零极点分布

1. 一阶极点
H ( s) H 0 (s z j )
j 1 m n
(s p )
i 1 i
n
Ki H (s) H i (s) i 1 i 1 s pi
n
h(t )
n Ki 1 [ ] K i e pi t i 1 s pi i 1
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
（4）左半s平面内共轭极点对，如
H ( s)

( s a) 2 2
h(t ) e at sin tu(t ) (a 0)
（5）右半s平面内共轭极点对，如
H ( s)

( s a) 2 2
h(t ) eat sin tu (t ) (a 0)
1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
考虑如下两个系统：
s H1 ( s ) (s )2 2
h1 (t )
1
[ H1 (s)] et cos t
s s H 2 (s) (s )2 2 (s )2 2 (s )2 2
h2 (t ) [ H 2 ( s )] e [cos t sin t ] e t A cos( t ) 其中： A 1 ( ) 2 , arctan
y(t),并指出y(t)中的自由响应和强迫响应分量。
+ x(t) R=1Ω + y(t) -
C=1F
Y ( s) 1 H (s) X (s) R 1 s 1 sC 5s X ( s) 2 s 4
1 sC
5s 1 s4 Y (s) X (s) H (s) 2 2 ( s 1)( s 4) s 1 s 4
1 t
结论：H(s)的零点只影响h(t)的幅度和相位，而不影响形状。
5.2.3 自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应
Y ( s) H ( s) X ( s)
设：
H ( s)
(s z )
j
m
(s p )
i i 1
j 1 n
,
X ( s)
(s z )
l
u
bm s bm 1s b1s b 0 B( s) H ( s) n n 1 an s an 1s a1s a 0 A( s)
m
m 1
若 lim H ( s) , 则pi为极点；
s pi s zi
若 lim H ( s) 0，则zi为零点。
t
KE t t v2 (t ) (e e )u (t ) ( )
例5-2：求下图电路的转移导纳函数
I 2 (s) H ( s ) Y21 ( s ) V1 ( s )
1Ω 1F + V1(s) I1(s) 1Ω 1Ω I2(s) I3(s) 1F
1Ω
5.1.1 系统函数的定义
设系统的 n 阶微分方程为：
an y (t ) an 1 y
(n)
( n 1)
(t ) a1 y (t ) a0 y(t )
(1)
bm x
若
( m)
(t ) bm1 x
( m 1)
(t ) b1 x (t ) b0 x(t )
--------- “系统函数”或“网络函数”
简写为：
Y ( s) H ( s) X ( s)
X(s)
或： Y ( s)
H ( s) X ( s)
Y(s)
H(s)
注意：1、H(s)独立于输入，仅由系统特性决定；
2、系统函数是在零状态条件下得到的；
3、线性时不变系统的H(s)是s的有理函数。
H(s)名称的含义

Ke Ee d u (t ) 0 KE t t (e e )u (t ) ( )
K H ( s) x(t ) Ee u (t ) s KE 或： V2 ( s ) H ( s ) X ( s ) ( s )( s ) KE 1 1 [ ] s s
1F + V1(s)
I3(s)
1F 1Ω I2(s)
解：列写回路方程
I1(s)
1Ω
1 1 ( 1) I1 ( s) I 2 ( s) I 3 ( s) V1 ( s) s s 1 1 I1 ( s) ( 2) I 2 ( s) I 3 ( s) 0 s s 1 1 2 I1 ( s) I 2 ( s) ( 1) I 3 ( s) 0 s s s
Vm 1 1 I ( s) H ( s) X ( s) 2 2 L s R s L
R t Vm 2 2 2 L i (t ) 2 2 Le R L sin(t ) 2 L R
L arctan R
(s p )
k k 1
l 1 v
Ki Kk Y ( s) i 1 s pi k 1 s pk
y (t ) K i e K k e i 1 1 k
pi t pk t 自由响应 强迫响应 n v
n
v
例5-4：电路如图所示，输入信号x(t)=5cos2t u(t),求输出电压
R2 v2 (t )
x(t )

