固态电子论-第四章习题参考解答
固体物理习题解答
第十一章固体中的元激发什么是元激发，举出三种元激发，并加以简要说明，以及所满足的统计特性元激发：能量靠近基态的低激发态与其他激发态相比，情况比较简单，这种低激发态可以看出是独立的基本激发单元的集合，这些基本激发单元称为元激发（准离子）。
分为集体激发的准离子和单粒子激发的准粒子。
声子：晶体中原子振动的简正坐标是一系列格波，格波表示原子的一种集体运动，每个格波的能量取值是量子化的，体系的激发态可以看成是一些独立基本激发单元的集合，激发单元就是声子。
声子是玻色型准粒子。
磁振子：铁磁材料在T=0K时基态的原子磁矩完全平行排列，基态附近的低激发态相应于少数自旋取向的反转，由于原子之间的相互耦合，自选反转不会局限在个别原子上，而是在晶体内传播形成自选波，自选波表示自旋系统的集体激发，能量是量子化的，体系激发态可以表示成一些独立基本激发单元的集合，即磁振子。
遵循玻色统计。
金属中电子和空穴：系统激发态可以看成电子能量和空穴能量之和。
电子和空穴都是单粒子元激发。
金属中电子系统的激发态可以看成是电子、空穴准粒子的集合。
半导体中电子空穴对：半导体中电子从价带激发到导带形成电子空穴对。
费米型元激发。
激子：电子和空穴之间由于库伦作用形成激子。
玻色型元激发。
极化激元：离子晶体长光学波与光学波形成的耦合振动模，其元激发称为极化激元。
在相互作用电子系统中可能存在玻色元激发吗？举一例说明等离激元：电子气相对于正电背景的等离子体振荡，振荡的能量是量子化的，元激发即等离激元。
玻色型元激发。
第十二章晶体中的缺陷和扩散分析说明小角晶界的角度和位错间距关系，写出表达式。
相互有小角度倾斜的两部分晶体之间的小角晶界可以看成是一系列刃位错排列而成，D=b/θ，D是小角晶界位错相隔的距离，θ是两部分倾角，b是原子间距。
简述晶体中位错种类及位错方向和滑移方向的关系，哪种位错对体生长有重要影响。
刃位错：位错方向与晶体局部滑移方向垂直。
螺位错：位错方向与晶体局部位移方向平行。
固体物理期末复习题目及答案
09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目至诚学院 信息工程系 微电子学专业姓名：陈长彬 学号:3第一章晶体结构IX 把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。
（1）简立方（2）体心立方（3）面心立方（4）金刚石解：（IX 简立方，晶胞内含有一个原子∏=1,原子球半径为R,立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R, 体积为（2/?）5 ,4 4mR' -J ΓR'V（2町（2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2,原子球半径为R,晶胞边长为"立方晶格的体对角线原子球相切,（3）、面心立方晶胞内含有4个原子24,晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方∖R √2（4）.金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线;长，体对角线为8R = √L4解：对于体心立方，原胞基欠为:■ Zl . —* —* «3 = γ（* + 丿 一 &）对丁•体心立方原胞体枳为：Q = ^∙（^×ξ）所以=r 0∙52体对角线长为4个原子半径，所以Q =体边长为可所以G=4 √Σ4 、 4x-χR' /T=—一 =—ΛB = 0.7464 I 4 1 n∙-JΓR S×-πR /rK 33√3Vi R ）2.证明面心立方和体心立方互为倒格子。
16 " = 034n -πR 3V龙= 0.68根据倒格子旱矢定义，并将体心原胞旱矢代入计灯之，町得:将计算所得到的倒格了•呈矢与外心立方的原胞呈欠相比 较，可知面心立方的倒格子是体心立方。
囚此可以说，曲心立方和体心立方互为倒格子。
3、证明：倒格子原胞体积为y∙ = E≤~,其中VC 为正格子原胞的体积。
对F 面心'工方•原胞皋欠为：金=斗 G + F) S 7=^(k+i)N=斗(7 + j)/ & ■将计只所得到的倒格子堆矢与Ifll 心立方廉胞肚矢相同， 可知体也立方的倒格子妊而心立方。
固体物理第章固体电子论 参考答案
第四章 固体电子论 参考答案1. 导出二维自由电子气的能态密度。
解：二维情形，自由电子的能量是：2πL x x k n =，2πL y y k n =在/k =h 到d k k +区间： 那么：2d ()d Z Sg E E =其中：22()πm g E =h2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：解：由前一题已经求得能态密度：电子气体的化学势μ由下式决定： ()()222E-/E-/001d ()d πe 1e 1B B k T k T L m E N g E L E μμ∞∞==++⎰⎰h 令()/B E k T x μ-≡，并注意到：2s N n L=那么可以求出μ：证毕。
3. He 3是费米子，液体He 3在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。
计算它的费米能E F 和费米温度T F 。
解：He 3的数密度：其中m 是单个He 3粒子的质量。
