工程优化 第五章 线性规划2
工程优化设计-线性及二次规划
xp=bq/aq= min{bjp/ajp, ajp>0, jB}; 最先到零：xj=bjp-xpajp=0 写成一维搜索格式是: Xk+1=Xk+xpdk, dk=(-a’, 0,…,0,1,0,…,0)T.
x=[B-1b-B-1NxN, xN]=[B-1b, 0]+[-B-1NxN, xN] =Xk + [-B-1NxN, xN] =Xk+xpdk xN=[0 … 0 xp 0 … 0]T =xp[0…0 1 0…0]T=xpep dk=[-B-1Nep, 0 … 1 …0 ]
单纯形方法用逐步消去法替代Bk求逆.
为什么叫单纯形算法？ 标准形式: min f(x)=cTx=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. Ax= a1x1+a2x2+…+anxn=b x0, xRn, ARmn 标准形式中的约束定义的可行域是“n维空间中n-m维单纯形”, 即为n维空间中m维线性流形与第一象限的交。
2.1 基本解
令 xN=0, xT= [B-1b xT= [B-1b
0] 为基本解.
2.2 基本可行解
0]0 为基本可行解.
2.3 基本解个数 随着B的构成列不同, 可得不同的基本解, 从n列中 选取m列的选择方案有Cnm=n!/[m!(n-m)!]个. 除去|B|=0的情况, 基本解个数最多是Cnm.
xq 0 a 0
xB-q 0 0 I
xN-p cN-p mT N’
xp
-f
右端项
cp 1 np
1 0 0
c b2 b’
xq xB-q
xB+ NxN = b
线性规划与二次规划
表中数据项意义: 0*xB + cNTxN – f = c 基变 量 -f
《线性规划》课件
线性规划在计算和科学 中的作用
线性规划与其他数学方 法的关系
线性规划为其他计算学科和科 学领域提供了一种有用的工具， 包括操作研究、管理科学、计 算机科学、离散数学和工程。
线性规划和其他数学方法，如 图论、随机优化和动态编程， 经常在更复杂的问题中一起使 用，以提供最佳解决方案。
线性规划的重要性和应 用前景
线性规划的一般形式
目标函数和约束条件均为 >= 或 <= 形式。
线性规划的图形表示
线性规划可用于在二维或三维空间中绘制函数和约束条件，以帮助我们更好地理解问题。
线性规划求解方法
有多种方法可用于解决线性规划问题，包括单纯形法、双纯形法、人工变量法和网络流模型。
1
单纯形法
该方法是最常用的求解线性规划问题的方法。它通过逐步优化策略，找到目标函数的最 大值或最小值。
线性规划在涉及数学和科学的 许多领域都有着广泛的应用， 未来的不断发展将使其能够应 用于更多领域。
线性规划PPT课件
本课程将教授线性规划的基础知识和应用，以及用于解决各种实际问题的技 能和策略。
介绍线性规划ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
线性规划是一种用于优化线性函数的数学方法，它在现代工程、经济学和科学等许多领域都发挥着重要 作用。
线性规划的应用
线性规划可用于创建计划、预 测趋势、优化资源和改进生产 效率。
线性规划的基本概念和 术语
2
双纯形法
双纯形法是单纯形法的一种改进版本，它避免了人工选择初始基变量的缺点。
3
人工变量法
这种方法基于将所有约束条件都转化为等式的基本原理，并将人工变量引入问题中，使 其满足最佳策略。
线性规划的应用案例
线性规划被广泛用于解决各种实际问题。以下是一些典型案例。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在经济、管理、工程等领域有着广泛的应用。
线性规划的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小的变量取值。
二、线性规划模型线性规划模型由三部分组成：决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要决策的量，通常用符号x表示。
决策变量的取值会影响目标函数的值。
2. 目标函数目标函数是需要优化的函数，通常用符号f(x)表示。
线性规划中的目标函数是线性的，可以是最大化或最小化。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，通常用不等式或等式表示。
线性规划中的约束条件也是线性的。
三、线性规划的解法线性规划可以使用不同的解法求解，常见的有图形法、单纯形法和内点法。
1. 图形法图形法适用于二维线性规划问题，通过绘制约束条件的直线和目标函数的等值线，找到最优解的图形位置。
2. 单纯形法单纯形法适用于多维线性规划问题，通过迭代计算，从初始可行解出发，逐步靠近最优解。
3. 内点法内点法是一种近年来发展起来的线性规划求解方法，通过在可行域内不断搜索，逐步趋近最优解。
四、线性规划的应用线性规划在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 生产计划线性规划可以用于确定生产计划中各种资源的最优分配，以满足生产需求并最大化利润。
2. 运输问题线性规划可以用于解决运输问题，确定各个供应点到需求点的最优运输方案，以最小化总运输成本。
3. 金融投资线性规划可以用于优化投资组合，确定不同资产的投资比例，以最大化投资收益或最小化风险。
4. 人力资源管理线性规划可以用于人力资源管理，确定员工的最优分配方案，以满足工作需求并最小化成本。
