓形面积，扇形面积，圆心角与圆周角关系，三角形的中位线，相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，解题关键是将不规则面积转化为规则图形的面积． 12．294【分析】设半径为r ，则OC OB r ==，得到2OE r =-，由垂径定理得到5CE =，再根据勾股定理，即可求出答案．解：由题意，设半径为r ，则OC OB r ==，∵2BE =，∴2OE r =-，∵AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，∴点E 是CD 的中点，∵10CD =，∴1052CE ==， 在直角△OCE 中，由勾股定理得222OC CE OE =+， 即2225(2)r r =+-，解得：294r =． 故答案为：294． 【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．13．2323h <+ 【分析】如图，BC 为O 的弦，2OB OC ==，证明OBC ∆为等边三角形得到60BOC ∠=︒，则根据圆周角定理得到30BAC ∠=︒，作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则90DCB EBC ∠=∠=︒，当点A 在DE 上（不含D 、E 点）时，ABC ∆为锐角三角形，易得323CD BC ==，当A 点为DE 的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图，根据垂径定理得到AH BC ⊥，所以1BH CH ==，3OH =，则23AH =+，然后写出h 的范围． 解：如图，BC 为O 的弦，2OB OC ==，2BC =，OB OC BC ∴==，OBC ∴∆为等边三角形，60BOC ∴∠=︒，1302BAC BOC ∴∠=∠=︒， 作直径BD 、CE ，连接BE 、CD ，则90DCB EBC ∠=∠=︒，∴当点A 在DE 上（不含D 、E 点）时，ABC ∆为锐角三角形，在Rt BCD ∆中，30D BAC ∠=∠=︒，323CD BC ∴==，当A 点为DE 的中点时，A 点到BC 的距离最大，即h 最大，延长AO 交BC 于H ，如图，A 点为DE 的中点，∴AB AC =，AH BC ∴⊥，1BH CH ∴==，33OH BH ∴==，23AH OA OH ∴=+=+，h ∴的范围为2323h <+．故答案为2323h <+．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．14．【分析】过O作OE⊥AB于C，根据垂径定理可得AC=BC=12AB，可求OA=2，OD在Rt△AOD中，由勾股定理AD=△OAC∽△DAO，由相似三角形性质可求AC解：过O作OE⊥AB于C，∵AB为弦，∴AC=BC=12AB，∵直线y与O相交于A，B两点，∴当y=0x=，解得x=-2，∴OA=2，∴当x=0时，y=∴OD在Rt△AOD中，由勾股定理AD=∵∠ACO=∠AOD=90°，∠CAO=∠OAD，∴△OAC∽△DAO，AC AOAO AD=即2AOACAD===，∴AB=2AC故答案为【点拨】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．15．2【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出∠ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可解：连接OB 、OC 、作OD ⊥AB∵60A ∠=︒∴∠BOC =2∠A =120°∵OB =OC∴∠OBC =30°又75B ∠=︒∴∠ABO =45°在Rt △OBD 中，OB =1∴BD ==22∵OD ⊥AB ∴BD =AD 2∴AB 22【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键16．23π 【分析】连接OC ．证明OC ∥BD ，推出S 阴＝S 扇形OBD 即可解决问题．解：连接OC ．∵AB ⊥CD ，∴BC BD =，CE ＝DE 3∴∠COD ＝∠BOD ，∵∠BOD ＝2∠BCD ＝60°，∴∠COB ＝60°，∵OC ＝OB ＝OD ，∴△OBC ，△OBD 都是等边三角形，∴OC ＝BC ＝BD ＝OD ，∴四边形OCBD 是菱形，∴OC//BD ，∴S △BDC ＝S △BOD ， ∴S 阴＝S 扇形OBD ， ∵OD ＝sin 60ED ︒＝2， ∴S 阴＝2602360π••＝23π， 故答案为：23π． 【点拨】本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．17．26【分析】延长DC ，交⊙O 于点E ，连接OA ，由题意易得DE 即为⊙O 的直径，1CD =寸，10AB =寸，则有5AC =寸，设OA =x 寸，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解． 解：延长DC ，交⊙O 于点E ，连接OA ，如图所示：由题意得CD ⊥AB ，点C 为AB 的中点，1CD =寸，10AB =寸，∴DE 为⊙O 的直径，∴5AC =寸，设OA =x 寸，则()1OC x =-寸，∴在Rt △AOC 中，222AC OC OA +=，即()22251x x +-=，解得：13x =，∴圆形木材的直径为26寸；故答案为26．【点拨】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．18．3【分析】过点O 作OH ⊥CD 于H ，连接OC ，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt △OCH 中，利用勾股定理即可求解．解：过点O 作OH ⊥CD 于H ，连接OC ，如图，则CH ＝DH ＝12CD ＝4，在Rt △OCH 中，OH 2254-3，所以CD 与AB 之间的距离是3．故答案为3．【点拨】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 19．120°或60°【分析】根据弦BC 垂直平分半径OA 及OB=OC 证明四边形OBAC 是矩形，再根据OB=OA ，OE=12求出∠BOE=60°，即可求出答案.解：设弦BC 垂直平分半径OA 于点E ，连接OB 、OC 、AB 、AC ，且在优弧BC 上取点F ，连接BF 、CF ，∴OB=AB ，OC=AC ，∵OB=OC ，∴四边形OBAC 是菱形，∴∠BOC=2∠BOE ，∵OB=OA ，OE=12, ∴cos ∠BOE=12，∴∠BOE=60°，∴∠BOC=∠BAC=120°，∴∠BFC=12∠BOC=60°，∴ 弦BC 所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120°或60°.【点拨】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键. 20．32．【分析】连接OA ，设半径为x ，用x 表示OC ，根据勾股定理建立x 的方程，便可求得结果．解：解：连接OA ，设半径为x ，将劣弧AB 沿弦AB 折叠交于OC 的中点D ，23OC x ∴=，OC AB ⊥， 1102AC AB ∴= 222OA OC AC -=，222()103x x ∴-=， 解得，32x =．故答案为32．【点拨】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．21．7或1．【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 同一侧时，当两条弦位于圆心O 两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE 和OF 的长度，即可得到答案．解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1所示，过O 作OE ⊥CD ，交CD 于点E ，交AB 于点F ，连接OC ，OA ，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∴E 、F 分别为CD 、AB 的中点，∴CE=DE=12CD=3cm ，AF=BF=12AB=4cm ，在Rt △AOF 中，OA=5cm ，AF=4cm ，根据勾股定理得：OF=3cm ，在Rt △COE 中，OC=5cm ，CE=3cm ，根据勾股定理得：OE═4cm ，则EF=OE -OF=4cm -3cm=1cm ；当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm ，综上，弦AB 与CD 的距离为7cm 或1cm ．故答案为：7或1．【点拨】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．22．94 【分析】连接CD ，并延长交x 轴于点P ，分别求出PD ，PO ，CD 和PC 的长，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，求出PF ，CF 的长，进一步得出点C 的坐标，从而可得出结论． 解：连接CD ，并延长交x 轴于点P ，如图，∵C 为半圆的中点，∴CP ⊥AB ，即∠ADP =90°又∠AOB =90°∴∠APD =∠ABO∵A （2，0），B （0，1）∴AO =2，OB =1 ∴2222125AB AO BO +=+= ∴152AD AB == 又1tan 2PD OB A AD OA === ∴115522PD AD === ∴5535PC PD CD =+= ∴2222555()()424AP PD AD =++ ∴53244OP AO AP =-=-= 过点C 作CF ⊥x 轴于点F ， ∴sin sin 5CF AO APD ABO PC AB ∠=∠=== ∴353255CF PC == ∴22223533()()424PF PC CF --∴333442OF OP PF =+=+== ∴点C 的坐标为（32，32） ∵点C 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上 ∴339224k =⨯=， 故答案为：94 【点拨】本题考查反比例函数的解析式，解题的关键是利用过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；求出点C 坐标是关键．23．【分析】根据垂径定理得到AD ＝DC ，由等腰三角形的性质得到AB ＝2OD ＝2×2＝4，得到∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ＝12×90°＝45°，求得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，求得AD ＝AB ＝4，于是得到DC ＝AD ＝4，根据勾股定理即可得到结论．解：∵OD ⊥AC ，∴AD ＝DC ，∵BO ＝CO ，∴AB ＝2OD ＝2×2＝4，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC ＝90°，∵OE ⊥BC ，∴∠BOE ＝∠COE ＝90°，∴BE EC =，∴∠BAE ＝∠CAE ＝12∠BAC ＝12×90°＝45°，∵EA ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝4，∴DC ＝AD ＝4，∴AC ＝8，∴BC故答案为【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．24．120【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．解：连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，由垂径定理得：AH=AM，又因为OA=OA，故△OAH≅△OAM（HL）．∴∠OAH=∠OAM．又∵OA=OB,AD=EB,∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,∴△ODA≅△OEB（SAS）,∴∠DOA=∠EOB,∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．又∵∠C=60°以及同弧AB，∴∠AOB=∠DOE=120°．故本题答案为：120．【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．25．12或32或92【分析】作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，连接OD、OB，则可以求出OE、OF 的长度，进而求出OP的长度，进一步得PE与PF长度，最后可求出答案.解：如图所示，作OE垂直于AB于E，OF垂直于CD于F，∴AE =BE =1AB 2=2，DF=CF=12CD =2， 在Rt OBE △中，∵5BE=2，∴OE=1，同理可得OF=1，∵AB 垂直于CD ，∴四边形OEPF 为矩形，又∵OE =OF =1，∴四边形OEPF 为正方形，又∵ACP S △ 有如图四种情况，∴（1）ACP S △=12AP∙CP=12×1×3=32， （2）ACP S △=12AP∙PC=12×1×1=12， （3）ACP S △=12PC∙PA=12×3×3=92， （4）ACP S △=12AP∙PC=12×3×1=32， 故答案为：12或32或92【点拨】本题主要考查的是垂径定理和勾股定理还有圆的综合运用，熟练掌握方法是关键. 26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接BD ，根据圆周角定理可得∠ADB =∠CBD ，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF ≌△BCF ，得到DE =BC ，证明四边形BCDE 为平行四边形，再根据BC CD 得到BC =CD ，从而证明菱形．。

