分解素因数(难点)
初中数学专题3.2 素因数分析
3.2素因数分析只能被1和它本身整除的正整数叫做素数，素数是数论中最简单、最重要的一类数，许多问题从正整数的素因数出发分析显得自然、简单、直接.下面的一些性质在素因数分析处理数论问题时经常用到：1.最小的素数是2，它也是唯一的偶素数2.任意一个大于1的正整数的最小正因数是素数.3.若p 为素数，a ，b 为整数，且p ∣ab ，则p ∣a 或p ∣b.4.素数有无穷多个.例1 已知a 、b 、c 是不同的素数，且满足2000=+a c ab b ，试求a 、b 、c 的值【解】由题意知34522000)1(⨯==+c a a b ，所以2=a 或5=a（1）若2=a ，则3739993⨯==c b b ，所以3=b ，37=c ；（2）若5=a ，则1973399⨯⨯==c b b ，无解所以2=a ，3=b ,37=c例2 试问：当n 为何正整数时，323能够整除131620--+n n n ？【分析】对于指数为字母的式子，多用同余来研究，但是323本身比较大，直接模323操作较复杂，利用整除的性质，考虑用323的素因数作模来研究【解】由于1917323⨯=，所以当n 为偶数时，)19(mod 01331131620≡--+=--+n n n n n ，)17(mod 01313131620≡--+≡--+n n n n n n ，此时323整除131620--+n n n当n 为奇数时，201313131620-≡---≡--+n n n n n )17(mod ，所以此时323不整除131620--+n n n综上所述，n 为偶数时，323整除131620--+n n n【说明】本例利用了整除的一个性质：若a ，b 互素，且a ∣c ,b ∣c ,ab ∣c例3从1，2，3，……2012中，选出若干个数，使其中的任意三个数是最小公倍数均所选的数中，试问：最多可以选多少个不同的数？【解】设共取出k 个数，它们是1≤1a ＜2a ＜……k a ≤2012，由题意[i a ，j a ,]k a ≤k a ,又根据最小公倍数定义：[i a ，j a ,]k a ≥k a ,所以[i a ，j a ,]k a k a =，即i a ∣k a ，j a ∣k a 因此，1a ，……,k a 都是k a 的正因数.反过来，当k a 取定后，如果取出k a 的所有正因数，那么这些数中任意三个数的最小公倍数仍为k a 的正因数，在所选的数中，从而，只需找到1，2，……，2012中正因数个数最多的那个正数数m ，即可确定k 的最大值从m 的不同素因数的个数出发去讨论d (m )（它表示m 的正因数的个数）如果m 只有一个素因数，那么d (m )≤11（因为满足x 2≤2012的最大正整数10=x ）; 如果m 恰有两个不同素因数，为使d (m )最大，可设x x m 32⋅=，分别就1=y ，2，3，……计算，可知3632⋅=m 时，d (m )=28最大；如果m 恰有三个不同素因数，同上可设z 532⋅⋅=x x m ，分别就1=z ，2，3……计算，可知53225⋅⋅=m 时，d (m )=36最大；如果m 恰有四个不同素因数，可设s x y x m 7532⋅⋅⋅=，就1=s ，2，……计算，可知 75324⨯⨯⨯=m 时，d (m )=40为最大.综上可知，最多可以选出40个数满足条件.例4 求所有的正整数n 和素数p ，使得23653-+=-n p p n【解】移项后作因式分解，得)1()2()1(52+=+-p p n n注意到：1(-n ，1)2-=+n n （，1)3=或3.如果1(-n ，1)2=+n ，那么由p 为素数可知5p ∣2)1(-n 或5p ∣2+n ，前者要求3p ∣1-n ，此时有32)1(p n >-,故321=+>+n p1-+n ≥33p +，不能成立；后者要求2+n ≥5p ，知1-n ≥35-p ≥324-p ≥)32(44-+p 134+=p ，导致1)1(2+>-p n ，亦不能成立.如果1(-n ，3)2=+n ，那么由上面的计论可知3=p （否则，将有5p ∣2)1(-n 或5p ∣2+n ），此时，可设m n 31=-，则)1(32+=+m n ，进而，43)1(22⨯=+m m ，知3=m 综上可知，所求的n （，10()=p ，)3例5 设n 为正整数.证明：存在正整数a ，b ，使得b a n -=,并且a ，b 的不同素因数的个数相同.【证明】我们用)(x π表示正整数x 的不同素因数的个数，如果n 为偶数，那么取n a 2=,n b =,则)()()(n b a πππ==，并有b a n -=，命题成立； 如果n 为奇数，设p 是不能整除n 的最小奇素数，那么1-p 所有奇素因数都是n 的素因数，从而取pn a =，n p b )1(-=，则b a n -=,而)(1)()(n b a πππ+==（注意：1-p 为偶数，故)(1)(n b ππ+=），命题亦成立【注】这里取“最小”的方法在数论中经常用到【例6】设n 是一个大于2的正整数，证明：在数n 与n !之间至少有一个整数为素数.【证明】设1p ，2p ，……m p 是所有不超过n 的素数，由n >2，知2，3都在1p ，2p ，……m p 中出现，考虑数1p M =……1-m p ，可知M ≥2×3－1=5，而M 的素因数q 不能是1p ，2p ，……m p 的数，因些p >n ，M ≤432⋅⋅……1!1-=-⋅n n ，故!n q <所以，在n 与n !之间存在一个整数为素数【注】由此题的结论可推出素数有无穷多个练3.21求所有不超过100的恰好3个正整数因子的正整数的乘积，并证明所有这样的数都是完全平方数2设≥2，且当1=j ，2……，[]k n 时，都有j ∣n ，求证：k k p n 2<,这里k p 2表示第2k 个素数 3证明：每个正整数n 都能表示成为两个素因子个数相同的正整数之差.4证明：形如)3(mod 2≡p 的素数有无穷多个5证明：存在无穷多个正整数n ,使得14+n 的最大素因子大于2n。
分解素因数(教师版)
例1、自然数N是一个两位数，它是一个素数，而且N的个位数字与十位数字都是素数，这样的自然数有多少个？解：这样的自然数有4个：23，37，53，73．例2、两个素数之和为39，求这两个素数的乘积是多少.解：因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2，另一个是37，乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。
例3、如果a，b均为素数，且3741+=______.+=，则a ba b解：根据题意a，b中必然有一个偶素数2，，当2b=，当2b=时不符合题意，所a=时，5以257+=+=.a b例4、用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成素数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个素数.解：要使素数个数最多，我们尽量组成一位的素数，有2、3、5、7均为一位素数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是素数的数字未用．有1、4、8、9可以组成素数41、89，而6可以与7组合成素数67．所以这9个数字最多可以组成6个素数。
例5、7个连续素数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？解：因为7个素数的和是偶数，所以这7个素数不可能都是奇数.我们知道是偶数的素数只有2，因此这7个素数中必有一个是2.又因为2是最小的素数，并且这7个连续素数是从大到小排列的，所以2g=.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样7d=.例6、将60拆成10个素数之和，要求最大的素数尽可能小，那么其中最大的素数是多少解：最大的素数必大于5，否则10个素数之和将不大于50，又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的和为60，故其中最大的素数是7．例7、在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是素数，那么这个长方体的体积是多少?解：如下图，设长、宽、高依次为a、b、c，有正面和上面的和为ac+ab=209．ac+ab=a×(c+b)=209，而209=11×19．当a=11时，c+b=19，当两个素数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶素数2，则c+b=2+17; 当a=19时，c+b=11，则c+b=2+9，b为9不是素数，所以不满足题意．所以它们的乘积为11×2×17=374．例8、甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？。
六年级秋季班-第2讲：分解素因数
模块一：素数、合数与分解素因数分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．2、 分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数 知识结构知识精讲 内容分析3、 口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯．4、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例1】 在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________是素数，合数有______个．【例2】 将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______．【例4】 将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对．【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；（2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；（4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．A ．0B ．1C ．2D ．3【例6】 如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________．【例7】 两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______．【例8】 已知41176a b =（a 、b 都为正整数），则a 的最小值为______． 例题解析35 5 7【例9】 面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？1、 公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、 最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、 两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、 求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．【例10】36和54的公因数有_____________．【例11】126和630的最大公因数是________________．【例12】 在下列各组数中，互素的有（ ）组 （1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．A ．1B ．2C ．3D ．4例题解析知识精讲 模块二：公因数和最大公因数【例13】下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5【例14】三个数16、24和30的公因数有______．【例15】有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．【例16】一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．【例18】求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2、求两个数的最小公倍数求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．【例19】已知23357A =⨯⨯⨯⨯，22557B =⨯⨯⨯⨯，则A 与B 的最小公倍数是______．