常微分方程第三版答案2.1
《常微分方程》(第三版)高等教育出版社共100页
常微分方程课后习题答案详解习题1.21.dxdy=2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:ydy=2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y=|)1(|ln 1+x c3.dx dy =yx xy y 321++ 解:原方程为:dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为:y y -1dy=-xx 1+dx两边积分:ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为:dxdy=-y x y x +- 令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有:-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy . 6. xdxdy-y+22y x -=0 解:原方程为:dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnx x1dxarcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgxdx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解:原方程为:dx dy =ye y 2e x32 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程为:dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ x dxdu=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy=cy. 10.dxdy=e y x - 解:原方程为:dxdy=e x e y - e y =ce x11dxdy=(x+y)2 解:令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du-1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u,则dx dy =dxdu-1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解:原方程为:dxdy=(x+4y )2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程:1) y(1+x2y 2)dx=xdy2) y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明: 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u,有:u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版习题答案
常微分方程第三版习题答案常微分方程是数学中的一个重要分支,它研究的是描述自然界中变化规律的方程。
在学习常微分方程的过程中,习题是非常重要的一部分,通过解习题可以加深对理论知识的理解和应用能力的培养。
本文将为大家提供《常微分方程第三版》习题的部分答案,希望能对大家的学习有所帮助。
1. 习题一1.1 解:首先,我们根据题意列出方程:$\frac{dy}{dt} = 2y + t^2$这是一个一阶线性常微分方程,我们可以使用常数变易法来求解。
令$y = u(t)e^{2t}$,则$\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t}$将上述结果代入原方程,得到:$\frac{du}{dt}e^{2t} + 2ue^{2t} = 2(u(t)e^{2t}) + t^2$化简得到:$\frac{du}{dt}e^{2t} = t^2$两边同时除以$e^{2t}$,得到:$\frac{du}{dt} = t^2e^{-2t}$对上式两边同时积分,得到:$u = -\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C$将$u$代入$y = u(t)e^{2t}$,得到最终的解:$y = (-\frac{1}{4}t^2e^{-2t} + C)e^{2t}$1.2 解:首先,我们根据题意列出方程:$\frac{dy}{dt} = \frac{t}{y}$这是一个一阶可分离变量的常微分方程,我们可以通过分离变量来求解。
将方程变形,得到:$ydy = tdt$对上式两边同时积分,得到:$\frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{2}t^2 + C$解得:$y^2 = t^2 + C$由于题目中给出了初始条件$y(0) = 1$,将初始条件代入上式,得到:$1 = 0 + C$解得:$C = 1$将$C$代入$y^2 = t^2 + C$,得到最终的解:$y^2 = t^2 + 1$2. 习题二2.1 解:首先,我们根据题意列出方程:$\frac{dy}{dt} = 2ty + t^2$这是一个一阶线性常微分方程,我们可以使用常数变易法来求解。
常微分方程第三版答案.doc
常微分方程第三版答案.d o c本页仅作为文档封面,使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March习题1.dxdy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:ydy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解:y=|)1(|ln 1+x c 3.dx dy =yx xy y 321++ 解:原方程为:dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31xx +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解:原方程为: y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0解:原方程为:dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解:原方程为:dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsinxy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgxdx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解:原方程为:dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解:原方程为:dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duduu+ x=ulnudxln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解:原方程为:dxdy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1 解:原方程为:dx dy =(x+4y )2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: 1) y(1+x 2y 2)dx=xdy2) y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明: 令xy=u,则xdx dy +y=dx du 则dx dy =x 1dx du -2x u ,有: u x dxdu =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版答案
