解斜三角形 教案
高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案
解斜三角形（复习）公开课教案[教学目标]一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。
二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。
[教学重点]正弦、余弦、面积公式的应用。
[教学难点]选择适当的方法解斜三角形。
[教学过程]一：基本知识回顾：1.1、正弦定理及其变形；正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径） 变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2cC R=变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c =1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，变式：222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+-， 222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-。
222cos 2a b c C ab+-=1.3、面积公式二：例题分析：1、正弦定理（1）在△ABC 中，已知，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于60︒或120︒111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===4,303a b A ===︒2、余弦定理（1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60°（2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为A ．41-B ．41C ．32-D ．32 3、三角形解的个数（1）在△ABC 中，已知 ,这个三角形解的情况是:（ C ）A.一解B.两解C.无解D.不能确定（2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满 足条件的△ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4、判断三角形形状 （1）若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、正余弦定理的实际应用（1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要 伸长（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （2）10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。
下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5
下学期高一数学第一章解三角形全章教案1.1第1课时 正弦定理(1)教学目标（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则sin a A c =， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b cA B C==． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin ADC b=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a cA C=， 所以sin sin sin a b cA B C ==． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b cA B C==．综上可知，结论成立．证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，sin BE a C =，sin CF b A =．所以111sin sin sin 222ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同除以12abc 即得：sin sin sin a b cA B C==．探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，即sin sin b cB C=． 同理可得sin sin a cA C =． 因此sin sin sin a b c A B C==． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b cA B C==， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒===+︒．因此， b ，c 的长分别为102和5256+．例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a ==︒=．解：（1）sin sin b cB C =，∴sin 1sin 601sin 23c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．（2）sin sin a cA C=，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 756075,31sin sin 60c B C B b C =====+时，； ∴当sin 6sin1512015,31sin sin 60c B C B b C =====-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．（3）在ABC ∆中，30bc =，1532ABC S ∆=，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：1．用两种方法证明了正弦定理：（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题§1.1.1第2课时 正弦定理(2)教学目标（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．教学重点，难点利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以ABC ∆的面积为1sin 2ABC S ac B ∆=．同理ABC ∆的面积还可以表示为1sin 2ABC S ab C ∆=及1sin 2ABC S bc A ∆=，所以111sin sin sin 222ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C==． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证2sin b R B =，2sin c R C =．所以2sin sin sin a b cR A B C===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用1．例题：例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；（5）4a =，33b =，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．（3）由于A 为锐角，而210632=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．（4）由于A 为锐角，而22032022031062>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．（5）由于A 为锐角，又1034sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．解：令sin ak A=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，得sin sin sin cos cos cos A B C A B C==，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒===∠︒．在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，交AC 于N ，求2211OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππα≤≤，αβπβ-αACBD在AOM ∆中，由正弦定理得：sin sin[()]6OM OAMAO ππα=∠-+， ∴6sin()6OM πα=+，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()6ON πα=-，∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-22121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值218a， 所以，当α=2,33or ππ时23sin 4α=，此时2211OM ON +取得最小值215a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BDAC DC=． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD βα=，sin(180)sin AC DC βα︒-=， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BDAC DC=． 2．练习：（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )A ．4:1:1 B ．2:1:1 CD（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)教学目标（1）掌握余弦定理及其证明；（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点（1）余弦定理的证明及其运用；（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式BC BA AC =+数量化吗？二．学生活动如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+22cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 2222-+=；同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 2222-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A=-+=+-+=+-同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以即A bc c b a cos 2222-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直角时，结论显 然成立．同理可证B ac a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=．图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， acc b a C 2cos 222-+=．4．余弦定理的应用范围：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在ABC ∆中，（1） 已知3b =，1c =，060A =，求a ；A BCcab（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到00.1）．解：（1）由余弦定理，得2222202cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以 a =（2）由余弦定理，得222222564cos 0.752256b c a A bc +-+-===⨯⨯， 所以，041.4A ≈．例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）． 解：由余弦定理，得所以，168()AB m ≈答：,A B 两地之间的距离约为168m ．例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，222a b c +>；当C 为钝角时，222a b c +<．