【例20】已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．【例21】 下列说法中正确的个数为（ ）个 （1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；（2）若3m n ÷=，则两个正整数m 、n 的最小公倍数是m ；（3）互素的两个数没有公因数；（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；（5）若a b c ÷=（a 、b 、c 都是正整数），则a 与b 的最大公因数是c ．A ．0B ．1C ．2D ． 3模块三：公倍数与最小公倍数 例题解析知识精讲【例22】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．【例23】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）187和442；（2）36、84和39．【例24】某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．【例25】能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．A B是24的倍数，则A+B的最大值为多少？【例26】已知四位数20【例27】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【例28】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【例29】某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？【例30】甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？随堂检测【习题1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．【习题2】下列选项中分解素因数正确的是（）A．17117=⨯B．1802259=⨯⨯⨯C．3362233729=⨯⨯⨯=D．362233=⨯⨯⨯【习题3】已知a和b都是小于10的合数，两位数ab是一个素数，这样的两位数是______．【习题4】在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．【习题5】三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．【习题6】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．【习题7】如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．【习题8】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得余数也相同，求这个两位数．【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．课后作业【作业1】2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．【作业2】108的素因数有____________________．【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．【作业4】以下说法正确的有（）个（1）任何一个奇数都是素数；（2）除2以外的偶数都是合数；（3）两个素数的积一定是合数；（4）任何一个素数加上1都是偶数；（5）两个连续的偶数一定互素；（6）两个连续正整数一定互素．A．1 B．2 C．3 D．4【作业5】两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．【作业6】24的所有因数中，互素的数共有______对．【作业7】已知M a b c（a、b、c都是素数），那么M的因数中是合数的有_________．【作业8】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．。
上海市青浦区金泽中学沪教版(五四学制)六年级数学上册教案1.4(2)素数、合数与分解素因数
用树枝分解法将60分解素因数
用短除法将64分解素因数
归纳：短除法分解素因数的步骤：
1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除
2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续下去，直到得到的商是素数为止
3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式
分解素因数的方法：树枝分解法和短除法
课题
1.4(2)素数、合数与分解素因数
课型
新授课
教
、理解素因数及分解素因数的概念，掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。
2、经历概念的形成过程，培养学生的分析与推理能力。
3、通过各种方式，激发学生的交流、对话意识，积极探索的精神，树立学好数学的自信心。
活动三：当堂检测
1、下列分解素因数正确的是……（）
(A)42＝2×21 (B)48＝1×2×2×2×2×3
(C)24＝4×6 (D)62＝2×31
2、分解素因数：
72、51、84、
42、81、40
教师巡视，对个别学生加以指导，对学生的展示加以评价
课堂上独立完成当堂检测
展示作业
活动四、融会贯通
学完本节课后，你有哪些收获？你还有哪些疑问？
引导学生讨论：
素数都能写成几个素数相乘的形式吗？
合数都能写成几个素数相乘的形式吗？
谈谈你对概念的理解
小组讨论
（每个合数都可以写成几个素数相乘的形式）
素因数：既是合数的因数又是素数
分解素因数：一定是写成素因数连乘的形式
反思：素因数与分解素因数是后续学习短除法求最大公因数与最小公倍数的基础，是非常重要的，但是对于学生而言，素因数与分解素因数的概念比较抽象，是个难点，课堂教学中，要关注个别学生的学习。另外树枝分解法和短除法的书写规范一定要注意强调，尤其是短除法的书写格式更要强调规范：用最小的素因数试除，短除号要不断的向里缩进，短除号里面的数字要数位对齐。最终除到商为素数为止。
第6讲：分解素因数
第1章第6讲：分解素因数本节主讲内容：（1）素因数的概念；（2）分解素因数的方法；一：分解素因数例题：6，28和60可以写成哪几个素数相乘的形式？解析：解决这类问题，我们可以采用“树枝分解法”，如下图所示：所以：6=2×328=2×2×760=2×3×2×5=2×2×3×5从这个例题中，我们可以看出：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，并且这几个素数都是这个合数的因数，因此我们称它们为这个合数的素因数。
在数学中，把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫作分解素因数。
练习1：因为12=2×2×3，所以12的素因数有：A.2B.2和3C.3D.2、2和3练习2：28的素因数有：A.4B.2和7C.2、2和7D.4和7练习3：把32分解素因数正确的是：A.32=2×2×2×4B.32=1×32C.32=2×2×2×2×2D.32=1×2×2×2×2×2二：分解素因数的方法把一个合数分解素因数除了可以使用“树枝分解法”以外，我们还可以使用“短除法”。
看下面的例题：例题：把48，35，60分解素因数。
所以：48=2×2×2×2×3；35=5×7；60=2×2×3×5用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式；注：除了以上两种方法外，也可以采用口算的方法进行分解素因数，例如：72=8×9=2×4×3×3=2×2×2×3×3特别注意的是，在分解素因数时，分解到最后必须保证每个因数都是素数。
分解素数第二讲
分解素数第⼆讲第⼆讲分解素因数教学⽬标1、素数、合数与分解素因数2、公因数与最⼤公因数3、公倍数与最⼩公倍数重点难点1、理解因数、倍数、公约数和公倍数等的相关概念，2、掌握有关⽅法，会求质因数，公因数和公倍数，来解决实际问题3、掌握分解素因数的⼏种⽅法，熟练掌握⽤短除法分解素因数。
4、通过学习，进⼀步加深对整数的认识，理解整数的多种分类⽅法的异同，体现分类思想。
知识框架⼀、素数和合数素数、合数的概念：⼀个正整数，如果只有1和它本⾝这两个因数，这样的数叫做素数，也叫作质数，如果除了1和它本⾝以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
举例常见的素数：合数：1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数⼜可以分为。
判断下列说法是否正确：（1）⼀个合数⾄少有3个因数；（2）所有的奇数都是素数；（3）所有的偶数都是合数（4）在正整数中，除了素数都是合数。
⼆、分解素因数分解素因数：每个合数都可以写成⼏个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把⼀个合数⽤素因数相乘的形式表⽰出来，叫做分解素因数。
既不是素数也不是合数的正整数是1.分解素因数常⽤的⽅法有：树枝分解法、短除法、⼝算法等例1：将6、28、60分解素因数说明：先将该合数分解成两个因数之积，再将其中的合数分解，⼀直分到不能再分为⽌。
例2：把48、35、60分解素因数（⽤短除法）例3：1）89和189 分别是素数，还是合数？如果是合数，把它分解素因数2）89 和189 各有多少个因数？把他们都写出来。
例4、有91个苹果，分给⼗⼏个⼈，若每⼈分得苹果的个数都相同，那么每个⼈分得苹果多少个？⽤短除法分解素因数的步骤如下：1、先⽤⼀个能整除这个合数的素数（通常从最⼩的开始）去除2、得出的商如果是合数，再按照上⾯的⽅法继续除下去，直到得出的商是素数为⽌3、然后把各个除数和最后的商按从⼩到⼤的顺序写成连乘的形式。
分解素因数与分解因数有何相同点和不同点？总结：1. ⼏个数共有的因数叫做公因数，其中最⼤的⼀个公因数，叫做这⼏个数的最⼤公因数。
分解素因数知识整理
分解素因数知识整理
素因数分解是指将一个合数分解成若干个素数相乘的形式。
例如，12可以分解为2*2*3，其素因数为2和3。
素因数分解的方法
•试除法：从2开始，依次试除合数，直到找到一个能整除合数的素数。
然后，将合数除以这个素数，得到一个新的合数。
再从2开始试除新的合数，直到无法再整除。
•短除法：将合数不断分解成两个因数，其中一个因数是素数。
例如，12可以分解为4*3，4可以分解为2*2，3是素数，因此12可以分解为2*2*3。
•唯一分解定理：任何一个合数都可以唯一地分解成若干个素数相乘的形式。
素因数分解的应用
•求最大公因数和最小公倍数：两个数的最大公因数是它们所有相同素因数的乘积，最小公倍数是它们所有素因数的最高次幂的乘积。
•化简分数：将分数的分母分解成素因数，然后将分母中的公因数与分子中的公因数约去。
•解一元一次方程：将方程两边同时分解成素因数，然后将相同的素因数消去。
一些常见的素因数分解技巧
•利用2、3、5的性质：2是唯一一个偶数素数，3是唯一一个能整除所有3的倍数的素数，5是唯一一个末尾数字为5的素数。
•利用平方数和立方数的性质：平方数的素因数分解形式为a^2，立方数的素因数分解形式为a^3。
•利用互质数的性质：两个互质数的素因数没有相同的素因数。
练习题
1.分解下列合数的素因数：
o12
o24
o36
o48
o60
2.求下列分数的最大公因数和最小公倍数：
o12/18
o15/20
o24/36
3.解下列一元一次方程：o2x=12
o3x=15
o5x=25。
分解素因数108
分解素因数108
108是一个数值，我们可以通过把108分解成质数和质因数的乘积来简单表示。
素因数分解法是一种分解数学，它是把大数字分解为小数字的技术。
其原理是将大数字分解为一组质数因子的乘积，每一个因子都是一个质数。
在数学中，质数是指只能够被1和其本身整除的数，108恰好是3的3次方乘以2的2次方，这样
我们形成了两个质数3和2。
因此，108可以写成如下的素因数分解：
108 = 3 × 3 × 2 × 2 = (3 × 2) × (3 × 2)
108被分解后，即3和2均为质数，我们可以将108形象地表达为：由3和2
两个质数组成，它们组合而成的乘方结果就是108。
所以，108的质因数分解就是
3和2，即3 × 2 × 2 × 2。
素因数分解通常被用作另一种表示大数字的方法，它有助于数学学习者建立起更好的理解和掌握的过程，也提供了一种有用的工具来帮助数学学习者解决各种乘除等乘方问题。
综上所述，素因数分解可以很容易地分解出大数字，比如108，它被分解后即
可得到它的质因数为3和2。