百度文库•让每个人平等地捉升口我习题1.21・—=2xy,并满足初始条件:x=0, y=l 的特解。
dx解:—=2xdx 两边积分有:ln|y|=x'+cy=e ' +e =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y= cex 2, x=0 y=l 时c=l特解为尸e r \2. y' dx+(x+l)dy=O 并求满足初始条件:x=0, y=l 的特解。
dy 1 + y 2* — 了dx xy + x^ydy _ 1 + y 2 1 dx y x + A 3 dy= ------ r dx X + X'两边积分:x(l+x 2) (1+y 2 )=cx"4. (1+x)ydx+(l-y)xdy=O解:原方程为:—dy=-—dx y x两边积分:In | xy +x-y=c另外x=0, y=0也是原方程的解。
5・(y+x) dy+(x-y)dx=O解:原方程为:解:y - dx=-(x+l)dy卑 dy=J x + 1 dx 两边积分:-丄=-ln|x+l|+ln|c| y I尸 In 1 c(x + 1)1另外y=0> X-1也是原方程的解x=0, y=l 时 c=e 特解:y=In I c(x + \) I解:原方程为:dy x- ydx x + y八V … t dv du 小、亠令i =u 则——=u+x 代入有: x dx dx---- d u= — dx iC +1 xln(u~ +l)x~ =c-2arctgu即 ln(y ~+x~ )=c-2arctg 厶.6. x — -y+ -Jx 2 — y 1 =0解:原方程为:y^=- + —-Jl-(-)2 dx xxv xA y dv dii 贝U 令—=u — =u+ x — x dx dx,du=sgnx — dx VI-w 2 Xarcsin —=sgnx In I x I +c x7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为:—=—fgy ctgx两边积分:In |siny =-ln |cosx I-In I c I1 c siny= ---------- = ------ 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. ccosx cosx所以原方程的通解为sinycosx=c.dx y解:原方程为:学二 dx y2 e ' -3e~ =c.9・ x (lnx-lny)dy-ydx=0解:原方程为:——=—In — dx x xA v rjl dy du 令—=u ,贝11 — =u+ x —— x dx dxduu+ x — =ulnudxln(lnu-l)=-ln|cx|1+1 n = =cy・xdx解:原方程为:g二11 — =(x+y) 2dx“A十du解:令x+y=u,则〒=〒T dx dxdx------du=dx\ + ir arctgu=x+c arctg (x+y)=x+cdx (x+y)-“ 八dy du解:令x+y=u,则一=——1 dx dxu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.cly 2x - y +113.—= ---------- :——dx x-2y+ 1解:原方程为:(x-2y+l) dy=(2x-y+l)dx xdy+ydx-(2y-l)dy-(2x+l)dx=O dxy-d (y' -y) -dx +x=c乍•>xy-y - +y_x - _x二c—dy x-y+ 5dx x _ y _ 2解:原方程为:(x-y-2) dy= (x-y+5) dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=O1 . 1 .dxy-d (— y' +2y) -d( —x" +5x) =02 2y - +4y+x - +10x-2xy 二c・15:— =(x+l) 2+(4y+l),+8xy + l dx解:原方程为:—=(x+4y) 2+3 dx八 e ■ 1 d" 1令x+4y=u 贝(J ——= -------dx 4 dx 41du 1 =------ =iT +34 dx 4—=4 U2+13dx3z、u= —t g(6x+c)T22t g(6x+c) = -(x+4y+l).16:证明方程丄学=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程,并由此求下列方程: y dx1) y(l+x2 y2)dx=xdyX 心二2 + x:y: y dx2)2-x2y2证明:令xy=u,则x— +y= —dx dx…, dy 1 du u亠贝9于=—: ---- •有:dx x dx Q——=f (u) +1 u dx------ ! ------- d u= — dx«(/(«)+ 1) X所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程(王高雄)第三版 2.1教学教材
(I)齐次方程
ddyxg(yx)
(II) 形如 ddyxfaa21xxbb12yycc12的方,程 其中 a1,b1,c1,a2,b2,c2为任意.常数
(I) 形如
dyg(y) dx x
(2.5)
方程称为齐次方程, 这里g(u)是u的连续函. 数
求解方法: 10 作变量代换(引入新变量)u y ,方程化为
x
du g(u)u, (这里d由 yx于 duu)
dx x
dx dx
20 解以上的变量分离方程
30 变量还原.
例4 求解方程 xdy 2xyy dx
(x0)
解: 方程变形为 dy2 yy dx x x
(x0)
这是齐次方程, 令u y 代入得 x
x du u 2 uu 即 x du 2 u
dx
为 (1)的情形,可化为变量分离方程求解.
解的步骤:
10解方 程 aa21xx 组 bb1 2yy cc1200,
得解yx
,
20 作变换 YXyx,方程化为
dY a1Xb1Y dX a2Xb2Y
g
(
Y X
)
30再经变 u换 Y,将以上方程化离 为方 变程 量分
X
40 求解
50 变量还原
dx
10 分离变量, 当 (y)0时 ,将 (2.1)写成
dy f (x)dx,
(y)
这样变量就“分离”开了.