证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得222222cos c a b ab C a b =+-<+，即 222a b c +>．同理可证，当C 为钝角时，222a b c +<．2．练习：书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：1．余弦定理及其应用2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境1．正弦定理及其解决的三角形问题（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东015，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到00.1，速度精确到0.1/km h ）？解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．在ABC ∆中，由余弦定理，得2221.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．在ABC ∆中，由正弦定理，得 0sin 0.5sin 75sin 0.41281.17AC BAC ABC BC ∠∠==≈， 所以 024.4ABC ∠≈所以 00159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．答：渡船应按北偏西09.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．解：由正弦定理及余弦定理，得222sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab+-==， 所以 22222a a b c b ab+-=，整理得 22b c =因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：22212()2AM AB AC BC =+-．证：设AMB α∠=，则0180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得2222cos AB AM BM AM BM α=+-．在ACM ∆中，由余弦定理，得22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．因为01cos(180)cos ,2BM MC BC αα-=-==， 所以2222122AB AC AM BC +=+，因此， 22212()2AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．解：①1cos cos(())cos()2C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；②由题设：232a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；③ABC S ∆11133sin sin120222222ab C ab ===⋅⋅=．2．练习：（1）书第16页 练习１，２，３，４DCBA（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2cm ，周长是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)教学目标（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：R CcB b A a 2sin sin sin ===； B acC ab A bc S ABC sin 21sin 21sin 21===∆．（2）正弦定理的变形：①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；②RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．（3）余弦定理：bca cb A A bc c b a 2cos ,cos 2222222-+=-+=．二．学生活动引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.三．建构数学正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，由正弦定理，得()sin 100sin 85134.05sin sin 48DC ADC AC m DAC ∠==≈∠.在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得()sin 100sin 60116.54sin sin 48DC BDC BC m DBC ∠==≈∠.在ABC ∆中， 由余弦定理，得3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈答,A B 两点之间的距离约为57m .本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.可见习题1.3 探究拓展 第8题.例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.由余弦定理，得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即()()222211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.化简，得2369100x x --=，解得()()240min 3x h ==（负值舍去）.由正弦定理，得图1-3-1图1-3-2sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=，13BE υ=. 在ABE ∆中，153sin sin 30υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43sin120sin 180AC υθ=-， 4415sin 2033233322AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22540077525100933υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.五．回顾小结：1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)教学目标（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.教学重点，难点能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。
解斜三角形方法
解斜三角形（导学案）§1．1．1正弦定理课堂学习目标：1． 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；2． 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
知识梳理：1． 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -cos 2A B +=sin 2C 2. 面积公式: （1）1()2a a S a h h a = 表示边上的高； （2）111sin sin sin ()2224abc S ab C ac B bc A R R====为外接圆半径； （3）1()()2S r a b c r =++为内切圆半径。
3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === 形式二：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c R; 形式三：a:b:c=sinA: sinB: sinC; 和 sin sin sin sin a b c a A B C A ++=++ 二、基础检测：1. 在ABC ∆中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=30 4,a b ==，那么满足条件的ABC ∆ （ B ）A 、 有一个解B 、有两个解C 、无解D 、不能确定2、在C ∆AB 中，已知8a =，60B = ，75C = ，则b 等于（ ）A ．B ．C ．D ．323 3、在C ∆AB 中，5a =，3b =，120C = ，则sin sin A B的值是（ ） A ．53 B ．35 C ．37 D ．574、在C ∆AB 中，若2sin b a =B ，则A 等于（ ）A ．30 或60B ．45 或60C ．60 或120D ．30 或1505、在C ∆A B 中，若()()()cos cos cos 1C C A-B ⋅B-⋅-A =，则C ∆A B 的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．顶角为120 的等腰三角形6、一个三角形的两个内角分别为30 和45 ，如果45 角所对的边长为8，那么30 角所对的边长是（ ）A ．4B ．C ．D ．7、在C ∆AB 中，1a =，b =30A = ，则B 等于（ ）A ．60B ．60 或120C ．30 或150D ．1208、在C ∆AB 中，45B = ，60C = ，1c =，则最短边的长等于（ ）A ．B ．C ．12D 9、在C ∆AB 中，若sin cosa b A B=，则B 的值为（ ）A ． 30B ． 45C ． 60D ． 9010、在C ∆AB 中，6=a ，30B = ， 120=C ，则C ∆AB 的面积是（ ）A ．9B ．18C ．39D ．31811、在C ∆AB 中，若60A = ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（）A ．620B ．75C ．51D ．4912、在C ∆AB 中，若12+=+c b ，45C = ，30B = ，则（ ）A ．2,1==c bB ．1,2==c bC ．221,22+==c b D ．22,221=+=c b13、在C ∆AB 中，60A = ，a =4b =，那么满足条件的C ∆AB （ ）A ．不存在B ．唯一存在C ．有2个D ．不确定14、在C ∆AB 中，若60A = ，a =sin sin sin a b cC ++A +B +等于（ ）A ．2B ．12C D15、在C ∆AB 中，60A = ，1b =，C S ∆AB ，则sin sin sin a b c C++=A+B+（ ）A ．3B ．3C ．3D ．16、在C ∆AB 中，若cos cos cos a b c C ==A B ，则C ∆AB 是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形17、在C ∆AB 中，若::1:2:3C A B =，则::a b c =________________．18、在C ∆AB 中，2a =，b =4πA =，则B =______________．19、在C ∆AB 中，已知12a b +=，60A = ，45B = ，则a =_________，b =________．20、在C ∆AB 中，已知a =2b =，60A = ，则这样的三角形有_______个．21、在C ∆AB 中，已知12C B =，60A = ，45B = ，则C A = _．22、在C ∆AB 中，已知8a =，6b =，且C S ∆AB =C =________．23、在C ∆AB 中，已知a =4b =，30A = ，则sin B =________． 24、在C ∆AB 中，周长为7.5cm ，且sin :sin :sin 4:5:6C A B =，下列结论：①::4:5:6a b c =；②::a b c =；③2a cm =， 2.5b cm =，3c cm =；④::4:5:6C A B =．其中成立的序号依次是___________．25、在C ∆AB 中，已知10c =，45A = ，30C =，求a ，b 和B ．26、C ∆AB 中，c =45A = ，a =b 和B 、C ．三、典例分析：1. 在ΔABC 中，（1）若o ,求a 及C 的值；（2）若A=600，a=7,b=5,求边C 。
解斜三角形 教案
授课主要内容或板书设计
例题变式解：在∆ABC中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，
根据余弦定理，
AC=ABC
BC
AB
BC
AB∠
⨯
⨯
-
+cos
2
2
2
=
︒
⨯
⨯
⨯
-
+137
cos
0.
54
5.
67
2
0.
54
5.
672
2
≈113.15
根据正弦定理,
CAB
BC
∠
sin
=
ABC
AC
∠
sin
sin∠CAB =
AC
ABC
BC∠
sin
=
15
.