使用素因数分解不仅可以帮助数学学习者掌握数学问题，而且也提供了一种非常有用的方法来分解大数字。
分解素因数的方法
分解素因数的方法分解素因数是将一个数分解成素数的乘积的过程。
在数学中，素数是指只能被1和自身整除的数，例如2、3、5、7等。
分解素因数是一个重要的数论问题，可以用来解决许多与数的性质和因子相关的问题。
要分解一个数的素因数，可以使用质因数分解的方法。
首先，我们可以从最小的素数2开始尝试是否能整除给定的数。
如果能整除，那么就将给定的数除以该素数，并将该素数记录下来，作为一个素因数。
然后继续尝试用相同的素数去除以所得的商，直到该商不能再被该素数整除为止。
如果一个数不能被2整除，在尝试其他素数之前可以直接排除所有偶数，因为它们一定会包含2这个素因数。
同样地，如果一个数不能被3整除，那么可以排除所有3的倍数。
这样可以有效地减少计算量，提高分解素因数的效率。
具体的分解素因数的方法如下：1. 将给定的数表示出来，通常用一个大写字母N来表示。
2. 从最小的素数2开始，尝试是否能整除N。
如果能整除，就将N除以2，并记录下2作为一个素因数。
3. 如果N不能被2整除，再尝试3。
同理，如果能整除，将N除以3，并记录下3作为一个素因数。
4. 继续尝试5、7、11、13等素数，直到所得的商不能再被尝试的素数整除为止。
5. 最后得到的N一定是一个素数，也是最后一个素因数。
举个例子来说明一下，假设我们要分解素因数的数为120。
首先，从最小的素因数2开始尝试，发现120可以整除2。
将120除以2得到60，并将2记录下来。
接下来，再尝试2，发现60仍然能整除2。
将60除以2得到30，并将2再次记录下来。
继续尝试2，发现30仍然能整除2。
将30除以2得到15，并将2记录下来。
此时再试图用2除以15时，发现不能整除。
于是，我们再尝试3。
发现15可以被3整除，将15除以3得到5，并将3记录下来。
此时再试图用3除以5时，发现不能整除。
最后得到的商5是一个素数，也是最后一个素因数。
综上所述，分解素因数的方法是将给定的数从最小的素数开始不断尝试，如果能整除就将素因数记录下来并将商继续进行尝试，直到不能再整除为止。
上海市六年级(上)数学同步讲义 第3讲 (难)分解素因数(二)(解析版)
分解素因数（二）内容分析分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．知识结构模块一：公倍数与最小公倍数知识精讲1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．例题解析【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；72．【解析】 2 18 243 9 123 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1）8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；2/ 15（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45； （3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399． 【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2） 成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________． 【难度】★ 【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数． 【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60． 【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？ 【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，． 则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105． 【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．4 / 15【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？ 【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a ，4b (a 、b 互素)，则44144a b ⨯=．所以9ab =．因为a 、b 互素，所以a =1×4=4，b =9×4=36． 即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市 购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市． 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【难度】★★★ 【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18． 答：这个班的小朋友最多有18人． 【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．1、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例10】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144； （2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81． 【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数．例题解析知识精讲模块二：最大公因数与最小公倍数综合6 / 15【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例11】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24； （2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450． 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例12】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________， 最小公倍数是_________． 【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例13】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？ 【答案】15【解析】 设另一个数是x ， 则：6 x =3×30 解得：x =15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例14】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由． （1）两个数的公倍数的个数是有限的． ( ) （2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．( )（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．( )【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例15】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积【例16】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例17】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．8 / 15∴ab =35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数 ∴a =5，b =7，这两个数是20、28．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x 、y 、z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？ 【难度】★★★ 【答案】20或4．【解析】设4123x a y b z c ===，，（a ，b ，c 为素数），则12abc =60． 所以abc =5=1×1×5．（1）a =5，这三个数是20，12，3； （2）b =5，这三个数是4，60，3； （3）c =5，这三个数是4，12，151； 答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【习题1】如果数a 能被数b 整除，则a 和b 的最大公约数是______，最小公倍数是______． 【难度】★ 【答案】b ， a ．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数； 【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b 的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）随堂检测【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．10/ 15【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：12 / 151与299（ ） 12与36（ ） 12与13（ ） 13与52（ ） 10与14（ ） 21与49（ ） 6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299； 36； 156； 52； 70； 147； 30； 66； 175； 【解析】 略【作业2】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值． 【难度】★ 【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42， 解得：A =2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业3】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数． 【答案】20【解析】 设这两个数的最小公倍数是x ， 则：5x =100 解得：x =20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业4】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a，42b(a、b互素)，则：42ab=2940，42（a+b）=714．∴ab=70，a+b=17∴a=7，b=10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业5】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业6】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业7】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业8】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业10】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．14/ 15。
分解素因数(学生版)
例3、如果a，b均为素数，且3741
+=______.
+=，则a b
a b
例4、用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字组成素数，如果
每个数字都要用到并且只能用一次，那么这9个数字最多能组成多少个素数.
例5、7个连续素数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？
例6、将60拆成10个素数之和，要求最大的素数尽可能小，那么其中最大的素数是多少例7、在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少?
