数学建模常用算法程序
数学建模中常用的十种算法
数学建模中常用的十种算法在数学建模中,有许多种算法可以用来解决不同类型的问题。
下面列举了数学建模中常用的十种算法。
1.线性规划算法:线性规划是一种优化问题,目标是找到一组线性约束条件下使目标函数最大或最小的变量的值。
常用的线性规划算法包括单纯形法、内点法和对偶法等。
2.非线性规划算法:非线性规划是一种目标函数或约束条件中存在非线性项的优化问题。
常见的非线性规划算法有牛顿法、拟牛顿法和遗传算法等。
3.整数规划算法:整数规划是一种线性规划的扩展,约束条件中的变量必须为整数。
常用的整数规划算法包括分支定界法、割平面法和混合整数线性规划法等。
4.动态规划算法:动态规划是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决的算法。
它适用于一类有重叠子问题和最优子结构性质的问题,例如背包问题和最短路径问题。
5.聚类算法:聚类是一种将数据集划分为不同群组的算法。
常见的聚类算法有K均值算法、层次聚类法和DBSCAN算法等。
6.回归分析算法:回归分析是一种通过拟合一个数学模型来预测变量之间关系的算法。
常见的回归分析算法有线性回归、多项式回归和岭回归等。
7.插值算法:插值是一种通过已知数据点推断未知数据点的数值的算法。
常用的插值算法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值等。
8.数值优化算法:数值优化是一种通过改变自变量的取值来最小化或最大化一个目标函数的算法。
常见的数值优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和模拟退火算法等。
9.随机模拟算法:随机模拟是一种使用概率分布来模拟和模拟潜在结果的算法。
常见的随机模拟算法包括蒙特卡洛方法和离散事件仿真等。
10.图论算法:图论是一种研究图和网络结构的数学理论。
常见的图论算法有最短路径算法、最小生成树算法和最大流量算法等。
以上是数学建模中常用的十种算法。
这些算法的选择取决于问题的特性和求解的要求,使用合适的算法可以更有效地解决数学建模问题。
数学建模常用方法
数学建模常用方法建模常用算法,仅供参考:1、蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法)2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用M a t l a b作为工具)3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用L i n d o、L i n g o软件实现)4、图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备)5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中)6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用)7、网格算法和穷举法(网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具)8、一些连续离散化方法(很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的)9、数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用)10、图象处理算法(赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用M a t l a b进行处理)一、在数学建模中常用的方法:1.类比法2.二分法3.量纲分析法4.差分法5.变分法6.图论法7.层次分析法8.数据拟合法9.回归分析法10.数学规划(线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划)11.机理分析12.排队方法13.对策方法14.决策方法15.模糊评判方法、16.时间序列方法17.灰色理论方法18.现代优化算法(禁忌搜索算法、模拟退火算法、遗传算法、神经网络)二、用这些方法可以解下列一些模型:优化模型、微分方程模型、统计模型、概率模型、图论模型、决策模型。
数学建模10种常用算法
数学建模10种常用算法1、蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,是比赛时必用的方法)2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具)3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问 题(建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo软件实现)4、图论算法(这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备)5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中)6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法(这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用)7、网格算法和穷举法(网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具)8、一些连续离散化方法(很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的)9、数值分析算法(如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用)10、图象处理算法(赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处参数估计C.F.20世纪60年代,随着电子计算机的。
参数估计有多种方法,有最小二乘法、极大似然法、极大验后法、最小风险法和极小化极大熵法等。
数学建模竞赛常用算法
网络流概念
网络流是图论中的一个重要概念,表示在有向图中,通过边进行 传输的流量。
图的表示方法
图的常见表示方法包括邻接矩阵、邻接表和边集数组等。
图与网络基本概念
图论基础
图是由节点(顶点)和边组成的一种数据结构,用于表示对象及 其之间的关系。
在非线性规划中,凸函数和凹函数的 性质对于问题的求解和分析具有重要 意义。
局部最优解与全局最优解
非线性规划问题可能存在多个局部最 优解,而全局最优解是所有局部最优 解中目标函数值最优的解。
非线性规划基本概念
非线性规划定义
凸函数与凹函数
非线性规划是一种数学优化技术,用 于求解目标函数或约束条件为非线性 函数的优化问题。
Gomory割等。
03
迭代过程
在每次迭代中生成一个或多个割平面,将原问题转化为一个更小的子问
题,然后求解子问题并更新最优解。重复此过程直到满足终止条件。
应用案例:物流配送路径优化
问题描述
物流配送路径优化问题是指在满足一定约束条件下,寻找总成本最小的配送路径。该问题 可转化为整数规划问题进行求解。
建模方法
使用单纯形法求解该线性规划模 型,得到最优的生产计划安排。 同时,可以进行灵敏度分析以了 解不同参数变化对生产计划的影
响程度。
应用案例:生产计划优化
问题描述
某企业计划生产多种产品,每种 产品需要不同的原料和加工时间, 且市场需求和原料供应有限。如 何安排生产计划以最大化利润或
最小化成本?