中考数学考前知识点命题点精讲2 垂径定理及其推论

中考数学考前知识点命题点精讲2 垂径定理及其推论
例4题图
（1） 在图中画出 所在圆的圆心 （只用无刻度的直尺画图）；
画图如解图所示.
例4题解图
（2） 连接 , ， ， 交 于点 ,过点 作 于点 ，求 的长.
由（1）可知， 的半径 .设 交 于点 ，则 . ， ， , ， ， ，设 ，则 ， ,解得 ， .
（4）
（5）
是 的直径
注：只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三
3. 根据圆的对称性，有以下五个结论
例1 判断下列结论，正确的画“√”，错误的画“×”.①平分弦的直径垂直于弦( )②在圆中，若弦 垂直平分弦CD，则弦 是该圆的直径( )③平分一条弧所对圆心角的弦是直径( )④在圆中，若弦 垂直弦 ，则弦 平分弦 ( )⑤在圆中，若弦 弦 ，则 ( )
×
√
√
×
×
例2 （人教九上P91图24改编）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，连接 ， .
例2题图
（1） 若 ，则 _______ ， ______ ；
（2） 若 ，则 _____ ；
（3） 若 ， ，则 _____, _____； ____；
（2） 圆的两条平行弦所夹的弧_______.
（1）
______
垂径定理的应用涉及圆内线段长的计算时，通常过圆心作弦(非直径，图中 )的垂线（图中 ），连接圆心 和弦的一个端点（图中半径 ），得到 ,再运用勾股定理或锐角三角函数进行计算. ,
（2）
______
（3）
_ _____
第六章 圆
命题点2
垂径定理及其推论
（2021年新考）
考试要求 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
平分

第02讲 圆-垂径定理(知识解读+题型精讲+随堂检测)(原卷版)

第02讲 圆-垂径定理(知识解读+题型精讲+随堂检测)(原卷版)

第02讲圆-垂径定理1.掌握垂径定理及其推论；2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.知识点1垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分知识点2垂径定理的应用经常为未知数，结合方程于勾股定理解答【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】【典例1】（2023•南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（）A．5B．6C．8D．10【变式1-1】（2023春•开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】（澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（）A．4B．5C．6D．7【变式1-3】（2023•宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（）A．B．C．1D．2【题型2 垂径定理在格点中的运用】【典例2】（2023•平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式2-1】（2022秋•兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（）A．（﹣5，﹣6）B．（﹣4，﹣5）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）【变式2-2】（2022秋•西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（）A．点D B．点E C．点F D．点G【变式2-3】（2022秋•南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B 点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为．【题型3 垂径定理与方程的综合应用】【典例3】（2023•寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．2B．3C．4D．5【变式3-1】（2021秋•瑶海区期末）如图，在⊙O中，OE⊥弦AB于点E，EO 的延长线交弦AB所对的优弧于点F，若AB＝FE＝8，则⊙O的半径为（）A．5B．6C．4D．2【变式3-2】（2022秋•宜春期末）已知：如图，⊙O的直径AC与弦BD（不是直径）交于点E，若EC＝1，DE＝EB＝2，求AB的长．【题型4 同心圆与垂井定理综合】【典例4】（2022秋•梁山县期末）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．【变式4-1】（2022秋•嘉兴期中）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．（1）求证：AC＝BD；（2）若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．【变式4-2】（2022秋•浦江县校级月考）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，若AB＝10cm，CD＝6cm．（1）求AC的长；（2）若大圆半径为13cm，求小圆的半径．【题型5 垂径定理的实际应用】【典例5】（2022秋•赣县区期末）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．米C．3米D．米【变式5-2】（2023•武义县一模）如图，一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E．若CD＝6，EM＝9，则⊙O的半径为（）A．4B．5C．6D．7【变式5-3】（2023•桐乡市校级开学）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米【典例6】（2023•迎泽区校级一模）如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB ＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【变式6-1】（2021秋•恩施市校级期末）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过这座圆弧形拱桥并说明理由．【变式6-2】（2022秋•鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米．（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度．【变式6-3】（2022秋•南宁期中）如图是某蔬菜基地搭建的一座蔬菜棚的截面，其为圆弧型，跨度AB（弧所对的弦）的长为3.2米，拱高（弧的中点到弦的距离）为0.8米．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端（点B）0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．1．（2021•鄂州）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．（4﹣）米C．2米D．（4+）米2．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 3．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB ＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分4．（2022•长沙）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D 为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为．5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为．6．（2021•黔东南州）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量得弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为cm．1．（2023秋•洞头区期中）如图，⊙O的半径为10，弦长AB＝16，弦心距OC 的长为（）A．5B．6C．7D．8 2．（2023秋•东城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，直径AB⊥CD垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段AE的长为（）A．5B．4C．3D．2 3．（2022秋•中山市期末）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10，最短弦的长为6，则OP的长为（）A．8B．2C．5D．4 4．（2023秋•绥阳县期中）如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB 上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（）A．4B．5C．7D．9 5．（2023秋•硚口区期中）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径是（）A．24厘米B．26厘米C．28厘米D．30厘米6．（2023秋•鼓楼区校级月考）一面墙上有一个矩形门洞，其中宽为1.5米，高为2米，现要将其改造成圆弧型门洞（如图），则改造后圆弧型门洞的最大高度是（）A．2.25米B．2.2米C．2.15米D．2.1米7．（2022秋•曲靖期末）下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．平分弦的直径垂直于弦8．（2023秋•滨江区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝20，CD＝16，则⊙O的半径为（）A．B．C．D．9．（2023秋•无锡月考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝2，CD＝8，则⊙O半径为（）A．2B．3C．5D．8 10．（2023•衢州二模）一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB＝3cm，CD＝4cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 11．（2022秋•桃城区校级期末）如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（）A．7≤MN≤17B．14≤MN≤34C．7＜MN＜17D．6≤MN≤16 12．（2023秋•思明区校级期中）如图，当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为（）A．B．C．5cm D．4cm 13．（2023•鼓楼区校级三模）如图，在半圆ACB中，AB＝6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若弧BC恰好过圆心O，则BC的长是（）A．B．πC．2πD．4 π14．（2023秋•南京期中）根据江心洲地质水文条件量身打造的“新时代号”泥水平衡盾构机，是目前世界上最先进的盾构设备之一，被誉为“国之重器”．如图1，盾构机核心部件——刀盘的形状是一个圆形．如图2，当机器暂停时，刀盘露在地上部分的跨度AB＝12m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）3m，求盾构机刀盘的半径．15．（2023秋•福州期中）如图，AB是⊙O的直径，点P是AB上一点，且点P 是弦CD的中点．（1）依题意作弦CD；（尺规作图不写作法，保留作图痕迹）（2）若AP＝8，CD＝32，求⊙O的半径．16．（2023秋•萧山区期中）已知一座圆弧形拱桥，圆心为点O，桥下水面宽度AB为18m，过O作OC⊥AB于点D，CD＝3m．（1）求该圆弧形拱桥的半径；（2）现有一艘宽6m，船舱顶部高出水面2m的货船要经过这座拱桥（船舱截面为长方形），请问，该货船能顺利通过吗？17．（2023秋•西湖区校级期中）如图，某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m．若在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N 离地面的高度相等，都为17m．（1）求圆弧形拱顶的半径的长度；（2）求MN的长度．。

专题24.3 垂径定理-重难点题型2022年九年级数学上册(人教版)

专题24.3 垂径定理-重难点题型2022年九年级数学上册(人教版)