20 两边积分得
dy
(y)f(x)d xc (2.2)
1 的某一原函数 f (x)的某一原函数 ( y)
由 (2.2)所确定 y的 (x,c)就 函 (2 为 .数 1)的.解
例:
分离变量:
常微分方程王高雄著课后习题答案
常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.d o c(总86页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1.dxdy =2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:ydy =2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解:y=|)1(|ln 1+x c 3.dx dy =yx xy y 321++ 解:原方程为:dx dy =y y 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解:原方程为: yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0解:原方程为:dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解:原方程为:dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为:tgy dy =ctgxdx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解:原方程为:dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解:原方程为:dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解:原方程为:dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解:原方程为:dxdy =(x+4y )2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: 1) y(1+x 2y 2)dx=xdy2) y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明: 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ,有: u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后答案
常微分方程2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得:e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:。
故特解是时,代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解:原式可化为:x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解:变量分离:。
常微分方程第三版课后习题答案
常微分方程第三版课后习题答案习题1.21.dxdy=2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:ydy=2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y=|)1(|ln 1+x c3.dx dy =yx xy y 321++ 解:原方程为:dxdy =y y 21+31x x +y y 21+dy=31xx +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为:y y -1dy=-xx 1+dx两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为:dxdy=-y x y x +- 令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有: -112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy . 6. xdxdy-y+22y x -=0 解:原方程为:dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令x y =udx dy =u+ x dxdu 211u - du=sgnx x1dxarcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgxdx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8dx dy +ye xy 32+=0解:原方程为:dx dy =ye y 2e x32 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程为:dx dy =x y ln x y 令xy=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10.dxdy=e y x - 解:原方程为:dxdy=e x e y - e y =ce x 11dxdy=(x+y)2 解:令x+y=u,则dx dy =dxdu-1 dx du-1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12.dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u,则dx dy =dxdu-1dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=c xy-y 2+y-x 2-x=c 14:dx dy =25--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15:dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解:原方程为:dxdy=(x+4y )2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: 1) y(1+x 2y 2)dx=xdy2) y x dx dy =2222x -2 y x 2y+证明: 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u,有:u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后习题答案
1.Dy/dx=2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:dy/y=2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e2x .2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y=|)1(|ln 1+x c 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为: y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgxdx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程为:dx dy =x y ln x y 令x y =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ x dx du =ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|,1+ln x y =cy.10. dx dy =e y x - 解:原方程为:dx dy =e x e y -,e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解:令x+y=u,则dxdy =dxdu -1,dxdu -1=u2,211u +du=dx ,arctgu=x+c ,arctg(x+y)=x+c12. dx dy =2)(1y x +,解:令x+y=u,则dx dy =dx du -1,dx du -1=21u u-arctgu=x+c ,y-arctg(x+y)=c.13. dx dy =1212+-+-y x y x (x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx ,xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=, xy-y 2+y-x 2-x=c15: dx dy =(x+1) 2+(4y+1)2+8xy1+解dxdy =(x+4y )2+3令x+4y=u 则dxdy =41dx du -41,dx du =4 u 2+13,u=23tg(6x+c)-1=tg(6x+c)=32(x+4y+1).,这也就是方程的解。