113
137
sin
0.
54︒
≈0.3255,
所以∠CAB =19.0︒
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需
要航行113.15n mile
练习：（对例3的变式）
在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，
沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角
为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A
的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD
中，
实际问题中需要
掌握
近似估计、运算
通过变式，让学生
体会该数学模型
的在不同问题中
的应用。
5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(3)教案案
课题：5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形（3）教案教学目的：1、进一步巩固利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法 2、掌握正弦定理扩充公式的推导 3、掌握三角形面积公式的推导4、掌握边到角的转化方法，和角到边的转化方法，解决三角形形状的判断问题和恒等式的证明问题。
教学重点：正弦定理的扩充公式的推导和边角之间的转化 教学过程： （一）、引入 复习引入：1、正弦定理：A a sin =B b sin =Ccsin 2、正弦定理的变形：a ：b ：c =C B A sin :sin :sin3、余弦定理：在ABC ∆中有：A bc c b a cos 2222-+=B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=.2cos ,2cos ,2cos 222222222abc b a C ac b a c B bc a c b A -+=-+=-+=4、正弦定理的两个应用：（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 5、余弦定理的两个应用：（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角； （2）已知三边，求三个内角.（二）、新课 一、（新课教学，注意情境设置） 由正弦定理我们知道，在ABC ∆中，A a sin 、B b sin 、Ccsin 都等于同一个比值k ，这个k 到底有没有什么特殊几何意义呢？ 二、概念或定理或公式教学（推导）1、当ABC ∆是直角三角形时，若90=∠C ，我们知道A a s i n =B b sin =Ccsin =c,此时c 可看成Rt ABC ∆外接接圆的直 径，即R k c 2== 。
2、若ABC ∆是任意三角形，作ABC ∆的外接圆O ，O 为圆心， 连接BO 并延长交圆D ，连接CD ，把一般三角形转化为直角三 角形。
证明：连续BO 并延长交圆于D90=∠∴DCB ，A D ∠=∠ ，R BD 2= ，a BC ===∴BC a A R A BD D BD sin 2sin sin == ，即：R Aa2sin = 由正弦定理，得A a sin =B b sin =Ccsin =2R结论：从刚才的证明过程中, A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，显示正弦定理的比值等于三角形外接圆的直径R 2。
一轮培优讲次08 解斜三角形(学生版)
2021年高考数学一轮复习培优课程讲义（上海专用）专题08 解斜三角形知识定位本讲义目的在于让同学了解解三角形的思想，掌握不同的解三角形的方法，可以熟练使用正余弦定理及三角形相关的知识来成功完成解三角形的解题过程。
知识诊断已知c b a 、、分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且。
（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若，求的值。
知识梳理➢ 知识点一：解三角形思想的宏观认识。
➢ 知识点二：具体问题中利用正弦定理解三角形。
➢ 知识点三：具体问题中利用余弦定理解三角形。
➢ 知识点四：同时利用正余弦定理解三角形。
➢ 知识点五：解三角形与实际问题的结合。
常见题型和方法解析1. 解三角形思想的宏观认识。
教学提示：此部分教学，在最开始的时候先为同学们理清解三角形的基本思想，然后再开始实际解题应用，这样更利于学生理解。
分以下四种情况：情况一：已知一边二角（a 、B 、C ）——选用正弦定理。
一般解法为：由 180=++C B A 求角A ，由正弦定理求出b 、c ，在有解时只有一解。
情况二：已知两边和夹角（a 、b 、C ）——选用余弦定理。
一般解法为：由余弦定理求第三边，由正弦定理求出小边所对的角，再由 180=++C B A 求出另一角，在有解时只有一解。
情况三：已知三边（a 、b 、c ）——选用余弦定理。
一般解法为：由余弦定理求出角A 、B ，再结合 180=++C B A 求出角C ，在有解时只有一解。
情况四：已知两边和其中一边的对角（a 、b 、A ）——选用正弦定理。
一般解法为：由正弦定理求出角B ，由 180=++C B A 求出角C ，再使用正弦定理求出c ，可有两解、一解或无解。
2. 具体问题中利用正弦定理解三角形。
例1 在△ABC ，内角A ，B ，C 所对的边长分别c b 、、a .b A B c C B a 21cos sin cos sin =+且b a >,B= （ ）A ．B ．C ．D ．变式题：在锐角中△ABC ，角A ，B 所对的边长分别为b a 、.若b B a 3sin 2=,则角A 等于（ ） A ．B ．C ．D ．3.具体问题中利用余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a 、、若a ＝4，A ＝，则该三角形面积的最大值是( )A ．22B ．33C ．34D ．24变式题：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a 、、．若C ＝120°，a c 2=，则( ) A ．b a > B ．b a < C ．b a =D ．a 与b 的大小关系不能确定 4.同时利用正余弦定理解三角形例3 在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤．则A 的取值范围是 （ ） A ．（0，]B ．[，）C ．（0，]D ．[，）变式题：设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为c b a 、、.若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，A a b cos 203=，则C B A sin :sin :sin 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4综合习题拓展解三角形与实际问题的结合。
5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(1)教案
课题：正弦定理、余弦定理和解斜三角形（1）教案教学目的：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明。
2、掌握三角形面积公式的证明3、会运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
教学重点：正弦定理的发现和证明 教学过程： （一）、引入 一、（设置情境）复习提问：1、三角形有哪六个元素？2、在直角三角形中，这六个元素有哪些关系？3、在直角三角形中有哪些解三角形问题？（1）已知两边，可以求第三边及两个角。
