21常微分方程的几何解释.

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21-1_2_列写微分方程的一般方法及线性化解析

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《自动控制理论》

§2.2 非线性数学模型的线性化
线性化的基本思想 1. 对于一些较复杂的函数，为了研究方便，往往希望用一些简单的函数来近似表达。 2. 由多项式表示的函数，只要对自变量进行有限的加、减、乘三种运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。
1 C2
i2 ，得消去中间变量 i1 ，
i
2
dt uc
图2-2 R-C滤波网络（2-2）
2 duc d uc R1R 2C1C 2 ( R 1C 1 R 2C 2 R1C 2 ) uc ur 2 dt dt
由式2-2可知，该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分方程。
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《自动控制理论》

§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
例2-6: 直流调速系统
n0
G
Ue K1 U1
ud
M
n
TG
Ufn Ug
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《自动控制理论》

§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
n
三阶微分方程
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《自动控制理论》

§2.2 非线性数学模型的线性化
问题的提出
严格说来，构成控制系统的元件，在其输出信号与输入信号之间，都具有不同程度的非线性。因此在研究控制系统动态过程时就会遇到求解非线性微分方程的问题。然而，对于高阶非线性微分方程来说，在数学上不可能求得一般形式的解。因此，当研究这类控制系统的运动过程时，在理论上将会遇到困难。

§2.1 列写系统微分方程式的一般方法
根据牛顿第二定律，该系统在外力的作用下，当抵消了弹簧拉力和阻尼器的阻力后，使质量块(质量为 m)产生加速度，于是得

常微分方程几何解释

常微分方程几何解释常微分方程（ordinary differential equation）是数学中的一个重要分支，解决了很多实际问题，从而推动了科学和技术的进步。

而常微分方程的几何解释则是其中的一个具有深刻意义的方面，它可以帮助我们更加深刻地理解微分方程的本质，并在几何意义上进行抽象和推广。

一、微分方程的几何意义微分方程是描述自变量和其导数之间的关系的方程，例如：$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$其中，$y$ 是变量，$x$ 是自变量，$f(x,y)$ 是一个规定好的函数。

这个式子的意思是，“$y$ 对 $x$ 的导数等于$f(x,y)$”，也就是说，当我们确定了 $f(x,y)$ 这个函数的形式，这个微分方程就规定了 $y$ 在自变量 $x$ 下的变化规律。

那么，这个微分方程到底有什么几何意义呢？我们可以把 $y$ 看作平面上的点，$y$ 对 $x$ 的导数看作该点处的切线斜率，$f(x,y)$ 看作斜率的函数。

这样，微分方程可以被看作描绘了在平面上一点的动态演化轨迹的微分方程。

例如，对于微分方程：$\frac{dy}{dx} = y$我们可以解得 $y = Ce^{x}$ （$C$ 为常数），这个解表明在$x$ 轴正半轴方向上，$y$ 的值不断地成倍增长。

这个动态演化的轨迹可以形象地理解为一条指数曲线。

二、微分方程的向量场由于微分方程描述了一条轨迹，我们可以把它与向量场联系起来，从而更加深入地理解它。

向量场是一个输出为向量的函数，它可以在每个点上给出一个向量，描述了该点的方向和大小。

对于微分方程 $\frac{dy}{dx} =f(x,y)$，我们可以把 $(x,y)$ 看作平面上的一点，$f(x,y)$ 看作向量场在该点的输出。

例如，对于微分方程 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$，我们可以把它看作向量场 $F(x,y) = \left \langle -\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},-1 \right \rangle$。

常微分方程讲解

常微分方程讲解常微分方程第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。

在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。

例如，1） (设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。

这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。

利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。

本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。

例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。

）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。

这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。

其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。

下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。

第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。

例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。

掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。

例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。

我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。

这里我们假定空气的温度保持为。

解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。

例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。

常微分方程的几何解释

(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y

x1
,
y1

x2
,
y2

f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与线素场的线素相切.
证明必要性设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx

f ( x, y),的解是存在,是否唯一?

常微分方程复习资料

第二章一阶微分方程的初等解法
§2.1 变量分离方程与变量变换 §2.2 线性微分方程与常数变易法 §2.3 恰当微分方程与积分因子 §2.4 一阶隐式微分方程与参数表示
变量分离方程的求解
1、形式: dy f ( x )( y ) dx
2、求解方法：分离变量、两边积分、考虑特殊情况
3、方程 dy p( x )y 的解为： dx
D(D 1) pD q y f (et )
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c(x)
Q(
x)e
p(
x
)dx
dx
~
c
y e ( p(x)dx
Q(
x)e
p(
x
)
dxdx
~
c)
(3)
二伯努利(Bernoulli )方程
伯努利方程：形如 dy p(x) y Q(x) yn 的方程， dx
这里P( x), Q( x)为x的连续函数。
解法:
10 引入变量变换 z y1n ,方程变为
dy a1x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
k(a2 x b2 y) c1 a2 x b2 y c2
f (a2x b2 y)
3. a1 b1
a2 b2
0,
且C1、C2不同时为零的情形
aa21
x x
b1 b2
y y
c1 c2
0 0
X x Y y ,
初值条件/Initial Value Conditions/ 对于 n 阶方程 y(n) f (x, y, y,, y(n1) )
初值条件可表示为
y(x0) y0, y(x0) y0 , y(x0) y0,, y(n1) (x0) y0(n1)