例8、甲数比乙数大5，乙数比丙数大5，三个数的乘积是6384，求这三个数？
巩固练习。
分解素因数的三种方法
分解素因数的三种方法三种分解素因数的方法一、质因数分解法质因数分解是将一个正整数分解成若干个质数的乘积的过程。
质数是只能被1和自身整除的正整数。
质因数分解的方法是通过不断地除以最小的质数，直到无法再被整除为止。
例如，对于正整数60，我们可以先将其除以最小的质数2，得到30，再将30除以2，得到15，再将15除以3，得到5。
此时，无法再继续除以质数，所以60的质因数分解为2 × 2 × 3 × 5。
二、试除法试除法是一种逐个试除可能的因数，直到得到所有的质因数的方法。
首先，我们可以用最小的质数2试除正整数，如果能整除，则继续用2试除商，直到无法整除为止。
然后再用下一个质数3试除，再用5、7、11、13等质数试除，直到试除的质数大于正整数的平方根为止。
如果所有试除的质数都无法整除，则说明该正整数是一个质数。
例如，对于正整数24，我们首先用2试除，能整除，得到12，再用2试除12，能整除，得到6，再用2试除6，能整除，得到3。
此时，无法再用2试除，我们换成质数3试除，能整除，得到1。
所以24的试除法分解为2 ×2 × 2 × 3。
三、分解求因数法分解求因数法是通过分解正整数的因数，再进一步分解因数的方法。
首先，我们可以找到正整数的一个因数，然后再对这个因数进行因数分解，直到无法再分解为止。
例如，对于正整数48，我们可以先找到一个因数2，然后将48除以2，得到24，再对24进行因数分解。
24的因数有2、3、4、6、8、12，我们可以选择其中一个因数，比如2，将24除以2，得到12。
然后对12进行因数分解，直到无法再分解为止。
最终，48的分解求因数法分解为2 × 2 × 2 × 2 × 3。
通过以上三种方法，我们可以将一个正整数分解成若干个质数的乘积。
这种分解可以方便我们进行数学运算和解决一些数学问题。
质因数分解法和试除法是较为常用的方法，而分解求因数法则是一种较为直观的方法。
沪教版数学六年级上册1.4《素数、合数与分解素因数》教学设计
沪教版数学六年级上册1.4《素数、合数与分解素因数》教学设计一. 教材分析《素数、合数与分解素因数》是沪教版数学六年级上册第1.4节的内容。
本节课主要让学生理解素数和合数的定义，学会用分解素因数的方法来求一个数的因数，从而更深入地理解数的构成和性质。
教材内容由浅入深，从生活实例引入素数和合数的概念，再通过分解素因数的方法，让学生自主探究数的奥秘。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整数有一定的认识。
但是，对于素数和合数的概念，以及如何分解素因数，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从生活实际出发，激发他们的学习兴趣，让学生在探究中发现规律，掌握方法。
三. 教学目标1.理解素数和合数的定义，能正确判断一个数是素数还是合数。
2.学会用分解素因数的方法来求一个数的因数。
3.培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
四. 教学重难点1.教学重点：理解素数和合数的定义，掌握分解素因数的方法。
2.教学难点：如何引导学生发现并总结素数和合数的性质，以及分解素因数的方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生从实际问题中发现数学问题，激发学习兴趣。
2.探究教学法：让学生在操作实践中，发现数的性质和规律，培养学生的探究能力。
3.小组合作学习：引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，以便于引导学生直观地理解素数和合数的概念。
2.学习素材：准备一些数，以便于学生进行分解素因数的实践操作。
3.教学黑板：准备一块黑板，用于板书 key points 和解题过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如“龟兔赛跑”的故事，引导学生思考：为什么兔子输了？进而引出素数和合数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现一些数，让学生判断它们是素数还是合数。
同时，引导学生思考：如何快速判断一个数是素数还是合数？3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个数，尝试用分解素因数的方法来求它的因数。
沪教版(五四制)六年级第一学期知识归纳和跟踪练习：第1章第2节 分解素因数
第二周分解素因数【知识要点】1、一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数；如果除了1和它本身以处还有别的因数，这样的数叫做合数。
1既不是素数，也不是合数。
这样，正整数又可以分为1，素数和合数三类。
2、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
3、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
4、几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
(A卷)姓名班级学号成绩一、填空题(3分×10 = 30分)1、我们把只含有因数1和它本身的整数叫做_______或_________，如果除了1和它本身还有__________，这样的数叫做__________。
2、在正整数1，2，8，41，37，24，33，92，97中，素数有，合数有，奇数有，偶数有；3、24的素因数是________________________________4、把420分解质因数，420＝__________________。
5、求17和68的最大公因数_______________6、12和36的最小公倍数是它们的最大公因数的________________倍7、7和9的最大公因数是，最小公倍数是；8、6和8，37和38，12和24，1和3，32和9，21和43 ，请指出其中哪组中的两个数互素：_______________________；9、有一个密码，每一个数字分别依次是：（1）最小的合数加1；（2）最小的正整数；（3）10以内最大的素数；(4)最大的一位数；（5）只有3个因数的偶数；则这个密码是______________________________10、有两根长分别为30分米和80分米的木棍，现要把它们锯成同样长的小段（每段的长度数都为整数），而且不能有剩余，每小段最长是_______________分米。
六年级秋季班-第2讲分解素因数
内容分析知识结构模块一：素数、合数与分解素因数知识精讲分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求 2 个整数或者是 3 个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有 1 和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了 1 和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1 既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．2、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．分解素因数例题解析3、 口算法分解素因数例如： 72 = 8⨯ 9 = 2⨯ 2⨯ 2⨯ 3⨯ 3 ．4、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例1】 在 1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247 中， 是素数，合数有 个． 【例2】 将 84 分解素因数： ，84 的素因数为 ．【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是 ．【例4】 将 100 写成两个素数的和：100 = + ，共有 对．【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；（2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；（4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．A ．0B ．1C ．2D ．3【例6】 如果三个连续自然数的乘积是 210，则这三个数分别是 ．【例7】 两个素数的和为 21，那么这两个素数的积是 ．【例8】 已知1176a = b 4 （a 、b 都为正整数），则 a 的最小值为 ．5 35 7【例9】面积是72 平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？模块二：公因数和最大公因数知识精讲1、公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．例题解析【例10】36 和54 的公因数有．【例11】126 和630 的最大公因数是．【例12】在下列各组数中，互素的有（）组（1）3 和5；（2）6 和9；（3）4 和9；（4）14 和17；（5）18 和1．A．1 B．2 C．3 D．4【例13】下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1 是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5 能被a 整除，又是b 的最小倍数，则a 和b 的最大公因数是5【例14】三个数16、24 和30 的公因数有．【例15】有a、b、c、d 四个正整数，已知a、b 的最大公因数是60，c、d 的最大公因数是48，那么a、b、c、d 这四个数的最大公因数是．【例16】一块矩形地面，长90 米，宽15 米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种棵树．【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209 平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是．【例18】求42897 与18644 的最大公因数．（拓展：辗转相除法）模块三：公倍数与最小公倍数知识精讲1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、求两个数的最小公倍数求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．例题解析【例19】已知A = 2⨯3⨯3⨯5⨯7 ，B= 2⨯2⨯5⨯5⨯7 ，则A 与B 的最小公倍数是．【例20】已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为．【例21】下列说法中正确的个数为（）个（1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；（2）若m ÷n = 3 ，则两个正整数m、n 的最小公倍数是m；（3）互素的两个数没有公因数；（4）能同时被6、8 整除的数一定能被48 整除；（5）若a÷b=c（a、b、c 都是正整数），则a 与b 的最大公因数是c．