常微分方程(第三版)课后答案
常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得:e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:。
故特解是时,代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123 yxy dx dyx y 321++=解:原式可化为:x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解:变量分离:。
第三版常微分方程答案[1]
习题1.2 1.dy=2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
dx解:d ^ =2xdx两边积分有:In |y|=x 2 +cy2y=e x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0 原方程的通解为 y= cex 2 ,x=0 y=1时c=12特解为y= e x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:1 1两边积分:-=-ln|x+1|+ln|c| y=yIn | c(x +1) |另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1 时c=edy = 1 +y 2 dx xy x 3y2解:原方程为: 型=1 y1飞dx y x + x1 y 21dy= 亍 dx y x x两边积分:x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=01 — yX + 1解:原方程为:dy=- dxy x两边积分:In |xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。
5. ( y+x )dy+(x-y)dx=0 解:原方程为:特解: y=1 In |c(x 1)|x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy卑 dy=-ydxdy =- x —y dx x y令.X =u 贝y d ^ =u+x-du 代入有: xdx dx1du= dxx22ln(u +1)x =c-2arctgu 即 ln(y 2 +x 2 )=c-2arctg 当x6. x d ^ -y+x 2 - y 2 =0dxarcsin — =sg nx In |x|+cx7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为: 业=-^tgy ctgx两边积分:ln |si ny|=-l n|cosx|-l n|c|1csiny==另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0.ccosx cosx所以原方程的通解为 siny cosx=c.dx y2解:原方程为:e ye3xdxy2 e 3x -3e=c.9.x(l nx-l ny )dy-ydx=O解:原方程为:dy : 』ln ydx xx 令—=u , 则矽 =u+ x duxdxdx解:原方程为:dz=_y +凶 dx x x则令—=u虬u+ xdxdu dx----------- du=sgnx.1 -u 2丄dxdy + e y 2 3x=0du , u+ x =ulnu dx ln(ln u-1)=-l n|cx| y 1+ln =cy.xdy x_y10. =edx解:原方程为: ^y=e x e-ydxy=ce解:令 x+y=u,贝卩 砂=理 -1dx dx巴-1=udx2 du=dx1 uarctgu=x+c arctg(x+y)=x+cdy = 12dx (x y)解:令 x+y=u,贝卩 业=屯 -1dx dxdu 彳1-1=Pdx uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c.13. dy =2x_y +1 dx x—2y +1解:原方程为:(x-2y+1 ) dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=02 2dxy-d(y -y)-dx +x=c xy-y 2 +y-x 2 -x=c14: dy = x -y 5dx x - y - 2解:原方程为:(x-y-2 ) dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 1 2 1 2dxy-d( y +2y)-d( x +5x)=02 211哭=(x+y) 212.2 2y +4y+x +10x-2xy=c.15: 巴=(x+1)2+(4y+1) 2+8xy Tdx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版课后答案
常微分方程 2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件:x=0,y =1的特解. 解:对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得:e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:。
故特解是时,代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解:原式可化为:x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解:变量分离:。
《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案
21常微分方程习题 2.11.dy = 2xy ,并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解.dx解:对原式进行变量分离得1 dy y= 2 xdx , 两边同时积分得: ln y = x 2 + c ,即 y = c e x 2把 x = 0, y = 1代入得 c = 1, 故它的特解为 y = e x 2。
2. y dx + (x + 1)dy = 0, 并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解.解:对原式进行变量分离得:-1 x + 1 dx = 1 dy ,当y ≠ 0时,两边同时积分得;ln x + 1 = 1 + c ,即y = y 2y 1 c + ln x + 1当y = 0时显然也是原方程的解。
当x = 0, y = 1时,代入式子得c = 1,故特解是 y =1 + ln1 + x 。
3dy =1 + y 2dx xy + x 3 y解:原式可化为:22dy = 1 + y • 1 显然1 + y ≠ 0,故分离变量得 y dy = 1dxdx y x + x 3 y1 + y x + x 3两边积分得 1 ln1 + y 2 = ln x - 1 ln1 + x 2 + ln c (c ≠ 0),即(1 + y 2)(1 + x 2) = c x 22 2故原方程的解为(1 + y 2)(1 + x 2) = c x24:(1 + x ) ydx + (1 - y )xdy = 0解:由y = 0或x = 0是方程的解,当xy ≠ 0时,变量分离1 + x dx =1 - y dy = 0x y两边积分ln x + x + ln y - y = c ,即ln xy + x - y = c , 故原方程的解为ln xy = x - y = c ; y = 0; x = 0.2x2(1 - u 2) u c21 : = 5 : ( y + x )dy + ( y - x )dx = 0dy = y - x ,y = , =, dy = + du解: 令 dx y + x xu y ux u xdx dx 则u + x du = u + 1 , 变量分离,得:- u + 1 du = 1dxdx u + 1 u2 + 1x 两边积分得:arctgu + 1ln(1 + 2) = - ln x + c 。
《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案
4u
x
x4
x
19. 已知 f(x) ∫ f (x)dt = 1, x ≠ 0,试求函数f (x)的一般表达式 . 0
解:设 f(x)=y,
则原方程化为
x
∫
0
f
( x)dt
=
1 y
两边求导得
y
=
−
1 y2
y'
−
y3
=
dy ;;;;;;;;;; dx dx
=
−
y
1 3 dy
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
两边积分得x
17. dy = 2x3 + 3xy + x