垂径定理【知识点1 垂径定理及其推论】（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【题型1 垂径定理（连半径）】【例1】如图，以c为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（）A．4B．6C．8D．10【变式】如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：（1）CD的弦心距OF的长；（2）弦CD的长．【题型2 垂径定理（作垂线）】【例2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，则CD的长为（）A．√34B．6√2C．2√34D．12【变式2-1】如图，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．7【题型3 垂径定理（分类讨论）】【例3】已知圆中两条平行的弦之间距离为1，其中一弦长为8，若半径为5，则另一弦长为（）A．6B．2√21C．6或2√21D．以上说法都不对【变式】已知⊙O的直径CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝96cm，则AC的长为（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm【题型4 垂径定理（动点问题）】【例4】如图，已知⊙O的半径为4，M是⊙O内一点，且OM＝2，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条【变式】如图，⊙O的半径为13，弦AB＝24，P是弦AB上的一个动点，不在OP取值范围内的是（）A．4B．5C．12D．13【题型5 垂径定理（翻折问题）】【例5】如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A．4√3cm B．2√3cm C．√3cm D．√2cm【变式】（丹东模拟）半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为cm．【知识点2 垂径定理的应用】（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【题型6 垂径定理的实际应用】【例6】如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．【变式】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．。

垂径定理 (解析版)

垂径定理 (解析版)

垂径定理（解析版）【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.（如图 1 所示）2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（弦 AB 不是直径，如图 2 所示）图1 图2要点诠释：(1)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.（2）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【同步训练】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB 是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC 的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cmOD 2 + AD2 42 + 323 【答案】D ；【解析】连接 OA ，∵ OC⊥AB∴ AD = AB =3 .Rt△AOD 中， AO = = = 5．∴ DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.2．（2015•巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧 AC 的中点，OE 交弦 AC 于点 D ，若 AC=8cm ，DE=2cm ，求 OD 的长．【答案】 OD =3cm ．【解析】解：∵ E 为弧 AC 的中点，∴ OE ⊥AC ，AD AC =4.设 OD 的长为 x ，则：OE =OD +DE= x+2 =OA.在 Rt △OAD 中，∵ OA 2 =OD 2+AD 2∴（2+ x ）2= x 2+42，x =3 .∴ OD =3cm ．类型二、垂径定理的综合应用3．如图 1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为 24m ，拱的半径为 13m ，则拱高为（ ）A ．5mB ．8mC ．7mD ． 5 m【答案】B ；【解析】如图 2 所示，由题意可知：AB 表示桥拱，弦 AB 的长表示桥的跨度，C 为 AB 的中点，OC 与 AB 相交于点 D 。