五、线性规划的局限性线性规划虽然在很多问题中有着广泛的应用，但也存在一些局限性：1. 线性假设线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，这在某些实际问题中可能不符合实际情况。
2. 单一最优解线性规划只能得到一个最优解，而在某些问题中可能存在多个最优解。
最优化方法-线性规划
引言
对线性规划贡献最大的是美国数学家G.B.Dantig(丹捷格)，他 在1947年提出了求解线性规划的单纯形法（Simple Method），并同时给出了许多很有价值的理论，为线性规划 奠定了理论基础。在1953年，丹捷格又提出了改进单纯形法， 1954年Lemke(兰母凯)提出了对偶单纯形法（dual simplex method）。 在1976年， R. G. Bland 提出避免出现循环的方法后，使线 性规划的理论更加完善。但在1972年，V. Klee和G .Minmty 构造了一个例子，发现单纯形法的迭代次数是指数次运算，不 是好方法——并不是多项式算法（多项式算法被认为是好算 法），这对单纯形法提出了挑战。
B2
B3
70
50 60
A2
60 110 160
[解] 设xij 表示 Ai运往Bj的运量（万块） minS=50x11+60x12+70x13+60x21+110x22+160x23 S.t. x11+x12+x13=23 x21+x22+x23=27 x11+x21=17 x12+x22=18 x13+x23=15 xij≥0, i=1,2、j=1,2,3
2.线性规划问题的几何意义
2.1基本概念 凸集：设k为n维欧氏空间的一点集，任取X,Y∈K,若 连接X,Y的线段仍属于K,则称K为凸集。即任取α ,0<α <1 α X+(1-α )Y∈K 称K为凸集。 顶点（极点）：设K是凸集，X∈K,若X不能用不同的两
点 X(1) ∈K,X2) ∈K 的线性组合表示为 X=α X(1)+(1-α )X(2) (0<α <1) 则称X为极点。
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划校内课程大纲
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划校内课程大纲《工程优化方法》课程名称：工程优化方法/Engineering Optimization Methods课程代码：0721005课程类型：必修总学时数：46学时学分：3分开课单位：理学院数学科学系适用专业：适用于理、工等专业的卓越工程师硕士课程的性质与目标最优化方法是一门新兴的应用数学，是运筹学的核心部分，在工程科技、经济金融、管理决策和国防军事等众多领域具有广泛的应用。
工程优化方法基于最优化的原理，着重介绍实用性、有效性强的各种实用优化算法。
通过本课程的课堂学习和一定的上机实践使学生对工程优化方法的基本原理、算法的基本步骤、应用要点等有一个基本认识和初步掌握，培养和提高用优化方法解决某些实际问题的初步技能，为应用优化软件包解决实际工程问题奠定基础。
∙能够掌握最优化的基本原理、基本方法和应用技能∙能够用工程优化方法解决简单的实际问题∙能够熟练应用优化软件包进行计算学时安排课堂教学：学时：40研讨课：学时：6实践课：学时：10总学时数：学时:46+10教学方法以课堂教学为主，采用板书与多媒体相结合的教学方式，讲授工程优化方法课程的基本原理和方法，既保证讲授内容的清晰，又兼顾师生的交流与互动。
在对具体原理和基本方法的推导和证明时，采用板书讲解方式，以便学生能一步步跟上教师的思路。
通过课后作业和上机实验加深学生对工程优化方法的理解，培养学生的应用能力，通过动手实践让学生理解从书本理论到分析问题、解决实际问题的过程，从而培养学生解决实际问题的能力。
先修课程高等数学、线性代数、C语言程序设计、Matlab语言课程综合记分方法各部分的比重分别为：平时成绩 20 %实验成绩 30 %期末考试 50 %总计 100%教科书陈宝林. 最优化理论与算法.北京：清华大学出版社，2005.推荐参考书1.唐焕文，秦学志编著. 实用最优化方法(第三版).大连：大连理工大学出版社，2004.2.袁亚湘，孙文瑜. 最优化理论与方法. 北京：科技出版社，2001.3.J. Nocedal & S. J. Wright, Numerical Optimization（影印版）,北京：科学出版社，2006.**本表注：对于表中第二列所列技能应对照附录A 理解。
线性规划知识点
线性规划知识点一、概述线性规划是一种数学优化方法，用于解决一类特定的优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。
线性规划广泛应用于经济、工程、运输、资源分配等领域。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1，c2，...，cn为系数，x1，x2，...，xn为变量。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列约束条件，通常是一组线性等式或不等式。
例如，Ax ≤ b，其中A为系数矩阵，x为变量向量，b为常数向量。
3. 可行解：满足所有约束条件的变量值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大或最小值的变量值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将其转化为标准形式来求解。