A．0 B．1 C．2 D．3【例22】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是．【例23】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）187 和442；（2）36、84 和39．【例24】某校外出活动，如果9 人一组，则多5 人；如果15 人一组，则少4 人，已知学生人数在130 至140 人，则该年级的学生有人．【例25】能被5、6、9 整除的最大三位数是，最小四位数是．【例26】已知四位数A20B 是24 的倍数，则A+B 的最大值为多少？【例27】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12 粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15 粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18 粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【例28】一个正整数被4 除余1，被6 除余1，被9 除余1，则这个数最小是多少？随堂检测【例29】 某校有皮球若干个，如果平均分给 10 个班，则余下 9 个；如果平均分给 12个班，则余下 11 个；如果平均分给 15 个班，则余下 14 个，学校至少有几个皮球？【例30】甲每隔 3 天去少年宫一次，乙每隔 5 天去一次，丙每隔 7 天去一次，如果 6 月 1 号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？【习题1】 在 1~100 这 100 个整数中，有 25 个素数，则合数有 个．【习题2】 下列选项中分解素因数正确的是（ ）A ．17 = 1⨯17C ． 336 = 2 ⨯ 2 ⨯ 3⨯ 37 = 29B ．180 = 2⨯ 2⨯ 5⨯ 9 D ． 36 = 2⨯ 2⨯ 3⨯ 3【习题3】 已知 a 和 b 都是小于 10 的合数，两位数ab 是一个素数，这样的两位数是 ．【习题4】 在小于 10 的正整数中，两个互素的合数有 ．【习题5】 三个数 38、66、94 分别除以自然数 n ，所得的余数都是 3，则 n = ．【习题6】 已知甲数比乙数大 6，比丙数小 72，三数之和是 120，求三数的最小公倍数及最大公因数．【习题7】如果16 个梨和19 个苹果平均分给若干个小朋友，则多2 个梨，缺2 个苹果，那么共有个小朋友．【习题8】一个两位数，用它去除391 和40，所得余数相同，用它去除283 和23，所得余数也相同，求这个两位数．【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3 米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66 棵，现在要改成每隔4 米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．课后作业【作业1】2431 是三个素数的乘积，这三个素数是．【作业2】108 的素因数有．【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是．【作业4】以下说法正确的有（）个（1）任何一个奇数都是素数；（2）除2 以外的偶数都是合数；（3）两个素数的积一定是合数；（4）任何一个素数加上1 都是偶数；（5）两个连续的偶数一定互素；（6）两个连续正整数一定互素．A．1 B．2 C．3 D．4【作业5】两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为．【作业6】24 的所有因数中，互素的数共有对．【作业7】已知M a b c（a、b、c 都是素数），那么M 的因数中是合数的有．【作业8】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm 的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78 瓶，平均每2 人饮用1 瓶A 饮料，每3 人饮用1 瓶B 饮料，每4 人饮用1 瓶C 饮料，问参加会餐的人数是多少人？【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．。
六年级同步第3讲：分解素因数(二) - 教师版
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解公倍数与最小公倍数，重点是最小公倍数的概念，难点是最小公倍数在实际问题中的综合运用．通过这节课的学习一方面为我们后面学习分数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、公倍数与最小公倍数公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、最小公倍数的求法求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．分解素因数（二）知识结构模块一：公倍数与最小公倍数知识精讲内容分析41例题解析【例1】用短除法求18和24的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；72．【解析】 2 18 243 9 123 4∴18与24的最大公因数是2×3=6；最小公倍数是2×3×3×4=72．【总结】本题考察了用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例2】用分解素因数的方法求24和90的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6；360．【解析】因为24=2×2×2×3，90=2×3×3×5；所以18与24的最大公因数是2×36；最小公倍数是2×2×2×3×3×5=360．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例3】求下列各组数的最小公倍数．（1）8和15；（2）9和45；（3）19和21．【难度】★【答案】（1）8和15的最大公因数是1；8和15的最小公倍数是120；（2）9和45的最大公因数是9；9和45的最小公倍数是45；（3）19和21的最大公因数是1；19和21的最小公倍数是399．【解析】（1）（3）互素的两个数最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法．4243【例4】若2235m =⨯⨯⨯，2337n =⨯⨯⨯，则m 、n 的最小公倍数为___________． 【难度】★ 【答案】1260【解析】m 、n 的最小公倍数是：（2×3）×2×5×3×7=1260．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．【例5】求10，12和15的最小公倍数． 【难度】★★ 【答案】60【解析】 2 10 12 15 3 5 6 15 5 5 2 5 1 2 1∴10、12、15的最小公倍数是：2×3×5×1×2×1=60． 【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例6】已知三个连续奇数的和是15，那么这三个奇数的最小公倍数是多少？ 【难度】★★ 【答案】105【解析】设三个数为22n n n -+，，． 则：2215n n n -+++=解得：5n =，这三个数是：3，5，7． ∴3、5、7的最小公倍数是：3×5×7=105． 【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法．师生总结1、求最小公倍数的方法有哪些？2、求两个数和三个数的最小公倍数的方法有什么不同？【例7】两个数的积是144，它们的最小公倍数是36，这两个数各是多少？【难度】★★【答案】4和36．【解析】由已知得：这两个数的最大公因数是4；设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则44144a b⨯=．所以9ab=．因为a、b互素，所以a=1×4=4，b=9×4=36．即这两个数是9、36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例8】甲、乙两户人家相邻而居，甲每6天去超市购物一次，乙每7天去同一家超市购物一次，元旦这一天两户人家都去这家超市购物，再经过多少天他们又会在同一天都去超市？【难度】★★【答案】42天【解析】6与7的最小公倍数是42．答：再经过42天他们又会在同一天都去超市．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例9】已知三个连续偶数的最小公倍数是24，则这三个连续偶数分别是什么？【难度】★★★【答案】4，6，8【解析】设这三个数是22222n n n-+，，；2若n为奇数，则11n n-+，是偶数，2则：(1)(1) 222422n nn-+⨯⨯⋅⋅=解得：3n=，这三个数是4，6，8．若n为偶数，则11n n-+，是相邻奇数，则：2(1)(1)24n n n⨯-⋅⋅+=此方程无解；∴这三个数是4，6，8．【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法．22222+ -nnn11+-nnn2121+-nnn44【例10】3月12日植树节，六（2）班同学在400米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当种好第31棵树时，觉得树与树之间隔太密，于是改为每隔6米种一棵树，那么有多少棵树不需要移动呢？【难度】★★★【答案】11棵【解析】4×(31-1)=120米，而4与6的最小公倍数是12，120÷12+1=11棵．答：有11棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例11】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本；如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？【难度】★★★【答案】18人【解析】35+1=36，56-2=54，69+3=72，而36、54、72的最大公因数是18．答：这个班的小朋友最多有18人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【例12】某工厂承包了学校的桌椅制作任务，一张桌子配一把椅子，某车间有甲、乙两组，甲组人员做桌子，每人每天可以做6张桌子；乙组每人每天可以做9把椅子，为了使生产均衡，每天的桌子、椅子数量刚好配套．该车间至少安排多少人员？（不考虑其他因素）【难度】★★★【答案】5人【解析】因为6与9的最小公倍数是18，所以18÷6+18÷9=5人．答：该车间至少安排5个人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用．45461、 两数的最大公因数与最小公倍数的关系已知数a 和数b ，两数的最大公因数为m ，最小公倍数为n ，则：a b m n ⨯=⨯【例13】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）48和18；（2）27和81．