常微分方程简介

第七章常微分方程简介我们已经学完一元函数微积分的基本内容．回顾微积分的产生和发展，就会发现它与人们求解微分方程的需要有密切关系．20世纪以前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学，而现在它几乎渗透到自然科学和一些社会科学的各个领域，已成为人们研究科学技术，解决实际问题的不可缺少的有力工具．本章我们主要介绍常微分方程的基本概念，一阶微分方程的初等解法，可降阶的高阶方程及常系数线性方程的求解方法，它是本课程的一个重要组成部分．§7.1 基本概念1. 微分方程及其解的定义利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，再对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题对结果进行分析和讨论．数学模型最常见的表达方式是包含自变量和未知函数的方程，在很多情况下未知函数的导数(或微分)也会在方程中出现，于是便自然地称这类方程为微分方程．定义7.1.1 联系着自变量、未知函数及其某些导数的方程称为微分方程．只含一个自变量的方程称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程．微分方程中实际出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶．于是n 阶常微分方程的一般形式是0),,,,()(='n y y y x F ， (1.1) 其中F 是2+n 个变元的已知函数，且)(n y 一定出现．(注意，这里我们仅引用了多元函数的记号，它是一元函数记号在形式上的推广．)本章只介绍常微分方程，并简称为微分方程或方程．定义7.1.2 如果方程(1.1)的左边函数F 对未知函数y 和它的各阶导数)(,n y y '的全体而言是一次的，则称它为线性微分方程，否则称它为非线性微分方程．n 阶线性微分方程的一般形式是：)()()()(1)1(1)(x f y x a y x a y x a y n n n n =+'++-- ， (1.2)其中)(x a i ),,2 ,1(n i =和)(x f 都是x 的已知函数．例如，下面的方程都是常微分方程：yx y -='， (1.3) 21y y +='， (1.4) 02=+''y y ω (0>ω是常数)， (1.5) 它们的阶数分别为1，1，2．方程(1.5)是线性的，而方程(1.3)和(1.4)是非线性的．定义7.1.3 设函数)(x y ϕ=在区间I 上连续，且有直到n 阶的导数，若把)(x y ϕ=及其相应的各阶导数代入方程(1.1)，得到关于x 的恒等式，即在I 上0))(),(),(,()(≡'x x x x F n ϕϕϕ ，则称)(x y ϕ=为方程(1.1)在区间I 上的解，若由关系式0),(=y x φ所确定的隐函数是方程(1.1)的解，则称0),(=y x φ为方程(1.1)的隐式解．例如，从定义7.1.3可以直接验证：1) 函数21x y -=和21x y --=都是方程(1.3)在区间)1 ,1(-上的解，而122=+y x 是它的隐式解．2) 函数x y tan =是方程(1.4)在区间)2,2(ππ-上的一个解，而)tan(c x y -=是方程(1.4)在区间)2,2(ππ+-c c 上的解，其中c 为任意常数．3) 函数x y cos 3ω=，x y sin 4ω=都是方程(1.5)在区间),(+∞-∞上的解，而且对任意常数1c 和2c ，x c x c y sin cos 21ωω+=也是方程(1.5)在区间),(+∞-∞上的解．今后对解与隐式解不加区别，统称它们为解．一般情况下也不再指明解的定义区间．从上面的讨论可知，微分方程的解可以包含一个或几个任意常数(与方程的阶数有关)，而有的解不含任意常数．为了加以区别，我们给出如下定义：定义7.1.4 方程(1.1)的含有n 个独立的任意常数n c c c ,, ,21 的解) ,, ,,(21n c c c x y ϕ=称为它的通解．不含任意常数的解称为它的特解．这里说n 个任意常数是独立的，其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个数减少．例如对于两个任意常数的情形，设函数)(),(x x ψϕ在区间I 上连续，若在I 上≠)()(x x ψϕ常数或≠)()(x x ϕψ常数，则称函数)(),(x x ψϕ在I 上线性无关，这时易知表达式 )()(21x c x c y ψϕ+=中的两个任意常数21,c c 是独立的．例1 验证函数x c x c y sin cos 21ωω+=是方程(1.5)的通解，其中21,c c 为任意常数．解 x c x c y c o s s i n 21ωωωω+-='，x c x c y s i n c o s 2221ωωωω--=''，将y y '',的表达式代入方程(1.5)有) sin cos ( sin cos 21222212x c x c x c x c y y ωωωωωωωω++--=+''0≡， ),(+∞-∞∈x ，所以对任意常数21,c c ，x c x c y sin cos 21ωω+=都是方程(1.5)的解，又由于 ≠xx s i n c o s ωω常数 (πk x ≠，∈k Z ) 即21,c c 是两个独立的任意常数，因此x c x c y sin cos 21ωω+=是方程(1.5)的通解．类似验证 ) sin(B x A y +=ω (A,B 为任意常数)也是方程(1.5)的通解．而x y cos 3ω=和x y sin 4ω=则是方程(1.5)的两个特解．定义7.1.5 为了确定方程(1.1)的特解而给出的附加条件称为定解条件，求方程(1.1)的满足定解条件的特解的问题称为定解问题．方程(1.1)的一种常用的定解条件是初始条件，它的一般提法是)(0x y ，)1(00)(y x y ='，…， )1(00)1()(--=n n y x y ， (1.6) 其中0x ， 0y ，)1(0y ，…，)1(0-n y 是任给的1+n 个常数．求方程(1.1)满足初始条件(1.6)的解的问题称为初值问题或柯西(Cauchy)问题．例如x y cos 3ω=是初值问题⎩⎨⎧='==+''0)0(,3)0(02y y y y ω 的解，而x y sin 4ω=是初值问题⎩⎨⎧='==+''ωω4)0(,3)0(02y y y y的解．它们都是在求得方程的通解以后，再利用初始条件定出通解中的任意常数而得出．这种做法是具有一般性的．可以证明：对于在一定范围内给出的1+n 个常数：0x ， 0y ，)1(0y ，…，)1(0-n y ，利用通解表达式及初始条件(1.6)便可确定通解中的n 个任意常数n c c c ,,,21 ，从而得到相应的初值问题的解．换句话说，在一定范围内，通解包含了方程的所有解，这也是通解这一名词的一种名副其实的解释．2. 微分方程及其解的几何解释考虑一阶微方程),(y x f y =' (1.7) 其中),(y x f 是平面区域D 内给定的连续函数．方程(1.7)的解)(x y ϕ=)(I x ∈在平面上的图形是一条光滑曲线，称它为方程(1.7)的一条积分曲线，记作Γ．任取一点Γ∈),(000y x P ，即I x ∈0，)(00x y ϕ=．由于)(x y ϕ=满足方程(1.7)，故按导数的几何意义可知，曲线Γ在点0P 的切线斜率为),())(,()(00000y x f x x f x =='ϕϕ．这说明曲线Γ上任一点处的切线斜率恰好等于方程右边函数),(y x f 在该点的函数值．这样，在区域D 内每一点),(y x P ，都可以作一个以函数),(y x f 在该点的值为斜率的小线段来表明积分曲线(如果存在的话)在该点的切线方向．区域D 连同所有这些小线段称为方程(1.7)的方向场．现在我们可以对微分方程(1.7)及其解作出几何解释：给定方程(1.7)，就相当于给定平面区域D 内的一个方向场，反之给定区域D 内的一个方向场，就相当于给定一个形如(1.7)的方程．方程(1.7)的解所对应的积分曲线就是区域D 内这样的一条曲线，在它所经过的每一点都与方向场吻合，即曲线上每一点的切线方向都与方向场在该点的方向一致．求解初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y ，就是求一条经过点),(00y x 并与方向场吻合的光滑曲线．以上这种几何解释，无论在理论上还是在实用上都有很大的价值．从理论上说，它把作为解析对象的微分方程及其解与作为几何对象的方向场及积分曲线沟通起来，从而在微分方程这门学科建立了数与形的联系，这就为我们从几何的角度去分析和思考微分方程的理论问题找到了入口．从实用上说，我们可以通过作出方向场来画出积分曲线的大概图形．这在无法(或无必要)求出解的精确表达式时，使我们能从微分方程本身的特有性质去推断出它的解的某些属性，从而使所讨论的问题在一定程度上获得解决．例2 证明：与微分方程3224xy y y x =-' (1.8) 的积分曲线关于坐标原点(0, 0)成中心对称的曲线，也是方程(1.8)的积分曲线．证设)(x y ϕ=)(b x a <<是方程(1.8)的一条积分曲线，以x -代x ，y -代y ，得)(x y ϕ=关于原点成中心对称的曲线)(x y -=-ϕ，即)(x y --=ϕ．由于)(x y ϕ=满足方程(1.8)，故有)()]([)]([43222x x x x x ϕϕϕ≡-'，)(b x a <<．上式中以x -代x ，得3222)]()[()]([)]([)(4x x x x x --≡---'-ϕϕϕ，)(a x b -<<-．或将它改写为3222)]([)]([])([4x x x x x --≡---'--ϕϕϕ，)(a x b -<<-．可见)(x y --=ϕ亦满足方程(1.8)．所以它也是方程(1.8)的一条积分曲线．§ 7.2 一阶微分方程的初等解法本节讲述一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，因此也称初等积分法．虽然能用初等积分法求解的方程属特殊类型，但它们却经常出现在实际应用中,同时掌握这些方法与技巧，也为今后研究新问题时提供参考和借鉴．1. 变量分离方程形如)()(y g x f dxdy = (2.1) 的方程称为变量分离方程，其中)(x f 和)(y g 都是连续函数．当0)(≠y g 时，把(2.1)改写为dx x f y g dy )()(=．(称为分离变量)，两边积分，得通解(隐式通解)⎰⎰+=c dx x f y g dy )()(． (2.2)这里我们把积分常数C 明确写出来，而把⎰)(y g dy ，⎰dx x f )(分别理解为)(1y g 和)(x f 的一个确定的原函数．在微分方程课程中，我们总是作这样的理解．若存在0y ，使0)(0=y g ，则直接验证可知0y y =也是方程(2.1)的解(称为常数解)．一般而论，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解(2.2)中，应注意补上这些可能丢失的解．例1 求方程0)(=+y x p dxdy (2.3) 的通解，其中)(x p 为连续函数．解分离变量dx x p ydy )(-=，两边积分得 ⎰+-=cdx x p y ~)( ln ．或 ⎰±=-dx x p e cy )(~ ．令cc ~±=，则 ⎰=-dx x p ce y )( )0(≠c ．此外0=y 是方程的常数解．若允许0=c ，则此解也含于上式中．所以方程(2.3)的通解为⎰=-dx x p ce y )(． (2.4)其中c 为任意常数．例2 解方程y y x y '=-2231．解分离变量2231xdx y ydy =-，两边积分得方程的通解c x y +-=--3112，或03112=+--c x y ．此外由012=-y 找到原方程的两个特解 1±=y ，但它们不能并入通解．2. 可化为变量分离方程的特殊类型1) 形如)(xy dx dy ϕ= (2.7)的方程称为齐次方程，其中ϕ是连续函数．通过变量代换，可将(2.7)化为变量分离方程，然后按变量分离方程求解．令u x y=，或ux y =，则 u dx dux dx dy+=，代入(2.7)得)(u u dx dux ϕ=+，或x uu dx du -=)(ϕ．这是一个变量分离方程．例3 解方程x yx ydx dy +=2．解令ux y =，代入方程得u u u dx dux +=+2，或u dx dux 2=．(2.8) 分离变量并积分，得(2.8)的通解c x u += ln ．此外0=u 也是(2.8)的解．代回原变量得原方程的通解c x x y+= ln及特解0=y )0(≠x ．例4 解方程2)(1y xy xy ++-='．解令v y x=,或vy x =，则v dy dvy dy dx +=．代入方程得211v v v dy dvy ++-=+，即21v dydv y +=．分离变量并积分，有ln ln )1ln(12y c v v =+++ )0(1>c ．从而推出)1(2v v c y ++= )0(1≠±=c c ，或222c cvy y =-，代回原变量得)2(22c x c y +=，其中0≠c 为任意常数．2) 形如)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= (2.9) 的方程可化为齐次方程或变量分离方程，其中f 是连续函数，i a ，i b ，i c )2 ,1(=i 都是常数，且02221≠+a a ，02221≠+b b ，02221≠+c c ．