标准形式具有以下特点：1. 目标函数为最小化形式：minimize Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn2. 约束条件为等式形式：Ax = b3. 变量的非负性约束：x ≥ 0四、求解方法线性规划问题可以使用多种方法求解，其中最常用的是单纯形法。
单纯形法的基本思想是通过迭代计算来逐步改进解的质量，直到找到最优解。
1. 初始化：选择一个初始可行解。
2. 进行迭代：根据当前解，确定一个非基变量进入基变量集合，并确定一个基变量离开基变量集合，以改进目标函数值。
3. 改进解：通过迭代计算，逐步改进解的质量，直到找到最优解。
4. 终止条件：当无法找到更优解时，算法终止。
五、应用案例线性规划在实际应用中有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 生产计划：确定如何分配有限的资源以最大化产量。
2. 运输问题：确定如何分配货物以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定如何分配有限的资源以最大化效益。
4. 投资组合：确定如何分配资金以最大化投资回报率。
5. 作业调度：确定如何安排作业以最小化总工时。
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划校内课程大纲
西安电子科技大学卓越工程师教育培养计划校内课程大纲《工程优化方法》课程名称：工程优化方法/Engineering Optimization Methods课程代码：0721005课程类型：必修总学时数：46学时学分：3分开课单位：理学院数学科学系适用专业：适用于理、工等专业的卓越工程师硕士课程的性质与目标最优化方法是一门新兴的应用数学，是运筹学的核心部分，在工程科技、经济金融、管理决策和国防军事等众多领域具有广泛的应用。
工程优化方法基于最优化的原理，着重介绍实用性、有效性强的各种实用优化算法。
通过本课程的课堂学习和一定的上机实践使学生对工程优化方法的基本原理、算法的基本步骤、应用要点等有一个基本认识和初步掌握，培养和提高用优化方法解决某些实际问题的初步技能，为应用优化软件包解决实际工程问题奠定基础。
•能够掌握最优化的基本原理、基本方法和应用技能•能够用工程优化方法解决简单的实际问题•能够熟练应用优化软件包进行计算学时安排课堂教学：学时：40研讨课：学时：6实践课：学时：10总学时数：学时:46+10教学方法以课堂教学为主，采用板书与多媒体相结合的教学方式，讲授工程优化方法课程的基本原理和方法，既保证讲授内容的清晰，又兼顾师生的交流与互动。
在对具体原理和基本方法的推导和证明时，采用板书讲解方式，以便学生能一步步跟上教师的思路。
通过课后作业和上机实验加深学生对工程优化方法的理解，培养学生的应用能力，通过动手实践让学生理解从书本理论到分析问题、解决实际问题的过程，从而培养学生解决实际问题的能力。
先修课程高等数学、线性代数、C语言程序设计、Matlab语言课程综合记分方法各部分的比重分别为：平时成绩 20 %实验成绩 30 %期末考试 50 %总计 100%教科书陈宝林. 最优化理论与算法.北京：清华大学出版社，2005.推荐参考书1.唐焕文，秦学志编著. 实用最优化方法(第三版).大连：大连理工大学出版社，2004.2.袁亚湘，孙文瑜. 最优化理论与方法. 北京：科技出版社，2001.3.J. Nocedal & S. J. Wright, Numerical Optimization（影印版）,北京：科学出版社，2006.**本表注：对于表中第二列所列技能应对照附录A 理解。
工程优化方法第1章
一致性 5 ）灵敏性分析：参数扰动对解的影响情况 6 ）解的实施：回到实践中 7 ）后评估：考察问题是否得到完满解决
工程优化方法第1章
§3 基本概念 1、最优解与极值点
p m x iR n n fx s.t. gix0
设 f: D→ R 1( D R)n (D－定义域) (1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 可微; (3) x 为f(x)的极值点;
则: f x 0
工程优化方法第1章
Th3(充分条件) ： 设 f: D→ R(1 D )Rn(D－定义域)
(1) x 为D的一个内点; (2) f(x)在 x 处二次可微;
2 f
x12
2 f x2x1
2 f
x
n
x1
2 f x1x2
2 f x22
2 f x1x3 2 f x2x3
2 f
2 f
xnx2 xnx3
2 f
x1xn
2 f
x2xn
2 f
xn2
线性函数：f (x) = cTx + b , 2f (x) = 0
二次函数：f (x) = (1/2) xTQx + cTx + b,
则 x ≤ 0， ≥ 0 . (2)若 xTy ≤ , y L Rn ，
则 x L， ≥ 0 .(特别, L＝Rn时,x =0)
定理的其他形式：
“若 xTy ≤ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≥ 0， ≥ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≥ 0，则 x ≥ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , yRn 且 y ≤ 0，则 x ≤ 0， ≤ 0 .” “若 xTy ≥ , y L Rn ， 则 x L， ≤ 0 .”