中考数学真题分类——圆 试题及答案详解

中考数学真题分类——圆 试题及答案详解

中考数学真题分类——圆一．垂径定理（共1小题）1．如图，在半径为√13的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2√6B．2√10C．2√11D．4√3二．垂径定理的应用（共2小题）2．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．3．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm），请你帮小华算出圆盘的半径是cm．三．圆周角定理（共7小题）4．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D̂=CD̂，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数5．如图，AD是⊙O的直径，AB是（）A．40°B．50°C．60°D．70°6．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，则∠ADC的大小为（）A．20°B．25°C．50°D．100°7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C的度数为（）A．84°B．60°C．36°D．24°8．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠A＝66°，则∠OCB的度数是（）A．24°B．28°C．33°D．48°9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，则∠2＝°．10．如图，已知在⊙O中，半径OA=√2，弦AB＝2，∠BAD＝18°，OD与AB交于点C，则∠ACO＝度．四．三角形的外接圆与外心（共1小题）11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径，AB＝6，AD平分∠BAC，交BC于点E，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠BAD＝∠CBD；̂的长（结果保留π）．（2）若∠AEB＝125°，求BD五．切线的性质（共7小题）12．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．814．如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC 相切于点D，BD平分∠ABC，AD=√3OD，AB＝12，CD的长是（）A．2√3B．2 C．3√3D．4√315．如图，等边△ABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A 相切于E，DE的最小值是（）A．1 B．√2C．√3D．216．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AB为直径作⊙O分别交于AC，BC 于点D，E，过点E作⊙O的切线EF交AC于点F，连接BD．（1）求证：EF是△CDB的中位线；（2）求EF的长．17．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，CF与⊙O相切于点C，交AB延长线于点F．（1）若AE＝DC，∠E＝∠BCD，求证：DE＝BC；（2）若OB＝2，AB＝BD＝DA，∠F＝45°，求CF的长．18．如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．（1）求∠ADB的度数；（2）求AC的长度．六．切线的判定与性质（共3小题）19．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，OC⊥AB，OC＝5，BC与⊙O交于点D，点E ̂的中点，EF∥BC，交OC的延长线于点F．是BD（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）CG∥OD，交AB于点G，求CG的长．20．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．21．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．七．切线长定理（共1小题）22．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝°．八．正多边形和圆（共4小题）23．如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2√3，则它的边长是（）A．1 B．√2C．√3D．224．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是．25．在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为．26．如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4√3，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝．九．扇形面积的计算（共4小题）27．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．π+√3B．π−√3C．2π−√3D．2π−2√328．如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．29．如图，把腰长为8的等腰直角三角板OAB的一直角边OA放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使得它的斜边转到l上，则直角边OA两次转动所扫过的面积为．30．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，将△ABC 绕点B 顺时针方向旋转到△A ′BC ′的位置，此时点A ′恰好在CB 的延长线上，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．十．圆锥的计算（共3小题）31．已知圆锥的底面半径是1，高是√15，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是 度．32．如图，在扇形OAB 中，半径OA 与OB 的夹角为120°，点A 与点B 的距离为 2√3，若扇形OAB 恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为 ．33．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径CA ＝6，圆心角∠ACB ＝120°，则此圆锥高OC 的长度是 ．十一．圆的综合题（共4小题）34．如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB ＝30°，∠DAB ＝45°，点O 为斜边AB 的中点，连接CD 交AB 于点E ．（1）求证：A ，B ，C ，D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上；（2）求证：CD 平分∠ACB ；（3）过点D 作DF ∥BC 交AB 于点F ，求证：BO 2+OF 2＝EF •BF ．35．如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）连接AB交OP于点F，求证：△FAD∽△DAE；（3）若tan∠OAF=12，求AEAP的值．36．如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；（2）求证：OA2＝OE•DC；（3）求tan∠ACD的值．37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且AĈ=CF̂，连接FB，FD，FD交AB于点N．（1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径；（2）求证：△BNF为等腰三角形；（3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON•OP＝OE•OM．参考答案与试题解析一．垂径定理（共1小题）1．【解答】解：过点O 作OF ⊥CD 于点F ，OG ⊥AB 于G ，连接OB 、OD 、OE ，如图所示：则DF ＝CF ，AG ＝BG =12AB ＝3，∴EG ＝AG ﹣AE ＝2，在Rt △BOG 中，OG =√OB 2−BG 2=√13−9=2，∴EG ＝OG ，∴△EOG 是等腰直角三角形，∴∠OEG ＝45°，OE =√2OG ＝2√2，∵∠DEB ＝75°，∴∠OEF ＝30°，∴OF =12OE =√2，在Rt △ODF 中，DF =√OD 2−OF 2=√13−2=√11，∴CD ＝2DF ＝2√11； 故选：C ．二．垂径定理的应用（共2小题）2．【解答】解：设⊙O 的半径为r ．在Rt △ADO 中，AD ＝5寸，OD ＝r ﹣1，OA ＝r ，则有r 2＝52+（r ﹣1）2，解得r ＝13寸，∴⊙O 的直径为26寸，故答案为：26．3．【解答】解：如图，记圆的圆心为O ，连接OB ，OC 交AB 于D ，∴OC ⊥AB ，BD =12AB ，由图知，AB ＝16﹣4＝12cm ，CD ＝2cm ，∴BD ＝6，设圆的半径为r ，则OD ＝r ﹣2，OB ＝r ，在Rt △BOD 中，根据勾股定理得，OB 2＝AD 2+OD 2，∴r 2＝36+（r ﹣2）2，∴r ＝10cm ，故答案为10．三．圆周角定理（共7小题）4．【解答】解：∵∠A 与∠D 都是BC ̂所对的圆周角，∴∠D ＝∠A ．故选：D ．5．【解答】解：∵AB̂=CD ̂，∠AOB ＝40°， ∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∵∠AOB +∠BOC +∠COD ＝180°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC =12∠BOC ＝50°，故选：B ．6．【解答】解：如图，连接OC ，∵OA ⊥BC ，∴AĈ=BC ̂， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝50°，∴∠ADC =12∠AOC ＝25°，故选：B ． 7．【解答】解：∵∠B 与∠C 所对的弧都是AD̂，∴∠C ＝∠B ＝24°，故选：D ． 8．【解答】解：∵∠A ＝66°，∴∠COB ＝132°，∵CO ＝BO ，∴∠OCB ＝∠OBC =12（180°﹣132°）＝24°，故选：A ．9．【解答】解：如图，连接AD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°，∵∠1＝∠ADE ，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝55°，∴∠2＝35°，故答案为35．10．【解答】解：∵OA =√2，OB =√2，AB ＝2，∴OA 2+OB 2＝AB 2，OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB ＝90°，∴∠OBA ＝45°， ∵∠BAD ＝18°，∴∠BOD ＝36°，∴∠ACO ＝∠OBA +∠BOD ＝45°+36°＝81°，故答案为：81．四．三角形的外接圆与外心（共1小题）11．【解答】（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∵∠CAD ＝∠CBD ，∴∠BAD ＝∠CBD ；（2）解：连接OD ，∵∠AEB ＝125°，∴∠AEC ＝55°，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACE ＝90°，∴∠CAE ＝35°，∴∠DAB ＝∠CAE ＝35°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝70°，∴BD̂的长=70⋅π×3180=76π．五．切线的性质（共7小题）12．【解答】解：∵AC 与⊙O 相切于点A ， ∴AC ⊥OA ，∴∠OAC ＝90°， ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ． ∵∠O ＝130°， ∴∠OAB =180°−∠O2=25°，∴∠BAC ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝90°﹣25°＝65°．故选：B ． 13．【解答】解：如图，设⊙O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP ⊥BC 垂足为P 交⊙O 于F ，此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP ﹣OF ， ∵AC ＝4，BC ＝3，∴AB ＝5 ∵∠OPB ＝90°， ∴OP ∥AC∵点O 是AB 的三等分点，∴OB =23×5=103，OP AC=OB AB=23，∴OP =83， ∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ，∴OD BC=OA AB=13，∴OD ＝1，∴MN 最小值为OP ﹣OF =83−1=53，如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，MN 最大值=103+1=133，∴MN 长的最大值与最小值的和是6． 故选：B ． 14．【解答】解：∵⊙O 与AC 相切于点D ， ∴AC ⊥OD ，∴∠ADO ＝90°， ∵AD =√3OD ，∴tan A =OD AD=√33， ∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠OBD ＝∠CBD ， ∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ODB ＝∠CBD ，∴OD ∥BC ，∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∴∠ABC ＝60°，BC =12AB ＝6，AC =√3BC ＝6√3， ∴∠CBD ＝30°， ∴CD =√33BC =√33×6＝2√3；故选：A ．15．【解答】解：如图，连接AE ，AD ，作AH ⊥BC 于H ，∵DE 与⊙A 相切于E ，∴AE ⊥DE ，∵⊙A 的半径为1，∴DE =√AD 2−AE 2=√AD 2−1， 当D 与H 重合时，AD 最小， ∵等边△ABC 的边长为2，∴BH ＝CH ＝1，∴AH =√22−12=√3，∴DE 的最小值为：√(√3)2−12=√2．故选：B ． 16．【解答】（1）证明：连接AE ，如图所示： ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠AEB ＝90°， ∴AE ⊥BC ，BD ⊥AC ，∵AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝3，∵EF 是⊙O 的切线，∴OE ⊥EF ，∵OA ＝OB ，∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ∥AC ，∴OE ⊥BD ，∴BD ∥EF ，∵BE ＝CE ，∴CF ＝DF ，∴EF 是△CDB 的中位线； （2）解：∵∠AEB ＝90°，∴AE =√AB 2−BE 2=√52−32=4，∵△ABC 的面积=12AC ×BD =12BC ×AE ， ∴BD =BC×AE AC=6×45=245，∵EF 是△CDB 的中位线，∴EF =12BD =125．17．