分两种情形讨论：1) 0 2211=b a b a ．若02≠a ，则02≠b ，因为如果02=b ，由于0 122211=-=b a b a b a ，推出01=b ．与假设21 ,b b 不同时为零相矛盾，从而有k b b a a ==2121 (常数)．令u y b x a =+22，得 )(2122c u c ku f b a dx du +++=，这是变量分离方程．若02=a ，则01≠a ，由0 212211==b a b a b a ，推出02=b ．从而01≠b ．令u y b x a =+11，得)(2111c c u f b a dx du ++=．亦化为变量分离方程．2) 0 2211≠b a b a ．这时方程组⎩⎨⎧=++=++00222111c y b x a c y b x a 有唯一解 α=x ，β=y ．作平移代换 α-=x X ，β-=y Y ，代入方程(2.9)，得)(2211Yb X a Y b X a f dX dY ++=，这是齐次方程．例5 解方程25--+-=y x y x dx dy ．解令u y x =-，则251-+-=u u dx du ，即27--=u dx du ．分离变量并积分，得27222c x u u +-=-，或c x u u =+-1442．代回原变量得通解c y x xy y x =++-+410222．例6 解方程123132-+++=y x y x dx dy ．解联立⎩⎨⎧=-+=++01230132y x y x ．解得 1=x ，1-=y ．令1-=x X ，1+=y Y ，得齐次方程YX YX dX dY 2332++=．又令u XY=，得 uudX du X 2332++=．或uu dX du X 23)1(22+-=． (2.10) 分离变量013222=-++du u u dX X 由此积分得2ln 11ln 23 1 ln ln 122c u u u X =+-+-+ )0(1>c 从而推出c u u u X =+--3224)11()1( )0(1≠±=c c 或)1()1(54+=-u c u X此外由012=-u 找到(2.10)的两个特解1±=u ，其中1=u 可并入上式(取0=c )．代回原变量．得原方程的通解)()2(5x y c x y +=+-，其中c 为任意常数．而由1-=u 代回原变量找到原方程的一个特解 x y -=．3. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为)()(x Q y x P dxdy=+， (2.11) 其中P 、Q 为连续函数．当0)(≡x Q 时，(2.11)成为0)(=+y x P dxdy． (2.3) 称它为齐次线性方程，当0)(≡x Q 时，(2.11)称为非齐次线性方程．例1已求出方程(2.3)的通解⎰=-dxx p ce y )(． (2.4)现在对方程(2.11)作变换⎰=-dx x p ue y )(， (2.12)代入(2.11)化简得⎰=dx x p e x Q dxdu)()(，由此积分，有⎰+⎰=c dx e x Q u dxx p )()(，将它代回到(2.12)即得方程(2.11)的通解))(()()(⎰+⎰⎰=-c dx e x Q e y dxx p dx x p ． (2.13)上述求解方法通常称为常数变易法[把(2.4)中c 变易为x 的函数)(x u u =]，公式(2.13)也称为方程(2.11)的常数变易公式．具体求解可按上述常数变易法的过程进行，也可直接代公式(2.13)．例7 解方程 22yx ydx dy -=．解将方程改写为y x ydx dy -=2．这是以x 为未知量的一阶线性方程．通解为)(22⎰+⎰-⎰=-c dy ye e x dydy ．) ln (2y c y -=．4. 可化为一阶线性方程的特殊类型 1)贝努里(Bernoulli)方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (2.14) 的方程称为贝努里方程，其中Q P ,为连续函数，1 ,0≠n 为常数．方程两边同乘以n y -，得 )()(1x Q y x P dxdyy n n=+--，或)()1()()1(11x Q n y x P n dxdy n n-=-+--．这里以n y -1为未知量的一阶线性方程．此外，当0>n 时，0=y 也是方程(2.14)的解．例8 解方程33y x xy dxdy=+．解方程两边同乘以3-y ，得 323x xy dxdyy =+--，或32222x xy dxdy -=---．所以)2(2232c dx ex e yx x +-=⎰--)(2222c e e x e x x x ++=--212x ce x -++=．方程的通解为1)1(222=++x ce x y ．2)形如)()()()()(y f x Q y f x P dxdyy f n =+' 的方程可化为线性方程或贝努里方程，其中Q P ,是连续函数，f 是可微函数，1 ≠n 为常数．例9 解方程y x y dxdyy 2sin cos sin cos =-．解原方程即y x y dxyd 2sin cos sin sin =-，上式两边同乘以y 2sin -，得x y dxdyycos sin sin 12=---，或x y dxyd cos sin sin 11-=+--．所以方程的通解为) )(cos (sin 1c dx e x e y x x +-=⎰--x ce x x -++-=)sin (cos 21．此外，0sin =y ，即πk y =∈k (Z )也都是方程的解．上述几种特殊的方程类型，产生于微分方程发展的早期．从中我们可以体会到求解微分方程的一种方法：对于所给微分方程，总是设法通过变形或适当的变量代换将它转化为变量分离方程或一阶线性方程(当作两种基本类型)来求解，以此扩充可求解方程的范围．这种方法通常也称为分离变量法或变量代换法．例10 求解下列微分方程：(1) xey y dx dy -=2； (2) )(2222x y y x y dx dy x -=-； (3))cos(x y dxdy-=； (4) x x x e ye y e y 2212-=-+'-．解 (1) 将方程改写为xe yy dy dx 211-=．上式两边同乘以x e -，得211ye y dy dx e x x-=--，或211ye y dy de x x =+--．所以)1(112c dy e ye edy dy xy y+⎰⎰=⎰--) (l n 1c y y+=．方程的通解为x e c y y ) (ln +=．此外，0=y 是方程的一个特解． (2) 原方程即332)21(xy y x xdx dy +-= ．上式两边同乘以3-y ，得 x y x xdx dy y 2)21(233+-=--，或x y xx dx dy 4)24(232--=--．所以)4(44222⎰+⋅-=--c dx e x x xe y x x )(442c e xe x x+=-方程的通解为4222x e cy y x =-．此外，0=y 是方程的一个特解． (3) 令u x y =-，将方程化为1cos -=u dxdu．分离变量并积分，得c x u+=2c o t ．代回原变量得方程的通解c x xy +=-2cot．此外方程有常数解πk x y 2+= ∈k (Z )．(4) 原方程可改写为2)()(x x x e y e e y --=-．易知x e y =是它的一个特解．令x e y z -=，得 2z e z x -='．分离变量并积分，得 c e zx +=1，或c e z x+=1．所以原方程的通解为c e e y x x ++=1．此外方程有特解x e y =． 5. 恰当方程一阶微分方程也常以微分形式出现，即写成0),(),(=+dy y x Q dx y x P ． (2.15)如果存在二元可微函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=，则称方程(2.15)为恰当方程．这时(2.15)成为0),(=y x du ．从而c y x u =),(．就是它的通解．这里需要用到二元函数微分学的知识，但我们可以利用一元可微函数关于微分形式不变性来理解它．例如在微分方程032223=+dy y x dx xy中，视y 为x 函数，它的左边恰好写成)(32y x d ，所以求得通解为 c y x =32．例11 求下列微分方程的通解： (1) 0)2()(2=-++dy y x dx y x ； (2) 0)1(22=++dy x xydx ；(3) 0)1()1(cos 2=-++dy yxy dx y x ．解 (1) 分项组合，得0)(22=++-xdy ydx ydy dx x ，或0)3(23=+-xy y x d 所以方程的通解为c xy y x =+-233． (2) 分项组合，得0)2(2=++dy dy x xydx ，或0)(2=+y y x d ．所以通解为c y y x =+2． (3) 分项组合，得 0)1c o s 2=-++y x d y y d x dy y xdx ，或0) ln (sin =++yxy x d ．所以通解为c yxy x =++ ln sin ．如果方程(2.15)不是恰当的，我们还可以通过对方程本身变形，结合运用微分运算的法则和技巧，有时还辅以适当的变量代换，将它转化为恰当方程来求解．为此需要掌握一些常见的微分表达式，如)(xy d xdy ydx =+， )2(22y x d y d y x d x+=+，)(2x y d x y d x x d y =-， )(2y xd y x d y y d x =-，) (ln x yd xy ydx xdy =-， )(a r c t a n 22x y d yx y d x x d y =+- 等．例12 求解下列微分方程： (1) 0)(=-+dy x y ydx ；(2) 0)()(=++-dy y x dx y x ； (3) 0)()(2=-++ydx xdy y ydy xdx x ；(4) 0)()(33=+++dy y x dx y x ．解 (1) 原方程即0=+-y d y x d y y d x 上式两边同乘以21y，得 02=+-y dyyxdy ydx ，或0) ln (=+y yxd ．所以通解为c y yx=+ ln ． (2) 分项组合0=-++y d x x d y y d y x d x，或0)(2122=-++y d x x d y y x d ．以221y x +乘上式，得0)(2)(222222=+-+++y x y d xx d y y x y x d ，由此积分，得c xy y x =++a r c t a n )l n (2122． (3) 以21x 乘方程，得 02=-++xy d xx d y y y d y x d x ，或0)()(2122=++xyyd y x d ．应用极坐标 θcos r x =，θsin r y =，上式变为0tan sin 212=+θθd r dr ，化简得0cos sin =+θθθd dr ．由此积分，得1c o s 1c r =+θ，代回原变量，得方程的通解12222c xy x y x =+++，或2222)1)((cx x y x =++，其中21c c =为任意常数．(4) 分项组合0)()(3333=+++y dyx dx y x ydy xdx ，运用微分运算法则，得 0)11(21)(21223322=+-+yx d y x y x d ，或222322)()()(xy y x d xy y x d +=+．令 22y x u +=，xy v =，上式变为23v u dv du =，或udv vdu du 2-=．移项合并du v udv )1(2-=，分离变量并积分，得cu v =-2)1(．通解为)()1(222y x c xy +=-．历史上，有人曾专门按导数形式去求解一阶微分方程，也有人曾试图按微分形式统一处理．但经验表明：单纯采用一种形式总有其不便与困难．求解中我们应特别注意这两种形式的互相转化，灵活运用各种求解方法．例13 求解下列微分方程(1) 252233363224y y y x x xy x dx dy +-+-=； (2) 0)1()(2=++-dy x y dx y x ．解 (1) 改写成微分形式0)363()224(252233=+--+-dy y y y x dx x xy x ．分项组合0)32()36()24(223253=+--++dy y x dx xy dy y y dx x x ．从而有0)(323624=--++y x y y x x d ．所以通解为c y x y y x x =--++323624．(2) 将方程改写为)1(2x y xy dx dy +-=．或xxy x dx dy +-+=121222．所以))1(12()1(222c x dxx x x y ++⋅+-+=⎰))1(1()1(22⎰+++=c x xdx )11)1(()1(22c x x x x +++++= 2)1(12x c x +++=．§ 7. 3 一阶微分方程的应用应用微分方程解决实际问题的步骤是：(1) 分析问题，建立相应的微分方程，并提出定解条件； (2) 求定解问题；(3) 利用所得结果解释实际问题．对于步骤 (1) 所涉及到的基本方法有按规律列方程，微元分析法及模拟近似法，下面我们通过举例分别阐述它们的具体运用．