可得：代入数据，可以算得： E F ＝6.8x 10-16 erg = 4.3x 10-4eV.则：F F E T k =＝4.97 K.4.已知银的密度为310.5/g cm ，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米能变化多少？解：银的原子量为108，密度为310.5/g cm ，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有6.022x 1023个原子，则单位体积内银的自由电子数为在T=0K 时，费米能量为代如相关数据得2/3272227302812(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()F erg s cm E g erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭≈⨯≈ 在≠T 0K 时，费米能量所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为代如相关数据得可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。
5. 已知锂的密度为30.534/g cm ，德拜温度为370K ，试求（1）室温（300K ）下电子的摩尔比热；（2）在什么温度下，锂的电子比热等于其晶格比热？解：（1）金属中每个电子在常温下贡献的比热 2'0()2B V B F k T C k E π= （1） 式中0FE 为绝对零度下的费米能： 202/33()28F h n E m π= （2）锂的密度30.534/g cm ，原子量6.94，每立方厘米锂包含的摩尔数为0.534/6.94，1摩尔物质中包含 6.022x 1023个原子，每个锂贡献一个电子，则每立方厘米中的电子数已知将数据代入（2）得在室温（300K ）下，0.026B k T eV =，由（1）式可以求得电子的摩尔比热代入相关数据得（2）电子比热只在低温下才是重要的。
固体物理CH4-习题解答
第四章习题试解1. 一维单原子晶格,在简谐近似下,考虑每一原子与其余所有原子都有作用,求格波的色散关系.解：设原子质量为m ,周期为a ,第n 个原子偏离平衡位置的位移为μn ,第n-k 与n+k 个原子偏离平衡位置的位移分别为μn-k ,μn+k ,其与第n 个原子间的弹性恢复力系数为β-k ,βk .n-k n-1 n n+1 n+k显然：k k ββ-=第n 个原子受n-k 和n+k 原子的合力为：第n 个原子受所有原子的合力为：振动的运动学方程可写为：代入振动的格波形式的解()i qna t nq Ae ωμ-= 有2()[()][()]()()(2)i qna t i q n k a t i q n k a t i qna t k km i Ae Ae Ae Ae ωωωωωβ-+----=+-∑色散关系即为2.聚乙烯链…—CH ＝CH —CH ＝CH…的伸张振动,可以采用一维双原子链模型来描述,原胞两原子质量均为M,但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为β1和β2,原子链的周期为a .证明振动频率为证：如图,任意两个A 原子〔或B 原子〕之间的距离为a,设双键距离b 2,单键距离b 1 …—CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH …2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 AB Ab2 b1只考虑近邻作用的A,B 两原子的运动方程为A ：222121221()()n n n n n M μβμμβμμ+-=---B ： 21122212212()()n n n n n M μβμμβμμ++++=---将格波解()2i qna t n Ae ωμ-= 和2[()]21i q na b t n Be ωμ+-+= 代入以上运动方程,有 化简得：1221212()()0iqb iqb M A e e B ββωββ-+--+=同理：1221212()()0iqb iqb e e A M B ββββω--+++-=化为以A 、B 为未知数的线性齐次方程组,它的有解条件是从而得到3.求一维单原子链的振动模式密度g<ω>,若格波的色散可以忽略,其g<ω>具有什么形式,比较这两者的g<ω>曲线.解：一维情况q 空间的密度约化为L/2π,L=Na 为单原子链的长度,其中a 为原子间距,N 为原子数目.则在dq 间隔内的振动模式数目为2L dq π.dω频率间隔内的振动模式数目为 等式右边的因子2来源于ω〔q 〕具有中心反演对称,q ﹥0和q ﹤0区间是完全等价的.从而有 对于一维单原子链,只计入最近邻原子之间的相互作用时,有其中ωm 为最大频率.代入g <ω>得考虑ω=cq 〔德拜近似〕由q →0〔德拜近似下〕, 有111()222m m q qa qa a q ωωω==⋅=⋅ 即12m c a ω=⋅ 则有：12m d a dq ωω=⋅ 121()12m m NaN g a ωππωω==⋅ 〔常数〕考虑ω=ω0〔爱因斯坦近似〕显然有()000g ωωωωω∞=⎧=⎨≠⎩ 4.金刚石〔碳原子量为12〕的杨氏模量为1012N·m -2,密度ρ=3.5g·cm -3.试估算它的德拜温度ΘD =？ 解：德拜温度D D B k ωΘ=223231()4()(2)2j V V g c c c ωωπωππ==, 2233()2V g c ωωπ== 近似看作弹性介质时,1/2410/C m s ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭杨氏模量密度 每摩尔原子数目为N=6.02×1023,摩尔质量m=12g,则摩尔体积代入,得ωm =57.97×1013最后得 ΘD =4427K5.