垂径定理最新中考试题讲解

垂径定理最新中考试题讲解

垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD

例 1 （2015•衢州）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m ，水面宽AB=1.2m ，某天下雨后，水管水面上升了0.2m ，则此时排水管水面宽CD 等于 m ．

考点 垂径定理的应用；勾股定理

分析 先根据勾股定理求出OE 的长，再根据垂径定理求出CF 的长，即可得出结论 解：如图：

∵AB=1.2m，OE⊥AB，OA=1m ，∴AE=0.8m，∵水管水面上升了0.2m ，∴AF=0.8﹣0.2=0.6m ， ∴CF=

m ，∴CD=1.6m．故答案为：1.6．

B

D

点评：本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键

例2 （2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

考点：垂径定理；勾股定理．.

分析：连接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答．解：连接OA，

∵AB=6cm，OC⊥AB于点C，∴AC=AB=×6=3cm，

∵⊙O的半径为5cm，∴OC===4cm，故选B．

点评：本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键．

例3 (2015·贵州六盘水，第18题4分)赵洲桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙。如图10，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝米．

考点：垂径定理的应用；勾股定理．.分析：根据垂径定理和勾股定理求解即可．

解：根据垂径定理，得AD=AB=20米．设圆的半径是r，根据勾股定理，

得R2=202+（R﹣10）2，解得R=25（米）．故答案为25．

点评：圆中拱形问题是垂径定理的一个重要应用，注意构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形进行有关的计算．

例4 （2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．

分析首先连接OC，由M是CD的中点，EM⊥CD，可得EM过⊙O的圆心点O，然后设半径为x，由勾股定理即可求得：（8﹣x）2+22=x2，解此方程即可求得答案

解：连接OC，∵M是CD的中点，EM⊥CD，

∴EM过⊙O的圆心点O，设半径为x，∵CD=4，EM=8，

∴CM=CD=2，OM=8﹣OE=8﹣x，在Rt△OEM中，OM2+CM2=OC2，

即（8﹣x）2+22=x2，解得：x=．∴所在圆的半径为：．故答案为：．

方法：涉及到圆内弦的一类计算题，通常添加半径及弦的弦心距，将半径，弦的一半，弦心距构造在一个直角三角形中，从而可以运用直角三角形中边与角的关系解题

例 5 （2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）

分析：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，由垂径定理求出AM的长，再根据勾股定理求出OM的长，进而可得出ME的长

解：连接OA，过点O作OE⊥AB，交AB于点M，∵直径为200cm，AB=160cm，

∴OA=OE=100cm，AM=80cm，∴OM===60cm，

∴ME=OE﹣OM=100﹣60=40cm．故选A．

点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

例 7 （2013•牡丹江）在半径为13的⊙O中，弦AB∥CD，弦AB和CD的距离为7，若

与CD在圆心O的同侧和AB与CD在圆心O的异侧两种情况进行讨论

解：当AB与CD在圆心O的同侧时，如图1所示：

过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连接OA，OC，∵AB∥CD，OF⊥CD，

∴OE⊥AB，∴AE=AB=×24=12，

在Rt△AOE中，OE===5，∴OF=OE+EF=5+7=12，

在Rt△OCF中，CF===5，∴CD=2CF=2×5=10；

当AB与CD在圆心O的异侧时，如图2所示：

过点O作OF⊥CD于点F，反向延长交AB于点E，连接OA，OC，

∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB，

∴AE=AB=×24=12，在Rt△AOE中，

OE===5，∴OF=EF﹣OE=7﹣5=2，

在Rt△OCF中，CF===，∴CD=2CF=2×=2．

故CD的长为10或2．故选D．

点评：本题考查的是垂径定理，在解答此类题目时要注意进行分类讨论，不要漏解

例 8 (2014年山东东营)在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是8 cm．

考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．菁优网版权所有

分析：作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最

短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得=，然后求

出C′D为直径，从而得解．

解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，

此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，=，

∴=，∵==，AB为直径，∴C′D为直径，

∴CM+DM的最小值是8cm．故答案为：8．