光明市的菜篮子工程

光明市的菜篮子工程

一、问题重述

光明市是一个人口不到15万人的小城市，根据该市的蔬菜种植情况分别在花市A、城乡路口B和下塘街C设三个收购点。清晨5点前菜农将蔬菜送至各收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场。该市道路情况、各路段距离(单位:100m)及各收购点、菜市场1..8的具体位置如图1:

图1:该市道路情况、各路段距离及收购点、菜市场具体位置

按常年情况，,、,、,三个收购点每天收购量分别为200、170和160(单

位:100kg)，各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失(元/100kg)见表1。设从收购点至各菜市场蔬菜调运费用为1元/(100kg*100m)。

表1:各菜市场的每天需求量及发生供应短缺是带来的损失

菜市场每天需求(100kg) 短缺损失(元/100kg)

1 75 10

2 60 8

3 80 5

4 70 10

5 100 10

6 55 8

7 90 5

8 80 8 (a)为该市设计一个从各收购点至各菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预期的短期损失最小。

(b)若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案。

(c)为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积，试问增加的蔬菜每天应分别向A、B、C三个采购点各供应多少最经济合理。

二、模型的基本假设

1、只考虑运输费用和短缺费用，不考虑装卸等其他费用。

2、假设运输的蔬菜路途中没有损耗。

3、假设各市场蔬菜只来源于三个收购站，无其他来源且三个收购站所收购蔬菜全部运往8个菜市场。

4、假设规划增加蔬菜种植面积后，蔬菜供应总量恰好能满足8个菜市场的需求量。

三、符号说明

x:第i个收购点向j市场供给的数量(i=1,2,3;j=1,2 …,8)。 ij

x:第j(j=1,2 … 8)个市场因供给量小于需求量的单位短缺损失。 4j

p:第i个收购点向j 市场供给的单位运费(i=1,2,3;j=1,2 …,8)。 ij

b:第i(i=1,2,3,4)个收购点供应量。 i

d:第j(j=1,2 … 8)个市场需求量。 j

t:规划增加蔬菜种植面积后，A 、B 、C三个收购点的增加的收购量。 i

Z:总费用。

四、问题的分析与模型的建立

问题a:

这是一个产销不平衡的规划问题(产小于销)，三个收购点每天蔬菜收购量为430(单位:100kg)，而8个菜市场每天共需510(单位:100kg)，所以，8个菜市场每天将共短缺80(单位:100kg)。可设一个虚拟的收购点D，每天蔬菜收购量为80(单位:100kg)，正好弥补8个菜市场每天短缺的那部分，则如表2: 表2:加虚拟收购点后的产销平衡表

1 2 3 4 5 6 7 8 产量

200 A 4 8 8 19 11 6 22 20

170 B 14 7 7 16 12 16 23 17

160 C 20 19 11 14 6 15 5 10

D 80 销量 75 60 80 70 100 55 90 80 610

但虚拟收购点D运往8个菜市场的运费无法计算。在本题中，只考虑运费及蔬菜短缺时的总费用，考虑到虚拟收购点D运往8个菜市场的路径无法确定，及D所运往8个菜市场的

1

蔬菜均为各个菜市场短缺的，故可将8个菜市场短缺所造成的损失等效于D运往8个菜市场的运费。所以，原题的等效描述如下:

分别在A、B 、C和D设四个收购点。清晨5点前菜农将蔬菜送至各收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场。其中A、B、C、D四个收购点每天收购量分别为200、170、160和80(单位:100kg)。此时四个收购点每天收购量恰好等于8个菜市场每天需求量。此时即为产销平衡的规划问题。如表3:

表3:等价替换后的产销平衡表

1 2 3 4 5 6 7 8 产量

200 A 4 8 8 19 11 6 22 20

170 B 14 7 7 16 12 16 23 17

160 C 20 19 11 14 6 15 5 10

D 10 8 5 10 10 8 5 8 80

75 60 80 70 100 55 90 80 610 销量

目标函数总费用Z包括两项:蔬菜调运费、各市场供给量小于需求量的短缺损失。此题中等效蔬菜调运费。即:

48

pxz= ijij,,

i,,1j1

约束条件为:

8

x,b?4个收购点的蔬菜全部供给给8个市场 (i=1,2,3,4) ,iji,1j

4

x,d?每个市场的蔬菜都来自4个收购点(j=1,…,8) ,ijji,1

x,0?变量非负性限制(i=1,…,4;j=1,…,8) ij

综上，得出问题(a)的数学模型如下:

48

px,,ijijmin z=

i,,1j1

8

x,bs.t (i=1,2,3,4) ,iji

,1j

4

x,d,ijj(j=1, (8)

i,1

x,0(i=1，…,4;j=1,…,8) ij

2

问题b:

此时规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%的条件，则对需求量的约束条件进行了修

改。即:

48

pxz= ijij,,

i,,1j1

约束条件为:

8

x,b?4个收购点的蔬菜全部供给给8个市场 (i=1,2,3,4) ,iji,1j

4

x,d?每个市场的蔬菜都来自4个收购点(j=1,…,8) ,ijji,1

x,0.2d?各菜市场短缺量一律不超过需求量的20% (j=1,…,8) ijj

x,0?变量非负性限制(i=1,…,4;j=1,…,8) ij

综上，得出问题(b)的数学模型如下:

48

pxijij,,min z=

i,,1j1

8