dx 3x2 y + 2 y3 − y
解:原方程化为 dy = x(2x2 + 3y 2 + 1) ;;;;; dy 2 = 2x2 + 3y 2 + 1
dx y(3x 2 + 2 y 2 −1) dx 2 3x 2 + 2 y 2 −1
令 y 2 = u,;;;;; x2 = v;;;;;;;则 du = 2v + 3u + 1.......(1)
≠
0),即(1 +
y2)(1 +
x2)
=
c x2
故原方程的解为(1 + y2)(1 + x2) = c x2
4:(1 + x) ydx + (1 − y)xdy = 0
解:由y = 0或x = 0是方程的解,当xy ≠ 0时,变量分离1 + x dx = 1 − y dy = 0
常微分方程第三版课后习题答案(1)
常微分方程第三版课后习题答案常微分方程习题2.11.,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:3解:原式可化为:12.解15.16.解:,这是齐次方程,令17.解:原方程化为令方程组则有令当当另外19.已知f(x).解:设f(x)=y,则原方程化为两边求导得20.求具有性质x(t+s)=的函数x(t),已知x’(0)存在。
解:令t=s=0x(0)==若x(0)0得x=-1矛盾。
所以x(0)=0.x’(t)=)两边积分得a r c t gx(t)=x’(0)t+c所以x(t)=t g[x’(0)t+c]当t=0时x(0)=0故c=0所以x(t)=t g[x’(0)t]习题2.2求下列方程的解1.=解:y=e(e)=e[-e()+c]=c e-()是原方程的解。
2.+3x=e解:原方程可化为:=-3x+e所以:x=e(e e)=e(e+c)=c e+e是原方程的解。
3.=-s+解:s=e(e)=e()=e()=是原方程的解。
4.,n为常数.解:原方程可化为:是原方程的解.5.+=解:原方程可化为:=-()=是原方程的解. 6.解:=+令则=u因此:=(*)将带入(*)中得:是原方程的解.13这是n=-1时的伯努利方程。
两边同除以,令P(x)=Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式=14两边同乘以令这是n=2时的伯努利方程。
两边同除以令P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==15这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以令=P(y)=-2y Q(y)=由一阶线性方程的求解公式==16y=+P(x)=1Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=1y=17设函数(t)于∞<t<∞上连续,(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。
令t=s=0得(0+0)=(0)(0)即(0)=故或(1)当时即∞,∞)(2)当时====于是变量分离得积分由于,即t=0时1=c=1故20.试证:(1)一阶非齐线性方程(2.28)的任两解之差必为相应的齐线性方程(2.3)之解;(2)若是(2.3)的非零解,而是(2.28)的解,则方程(2.28)的通解可表为,其中为任意常数.(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程(2.3)的解.证明:(2.28)(2.3)(1)设,是(2.28)的任意两个解则(1)(2)(1)-(2)得即是满足方程(2.3)所以,命题成立。
常微分方程第三版课后习题答案
习题1.21.dxdy=2xy,并满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:ydy=2xdx 两边积分有:ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解,c=0时,y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解。
解:y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解:y=|)1(|ln 1+x c3.dx dy =yx xy y 321++解:原方程为:dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分:x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为:y y -1dy=-xx 1+dx两边积分:ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5.(y+x )dy+(x-y)dx=0解:原方程为:dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有:-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解:原方程为:dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgy dy =ctgxdx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解,而c=0时,y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解:原方程为:dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解:原方程为:dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解:原方程为:dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解:令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解:令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解:原方程为:dxdy=(x+4y )2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程: 1) y(1+x 2y 2)dx=xdy2) y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明: 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u,有:u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
常微分方程第三版王高雄课后习题答案
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习题 2.2
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习题 2.1
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常微分方程第三版王高雄课后习题答案
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《常微分方程》答案习题2.1
解:对原式进行变量分离得—dy y2c =1,故它的特解为 y =eX 。
22.y dx +(x +1)dy =0,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:23虬"y3.3dxxy +X y解:原式可化为:2yHO,故分离变量得y解:由y=0或x=0是方程的解,当xyHO 时,变量分离1__ dx = — dy=OX y两边积分 ln |x +x +ln |y | -y = c,即In [xj + 故原方程的解为ln xy习题2.1= 2xy ,并求满足初始条件: x=0,y=1的特解.=2xdx ,两边同时积分得: 2 2ln I y | =X + c,即 y = c g X 把 x = 0, y = 1dy,当y^O 时,两边同时积分得;ln |x + 1==+c,即y= 1y1 . 1 d x = —2 X +1y当y =0时显然也是原方程的解。
当x=0,y=1时, 1y = ------- 。
1+1 n1+x |c + ln |x +1 代入式子得c = 1,故特解是2dyJ+ydx y显然1 Tn 1 + 2两边积分得 =In 2 2 (1 +y)(11X —一 l n1 +22 2+ ln C(c HO),即(1 +y )(1 + 2cx4:(1 +x)ydx + (1 -y)xdy =0X - y = c,= x-y=Gy=O;x = O.5: (y +x)dy + (y -x)dx =0 解型=g,令y=u,y=ux 』=u+x 巴dx y +x x dx dx则u +x 理=4,变量分离,得:-孚1du Jdx dx u +1u +1 X1 2两边积分得:arctgu +- ln(1 +u)=」n |x | +c 。