【难度】★【答案】（1）48，18的最大公因数是6，最小公倍数是144； （2）27，81的最大公因数是27，最小公倍数是81． 【解析】（1）一般求两数的最大公因数和最小公倍数，用短除法，（2）成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数． 【总结】本题考察了求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例14】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）4、8和12；（2）15、75和90．【难度】★【答案】（1）4，8，12的最大公因数是4，最小公倍数是24； （2）15，75，90的最大公因数是15，最小公倍数是450． 【解析】均用短除法或分解素因数法等可求得；【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法．【例15】如果甲数235=⨯⨯，乙数237=⨯⨯，那么甲数与乙数的最大公因数是________， 最小公倍数是_________． 【难度】★【答案】6， 210；【解析】最大公因数是：2×3=6；最小公倍数是：（2×3）×5×7=210． 【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数．例题解析知识精讲模块二：最大公因数与最小公倍数综合【例16】已知甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，甲数是6，乙数是多少？【难度】★★【答案】15【解析】设另一个数是x，则：6 x =3×30解得：x=15答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例17】判断下列说法是否正确，对的打“√”，错的打“×”，并说明理由．（1）两个数的公倍数的个数是有限的．()（2）30是15和10的最小公倍数．()（3）如果较大数能被较小数整除，那么较小数就是这两个数的最大公因数，较大数就是这两个数的最小公倍数．()（4）不相同的两个数的最小公倍数一定比它们的最大公因数大．()【难度】★★【答案】（1）×；（2）√；（3）√；（4）√．【解析】（1）错误，两个数的倍数就是这两个数最小公倍数的倍数，有无限个；（2）正确；（3）正确；（4）正确；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例18】两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个是多少？【难度】★★【答案】另一个数是36．【解析】设另一个数是x，则：28x=4×252．解得：x=36．答：乙数是36．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．47【例19】先求出8和10的最大公因数和最小公倍数，并把最大公因数和最小公倍数相乘，再把8和10相乘，你发现了什么？请用你所发现的规律接下面的问题：（1）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是30，已知甲数是6，那么乙数是多少？（2）甲、乙两数的最大公因数是3，最小公倍数是90，已知甲数是18，那么乙数是多少？【难度】★★【答案】8，10的最大公因数是2，最小公倍数是40，而8×10=80；规律：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．（1）15；（2）15．【解析】（1）设另一个数是x，则：6x=3×30解得：x=15 答：乙数是15．（2）设另一个数是x，则：18x=3×90解得：x=15 答：乙数是15．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【例20】已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是144，求这两个数的和是多少？【难度】★★【答案】120或66．【解析】设这两个数是6a，6b(a、b互素)，则：6ab=144∴ab=24=1×24=3×8；当a=1，b=24，这两个数是6、144，和为：6+144=120；当a=3，b=8，这两个数是18、48，和为：18+48=66；【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例21】两个数的最小公倍数是140，最大公因数是4，且小数不能整除大数，这两个数分别是多少？【难度】★★【答案】20和28【解析】设这两个数是4a，4b(a、b互素)，则：4ab=140．∴ab=35=1×35=5×7，∵小数不能整除大数∴a=5，b=7，这两个数是20、28．4849【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例22】在长1．5千米的公路一边，等距离种树（两端都种），开始每隔10米种一棵，后来改成每隔12米种一棵，不用改种的树有多少棵？ 【难度】★★★ 【答案】26棵【解析】1.5千米=1500米，10与12的最小公倍数是60， 1500÷60+1=26棵． 答：有26棵树不需要移动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【例23】张三、李四、王五三位同学分别发出新年贺卡x 、y 、z 张．如果已知x 、y 、z 的最小公倍数为60，x 和y 的最大公因数为4，y 和z 的最大公因数为3，那么张三发出的新年贺卡共有多少张？ 【难度】★★★ 【答案】20或4．【解析】设4123x a y b z c ===，，（a ，b ，c 为素数），则12abc =60． 所以abc =5=1×1×5．（1）a =5，这三个数是20，12，3； （2）b =5，这三个数是4，60，3； （3）c =5，这三个数是4，12，151； 答：张三发出的新年贺卡为20张或4张．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【例24】甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需1分钟、1分15秒、1分30秒．问：三人同时从起点出发，多长时间后他们又在起点相会？（从起点出发后最近的一次相会） 【难度】★★★ 【答案】15分钟【解析】1分钟=60秒，1分15秒=75秒，1分30秒=90秒； 60、75、90的最小公倍数为900，而900秒=15分钟． 答：15分钟后他们又在起点相会． 【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．随堂检测【习题1】如果数a能被数b整除，则a和b的最大公约数是______，最小公倍数是______．【难度】★【答案】b，a．【解析】两个数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；【总结】本题考察了成倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题2】自然数b的最小倍数__________它的最大约数．（填大于、小于或等于）【难度】★【答案】等于【解析】自然数的最大因数是它本身，最小倍数是它本身，所以相等；【总结】本题考察了因数和倍数的相关概念；【习题3】11和15的最大公因数是________，最小公倍数是________．【难度】★【答案】1；165．【解析】互素的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；【总结】本题考察了互素的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法．【习题4】求2520和5940的最大公因数和最小公倍数．【难度】★★【答案】最大公因数是180，最小公倍数是83160．【解析】因为2520=2×2×2×3×3×5×7；5940=2×2×3×3×3×5×11；所以2520与5940的最大公因数是：2×2×3×3×5=180；最小公倍数是：（2×2×3×3×5）×2×7×3×11=83160．【总结】本题考察了用分解素因数法求两个较大数的最大公因数和最小公倍数．50【习题5】一个电子原钟，每整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯，已知中午12时整，它既响铃又亮灯，那么下一次既响铃又亮灯是什么时候？【难度】★★【答案】15:00【解析】因为60与9的最小公倍数是180，而180分钟=3小时，12+3=15．答：那么下一次既响铃又亮灯在15:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题6】已知两个互素的数的最小公倍数是33，求这两个数的和．【难度】★★【答案】34或14【解析】因为33=1×33=3×11．（1）这两个数可能是1和33，此时和为34；（2）这两个数可能是3和11，此时和为14；【总结】本题考察了互素的两个数的最小公倍数的求法．【习题7】在上海火车站，地铁1号线每隔3分钟发车，轨道交通3号线每隔5分钟发车．如果地铁1号线和轨道交通3号线早上6:00同时发车，至少再过多少时间它们又同时发车？【难度】★★【答案】15分钟【解析】3与5的最小公倍数是15．答：至少再过15分钟它们又同时发车．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题8】用96朵红花和72朵黄花扎成花束，如果每个花束里红花朵数相同，黄花朵数也相同，每个花束里至少有几朵花？【难度】★★【答案】7朵【解析】因为96与72的最大公因数是24，所以（96+72）÷24=7朵．答：每个花束里至少有7朵花．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．51【习题9】若一块长方形绿地，长120米，宽30米，要在它的四周和四个角种树，且每相邻两棵树之间的距离相等，那么最少需要种多少棵树？【难度】★★【答案】10棵【解析】120与30的最大公因数是30，2（120+30）÷30=10棵．答：最少需要种10棵树．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【习题10】被10除余2，被11除余3，被12除余4，被13除余5的最小自然数是多少？【难度】★★★【答案】8572【解析】由题意可知：这个自然数加8是10、11、12、13的公倍数；又10、11、12、13这四个数的最小公倍数是8580，所以8580-8=8572．答：这个自然数最小是8572．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题11】一筐苹果，2个一拿，3个一拿，4个一拿，5个一拿都正好拿完而没有剩余，那么这筐苹果最少应有多少个？【难度】★★★【答案】60个【解析】2、3、4、5这四个数的最小公倍数是60．答：这筐苹果最少应有60个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【习题12】小明7月和8月参加了钢琴和美术的培训，两项培训都是从7月1日开始，钢琴课每上一次休息4天，美术课每上一次休息6天，请问整个暑假中有几天是两项培训在同一天进行的？