数学文化之海伦—秦九韶公式

古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称为海伦公式.

我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式

下面我们对公式②进行变形：

这说明海伦公式与秦九韶实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式.

证明过程 ①海伦公式的证明

证明：如图，在△ABC 中，过A 作高AD 交BC 于D,设BD = x ，那么DC = a-x,

由于AD 是△ABD 、△ACD 的公共边，

则h 2=c 2-x 2=b 2-（a-x ）2，

解出x 得x=222

c -b +a 2a ， 于是h=2

22

2c -b +a c -2a 2（）， S △ABC 的面积=1ah 2=12a ·222

2c -b +a c -2a 2

（），

即S=122

22

22c +a -b c a -22

（），

令p=1

2（a+b+c ），

对被开方数分解因式，并整理得到 S=.))()((c p b p a p p --- 得证.

②由海伦公式推导秦九韶公式

秦九韶公式：])2([412

2

22

22c b a b a S -+-=. 推导过程:

))()((c p b p a p p ---.

=)22(2)22(22161

c p p b p a p -⋅⋅--）（