经济增长——索洛模型

以高消费作为选定稳态的标准。长期中消费水平最高的稳定
状态，被称为资本积累的“黄金律”水平。
（一）假设条件
1. 索罗模型成立； 2. 储蓄率s可以调整； 3. 目标：未来消费水平最高。
讨论：多少资本积累是长期消费最优的
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（二）黄金律的基本条件
假定稳定状态的人均资本为k*， 则有：i= s f（k*） = （n+δ）k * 由于y=c+i，有：c=y-i=f（k*）- s f（k*）= f（k*） -（n+δ）k*
由于规模报酬不变，即λY= F（λK,λL）
令λ=1/L，得Y/L= F（K/L,1）
用y=Y/L代表人均产出，k=K/L代表人均资本存 量，得：y=F（k，1）= f（k）
即人均产出只与人均资本有关。
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y
f(k)
0
k
人均生产函数示意图
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劳动按照一个不变的比率n增长。
生产函数为：Y= F（K，L），且生产函数规模收
益不变，即λY= F（λK,λL）。其中，K为资本，L 为劳动，生产函数对于每一投入具有正的和递减的 边际产品。
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二、基本方程
（一） 人均生产函数
索罗生产函数： Y=F（K，L ）
y c y i 0
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f(k) s1f(k) sf(k)
i1 k
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（三） 折旧
折旧是资本随着使用和时间的变化而受 到的损耗和减少。 假设经济中所有的资本都以一个固定的 比例δ折损减少（δ称平均折旧率），
0≤δ≤1，
如果年初资本数为K，当年折旧掉的资 本数量就是δK，与K成正比。
（二） 人均投资函数
总需求：Y=C+I 总供给：Y=C+S 因此，经济的均衡：I=S 由于储蓄函数为S = sY，得：I= sY 令I/L=i，称人均投资，得：i=sy 由于y=f(k)，得：i=s f(k)。
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人均产出、人均消费和人均投资的关系
（1）索罗模型成立；
（2）技术进步使劳动效率增长率为g。
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（一）有效劳动
把技术进步引起的劳动生产率的提高 用“A”来表示，原来L个单位的劳动力由于
技术进步的作用，现在相当于 L×A 个劳动
力，称为“有效劳动”。
则生产函数变为：
Y=F（K，L）→→→Y=F（K，AL）
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全部课程结束，预祝大家考试顺利， 2014-12-13 中国矿业大学管理学院 徐建博 暑假愉快！
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当sf（k）>（n+δ）k ，则Δk>0，人均资本存量增加；
当sf（k）<（n+δ）k，则Δk<0，人均资本存量减少;
当sf（k）= （n+δ）k ，则Δk=0，人均资本存量不变。
稳态是一个经济的长期均衡，不管经济初始水 平是什么，最后总会达到稳态的资本水平。 稳态意味着：ΔY/Y=ΔK/K=ΔL/L=n
经济增长理论
——索罗模型
一、基本假设条件 二、基本方程 三、稳态分析 四、储蓄率变化对产出的影响 五、人口增长对产出的影响 六、资本积累的黄金律
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一、基本假设条件

两部门经济：Y=C+I 。


储蓄函数为：S = sY，s是储蓄率, 0≤s ≤1
k
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1.
人口增长率上升会带来人均资本存量和 人均产量的下降。
2.
其他条件相同的情况下，人口增长率高 的国家，稳态人均资本低，产出低，所
以生活水平也低。
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六、资本积累的黄金律
高储蓄是以低消费为代价的。因此，选择最佳稳态，应该
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（四） 索罗模型基本方程式
Δk= sy－（n+δ）k
y （n+δ）k
f(k) i*=（n+δ）k* sf(k)
0
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k1 k* k2
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k
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三、稳态分析
稳态均衡的条件： s f（k*） = （n+δ）k *
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（二） 引入技术进步后的索罗模型 基本方程式
Δk ’ = s f（k’）-（δ+n+g）k’ 在稳态时，Δk’=0，即： s f（k’）=（δ+ n+g）k’
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有技术进步的稳定状态
y’ (δ+n+g)k’
2. 储蓄率对经济增长速度的影响：

较高的储蓄率意味着较高的资本存量稳定状态。 经济在长期中只要达到它的稳态，就不会再继续增 长。
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五、人口增长率对产出的影响
y
(n’+δ)k (n+δ)k sf(k)
A’ A
0
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k*2
k*1
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四、储蓄率变化对产出的影响
y
（n+δ）k
s2f(k)
i*=（n+δ）k*
s1f(k)
0
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k1*
k2*
k
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1. 储蓄率变化，形成新的稳态。
和原来的稳态相比，储蓄率提高形成新稳态具有 较高的资本存量水平和较高的产出。降低储蓄率， 则结果相反。
消费的最大化表现为一阶导数为0。
dc / dk = df / dk–（n+δ）= 0 于是有：MPk= n+δ
因此，资本的边际产出等于人口增长率加上折 旧率就是消费最大化的基本条件。
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资本积累的黄金律水平
y （n+δ）k
f(k)
Cg*
0
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kg*
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k
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通过储蓄率选择黄金律稳态
y
（n+δ）k
f(k) Cg*
S2f（k）
sgf(k)
S1f（k）
0
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k1
kg*
k2
k
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七、引入技术进步后的索罗模型
现实中技术的发展日新月异，对劳动生 产率的提高起到了积极的推动作用。所以， 我们有必要把技术进步引入索罗模型。 基本假设：
sf(k’)
0
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k’*
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k
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（三） 技术进步对经济增长的影响

引入技术进步后，虽然在稳定状态有效
劳动的平均资本和平均产出都不变，但人
均产出 Y/L=y’×A 和总产出 Y=y’×A×L
却分别以g和n+g的速度增长。

索罗模型表明技术进步是一个经济长
期持续增长的源泉。