【难度】★★★【答案】12天【解析】4与6的最下公倍数是12，31×2÷12=5…2．答：整个暑假中有5天是两项培训在同一天进行的．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．52课后作业【作业1】写出下列各组数的最小公倍数：1与299（）12与36（）12与13（）13与52（）10与14（）21与49（）6与15（）22与66（）25与35（）【难度】★【答案】299；36；156；52；70；147；30；66；175；【解析】略【总结】本题考察两个数最大公因数和最小公倍数的求法：互素两数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；成倍数的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；一般两数的最大公因数和最小公倍数用短除法；【作业2】用分解素因数的方法求18和30的最大公因数和最小公倍数．【难度】★【答案】6，90．【解析】因为18=2×3×3；30=2×3×5；所以18与30的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×5=90；【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数和最小公倍数．【作业3】求下列各组数求的最小公倍数和最大公因数．（1）36和84；（2）12，15和18．【难度】★【答案】（1）36与84的最大公因数是12，最小公倍数是252；（2）12、15、18的最大公因数是3，最小公倍数是180．【解析】都可用短除法或者是分解素因数法求得．【总结】本题考察了求两个数、三个数的最大公因数和最小公倍数的方法：5354【作业4】已知甲数357A =⨯⨯⨯，乙数37A =⨯⨯，若甲、乙两数的最大公因数是42，求A的值． 【难度】★ 【答案】2【解析】由已知得：甲数和乙数的最大公因数是：3×7×A=42， 解得：A =2．【总结】本题考察用分解素因数法求两个数最大公因数．【作业5】已知两个数的积是100，它们的最大公因数是5，试求这两个数的最小公倍数． 【难度】★★ 【答案】20【解析】 设这两个数的最小公倍数是x ， 则：5x =100 解得：x =20答：这两个数的最小公倍数是20．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系：两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积．【作业6】两个数的最大公因数是42，最小公倍数是2940，且这两个数的和是714，这两个数各是多少？ 【难度】★★【答案】这两个数是420和294．【解析】设这两个数是42a ，42b (a 、b 互素)， 则：42ab =2940，42（a +b ）=714． ∴ab =70，a +b =17∴a =7，b =10，这两个数是420、294．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念．【作业7】有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？【难度】★★【答案】42人【解析】433-13=420，260-8=252，而420与252的最大公因数是84．又学生人数在30～50之间，84=2×42．答：学生有42人．【总结】本题考察了两个数的最大公因数的应用．【作业8】若一个正整数加上3能被15和20整除，那么符合条件的数中最小的数是多少？【难度】★★【答案】57【解析】因为15与20的最小公倍数是60，所以60－3=57．答：符合条件的数中最小的数是57．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业9】一筐苹果有500多个，每次拿3个，每次拿4个，每次拿5个都恰好多一个，这筐苹果共有多少个？【难度】★★【答案】60个【解析】3、4、5的最小公倍数是60，而苹果有500多个，所以60×9=540个．答：这筐苹果共有540个．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．55【作业10】一排电线杆每两根之间的距离是60米，现在要改为45米，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不动？【难度】★★★【答案】180米【解析】60与45的最小公倍数是180．答：再过180米又有一根不动．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业11】公共汽车总站有三条线路，第一条每8分钟发一辆车，第二条每10分钟发一辆车，第三条每16分钟发一辆车，早上6:00三条路线同时发出第一辆车，该总站发出最后一辆车是20:00．求该总站最后一次三辆车同时发出的时刻．【难度】★★★【答案】19:20【解析】8、10、16这三个数的最小公倍数是80．（20-6）×60=840分钟840÷80=10…40分钟答：该总站最后一次三辆车同时发出的时刻是19:00．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．【作业12】数23具有下列性质：被2除余1，被3除余2，被4除余3，求具有这种性质的最小三位数．【难度】★★★【答案】11【解析】由题意可知：这个自然数加1是2、3、4的公倍数；又2、3、4的最小公倍数是12．∴12-1=11答：这个自然数最小是11．【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用．56。
2、分解素因数
【例1】 面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？【答案】44厘米或36厘米或34厘米．【解析】9812618472⨯=⨯=⨯=，则①长方形的长为18厘米，宽为4厘米，此时的周长为()444182=+⨯厘米；②长方形的长为12厘米，宽为6厘米，此时的周长为()366122=+⨯厘米；③长方形的长为9厘米，宽为8厘米，此时的周长为()34982=+⨯厘米．【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．【例2】 一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【答案】14．【解析】每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树．【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素 因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．分解素因数知识结构【例3】 一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．【答案】486平方分米．【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以209可以分解成两个素数之积与两个素数之的形式．而1911209⨯=，且11不能写成两个素数相加的形式，19可以写成2和17相加的形式．则长方体的长宽高分别为11、17、2．可求出长方体的表面积为()48621721117112=⨯+⨯+⨯⨯平方分米．【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题．【例4】 求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，42897÷18644=2．．．．．．5609，18644÷5609=3．．．．．．1817，5609÷1817=3．．．．．．158，1817÷158=11．．．．．．．79，158÷79=2．．．．．．0，所以最大公因数为79．【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决． 辗转相除法步骤：设两数为a b 、 ()a b >，求a 和b 最大公因数的步骤如下：用a 除以b ： 得：()110a b q r r ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥．若10r =，则a 和b 最大公因数为b ；若10r ≠，则再用b 除以1r ， 得：()1220b r q r r ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥．若20r =，则a 和b 最大公因数为1r ，若20r ≠，则继续用1r 除 以2r ，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为a 和b 的最大公因数．【例5】 已知四位数20A B 是24的倍数，则A +B 的最大值为多少？【答案】16．【解析】因为24=2×2×2×3，所以24的倍数一定能被2和3整除．被2整除，个位B 为0、2、4、6、8，其中最大取8；被3整除，A +2+0+8能被3整除，A 最大取8． 此时，8208÷24=342，所以A +B 的最大值为8+8=16．【总结】本题主要考查能被2、3整除的数的特点．【例6】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【答案】540粒；45只．【解析】因为如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．所以共有花生粒个数能同时被12、15、18整除．利用短除法求出12、15、18的最小公倍数为180，则共有花生粒个数是180的倍数．因为第一群猴子猴四十几只，所以共有花生粒个数在12×40=480到12×50=600之间．因为在480到600之间，180的倍数有540，则总共有540粒花生，共有540÷12=45只猴子．【总结】可以将实际问题转化成公倍数问题来处理．【例7】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【答案】37．【解析】因为一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，所以这个数减去1之后能同时被4、6、9整除，短除法可求出4、6、9的最小公倍数为36，则这个是最小为36+1=37．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个问题了．【例8】某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？【难度】★★★【答案】59．【解析】如果平均分给10个班，则余下9个；也可以理解成如果平均分给10个班，则少1 个；如果平均分给12个班，则余下11个；也可以理解成如果平均分给12个班，则少1个；如果平均分给15个班，则余下14个，也可以理解成如果平均分给15个班，则少1个．所以皮球的个数加上1能同时被10、12、15整除，用短除法求出10、12、15的最小公倍数为60，所以皮球的个数为60-1=59个．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个实际问题了．【例9】甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？【难度】★★★【答案】9月14日．【解析】因为甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，所以下次去少年宫距离上次同时去少年宫的天数能同时被3、5、7整除，短除法可得3、5、7 的最小公倍数为105，则经过105天（6月30天，7月31天，8月31天），即9 月14日甲、乙、丙同时去少年宫．【总结】本题主要考查利用最小公倍数解决实际问题．。