试用德拜模型求晶体中各声频支格波的零点振动能. 解：根据量子理论,各简谐振动的零点能为12ω 德拜近似下2233()2V g C ωωπ= 总零点能为034232301()2331444m m m E g d VV d C C ωωωωωωωωππ===⎰⎰ 由自由度确定的21/3[6()]m NC V ωπ=代回上式中6.一根直径为3mm 的人造蓝宝石晶体的热导率,在30K 的温度达到一个锐的极大值,试估计此极大值.〔蓝宝石在T ﹤﹤ΘD =1000K 时,c V =10-1T 3J·m -3·K -1〕解：m D B k ωΘ=→ωm =1.31×1014λ与晶格常数10-10m 近似时约为2.09×103,近似作为平均声速代入 热导率35.643103c l υκυ==⨯ 7.Na 和Cl 的原子量分别为23和37.氯化钠立方晶胞边长为0.56nm,在[100]方向可以看做是一组平行的离子链.离子间距d=0.28nm.NaCl 晶体的杨氏模量为5×1010N·m -2,如果全反射的光频率与q=0的光频模频率相等,求对应的光波波长.解：当q=0时,光频支频率为杨氏模量10510a β=⨯,且90.2810a -=⨯m故201.7910β=⨯,再同两原子质量一同代入频率式则波长02c πλω==1.53×10-14m8.立方晶体有三个弹性模量C 11,C 12和C 44.铝的C 11=10.82×1010N·m -2,C 44=2.85×1010N·m -2,铝沿[100]方向传播的弹性波纵波速度l υ=,横波速度t υ=,Al 的密度ρ=2.70×103kg·m -3.求德拜模型中铝的振动模式密度g<ω>.解：由题条件知36.3310l υ=⨯,33.2510t υ=⨯若所考虑的晶体体积为V,则。
固体物理金属电子论作业答案
E48 1040 F m 2 105V m 1 9.25 1017 m 1.6 1019 C
Cl+离子位移：
l
Eeff
q
3.29 1040 F m 2 105V m 1 2.06 1016 m 1.6 1019 C
2m 2 9.1110 kg
8.711019 J 5.44eV
EF 0 8.7110 19 J TF 63116 K 23 k B 1.38 10 J / K
2）费米波矢
k F 3 n
2
1/ 3
(3 3.142 5.86 1022 cm3 )1/ 3 1.20 108 cm1
•传统硅基集成电路的栅介电材料和互连介质材料均为SiO2，但随集成度的提高， 需要提高栅介电的介电常数，而互连介质的介电常数最好能降低。根据克劳修斯莫索提关系，请试给出你认为可行的技术措施。 答：根据克劳修斯-莫索提关系，介电常数与原子密度和原子极化率有关。 提高介电常数：掺N(致密度或极化率提高）或采用其它氧化物（ZrO2、HfO2等） 降低介电常数：掺F（利用F离子强束缚电子特性降低极化率）或制备多空SiO2或 采用有机材料。
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
固体物理吴代鸣第四章习题答案
23
1300
1 . 79 10
8
二者差约
Байду номын сангаас
3 个量级。
4 2 试求产生 热容的贡献。
解：产生
n 个肖脱基缺陷后晶体体
积的变化以及对晶体
n 个肖脱基缺陷就意味着
有 n 个原子从晶体内移动 N 个增加到 N n 个，
到表面上，这样，晶格
的格点就由原来的
令原来的晶体体积为
V 0，那么每个原子所占的
4－ 1铜的空位形成能约为 试估计接近熔点（ 两者的数量级。
1 . 26 eV ，间隙原子的形成能约
为 4 eV ，
1300 K ）时空位和间隙原子的
浓度，并比较
解：对于空位，主要由
u k BT
肖脱基缺陷引起，
n 空 Ne
空位浓度
n空 N
u k BT
e
e
1 . 26 1 . 6 10 1 . 38 10
体积为
V0 N
，
后来的体积
n V V0 n V0 1 N N V0
体积变化为
V V0
V0 N
n
能量变化为 nu ，
产生 n 个肖脱基缺陷，晶体的
而 CV
E T V
CV
n E nu u T T V T V
23
19
1300
1 . 32 10
5
对于间隙原子，由夫伦
1 u 2 k BT
克尔缺陷引起：
u 2 k BT
n 间 ( NN ) 2 e
'
固体物理第四章作业答案
x
na
b
x
na
i 2 n x
b e a dx
Байду номын сангаас
2V0 a
cos
n
2 b a
• 按照近自由电子模型，第一布里渊区边界的能隙
Eg 2 V1
Eg
2 V1
2 2V0 a
cos b
a
4V0 a
cos 2b
a
•
第一布里渊区
a
k
a
， k 的个数为：
• （2）试讨论分别同A、B两种材料组成的一维超晶格量子 阱的能带变化。*(如下图)
ECA A
B
EVA
8a a
ECB
EVB
克朗尼格-朋奈模型 (基泰尔，固体物理导论，P119)
克朗尼格-朋奈模型得到结果：
超晶格得到结果与克朗尼格-朋奈模型类似，但是不同的是上 图中每段红色的能带都会分裂成八条子能带。
r
eik r u k
r
uk r uk r Rl
知
2
u k
r
2
由此可知，电子密度分布具有周期性。
• 思考题
（1）对有限尺寸晶体（如量子点，量子线或量子井），你 认为其晶体能带相对于理想晶体会有什么变化？
周期性边界条件破坏，边界效应开始变得明显能带不再是准 连续的。
第四章作业
1. (1)能带论的结论是什么?
(2)这个结论是考虑了晶体内部电子运动受到了什么作用后得 出的?