【解答】（1）证明：∵AE ＝DC ，∴AÊ=DC ̂， ∴∠ADE ＝∠DBC ，在△ADE 和△DBC 中，{∠ADE =∠DBC∠E =∠BCDAE =DC，∴△ADE ≌△DBC （AAS ）， ∴DE ＝BC ；（2）解：连接CO 并延长交AB 于G ，作OH ⊥AB 于H ，如图所示： 则∠OHG ＝∠OHB ＝90°， ∵CF 与⊙O 相切于点C ， ∴∠FCG ＝90°，∵∠F ＝45°，∴△CFG 、△OGH 是等腰直角三角形， ∴CF ＝CG ，OG =√2OH ，∵AB ＝BD ＝DA ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°，∴∠OBH ＝30°，∴OH =12OB ＝1，∴OG =√2，∴CF ＝CG ＝OC +OG ＝2+√2． 18．【解答】解：（1）∵AF 与⊙O 相切于点A ，∴AF ⊥OA ， ∵∠F ＝30°， ∴∠AOF ＝60°，∵OA ＝OD ，∠AOF ＝∠ADB +∠OAF ，∴∠ADB ＝∠OAF ＝30°． （2）∵∠ACB ＝∠ADB ＝30°，∠BAC ＝120°， ∴∠ABC ＝180°﹣120°﹣30°＝30°， ∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC ， ∴AB̂=AC ̂，∴OA ⊥BC ， ∴BE ＝CE =12BC ＝4，∵∠AOB ＝60°，OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形， ∴AB ＝OB ，∵∠OBE ＝30°，∴OE =12OB ，BE =√3OE ＝4， ∴OE =4√33，∴AC ＝AB ＝OB ＝2OE =8√33．六．切线的判定与性质（共3小题） 19．【解答】证明：（1）连接OE ，交BD 于H ，∵点E 是BD̂的中点，OE 是半径， ∴OE ⊥BD ，BH ＝DH ， ∵EF ∥BC ， ∴OE ⊥EF ，又∵OE 是半径，∴EF 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝6，OC ⊥AB ， ∴OB ＝3，∴BC =√OB 2+OC 2=√9+25=√34， ∵S △OBC =12×OB ×OC =12×BC ×OH ，∴OH =√34=15√3434，∵cos ∠OBC =OBBC=BH OB，∴√34=BH 3，∴BH =9√3434，∴BD ＝2BH =9√3417， ∵CG ∥OD ，∴OD CG=BD BC，∴3CG=9√3417√34，∴CG =173．20．【解答】（1）证明：连接OF ，如图1所示：∴∠DBC +∠C ＝90°， ∵OB ＝OF ，∴∠DBC ＝∠OFB ，∵EF ＝EC ，∴∠C ＝∠EFC ， ∴∠OFB +∠EFC ＝90°，∴∠OFE ＝180°﹣90°＝90°， ∴OF ⊥EF ，∵OF 为⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线； （2）解：连接AF ，如图2所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB ＝90°， ∵D 是OA 的中点，∴OD ＝DA =12OA =14AB =14×4＝1，∴BD ＝3OD ＝3，∵CD ⊥AB ，CD ＝AB ＝4，∴∠CDB ＝90°，由勾股定理得：BC =√BD 2+CD 2=√32+42=5， ∵∠AFB ＝∠CDB ＝90°，∠FBA ＝∠DBC ，∴△FBA ∽△DBC ，∴BF BD =ABBC， ∴BF =AB⋅BD BC=4×35=125，∴CF ＝BC ﹣BF ＝5−125=135．21．【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，∠ABO ＝∠OCE ＝90°， ∵OE ⊥OA ，∴∠AOE ＝90°，∴∠BAO +∠AOB ＝∠AOB +∠COE ＝90°， ∴∠BAO ＝∠COE ，∴△ABO ∽△OCE ，∴AB OC =AOOE， ∵OB ＝OC ，∴ABOB=AO OE，∵∠ABO ＝∠AOE ＝90°，∴△ABO ∽△AOE ，∴∠BAO ＝∠OAE ，过O 作OF ⊥AE 于F ，∴∠ABO ＝∠AFO ＝90°，在△ABO 与△AFO 中，{∠BAO =∠FAO∠ABO =∠AFO AO =AO ，∴△ABO ≌△AFO （AAS ）， ∴OF ＝OB ，∴AE 是半圆O 的切线；（2）解：连接PB ，∵以BC 边为直径作半圆O ，∴AB 2＝AP •AC ＝2×6＝12，∴AB ＝2√3， ∴BC =√AC 2−AB 2=2√6，∴BO ＝OC =√6，∴AO =√AB 2+OB 2=3√2， ∵∠AOE ＝∠ABO ＝∠ECO ＝90°，∴∠BAO +∠AOB ＝∠AOB +∠COE ＝90°，∴∠BAO ＝∠COE ， ∴△AOB ∽△OEC ， ∴AO OE=AB OC，∴3√2OE=√3√6，∴OE ＝3， ∴AE =√AO 2+EO 2=3√3．七．切线长定理（共1小题） 22．【解答】解：∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，PA ⊥OA ，∴∠PAB ＝∠PBA ，∠OAP ＝90°，∴∠PBA ＝∠PAB ＝90°﹣∠OAB ＝90°﹣38°＝52°， ∴∠P ＝180°﹣52°﹣52°＝76°； 故答案为：76．八．正多边形和圆（共4小题） 23．【解答】解：如图，过点B 作BG ⊥AC 于点G ．正六边形ABCDEF 中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°， ∴∠ABC ＝120°，∠BAC ＝∠BCA ＝30°，∴AG =12AC =√3，∴GB ＝1，AB ＝2，即边长为2．故选：D ．24．【解答】解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF 中，∠DAC ＝30°，∠B ＝∠BCD ＝120°，AB ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝30°， ∴∠ACD ＝90°，∵CD ＝3，∴AD ＝2CD ＝6，∴图中阴影部分的面积＝S 四边形ADEF +S 扇形DAD ′﹣S 四边形AF ′E ′D ′， ∵将四边形ADEF 绕顶点A 顺时针旋转到四边形AD 'E 'F ′处，∴S 四边形ADEF ＝S 四边形AD ′E ′F ′∴图中阴影部分的面积＝S 扇形DAD ′=30⋅π×62360=3π，故答案为：3π．25．【解】解：如图所示，连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC ，设此正方形的边长为a ， ∵OE ⊥BC ，∴OE ＝BE =a2，即a ＝5√2．故答案为：5√2．26．【解答】解：过A 作AM ⊥BF 于M ，连接O 1F 、O 1A 、O 1B ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠A =(6−2)×180°6=120°，AF ＝AB ，∴∠AFB ＝∠ABF =12×（180°﹣120°）＝30°， ∴△AFB 边BF 上的高AM =12AF =12×（6+4√3）＝3+2√3，FM ＝BM =√3AM ＝3√3+6，∴BF ＝3√3+6+3√3+6＝12+6√3， 设△AFB 的内切圆的半径为r ，∵S △AFB =S △AO 1F +S △AO 1B +S △BFO 1，∴12×（12+6√3）×（3+2√3）=12×(6+4√3)×r +12×(6+4√3)×r +12×（12+6√3）×r ， 解得：r ＝3，即O 1M ＝r ＝3，∴O 1O 2＝2×3+6+4√3=12+4√3， 故答案为：12+4√3．九．扇形面积的计算（共4小题） 27．【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝1，AD =√3BD =√3，∴△ABC 的面积为12×BC ×AD =12×2×√3=√3，S 扇形BAC =60π×22360=23π，∴莱洛三角形的面积S ＝3×23π﹣2×√3=2π﹣2√3，故选：D ． 28．【解答】解：∵∠ADO ＝85°，∠CAB ＝20°， ∴∠C ＝∠ADO ﹣∠CAB ＝65°， ∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠C ＝65°， ∴∠AOC ＝50°，∴阴影部分的扇形OAC 面积=50⋅π×1360=5π36，故答案为：5π36．29．【解答】解：∵△OAB 为腰长为8的等腰直角三角形， ∴OA ＝OB ＝8，AB ＝8√2，∴直角边OA 两次转动所扫过的面积=14π•OA 2+90+45360π（AB 2﹣OB 2）＝16π+24π＝40π．故答案为：40π． 30．【解答】解：∵△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝4，BC ＝2， ∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，AC ＝2√3．∵将△ABC 绕点B 顺时针方向旋转到△A ′BC ′的位置，此时点A ′恰好在CB 的延长线上，∴△ABC ≌△A ′BC ′，∴∠ABA ′＝120°＝∠CBC ′，∴S 阴影＝S 扇形ABA ′+S △ABC ﹣S 扇形CBC ′﹣S △A ′BC ′ ＝S 扇形ABA ′﹣S 扇形CBC ′ =120π×42360−120π×22360=16π3−4π3＝4π．故答案为4π．十．圆锥的计算（共3小题） 31．【解答】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a ＝4， 设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n °，根据题意得2π•1=nπ×4180，解得n ＝90， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°． 故答案为：90． 32．【解答】解：连接AB ，过O 作OM ⊥AB 于M ， ∵∠AOB ＝120°，OA ＝OB ， ∴∠BAO ＝30°，AM =√3，∴OA ＝2，∵240π×2180=2πr ，∴r =43，故答案是：4333．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，∵AC＝6，∠ACB＝120°，∴l AB̂=120π×6180=2πr，∴r＝2，即：OA＝2，在Rt△AOC中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC=√AC2−OA2=4√2，故答案为：4√2．十一．圆的综合题（共4小题）34．【解答】证明：（1）如图，连接OD，OC，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O 是AB的中点，∴OC＝OA＝OB，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）由（1）知，A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，且AD＝BD，∴AD̂=BD̂，∴CD平分∠ACB；（3）由（2）知，∠BCD＝45°，∵∠ABC＝60°，∴∠BEC＝75°，∴∠AED＝75°，∵DF∥BC，∴∠BFD＝∠ABC＝60°，∵∠ABD＝45°，∴∠BDF＝180°﹣∠BFD﹣∠ABD＝75°＝∠AED，∵∠DFE＝∠BFD，∴△DEF∽△BDF，∴DFBF =EFDF，∴DF2＝BF•EF，连接OD，则∠BOD＝90°，OB＝OD，在Rt△DOF中，根据勾股定理得，OD2+OF2＝DF2，∴OB2+OF2＝BF•EF，即BO2+OF2＝EF•BF．35．【解答】解：（1）∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠DAE ＝∠ACE ，∴∠DAC +∠DAE ＝90°，即∠CAE ＝90°， ∴AP 是⊙O 的切线； （2）连接DB ，如图1， ∵PA 和PB 都是切线，∴PA ＝PB ，∠OPA ＝∠OPB ，PO ⊥AB ， ∵PD ＝PD ，∴△DPA ≌△DPB （SAS ），∴AD ＝BD ， ∴∠ABD ＝∠BAD ， ∵∠ACD ＝∠ABD ， 又∠DAE ＝∠ACE ， ∴∠DAF ＝∠DAE ，∵AC 是直径，∴∠ADE ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADE ＝∠AFD ＝90°， ∴△FAD ∽△DAE ；（3）∵∠AFO ＝∠OAP ＝90°，∠AOF ＝∠POA ，∴△AOF ∽△POA ，∴OF OA=AF PA，∴OA PA=OF AF=tan ∠OAF =12， ∴PA ＝2AO ＝AC ，∵∠AFD ＝∠CAE ＝90°，∠DAF ＝∠ABD ＝∠ACE ，∴△AFD ∽△CAE ，∴FD AE=AF CA ，∴FD AF =AE CA =AEAP， ∵tan ∠OAF =OF AF=12，不妨设OF ＝x ，则AF ＝2x ， ∴OD =OA =√5x ，∴FD =OD −OF =(√5−1)x ， ∴FD AF=(√5−1)x 2x=√5−12，∴AE AP=√5−12． 36．【解答】证明：（1）∵BM 是以AB 为直径的⊙O 的切线， ∴∠ABM ＝90°，∵BC 平分∠ABM ，∴∠ABC =12∠ABM ＝45° ∵AB 是直径∴∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝∠CBA ＝45°∴AC ＝BC ∴△ACB 是等腰直角三角形； （2）如图，连接OD ，OC ∵DE ＝EO ，DO ＝CO∴∠EDO ＝∠EOD ，∠EDO ＝∠OCD ∴∠EDO ＝∠EDO ，∠EOD ＝∠OCD ∴△EDO ∽△ODC ∴OD DC=DE DO∴OD 2＝DE •DC∴OA 2＝DE •DC ＝EO •DC（3）如图，连接BD ，AD ，DO ，作∠BAF ＝∠DBA ，交BD 于点F ，∵DO ＝BO∴∠ODB ＝∠OBD ，∴∠AOD ＝2∠ODB ＝∠EDO ，∵∠CAB ＝∠CDB ＝45°＝∠EDO +∠ODB ＝3∠ODB ， ∴∠ODB ＝15°＝∠OBD ∵∠BAF ＝∠DBA ＝15° ∴AF ＝BF ，∠AFD ＝30° ∵AB 是直径 ∴∠ADB ＝90°∴AF ＝2AD ，DF =√3AD ∴BD ＝DF +BF =√3AD +2AD∴tan ∠ACD ＝tan ∠ABD =AD BD=2+√3=2−√337．【解答】解：（1）如图1，连接BC ，AC ，AD ， ∵CD ⊥AB ，AB 是直径 ∴AĈ=AD ̂，CE ＝DE =12CD ＝3 ∴∠ACD ＝∠ABC ，且∠AEC ＝∠CEB ∴△ACE ∽△CEB ∴AE CE=CE BE∴13=3BE∴BE ＝9 ∴AB ＝AE +BE ＝10 ∴⊙O 的半径为5（2）∵AĈ=AD ̂=CF ̂ ∴∠ACD ＝∠ADC ＝∠CDF ，且DE ＝DE ，∠AED ＝∠NED ＝90° ∴△ADE ≌△NDE （ASA ） ∴∠DAN ＝∠DNA ，AE ＝EN∵∠DAB ＝∠DFB ，∠AND ＝∠FNB∴∠FNB ＝∠DFB ∴BN ＝BF ， ∴△BNF 是等腰三角形 （3）如图2，连接AC ，CE ，CO ，DO ， ∵MD 是切线， ∴MD ⊥DO ，∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE ∴△MDO∽△DEO∴OEOD =ODOM∴OD2＝OE•OM∵AE＝EN，CD⊥AO∴∠ANC＝∠CAN，∴∠CAP＝∠CNO，∵AĈ=CF̂∴∠AOC＝∠ABF∵CO∥BF∴∠PCO＝∠PFB∵四边形ACFB是圆内接四边形∴∠PAC＝∠PFB∴∠PAC＝∠PFB＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE ∴△CNO∽△PCO∴NOCO =COPO∴CO2＝PO•NO，∴ON•OP＝OE•OM．。