1. 按规律列方程在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践或实验检验的规律或定律，如牛顿冷却定理、牛顿运动定律、物质放射性的规律、电路问题中的基尔霍夫(Kirchhoff) 第二定律、曲线的切线性质等，它们都涉及到某些函数的变化率，由此所列出的关系式自然就是包含自变量、未知函数及其某些导数的微分方程式．例1 冷却问题把一个加热到50C 的物体，放到20C 的恒温环境中冷却，求物体的变化规律．解根据牛顿冷却定律：温度为u 的物体，在温度为0u 的周围环境中冷却的速率与温差0u u -成正比．在冷却过程中，设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，物体冷却的速率就是其温度对时间的变化率dtdu．于是由冷却定律可得 )20(--=u k dtdu， (3.1) 这里0>k 为比例常数，上式右边出现负号，是因为随时间t 的增加，温度u 在减少，即当20>u 时，0<dtdu．此外，)(t u u =应满足初始条件 20)0(=u ． (3.2) 解初值问题(3.1)+(3.2)，得所求温度的变化规律kteu -+=3020．可见，物体的冷却是按指数规律变化的(图7—1)．当t 增加时，温度开始时下降较快，以后逐渐变慢而趋于环境温度．例2 物体在空气中的下落假设质量为m 的物体在空气中下落，初速度为零．空气阻力与下落速度的平方成正比，阻尼系数为0>k ，求下落速度)(t v v =的变化规律．解不妨设重力mg (g 为重力加速度)的方向为正，则空气阻力为2kv -，由牛顿第二定律，可得2kv mg dtdvm-=． (3.3) 此外)(t v v =应满足初始条件0)0(=v ．将方程(3.3)分离变量dt vmk g dv=-2，或dt mkv kmg dv =-2．两边积分，得1ln 21ln 21c t m k vv kmg kmg k mg kmg +=-+ )0(1>c ．化简得at kmg k mg ce vv 2=-+，其中01≠±=c c 为常数，mkga =．由条件0)0(=v 可定出1=c ．把1=c 代回到上式，并从中解出v ，得所求变化规律1122+-=at at e e k mg v ．例3 R —L 电路设有电路如图7—2所示，其中R 、L 、E 都是常数．原来电路中没有电流，当把开关K 拨到1处后，电路中的电流逐渐增加，设0t t =时又将开关K 倒向2，则电路中电流又逐渐减少，试求电路中的电流I 随时间t 的变化规律．解 (1) K 拨到1处)0(0t t ≤≤时，电阻R ，电感L 与电源E 串联成一闭合回路，各元件上电压降分别为RI ，dtdIL ，E -，由基尔霍夫第二定律，得图7—20=-+E dtdIL RI ，或LE I L R dt dI =+． (3.3) 此外)(t I I =应满足初始条件0)0(=I ． (3.4) 解初值问题(3.3)+(3.4)，得)1(tL R e RE I --=．(2) K 倒向2处)(0t t ≥后，回路只由电阻R 与电感L 串联而成，故有0=+I LRdt dI ． (3.5) 且满足初始条件00)1()(0I e RE t I t R ∆-=-=． (3.6)解初值问题(3.5)+(3.6)，得)(00 t t LR eI I --=．所以)(t I I =的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-=---. ,,0 ),1( 0)(000t t e I t t e R E I t t t L RLR例4 几何问题求一曲线，使其上任一点的切线与x 轴的交点到切点的距离等于该交点到坐标原点的距离．解设所求曲线的方程为)(x y y =，其上任一点),(y x P 处的切线方程为图7—3)(x X y y Y -'=-，其中),(Y X 是切线上的动点(图7—3)．上式中令0=Y ，得切线的横截距为y yx '-．依题意，得 222)()(y yx y y y '-=+'，或222y x xyy -='． (3.7)此即所求曲线应满足的微分方程．将(3.7)改写为对称式0)(222=--dy y x xydx ，分项组合0222=+-dy y dy x xydx ．以21y乘上式将它写成 0)(2=+y yx d ．所以c y yx =+2．或4)2(222c c y x =-+．这是中心在y 轴上且与x 轴相切于原点的圆族．2. 微元分析法用微积分的微元法来建立微分方程式实际上是寻求一些微元之间的关系式．在建立这些关系式时也要用到某已知规律或定律，与前述方法不同之处在于这里是对这些微元来应用规律或定律的．例5 溶液的混合问题一容器内盛有100升盐水，其中含盐10千克，今用每分钟2升的速率将净水注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以同样速率流出容器，问在任一时刻t 容器内含盐量是多少？解设在时刻t ，容器内含盐量为)(t Q Q =．经过时间dt 后，流出容器的溶液量为dt 2，从而流出的盐量近似为dt Q 2100⋅，其中100Q为混合液在时刻t 的浓度，而流入容器的盐量为0．于是得含盐量Q 的微元dt QdQ 2100⋅-=，即Q dt dQ 501-=． (3.8) 此外)(t Q Q =满足初始条件10)0(=Q ． (3.9) 解初值问题(3.8)+(3.9)，得teQ 110-=．例6 流体流动问题有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10cm ，顶角为60 ，漏斗下面有面积为0.52cm 的孔，求水从小孔流出过程中漏斗中水面高度随时间变化的规律．解建立坐标系如图7—4所示．设在时刻t ，水面高度为)(t h h =，经过时间dt ，水面高度为dh h +)0(<dh ．则在时间间隔],[dt t t +内，相应于漏斗中的水层，其体积近似于以h r 33=为半径，高为)(dh -的圆柱体体积，故这水层的体积微元为 dh h dh r dV 223ππ-=-=．而在这段时间内从小孔流出的水近似为dt h V dV )(5.00=，这里)(0h V 表示水面高度为h 时从小孔中流出的水沿h 图7—4 轴反向的速度，根据水力学中有关定律gh h V 262.0)(0=．其中0.62为流量系数，g 为重力加速度．于是有 dh h dt gh 23231.0π-=，或dh h gdt 23293.0π-=． (3.10)此外)(t h h =应满足初始条件10)0(=h ． (3.11) 解初值问题(3.10)+ (3.11)，得所求的变化规律)10100(265.45h gt -=π． 3. 模拟近似法在生物、医学、经济等学科的实际问题中，所反映的现象往往是很复杂的．为了研究它们，需要在不同的假设下去模拟实际现象．这个过程当然是近似的，所建立的数学模型，例如微分方程模型，也是作了各种近似和简化．因此，模型的结果是否具有实际意义或满足实际要求，只有通过实践去检验．例7 单种群模型与人口问题动植物种群本身是离散变量，但由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增量是很微小的，所以我们可以近似地假设大规模种群随时间是连续地甚至可微地在变化，进而可以应用微分方程这一数学工具来研究．英国人马尔萨斯(Malthus)认为人口增长率(出生率与死亡率之差)为常数，即单位时间内人口增量与人口总量成正比．设在时间t ，人口总数为)(t P P =，则有马尔萨斯人口模型⎪⎩⎪⎨⎧=>=00)()0( P t P a aP dt dP是常数这个初值问题的解为)(00t t a e P P -=，它表明人口按指数曲线增长，这一理论已被实践证明是错误的．1837年，荷兰生物数学专家弗胡斯特(Verhulst)考虑了有影响增长率的竞争项的模拟，得出容易理解的下述单种群数学模型⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)()(P t P P bP a dtdP其中正常数a 和b 称为生命系数．解此初值问题，得)(00)(000t t a t t a ebP bP a e aP P --+-=． (3.12) 一些生态学家测得a 的自然值为0.029，而b 的值取决于各国的社会经济条件．据文献记载，美国和法国曾用公式(3.12)预报过人口的变化，结果相当符合实际．根据安徽省统计局统计的数字，芜湖市人口总数在1992年底为206.12万人，假设当时的人口增长率为0.832℅，则00832.00=-bP a ，在公式(3.12)中取19920=t ，60100612.2⨯=P ，对芜湖市人口作出估算，将其中一部分结果与省统计局最近几年公布的芜湖市人口总数列表对照如下从表中看出，上述估算有一定的可信度．按照这个估计，芜湖市人口总数到2020年底将达到245万，到2050年将接近269万．而最终趋势为05.289)(lim ≈=+∞→bat P t (万)．§7.4 可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程．求解高阶方程的一种常用的方法就是设法降低方程的阶数．如果能把它降低为一阶方程，我们就有可能运用§7.2所讲的方法．本节介绍几种可降阶的方程类型．1. 不显含未知函数y 的方程0),,,,()()1()(=+n k k y y y x F )1(≥k ． (4.1)令z y k =)(，得关于z 的k n -阶方程0),,,,()(='-k n z z z x F ，从而使方程(4.1)降低了k 阶．例1 解方程01)4()5(=-y xy ．解令z y =)4(，得01=-'z xz ．所以cx ce z dx=⎰=1，即cx y =)4(．对x 积分4次，即得方程的通解54233251c x c x c x c x c y ++++=．2. 不显含自变量x 的二阶方程0),,(='''y y y F ． (4.2)令 z y ='，并以y 为新方程的自变量，z 为新未知函数，则 dydz z dx dy dy dz dx dz y ===''．将z y ='，dydzz y =''代入方程(4.2)，即化为未知函数z 的一阶方程．例2 解方程02='+''y y y ． (4.3) 解令z y ='，则dydzzy =''，代入方程得 02=+z dydzyz ，或0=+z dydzy．(注意0=z 仍是方程的解) 解得 yc z =，即y c y ='．分离变量并积分得212c x c y += )2(1c c =．注意，方程(4.3)可改写为0)(=''y y ，这时我们也说(4.3)是恰当方程．进而有0)2(2=''y ，对x 积分两次得222212c x c y +=，即212c x c y +=．如果一个高阶方程不是恰当的，我们也可以通过变形，看能否将它化为恰当方程来求解．例3 解方程02='-''y y y ．解以21y 乘方程，得 022='-''y y y y ，或0)(=''yy ，进而有0) (ln =''y ．对x 积分两次得21 ln c x c y +=．此外0=y 也是方程的解．如果把通解表示为x c ce y 1=，其中c ，1c 为任意常数，则特解0=y 也并入其中．例4 一条长度为a 的均匀链条放置在一水平而无摩擦的桌面上，使链条在桌边悬挂下来的长为b )0(a b <<，问链条全部滑离桌面需要多长时间？解如图7—5所示，设在时刻t ，链条在桌边悬挂下来的长)(t x x =，以ρ表示链条密度(即单位长的质量)，按牛顿第二定律，可得g x dt x d a ) ( 22ρρ= (g 为重力加速度)．图7—5或x a g dtx d =22．令dt dx v =，dx dv v dtx d =22代入上式得 x ag dx dv v=． (4.4) 由假设知 0==b x v ． (4.5)解初值问题(4.4)+(4.5)，得22b x ag v -=，即 22b x ag dtdx -=． (4.6) 并且 b x =)0(． (4.7)从(4.6) ，(4.7) 解得)l n (22b b x x g a t -+=．所求时间为)l n (22bb a a g a T -+=． §7.5 高阶常系数线性方程虽然我们已会求解一阶或高阶的几类特殊类型的方程．但是我们应该知道，即使是一阶方程，例如形式上很简单的黎卡提 (Riccati)方程22y x dxdy +=，我们也不可能用初等积分法求解，这是法国数学家刘维尔(Liouville)于1838年所证明的事实．对于高阶方程，求解的难度会更大，就是高阶线性方程，尽管已从理论上完全掌握其解的结构和性质．但具体求解却无一定规律可循．也就是说，除了一些特殊情形外，是很难求解的．本节我们以二阶为例讨论高阶常系数线性方程，它的求解问题将获得彻底解决．1. 二阶常系数齐次线性方程一般形式为021=+'+''y a y a y ．(5.1) 其中1a ，2a 为实数．明显看出0=y )(+∞<<-∞x 是方程(5.1)的解，(称为零解或平凡解)．根据方程(5.1)的特点及指数函数t e λ的特性，我们试求(5.1)如下形式的特解x e y λ=．其中λ是待定的(实或复)常数．将x e y λ= 代入(5.1)，可得0)(212 =++a a e x λλλ．因为0 ≠x e λ，所以0212=++a a λλ． (5.2) 这样，对于二次代数方程(5.2)的每一个根λ，x e λ就是方程(5.1)的一个解．(5.2)称为方。