工程优化 第5章-5
2. 原问题与对偶问题的对应关系
max z 2 x1 3 x 2 2 x1 2 x 2 12 x1 2 x 2 8 s .t 4 x1 16 4 x 12 2 x1 , x 2 0
原问题
min 12 y1 8 y2 16 y3 12 y4 2 y1 y2 4 y3 0 y4 2 s .t 2 y1 2 y2 0 y3 4 y4 3 y , y , y , y 0 1 2 3 4
x1 5 x2 4 x3 80 T D : max b 4x1 2x2 4x3y 50
T' T ' '' '' s.t .3 A c x3 =x3 x , yx , x 0 3 3
y0
s.t. y1 ( y2 y3 ) 4 y4 2 3 y1 5( y2 y3 ) 2 y4 8 3 y1 4( y2 y3 ) 4 y4 4 3 y1 4( y2 y3 ) 4 y4 4 y1 , y2 , y3 , y4 0
线性规划的对偶理论与对偶单纯性法
线性规划早期发展过程中的最为重要的理论成果之 一就是线性规划的对偶问题及相关理论的提出。 线性规划的对偶理论是解释资源的影子价格、线性 规划问题的灵敏度分析等的理论基础。 主要内容 对偶问题定义 ----写出线性规划的对偶问题 要掌握在对称和非对称形式下由原问题写出对偶 问题的方法。 对偶定理 ----给出原问题与对偶问题的解之间的关系 对偶单纯形法
约束条件：n个 变量数：n个 第 j 个约束类型为“≤” 第 j 个变量≤ 0 第 j 个约束类型为“≥” 第 j 个变量≥ 0 第 j 个约束类型为“＝” 第 j 个变量是自由变量
工程项目的线性规划分析
工程项目的线性规划分析工程项目的线性规划分析是一种有效的决策工具，通过优化资源的配置来实现项目目标的最大化。
线性规划是一种数学模型，它建立在线性函数的基础上，通过建立约束条件来描述问题，并通过最优化算法求解最佳解。
在工程项目管理中，线性规划分析可以应用于资源分配、进度控制、成本管理等方面。
通过合理地分配资源，使项目能够以最小的成本和最短的时间达到预定的目标。
一、问题描述在工程项目中，常常存在多个决策变量和约束条件。
例如，在一项架设输电线路的工程项目中，我们需要决策每一段线路的长度和杆塔的位置，以及满足电流传输和杆塔强度等约束条件。
因此，我们可以将该问题转化为线性规划模型，以实现最优解的求解。
二、线性规划模型的构建在构建线性规划模型时，我们需要定义决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量：决策变量是指我们在问题中需要做出决策的量。
对于上述输电线路工程项目，决策变量可以是每一段线路的长度和杆塔的位置。
2. 目标函数：目标函数是我们希望优化的指标。
在输电线路工程中，我们希望最小化总成本或者总工期。
3. 约束条件：约束条件是限制决策变量取值的条件。
对于输电线路工程，约束条件可以包括电流传输的限制、杆塔强度的限制等。
三、线性规划模型的求解线性规划模型的求解可以使用各种数学方法和优化算法。
常用的方法有单纯形法、内点法和分支定界法等。
在工程项目中，求解线性规划模型的过程通常涉及大量的数据计算和优化计算。
在实际求解过程中，可以使用专业的数学软件或编程语言来实现。
四、案例分析下面以一例架设输电线路的工程项目为例，展示线性规划分析的具体应用过程。
假设有一座工程项目需要架设输电线路，线路的长度为L，需要选择n个杆塔的位置来支撑线路。
每个杆塔的成本为Ci，线路的材料成本为Cl。
假设我们的目标是最小化总成本。
我们可以将该问题转化为如下的线性规划模型：minimize Z = ∑Ci + Cl(L)subject to:L = ∑Li∑Li = LLi ≥ 0L ≥ 0其中，Ci表示每个杆塔的成本，Li表示每一段线路的长度。
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。
首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。
然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。
最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。
它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。
它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。
然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。