（2）已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。
二、（双基回顾）直角三角形边角关系和面积公式 （二）、新课 一、（新课教学，注意情境设置）如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A 的同侧，所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是20米，60=∠BAC ，45=∠ACB ， 求A 、B 两点间的距离。
（精确到0.1米）转化为数学问题：在ABC ∆中，已知 60=∠BAC ，45=∠ACB ，20=AC 米，求AB 的长。
(在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边？)二、概念或定理或公式教学（推导）在ABC ∆中,内角A 、B 、C 对边的边长分别为a,b,c 问题1：若C ∠=90，则A ∠的正弦与B ∠的正弦有何关系？在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，锐角A 的正弦：ca A =sin ,cbB =sin .由上两式可求得：A a sin =B b sin =c ，即A a sin =B b sin =1cCc sin =问题2：对于一般的三角形，问题1中所找到的关系是否成立？A CB方法一：在一般三角形中构造直角三角形，按问题1的方法发现正弦定理。
（1）如果ABC ∆为锐角三角形，过点 A 作BC AD ⊥，垂足D 在BC 边上.在ABD Rt ∆中，B c AD sin =，在ADC Rt ∆，C b AD sin =，所以B c sin =C b sin ，即B b sin =C c sin .同理，在ABC ∆中，A a sin =B bsinABC ∆中，总有A a sin =B b sin =Cc sin（2）如果ABC ∆为钝角三角形（不妨设90C ∠>︒），过点 A 作BC AD ⊥，垂足D 在BC 边上.在ABD Rt ∆中，B c AD sin =，在A D C Rt ∆，ACD b AD ∠=sin ，所以B c s i n =C b sin ，即B b s i n =Ccsin .同理，在ABC ∆中，A a s i n =Bbsin 从而，在锐角三角形ABC ∆中， 总有A a sin =B b sin =Cc sin .结论：在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高C b AD sin =，三角形的面积：C ab AD a S ABC sin 2121=⋅=∆，能否得到新面积公式？三角形面积公式111sin sin sin 222ABCS ab C ca B bc A ∆===方法二：（建立坐标系）以ABC ∆的顶点B 为坐标原点，BC 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设a,b,c 分别为C B A ∠∠∠,,所对的边长，AD 为边BC 上的高，则点C 、A 的坐标分别为.sin ),sin ,cos (),0,(B c AD B c B c a = B ac AD BC S ABC sin 2121=⋅=∆ 同理得：bc S C ab S ABC ABC sin 21,sin 21==∆∆三、（1）三角形面积：等于任意两边与它们夹角正弦值的积的一半。
《解三角形》教学设计-优秀教案
45,C∠.求边长能够很好地激发学生的求知欲望。
在新的问题产生时这个时候也正是产生知识缺陷, 急需新知识的时候教师活动2探究一: 直角三角形边角关系如图：在中, 是最大的角, 所对的斜边是最大的边, 探究边角关系。
探究二: 斜三角形边角关系实验1: 如图, 在等边中, ,对应边的边长, 验证是否成立？实验2: 如图, 在等腰中, , , 对应边的边长, 验证是否成立？实验3：借助多媒体演示, 发现随着三角形的任意变换, 的值相等。
通过这样的一些实验, 我们可以猜想。
学生活动2探究一: 在中, 设, 根据正弦函数定义可得:cbBcaA==∴sin;sincBbAa==∴sinsin又1sin=CCcBbAasinsinsin==∴探究二: 学生通过计算验证结论是否正确探究二：学生通过计算验证结论是否正确活动意图说明从已有的知识结构出发, 不让学生在思维上出现跳跃, 逐层递进, 通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点, 再对特殊的斜三角形进行验证, 过渡到一般的斜三角形边角关系的探究。
让学亲自体验数学实验探究的过程, 逐层递进, 激发学生的求知欲和好奇心, 体会到数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。
多媒体技术的引入演示, 让学生更加直观感受到变换, 加深理解。
环节三:教的活动3证明猜想, 得到定理学的活动3分组讨论证明方法并展示活动意图说明经历猜想到证明的过程, 让学生体会到数学新知识得获得仅仅靠猜想和演绎推理是不够的,必须经过严密的数学推导进行证明才可以。
在这个过程中, 也进一步促进学生数学思维思维品质的提升。
7.板书设计（板书完整呈现教与学活动的过程, 最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点。
使用PPT应注意呈现学生学习过程的完整性）课题一、正弦定理定理: 例题练习。
第六部分：三角函数(4)——解三角形(教案)
①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2：三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22，AC =2，3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
解法一：先解三角方程，求出角A 的值。
.21)45cos(,22)45cos(2cos sin =-∴=-=+ A A A A又0180<<A , 4560,105.A A ∴-==13tan tan(4560)2313A +∴=+==--- , .46260sin 45cos 60cos 45sin )6045sin(105sin sin +=+=+== A S AC AB A ABC ∆=⨯=⨯⨯⨯+=+1212232643426sin ()。
解法二：由sin cos A A +计算它的对偶关系式sin cos A A +的值。
sin cos A A +=22①在△ABC 中，由正弦定理得sin B =aA b sin ，∵b 2=ac ， ∠A =60°，∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23。
解法二：在△ABC 中， 由面积公式得21bc sin A =21ac sin B 。
∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B 。
∴cBb sin =sin A =23。
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。
解斜三角形教学设计
ZHANG ZHU ZHI YE GAO JI ZHONG XUE
宜兴市张渚职业高级中学数学组
解斜三角形教学设计
-------正弦定理、余弦定理解斜三角形
科目数学
课题解斜三角形
使用班级09机电（1）班
授课教师宋勃
授课时间2010.03.12
2009—2010学年第二学期
解斜三角形教学设计
授课
班级
09机电(1) 授课教师宋勃学科数学课型新课课题解斜三角形（第二课时）
授课
方法
启发和探究教学相结合现代化教学辅助手段多媒体课件
教学目的要求1、知识与技能目标：
能探索并应用正弦定理、余弦定理解斜三角形；
能由余弦定理判断三角形的形状。
2、过程与方法目标：
通过本节的学习，掌握正弦定理、余弦定理解斜三角形。
3、情感、态度与价值观目标：
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点难点重点：