(3)以一维晶体为例, 如果作自由电子近似,把上述作用看作是 微扰, 应用非简并微扰理论得出电子的能量与k的关系是:
固体物理答案第四章1
化简为习惯的表示式
E0
3 5
EF0
4.8 对于单位面积的样品，二维电子气的状态密度为g 4m
h2
试求二维电子气的比热。
解： 设g(E)为单位体积样品的状态密度，当系统由0K加热直至 温度T时， 它的总能量
ET
4m
Ef (E)g(E)dE
0
h2
2m
Ef (E)dE
0
h2
E 2 f (E) dE
k 空间中，状态密度等于V，计入自旋，在波矢 k ~ k dk
的球壳内的状态数为 2V 4k 2dk ， 由此得到，费密球内
电子的总能量
E0
k kF
h2k 2 2m
2V
4k 2dk
式中 kF 是费密球半径。当V比较大时，波矢 k 在 k 空间的
分布非常密集，可以看作准连续，上式的求和可用积分代替，
L 因而在波矢空间每个状态的代表点占有面积为
2π
2
。
L
在k
~
k
dk 面积元
dk
dk x dk y
中含有的状态数为
L 2π
2
dk 。
每个波矢状态可容纳自旋相反的两个电子，则在面积元 dk 中
容纳电子数为
dz 2
L
2
dk
2
L
2 2 π kdk
2π
2π
又
E 2k2 2m
dE 2k dk m
所以E到E+dE之间的状态数
4π
L 2
2π
m 2
dE
L2m π 2
dE
（2）在E到E+dE内的电子数为dN
dN f Edz
固体物理第四章答案
y
b1+b2 b2 3 2 1 b1
2 a
-b1
2 a
-b2
x
-b1-b2
4.11设一维晶体晶格常数为a，系统的哈密顿量为 其中
H
2 d2
2m dx
2
V ( x),
V ( x) A ( x la)
l 1
N
若已知孤立原子的势和波函数为
Va A ( x la), a a e
J1 * [V ( x) Va ]a dx a
Na
* ( x na)[ A ( x na) A ( x na a )] a ( x na a )dx a
Na n 1
N
* ( x na)[ a
Na
n n1
1一维周期场中电子的波函数
满足 k ( x ) Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：
(a) k ( x) sin
x
a 3 x a
(b) k ( x) i cos (c) k ( x)
l
f ( x la)
试求电子在这些态的波失。
jka 解：根据Bloch定理 k ( x a) e k ( x) 可得：
Na N Na n 1 N
* ( x na)[ A ( x na) A ( x na)]a ( x na)dx a * ( x na)[ A ( x na) ]a ( x na)dx a
Na n n
根据 函数的性质，上式的值为0。而积分
=-U 上面计算中取 kn (
2 2 , ) ，Brayy 反射出现的第一布里渊区的四个顶点处。能隙为 2U。
固体物理第4章 固体电子论 2011 参考答案
第四章 固体电子论 参考答案1. 导出二维自由电子气的能态密度。
解：二维情形，自由电子的能量是：22222()()22x y k E k k mm==+k2πLx xk n =，2πLy yk n =在/k =到d k k +区间：22222d 2d 2π(2π)2ππS Lm L Z kdk dE=⋅=⋅=k那么：2d ()d Z Sg E E=其中：22()πm g E =2. 若二维电子气的面密度为n s ，证明它的化学势为：2π()ln exp 1s B B n T k T m k T μ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦解：由前一题已经求得能态密度：22()πm g E =电子气体的化学势μ由下式决定：()()222E-/E-/01d ()d πe1e1B B k Tk TL mE N g E LE μμ∞∞==++⎰⎰令()/B E k Txμ-≡，并注意到：2s Nn L =()12/1d πB xB s k Tk T mn exμ-∞-=+⎰()2/d π1B x B xxk Tk Tm e ee μ∞-=+⎰2/lnπ1BxB xk Tk T m ee μ∞-=+()/2ln 1πB k TB k T m eμ=+那么可以求出μ：2π()ln exp 1s B B n T k T m k T μ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦证毕。
3. He 3是费米子，液体He 3在绝对零度附近的密度为0.081 g ／cm 3。
计算它的费米能E F 和费米温度T F 。
解：He 3的数密度：N N M N n V M VMmρρ==⋅=⋅=其中m 是单个He 3粒子的质量。
()1123233π3πF k n m ρ⎛⎫== ⎪⎝⎭可得：2222322/33π(3)22F E n mm m ρπ⎛⎫== ⎪⎝⎭代入数据，可以算得： E F ＝6.8x 10-16erg = 4.3x 10-4eV .则：FF E T k =＝4.97 K.4.已知银的密度为310.5/g cm ，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时，银金属中电子的费米能变化多少？解：银的原子量为108，密度为310.5/g cm ，如果1个银原子贡献一个自由电子，1摩尔物质包含有6.022x 1023个原子，则单位体积内银的自由电子数为2232310.55.910()108/6.02210n cmmρ-===⨯⨯在T=0K 时，费米能量为202/3328FhnEm π=（）代如相关数据得2/3272227302812(6.6310)()3 5.910()29.110()8 3.148.8710() 5.54()Ferg s cmEg erg eV -----⎛⎫⨯⋅⨯⨯=⎪⨯⨯⨯⎝⎭≈⨯≈在≠T0K时，费米能量2020]12B F FFK TE E E π=[1-（）所以，当温度从绝对零度升到室温（300K ）时, 费米能变化为202012B F FFk TE E E π-=-（）代如相关数据得4F FE E -⨯⨯-⨯≈⨯≈2-162-12-163.14(1.3810300)=-128.8710-1.610(erg)-10（eV ）可见，温度改变时，费米能量的改变是微不足道的。
春季-固体物理-第四章习题解答参考解析PPT精品课件
k 2 a n 1 ,n 0 , 1 , 2 ,
k 2 n 1 , n 0 , 1 , 2 , a
在第一布里渊区内，ka，,a得到，
0
2021/3/1
k
a
a
k
a
1
（2）
电子波函数 k(x)ico3sax
k(xa)icos3a(xa)icos3ax3
ico3sxco3sisin3xsin3
一组 (k1,k2代,k表3一) 个电子状态点，波矢点均匀分布。
b3
b2
b1 波矢空间原胞体积，
k N b 1 1 N b 2 2 N b 3 3 N 1 ( 2 ) 3 ( 2 V ) 3
波矢密度，
2021/3/1
k
V
(2 )3
9
4.4 用能带图说明导体、绝缘体、半导体的导电性质
电阻率 半导体
价带
0
T1
T2
温度 14
4.5
E (k)m 2 2 8 7 a co k)s a8 1 (co 2 ks ) a (
（1） 由极值条件找到极值点，
d d E k m 2 2 a a sikn ) a a 4 ( si2 k n ) a (0
sikn ) a ( 1 si2 k n)a (sikn ) a ( 1 2 sikn )c a (o k)a s(
i 1,2,3
7
eikNiai 1