（1）求冲激响应h(t)； (2）求输出电压v2(t)；
1 V2 ( s ) K 1 / R2 sC 解: （1） H ( s ) 1 X ( s) R s 1 1 / R2 sC

C

K
x(t )
R1


C
t
R2 v2 (t )
s[(s 1)2 1] s(s 1 j)(s 1 j) H ( s) 2 2 2 (s 1) ห้องสมุดไป่ตู้s 4) (s 1) (s 2 j)(s 2 j)
p1 p2 1 极点： p3 2 j p 2 j 4
j
-j
s1 0 s 1 j 零点： 2 s3 1 j s4
+
x(t)
vR(t)
-
--------- 转移电压比（电压传输函数）
VR ( s) R H ( s) X ( s) R sL R 1 L s R L
5.1.2 系统函数H(s)与冲激响应h(t)的关系
Yzs ( s) H ( s) X ( s)
当
而
x(t ) (t ) 时， y zs (t ) h(t ) X ( s) [ (t )] 1
h(t)波形的特性
只要知道H(s)在s平面中零极点分布
H(s)在s平面中零极点分布特点： 1. 若系统为实系统，则H(s)的零极点为复数零极点必然成 对地出现。 2. H(s)的零点数和极点数必然相等。 只要知道H(s)在s平面中零极点分布 h(t)波形的特性
5.2.2 零、极点分布与时域响应特性
d 2 y (t ) dy (t ) 3 2 y (t ) x(t ) 例5-1：已知 2 dt dt
求H(s)。 解法一：对微分方程两边取拉氏变换得：
( s 2 3s 2)Y ( s) X (s)
Y (s) 1 H ( s) 2 X ( s) ( s 3s 2)
K H ( s) s
其中：

x(t ) Ee u (t ) h(t )
（2）
t
1 K , R1C
1
R1 R2 R1 R2C
[ H ( s)] Ke
t 0 ( t )
t
u(t )
v2 (t ) h(t ) x(t ) h( ) x(t )d
2. 二阶极点
（1）s平面坐标原点的二阶极点，如
1 H (s) 2 h(t ) tu (t ) s
（2）负实轴上的二阶极点
1 H ( s) h(t ) te a t u(t ) (a 0) ( s a) 2
（3）虚轴上的二阶共轭极点，如
2 s H (s) 2 2 2 h(t ) t sin t u(t ) (s )
n
1 （1）极点位于s平面坐标原点，如 H ( s) h(t ) u (t ) s
1 （2）若极点位于s平面实轴上，如 H ( s) h(t ) e at u (t ) sa
1
1
（3）虚轴上的共轭极点给出等幅振荡，如
H ( s) 2 h(t ) sin tu (t ) 2 s
Yzs ( s) H ( s)
所以 或 简记为：
h(t )
1
[ H ( s)]
H ( s)
[h(t )]
h(t )
H (s)
5.1.3 系统函数H(s)的求法 （1）由零状态下系统的微分方程经拉氏变换求得 （2）由冲激响应的拉氏变换求得
（3）用零状态下的s域模型、应用电路分析方法求得
第5章 连续时间系统的s域分析
5.1 系统函数与冲激响应 5.2 零、极点分布与时域响应特性 5.3 零、极点分布与系统的频率响应特性的关系
5.4 典型系统的频响特性
5.5 全通系统与最小相位系统
5.6 模拟滤波器的基本概念与设计方法
5.7 系统模拟及信号流图 5.8 系统的稳定性
5.1 系统函数与冲激响应
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
例：下示电路在t=0时开关S闭合，接入信号源x(t),电感起始电流为
零，求电流i(t)。
x(t)
x(t ) Vm sin(t )
Vm X (s) 2 s 2
I ( s) 1 1 1 H ( s) X (s) sL R L s R L
--------- 策动点导纳函数
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
2 s 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
2
I 2 ( s) s 2s 1 Y21 ( s) 2 V1 (s) s 5s 2
2
5.2 零、极点分布与时域响应特性
f (t )
h(t )
F (s )
H (s )
H(s)能否反映h(t)的特性？ 5.2.1 零点与极点的概念