湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷(解析版)

湖北省八校2015届高三第一次联考理科数学试卷（解析版）

一、选择题

1．已知复数∈+=a ai z (21R ），i z 212-=，若2

1

z z 为纯虚数，则=||1z （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 【答案】D 【解析】由于

()()()5

422521221221i

a a i ai i ai z z ++-=++=-+=为纯虚数，则1=a ，则=1z 5，

故选择D.

考点：复数的概念，复数的代数运算，复数的模 2．如图给出的是计算11112462014

++++L 的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（ ）

A ．2013≤i

B ．2015≤i

C ．2017≤i

D ．2019≤i 【答案】B

【解析】由程序知道，2,4,6,2014i =L 都应该满足条件，2016=i 不满足条件，故应该选择B.

考点：算法，程序框图

3．设2

2

4a x dx π

ππ-⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式6(展开式中含2x 项的系数是（ ） A ．192- B ．193 C ．6- D ．7

【答案】A

【解析】由于()2

2222

22

2

cos sin cos sin 24a x dx x x dx xdx x

π

ππππππππ-

---

⎛

⎫=+=-=== ⎪⎝⎭⎰

⎰⎰

则6(

含2x 项的系数为192)1(25

16-=-C ，故选择A.

考点：定积分，二项式定理

4．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）

A ．

314 B ．4 C ．3

10

D ．3 【答案】B

【解析】几何体如图，体积为：422

1

3=⨯，故选择B

考点：三视图，几何体的体积 5．“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既非充分条件也非必要条件 【答案】D

【解析】5≠a 且5-≠b 推不出0≠+b a ，例如2,2-==b a 时0=+b a

0≠+b a 推不出5≠a 且5-≠b ，例如6,5-==b a ，故“5≠a 且5-≠b ”是“0≠+b a ”的既不充分又不必要条件，故选择D 考点：充要条件

6．已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（ ） A ．若03>a ，则02013a ，则02014a ，则02013>S

D ．若04>a ，则02014>S 【答案】C

【解析】设11-=n n q a a ，因为02010>q 所以A ，B 不成立，对于C ，当03>a 时，01>a ，因为q -1与20131q -同号，所以02013>S ，选项C 正确，对于D ，取数列：－1，1，－1，1， ，不满足条件，D 错.故选C

考点：等比数列的性质，前n 项和

7．用)(A C 表示非空集合A 中的元素个数，定义⎩⎨⎧<-≥-=-)()(),()()

()(),()(||B C A C A C B C B C A C B C A C B A ．若

}2,1{=A ，}|32||{2a x x x B =-+=，且1||=-B A ，由a 的所有可能值构成的集合为S ，那么

C （S ）等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】A

【解析】由于a x x =-+|32|2的根可能是2个，3个，4个，而|A －B|＝1，故a x x =-+|32|2只有3个根，

故4=a ，1C(S)=∴，故选A. 考点：集合的性质

8．已知x ， y ， ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是（ ） A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 【答案】C

【解析】由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x 则()()()2

22315++-++z y x （当且仅当232115+=

--=+z y x 即⎪⎩

⎪⎨⎧=-=-=1

33

z y x 时取等号）.故选C 考点：柯西不等式，最值

9．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足)(2

1

OQ OP OR +=，R 在

抛物线准线上的射影为S ，设α，β是△PQS 中的两个锐角，则下列四个式子中一定正确的

有（ ）

①1tan tan =βα ②2sin sin ≤+βα ③1cos cos >+βα ④2

tan

|)tan(|β

αβα+>-

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】C

【解析】由于△PQS 是直角三角形，则2

π

βα=

+，故①②③都对，当PQ 垂直对称轴时

|tan()|0tan

2

αβαβ+-=<，故选C

考点：抛物线性质，平面向量，三角函数性质

10．设定义在D 上的函数)(x h y =在点))(,(00x h x P 处的切线方程为)(:x g y l =，当0x x ≠时，若

0)

()(0

>--x x x g x h 在D 内恒成立，则称P 为函数)(x h y =的“类对称点”，则

x x x x f ln 46)(2+-=的“类对称点”的横坐标是

A ．1

B ．2

C ．e

D ．3 【答案】B

【解析】由于4()26f x x x '=+

-，则在点P 处切线的斜率=切k 64

2)(0

00/-+=x x x f . 所以切线方程为()2

0000004()2664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭

200004

264ln 4

x x x x x ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭

()()()()()22

000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛

⎫=-=-+-+

----+ ⎪⎝

⎭

， 则0()0x ϕ=，)2

)((2)21)((2)642(642)('0

00000x x x x x x x x x x x x x x --=--=-+--+=ϕ.

当0x <

()x ϕ在002,x x ⎛⎫

⎪⎝

⎭

上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝

⎭

时，0()()0.x x ϕϕ<= 从

而有002,x x x ⎛⎫

∈ ⎪⎝

⎭时，0)(0<-x x x ϕ；

当0x >

()x ϕ在00

2,x x ⎛⎫ ⎪⎝

⎭

上单调递减，所以当00

2,x x x

⎛⎫∈ ⎪⎝

⎭

时，0()()0.x x ϕϕ>= 从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

时，

()0

0x x x ϕ<-；