六年级数学分解素因数
24和32的公约数32的约数24的约数预备年级暑期训练四：分解素因数知识要点：1、素因数分解：把一个合数分解成几个素数乘积的形式，叫做合数的素因数分解。
可利用短除法分解素因数：短除法分解素因数一般从最小的素因数开始除，除到商为1为止。
2、公因数：若整数a 、b 都能被整数c 整除，则称c 是a 和b 的公因数，a 、b 的公因数中最大的一个数叫做a 、b 的最大公因数；1是任意几个整数的公因数；若a 是b 的倍数，则a 和b 的最大公因数是b.3、互素：若两个整数的最大公因数是1时（只有公因数1），则这两个数互素。
4、用短除法求最大公因数：一般地，从公有的最小的素因数开始除，直到两个商互素为止，短除式的左列数字的乘积就是它们的最大公因数。
例题讲解：例题1、分解素因数: 252 3465例题2、小明用48元钱按零售价买了若干张练习本，如果按批发价购买，每本便宜2元，这样恰好多买4本，问零售价每本多少元？（每本的价钱为整数）。
例题3、构成自然数a 的所有数字互不相同，这些数字的乘积等于360，求满足条件a 的最大值。
例题4、5580共有多少个素因数，多少个因数，最大的因数是多少，最大的两位数因数是多少？例题5、说明相邻的两个偶数的最大公因数是2.巩固练习：1、把适当的数填写在图中的圈内：2、判断下列说法是否正确（1）所有的素数都是奇数（）；（2）所有的偶数都是合数（）；（3）1既不是素数也不是合数（）；（4）任何一个素数都有两个素因数（）；（5）两个素数一定是互素（）；（6）一个素数和任何一个正整数都互素（）；（7）两个连续的整数互素（）；（8）两个连续的奇数互素（）；（9）两个连续的偶数互素（）；（10）1和任何一个整数互素（）；（11）互素的两个数没有最大公因数（）；（12）两个数的最大公因数一定能被这两个数整除（）；3、分解素因数：1800 80304、求下列个数的因数个数：（1）72 （2）1435、一个数有4个不同的素因数，这四个素因数的和为17，求这个数是多少。
大整数难于分解的原因
大整数难于分解原因报告计算机科学与技术学院网络工程11011108020108杨万章2014.5.28数学中，整数分解（素因数分解）问题是指：给出一个正整数，将其写成几个约数的乘积。
例如，给出45这个数，它可以分解成32 ×5。
根据算术基本定理，这样的分解结果应该是独一无二的。
这个问题在代数学、密码学、计算复杂性理论和量子计算机等领域中有重要意义。
完整的因子列表可以根据约数分解推导出，将幂从零不断增加直到等于这个数。
例如，因为45= 32×51，45可以被30 ×50，30×51，31×50，31×51，32×50，和32×51，或者1，5，3，9，15，和45整除。
相对应的，约数分解只包括约数因子。
1. 整数分解算法及复杂度分析在对n 的因式分解方法中，通常的方法是采用数论中的因式分解方法。
目前，比较常用因子分解方法有试除法、Pollard’s rho 分解法、Pollard’s P-1 分解法、Dixon 分解法、连分数分解法、二次筛法、多多项式二次筛法、数域筛法(NFS)和椭圆曲线法等试图用这些方法解决减小n 的因式分解算法的复杂度问题。
以下是这些算法的时间复杂度[4]：试除法：O ( p (log n )2) ；Pollard’s rho 分解法：() ()2og Op n；Pollard’s P –1 分解法：O ( B log B (log n )2) ，其中，B 为设定光滑界；椭圆曲线法：O (exp(( 2 + o (1))(ln p )1/ 2(lnln p )1/ 2))基于完全平方数的分解算法(Dixon 分解法、连分数分解法、二次筛法、多多项式二次筛法、数域筛法(NFS) 的最小复杂度为：O (exp((64/9)1/3lnp )1/3(lnln p )2/3)) 。
其中，试除法、Pollard’s rho 分解法、Pollard’s P-1 分解法和椭圆曲线法对于分解相对较小的素因子效率较高。
分解因数的教案设计
分解因数是小学数学中的一项基础内容，也是学习数学的重要环节，对于学生的数学学习能力有很大的影响。
本文将详细介绍分解因数的教学设计，包括教学目标、教学内容、教学方法、教学过程和教学评价等内容，以帮助教师更好地进行数学教育教学工作。
一、教学目标本次教学的主要目标是让学生掌握分解因数的基本概念、方法和技能，理解分解因数的意义和应用，并能灵活运用所学知识解决数学问题。
具体而言，学生需要达到以下几个方面的目标：1.能够理解因数和倍数的基本概念，并能够正确区分它们。
2.能够掌握分解因数的方法和技巧，以及运用它们解决实际问题的能力。
3.能够理解分解因数的意义和应用，如化简分数、求最大公约数和最小公倍数等。
4.能够通过实例的演练和练习，提高自己的数学运算能力和创新思维能力。
二、教学内容1.因数的概念和性质2.分解因数的方法和技巧3.分解因数的应用，如化简分数、求最大公约数和最小公倍数等三、教学方法1.情景教学法情景教学法是一种以情景为基础的教学法，可以帮助学生更深入地理解所学知识。
在教学中，教师可以通过实例演示、情景还原、生活实践等方式让学生更好地感受到分解因数的应用场景，以提高学生的学习兴趣和学习效果。
2.合作学习法合作学习法是一种基于互动合作的教学方法，可以帮助学生更好地学习和理解所学知识。
在教学中，教师可以将学生分成小组，让他们合作完成一些分组讨论、小组作业等活动，以激发学生的创新思维和发掘潜力。
3.problems-based learning (PBL)PBL是一种以问题为基础的学习模式，可以帮助学生更深入地理解所学知识和应用，以及解决实际问题的能力。
在教学中，教师可以提出一些实际问题，让学生根据所学知识和分组协作的方式对问题进行分析、解决和总结，以提高学生的学习效果和实践能力。
四、教学过程1.导入环节“同学们，上节课我们学习了因数和倍数的概念，并掌握了一些基本的计算方法，请问现在你们对这些知识掌握得怎样了？有什么问题或疑惑可以提出来吗？”2.学习过程（1）因数的概念和性质教师利用多媒体工具展示因数的概念和性质，向学生讲解因数的定义、性质和几个基本的计算方法，以便提高学生对这些知识的认知和掌握。
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分解素因数（难点）
武宁中学葛剑敏预备年级的学生，刚从小学升入初中，他们思维活跃，喜欢形象的事物，但他们的思维的严密性、成熟度还不够，因此要重视概念和算理的理解,注重运算的合理性和多样性，如六年级（上）在分解素因数这一节中就涉及公因数、最大公因数、最小公倍数等概念，以及素因数分解的方法。
素因素是指：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
如60=2×2×3×5中2、2、3、5都是60的素因数，而60=2×2×3×5是分解60这个合数。
分解素因数有“树枝分解法”、“口算法”、“机算法”和“短除法”，其中“短除法”是为求最大公因数、最小公倍数作准备，应熟练掌握。
公因数是指：几个数公有的因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
如求24和32的最大公因数：
方法1：这种方法是在理解算理的基础上求最大公因数；
24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；
32的因数有1、2、4、8、16、32；
24和32公有的因数：1、2、4、8；其中最大的一个公有的因数是8。
方法2：先分解素因数，再找公有的素因数；
24=2×2×2×3；32=2×2×2×2×2，
可以看出24和32全部公有的素因数是2、2、2，因此2×2×2=8就是24和32的最大公因数。
方法3：“短除法”
224 32
212 16
2 6 8
3 4
把两个短除竖式合并在一起，每次除时需用两数的公有素因数去除，直到两个商互素为止。
因此2×2×2=8就是24和32的最大公因数。
公倍数是指：几个整数的共有的倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
如求24和32的最小公倍数。
方法1：用求倍数的方法：
24的倍数有24、48、72、96、120…
32的倍数有32、64、96、128、160…
所以24和32的最小公倍数是96。
方法2：先分解素因数，再找公有的素因数只要取一个，再取各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是最小公倍数。
24=2×2×2×3；32=2×2×2×2×2，
24和32的最小公倍数是2×2×2×3×2×2=96
方法3：“短除法”
224 32
212 16
2 6 8
3 4
24和32的最小公倍数是2×2×2×3×4=96 。
这里特别要注意的是用“短除法”求最大公因数和最小公倍数的区别。
下面举些例子：
(1)把37、42、57、65、74、95、105、195分成两组，使它们的乘积相等。
(2)学生1430人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数要在100至200之间，有哪几种方法？
题型分析：
如果能够恰当确定此题的解题思路，这两道题并不困难。
处理以上题时要注重学生对素数、合数、分解素因数意义的理解，注重引导学生在具体的讨论中体会，这样“智力游戏”题就真的可以在游戏中完成。
(1)题解答：
把八个数分成两组，要使两组数的乘积相等，也就是每组各因数所含有的素因数的情况相同。
先把各数分解素因数，再按素因数分成两组就可以了，没必要算出乘积是多少。
37是素数74=2×37
42=2×3×7 105=3×5×7
95=5×19 57=3×19
195=3×5×13 65=5×13
第一组：37、42、95、195
37×42×95×195=2×3×3×5×5×7×13×19×37 第二组：74、57、65、105
74×57×65×105=2×3×3×5×5×7×13×19×37
(2)题解答：
解这道题时要把1430分解素因数，1430=2×5×11×13。
在此基础上选择其中的若干素因数相乘，注意使乘积在100到200之间。
2×5×11=110 13个队，每队有110人。
2×5×13=130 11个队，每队有130人。
11×13=143 10个队，每队有143人。
（3）题：
观察右面图形，用边长多少厘米的正方形拼起来正好填满，正好
填满的最大正方形的边长是多少厘米？
分析：
这种类型的题看似复杂，表面上看好象条件不充分。
但若能仔细分析，从倍数和因数这部分知识入手还是很容易理解的。
这道题实际上就是求18和12的公因数和最大公因数。
需要注意的是这类问题同时含着有关最小公倍数的问题。
应该说这两方面的问题联系密切，理解了其一，另一类就会迎刃而解。
（3）题解答：
1.先求出18和12的公因数，再找到这两个数的最大公因数。
18和12的公因数有：1、2、3、6，它们的最大公因数是6。
2.问题答案：
分别可以用边长是1厘米、2厘米、3厘米、6厘米的正方形
填满。
正好填满的最大的正方形的边长是6厘米。
3.问题延伸：
要想填满这个图形需要多少个边长6厘米的正方形？(18×12)÷(6×6)=6(个)。