微分方程及其解几何意义分离变量方法

微分方程及其解几何意义分离变量方法微分方程是描述物理、工程和数学问题中变量之间关系的数学方程。

它在科学和工程领域中具有广泛的应用。

微分方程的解具有重要的几何意义，可以帮助我们理解和研究问题的性质和行为。

微分方程的解几何意义可以通过以下几个方面来解释：1.几何形状描述：微分方程的解可以用来描述几何形状。

例如，二阶微分方程可以描述曲线的形状、三维曲面的曲率等。

通过求解微分方程，我们可以获得形状和曲线的各种性质，如切线、切面、曲率等。

几何形状的描述对于理解和研究问题的本质非常重要。

2.动力学行为：微分方程的解可以描述物体或系统的动力学行为。

例如，质点的运动、电路中电流的变化等。

通过求解微分方程，我们可以获得物体或系统的位置、速度、加速度等关键信息。

这对于研究运动和相互作用等动力学现象非常有用。

3.稳定性分析：微分方程的解可以用来分析和评估系统的稳定性。

例如，稳定性方程可以用微分方程描述，通过求解稳定性方程的解可以判断系统的稳定性。

这对于分析工程系统、控制系统等的稳定性非常重要。

4.相空间分析：微分方程的解可以用来描述系统在相空间中的行为。

例如，相图可以用微分方程描述，通过求解相图的解可以研究系统在相空间中的运动轨迹、稳定点、周期等。

相空间分析对于理解系统的动力学行为有着重要的意义。

分离变量方法是求解一阶常微分方程的常用方法之一、它的基本思想是将方程中的所有变量分离，然后对两边分别积分。

分离变量方法适用于形如dy/dx = f(x)g(y)的方程。

分离变量方法的步骤如下：1. 将变量分离：将方程中的dy和dx分离为两个单独的项。

通常可以将方程重写为dy/g(y) = f(x)dx。

2. 对两边积分：对方程两边进行积分，即∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx。

这样就可以求出g(y)和f(x)的积分。

3.求解常数：在进行积分过程中，可能会产生一个或多个常数。

根据已知条件或边界条件，解出这些常数。

4.得到解：将求得的积分结果代入方程中，得到方程的解。

常微分方程的几何意义和解法

常微分方程的几何意义和解法在数学领域中，常微分方程是一类非常重要的问题之一。

这类问题包括了数学中最基本的物理问题，而且是很多实际问题的数学模型。

在这篇文章中，我们将会探究常微分方程的几何意义和解法。

首先，我们需要明确什么是常微分方程。

常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是数学中的一类方程，是描述一个未知函数在自变量上导数的函数关系式。

常微分方程的例子包括了以下几种:1. y' = f(x,y) (一阶常微分方程)2. y''+y = 0 (二阶齐次常微分方程)3. y''+y = cos x (二阶非齐次常微分方程)我们先来看第一种类型的常微分方程。

对于y' = f(x,y)，我们可以将其看作一个二维函数图像中的切线斜率问题。

这里，y代表了这个函数的纵坐标，x代表了这个函数的横坐标，y'代表了这个函数图像在这个点的切线斜率。

而f(x,y)则代表了这个切线斜率与这个点（x,y）的坐标之间的关系。

因此，我们可以使用一系列箭头指向各个点上的切线，从而得到图像的整体特征。

对于二阶常微分方程：y''+y = 0，我们可以将其看作一个简谐振动的问题。

在这个问题中，y代表运动物体的位置，而加速度则等于y的二阶导数。

因此，方程中的y''可以被看作物体的加速度，而y相当于物体在相应时刻的位置。

当y<0时，物体向一个方向运动，而当y>0时，则向相反的方向运动。

而对于非齐次方程，比如y''+y = cos x，我们就需要通过特殊的技巧求解。

在这个方程中，cos x可以被看作外力的结构，而y代表了这个问题的解。

因此，在求解这个方程时，我们可以先求得它的齐次部分解，然后再利用特殊的技巧来求得其非齐次解。

接下来，我们需要了解一下求解常微分方程的几种方法。

1. 变量分离法：变量分离法是常微分方程求解中最常用的方法之一。

微分方程的几何意义

微分方程的几何意义
微分方程是数学中重要的一类方程，它描述了函数与其导数之间的关系。

微分方程在多个领域中都有广泛的应用，例如物理学、化学、工程学等。

而微分方程的几何意义则是指其解所表示的曲线或曲面在空间中的几何特征。

对于一阶微分方程来说，其解可以表示为一条曲线。

例如，y' = f(x,y)表示的是一个点(x,y)处的切线斜率等于f(x,y)，则方程
的解就是一族曲线，每一条曲线在每个点处的切线斜率都等于其对应的f(x,y)。

这样的曲线就可以被看作是一些切线斜率相同的曲线的集合，即方向场。

对于二阶微分方程来说，其解可以表示为一条曲面。

例如，y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)表示的是一个函数y(x)满足该方程的二
阶导数等于g(x)与其一阶导数和经过一些系数变换后的结果。

则该方程的解可以表示为一张曲面，曲面上每个点的斜率等于其在该点的二阶导数，而这个斜率的大小与曲面的高度成正比。

这样的曲面就可以被看作是一些二阶导数相同的曲面的集合，即方向场。

在微分方程的研究中，几何意义可以帮助我们更加直观地理解微分方程的解的特征，进而更好地解决实际问题。

例如，在物理学中，微分方程的几何意义可以帮助我们更好地理解物体的运动规律，从而更好地解决相关问题。

在工程学中，微分方程的几何意义可以帮助我们更好地理解物理现象和工程设计的本质，从而更好地设计工程方案。

因此，微分方程的几何意义是微分方程研究中不可
或缺的一部分。

常微分方程常用数值解法.