kN ia i2h i
k1
2 h1
N1a
k2
2 h2
N2a
k3
2 h3
N3a
(h1 0, 1, 2, ) (h2 0, 1, 2, ) (h3 0, 1, 2, )
固体物理第三章第四章习题
π ，试求： a
2 k x2 k y k z2 ℏ 2 + + ) 9、如果 E ( k ) = Ek + ( ，求能级的状态密度的表示。 mx k ( x ) 应当满足布洛赫定理。若晶格常数是 a，电 子波函数为 （ⅰ）ψ k ( x) = sin π
x a
（ⅱ）ψ k ( x ) = i cos
其中 kF 是费米波矢， kM 是波矢空间原点到第一布里渊区边界的最小距离 。讨论 你的结果与金属钠（bcc）和铜（fcc）的费密面有什么关系。 3、二价金属能带的重迭
π π （a）对于二维简单正方点阵，证明第一布里渊区角隅上的点 ( , ) 的自由电子 a a π 动能是区边中心点 ( ,0) 的二倍。 a
2 2 � ℏ2 k x ky + k z2 ( + ) ，求导带极值附近的状态密度。 旋转椭球。 E ( k ) = 2 ml mt
7、自由电子的费密能量 （a）导出绝对零度下金属自由电子费密能量的表达式； （b）一个简单立方点阵的单价金属， 已知点阵常数 a=3Å， 每个原子只贡献一个 传导电子。计算费密能量 EF、 费密波矢 kF、费密温度 TF 及费密面上电子的波长；
（c）计算简单立方点阵第一布里渊区中被电子填充的状态所占的分数。
0 8、 （1）一个金属中的自由电子气在 0K 时能级被填充到 k F =
(6π 2 )1 / 3 3 (a 为每个 a
原子占据的体积)，计算每个原子的价电子数目。 （2）导出自由电子气在 T=0K 时费密能的表达式，并计算 Cu 的费密能（Cu 的 原子序数 Z 为 29，原子量 Ma 为 63.5，密度ρ为 8.94×103kg/m3，电子的质量 m 为 9.11×10-31kg， ℏ =1.05×10-34Js，NA 代表阿伏伽德罗常数） 。
黄昆固体物理习题-第四章 能带理论
4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带函数)(k E s先求面心立方晶格s 态原子能级相对应的能带E s （k ）函数，利用公式：∑=⋅−−−=NearestR R k i s s s s seR J J k E)()(0ε解：0*01()()[()()]()}0s i s i J J R R U V d ϕξξξϕξξ==−−−>∫ 01()s s ik R ss R NearestE k J J eε−⋅==−−∑ s 原子态波函数具有球对称性，则：解：只计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级相对应的能带函数表示为：∑=⋅−−−=NearestR R k i s s ss seR J J k E )()(0ε4.7 有一一维单原子链，原子间距a ，总长度为L ＝Na 1) 用紧束缚近似方法求出与原子s 态能级相对应的能带函数2) 求出其能带密度函数的表达式3) 如每个原子s 态中只有一个电子，计算T=0K 时的费密能级和处的能态密度0F E 0FE )(E N二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中。
如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)。
这样，晶体将只有绝缘体性质。
然而由(2)可知，B点的能量比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的。
事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Fermi面。
因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能。
实际上，多数的二价金属具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电。
4.8题解答完毕。
黄昆固体物理习题-第四章 能带理论
4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带函数)(k E s先求面心立方晶格s 态原子能级相对应的能带E s （k ）函数，利用公式：∑=⋅−−−=NearestR R k i s s s s seR J J k E)()(0ε解：0*01()()[()()]()}0s i s i J J R R U V d ϕξξξϕξξ==−−−>∫ 01()s s ik R ss R NearestE k J J eε−⋅==−−∑ s 原子态波函数具有球对称性，则：解：只计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级相对应的能带函数表示为：∑=⋅−−−=NearestR R k i s s ss seR J J k E )()(0ε4.7 有一一维单原子链，原子间距a ，总长度为L ＝Na 1) 用紧束缚近似方法求出与原子s 态能级相对应的能带函数2) 求出其能带密度函数的表达式3) 如每个原子s 态中只有一个电子，计算T=0K 时的费密能级和处的能态密度0F E 0FE )(E N二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中。
如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)。
这样，晶体将只有绝缘体性质。
然而由(2)可知，B点的能量比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的。
事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Fermi面。
因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能。
实际上，多数的二价金属具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电。
4.8题解答完毕。
固体物理第四章习题及答案
第四章 晶体的缺陷思 考 题1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？[解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量L L /∆与X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /∆存在差异， 是何原因？[解答]肖特基缺陷指的是晶体内产生空位缺陷但不伴随出现填隙原子缺陷, 原空位处的原子跑到晶体表面层上去了. 也就是说, 肖特基缺陷将引起晶体体积的增大. 当温度不是太高时, 肖特基缺陷的数目要比弗仑克尔缺陷的数目大得多. X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /Δ, 只是热膨胀引起的晶格常数相对变化量. 但晶体尺寸的相对变化量L L /Δ不仅包括了热膨胀引起的晶格常数相对变化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶体体积的增大. 因此, 当温度不是太高时, 一般有关系式L L Δ>a aΔ.3.KCl 晶体生长时，在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液，生长的KCl 晶体的质量密度比理论值小，是何原因？