建模过程
将每种产品的产量作为决策变量, 以利润或成本作为目标函数,以 市场需求、原料供应和生产能力 等作为约束条件,构建线性规划
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述,通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法,在很多竞赛题中有应用,当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片的,这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交,看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点:1.对选手的计算机能力提出了更高的要求:赛题的解决依赖计算机,题目的数据较多,手工计算不能完成,如03B ,某些问题需要使用计算机软件,01A 。
数学建模常用的十大算法
数学建模常用的十大算法一、线性回归算法线性回归算法(linear regression)是数学建模中最常用的算法之一,用于研究变量之间的线性关系。
它可以将变量之间的关系建模为一个线性方程,从而找出其中的关键因素,并预测未来的变化趋势。
二、逻辑回归算法逻辑回归算法(logistic regression)是一种用于建立分类模型的线性回归算法。
它可用于分类任务,如肿瘤疾病的预测和信用评级的决定。
逻辑回归利用某个事件的概率来建立分类模型,这个概率是通过一个特定的函数来计算的。
三、决策树算法决策树算法(decision tree)是一种非参数化的分类算法,可用于解决复杂的分类和预测问题。
它使用树状结构来描述不同的决策路径,每个分支表示一个决策,而每个叶子节点表示一个分类结果。
决策树算法的可解释性好,易于理解和解释。
四、k-均值聚类算法k-均值聚类算法(k-means clustering)是无监督学习中最常用的算法之一,可用于将数据集分成若干个簇。
此算法通过迭代过程来不断优化簇的质心,从而找到最佳的簇分类。
k-均值聚类算法简单易用,但对于高维数据集和离群值敏感。
五、支持向量机算法支持向量机算法(support vector machine)是一种强大的分类和回归算法,可用于解决复杂的非线性问题。
该算法基于最大化数据集之间的间隔,找到一个最佳的超平面来将数据分类。
支持向量机算法对于大型数据集的处理效率较高。
六、朴素贝叶斯算法朴素贝叶斯算法(naive bayes)是一种基于贝叶斯定理的分类算法,用于确定不同变量之间的概率关系。
该算法通过使用先验概率来计算各个变量之间的概率,从而预测未来的变化趋势。
朴素贝叶斯算法的处理速度快且适用于高维数据集。
七、随机森林算法随机森林算法(random forest)是一种基于决策树的分类算法,它利用多个决策树来生成随机森林,从而提高预测的准确性。
该算法通过随机化特征选择和子决策树的训练,防止过度拟合,并产生更稳定的预测结果。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法在数学建模中,常使用的三种最常用算法是回归分析法、最优化算法和机器学习算法。
这三种算法在预测、优化和模式识别等问题上有着广泛的应用。
下面将对这三种算法进行详细介绍。
1.回归分析法回归分析是一种用来建立因果关系的统计方法,它通过分析自变量和因变量之间的关系来预测未知的因变量。
回归分析可以通过构建一个数学模型来描述变量之间的关系,并利用已知的自变量值来预测未知的因变量值。
常用的回归分析方法有线性回归、非线性回归和多元回归等。
在回归分析中,我们需要首先收集自变量和因变量的样本数据,并通过数学统计方法来拟合一个最优的回归函数。
然后利用这个回归函数来预测未知的因变量值或者对已知数据进行拟合分析。
回归分析在实际问题中有着广泛的应用。
例如,我们可以利用回归分析来预测商品销售量、股票价格等。
此外,回归分析还可以用于风险评估、财务分析和市场调研等。
2.最优化算法最优化算法是一种用来寻找函数极值或最优解的方法。
最优化算法可以用来解决各种优化问题,例如线性规划、非线性规划和整数规划等。
最优化算法通常分为无约束优化和有约束优化两种。
无约束优化是指在目标函数没有约束条件的情况下寻找函数的最优解。
常用的无约束优化算法有梯度下降法、共轭梯度法和牛顿法等。
这些算法通过迭代计算来逐步优化目标函数,直到找到最优解。
有约束优化是指在目标函数存在约束条件的情况下寻找满足约束条件的最优解。
常用的有约束优化算法有线性规划、非线性规划和混合整数规划等。
这些算法通过引入拉格朗日乘子、KKT条件等来处理约束条件,从而求解最优解。
最优化算法在现实问题中有着广泛的应用。
例如,在生产计划中,可以使用最优化算法来确定最优的生产数量和生产计划。
此外,最优化算法还可以应用于金融风险管理、制造工程和运输物流等领域。
3.机器学习算法机器学习算法是一种通过对数据进行学习和模式识别来进行决策和预测的方法。
机器学习算法可以根据已有的数据集合自动构建一个模型,并利用这个模型来预测未知的数据。
数学建模中常用的十种算法
数学建模中常用的十种算法在数学建模中,常用的算法有很多种。
以下是数学建模常用的十种算法:1.线性回归算法:线性回归是一种用于建立变量之间线性关系的统计算法。
它通过最小化预测值与实际值之间的均方误差来确定最佳拟合直线。
2.非线性回归算法:非线性回归是一种用于建立变量之间非线性关系的统计算法。
它通过最小化预测值与实际值之间的均方误差来确定最佳拟合曲线。
3.最小二乘法算法:最小二乘法是一种用于估计模型参数的优化算法。
它通过最小化观测值与预测值之间的平方差来确定最佳参数值。
4.插值算法:插值是一种用于根据已知数据点推断未知数据点的技术。
其中常用的算法包括线性插值、拉格朗日插值和样条插值。
5.数值积分算法:数值积分是一种用于计算函数的定积分的技术。
其中常用的算法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格积分。