垂径定理-中考数学专项训练(含解析)

垂径定理-中考数学专项训练(含解析)

垂径定理一、单选题A．82．如图，圆弧形桥拱的跨度A．2米B．43．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，是弧AB的中点，2CD=cm，杯内水面宽A．6cm4．如图，CD是圆O长为（）A．33A ．45︒6．如图，O 的半径是A ．27．如图是一段圆弧 AB 点．若63,AB CD =A ．6πB ．4π8．如图，在O 中，半径23r =，AB 过点C 作CD OC ⊥交O 于点D ，则A ．4B的直径，11．如图，AB是O==，则CD5,3AB BC的弦，半径12．如图，AB是O中，直径13．如图，在O一点，连AE，过点C作14．如图，在圆O中，弦的直径15．如图．O为．的外接圆，16．如图，⊙O是ABC∠的度数为于点D，连接BD，则D三、解答题17．如图，AB为半圆O点D，若4，==AB AC(1)DE的长．(2)阴影部分的面积．18．如图，AB 为O 的直径，CD 为弦，CD AB ⊥于点E ，连接DO 并延长交O 于点F ，连接AF 交CD 于点G ，CG AG =，连接AC ．(1)求证：AC DF ∥；(2)若12AB =，求AC 和GD 的长．19．如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，若16cm 6cm AB CD ==，．(1)求AC 的长；(2)若大圆半径为10cm ，求小圆的半径．∠；(1)连接AD，求OAD(2)点F在 BC上，CDF∠=参考答案：∵OA OB =，C 为弦AB 中点，∴OC AB ⊥，4AC =，∴OE 平分 AB ，∵D 为 AB 的中点，∴点,D E 重合，∴,,O C D 三点共线，设圆的半径为r ，则：2OC OD CD r =-=-，由勾股定理，得：222OA AC OC =+，∴()22242r r =+-，解得：=5r ；故选B ．4．C【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接OC ，首先根据题意可求得63OC OE ==，，根据勾股定理即可求得CE 的长，再根据垂径定理即可求得CD 的长．【详解】解：如图，连接OC ，∵123AB BE ==，，∴63OB OC OE ===，，∵AB CD ⊥，∵50BOC ∠=︒，OC ∴OCB OBC ∠=∠=∵OC AB ⊥，∴AD BD =，故选：B．7．B【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出=长，由题意得OD OAOE AB ⊥ ，132AE BE AB ∴===，22OE OA AE ∴=-=在Rt COE △中，∵AB 是O 的直径，∴152OD OB AB ===∵,6CD AB CD ⊥=，∴13,2DE CD DEO ==∠∴22OE OD DE =-=∵5AB =，∴25OE =，∵DE 切O 于点E ，∴OE DE ⊥，∴90OED ∠=︒，∵1OA =，120AOB ∠=︒，∴30A B ==︒∠∠，AC BC =∴1122OC OA ==，AC =∵直径CD 长为4，∴1422OD =⨯=，∵1OG =，∴1DG OD OG =-=，∴AB 垂直平分OD ，OH 经过圆心O ，12AH BH AB ∴===∴2AO AH OH =+故答案为：5．在Rt AOD 中，12OD OA ==，，1cos 2AOD \Ð=，60AOD ∴=︒∠，OE AC ⊥ ，由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB是 的直径，CD⊥AB∴垂直平分CD，M是OA的中点，∴1122OM OA OD==，OA CD于点M，⊥∴点M是CD的中点，∴垂直平分CD，ABNC ND∴=，Q，∠=︒45CDFNCD NDC∴∠=∠=︒，45∴∠=︒，90CND。