探索并应用正弦定理、余弦定理解斜三角形。
难点：
根据已知条件区分用正弦定理还是余弦定理解斜三解形。
学习过程
学海泛舟学海拾贝
（一）复习引入
引例：地质勘察队为了测定河岸A点到对岸C点的距离，在岸边选定1公里长的基线AB，并测得∠BAC=45°，
∠ABC=105°，如何求A、C两点的距离？
以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：直接用尺测量方法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。
小学六年级数学教案 斜三角形的“一题多解”-精选教学文档
小学六年级数学教案——斜三角形的“一题多解”一题多解的解,若当作解法,即为一道题有多种解法,但数学中把解又当作结果,所以也可理解为一道题有多种结果.通常人们是以第一种解释为多,这里笔者想借此谈点教学解斜三角形时的一些新想法.解斜三角形,就是利用三角形的已知元素,求出未知元素的过程.其原理是正弦定理.条件必须满足3个,就是在斜三角形三角三边个元素中,必须已知其中的三个,而已知三个角时,三角形不确定,所以三个条件中至少要有一条边.这样我们可以把已知条件分为三种类型:1、已知三边.由定理可知,要用余弦定理开解;2、已知两角一边.因为三角形的三个内角和是180,所以实际是已知三角一边,由定理可知,不管是已知夹边还是对边,用正弦定理都可以解;3、已知两边一角.这种类型要注意.由定理可知,若是已知夹角要用余弦定理来解.经过这样的分析,我们可以进行总结并归纳为口诀:三边必定用余弦,还有两边夹一角;正弦两边一对角,双角必定用正弦.有了定理,有了口诀,只是初步掌握.请看例一:在△ABC中,已知A=45,a=2,b=2,求B.简解为: 。
例二：在中，已知求，简解为：且或。
以上两例,同样是正弦定理,却存在着一解或两解的问题,按照大边对大角,小边对小角的原则,例一是已知大边对大角,求小边的对角,只能有一解,而例二是已知小边对小角,求大边的对角,则有锐角和钝角两种结果.这种一题多解的问题因该特别小心,不能出现漏解或是增解的情况.在斜三角中,已知三边,已知两角一边和已知两边一夹角时,三角形都是唯一确定的;一有已知两边一对角时,才有可能出现一解、两解或是无解的情况.这里大边对大角的原则起着决定性的作用.有了定理,有了口诀,有了原则,还要能灵活运用各种不同的解法,以求达到一题多解.请看例三:在△ABC中,已知A=30 求c。
简解为：由正弦定理得：且或。
当，则，当则所以，。
这是已知两边一对角的情形,按口诀应该用正弦定理如上所解,但是用余弦定理也是可行的.简解为:由公式，代入得 ,化简，，所以,或＝8或＝4,此法不仅简洁且不会漏解,值得重视.。
5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形(4)教案
课题：5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形（4）教案教学目的：1、能利用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题。
2、能够在解斜三角形应用过程中，灵活地选择正弦定和余弦定理。
3、通过解斜三角形应用举例进一步培养学生将实际问题转化为数学问题，用数学方法解决实际问题的能力。
教学重点：利用解斜三角形解决一些实际问题教学过程：（一）、新课例1、我舰在敌岛A 南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行 才能用2小时追上敌舰？解：如图，在△ABC 中由余弦定理得：∴我舰的追击速度为14海里/小时.又在△ABC 中由正弦定理得：例2、某船在距救生艇A 处10 海里的C 处遇险，测得该船的方位角为45︒，还测得船正沿方位角105︒的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间.解：设所需时间为t 小时，在点B 处相遇（如图）在△ABC 中，∠ACB = 120︒, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t 由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 - 2×10×9t×cos120︒ 整理得：36t2 -9t - 10 = 0 解得：125,3221-==t t （舍去） 由正弦定理：1433322123)329(sin sin 120sin =⨯⨯⨯=∠⇒∠=CAB CAB BC ABA1433arcsin =∠∴CAB例3、如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ. 解：在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒ 由正弦定理： 15sin 30sin 100BC = ∴BC = 200sin15︒在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ 由正弦定理：)90sin(15sin 20045sin 50θ+︒︒=︒ ⇒cos θ =13- ∴θ = 42.94︒（二）小结：解斜三角形应用题的一般步骤是：1、分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．2、建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．3、求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．4、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 即解斜三角的基本思路（三）课堂练习1、自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1．95ｍ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1．40ｍ，计算BC 的长。
解斜
专题 解斜三角形二、规律技巧：1、定义：按角分类， 叫斜三角形。
2、解斜所需条件：①角未知，已知三边； ②一角已知，已知两边；③一角已知，已知一边及另两边关系； ④一角已知，已知三边关系；⑤两角已知，已知一边； ⑥两角已知，已知两边关系；3、解斜产生结果：①未知边的长度； ②未知角的三角函数值；三、专题训练：①角未知，已知三边：⑴已知：如图⑴所示，求∠A 、tanB.⑵已知：求∠B 、tanC②一角已知，已知两边:⑶已知：tanB=12，AB=5，AC=3，求BC 。
⑷已知：tan ∠ACD=23，AB=10，BC 。
③一角已知，已知一边及两边关系：⑸已知：tanB=2，AC=6，BC=，AC=k+4，求AB 。
④一角已知，已知三边关系：⑹已知：tanC=43，x ，AC=5x ，BC=3x+4，求AB 。
⑤两角已知，已知一边：⑺已知：∠B=30°，AB=6，求BC 。
⑻已知：tan ∠ACD=43，tanB=12，，求sinA 。
⑥两角已知，已知两边关系：⑼已知：tanB=13，tanC=12，k+1，AC=5k ，求BC 。
四、巩固练习1、某希望中学有块三角形形状的菜地，现可以直接测量到tanB=12，千米，则这块菜地的面积为 。
2、等边△ABC 的边长为4，点D 在AB 边上，且CD=13，则tan ∠BCD 的值为 。
3、在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是梯形，AC ∥OB ，点A 关于OC 的对称点在BC 上，AC=4，tan∠OBC=34.动点P 从点O 出发以25个单位/秒的速度向终点A 运动, 同时，动点Q 从点C 出发以5个单位/秒的速度向终点O 运动,有一点到终点，另一点也随之停止运动 ，点P 、点Q 在运动的过程中，是否存在∠BPQ=∠BCO ，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由.。