6.数值优化算法:数值优化是一种用于求解最优化问题的技术。
其中常用的算法包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法。
7.图形算法:图形算法是一种用于处理图像和图形数据的技术。
其中常用的算法包括图像滤波、图像分割和图像识别。
8.聚类算法:聚类是一种用于将数据集分组为不同类别的技术。
其中常用的算法包括K均值聚类、层次聚类和DBSCAN。
9.分类算法:分类是一种用于将数据分为不同类别的技术。
其中常用的算法包括支持向量机、决策树和随机森林。
10.贝叶斯算法:贝叶斯算法是一种用于计算后验概率的统计推断方法。
其中常用的算法包括贝叶斯分类、朴素贝叶斯和马尔科夫链蒙特卡洛。
以上是数学建模中常用的十种算法,它们在不同的应用领域和问题中具有广泛的应用价值,并且常常可以相互结合以获得更好的建模结果。
数学建模中的常用算法
数学建模中的常用算法在数学建模中,有许多常用算法被广泛应用于解决各种实际问题。
下面将介绍一些数学建模中常用的算法。
1.蒙特卡洛算法:蒙特卡洛算法是一种基于随机抽样的数值计算方法。
在数学建模中,可以用蒙特卡洛算法来估计概率、求解积分、优化问题等。
蒙特卡洛算法的基本思想是通过随机模拟来逼近所求解的问题。
2.最小二乘法:最小二乘法用于处理数据拟合和参数估计问题。
它通过最小化实际观测值与拟合函数之间的误差平方和来确定最优参数。
最小二乘法常用于线性回归问题,可以拟合数据并提取模型中的参数。
3.线性规划:线性规划是一种优化问题的求解方法,它通过线性方程组和线性不等式约束来寻找最优解。
线性规划常用于资源分配、生产计划、运输问题等。
4.插值算法:插值算法是一种通过已知数据点来推断未知数据点的方法。
常见的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
插值算法可以用于数据恢复、图像处理、地理信息系统等领域。
5.遗传算法:遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
它通过模拟遗传操作(如交叉、变异)来最优解。
遗传算法常用于复杂优化问题,如旅行商问题、机器学习模型参数优化等。
6.神经网络:神经网络是一种模拟人脑神经系统的计算模型。
它可以通过学习数据特征来进行分类、预测和优化等任务。
神经网络在图像识别、自然语言处理、数据挖掘等领域有广泛应用。
7.图论算法:图论算法主要解决图结构中的问题,如最短路径、最小生成树、最大流等。
常见的图论算法包括迪杰斯特拉算法、克鲁斯卡尔算法、深度优先和广度优先等。
8.数值优化算法:数值优化算法用于求解非线性优化问题,如无约束优化、约束优化和全局优化等。
常用的数值优化算法有梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。
9.聚类算法:聚类算法用于将一组数据分为若干个簇或群组。
常见的聚类算法包括K均值算法、层次聚类和DBSCAN算法等。
聚类算法可用于数据分类、客户分群、图像分割等应用场景。
10.图像处理算法:图像处理算法主要用于图像的增强、恢复、分割等任务。
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程:一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析,来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法,在线性回归分析中,只包括一个自变量和一个因变量,且二者的关系可用一条直线近似表示,这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量,且因变量和自变量之间是线性关系,则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题,是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量,并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系,即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象,得出决策变量应满足的一些等式或不等式,即约束条件。
整数规划整数规划分为两类:一类为纯整数规划,记为PIP,它要求问题中的全部变量都取整数;另一类是混合整数规划,记之为MIP,它的某些变量只能取整数,而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划,其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种:一种是化多为少的方法,即把多目标化为比较容易求解的单目标,如主要目标法、线性加权法、理想点法等;另一种叫分层序列法,即把目标按其重要性给出一个序列,每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解,直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法,是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下:设xj是目标规划的决策变量,共有m个约束条件是刚性约束,可能是等式约束,也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件,其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别,分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中,有不同的权重,分别记为[插图], [插图](j=1,2, …, l)。
数学建模方法详解三种最常用算法
数学建模方法详解三种最常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型,并通过数学方法进行求解和分析的过程。