常微分方程常用数值解法.第一章绪论1.1 引言常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具。

微分方程的理论和方法从17世纪末开始发展起来，很快成了研究自然现象的强有力工具，在17到18世纪，在力学、天文、科学技术、物理中，就已借助微分方程取得了巨大的成就。

1864年Leverrer根据这个方程预见了海王星的存在，并确定出海王星在天空中的位置。

现在，常微分方程在许多方面获得了日新月异的应用。

这些应用也为常微分方程的进一步发展提供了新的问题，促使人们对微分方程进行更深入的研究，以便适应科学技术飞速发展的需要。

研究常微分方程常用数值解是数学工作者的一项基本的且重要的工作。

在国内外众多数学家的不懈努力，使此学科基本上形成了一套完美的体系。

微分方程的首要问题是如何求一个给定方程的通解或特解。

到目前为止，人们已经对许多微分方程得出了求解的一般方法。

由于在生产实际和科学研究中所遇到的微分方程问题比较复杂，使这些问题的解即使能求出解析表达式，也往往因计算量太大而难于求出，而对于一些典型的微分方程则可以运用基本方法求出其解析解，并可以根据初值问题的条件把其中的任意常数确定下来。

由于求通解存在许多困难，人们就开始研究带某种定解条件的特解。

首先是Cauchy对微分方程初始解的存在惟一性进行了研究。

目前解的存在惟一性、延拓性、大范围的存在性以及解对初始解和参数的延续性和可微性等理论问题都已发展成熟。

与此同时，人们开始采取各种近似方法来求微分方程的特解，例如求微分方程数值解的Euler折线法、Runge-Kutta法等，可以求得若干个点上微分方程的近似解。

最后，由于当代高科技的发展为数学的广泛应用和深入研究提供了更好的手段。

用计算机结合Matlab软件求方程的精确解、近似解，对解的性态进行图示和定性、稳定性研究都十分方便有效。

本章先介绍常微分的一般概念、导出微分方程的一些典型例子及求解微分方程的思路分析。

如何理解常微分方程的通解、特解以及所有解？

如何理解常微分⽅程的通解、特解以及所有解？对于这样的微分⽅程：其中，，我们称为常微分⽅程。

求解常微分⽅程是有明确的⼏何意义的。

我们下⾯就通过它的⼏何意义，来观察什么是通解、特解以及所有解。

1 解常微分⽅程的⼏何意义是有明确的⼏何意义的：在这个曲线上取⼏个点，作出点附近的切线：根据微积分的思想，“以直代曲”，切线就是代替曲线的最佳直线。

所以我们可以看到，如果曲线上的点密集⼀点，切线就看起来很接近曲线了：我要是把曲线去掉，你⼤概也能根据切线脑补出曲线的样⼦：求解常微分⽅程的⼏何意义就是，根据切线画出曲线。

2 欧拉⽅法欧拉，给出了⼀个以他名字命名的欧拉⽅法，可以通过切线来画出曲线。

怎么作出切线呢？这个就是导数的⽅程，把导数作为斜率就可以画出切线。

我们举个最简单的例⼦吧，。

我们随便选⼀点作为起始点：不断重复以上步骤，我们可以得到⼀个折线段：容易知道是的⼀个解，我把画出来看⼀下，会发现这两个的图像还是有点接近：随着的缩⼩，图像就越来越接近（为了⽅便观看，我把点给去掉了）：欧拉⽅法就是这样通过切线来把原来的曲线描绘出来的，这些连起来的折线，我们就称为欧拉折线。

欧拉折线肯定和曲线是有误差的，就好像泰勒级数和原来的曲线有误差⼀样，这⾥就不深⼊讨论了。

3 线素场欧拉⽅法计算量其实还蛮⼤的（越⼩计算量越⼤），不过好⽍⼈⼿还可以算。

有了计算机之后，我们就可以不管计算量了，所以就有了更有效的线素场。

其实说来也简单，我在平⾯上等距离取点：然后以这些点为起点，根据画出切线，这就是线素场（或者称为斜率场）：结合欧拉折线和线素场，我们就可以开始分析通解、特解和所有解了。

4 通解、特解和所有解4.1 通过欧拉折线来观察解我们通过来继续讲解。

这个微分⽅程的通解还是很容易求的，就是：知道通解之后我们通过图像来验证下。

指定的位置，可以画出不同的欧拉折线（⼤家可以观察到，有了线素场之后，就算没有欧拉折线，我们⼤概也可以脑补曲线的样⼦）：不同的，就相当于不同的初始值。

常微分方程的基本知识

由n个未知函数构成的一阶微分方程组的一般形式为
dx1 ..., xn ) dt f1 ( t , x1 , x2， dx2 f ( t , x , x ，， 2 1 2 ..., x n ) dt ............ dxn f ( t , x , x , ..., x ). n 1 2 n dt
总可以引进n-1个新的未知函数，把它化为由n个一阶微分方程组成的方程组。事实上，
令
dx d2x d n-1 x x1 = x, x2 = , x3 = 2 , ..., xn n1 . dt dt dt
于是方程（1.4）化为下面的一阶方程组：
dx1 dt x2， dx2 x ， 3 dt ............ dx n1 xn dt dxn f ( t , x1 , x2 , ..., xn ). dt
n
(1.6)
其中fi为定义在G (a, b) D, D为R 中的一个区域.
如果引入向量
x1 x2 x= xn ..., xn ) f1 ( t , x1 , x 2， f ( t , x , x ， ..., x ) 1 2 n f (t,x)= 2 f n ( t , x1 , x2 , ..., xn ) dx1 dt dx2 dx dt dt dxn dt
这就组成微分方程组。若设开始时刻t t0 , 两种群个体的数量分别为x0与y0。
于是要了解此两种种群个体变化的规律，就需要在条件x |t t0 x0 , y |t t0 y0下求解微分方程组(1.3).

精品课件-常微分方程(王素云)-第1章

第1章基本概念
除了初值条件外，另外一种常见的定解条件是边值条件. 最后，我们对n阶微分方程的通解关于n个任意常数的独立性作一点说明. 一个n阶微分方程的通解包含n个独立的任意常数. 反之，设y=g(x,C1,C2,…,Cn)是充分光滑的函数族，其中x是自变量，而C1,C2,…,Cn是n个独立的参数(任意常数),则存在一个形如式(1.1)的n阶微分方程，使得它的通解恰好是上面的函数族y=g(x,C1,C2,…,Cn). 我们把这个一般结论的证明留给读者(习题1.1的第4题)，它的证明方法与例1.8的讨论是类似的.
b f 2 (x) d x 1 [b2 f (b) f (a)]
a
3
第1章基本概念
上式对于每点b(b>a)都成立，两边对b求导得
f (b) 3 f 2 (b) 2 f (b)
b2
b
改用惯用的符号:
f
( x)
3
f
2 (x) x2
2
f
(x) x
这就是所要建立的微分方程.
第1章基本概念
v0t
y0
（1.8）
因此它描述了具有初始高度y0和初始速度v0的自由落体运动.
我们称式(1.8)是初值问题式(1.4)与(1.7)的解，亦即初
值问题:
y" g ,
y(0)
y0
,
y'(0) v0
（1.9）
的解.初值问题又叫柯西问题.
第1章基本概念
再看一例，一曲线通过点(1,2)
M(x,y) 处的切线斜率为2x，求该曲线的方程.
(3) yy ( y)2 1 0,
(4)
d2
dt2

第二章：基本定理

9
第二章基本定理
二、欧拉-柯西近似法
一阶微分方程的初值问题 y f ( x , y ), y x x0 y0 , 的解不能或不易用初等积分法求出时,怎么办？
问题:
方法：近似积分法——欧拉—柯西近似法．一阶微分方程初值问题的解存在及唯一的充分条件如下定理：
10
第二章基本定理
线素场的线素相切。 ** 上述定理说明Cauchy问题的积分曲线在其上每一点都与
线素场的线素相切，也即是积分曲线总是“顺着”线素场的方向进行的曲线。 4
第二章基本定理
例1 画出方程 y
x 2 y 2 所确定的方向
场示意图.
解方程的等斜线为 x 2 y 2 C ,
取 C 0, 0.5, 1, 1.5, 2,
y
画出五条等斜线, 再在
每条等斜线上适当选取若干个点画出对应的向
0 量 ,如图方向场.
5
o
x
第二章基本定理
三. Cauchy问题解的存在性定理： Peano定理：如果f（x，y）在区间G上连续，则
Cauchy问题存在定义在点x0某一领域中的解。
** 上述定理说明微分方程右端函数f（x，y）的连续性保
y
M1
M0
求出函数值，过点 M 1 f ( x1 , y1 ) y1 为斜率的直线段作以 y1 M 1 M 2，交直线 x x2
M2
o x0 x1 x 2
xn1H
x
y0 h( y0 y1 )；于点 M 2 ( x2 , y2 )，则 y2 y1 hy1
1841年法国数学家 Liouville指出：绝大多数常微分方程不能用初等积分求解。

ode的几何解法 -回复

ode的几何解法-回复题目：对于常微分方程（ODE），如何使用几何解法解决问题？引言：常微分方程（ODE）是数学中重要的一个分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。