[解答]由于+2Ca 离子的半径(0.99o A )比+K 离子的半径(1.33oA )小得不是太多, 所以+2Ca 离子难以进入KCl 晶体的间隙位置, 而只能取代+K 占据+K 离子的位置. 但+2Ca比+K 高一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据+K 离子的一个+2Ca 将引起相邻的一个+K 变成空位. 也就是说, 加入的CaCl 2越多, +K 空位就越多. 又因为Ca 的原子量(40.08)与K 的原子量(39.102)相近, 所以在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液引起+K 空位, 将导致KCl 晶体的质量密度比理论值小.4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?[解答]形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.5.金属淬火后为什么变硬?[解答]我们已经知道 晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?[解答]在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?[解答]由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, −+B A 离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率μ. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为+v A ν和+i A ν, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为+v A E 和+i A E , 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为−v B ν和−i B ν, 负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别−v B E 为−iB E , 则由(4.47)矢可得 T k E B A A B v A v v e Tk ea /2+++−=νμ, Tk E B A A B i A i i e T k ea /2+++−=νμ,T k E B B B B v B v v e Tk ea /2−−−−=νμ, Tk E B B B B i B i i e T k ea /2−−−−=νμ.由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即+v A E <+i A E , −v B E <−i B E . 由问题 1.已知, 所以有+v A ν<+i A ν, −v B ν<−i B ν. 另外, 由于+A 和−B 的离子半径不同, 质量不同, 所以一般−+≠B A E E , −+≠B A νν.也就是说, 一般−−++≠≠≠i v i vB B A A μμμμ. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同.9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?[解答]扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？[解答]填隙原子机构的自扩散系数 Tk E u B ae D /)(0222221+−=ν,空位机构自扩散系数Tk E u B ae D /)(0111121+−=ν.自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, 1u <2u ,1E <2E , 所以填隙原子机构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?[解答]与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是N n /1, 平均来说, 填隙原子要跳1/n N 步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费T k E u B e n N t /)(0221211+==ντ的时间才被空位复合掉.由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间T k E u u B e n n N P /)(022********++===νττ.由以上两式得2/2n Ne t T k u B ==τ>>1.这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.12.一个空位花费多长时间才被复合掉？[解答]对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时,它才扩散一步, 所需等待的时间是1τ. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是N n /1, 所以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间T k E u B e n N t /)(0111111+==ντ.13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?[解答]填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成RTN T k e a e a D B /20/2002121εενν−−==.可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率0ν, 晶体结构(晶格常数a ), 激活能(ε0N )三因素有关.14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]正常晶格位置上的一个原子等待了时间τ后变成填隙原子, 又平均花费时间21τn N后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中2τ是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间21ττn N t +=.因为τ>>21τn N ,所以填隙原子自扩散系数近似反比于τ. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间τ, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多.16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？[解答]目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.17.−+B A 离子晶体的导电机构有几种?[解答]离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. −+B A 离子晶体中有4种缺陷: +A 填隙离子, −B 填隙离子, +A 空位, −B 空位. 也就是说, −+B A 离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变成了空位. −+B A 离子晶体中, +A 空位附近都是负离子, −B 空位附近都是正离子. 由此可知, +A 空位的移动实际是负离子的移动, −B 空位的移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, +A 填隙离子和−B 空位的漂移方向与外电场方向一致, 而−B 填隙离子和+A 空位的漂移方向与外电场方向相反.。