在数学建模中,常用的算法有很多种,其中最常用的有三种,分别是线性规划、整数规划和动态规划。
一、线性规划线性规划是一种优化方法,用于在给定的约束条件下,寻找目标函数最大或最小值的一种方法。
它的数学形式是以线性约束条件为基础的最优化问题。
线性规划的基本假设是目标函数和约束条件均为线性的。
线性规划通常分为单目标线性规划和多目标线性规划,其中单目标线性规划是指在一个目标函数下找到最优解,而多目标线性规划则是在多个目标函数下找到一组最优解。
线性规划的求解方法主要有两种:单纯形法和内点法。
单纯形法是最常用的求解线性规划问题的方法,它的核心思想是通过不断迭代改进当前解来达到最优解。
内点法是一种相对较新的求解线性规划问题的方法,它的主要思想是通过从可行域的内部最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式,它在线性规划的基础上增加了变量必须取整数的限制条件。
整数规划具有很强的实际应用性,它能够用于解决很多实际问题,如资源分配、生产优化等。
整数规划的求解方法通常有两种:分支定界法和割平面法。
分支定界法是一种常用的求解整数规划问题的方法,它的基本思想是通过将问题划分为若干个子问题,并通过求解子问题来逐步缩小解空间,最终找到最优解。
割平面法也是一种常用的求解整数规划问题的方法,它的主要思想是通过不断添加线性割平面来修剪解空间,从而找到最优解。
三、动态规划动态规划是一种用于求解多阶段决策问题的数学方法。
多阶段决策问题是指问题的求解过程可以分为若干个阶段,并且每个阶段的决策都受到之前决策的影响。
动态规划的核心思想是将问题划分为若干个相互关联的子问题,并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的最优解。
动态规划通常分为两种形式:无后效性和最优子结构。
无后效性是指一个阶段的决策只与之前的状态有关,与之后的状态无关。
最优子结构是指问题的最优解能够由子问题的最优解推导而来。
数学建模常用算法
数学建模常用算法
《数学建模常用算法》
一、算法介绍
1、数学建模攻略:算法攻略是数学建模的基础,有利于快速解决问题,它是建模者最重要的工具之一。
2、搜索算法:搜索算法是从一组可能解决方案中搜索最佳解决方案的算法,用于解决搜索问题、优化问题和最优化问题等。
3、约束满足算法:约束满足问题是指在一定的约束条件下求解最优解的问题。
4、最优化算法:最优化算法是求解最优解的算法,可用于解决最优化问题、组合优化问题等。
5、迭代算法:迭代算法是一种以迭代的方式求解最优解的算法,用于求解非线性函数最优解等。
6、概率算法:概率算法是一种以概率方式求解最优解的算法,用于解决最优搜索问题、优化问题等。
7、随机算法:随机算法是一种以随机方式求解最优解的算法,用于解决优化问题、最优化问题等。
二、算法应用
1、搜索算法:搜索算法在数学建模中最常用于求解搜索问题、优化问题和最优化问题。
2、约束满足算法:约束满足算法可以用于解决求解约束优化问题、分配优化问题等。
3、最优化算法:最优化算法可以用于解决最优化问题、组合优化问题、路径优化问题等。
4、迭代算法:迭代算法主要应用于求解非线性函数的最优解,也可用于求解最优化问题等。
5、概率算法:概率算法可以用于解决优化搜索问题、优化寻路问题、优化调度问题等。
6、随机算法:随机算法可以用于解决优化问题、最优化问题、多目标优化问题等。
数学建模常用算法
数学建模常用算法数学建模是指将实际问题转化为数学模型,并通过数学方法进行求解的过程。
在数学建模中,常用的算法有很多种,下面将介绍一些常见的数学建模算法。
1.最优化算法:-线性规划算法:如单纯形法、内点法等,用于求解线性规划问题。
-非线性规划算法:如最速下降法、牛顿法等,用于求解非线性规划问题。
-整数规划算法:如分支定界法、割平面法等,用于求解整数规划问题。
2.概率统计算法:-蒙特卡洛模拟:通过模拟随机事件的方式,得出问题的概率分布。
-贝叶斯统计:利用先验概率和条件概率,通过数据更新后验概率。
-马尔可夫链蒙特卡洛:用马尔可夫链的方法求解复杂的概率问题。
3.图论算法:-最短路径算法:如迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等,用于求解两点之间的最短路径。
-最小生成树算法:如普里姆算法、克鲁斯卡尔算法等,用于求解图中的最小生成树。
- 最大流最小割算法: 如Edmonds-Karp算法、Dinic算法等,用于求解网络流问题。
4.插值和拟合算法:-多项式插值:如拉格朗日插值、牛顿插值等,用于通过已知数据点拟合出多项式模型。
-最小二乘法拟合:通过最小化实际数据与拟合模型之间的差异来确定模型参数。
-样条插值:通过使用多段低次多项式逼近实际数据,构造连续的插值函数。
5.遗传算法和模拟退火算法:-遗传算法:通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等过程,优化问题的解。
-模拟退火算法:模拟固体退火过程,通过随机策略进行,逐步靠近全局最优解。
6.数据挖掘算法:- 聚类算法: 如K-means算法、DBSCAN算法等,用于将数据分为不同的类别。
-分类算法:如朴素贝叶斯算法、决策树算法等,用于通过已知数据的类别预测新数据的类别。
- 关联分析算法: 如Apriori算法、FP-growth算法等,用于发现数据集中的关联规则。
以上只是数学建模中常用的一些算法,实际上还有很多其他算法也可以应用于数学建模中,具体使用哪种算法取决于问题的性质和要求。
数学建模c题常用算法
数学建模c题常用算法在数学建模中,常用的算法有:1. 线性规划算法(Linear Programming):通过优化目标函数,同时满足一系列线性约束条件,找到最优解。
2. 非线性规划算法(Nonlinear Programming):通过优化目标函数,同时满足一系列非线性约束条件,找到最优解。
3. 整数规划算法(Integer Programming):在线性规划问题中,将变量限定为整数,并找到最优解。