在解决ODE问题中，我们通常依赖于数值方法或者代数方法，但是在某些情况下，几何解法也是一种非常有用的方法。

本文将一步一步回答“ODE的几何解法”这个主题，通过几何的思考和解释，帮助读者理解和应用几何解法解决ODE问题。

第一部分：介绍几何解法的基本概念和原理（500字）1. 什么是几何解法？几何解法是一种使用几何图像和直观想象来理解和解决ODE问题的方法。

它通过将ODE转化为几何对象的性质和变换关系，从而得到问题的解析或近似解。

2. 为什么选择几何解法？几何解法可以帮助我们更直观地理解ODE的物理背景和行为规律，同时也能够提供一些洞察力和直观的解释，使得问题的求解更加简化和有效。

3. 几何解法的基本原理- 几何图像：以ODE的解为自变量所构成的曲线，可以通过几何图像更直观地表示。

- 切线：曲线上任一点的切线可以用来表示该点处的动态行为，如趋近于稳定的方向等。

- 相空间：将ODE的解看作一个向量，并将所有可能的解构成的集合称为相空间。

相空间可以帮助我们更全面地了解ODE的解的性质和行为。

第二部分：具体的几何解法的应用（1000字）在第一部分的基础上，我们将介绍几个常见的几何解法并应用到具体的ODE问题中。

1. 相图法（Phase Plane Analysis）相图法将ODE看作在相空间中的运动，通过绘制相图来分析ODE的解在相空间中的轨迹和行为。

我们将介绍平面ODE的相图和相图中的平衡解，以及如何利用相图来分析ODE的稳定性和周期性。

2. 构造解的几何方法有时，我们可以通过几何构造来得到ODE的特解。

例如，某些特殊形式的ODE可以通过绘制等势线、等值线或线场来得到几何解。

3. 奇点分析奇点是ODE中解法难以获得或者解法不存在的点。

通过奇点分析，我们可以揭示ODE解的特殊行为，并为问题的解提供一些洞察。

第二章基本定理山东师范大学

第二章基本定理§2.1 常微分方程的几何解释一、教学目的与要求：（1）理解并掌握线素场的概念以及一阶显式方程),(y x f dxdy= 的线素场与它的积分曲线的关系.（2）理解并掌握欧拉折线法和初值问题解的存在性定理. 二、教学重点，难点：（1）线素场的概念以及一阶显式方程),(y x f dxdy= 的线素场与它的积分曲线的关系. （2）欧拉折线法和初值问题解的存在性定理.2.1.1 线素场我们在1.1节已经给出了微分方程及其解的定义. 本节将就一阶显式方程),(y x f dxdy= (1.9) 给出这些定义的几何解释. 由这些解释，我们可以从方程(1.9)本身的特性了解到它的任一解所应具有的某些几何特征. 首先，我们要给出“线素场”的概念.设(1.9)的右端函数),(y x f 在区域G 内有定义(图2-1),即对G 内任意一点),(y x ，都存在确定值),(y x f .以点),(y x 为中点，作一单位线段，使其斜率恰为),(y x f k =，称为在),(y x 的线素.于是在G 内每一点都有一个线素.我们说，方程(1.9)在区域G 上确定了一个线素场.图2-1例1 试讨论方程xy dx dy = 所确定的线素场.解右端函数除oy 轴以外的左右两个半平面处处有定义，因而方程在这两个半平面上都确定了线素场. 易于看出这个线素场在点),(y x 的线素与过原点),(y x 和点),(y x 的射线重合(图2-2).图2-2例2 考虑方程yx dx dy -= 所确定的线素场.解右端函数除了ox 轴以外的上下两个半平面上都有定义，方程在每一点),(y x 所确定的线素都与原点到该点的射线垂直(图2-3).图 2-3 s在例1中，右端函数xy在y 轴上无定义(变为无限). 在例2中，右端函数x y -在x 轴上无定义(变为无限). 为了进行弥补，一般的，当方程),(y x f dxdy= （1.9）的右端函数),(y x f 在某些点取无限值时，我们同时考虑方程),(),(11y x f y x f dy dx == (1.9)′ 易见，在),(y x f 取无限值的点，0),(1=y x f .于是, 可以说线素场在这些点平行于oy 轴. 例如，在例1中，同时考虑方程xydx dy = 及y x dy dx =. 在例2中，同时考虑方程y x dx dy -= 及xydy dx -=. 这样，这两个方程，除点(0,0)外，都在全平面上确定了线素场.下面来讨论方程(1.9)的解与它确定的线素场的关系. 前面，我们已经把(1.9)的解)(x y ϕ=的图象称为(1.9)的积分曲线.现在有如下定理.定理2.1 曲线L 为(1.9)的积分曲线的充要条件是：在L 上任一点，L 的切线与(1.9)所确定的线素场在该点的线素重合；亦即L 在每点均与线素场的线素相切.证明必要性.设L 为(2.1)的积分曲线,其方程为)(x y ϕ=, 则函数)(x y ϕ=为(2.1)的一个解.于是,在其有定义的区间上有))(,()(x x f x ϕϕ=', 其左端为曲线L 在点))(,(x x ϕ的切线的斜率, 右端恰为方程(2.1)的线素场在同一点))(,(x x ϕ处的线素的斜率. 从而, 曲线L 在点))(,(x x ϕ的切线与线素场在该点线素重合. 又因上式为恒等式, 这就说明沿着整个曲线L 都是这样.充分性. 设方程为)(x y ϕ=的曲线L , 在其上任一点))(,(x x ϕ处, 它的切线方向都与方程(2.1)的线素场的线素方向重合, 则切线的斜率与线素的斜率应当相等. 于是, 在函数)(x y ϕ=有定义的区间上, 有恒等式))(,()(x x f x ϕϕ='. 这个等式恰好说明函数)(x y ϕ=为方程(2.1)的解. 从而曲线L 为方程的积分曲线.这个定理表明这样一个事实：(1.9)的积分曲线在其上每一点都与线素场的线素相切. 或者直观地说成积分曲线是始终“顺着”线素场的线素行进的曲线.2.1.2 欧拉折线在这一段里,我们利用线素场的概念简略地介绍一下欧拉折线法.以下假定函数),(y x f 在区域:b x a ≤≤,∞<y 上连续且有界, 于是),(y x f 在这个区域上确定了一个线素场. 为了求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy(2.2) 在区间],[0b x 上的近似解)(x y y =, 就是要在由),(y x f 所确定的线素场中, 求出经过点),(00y x 的近似积分曲线(图2-4). 为此, 把区间],[0b x n 等分, 其分点为:,0kh x x k += n k ,,1,0 =, nx b h 0-=, b x n =. 先求出),(00y x f .因为积分曲线在点),(00y x 的斜率应为),(00y x f ,于是用经过点),(00y x 而斜率为),(00y x f 的直线段来近似积分曲线,其方程为 ))(,(0000x x y x f y y -+=.求出直线上横坐标为的点的纵坐标:=-+=))(,(010001x x y x f y y h y x f y ),(000+如果h 很小,则)(11x y y ≈.从而点),(11y x 就很接近积分曲线上的点))(,(11x y x . 如果),(y x f 连续,则),(11y x f 就近似于))(,(11x y x f . 于是由点),(11y x 出发的斜率为),(11y x f 的直线段又近似于原积分曲线. 它的方程为))(,(1111x x y x f y y -+=.求出这直线段上横坐标为2x 的点的纵坐标2y :))(,(121112x x y x f y y -+=h y x f y ),(111+=依此类推, 可以求出方程(2.1)过点),(00y x 的积分曲线在各分点的近似值h y x f y y k k k k ),(111---+=, n k ,,2,1 =由于各近似直线段的方程为已知, 所以对区间],[0b x 的任一点x , 都可以求得解)(x y y =的近似值.这样求得的积分曲线的近似折线称为欧拉折线. 可以证明,在一定条件下, 当n 无限增大而0→h 时, 欧拉折线趋近于方程的积分曲线.欧拉折线法是利用“离散化”的方法来求初值问题解的近似值. 这方面的研究工作是计算方法中微分方程数值解的计算理论. 2.1.3 初值问题解的存在性设函数),(y x f 定义在平面区域G 中,点G y x ∈),(00,考虑微分方程),(y x f dxdy= (2.1) 的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy(2.2) 关于初值问题解的存在性,我们在此不加证明的给出如下的经典结果.佩亚诺定理如果),(y x f 在区域G 上连续, G y x ∈),(00, 则初值问题(2.1)存在定义在点0x 的某一邻域中的解.)(x y y =.也就是说,方程右端函数的连续性保证初值解的存在性.如果除了初值解的存在性, 我们还希望保证解的唯一性, 我们有理论上经常用到的解的存在唯一性定理. 在下一节,我们将给出并证明这个重要的定理.思考题：1. 何谓线素场? 如何画线素场?2. 一阶显式方程),(y x f dxdy=所确定的线素场与它的积分曲线有何关系?3. 何谓欧拉折线法?4. 何谓初值问题解的存在性定理?§2.2 解的存在唯一性定理一、教学目的与要求：（1）一阶微分方程的解的存在与唯一性定理.（2）熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在性，会用Picard 逼近法求近似解.. （3）用贝尔曼(Bellman )不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性.二、教学重点，难点：（1）Picard 存在唯一性定理及其存在性的证明. （2）逐次逼近分析法的应用及其思想.（3）用贝尔曼(Bellman )不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性. （4）由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解存在唯一的充分条件, 可以举例说明它不是保证初值问题解存在唯一的必要条件.本节利用逐次逼近法，来证明微分方程),(y x f dxdy= (2.1) 的初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy(2.2) 的解的存在与唯一性定理.2.2.1 存在性与唯一性定理的叙述定理2.2 (存在与唯一性定理)如果方程(2.1)的右端函数),(y x f 在闭矩形域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-0000,:上满足如下条件： (1) 在R 上连续;(2) 在R 上关于变量y 满足李普希兹(Lipschitz )条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一对点),(y x 和),(y x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题(2.2)在区间0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解)(x y ϕ=， 00)(y x =ϕ,其中),(max ),,min(),(0y x f M Mba h R y x ∈== .在证明定理之前，我们先对定理的条件与结论作些说明:1. 在实际应用时，李普希兹条件的检验是比较费事的.然而，我们能够用一个较强的，但却易于验证的条件来代替它. 即如果函数),(y x f 在闭矩形域R 上关于y 的偏导数),(y x f y '存在并有界，N y x f y ≤'|),(|. 则李普希兹条件成立，事实上，由拉格朗日中值定理有y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ其中ξ满足y y <<ξ，从而R x ∈),(ξ. 如果),(y x f y '在R 上连续，它在R 上当然就满足李普希兹条件.2.现对定理中的数0h 做些解释.从几何直观上，初值问题(2.2)可能呈现如图2-5所示的情况. 这时，过点),(00y x 的积图 2-5分曲线)(x y ϕ=当1x x =或2x x =时，其中),(001a x x x +∈，),(002x a x x -∈，到达R 的上边界b y y +=0或下边界 b y y -=0.于是，当1x x >或2x x <时，曲线)(x y ϕ=便可能没有定义.由此可见，初值问题(2.2)的解未必在整个区间a x x a x +≤≤-00上存在.但是，由2.1节的常微分方程的几何解释可知，定理2.1就是要证明：在线素场R 中，存在唯一一条过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=. 它在其上每点处都与线素场在这点的线素相切. 现在定理假定),(y x f 在R 上连续, 从而存在(,)max (,)x y RM f x y ∈=于是，如果从点),(00y x 引两条斜率分别等于M 和M -的直线，则积分曲线 )(x y ϕ= (如果存在的话)必被限制在图2-6的带阴影的两个区域内，因此，只要我们取),min(0Mb a h =则过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ= (如果存在的话)当x 在区间上变化时，必位于R 之中.图 2-6 2.2.2 存在性的证明求解初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=,0000h x x h x +≤≤- , 等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0),(0ξξ （2.3）在区间0000h x x h x +≤≤- 上的连续解.事实上，若)(x y ϕ=为（2.2）的解，则：⎪⎩⎪⎨⎧==00)())(,()(y x x x f dxx d ϕϕϕ (2.4) 对第一式从0x 到x 取定积分可得ξξϕξϕd f y x xx ⎰+=0))(,()(0 (2.5)反之，若)(x y ϕ=为（2.3）的连续解，则有ξξϕξϕd f y x xx ⎰+=0))(,()(0由于对f(x,y)在R 上连续，从而))(,(x x f ϕ连续故对上两式两边求导得))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 且000))(,()(0y dx x x f y x xx =+=⎰ϕϕ即y x =)(ϕ为（2.2）的连续解.因此，只要证明积分方程(2.3)的连续解在0000h x x h x +≤≤-上存在而且唯一就行了.下面用毕卡(Picard )逐次逼近来证明积分方程(2.3)的连续解的存在性，可分三个步骤进行:1. 构造逐次近似函数序列. 00)(y x =ϕ ξξϕd y f y x xx ),()(0001⎰+= (2.4)⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ (2.5)⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ (2.6)近似序列)}({x n ϕ的每一项都在],[0000h x h x +-上有定义,这是因为Mb h ≤0, 于是b Mh x x M d f xx x ≤≤-≤⎰-0010))(,(ξξϕξ这样，我们在区间],[0000h x h x +-上，按逐次逼近手续得到了一个连续函数列(近似序列)),(,),(),(21x x x n ϕϕϕ2. 证明近似序列 )}({x n ϕ在区间0000h x x h x +≤≤-上一致收敛（序列. 为此考虑函数项级数：∑∞=--+110))()(()(n k k x x x ϕϕϕ （2.7）它前几项和为)())()(()()(1101x x x x x s n nk k kn ϕϕϕϕ=-+=∑=-+于是{)(x n ϕ}一致收敛性等价于级数(2.7）的一致收敛性，我们对级数（2.7）的通项进行诂计2000101120001||!2||||||)()(||||))(,())(,(|||)()(|||))(,(|||)()(|00x x MNd x MN d N d f f x x x x M d f x x xx xx xx xx -=-≤-≤-≤--≤≤-⎰⎰⎰⎰ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕξξϕξϕϕ假设对正整数n 有不等式n n n n x x n MN x x ||!|)()(|011-≤---ϕϕ则当0000h x x h x +≤≤-时，由Lipsthits 条件有100111||)!1(||!||)()(||||)(,())(,(|||)()(|0+--+-+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n n nxx n xx n n n xx n n n x x n MN d x n MN d N d f f x x ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n 有n n n n x x n MN x x ||!|)()(|011-≤---ϕϕ 0000h x x h x +≤≤- （2.8）从而当00h x x ≤-时nn n n h n MN x x 011!|)()(|--≤-ϕϕ由于正级数∑∞=-101!n nn h n MN 收敛，由weierstrass 判别法知，级数（2.7）在],[0000h x h x +-一致收敛，因而{)(x n ϕ}在],[0000h x h x +-上一致收敛.现设)()(lim x x n n ϕϕ=∞→，0000h x x h x +≤≤-则由)(x n ϕ连续性和一致收敛性得)(x ϕ在],[0000h x h x +-上连续且b y x ≤-|)(|0ϕ.3.证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分方程(2.3)的解，从而也是初值问题(2.2)的解.在n 次近似序列（2.6）两端取极限有⎰⎰-∞→-∞→∞→+=+=xx n n xx n n n n d f y d f y x 00))(,(lim ))(,(lim )(lim 1010ξξϕξξξϕξϕ即 ⎰+=xx n d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这表明. )(x ϕ是积分方程(3.5)在],,[00h x x +的连续解.2.2.3 唯一性的证明下面来证明解的唯一性.为此我们先介绍一个在微分方程中很有用的不等式，即贝尔曼(Bellman )不等式.贝尔曼引理设)(x y 为区间],[b a 上非负的连续函数，b x a ≤≤0. 若存在0,0≥≥k δ使得)(x y 满足不等式⎰+≤xx dt t y k x y 0)()(δ, ],[b a x ∈ (2.9)则有0)(x x k ex y -≤δ, ],[b a x ∈证明先证明0x x ≥的情形. 令⎰=xx dt t y x R 0)()(，于是从(2,9)式立即有δ≤-')()(x kR x R上式两端同乘以因子)(0x x k e--,则有)()(00])([x x k x x k e e x R dxd----≤δ 上式两端从x 0到x 积分，则有)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ由(2.9)知， )()(x k x y +≤δ,从而由上式得到)(0)(x x k e x y -≤δ ,0x x ≥0x x < 的情形类似可证，引理证毕.积分方程(2.3)解的唯一性证明，采用反证法.假设积分方程(2.3)除了解)(1x y 之外，还另外有解 )(2x y ，我们下面要证明：在 00h x x ≤-上，必有)()(21x y x y ≡. 事实上，因为dt t y t f y x y xx ))(,()(0101⎰+≡及dt t y t f y x y xx ))(,()(0202⎰+≡将这两个恒等式作差，并利用李普希兹条件来估值，有 ⎰⎰-≤-≤-xx xx dt t y t y N dt t y t f t y t f x y x y 0)()())(,())(,()()(212121令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ, 从而由贝尔曼引理可知，在00h x x ≤-上有0)(=x y ，即 ).