部编数学九年级上册24.3垂直于弦的直径垂径定理(知识讲解)(人教版)含答案

部编数学九年级上册24.3垂直于弦的直径垂径定理(知识讲解)(人教版)含答案

专题24.3 垂直于弦的直径-垂径定理（知识讲解）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.特别说明：　(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即　(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的推论根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.特别说明：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、利用垂径定理求圆的半径、弦心距、角度、弦1．如图，AB 是O e 的直径，弦CD AB ^于点E ，点M 在O e 上，MD 恰好经过圆心O ，连接MB ．（1）若16CD =，4BE =，求O e 的直径；（2）若M D Ð=Ð，求D Ð的度数．【答案】（1）20；（2）30°【分析】（1）由CD ＝16，BE ＝4，根据垂径定理得出CE ＝DE ＝8，设⊙O 的半径为r ，则4OE r =-，根据勾股定理即可求得结果；（2）由OM ＝OB 得到∠B ＝∠M ，根据三角形外角性质得∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，则2∠B ＋∠D ＝90°，加上∠B ＝∠D ，所以2∠D ＋∠D ＝90°，然后解方程即可得∠D 的度数．解：（1）∵AB ⊥CD ，CD ＝16，∴CE ＝DE ＝8，设OB r =，又∵BE ＝4，∴4OE r =-∴222(4)8r r =-+，解得：10r =，∴⊙O 的直径是20．（2）∵OM ＝OB ，∴∠B ＝∠M ，∴∠DOB ＝∠B ＋∠M ＝2∠B ，∵∠DOB ＋∠D ＝90°，∴2∠B ＋∠D ＝90°，∵M DÐ=Ð，∴∠B＝∠D，∴2∠D＋∠D＝90°，∴∠D＝30°；【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．举一反三：e中，弦AB长50mm．求：【变式1】如图，在半径为50mm的OÐ的度数；（1）AOB（2）点O到AB的距离．【答案】（1）60°；（2）【分析】V是等边三角形，从而可得结论；（1）证明AOBAC BC再利用勾股定理可（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解,,得答案.解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB＝50mm，又∵AB＝50mm，∴OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°． （2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，由垂径定理得AC ＝CB ＝12AB ＝25mm ，在Rt △OAC 中OC 2＝OA 2－AC 2＝502－252＝252×3，∴OC mm ），即点O 到AB 的距离是．【点拨】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.【变式2】如图，AB 是O e 的直径，E 为O e 上一点，EF AB ^于点F ，连接OE ，//AC OE ，OD AC ^于点D ．若2,4BF EF ==，求线段AC 长．【答案】6【分析】设OE =x ，根据勾股定理求出x ，根据全等三角形的判定定理和性质定理得到AD =OF =3，根据垂径定理得到答案．解：设OE =x ，则OF =x -2，由勾股定理得，OE 2=OF 2+EF 2，即x 2=（x -2）2+42，解得，x =5，∴OF =3，∵AC ∥OE ，OD ⊥AC ，∴OD ⊥OE ，∠A =∠EOF ，∵OA =OE ，EF ⊥AB ，∴△ADO ≌△OFE ，∴AD =OF =3，∵OD ⊥AC ，∴AC=2AD=6．【点拨】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．类型二、利用垂径定理求进行证明2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD^AB，OE^AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见分析【分析】（1）根据AC^AB，OD^AB，OE^AC，可得四边形ADOE是矩形，由垂径定理可得AD=AE，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA，由勾股定理可得．(1)证明：∵AC^AB，OD^AB，OE^AC，∴四边形ADOE是矩形，12AD AB=，12AE AC=，又∵AB=AC，∴AD=AE，∴四边形ADOE是正方形．(2)解：如图，连接OA，∵四边形ADOE是正方形，∴112OE AE AC===cm，在Rt△OAE中，由勾股定理可得：OA==，即⊙O cm．【点拨】本题考查圆与正方形，熟练掌握正方形的判定方法、圆有关的性质，是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB∥CD，经过AB中点E的直径MN与CD交于F点，求证：CF＝DF【分析】根据垂径定理进行解答即可．解：∵E为AB中点，MN过圆心O，∴MN⊥AB，∴∠MEB＝90°，∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠MEB＝90°，即MN⊥CD，∴CF＝DF．【点拨】本题考查了垂径定理的运用，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．【变式2】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD．【分析】过圆心O 作OE ⊥AB 于点E ，根据垂径定理得到AE=BE ，同理得到CE=DE ，又因为AE-CE=BE-DE ，进而求证出AC=BD ．解：过O 作OE ⊥AB 于点E ，则CE=DE ，AE=BE ，∴BE-DE=AE-CE.即AC=BD.【点拨】本题考查垂径定理的实际应用．类型三、利用垂径定理推论求圆的半径、弦心距、角度、弦3．如图，∠AOB 按以下步骤作图：①在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆弧PQ ，交射线OB 于点D ；②连接CD ，分别以点C 、D 为圆心，CD 长为半径作弧，交圆弧PQ 于点M 、N ；③连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形完成下列作答．(1)求证：OA 垂直平分MD .(2)若30AOB Ð=°，求∠MON 的度数.(3)若20AOB Ð=°，6OC =，求MN 的长度．【答案】(1)证明见分析；(2)90MON Ð=°；(3)6MN =．【分析】（1）由垂径定理直接证明即可得；（2）根据相等的弧所对的圆心角也相等求解即可得；（3）由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，得出60MON Ð=°，根据等边三角形得判定可得OMN n 为等边三角形，即可得出结果．(1)证明：如图所示，连接MD ，由作图可知，CM CD =，∴»ºCM C D =，∵OA 是经过圆心的直线，∴OA 垂直平分MD ；(2)解：如图所示，连接ON ，∵CM CD DN ==，∴»º»CM C D D N ==，∴30COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴90MON COM COD DON Ð=Ð+Ð+Ð=°，即90MON Ð=°；(3)解：由（2）可得：20COM COD DON Ð=Ð=Ð=°，∴60MON Ð=°，∵OM ON =，∴OMN n 为等边三角形，∴6MN OM OC ===．【点拨】题目主要考查垂径定理，等弧所对的圆心角相等，等边三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些基础知识点是解题关键．举一反三：【变式1】 如图，AB 为圆O 直径，F 点在圆上，E 点为AF 中点，连接EO ，作CO ⊥EO 交圆O 于点C ，作CD ⊥AB 于点D ，已知直径为10，OE ＝4，求OD 的长度．【答案】3【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE ⊥AF ，由CO ⊥EO ，得到OC ∥AF ，即可得到∠OAE ＝∠COD ，然后通过证得△AEO ≌△ODC ，证得CD ＝OE ＝4，然后根据勾股定理即可求得OD ．解：∵E 点为AF 中点，∴OE ⊥AF ，∵CO ⊥EO ，∴OC ∥AF ，∴∠OAE ＝∠COD ，∵CD ⊥AB ，∴∠AEO ＝∠ODC ，在△AEO 和△ODC 中，OAE COD AEO ODC OA OC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEO ≌△ODC （AAS ），∴CD ＝OE ＝4，∵OC ＝5，∴OD＝3．【点拨】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键．【变式2】如图所示，直线=y x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线BC 交x 轴于D ，交△ABO 的外接圆⊙M 于C ，已知∠COD ＝∠OBC ．（1）求证：MC ⊥OA ；（2）求直线BC 的解析式．【答案】（1）见分析；（2）y=【分析】（1）利用弧弦角转化得¼¼OC AC=，由垂径定理即可得MC⊥OA；（2）由直线=y x与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点坐标，从而得到A、B中点M点坐标，再由勾股定理求出OM，进而求出点C坐标．由B、C两点坐标用待定系数法求直线BC解析式即可．解：（1）证明：∵∠COD＝∠OBC，∴¼¼OC AC=，∵点M是圆心，∴由垂径定理的推论，得MC⊥OA；（2）解：∵MC⊥OA，∴OG＝GA＝12OA，∵点M是圆心，∴BM＝AM，∴GM是△AOB的中位线，∴GM，∵=y x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当x＝0时，y y＝0时，x＝3，∴B（0，A（3，0）∴OB OA＝3，∴MG OG＝32，连接OM，在Rt△OGM中，由勾股定理，得OM＝∴GC=∵点C 在第三象限，∴C （32，）．设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b ，∴32k b =+解得：k b ìïíïî，直线BC的解析式为：y =【点拨】本题主要考查了弧弦角的性质，垂径定理，数形结合求出关键点坐标是解决本题的关键．类型四、利用垂径定理推论求进行证明4．如图所示，已知在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，弦CG ⊥AB 于D ，F 是⊙O 上的点，且»»CFCB =，BF 交CG 于点E ，求证：CE ＝BE ．【分析】证法一：连接CB ，可证»»CFGB =，从而可证明CE ＝BE ；证法二：作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ，证明△ONE ≌△ODE ，可得NE ＝DE，再结合垂径定理可得BN＝CD，再根据线段的差即可证明结论；证法三：连接OC交BF于点N，只需要证明△CNE≌△BDE即可证明结论．解：证法一：如图(1)，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴»»CB GB=,∵»»CF BC=，∴»»CF GB=，∴∠C＝∠CBE，∴CE＝BE．证法二：如图(2)，作ON⊥BF，垂足为N，连接OE．∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG，∴»»CB BG=，∵»»CB CF=，∴»»»CF BC BG==，∴BF＝CG，ON＝OD，∵∠ONE＝∠ODE＝90°，OE＝OE，ON＝OD，∴△ONE≌△ODE（HL），∴NE＝DE．∵12BN BF=，12CD CG=，∴BN＝CD，∴BN-EN＝CD-ED，∴BE＝CE．证法三：如图(3)，连接OC交BF于点N．∵»»=，CF BC∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB，∴»»=，BG BC∴»»»==，CF BG BC=，∴»»BF CG=，ON OD∵OC＝OB，∴OC-ON＝OB-OD，即CN＝BD，又∠CNE＝∠BDE＝90°，∠CEN＝∠BED，∴△CNE≌△BDE，∴CE＝BE．【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理、全等三角形的性质和判定等．熟练掌握垂径定理及其推理是解题关键．举一反三：【变式1】如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分．【分析】根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确．解：设AB，CD交于点P,连接OP，假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP，∵AB，CD是圆O内非直径的两弦，∴OP⊥AB，OP⊥C D，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立，所以AB与CD不能互相平分【点拨】本题考查了反证法，解题的关键是：掌握反证法的步骤．【变式2】如图，已知在⊙O中，»»»＝＝，OC与AD相交于点E．求证：AB BC CD（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理可得∠ADB=∠CBD，根据平行线的判定可得结论；（2）证明△DEF≌△BCF，得到DE=BC，证明四边形BCDE为平行四边形，再根据»»=得到BC=CD，从而证明菱形．BC CD解：（1）连接BD，∵»»»==，AB BC CD∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC；（2）连接CD ，∵AD ∥BC ，∴∠EDF =∠CBF ，∵»»BCCD =，∴BC =CD ，∴BF =DF ，又∠DFE =∠BFC ，∴△DEF ≌△BCF （ASA ），∴DE =BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，又BC =CD ，∴四边形BCDE 是菱形．【点拨】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，解题的关键是合理运用垂径定理得到BF =DF ．类型五、垂径定理及推论解决其他问题5．如图，AB 为O e 的一条弦，连接OA 、OB ，请在O e 上作点C 使得ABC V 为以AB 为底边的等腰三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】分别以点A 、B 为圆心，大于AB 长的一半为半径画弧，交于两点，连接这两点，交O e 于点C ，则问题可求解．解：如图所示：【点拨】本题主要考查垂径定理及等腰三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为 ；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为 ．【答案】（1）见分析；（2）90°【分析】（1）根据原点所在的位置，建立平面直角坐标系即可；根据圆心D必在线段AB和线段BC的垂直平分线上进行求解即可；（2）由（1）得到D点坐标，即可得到OA，OD的长，利用勾股定理求解即可得到AD 的长；利用两点距离公式求出点（6，-2）到圆心D的距离与AD的长比较即可得到点（6，-2）与圆D的位置关系；利用勾股定理的逆定理判断△ADC是直角三角形即可得到答案．解：（1）如图所示，即为所求；（2）由（1）可知D 点坐标为（2，0），A 点坐标为（0，4）∴OD =2，OA =4，AD ==∴圆D 的半径为∵点（6，﹣2）到圆心D =∴点（6，﹣2）到圆心D 的距离等于半径的长，∴点（6，﹣2）在⊙D 上．∵D （2，0），C （6，2），A （0，4），∴CD ==，AC ==，∴222CD AD AC +=，∴∠ADC =90°，故答案为：90°．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，两点距离公式，确定圆心位置，点与圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟知相关知识．【变式2】如图，O e 中，P 是»AB 的中点，C 、D 是PA 、PB 的中点，过C 、D 的直线交O e 于E 、F ．求证：EC FD =．【分析】连结OC，OD，OP交EF于G，由P是»AB的中点，可得¼¼AP BP=，根据弧等相等可得AP=BP，由C、D是PA、PB的中点，根据垂径定理可得OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，可求∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，由勾股定理OC==OD，根据线段垂直平分线判定可得OP是CD的垂直平分线，可得CG=DG，根据垂径定理可得EG=FG即可．解：连结OC，OD，OP交EF于G，∵P是»AB的中点，∴¼¼AP BP=，∴AP=BP，∵C、D是PA、PB的中点，∴OC⊥PA，OD⊥PB，CP=12AP，DP=12BP，∴∠PCO=∠PDO=90°，CP=DP，∴OC=OD，∴OP是CD的垂直平分线，∴CG=DG，∵CD在EF上，EF是弦，OP为半径，OP⊥EF，∴EG=FG，∴EC=EG-CG=GF-GD=DF．∴EC= DF．【点拨】本题考查弧了垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差，掌握垂径定理，等腰三角形判定与性质，线段垂直平分线判定与性质，线段和差是解题关键．类型六、利用垂径定理及推论的实际应用6．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，且折痕6AB =，求O e 的半径．【答案】【分析】过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，根据垂径定理，可得132AE AB ==，由折叠得： 12OE OA =，然后在Rt AEO V 中，利用勾股定理即可求得结果．解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，∴132AE AB ==，由折叠得：12OE OA =，设=2OE x OA x =，则，∴在Rt AEO V 中，由勾股定理得：222=OE AE OA +，即：2223=4x x +解得： x 1x 2＝∴2x答：O e 的半径为【点拨】本题主要考查了折叠的性质、垂径定理和勾股定理，熟练运用相关性质和定理是解题的关键．举一反三：【变式1】某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)请你补全这个输水管道的圆形截面（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；AB=，水面最深地方的高度（即»AB的中点(2)若这个输水管道有水部分的水面宽16cm到弦AB的距离）为4cm，求这个圆形截面所在圆的半径．【答案】(1)见分析(2)10cm【分析】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可，（2）先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．(1)如图所示，⊙O为所求作的圆形截面．(2)如图，作半径OC⊥AB于D，连接OA，AB＝8 cm，点C为AB n的中点，则AD＝12进而，CD＝4 cm．设这个圆形截面所在圆的半径为r cm，则OD＝（r－4）cm．在Rt△ADO中，有82＋（r－4）2＝r2，解得r＝10．即这个圆形截面所在圆的半径为10 cm．【点拨】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．【变式2】如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．【答案】（1）拱桥所在的圆的半径为17m；（2）不需要采取紧急措施，理由见分析．【分析】（1）由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，再在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，即可求出半径；（2）求出ON＝OP﹣PN＝15（m），再由勾股定理可得A′N＝8（m），则A′B′＝2A'N＝16米＞15m，即可得出结论．解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为xm，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝30m，AB＝15（m），∴AM＝12在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m，由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣9）2+152，解得：x＝17，即拱桥所在的圆的半径为17m；（2）∵OP＝17m，∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=8（m），∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m，∴不需要采取紧急措施．【点拨】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，准确计算是解题的关键．。