4. 动态规划算法(Dynamic Programming):通过划分问题为子问题,并通过保存子问题的解来构建整个问题的解。
5. 贪心算法(Greedy Algorithm):通过每一步都选择当前状态下最优的解,最终得到全局最优解。
6. 遗传算法(Genetic Algorithm):通过模拟生物进化过程,通过选择、交叉和变异等操作,优化目标函数,找到最优解。
7. 模拟退火算法(Simulated Annealing Algorithm):通过模拟退火的过程,在每次迭代中接受概率性的向下移动,避免陷入局部最优解。
8. 粒子群算法(Particle Swarm Optimization):通过模拟鸟群或鱼群等生物群体的行为,通过个体之间的合作与竞争,优化目标函数,找到最优解。
9. 蚁群算法(Ant Colony Optimization):通过模拟蚂蚁找食的行为,通过蚁群中蚂蚁之间的信息交流,优化目标函数,找到最优解。
10. 模型拟合算法(Model Fitting):通过拟合一个合适的数学模型,找到描述观测数据的最佳参数。
这些算法在不同的数学建模问题中都有广泛的应用,根据具体的问题特点和约束条件选择适当的算法进行求解。
数学建模:常见的线性规划问题求解方法
数学建模:常见的线性规划问题求解方法1. 引言在数学建模中,线性规划是一种常见的数学模型。
它通常用于求解优化问题,在多个约束条件下找到使目标函数最大或最小的变量值。
本文将介绍几种常见的线性规划问题求解方法。
2. 单纯形法单纯形法是一种经典且高效的线性规划问题求解方法。
它通过不断移动基变量和非基变量来搜索可行解集,并在每次移动后更新目标函数值,直到达到最优解。
该方法适用于标准形式和松弛法形式的线性规划问题。
2.1 算法步骤1.初始化:确定基变量和非基变量,并计算初始相应坐标。
2.计算检验数:根据当前基变量计算检验数,选取检验数最小的非基变量作为入基变量。
3.计算转角系数:根据入基变量计算转角系数,并选择合适的出基变量。
4.更新表格:进行行列交换操作,更新表格中的各项值。
5.结束条件:重复2-4步骤,直至满足结束条件。
2.2 优缺点优点: - 单纯形法的时间复杂度较低,适用于小规模线性规划问题。
- 可以处理带等式约束和不等式约束的线性规划问题。
缺点: - 在某些情况下,单纯形法会陷入梯度消失或梯度爆炸的情况,导致无法找到最优解。
- 处理大规模问题时,计算量较大且可能需要较长时间。
3. 内点法内点法是另一种常见的线性规划求解方法。
与单纯形法不同,内点法通过在可行域内搜索目标函数的最优解。
它使用迭代过程逼近最优解,直到满足停止条件。
3.1 算法步骤1.初始化:选取一个可行解作为初始点,并选择适当的中心路径参数。
2.计算对偶变量:根据当前迭代点计算对偶变量,并更新目标函数值。
3.迭代过程:根据指定的迭代更新方程,在可行域内搜索目标函数的最优解。
4.结束条件:重复2-3步骤,直至满足结束条件。
3.2 优缺点优点: - 内点法相对于单纯形法可以更快地收敛到最优解。
- 在处理大规模问题时,内点法的计算效率更高。
缺点: - 内点法需要选择适当的中心路径参数,不当的选择可能导致迭代过程较慢。
- 对于某些复杂的线性规划问题,内点法可能无法找到最优解。
数学建模方法详解--三种最常用算法
数学建模方法详解--三种最常用算法一、层次分析法层次分析法[1] (analytic hierarchy process,AHP)是美国著名的运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代初首先提出的一种定性与定量分析相结合的多准则决策方法[2,3,4].该方法是社会、经济系统决策的有效工具,目前在工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价等方面都有广泛的应用.(一) 层次分析法的基本原理层次分析法的核心问题是排序,包括递阶层次结构原理、测度原理和排序原理[5].下面分别予以介绍.1.递阶层次结构原理一个复杂的结构问题可以分解为它的组成部分或因素,即目标、准则、方案等.每一个因素称为元素.按照属性的不同把这些元素分组形成互不相交的层次,上一层的元素对相邻的下一层的全部或部分元素起支配作用,形成按层次自上而下的逐层支配关系.具有这种性质的层次称为递阶层次.2.测度原理决策就是要从一组已知的方案中选择理想方案,而理想方案一般是在一定的准则下通过使效用函数极大化而产生的.然而对于社会、经济系统的决策模型来说,常常难以定量测度.因此,层次分析法的核心是决策模型中各因素的测度化.3.排序原理层次分析法的排序问题,实质上是一组元素两两比较其重要性,计算元素相对重要性的测度问题.(二) 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一致的[1]. 1. 成对比较矩阵和权向量为了能够尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难,提高结果的准确度.T .L .Saaty 等人的作法,一是不把所有因素放在一起比较,而是两两相互对比,二是对比时采用相对尺度.假设要比较某一层n 个因素n C C ,,1 对上层一个因素O 的影响,每次取两个因素i C 和j C ,用ij a 表示i C 和j C 对O 的影响之比,全部比较结果可用成对比较阵()1,0,ij ij ji n nijA a a a a ⨯=>=表示,A 称为正互反矩阵. 一般地,如果一个正互反阵A 满足:,ij jk ik a a a ⋅= ,,1,2,,i j k n = (1)则A 称为一致性矩阵,简称一致阵.容易证明n 阶一致阵A 有下列性质: ①A 的秩为1,A 的唯一非零特征根为n ;②A 的任一列向量都是对应于特征根n 的特征向量.如果得到的成对比较阵是一致阵,自然应取对应于特征根n 的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示诸因素n C C ,,1 对上层因素O 的权重,这个向量称为权向量.