如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。
工程优化第5章2
br
x k 取值 y r k 后，原来的基变量 xBr br yrkxk br x B r 就是离基变量，于是得到新的基本可行解
yrk
br yrk
0
x ( 1 ) x B 1 ,...,x B r 1 ,0 ,x B r 1 ,0 ,...,x k ,0 ,...,0 T
当前12页，共42页，星期二。
当前8页，共42页，星期二。
单纯形法的基本原理
对任意一个可行解 x
xB
x
N
处的目标函数值为
f c T x cT B,cT Nx xB NcT BxBcT NxN
f 0 ( z j c j) x j
( 1 )
j R N
式(1)中，如果有多个jRN,zj cj 0,则记 zkckm j aRN xzjcj
于负无穷，因此解无界。
(3) zk ck 0，y k 不小于零。这时求出新的基本可行解，经迭
代使目标函数下降。
当前17页，共42页，星期二。
单纯形法的收敛性 如果迭代过程中各个基本可行解都是非退化的，即基变量的
取值都是正的，则各次迭代得到的基本可行解互不相同。 由于基本可行解的个数有限，因此经有限次迭代一定可以达
令 xi 0, iRN,ik,xk由0变为正数时，f 在变小；
ff0 (zk c k)x k<f0
根因据此（选择1）,当(进xx 基k j 变取量值)相。同时，( z j c j ) 越大，目标函数下降越多，
xk 就从非基变量变成了基变量(xk 是进基变量)
当前9页，共42页，星期二。
单纯形法的基本原理
记 b 和 y k 是m维列向量， bB1b,yk B1pk ，
把
xB
线性规划与优化问题的求解
线性规划与优化问题的求解1. 引言线性规划是一种常见的优化方法，用于解决如生产调度、资源分配、投资组合等问题。
本文将介绍线性规划的基本概念和求解方法，并探讨一些典型的优化问题。
2. 线性规划的基本概念线性规划是数学规划的一种，其数学模型可以表示为：最大化（或最小化）目标函数约束条件其中，目标函数是线性的，表示需要最大化或最小化的目标；约束条件也是线性的，表示问题的限制条件。
3. 线性规划的求解方法线性规划可以使用各种求解方法来求解，包括单纯形法、内点法、分支定界法等。
这些方法都基于不同的思想和算法，但本质上都是通过迭代寻找最优解。
4. 单纯形法单纯形法是线性规划最经典的求解方法之一。
其基本思想是从一个可行解出发，通过迭代交换基变量和非基变量，逐步接近最优解。
内点法是一种相对较新的线性规划求解方法。
其核心思想是通过将线性规划问题转化为一系列的等价问题，通过迭代逐步接近最优解。
6. 分支定界法分支定界法是一种适用于整数线性规划的求解方法。
它将整数线性规划问题划分为一系列子问题，并通过剪枝策略逐步缩小搜索空间，直到找到最优解。
7. 典型的优化问题线性规划可以用于解决各种优化问题，下面介绍几个典型的应用场景。
7.1 生产调度问题在生产调度中，最大化利润或最小化成本是一个重要的目标。
线性规划可以帮助找到最优的生产调度方案，以实现生产效益的最大化。
7.2 资源分配问题在资源有限的情况下，如何合理分配资源是一个重要的问题。
线性规划可以帮助确定资源的最优分配方案，以最大限度地满足需求。
7.3 投资组合问题在投资决策中，如何选择资产组合以最大化收益或最小化风险是一个关键问题。
线性规划可以帮助投资者找到最优的投资组合策略。
本文介绍了线性规划的基本概念和求解方法，并探讨了一些典型的优化问题。
线性规划作为一种常见的优化方法，在实际问题中具有广泛的应用价值。
通过合理地应用线性规划，我们可以优化决策，提高效率，实现最佳效果。
线性规划知识点
线性规划知识点线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、工程学等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、模型建立、求解方法以及应用案例。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最小化或者最大化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数可以表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性等式或者不等式，称为约束条件。