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章
4.1，根据 k黄昆 固体物理 习题解答第四章 能带理论= ± π 状态简并微扰结果，求出与 E − 及 E +相应的波函数ψ − 及ψ+?，并说明它 a们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2说明能隙的来源(假设V n =V n *)。
＜解＞令 k= + π ， k ′ = − π ，简并微扰波函数为ψ=A ψk( ) + B ψk( )a*a⎡E k ( ) − E A V B n= 0( )V A n+ ⎡E k − E B =取 E E +带入上式，其中 E += E k0( )+ V nV(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是A ⎡ n π− n π ⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =ixe a − e i x a =2A sin n x+⎣k⎢ L ⎣⎥ ⎦L a 取 E E − ， E −=E k0( )− V nV A n= −V B n,得到A BA ⎡ i nπx−i n πx⎤πψ = A ⎡ψ 0( )−ψk0′( )⎤ =e a − ea=2A cos n x−⎣ k⎦⎢ ⎣L a由教材可知，Ψ+及 Ψ − ν ( ) 为零．产生驻波因为电子波矢n kπ=时，电子波的波长aλ =2π=2a ，恰好满足布拉格发射条件，这kn时电子波发生全反射，并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入 能量。
4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π= 的 0 级波函数。
2a11r2π1π 2π1i2π1xi mx i x i mx(m+ )ψ* ＜解＞( ) = ikx=eikx ae e= e2a⋅ea= e a 4k L⋅π=L*Lπ1 i2xL第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a2ab b′则b′ →,k2π⋅= −L2π, m= −1,i2πx i π∴ψ *( )= 13πi xe第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a2π2π 1 π2π 1 5π第三能带：c′ →, ⋅=aa即m =,*1,ψk( ) = Li x i xe2a⋅ea= L i xe2a解答（初稿）作者季正华- 1 -4.3 电子在周期场中的势能．黄昆 固体物理 习题解答1 2 2 2 2 m ω ⎡b − −( x na ⎤) ,当na b x na b + V x ( ) =0 ，当(n-1)a+b ≤ ≤x na b −其中 d ＝4b ， ω 是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带 度．＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．(2)势能的平均值：由图可见， V x ( ) 是个以 a 为周期的周期函数，所以V x ( )= 1∫ V x L( )=1∫a( )=1a b( )L a ba ∫−b题设 a = 4b ，故积分上限应为 a b − = 3b ，但由于在 [b b ,3 ] 区间内[− , ] 区间内积分．这时， n = 0 ，于是V x ( ) 0=，故只需在= 1∫b= m ω2∫b22=m ω2 ⎡ 2b− 1x 3b ⎤ = 1m ωb 2V( )b − x dx )( b x ⎢ −b −b⎥ 。
第四章固态电子论基础
第四章固态电子论基础
第四章 固态电子论基础
§4-4 金属的热容、电导与热导
利用索末菲的自由电子气模型，特别是根据金属的 费米属性，我们便可以很容易地解释金属的热容、
第四章固态电子论基础
• 金属的热容
金属是由金属离子构成的晶格与价电子（自由电子） 组成的。金属的热容应该包括晶格振动的贡献（即 声子气的贡献）和自由电子气的贡献两部分。在常 温下电子气的热容远远小于声子气的热容，故可以 忽略电子气对热容的贡献，金属的热容主要以声子 气热容的形式表现出来，在常温下为一与温度无关 的常数，满足杜隆—帕替定律。
另外，人们还发现一些金属化合物具有很大的电子热 容系数γ，其数值比一般金属的电子热容系数高出近 2～3个数量级。包括UBe13、CeAl3、CeCu2Si2和 CeCu6等，被称为重费米子金属。一般认为，由于近 邻离子中f电子波函数的弱重叠效应，使得这些化合物 中的f电子所具有的惯性质量可以达到1000 m左右。有 关重费米子金属的研究是固体物理中的研究热点之一。
根据分析，当外加电场恒定时，金属波矢空间电子 占据态的球形分布就会将越来越偏心，即净电流将 随时间不断地增加。实际上，由于金属中的杂质、 缺陷形成的势场以及声子等都会对电子的运动产生 散射，这些散射导致Δk并不会随时间t无限制地增加。 当外场的漂移作用与散射作用达到动态平衡时，电 子占据的球形分布将保持稳定的偏心。
第四章固态电子论基础
如果金属处于均匀恒定的外电场E中，则金属中的
每个电子都会受到电场力F=－eE的作用，电子的
动量按照下面规律变化：
dp dk eE dt dt
（4-55）
即：
dk
eE
dt
（4-56）
经过t时间后，电子波矢的增量为：
固体物理第二、四、五章-电子论复习与习题
(kBT
)2
'
(
EF0
)
1
一维： ( E )
dZ ( E)
L(2m) 2
1
E2
1
CE 2
dE
'
(
E
)
1
CE
3 2
2
3
三维： ( E )
dZ ( E ) dE
V (2m)2 2 23
1
E2
1
CE 2
'(E)
1
1
CE 2
2
EF
EF0
6(
2
EF0
)
(kBT
体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。
电子论复习 第四章 电子能带论
3、紧束缚近似
（2）紧束缚的计算
例：用紧束缚方法处理体心立方晶系，求出： 1）s态电子能带；2）画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线； 解：对于体心立方，参考点为（0，0，0），则有8个最近邻
( a , a , a) 222
（3）T=0K时的计算
系统的自由电子总数为
N
0
f
E
E
dE
系统的总能量：
U0
Ef E E dE
0
EF0
h2 2m
3
2
N V
2
3
h2 2m
3 2n
2 3
电子论复习 第二章 自由电子论
2、Sommerfeld展开的应用
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导带电 子浓度 由本征 激发决 定
p0
(cm-3)
杂质全部电离，价带空穴浓度等 于受主杂质浓度
随温度 增加，本 征激发载 流子浓度 越来越大
NA
低 温 弱 电 离 区
中 间 电 离 区
饱和区
过 渡 区
高 温 区
0
200
400
600
T(K)
导带底附近电子状态密度，