如果成对比较阵A 不是一致阵,但在不一致的容许范围内,用对应于A 最大特征根(记作λ)的特征向量(归一化后)作为权向量w ,即w 满足:Aw w λ= (2)直观地看,因为矩阵A 的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素ij a ,所以当ij a 离一致性的要求不远时,A 的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大.(2)式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法.2. 比较尺度当比较两个可能具有不同性质的因素i C 和j C 对于一个上层因素O 的影响时,采用Saaty 等人提出的91-尺度,即ij a 的取值范围是9,,2,1 及其互反数91,,21,1 .3. 一致性检验成对比较阵通常不是一致阵,但是为了能用它的对应于特征根λ的特征向量作为被比较因素的权向量,其不一致程度应在容许范围内.若已经给出n 阶一致阵的特征根是n ,则n 阶正互反阵A 的最大特征根n λ≥,而当n λ=时A 是一致阵.所以λ比n 大得越多,A 的不一致程度越严重,用特征向量作为权向量引起的判断误差越大.因而可以用n λ-数值的大小衡量A 的不一致程度.Saaty将1nCI n λ-=- (3)定义为一致性指标.0CI =时A 为一致阵;CI 越大A 的不一致程度越严重.注意到A 的n 个特征根之和恰好等于n ,所以CI 相当于除λ外其余1n -个特征根的平均值.为了确定A 的不一致程度的容许范围,需要找到衡量A 的一致性指标CI 的标准,又引入所谓随机一致性指标RI ,计算RI 的过程是:对于固定的n ,随机地构造正互反阵A ',然后计算A '的一致性指标CI .n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11表1 随机一致性指标RI 的数值表中1,2n =时0RI =,是因为2,1阶的正互反阵总是一致阵.对于3n ≥的成对比较阵A ,将它的一致性指标CI 与同阶(指n 相同)的随机一致性指标RI 之比称为一致性比率CR ,当0.1CICR RI=< (4) 时认为A 的不一致程度在容许范围之内,可用其特征向量作为权向量.对于A 利用(3),(4)式和表1进行检验称为一致性检验.当检验不通过时,要重新进行成对比较,或对已有的A 进行修正. 4. 组合权向量由各准则对目标的权向量和各方案对每一准则的权向量,计算各方案对目标的权向量,称为组合权向量.一般地,若共有s 层,则第k 层对第一层(设只有1个因素)的组合权向量满足:()()()1,3,4,k k k w W w k s -== (5)其中()kW 是以第k 层对第1k -层的权向量为列向量组成的矩阵.于是最下层对最上层的组合权向量为:()()()()()132s s s w W W W w -= (6)5. 组合一致性检验在应用层次分析法作重大决策时,除了对每个成对比较阵进行一致性检验外,还常要进行所谓组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据.组合一致性检验可逐层进行.如第p 层的一致性指标为()()p n p CI CI ,,1 (n 是第1-p 层因素的数目),随机一致性指标为RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51()()1,,p p nRI RI ,定义 ()()()()11,,P p p p n CI CI CI w -⎡⎤=⎣⎦ ()()()()11,,p p p p n RI RI RI w-⎡⎤=⎣⎦ 则第p 层的组合一致性比率为:()()(),3,4,,p p p CI CRp s RI== (7) 第p 层通过组合一致性检验的条件为()0.1pCR <.定义最下层(第s 层)对第一层的组合一致性比率为:()2*sP p CR CR ==∑ (8)对于重大项目,仅当*CR 适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验.层次分析法的基本步骤归纳如下:(1) 建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上,将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次.同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用,而同一层的各因素之间尽量相互独立.最上层为目标层,通常只有1个因素,最下层通常为方案或对象层,中间可以有1个或几个层次,通常称为准则或指标层,当准则过多时(比如多于9个)应进一步分解出子准则层.(2) 构造成对比较阵 从层次结构模型的第2层开始,对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素,用成对比较法和91-比较尺度构造成对比较阵,直到最下层.(3)计算权向量并做一致性检验对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量,利用一致性指标,随机一致性指标和一致性比率做一致性检验.若检验通过,特征向量(归一化后)即为权向量;若不通过,重新构造成对比较阵.(4)计算组合权向量并做组合一致性检验利用公式计算最下层对目标的组合权向量,并酌情作组合一致性检验.若检验通过,则可按照组合权向量表示的结果进行决策,否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵.(三) 层次分析法的优点1.系统性层次分析把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具.2.实用性层次分析把定性和定量方法结合起来,能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广.