约束条件可以表示为a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1，a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≥ b2等。
3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解集合称为可行域。
4. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数取得最小值或者最大值的解称为最优解。
二、模型建立1. 决策变量的定义：根据问题的特点，定义适当的决策变量。
例如，假设要生产两种产品，可以定义x1为第一种产品的生产量，x2为第二种产品的生产量。
2. 目标函数的建立：根据问题的要求，建立目标函数。
例如，如果要最大化利润，可以将目标函数定义为Z = p1x1 + p2x2，其中p1和p2为单位产品的利润。
3. 约束条件的建立：根据问题的限制条件，建立约束条件。
例如，如果生产资源有限，可以建立生产资源约束条件，如a11x1 + a12x2 ≤ b1，a21x1 + a22x2 ≤ b2等。
4. 模型的完整表达：将决策变量、目标函数和约束条件整合起来，形成完整的线性规划模型。
三、求解方法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式和不等式的图形，找到可行域和最优解。
最优解通常浮现在可行域的顶点处。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
线性规划优化问题知识点整理
线性规划优化问题知识点整理线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面就来对线性规划优化问题的相关知识点进行一个系统的整理。
一、线性规划的基本概念1、决策变量决策变量是线性规划问题中需要确定的未知量，通常用字母如＼（x_1\），＼（x_2\），＼（＼cdots\），＼（x_n\）表示。
这些变量的值决定了问题的解决方案。
2、目标函数目标函数是表示问题目标的数学表达式，通常是决策变量的线性函数，例如＼（Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n\），我们的任务就是找到决策变量的值，使得目标函数达到最优值（最大值或最小值）。
3、约束条件约束条件是对决策变量的限制，通常以线性不等式或等式的形式表示，例如＼（a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{1n}x_n ＼leq b_1\）等。
4、可行解满足所有约束条件的决策变量的取值称为可行解。
5、可行域所有可行解的集合称为可行域。
6、最优解使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。
二、线性规划问题的数学模型一般形式为：目标函数：＼（Z ＝＼sum_{j=1}＾｛n} c_j x_j\）约束条件：＼（＼begin{cases} ＼sum_{j=1}＾｛n} a_{ij} x_j ＼leq b_i ＆（i ＝ 1, 2, ＼cdots, m) ＼＼ x_j ＼geq 0 ＆（j ＝ 1, 2, ＼cdots, n) ＼end{cases}＼）其中，＼（c_j\）为目标函数中决策变量＼（x_j\）的系数，＼（a_{ij}＼）为约束条件中决策变量＼（x_j\）的系数，＼（b_i\）为约束条件的右端项。
三、线性规划问题的求解方法1、图解法对于两个决策变量的线性规划问题，可以通过在平面直角坐标系中画出可行域和目标函数的等值线来求解。
结构优化设计 第五章 线性规划
第五章线性规划线性规划属于有约束的优化问题，特点是目标函数和约束函数都是线性的。
线性规划问题在理论和方法上都十分成熟，在工程管理和经济管理中应用十分广泛。
虽然大多数机械设计和工程设计属于非线性规划问题，但在求解非线性规划中却常用到线性规划的算法，如可行方向法中可行方向的确定就是采用线性规划方法求解。
因此了解线性规划的理论和原理是必要的。
5.1 线性规划的标准形式与基本性质5.1.1 线性规划的标准形式以下三种形式都是标准形式。
第一种形式：求满足以下约束条件的一组变量X=[x1,x2,…,x n]T，这组变量使得目标函数有最小值。
将第一种形式写成如下求和形式，即得第二种形式：将第一种形式写成矩阵形式，即得第三种形式：在以上各种形式中，n 为线性规划的维数，m 为线性规划的阶数，一般m<n 。
注意，标准形式中约束条件是等式约束，设计变量均为非负,都是求目标函数的最小值。
A ．若线性规划问题中除变量外还存在不等式约束条件 应通过引入松弛变量将不等式约束化成等式约束。