两边积分得:arcsinu =sgnx *ln |x +c 代回原来变量,得arcsin^=sgnx *ln |xx2o另外,y =x 也是方程的解。
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常微分方程习题2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件:x=0,y=1的特解. 解:对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得:e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件:x=0,y=1的特解.解:对原式进行变量分离得:。
故特解是时,代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解:原式可化为:xx yx x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+•+=+)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解:变量分离:。
代回原变量得:则有:令解:方程可变为:解:变量分离,得两边积分得:解:变量分离,得::也是方程的解。
另外,代回原来变量,得两边积分得:分离变量得:则原方程化为:解:令:。
两边积分得:变量分离,得:则令解:cx y x arctg cx arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dxdy cdx dy dxdy tt y x e e e e e x yxyyx +=++==++=+==+=+===+-)(,11111,.11222)(代回变量得:两边积分变量分离得:原方程可变为:则解:令两边积分得:解:变量分离,12.2)(1y x dx dy += 解c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t tdx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1111222,代回变量,两边积分变量分离,原方程可变为,则令变量分离,则方程可化为:令则有令的解为解:方程组U U dX dU X U X Y Y X YX dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'22,31,3131,31;012,0121212.132-+-==--=+=-==-==+-=--+---=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22c x y x cx t dx dt t t tdx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=+-代回变量两边积分变量分离原方程化为:则解:令15.18)14()1(22+++++=xy y x dx dy原方程的解。
,是,两边积分得分离变量,,所以求导得,则关于令解:方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dxdy+=++=++==+=+++++=+++++++=6)383232(941494141412)14(181816122222216.2252622y x xy x y dx dy +-=解:,则原方程化为,,令u y xxy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32322332322232]2)[(32(2)( 126326322222+-=+-=xu x u xxu x u dx du ,这是齐次方程,令cx x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz dz z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。
故原方程包含在通解中当或,又因为即(,两边积分的(时,变量分离当是方程的解。
或)方程的解。
即是(或,得当,,,,所以,则17. yy y x x xy x dx dy -+++=3232332 解:原方程化为123132;;;;;)123()132(2222222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(123132;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则方程组,,,);令,的解为(111101230132+=-=-⎩⎨⎧=-+=++u Y v Z u v u v则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032)化为,,,,从而方程( 令)2.( (232223322),,,,,所以,,则有tt dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当是原方程的解或的解。
得,是方程时,,即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当c x y x y dz z dt tt t 5222222)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时,,分离变量得 另外c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为,包含在其通解中,故,或,这也就是方程的解。
,两边积分得分离变量得,则原方程化为令解)(并由此求解下列方程可化为变量分离方程,经变换证明方程c y x x y dx x du uu u u x u u u ux y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dxdyy x +==--=+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+==+===4ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.x ,c 2故原方程的解为原也包含在此通解中。
0y ,c 2即,c 2两边同时积分得:dx x 12u du 变量分离得:),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx dy y x 时,方程化为0s xy 是原方程的解,当0y 或0x 当:(1)解程。
故此方程为此方程为变u)(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx duy 1得:y dx du dx dy x 所以,dx dydx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明:因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222x y x y x y x yx u u uu y x19. 已知f(x)⎰≠=xx f x dt x f 0)(,0,1)(的一般表达式试求函数.解:设f(x)=y, 则原方程化为⎰=xydt x f 01)( 两边求导得'12y yy -= cx y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==-21;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入把cx y +±=21⎰=xydt x f 01)(xy c c x c c x c x dt ct x21,02)2(;;;;;;;;;;2210±==+±=-+±+±=+±⎰所以得20.求具有性质 x(t+s)=)()(1)()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。
解:令t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(x x x -+=)0()0(1)0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。
所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')()(1[))(1)((lim )()(lim22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=∆-∆+∆=∆-∆+) ))(1)(0(')(2t x x dtt dx += dt x t x t dx )0(')(1)(2=+ 两边积分得arctgx(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]02411 黄罕鳞(41) 甘代祥(42)。