同时,这种方法将决策者与决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策的有效性.3.简洁性具有中等文化程度的人即可了解层次分析的基本原理和掌握它的基本步骤,计算也非常简便,且所得结果简单明确,容易为决策者了解和掌握.(四) 层次分析法的局限性层次分析法的局限性可以用囿旧、粗略、主观等词来概括.第一,它只能从原有的方案中选优,不能生成新方案;第二,它的比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;第三,从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受.当然,采取专家群体判断的方法是克服这个缺点的一种途径.(五) 层次分析法的若干问题层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用而且在理论体系、计算方法等方面都有很大发展,下面从应用的角度讨论几个问题. 1. 正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质成对比较阵是正互反阵.层次分析法中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量,用最大特征根定义一致性指标进行一致性检验.这里人们碰到的问题是:正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量;一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度,特别,当一致性指标为零时,它是否就为一致阵.下面两个定理可以回答这些问题. 定理1 对于正矩阵A (A 的所有元素为正数) 1)A 的最大特征根是正单根λ;2)λ对应正特征向量w (ω的所有分量为正数);3)w IA I I A k k k =T ∞→lim ,其中()T=1,1,1 I ,w 是对应λ的归一化特征向量.定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根n λ≥;当n λ=时A 是一致阵.定理2和前面所述的一致阵的性质表明,n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 A 的最大特征根n λ=.2. 正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法众所周知,用定义计算矩阵的特征根和特征向量是相当困难的,特别是矩阵阶数较高时.另一方面,因为成对比较阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果,对它精确计算是不必要的,下面介绍几种简单的方法. (1) 幂法 步骤如下:a .任取n 维归一化初始向量()0wb .计算()()1,0,1,2,k k w Aw k +==c .()1k w+ 归一化,即令()()()∑=+++=ni k ik k ww1111~~ωd .对于预先给定的精度ε,当 ()()()1||1,2,,k k i i i n ωωε+-<= 时,()1k w +即为所求的特征向量;否则返回be. 计算最大特征根()()111k n i k i in ωλω+==∑这是求最大特征根对应特征向量的迭代法,()0w 可任选或取下面方法得到的结果.(2) 和法 步骤如下:a. 将A 的每一列向量归一化得1nij ij iji a aω==∑b .对ij ω按行求和得1ni ij j ωω==∑ c .将i ω归一化()*121,,,ni i n i w ωωωωωωT===∑ 即为近似特征向量. d. 计算()11n ii iAw n λω==∑,作为最大特征根的近似值.这个方法实际上是将A 的列向量归一化后取平均值,作为A 的特征向量.(3) 根法 步骤与和法基本相同,只是将步骤b 改为对ij ω按行求积并开n 次方,即11nn i ij j ωω=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏ .根法是将和法中求列向量的算术平均值改为求几何平均值.3. 为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量当成对比较阵A 是一致阵时,ij a 与权向量()T=n w ωω,,1 的关系满iij ja ωω=,那么当A 不是一致阵时,权向量w 的选择应使得ij a 与ijωω相差尽量小.这样,如果从拟合的角度看确定w 可以化为如下的最小二乘问题: ()21,,11min i nniij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ (9) 由(9)式得到的最小二乘权向量一般与特征根法得到的不同.因为(9)式将导致求解关于i ω的非线性方程组,计算复杂,且不能保证得到全局最优解,没有实用价值.如果改为对数最小二乘问题:()21,,11min ln ln i nn iij i n i j j a ωωω===⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ (10) 则化为求解关于ln i ω的线性方程组.可以验证,如此解得的i ω恰是前面根法计算的结果.特征根法解决这个问题的途径可通过对定理2的证明看出. 4. 成对比较阵残缺时的处理专家或有关学者由于某种原因无法或不愿对某两个因素给出相互比较的结果,于是成对比较阵出现残缺.应如何修正,以便继续进行权向量的计算呢?一般地,由残缺阵()ij A a =构造修正阵()ij Aa = 的方法是令,,0,,1,ij ij ij ij i i a a i j a a i jm m i i jθθθ≠≠⎧⎪==≠⎨⎪+=⎩ 为第行的个数, (11)θ表示残缺.