例：设约束条件为1212250,0x x x x +≤≥≥在第一式中引入松弛变量30x ≥，得到123123250,0,0x x x x x x ++=≥≥≥若约束条件为1212250,0x x x x +≥≥≥则减去一个非负的松弛变量，即123123250,0,0x x x x x x +-=≥≥≥B ．若设计变量可正可负设该变量为k x ,则引入两个非负变量''',k k x x ，令''''''0,0k k k k k x x x x x =-≥≥C ． 若目标函数为求最大值maxF(X)等价于min[-F(X)]另，为什么要求m<n ？因为只有当m<n 时，由约束条件构成的方程组才会有无穷多解，从这无穷多解中可以找出一个使目标函数为最小值的最优解。
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解：只需引入两个人工变量 x6 和 x7 ，相应的辅 助线性规划问题（ALP）如下：
min cT x MeT x s.t. Ax x b x 0,xα 0
（2 ）
其中 A 是 m n 矩阵， b 0, M 0 很大， e 是分量全为 1 的 m 维列向量。
0 ，用单纯形法求解（2） 显然， （2）有初始可行解 ， b
其结果必为下列几种情形之一：
两阶段法的第二阶段。 综上所述，对不具有明显可行基的（ LP ） ，可 先用单纯形法求解辅助性性规划问题（ALP） ，解 的结果或者说明（LP）无可行解，或者找到（LP） 的一个基本可行解， 然后再从这个基本可行解开始 应用单纯形法求解（LP） ，此即两阶段法的第二阶 段。将目标函数 g 用非基变量表示如下：
1/3
-7/2
-1
0
-4/3
21/6
0
0
1/3
7
f
-3/2 -7/2
x1
x2 0 1
x3 1 0
x4 -1/8 1/4
x5 -1/8 -3/4
x6 1/8 -1/4
x7 1/8 3/4 3/8 1/4 0
x3
x2 g
1/4 1/2
0
1/4 x1
0
0 x2 -1/2 2
-1/2
0
0 x3 1 0
0
0
一： 情形 1： x 0 ，这时（LP）无可行解。因为
ˆ 如果（LP）有可行解 x 的可行解，在此点， （ALP）的目标函数值
优值。
ˆ x x x ，则 0 是（ALP）
ˆ eT 0 0 eT x ，而 eT x 是（ALP）的最 g 0T x
其中
1 Ers
b1s brs
1
br 1, s brs 1 brs
b11, s brs bms brs
1
1
定理证明见陈开周老师课本 P151-153。
料的费用最小？ 解：设 x j 为每单位饲料中第 j 种配料的含量 （ j 1, , n ） ，则营养问题的数学模型为
min c j x j
j 1 n
s.t. aij x j bi i 1,
j 1
n
,m
x j 0, j 1,
,n
（1）
现在从另一角度提出如下问题：某饲料公司欲 把这 m 种营养成分分别制成 m 种营养丸出售。 公司面临的问题是，在上述条件的限制下，如 何确定各种营养丸的单位价格，才能使公司获 利最大？ 设第 i 种营养丸的单价为 yi (i 1,
一．两阶段法 算法的第一阶段：用单纯形法消去人工变量（如 可能的话） ，即把人工变量换成非基变量，求出 （LP）的一个基本可行解。 对 上 述 （ LP ） ，引入 m 个人工变量
xni 0 ( i 1, , m ) 后，
用单纯形法求解如下的辅助问题（ALP）
min g eT x s.t. Ax x b x 0, x 0
§7 线性规划的对偶理论 一． 引例 例（营养问题）某饲养场所用的饲料由 n 种配料 混合而成，要求这种饲料必须含有 m 种营养成分， 且每单位饲料中第 i 种营养成分的含量不能低于 bi 。 已知第 i 种营养成分在每单位第 j 种配料中的含 量为 aij ，第 j 种配料的单位价格为 c j ，问在保证 营养要求的条件下，应采用何种配方才能使饲
二. 对偶问题的表达 1.对称形式的对偶 定义 7.1：设有线性规划问题
min s.t. cT x Ax b x0
（3）
其中
x1 c1 b1 x c b x c b n n m
a11 a21 A am1
表 1 第一阶段初始单纯形表
表 2 第一阶段迭代一次后的单纯形表
第一阶段迭代两次后的最优单纯形表
表 4 第一阶段最优单纯形表去人工变量后的单纯形表
表 5 第二阶段初始单纯形表及最优单纯形表
此时， 表中所有检验数均非正， 所以原线性规划问题的最
* T * 优解和最优值分别为 x (0, 4 / 3, 4 / 3,0,0) , f 8 / 3.