()(21x y x y ≡至此，初值问题(2.2)解的存在性与唯一性全部证完. 2.2.4 二点说明为了加深对定理的理解，下面我们再作二点说明.1. 存在唯一性定理不仅保证了初值解的存在性和唯一性，并且给出求方程近似解的一种方法——Picrcl 逐步逼近法.在区间00h x x ≤-上, 当用n 次近似解来逼近精确解时, 不难估计它的误差. 事实上, 有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-11!)()()()(n k kk nk k k n k x x N N Mx x x x ϕϕϕϕ这样，我们在进行近似计算的时候，可以根根据误差的要求，先取适当的逐步逼近函数)(x n ϕ. 2. 如果方程(2.1)是线性方程，即)()(x q y x p dxdy+= 其中p (x )和q (x )在区间],[b a 上连续，我们不难验证，此时方程的右端函数关于y 满足李普希兹条件，在这些条件下，利用定理2.2中的方法，可以证明对任意初始值),(00y x ,],[0b a x ∈,),(0+∞-∞∈y .线性方程满足00)(y x y ≡的解在整个区间 ],[b a 上有定义.事实上，只要注意到，此时逐次近似序列的一般项(2.6)ξξξϕξϕd q p y x xx n n ⎰++=-0)]()()([)(10在区间 ],[b a 上存在且连续即可.由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解唯一的充分条件，那么这个条件是否是必要的呢?下面的例子回答了这个问题.例1 试证方程⎩⎨⎧≠==0,ln 0,0y y y y dx dy 当当经过xoy 平面上任一点的解都是唯一的.证明右端函数除x 轴外的上、下平面都满足定理2.2的条件，因此对于Ox 轴外任何点),(00y x ，该方程满足00)(y x y =的解都存在且唯一. 于是，只有对于Ox 轴上的点，还需要讨论其过这样点的解的唯一性.我们注意到y = 0为方程的解. 当y ≠0时，因为y y dxdyln = 故可得通解为xCee y ±=x Ce e y =为上半平面的通解, xCe e y -=为下半平面的通解.这些解不可能y = 0相交. 因此，对于 Ox 轴上的点)0,(0x ，只有y = 0通过，从而保证了初值解的唯一性.但是，y y y y x f y x f ln ln )0,(),(==-因为+∞=→y y ln lim 0,故不可能存在0>N ,使得y N x f y x f ≤-)0,(),(从而方程右端函数在y = 0的任何邻域上并不满足李普希兹条件，这个例子说明李普希兹条件不是保证初值解唯一的必要条件.为了保证方程(2.1)的初值解的唯一性，有着比李普希兹条件更弱的条件.直到现在，唯一性问题仍是一个值得研究的课题.下面的例子表明：如果仅有方程(2.1)的右端函数f (x , y )在R 上连续，不能保证任何初值问题(2.2)的解是唯一的.例2 讨论方程323y dxdy= 解的唯一性.解方程的右端函数323),(y y x f =,在全平面连续，当0≠y 时，用分离变量法可求得通解3)(C x y +=，C 为任意常数.又y = 0也是方程的一个特解，积分曲线如图2-7.图 2-7从图上可以看出，上半平面和下半平面上的解都是唯一的，只有通过x 轴上任一点)0,(0x 的积分曲线不是唯一的，记过该点的解为)(x y y =，它可表为：对任意满足b x a ≤≤0的a 和b .⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤<-=b x b x b x a a x a x x y 当当当33)(0)()(思考题：(1) 何为毕卡(Picard ) 逐次逼近序列和毕卡(Picard )近似解? 如何构造毕卡(Picard ) 逐次逼近序列?(2) 定理2.2 的条件和结论是什么? 如何用毕卡(Picard ) 逐次逼近法证明一阶微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy解的存在性?(3) 为什么选取0min(,)bh a M=? (4) 何谓贝尔曼(Bellman )不等式？怎样证明贝尔曼(Bellman )不等式？如何用贝尔曼(Bellman )不等式证明一阶微分方程初值问题解的唯一性？(5) 第n 次近似解与精确解之间的误差估计式是什么? 怎样进行误差估计?(6) 由定理2.2知李普希兹条件是保证初值问题解存在唯一的充分条件, 那么这个条件是否是必要的呢? 为什么？§2.3 解的延展一、教学目的与要求：（1）掌握解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解的存在区间. （2）掌握第一、二比较定理的内容和作用.（3）理解并掌握在解决解的延展性问题时, 将延展定理和比较定理配合使用的技巧. 二、教学重点，难点：（1）解的延拓定理条件及其证明.（2）应用解的延拓定理讨论解的存在区间.（3）在解决解的延展性问题时, 如何将延展定理和比较定理配合使用.上节我们给出了初值问题(2.2)解的存在唯一性定理.应该注意到，这个定理的结果是局部的，也就是说解的存在区间是“很小”的.通常方程(2.1)的右端函数),(y x f 存在区域D 可能是很大的，这样，我们自然要讨论，此时初值问题(2.2)的解的存在区间是否可以扩大.2.3.1 延展解、不可延展解的定义定义2.1 设)(1x y ϕ=是初值问题（2.2）在区间R I ⊂1上的一个解，如果（2，2）还有一个在区间R I ⊂2上的解)(2x y ϕ=，且满足(1) 21I I ⊂(2)当1I x ∈时，)()(21x x ϕϕ≡则称解)(1x y ϕ=,1I x ∈是可延展的，并称)(2x ϕ是)(1x ϕ在2I 上的一个延展解. 否则，如果不存在满足上述条件的解 )(2x ϕ，则称)(1x ϕ,1I x ∈是初值问题(2.2)的一个不可延展解，(亦称饱和解). 这里区间1I 和2I 可以是开的也可以是闭的. 2.3.2 不可延展解的存在性定义 2.2 设),(y x f 定义在开区域2R D ⊆上，如果对于D 上任一点),(00y x ，都存在以),(00y x 为中心的，完全属于D 的闭矩形域R ，使得在R 上 ),(y x f 的关于y 满足李普希兹条件，对于不同的点，闭矩形域R 的大小以及常数N 可以不同，则称),(y x f 在D 上关于y 满足局部李普希兹条件.结论: 如果方程(2.1)的右端函数 ),(y x f 在区域2R D ⊂上连续，且对y 满足局部李普希兹条件，则对任何D y x ∈),(00，初值问题(2.2)存在唯一的不可延展解.证明思路：仅证0x x >方向，（0x x <方向同理）．任取点−−→−∈2.2000),(定理D y x p 存在唯一解)(0x y ϕ=在],[)1(000x x I = =],[000h x x +上有定义．又点−−→−∈2.2)1(0)1(01),(定理D y x p 存在唯一解)(1x y ϕ=在],[)2(001x x I == ],[1000h h x x ++上有定义．图2—8由解的唯一性，在I 0和I 1的公共部分上，)()(10x x ϕϕ= )()(01x x ϕϕ是⇒的一个延展解．继续这种延展过程，直到一个解)(x y ϕ=,),(βα∈x ，它再也不能向左右两方延展了，这个解就是不可延展解，),(βα就是初值问题（2.2）不可延展解的存在区间，这样，就完成了定理的证明．显然，不可延展解的存在区间必定是一个开区间. 因为如果区间右端点β是闭的，那么解)(x y ϕ=的曲线可以达到β.于是点D ⊂))(,(βϕβ，由定理2.2，可将)(x y ϕ=延展到β的右方，这与)(x y ϕ=,),(βα∈x 是不可延展解矛盾. 同理，这个区间的左端点也必定是开的.2.3.3 不可延展解的性质定理 2.3 如果方程(2.1)的右端函数),(y x f 在区域2R D ⊂中连续,且对y 满足局部Lipschitz 条件,那么对任何一点D y x ∈),(00, 初值问题(2.1)的以(00,y x )为初值的解)(x y ϕ=可以向左右延展, 直到点))(,,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在证明之前, 先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”的含义解释一下.这句话是说:当区域D 有界时,积分曲线向左右延展可以任意接近区域D 的边界,当区域D 无界时,积分曲线向左右延展,或者任意接近D 的边界(如果有的话),或者无限远离.证明先证区域D 有界的情况. 设区域D 的边界为D D L -=(的闭包为D D ).对于任意给定的正数ε,记L 的ε邻域为εU .于是,集合2/2/εεU D D -=为一闭集.易知D D ⊂2/ε,且2/εD 有界.(图)只要能够证明曲线)(x y ϕ=可以到达2/εD 的边界2/εL ,由0>ε的任意性,也就证明了积分曲线)(x y ϕ=可以任意接近D 的边界L 了.事实上,以2/εD 中的任意一点为中心,以4/ε为半径的闭圆域均在区域D 之内.且在闭区域4/4/εεU D D -=之内.从而,以2/εD 中的任意一点为中心,以4/21ε=a 为边长的正方形也应该在4/εD 之内,记),(max 4/),(1y x f M D y x ε∈=则过2/εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线,必至少可在区间h x x ≤-*上存在,其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε== 于是,过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向右或向左延展一次,其存在区间就伸长一个确定的正数h ,由于2/εD 有界, )(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2/εD 的边界2/εL ,于是命题得证.其次考虑区域D 为无界的情况. 这时我们考虑D 与闭圆域222:n y x S n ≤+, ,2,1=n的交集n n n D S D D ⋅= 的边界上的点,或者是D 的边界上的点,或者是n S 圆周上的点.同时有n n D D ∞==1.根据前面的认证,过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.于是,过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=,或者保持在某个圆域n S 之内延展而无限接近D 的边界,或者可以越出任意大的圆域n S 而无限远离.定理证毕.例1 试讨论方程2y dxdy=通过点(1,1)的解和通过点(3,-1)的解的存在区间. 解此时区域D 是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是x C y -=1 故通过(1,1)的积分曲线为xy -=21 它向左可无限延展，而当x →2-0时，y →+∞, 所以，其存在区间为(-∞,2)，参看图2-10.图 2-10 通过(3,-1)的积分曲线为xy -=21它向左不能无限延展，因为当x →2+0时，y →-∞,所以其存在区间为(2,+∞).顺便指出：这个方程只有解y = 0可以向左右两上方向无限延展.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个平面满足延展定理条件，解上的点能任意接近区域D 的边界，但方程的解的定义区间却不能延展到整个数轴上去.例2 讨论方程x xdx dy 1cos 12-= 解的存在区间.解方程右端函数在无界区域 },0),{(1+∞<<-∞>=y x y x D 内连续，且对y 满足李普希兹条件，其通解为+∞<<+=x C xy 0,1sin过D １内任一点),(00y x 的初值解.图 2-1101sin 1sinx y x y -+= 在(0,+∞)上有定义，且当x →＋0时，该积分曲线上的点无限接近D １的边界线x = 0，但不趋向其上任一点(图2-11).在区域内的讨论是},0),{(2+∞<<-∞<=y x y x D 类似的.延展定理是常微分方程中一个重要定理.它能帮助我们确定解的最大存在区间.从推论和上面的例子可以看出，方程的解的最大存在区间是因解而异的.例3 考虑方程),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f '在 xoy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及a y <0,方程满足00)(y x y =的解都在(-∞,+∞)上存在.图 2-12证明根据题设，可以证明方程右端函数在整个 xoy 平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，a y ±=为方程在(-∞,+∞)上的解.由延展定理可知，满足000,)(x y x y =任意，a y <0的解)(x y y =上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性， )(x y y =又不能穿过直线 a y ±=，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-∞,+∞)上存在(图2-12).2.3.4 比较定理在解决许多问题时,我们经常将延展定理和比较定理配合使用.下面就来介绍比较定理. 我们在考察方程),(y x f dxdy= (2.1) 之外,还同时考察),(y x F dxdy= )1.2(' 我们有如下的定理:定理2.4 (第一比较定理)设定义在某个区域D 上的函数),(y x f 和),(y x F 满足条件: (1) 在D 上满足存在唯一性定理条件; (2) 在D 上有不等式),(y x f <),(y x F设方程(2.1)和方程)1.2('满足相同初值条件00)(y x y =的初值解分别为)(x y ϕ=和)(x y Φ=,则在它们的共同存在区间上有下列不等式:时当0),()(x x x x >Φ<ϕ 时当0),()(x x x x <Φ>ϕ证明由条件(1),根据存在唯一性定理,方程(2.1)和方程)1.2('的满足初值条件00)(y x y =的解在0x 的某一邻域内存在且唯一,它们满足000)()(y x x =Φ=ϕ.构造辅助函数)()()(x x x z ϕ-Φ=.因为)()()(000x x x z ϕ-Φ==0 )()()(000x x x z ϕ'-Φ'='0))(,())(,(0000>-Φ=x x f x x F ϕ所以函数)(x z 在0x 的某一右邻域内是严格增加的,故在0x 的这一右邻域内为正.如果不等式0)(>x z 不是对所有的0x x >成立,则至少存在一点01x x >,使得0)(1=x z ,且当10x x x <<时, 0)(>x z ,因此在点1x 处应有)()()(111x x x z ϕ'-Φ'='0))(,())(,(1111≤-Φ=x x f x x F ϕ但这是不可能的.因为0)()()(111=-Φ=x x x z ϕ,所以由条件(2)有0))(,())(,(1111>-Φx x f x x F ϕ矛盾.因此当0x x >时恒有0)(>x z (只要)(x z 存在),即)()(x x Φ<ϕ.当0x x <时,同理可证)()(x x Φ>ϕ.定理证毕.下面我们不加证明的给出第二比较定理.定理 2.5 (第二比较定理) 设定义在某个区域D 上的函数),(y x f 和),(y x F 满足条件: (3) 在D 上满足存在唯一性定理条件; (4) 在D 上有不等式),(y x f ≤),(y x F设方程(2.1)和方程)1.2('满足相同初值条件00)(y x y =的初值解分别为)(x y ϕ=和)(x y Φ=,则在它们的共同存在区间上有下列不等式:时当0),()(x x x x >Φ≤ϕ 时当0),()(x x x x <Φ≥ϕ.思考题：（1）不可延展解是否一定存在?（2）不可延展解在区间端点的性状是怎样的?右端函数(,)f x y 与不可延展解有何关系?如何判断方程解在(-∞,+∞)上整体存在?（3）解的延展定理的条件是什么? 结论是什么?（4）在解决解的延展性问题时, 如何将延展定理和比较定理配合使用？2.4 奇解与包络一、教学目的与要求：（1）掌握常微分方程的包络和奇解的概念及其之间的关系. （2）掌握奇解的求法二、教学重点，难点：包络和奇解的求法.本节讨论常微分方程的奇解以及奇解的求法. 2.4.1 奇解在本章2.2节的例2中，我们已经看到方程323y dxdy=的通解是3)(C x y +=，还有一解0=y ，除解0=y 外，其余解都满足唯一性，只有解0=y 所对应的积分曲线上每一点，唯一性都被破坏. 这样的解在许多方程中存在.例1 求方程21y dxdy-=的所有解.解该方程的通解是)sin(C x y +=此外还有两个特解1=y 和1-=y .由于该方程右端函数的根号前只取+号，故积分曲线如图2-13所示，图 2-13显然解1=y 和1-=y 所对应的积分曲线上每一点，解的唯一性均被破坏.本节主要讨论一阶隐式方程0),,(='y y x F (1.8)和一阶显式方程),(y x f dxdy= (1.9) 的解唯一性受到破坏的情形，显然这样的解只能存在于方程不满足解的存在唯一性定理条件的区域内.对于方程(1.9)，由定理2.2，这样的区域可用yf∂∂无界去检验，而对于隐式方程(1.8)，一般来说，若能解出几个显式方程),(y x f dxdy=, k i ,,2,1 = 那么对每一个方程，应用定理2.2即可.其次对于方程(1.8)，如果函数(,,)F x y y '对所有变量连续且有连续偏导数，并且在000,,y y x '的邻域内有⎩⎨⎧≠''=''0),,(0),,(000000y y x F y y x F y 成立，那么应用数学分析中的隐函数定理，可解得),(y x f y =', 其中函数f(x,y)是连续的且有连续偏导数，特别有y y F F y f'''-=∂∂这样一来，对方程(1.8)初值解的存在唯一性定理的条件也就清楚了. 因此，我们可以就方程(1.8)或(1.9)给出奇解的定义.定义2.3 如果方程存在某一解，在它所对应的积分曲线上每点处，解的唯一性都被破坏，则称此解为微分方程的奇解. 奇解对应的积分曲线称为奇积分曲线.由上述定义，可见2.2节例2中的解0=y 是方程323y dxdy=的奇解，而例1中的解1y =和1-=y 是方程21y dxdy-=的奇解. 2.4.2 不存在奇解的判别法假设方程(1.9)的右端函数),(y x f 在区域2R D ⊆上有定义，如果),(y x f 在D 上连续且),(y x f y '在D 上有界(或连续)，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，从而在D 内一定不存在奇解.如果存在唯一性定理条件不是在整个),(y x f 有定义的区域D 内成立，那么奇解只能存在于不满足解的存在唯一性定理条件的区域上.进一步如果再能表明在这样的区域上不存在方程的解，那么我们也可以断定该方程无奇解. 例2 判断下列方程(1)22y x dx dy += (2) 2+-=x y dxdy是否存在奇解.解 (1)方程右端函数22),(y x y x f +=, y f y 2=',均在全平面上连续，故方程(1)在全平面上无奇解.(2) 方程右端函数2),(+-=x y y x f 在区域x y ≥上有定义且连续，xy f y -='121在y > x 上有定义且连续，故不满足解的存在唯一性定理条件的点集只有y = x ，即若方程(2)有奇解必定是y = x ，然而y = x 不是方程的解，从而方程(2)无奇解. 2.4.3 包络线及奇解的求法下面，我们从几何的角度给出一个由一阶方程(1.9)或(1.8)的通积分0),,(=ΦC y x 求它奇解的方法.当任意常数C 变化时，通积分0),,(=ΦC y x 给出了一个单参数曲线族(C )，其中C 为参数，我们来定义(C )的包络线.定义2.4 设给定单参数曲线族0),,(:)(=ΦC y x C (2.10)其中C 为参数，Φ对所有变量连续可微.如果存在连续可微曲线L ，其上任一点均有(C )中某一曲线。