44解斜三角形
新课标高三数学一轮复习 44 解斜三角形考纲解读1． 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
知识梳理1． 正弦定理：在ABC 中， ，R 为ABC 外接圆的半径。
解决的问题：已知两角和任一边，求其他两边和另一角，已知两边和其中一边所对的角，求另一边所对的角。
2． 余弦定理：在ABC 中， ，其中，ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，对应边分别为a 、b 、c 。
解决的问题：已知三边求各角，已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角。
3． 解斜三角形中的常用公式和结论、类型：（1）锐角三角形ABC 中，A B C π++=，2A B ππ<+<； （2）0A B C π<<，，， 那么sin sin cos 222A B C C π+-==，cos cos sin 222A B C C π+-==，()tan tan A B C +=-，()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +-；（3）三角形中等边对等角，大边对大角，并且任意两边之和大于第三边；（4）已知两角一边用正弦定理、已知已知两边及其一边对角用正弦定理，已知三边用余弦定理、已知两边及其夹角用余弦定理。
4．实际问题中的常用角（1）仰角、俯角。
如图所示○1○2○3（2）方位角。
如图○2所示。
（3）坡角、坡比。
如图○3所示。
练习巩固一．选择题 1．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c o s s i n a A b B =，则2s i n c o s c o s AA B +=（ ） A ． 12- B ． 12C ． 1-D ． 12．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2A C π-=，a c +=，则C ∠=（ ）A ．15B ． 30C ． 45D ． 603．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin sin sin sin a A c C C b B +=，则B =（ ）A ．15B ． 30C ． 45D ． 604．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22b a ==，1cos 4C =，则()c o s A C -的值为（ ）A．4 B ． 1116 C ．8D ． 78 5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22a b -=，sin C B =，则A =（ ）A ．30 B ．60 C ． 120 D ． 150二．填空题6．已知ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC 的面积为 ；7．在ABC 中，2AB AC ==，BC =点D 在BC 边上，45ADC ∠=，则AD 的长度为 ； 8．在ABC 中，60B =，AC =2AB BC +的最大值为 ；9．在ABC 中，若5tan 24b B A π===，，，则sin A = ，a = ；10．已知ABC 中，三边的长分别为AB =7，BC =5，CA =6，则AB BC ⋅= ；11．如图，四边形ABCD 中，AD =DC =3，BC =5，AB =8，120DCB ∠=，则四边形ABCD 的面积为 。
高考数学一轮复习 解三角形教案 理 教案
图二abc CBA图一cabA BC某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习解三角形教案理知识梳理：1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在Rt ABC中，C=，BC=a，AC=b，Ab=c。
（1）、三边之间的关系：+=；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：A+B=（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sinA=cosB= sinB=cosA= ,tanA2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，ABC 中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B 、C的对边。
（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C=；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanCsin； cos；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即=2R (2R为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2R；；；；；a：b：c=（4）、余弦定理：=-2bccosA; =-2accosB;-2abcosC;余弦定理变形：cosA= ; cosB=; cosC=3、三角形的面积公式：（1）、=a=b=c（，，分别表示a，b，c三边上的高）（2）、=absinC=bcsinA=casinB（3）、=2=（4）、=；（5）、=rs（r为内切圆半径，）4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。
5、实际问题中的应用。
（1）、仰角和俯角：（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。
（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。
高中数学《解斜三角形应用举例》教案
课 题：解斜三角形应用举例（2）教学目的： 进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；2 3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力教学重点：12解斜三角形的方法教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学方法：自学辅导法 在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼教学过程： 一、复习引入： 上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决二、讲解范例：例1如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄CB 0绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动当曲柄在CB 0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A O 处设连杆AB 长为340 ｍｍ，曲柄CB 长为85 ｍｍ，曲柄自CB 0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A 移动的距离A0A )(精确到1 ｍｍ)分析：如图所示，因为A 0A ＝A O C －AC ，又知A O C ＝AB ＋BC ＝340＋85＝425，所以只要求出AC 的长，问题就解决了ABC 中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC解：在△ABC 中，由正弦定理可得 sin A ＝.2462.034080sin 85sin =︒⨯=AB C BC因为BC ＜AB ，所以A 为锐角，得A ＝14°15′∴B ＝18O °－（A ＋C ）＝18O °－（14°15′＋8O °）＝85°45′由正弦定理，可得AC ＝.3.3449848.05485sin 340sin sin mm C B AB ='︒⨯= 因此，A O A ＝A O C －AC ＝(AB ＋BC ）－AC ＝(34O ＋85)－3443＝8O 7≈81（ｍｍ） 答：活塞移动的距离约为81ｍｍ 评述：注意在运用正弦定理求角时应根据三角形的有关性质具体确定角的范围要求学生注意解题步骤的总结：用正弦定理求A −−−→−内角和定理求B −−−→−正弦定理求AC →求A O A例2 如图，为了测量河对岸A 、B 两点间的距离，在这一岸定一基线CD ，现已测出CD ＝a 和∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，∠ADC ＝ｓ，试求AB 的长分析：如图所示：对于AB 求解，可以在△ABC 中或者是△ABD 中求解，若在△ABC 中，由∠ACB ＝α－β，故需求出AC 、BC ，再利用余弦定理求解而AC 可在△ACD 内利用正弦定理求解，BC 可在△BCD 内由正弦定理求解解：在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝α，∠ADC ＝δ，由正弦定理得AC ＝[])sin(sin )(180sin sin δαδδαδ+=+-︒a a在△BCD 中，由正弦定理得 BC ＝[])sin(sin )(180sin sin γββγββ+=+-︒a a在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝α－β，所以用余弦定理,就可以求得AB ＝)cos(222βα-⋅⋅-+BC AC BC AC评述：(1)要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用(2)注意体会例2求解过程在实际当中的应用例3 据气象台预报，距S 岛300 ｋｍ的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 ｋｍ的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 ｋｍ以内的地区将受到台风的影响 问：S 岛是否受其影响?若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由分析：设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤27O 这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过ｔ小时到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB解：设台风中心经过ｔ小时到达B 点，由题意，∠SAB ＝9O °－3O °＝6O °在△SAB 中，SA ＝3OO ，AB ＝3O ｔ，∠SAB ＝6O °，由余弦定理得：SB 2＝SA 2＋AB 2－2SA ·AB ·cos SAB＝3OO 2＋（3O ｔ）2－2·3OO ·3O t cos6O °若S 岛受到台风影响，则应满足条件｜SB ｜≤27O 即SB 2≤27O 2化简整理得 ｔ2－1O ｔ＋19≤O解之得 5－6≤ｔ≤5＋6所以从现在起，经过5－6小时S 岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束持续时间：(5＋6)－（5－6）＝26小时答：S 岛受到台风影响，从现在起，经过（5－6）小时，台风开始影响S 岛，且持续时间为26小时例 4 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为195米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为1米，求货物开始下滑时BC 的长解：设车箱倾斜角为θ，货物重量为mgθμμcos mg N f ==当θθμsin cos mg mg ≤即θμtan ≤时货物下滑当θμtan = 时， θtan 3.0=， '42163.0arctan==θ∠BAC='0223'206'4216 =+在△ABC 中: BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222787.10'0223cos 40.195.1240.195.122=⨯⨯⨯-+= ，28.3=BC三、课堂练习：1B ，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A ，望见岛在北75°东，航行8海里到C ，望见岛B 在北6O °东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁2AB 外有一点C ，∠ABC ＝6O °，AB ＝2OO ｋｍ，汽车以8O ｋｍ／ｈ速度由A 向B 行驶，同时摩托车以5O 公里的时速由B 向C 行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小答案：约13小时四、小结 通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力五、课后作业：1．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C =3∶2∶4，那么cos C 的值为（ ） A ．－41 B ．41 C ．－ 32 D ．32 分析：先用正弦定理：C c B b A a sin sin sin ==可求出a ∶b ∶c =3∶2∶4， 所以可设a =3k ,b =2k ,c =4k ,再用余弦定理：kk k k k C ab c b a C 2321649cos 2cos 222222⋅⋅-+=-+=可得即.41cos -=C 答案：A2．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度解：如图所示，∠SMN =15°+30°=45°，∠SNM =180°－45°－30°=105° ∴∠NSM=180°－45°－105°=30°)26(2021)26(10)26(10105sin 2030sin -=÷--=∴︒=︒MN MN 由正弦定理 答：货轮的速度为)26(20-里/小时3．△ABC 中，a+b =10，而cos C 是方程2x 2－3x －2=0的一个根，求△ABC 周长的最小值分析：由余弦定理可得C ab b a c cos 2222-+=，然后运用函数思想加以处理解：02322=--x x 21,221-==∴x x 又∵cos C 是方程2x 2－3x －2=0的一个根 21c o s-=∴C 由余弦定理可得ab b a ab b a c -+=-⋅-+=2222)()21(2则75)5()10(10022+-=--=a a a c当a=5时，c 最小且c =3575= 35103555+=++=++c b a 此时∴△ABC 周长的最小值为10+4．在湖面上高h 米处，测得云的仰角为α,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为β，试证：云高为)sin()sin(αββα-+⋅h 米 分析：因湖而相当于一平面镜，故云C 与它在湖中之影D 关于湖面对称，设云高为x =CM ，则从△ADE ，可建立含x 的方程，解出x 即可解：如图所示，设湖面上高h 米处为A ，测得云的仰角为α，而C 在湖中的像D 的俯角为β，CD 与湖面交于M ，过A 的水平线交CD 于E ，设云高CM =x 则CE =x －h ，DE =x+hh x h x h x h x AE h x AE ⋅-+=+=-∴+=-=αβαββαβαtan tan tan tan cot )(cot )(cot )(cot )(解得且 h ⋅-+=αβαβαβαβαβαβc o sc o s s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n )()s i n ()s i n (米αββα-+⋅=h 5．