初中数学中考几何综合题

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中考数学复习--几何综合题

Ⅰ、综合问题精讲:

几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题,它主要考查学生综合运用几何知识的能力,这类题往往图形较复杂,涉及的知识点较多,题设和结论之间的关系较隐蔽,常常需要添加辅助线来解答.解几何综合题,一要注意图形的直观提示;二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件,为解题创造条件打好基础;同时,也要由未知想需要,选择已知条件,转化结论来探求思路,找到解决问题的关键. 解几何综合题,还应注意以下几点:

⑴ 注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基

本图形.

⑵ 掌握常规的证题方法和思路.

⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用数

学思想方法伯数形结合、分类讨论等).

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】(南充,10分)⊿ABC 中,AB =AC ,以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ,点F 是

BE 的中点.

(1)求证:DF 是⊙O 的切线.(2)若AE =14,BC =12,求BF 的长.

解:(1)证明:连接OD ,AD . AC 是直径,

∴ AD⊥BC. ⊿ABC 中,AB =AC ,

∴ ∠B=∠C,∠BAD=∠DAC.

又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角,

∴∠C =∠BED .

故∠B =∠BED ,即DE =DB .

点F 是BE 的中点,DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径,

即∠DAC =∠BAD =∠ODA .

故OD ⊥DF ,DF 是⊙O 的切线.

(2)设BF =x ,BE =2BF =2x .

又 BD =CD =21BC =6, 根据BE AB BD BC ⋅=⋅,2(214)612x x ⋅+=⨯.

化简,得 27180x x +-=,解得 122,9x x ==-(不合题意,舍去).

则 BF 的长为2.

点拨:过半径的外端且垂直于半径的直线才是切线,所以要证明一条直线是否是此圆的切线,应满足这两个条件才行.

【例2】(重庆,10分)如图,在△ABC 中,点E 在BC 上,点D

在AE 上,已知∠ABD =∠ACD,∠BDE =∠CDE .求证:BD =CD 。 证明:因为∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE 而∠BDE=∠ABD+∠BAD,∠CDE=∠ACD+∠CAD

所以 ∠BAD=∠CAD,而∠ADB=180°-∠BDE

∠ADC=180°-∠CDE,所以∠ADB =∠ADC

在△ADB 和△ADC 中,

∠BAD=∠CAD

AD =AD

∠ADB =∠ADC

所以 △ADB≌△ADC 所以 BD =CD 。

(注:用“AAS”证三角形全等,同样给分)

点拨:要想证明BD=CD ,应首先观察它们所在的图形之间有什么联系,经观察可得它们所在的三角形有可能全等.所以应从证明两个三角形全等的角度得出,当然此题还可以采用“AAS ”来证明.

【例3】(内江,10分)如图⊙O 半径为2,弦BD =32,A 为弧BD

的中点,E 为弦AC 的中点,且在BD 上。求:四边形ABCD 的面积。

解:连结OA 、OB ,OA 交BD 于F 。

⎬⎫===⊥⇒2 3,BD A OB FD BF BD OF 的中点为弧 1AF 1OF =⇒=⇒ ABD 1S BD AF 32

∆⇒=⋅=ADE CDE ABE CBE AE CE S S ,S S ∆∆∆∆=⇒==322S S ABD ABCD ==⇒∆四边形

【例4】(博兴模拟,10分)国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在

全国各地农村进行电网改造.莲花村六组有四个村庄A 、B 、CD 正好位于一个正方形的四个顶点.现计划在四个村庄联合架一条线路,他们设计了四种架设方案,如图2-4-4中的实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.

A

B C D

E

解:不妨设正方形的边长为1,显然图2-4-4⑴、⑵中的线路总长相等都是3.图2-4-4⑶中,利用勾股定理可求得线路总长为2 2 ≈2.828.

图2-4-4(4)中,延长EF交BC于H,由∠FBH=30°,BH=1

2

利用勾股定理,可求得333

121 FH EF FH

∴=-=

所以⑷中线路总长为:4EF+EF=433

(113 2.732.

-=+≈

显然图2-4-4⑷线路最短,这种方案最省电线.

点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股未理讲行计算线路长,然后通过比较,得出结论.

【例5】(绍兴)如图矩形ABCD中,过A,B两点的⊙O切CD于E,交BC于F,AH⊥BE于H,连结EF。

⑴求证:∠CEF=∠BAH,⑵若BC=2CE=6,求BF的长。

⑴证明:∵CE切⊙O于E,

∴∠CEF=∠EBC,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°

∴∠ABE+∠EBC=90°,

∵AH丄BE,∴∠ABE+∠BAH=90°

∴∠BAH=∠EBC,∴∠CEF=∠BAH

⑵解:∵CE切⊙O于E

∴CE2=CF·BC,BC=2CE=6

∴CE2=CF·6,所以CF= 3

2∴BF=BC-CF=6-

3

2

=

9

2

点拨:熟练掌握切线的性质及切线长定理是解决此题的关键.

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