x2 -1 1 0 0 x2 -1/6 4/3
x3 6 2 8 -21 x3 1 0
x4 -1 0 -1 0 x4 -1/6 1/3
Hale Waihona Puke x5 0 -1 -1 0 x5 0 -1
x6 1 0 0 0 x6 1/6 -1/3
x7 0 1 0 0 x7 0 1
1/3 1/3
2
1 3
g
f
0
x7
g
2/3
4/3
0
0
情形 1：达到问题（2）的最优解，且 x =0。此时 得到的 x 即为（1）的最优解；
T e 情形 2：达到问题（2）的最优解，且 x 0 ，此
时线性规划问题（1）无可行解； 情形 3：问题（2）不存在有限最优值，在单纯
1 max 0, B Pk 0, x 0 ，这时， i 形表中， k
其中 e 为分量全为 1 的 m 维列向量，
x ( xn1 , , xn m )T 是人工变量构成的 m 维列
x 0 向量。显然， x b 为（ALP）的一个基本
可行解。
设（ALP）是非退化的，求解（ALP）得到的
x 最优基本可行解是 x ，此时必有下列情形之
考虑标准形式的线性规划问题：
min ( LP) s.t.
cT x Ax b x0
不妨设 b 0 ，但并不要求 A 为行满秩矩阵。 对于一般标准型的线性规划问题， 约束方程组的系 数矩阵中不包含单位矩阵。本节通过引进人工变量， 产生一个单位矩阵，构造新的目标函数，得到新的问 题，进而得到原问题的基本可行解。
min g x6 x7 s.t. x1 x2 6 x3 x4 x6 2 x1 x2 2 x3 x5 x7 1 x j 0, j 1, ,7
,5
解：增加人工变量 x6 , x7 的辅助线性规划问题
x1 x6 x7 1 1 2 -5 x1 x3 1/6 2/3
0
-1
-1
f
-21/8 -21/8 x4 -1/4 1/2
-11/4
21/8 21/8
63/8
x5 1/4 -2/3
-9/4
x3
0 1
0
1/4 1/2 31/4
x1
f
* T 原 问 题 的 最 优 解 x (1/ 2,0,1/ 4,0,0) , 最 优 解
f * 31/ 4 。
例 2 求解线性规划问题
二．大 M 法 基本思想：在约束中增加人工变量 x ，同时
T Me x ，其中 M 是很 修改目标函数，加上罚项
大的正数，这样，在极小化目标函数的过程 中，由于大 M 的存在，将迫使人工变量离基. 考虑线性规划问题（LP）
min f cT x s.t. Ax b x0
（1）
引进人工变量 x ，研究下列问题
ˆ 1 进而完成单纯形法 逆 B 1 来获得新基的逆 B
的其他运算。在整个计算过程中，始终 持现行基的逆。
ˆ 1 ？ 怎样由 B 1 获得 B
保
定理6.1 设在单纯形法某次迭代中可 行基为 B ，以 brs 为主元作旋转变换后，则
ˆ 1 为 下一次新基的逆 B
ˆ 1 E B 1 B rs
为以后的运算方便，也可将 f c1 x1
cn xn 0 写
入上述问题的约束之中。于是可得（ALP）的一 个单纯形表。
两阶段法的初始单纯形表
例 1 求解
min z 5 x1 21x3 s.t. x1 x2 6 x3 x4 2 x1 x2 2 x3 x5 1 x j 0, j 1,
问题（1）无界； 情形 4：问题（2）不存在有限最优值，在单纯形
1 max 0, B Pk 0, 有些人工变量不 i 表中， k
T e 等于零,即 x 0 ,此时（1）无可行解.
例 3 用大 M 法求解
min f x1 x2 3x3 s.t. x1 2 x2 x3 11 2x1 x2 4 x3 3 x1 2 x3 1 x1 ,x2 ,x3 0
min g x6 x7 s.t. x2 2 x3 x4 x6 4 x1 2 x2 x3 x4 x5 4 3x1 3x3 x4 x7 4 x j 0, j 1, ,7
取初始可行基 B ( P6 , P5 , P7 ) ，相应的单纯形表如 表 1。
g xni (bi aij x j ) bi
i 1 i 1 j 1 i 1 j 1 m m n m n m
a x
i 1 ij
j
于是辅助问题可写成如下形式：
min g bi aij x j
i 1 j 1 i 1
m
n
m
s.t. Ax x b x 0, x 0
。
由于M是很大的正数，因此所有的判别数都非 正，且人工变量都取零值，原来问题的最优解 x ( x1 , x2 , x3 )T (9,1, 4)T 目标函数的最优值为
f 2