在某定点A 测得一船初始位置B 在A 的北偏西α1处，十分钟后船在A 正北，又过十分钟后船到达A 的北偏东α2处若船的航向与程度都不变，船向为北偏东θ，求θ的大小(α1＞α2)分析：根据题意画示意图，将求航向问题转化为解三角形求角问题解：如图所示，在△ABC 中，由正弦定理可得：)sin(sin ,)](sin[sin 1111αθααθπα+=+-=AC BC AC BC 即 ① 在△ACD 中，由正弦定理可得：)sin(sin ,)sin(sin 2222αθααθα-=-=AC CD AC CD 即 ② 根据题意，有BC=CD ∴由①、②得：)sin(sin )sin(sin 2211αθααθα-=+ 即 )sin(sin )sin(sin 1221αθααθα+⋅=-⋅)sin(sin sin 2tan sin sin cos 2)sin(sin )sin cos cos (sin sin )sin cos cos (sin sin 21212121112221ααααθααθααθαθαθααθαθα-==-+=-∴则即)sin(sin sin 2arctan 2121ααααθ-=所以（α1＞α2） 6．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，设a+c =2b ,A －C =3π,求sin B 的值解：∵a+c =2b ,∴sin A +sin C =2sin B 由和差化积公式得2cos 2sin 42cos 2sin 2B B C A C A =-+ 3,02cos 2sin π=->=+C A B C A 432s i n 2s i n 223==∴B B 即 20π<<B 4132sin 12cos 2=-=∴B B 8394134322cos 2sin 2sin =⨯⨯==B B B 于是 六、板书设计（略）七、课后记：。
高中数学必修一集合间的基本关系教案
高中数学必修一集合间的基本关系教案高中数学必修一集合间的基本关系教案1教学准备教学目标1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验；2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角；(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角；(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等；3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等；教学重难点1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验；2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角；(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角；(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等；3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等；教学过程一、知识归纳1、应用正弦余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤及基本思路(1)分析，(2)建模，(3)求解，(4)检验；2、实际问题中的有关术语、名称：(1)仰角与俯角：均是指视线与水平线所成的角；(2)方位角：是指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角；(3)方向角：常见的如：正东方向、东南方向、北偏东、南偏西等；3、用正弦余弦定理解实际问题的常见题型有：测量距离、测量高度、测量角度、计算面积、航海问题、物理问题等；二、例题讨论一)利用方向角构造三角形四)测量角度问题例4、在一个特定时段内，以点e为中心的7海里以内海域被设为警戒水域。
点e正北55海里处有一个雷达观测站a.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点a北偏东。
高一数学教案集合间的基本关系教学设计2021文案3教学准备教学目标掌握等差数列与等比数列的概念，通项公式与前n项和公式，等差中项与等比中项的概念，并能运用这些知识解决一些基本问题。
高二人教版必修教案正弦定理
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
例 2 如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D，求证： BD = AB DC AC
A
证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，
B
得 BD = AB ， DC =
AC
= AC ，
sin sin sin sin(1800 − ) sin
D
C
两式相除得 BD = AB
A
DC AC
β
五巩固深化反馈研究
B
α 1800− α
1 已知ΔABC 已知 A=600，B=300，a=3；求边 b=（） D:
C
Ａ３
Ｂ
２Ｃ
3D
2
（2）已知ΔABC 已知 A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）
A 8B
4C
4 3 -3 D 8 3 -8
（3）正弦定理的内容是———————————— （4）已知 a+b=12 B=450 A=600 则则则 a=------------------------，b=------------------------
（5）已知在ΔABC 中,三内角的正弦比为 4:5:6，有三角形的周长为 7.5，则其三边长分别为
--------------------------
（6）．在ΔABC 中，利用正弦定理证明 a + b == sin A + sin B
c
sin C
六，课堂小结（有学生自己总结）
七 课外作业：P10. A1, B1
b=c
sin B sinC
从而
a
b
c
sin A = sin B = sinC
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授课主要内容或板书设计
例题变式解：在∆ABC中，∠ABC=180︒- 75︒+ 32︒=137︒，
根据余弦定理，
AC=ABC
BC
AB
BC
AB∠
⨯
⨯
-
+cos
2
2
2
=︒
⨯
⨯
⨯
-
+137
cos
0.
54
5.
67
2
0.
54
5.
672
2
≈113.15
根据正弦定理,
CAB
BC
∠
sin
=
ABC
AC
∠
sin
sin∠CAB =
AC
ABC
BC∠
sin
=
15
.
113
137
sin
0.
54︒
≈0.3255,
所以∠CAB =19.0︒
75︒- ∠CAB =56.0︒
答:此船应该沿北偏东56.1︒的方向航行,需
要航行113.15n mile
练习：（对例3的变式）
在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，
沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角
为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A
的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。
解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在∆ACD
中，
实际问题中需要
掌握
近似估计、运算
通过变式，让学生
体会该数学模型
的在不同问题中
的应用。