垂径定理——邵明峰

垂径定理——邵明峰

《垂径定理》专题
一、垂径定理地位与作用
垂径定理是圆的轴对称性最完美体现，是证明线段相等、角相等、直线垂直的重要依据。

是每年中考必考的知识模块。

二、垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

垂径定理包含五个方面内容：
①过圆心②垂直于弦③平分弦
④平分弦所对劣弧
⑤平分弦所对优弧
“知二推三法”
三、应用
类型1：利用垂径定理求线段的长
1、已知AB是⊙O的弦，半径OA=20，∠AOB=120°，求线段AB的长。

2、CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，求BE的长。

总结归纳：如图是垂径定理应用的基本图形，设半径为R，CD=a，OE=d，BE=h，∠C=α，∠COB=β。

已知六个量中任意两个量（至少有一个是边）就可以求出其余的量。

类型2：利用垂径定理证明
3、已知两个同心圆，大圆弦AB交小圆于C、D两点，
求证：AC=BD。

类型3：利用垂直定理定圆心
残破叶片，请你用所学知识将其复圆。

类型4：利用垂径定理解决实际问题
有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20米，求：
（1）桥拱的半径
（2）现有一轮船宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米要经过这里，这艘轮船能顺道过吗？
类型5：垂径定理的综合应用
AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF 上的任意一点，则PA+PC的最小值为多少？
谢谢同学们！再见！。

垂径定理最新中考试题讲解

垂径定理最新中考试题讲解

垂径定理最新中考试题讲解垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD例 1 （2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m ，水面宽AB=1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m ，则此时排水管水面宽CD 等于 m ．考点 垂径定理的应用；勾股定理分析 先根据勾股定理求出OE 的长，再根据垂径定理求出CF 的长，即可得出结论 解：如图：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m ，∴AE=0.8m，∵水管水面上升了0.2m ，∴AF=0.8﹣0.2=0.6m ， ∴CF=m ，∴CD=1.6m．故答案为：1.6．BD点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键例2 （2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理；勾股定理．.分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．解：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．例3 (2015·贵州六盘水，第18题4分)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。

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垂径定理最新中考试题讲解垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD例 1 （2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m ，水面宽AB=1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m ，则此时排水管水面宽CD 等于 m ．考点 垂径定理的应用；勾股定理分析 先根据勾股定理求出OE 的长，再根据垂径定理求出CF 的长，即可得出结论 解：如图：∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m ，∴AE=0.8m，∵水管水面上升了0.2m ，∴AF=0.8﹣0.2=0.6m ， ∴CF=m ，∴CD=1.6m．故答案为：1.6．BD点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键例2 （2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理；勾股定理．.分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．解：连接OA，∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．例3 (2015·贵州六盘水，第18题4分)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。

如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝米．考点：垂径定理的应用；勾股定理．.分析：根据垂径定理和勾股定理求解即可．解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．设圆的半径是r，根据勾股定理，得R2=202+（R﹣10）2，解得R=25（米）．故答案为25．点评：圆中拱形问题是垂径定理的一个重要应用，注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．例4 （2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．分析首先连接OC，由M是CD的中点，EM⊥CD，可得EM过⊙O的圆心点O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：（8﹣x）2+22=x2，解此方程即可求得答案解：连接OC，∵M是CD的中点，EM⊥CD，∴EM过⊙O的圆心点O，设半径为x，∵CD=4，EM=8，∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，在Rt△OEM中，OM2+CM2=OC2，即（8﹣x）2+22=x2，解得：x=．∴所在圆的半径为：．故答案为：．方法：涉及到圆内弦的一类计算题，通常添加半径及弦的弦心距，将半径，弦的一半，弦心距构造在一个直角三角形中，从而可以运用直角三角形中边与角的关系解题例 5 （2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）分析：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选A．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键例 7 （2013•牡丹江）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示：过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE=AB=×24=12，在Rt△AOE中，OE===5，∴OF=OE+EF=5+7=12，在Rt△OCF中，CF===5，∴CD=2CF=2×5=10；当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示：过点O作OF⊥CD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，∴AE=AB=×24=12，在Rt△AOE中，OE===5，∴OF=EF﹣OE=7﹣5=2，在Rt△OCF中，CF===，∴CD=2CF=2×=2．故CD的长为10或2．故选D．点评：本题考查的是垂径定理，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解例 8 (2014年山东东营)在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是8 cm．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有分析：作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求出C′D为直径，从而得解．解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，=，∴=，∵==，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是8cm．故答案为：8．点评： 本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM 的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键． 例 9 （2015·湖北省孝感市，第20题8分） 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O ；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）（2）若的中点C 到弦AB 的距离为20m ，80 AB m ，求所在圆的半径．（4分）考点：作图—复杂作图；勾股定理； 垂径定理的应用．. 专题：作图题．分析：（1）连结AC 、BC ，分别作AC 和BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O ，如图1；（2）连接OA ，OC ，OC 交AB 于D ，如图2，根据垂径定理的推论，由C 为的中点得到OC ⊥AB ，AD =BD =AB =40，则CD =20，设⊙O 的半径为r ，在Rt △OAD 中利用勾股定理得到r 2=（r ﹣20）2+402，然后解方程即可． 解：（1）如图1，)20(题第ABC点O为所求；（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，∵C为的中点，∴OC⊥AB，∴AD=BD=AB=40，设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+BD2，∴r2=（r﹣20）2+402，解得r=50，即所在圆的半径是50m．点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理．例 10 （2010•芜湖）如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，则BC的长为（）A．19 B．16 C．18 D．20考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质。

分析：延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE 的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD=AD=AB=12；∴OD=4，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD=2；∴BE=10；∴BC=2BE=20；故选D．点评：此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系［知识要点归纳］1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。

2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

例4. 如图，⊙O 中AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CD 的中点，DE ∥AB 。

求证：EC EA ⋂=⋂2【模拟试题】 一. 选择题。

1. 在⊙O 与⊙O'中，若∠=∠AOB A O B '''中，则有（ ）A. AB A B ⋂=⋂''B. AB A B ⋂>⋂''C. AB A B ⋂<⋂'' D. AB A B ⋂⋂与''的大小无法比较2. 半径为4cm ，120°的圆心角所对的弦长为（ ） A. 5cmB. 43cmC. 6cmD. 33cm3. 在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA 等于另一个圆心角∠COD 的2倍，则下列式子中能成立的是（ ）A. AB CD =2B. AB CD ⋂>⋂2C. AB CD ⋂<⋂2 D. AB CD ⋂=⋂24. 在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝90°，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（ ）A. 42B. 82C. 24D. 165. （ C.6. ∠BACA. 70°B. 45°C. 35°D. 30°二. 填空题。

1. 一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为____________。

2. 一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。

3. 在半径为R 的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。

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