21常微分方程的几何解释.

2.1.1 线素场
心,作一单位线段,使其斜率为 k f x , y ,称为在点
x , y 的线素. 这样在区域G上确
在方向场中,方向相同的点 的几何轨迹称为等斜线. f x, y k K为参数
定了一个线素场(又称方向场).
G
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dy y 例1 试讨论方程 所确定的线素场. dx x 解 除Y 轴无定义外,方程在两个半平面上都确定 了线素场.
y x ,则函数为(2.1)的一个解.于是,在其有
定义的区间上有 x f x , x
上式左端为曲线L在点 x , x 的切线斜率.右端 恰为方程(2.1)的线素场在同一点处的线素斜率
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上式左端为曲线L在点 x , x 的切线 与线素场在该
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用经
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y y1 f x1 , y1 x x1
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求出直线上横坐标 x 2 处的点的纵坐标
y2 y1 f x1 , y1 x2 x1 y1 f x1 , y1 h
类推,可求出方程(2.1)的真正解在各处的近似值
yk yk 1 f xk 1 , yk 1 h , k 1,2,, n
这样求得积分曲线的近似折线称为欧拉折线. 这也是微分方程数值解讨论的计算方法之一.
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2.1.3 初值问题解的存在性 dy f ( x, y) , (2.2) dx y ( x 0 ) y0 需解决的问题
dy f ( x, y) 0 1 初值问题 dx ,的解是否存在? y ( x 0 ) y0 dy f ( x, y) 0 2 若初值问题 dx ,的解是存在, 是否唯一? y ( x 0 ) y0
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先求出 f x0 , y0 用经过 x0 , y0 斜率为 f x0 , y0 的直线段来近
y
x 2 , y2 x1 , y1
y0
似积分曲线,其方程为 x0 x1 x 2 y y0 f x0 , y0 x x0 求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
佩亚诺定理给出了:右端函数连续保证初值解的存 在性.(在下一节讨论)
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作
• P77 1.(1)(2) 3.
业
dy 2 x y的方向场和积分曲线 . 例7 研究方程 dx
向量场的示意图 积分曲线
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2.1.2 欧拉折线----求过一点的近似积分曲线 dy f ( x, y) , (2.2) dx a x b, y , y ( x 0 ) y0
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例2
dy 研 究 方 程 y x的 方 向 场 . dx
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例3 在 区 域 D {( x , y ) | x 2, y 2}内 画 出 方 程
dy y的 方 向 场 和 积 分 曲 线 . dx
方向场
积分曲线
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第二章
基本定理
2.1 常微分方程的几何解释 2.2 解的存在唯一性定理 2.3 解的延展 2.4 奇解与包络
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2.1 常微分方程的几何解释
dy f ( x, y) 一阶微分方程 2.1 dx 右端函数 f x , y 在区域 G 内有定义.以 x , y 为中
y1 y0 f x0 , y0 x1 x0 y0 f x0 , y0 h
b x
f x1 , y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
如果 h 很小 x1 , y1 就很接近积分曲线上的点 x1 , y x1 因 f x , y 连续.于是由点 x1 , y1 出发的斜率为
假设函数 f x , y 在给定区域上连续且有界.于是 它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场 求出经过 x0 , y0 的近似积分曲线.把 x0 , b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1,, n
b x0 h , n xn b
点线素重合.整个曲线L都是这样. 充分性 设方程为 y x 的曲线L,在其上任
何一点 x , x 处,它的切线方向都与方程(2.1)的线 素场的线素方向重合,则切线斜率与线素斜率应当相 等.于是,在函数 y x 有定义的区间上,恒有等式 x f x , x 这个等式恰在此时好说明 y x 为方程(2.1)的解 从而曲线运动L为方程的积分曲线. 直观地说:积分曲线是始终”顺着”线素场的线素方 向行进的曲线.
y k x
易见在点 x , y 的线素与 过原点与该点的射线重合.
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定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切. 证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为