dZ V 23/ 2 2/3 2 1/3 3/ 2 1/ 2 gc ( E ) s ( m m ) ( E E ) t l c dE 2 2 3
V (2mdn )3/ 2 1/ 2 ( E E ) c 2 2 3
mdn s2/3 (ml mt2 )1/3
E EF k0T
泡利不相容原理的限制作用可以忽略不计（在
E 附近，存在大量的没有被粒子填充的
空状态，当少量粒子填充这些状态时，发生泡利不相容的几率很小），由费米统计分布 给出的几率值与波费米统计分布退化为玻尔兹曼统计分布给出的几率值非常接近。
E EF 1 exp k0T E EF 1 exp k0T E A exp k T 0
等能面 E ~ E dE 的体积，
d
d 2 dE 3 (8mt2 ml )1/ 2 ( E Ec )1/ 2 dE dE
导带底附近电子状态数，
dZ 2s
s4
V
2
3
2 2 1/2 1/2 (8 m m ) ( E E ) dE t l c 3
-- 鍺导带4个等效极值
F EF n T
F ——半导体电子系统自由能
n ——半导体电子浓度
半导体的费米能级是半导体电子填充量子态能量水平高低的一个标尺。
对于本征半导体，费米能级位于禁带中央附近。在绝对零度下，费米能级以下填满了
电子，费米能级以上没有被电子填充。在绝对零度以上，费米能级以下的价带顶附近的 少部分电子被激发到导带，费米能级基本不变。
第6题 必须通过掺施主杂质补偿受主杂质，才能将原来掺受主杂质浓度 N A 1016 cm3 的该P型半导体变成N型半导体。
根据，
n0 ND N A Nc e
Ec EF k0T
费米能级位于导带底下面0.2eV处的导带电子浓度为，
n0 N c e
Ec EF k0T
2.8 10 e
n 0 3 3/2
h
2.8 1019 cm3
19 1017 cm3、 10 cm3 费米能级分别为， 当 ND 1015 cm3、 ，
Nc Ec EF k0T ln ND Nc Ec EF k0T ln ND N Ec EF k0T ln c ND
室温下的本征载流子浓度，
ni N c N
1/ 2
e
Eg 2 k0T 18 1/ 2
1.04 10 6.0 10
19
e
0.67 20.026
1.9 1013 cm3
第13题 题中给出的掺杂浓度为非简并杂质浓度。 500K温度下，杂质全部电离，本征激发载流子数量超过杂质电离的贡献。
Ei EF p0 ni exp k T 0
（1）
（2）
对于P型半导体，空穴是多子，电子是少子，
p0 n0
由（1）、（2）公式得出，P型半导体的费米能级在禁带中央以下，N型半导体的费
米能级在禁带中央能级以上。
第8题
100h2 Ec 2 8mn L
导带
h 2
Ec
1000 3L3
第9题
费米分布函数，
f (E)
1 E EF 1 exp kT 0
E EF 1.5k0T , f ( E) 18.2%
E EF 4k0T , f ( E) 1.8%
E EF 10k0T , f ( E) 0.045%
波尔兹曼分布函数，
E EF f B E exp k T 0
E EF 1.5k0T , f B ( E) 22.3%
E EF 4k0T , f B ( E) 1.83%
E EF 10k0T , f B ( E) 0.045 %
n0 p0 ni 3.2 1015 cm 3
ni N c N
1/ 2
e
Eg 2 k0T 0.67
23
1.04 10 6.0 10
19
18 1/ 2
e e
2 1.3810 0.67 20.043
500 /(1.61019 )
2.8 1019 0.026 ln 15 10 2.8 1019 0.026 ln 17 10 2.8 1019 0.026 ln 19 10
0.27eV 0.15eV 0.026eV
第10题
砷化镓的导带电子有效状态密度，
2 m k T 2
n 0 3/2
Nc
h3
2 0.068 9.1 10 1.38 10 2 6.62 10
31 34 3
23
300
3/2
6.46 1077 2 4.45 1023 / m3 4.45 1017 / cm3 100 2.90 10
f (E)
第3题 本征半导体或者掺杂浓度比较低的非简并半导体，其费米能级 EF 一般位于禁带中，离 导带底或价带顶都比较远。当电子占据导带（或空穴占据价带）中的能级
E 时，一般都
满足 E EF k0T ，可以由玻尔兹曼统计分布代替费米统计分布来描述导带电子或价 带空穴的统计分布。
第4题 费米能级 EF 是在一定温度下，半导体电子系统增加或减少一个电子所产生的系统自 由能的变化量。
2 2 2 k3 k2 2 k1 E ( k ) Ec 2 mt ml 2 2 k3 k12 k2 1 2mt E Ec 2mt E Ec 2ml E Ec 2 2 2
旋转椭球体积，
4 4 abc 3 (8mt2 ml )1/ 2 ( E Ec )3/ 2 3 3
--导带底电子状态密度有效质量
第12题 题中给出的掺杂浓度为非简并杂质浓度。 室温下，杂质全部电离，本征激发载流子数量对导带电子浓度和 价带空穴浓度的贡献忽略不计，于是得到导带电子浓度，
n0 N A N D 5 1015 2 109 5 1015 cm 3
第2题 费米统计分布规律与玻尔兹曼统计分布规律的主要差别 费米统计分布考虑粒子系统服从泡利不相容原理（即粒子不能具有相同的状态）， 玻尔兹曼统计分布不考虑泡利不相容原理的作用。 费米统计分布规律与玻尔兹曼统计分布规律的形式差别 费米统计分布 对于服从泡利不相容原理的粒子系统，温度为 T 的热平衡状态下，粒子占据能级 E 的几率： k0 -- 玻尔兹曼常数 1
f E
e E EF / k0T 1
EF
-- 费米能级（系统化学势）
玻尔兹曼统计分布 对于不服从泡利不相容原理的粒子系统，温度为 级 E 的几率：
T 的热平衡状态下，粒子占据能
f B E Ae
E k0T
A -- 常数
费米统计分布规律退化为玻尔兹曼统计分布规律的情形 若粒子占据的能量 E 远离 EF 费米能级时，
Ec
导带底附近 dE 中的电子状态数，
3/ 2 (2mn ) 1/ 2 dZ 4 V ( E E ) dE c 3 h
半导体单位体积导带底附近 dE 中的电子状态数，
3/ 2 (2mn ) dZ 1/ 2 4 ( E E ) dE c 3 V h
100h2 半导体单位体积中，Ec ~ Ec 的电子状态数， 2 8mn L
1.04 1019 6.0 10
18 1/ 2
7.9 1018 4.1 104 3.2 1015 cm3
第14题
300K下，N型硅半导体费米能级，
ND EF Ec k0T ln N c
Nc 2 m k T 2
第11题 锗半导体的导带结构：
i j k 导带底波矢 k0 a
导带底附近等能面是长轴在<111>方向的8个旋转
椭球面，椭球中心在布里渊区表面，1/2椭球在第一 布里渊区内，第一布里渊区共4个等价椭球。
(111)
[100] 椭球长轴
k3
椭球短轴
k1
k0
k2
导带底附近电子能带，
对于掺施主杂质的半导体，绝对零度下，费米能级位于杂质能级和导带底之间1/2的
位置。随着温度增加，杂质由部分电离到全部电离、本征激发由忽略不计到占主要影响 ，对于的半导体的费米能级不断向禁带中央能级趋近。 对于掺受主杂质的半导体可以类型讨论。
第5题 设该半导体只掺一种受主杂质，杂质浓度为 N A ，随着温度变化，P型半导体价带 空穴浓度的变化情况如下图所示，
砷化镓的价带空穴有效状态密度，
N 2
2 mp k0T
h
3
3/ 2
2
2 0.5 9.11031 0.026 1.6 1019 6.62 1034
3
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