已经证明,可以接受的残缺阵A 的充分必要条件是A 为不可约矩阵. (六) 层次分析法的广泛应用层次分析法在正式提出来之后,由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性,很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用.从处理问题的类型看,主要是决策、评价、分析、预测等方面. 这个方法在20世纪80年代初引入我国,很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受,得到了成功的应用.层次分析法在求解某些优化问题中的应用[5]举例 假设某人在制定食谱时有三类食品可供选择:肉、面包、蔬菜.这三类食品所含的营养成分及单价如表所示表2 肉、面包、蔬菜三类食品所含的营养成分及单价食品 维生素A/(IU/g) 维生素B/(mg/g) 热量/(kJ/g) 单价/(元/g ) 肉 面包 蔬菜0.3527 025 0.0021 0.00060.0020 11.93 11.511.04 0.02750.0060. 0.007该人体重为55kg ,每天对各类营养的最低需求为:维生素A 7500国际单位 (IU)维生素B 1.6338mg热量 R 8548.5kJ考虑应如何制定食谱可使在保证营养需求的前提下支出最小?用层次分析法求解最优化问题可以引入包括偏好等这类因素.具体的求解过程如下:①建立层次结构② 根据偏好建立如下两两比较判断矩阵表3 比较判断矩阵WD ED 13 E311max 2λ=,10CI =,100.1CR =<,主特征向量()0.75,0.25W T=故第二层元素排序总权重为()10.75,0.25W T=每日需求W营养D 蔬菜支出E维生素B 肉 价格F面包 维生素A 热量R表4 比较判断矩阵D ABRA 1 1 2 B112R 5.05.01111max 1113,0,0,0.58CI CR RI λ==== ,主特征向量()0.4,0.4,0.2W T= 故相对权重()210.4,0.4,0.2,0P T=③ 第三层组合一致性检验问题因为()()2111211112120;0.435CI CI CI W RI RI RI W ====,212200.1CR CR CI RI =+=<故第三层所有判断矩阵通过一致性检验,从而得到第三层元素维生素A 、维生素B 、热量Q 及支出E 的总权重为:()()221221120.3,0.3,0.15,0.25W P W P P W T===求第四层元素关于总目标W 的排序权重向量时,用到第三层与第四层元素的排序关系矩阵,可以用原始的营养成分及单价的数据得到.注意到单价对人们来说希望最小,因此应取各单价的倒数,然后归一化.其他营养成分的数据直接进行归一化计算,可得表5表5 各营养成分数据的归一化 食品维生素A维生素B热量R单价F肉 0.0139 0.44680.4872 0.1051 面包 0.0000 0.1277 0.4702 0.4819 蔬菜0.98610.42550.04260.4310则最终的第四层各元素的综合权重向量为:()3320.2376,0.2293,0.5331W P W T==,结果表明,按这个人的偏好,肉、面包和蔬菜的比例取0.2376:0.2293:0.5331较为合适.引入参数变量,令10.2376x k =,20.2293x k =,30.5331x k =,代入()1LP123min 0.02750.0060.007f x x x =++131231231230.352725.075000.00210.00060.002 1.6338..(1)11.930011.5100 1.048548.5,,,0x x x x x s t LP x x x x x x +≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩则得k f 0116.0min =()13.411375000.0017 1.6338..26.02828548.50k k s t LP k k ≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩容易求得1418.1k =,故得最优解()*336.9350,325.1650,755.9767x T=;最优值 *16.4497f =,即肉336.94g ,面325.17g ,蔬菜755.98g ,每日的食品费用为16.45元.总之,对含有主、客观因素以及要求与期望是模糊的优化问题,用层次分析法来处理比较适用.二、模糊数学法模糊数学是1965年美国控制论专家L.A.Zadeh创立的.模糊数学作为一门新兴学科,它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判等各方面.在气象、结构力学、控制、心理学方面已有具体的研究成果.(一) 模糊数学的研究内容第一,研究模糊数学的理论,以及它和精确数学、随机数学的关系;第二,研究模糊语言和模糊逻辑,并能作出正确的识别和判断;第三,研究模糊数学的应用.(二) 模糊数学在数学建模中应用的可行性1.数学建模的意义在于将数学理论应用于实际问题[6].而模糊数学作为一种新的理论,本身就有其巨大的应用背景,国内外每年都有大量的相关论文发表,解决了许多实际问题.目前在数学建模中较少运用模糊数学方法的原因不在于模糊数学理论本身有问题,而在于最新的研究成果没有在第一时间进入数学建模的教科书中,就其理论本身所具有的实用性的特点而言,模糊数学应该有助于我们解决建模过程中的实际问题.2.数学建模的要求是模型与实际问题尽可能相符.对实际问题有这样一种分类方式:白色问题、灰色问题和黑色问题.毫无疑问,引进新的方法对解决这些问题大有裨益.在灰色问题和黑色问题中有很多现象是用“模糊”的自然语言描述的.在这种情况下,用模糊的模型也许更符合实际.3.数学建模活动的目的之一是培养学生的创新精神.用新理论、新方法解题应该受到鼓励.近年来,用神经网络法、层次分析法等新方法建立模型的论文屡有获奖,这也说明了评审者对新方法的重视.我们相信,模糊数学方法应该很好,同样能够写出优秀的论文.(三) 模糊综合评判法中的最大隶属原则有效度在模糊统计综合评判中,如何利用综合评判结果向量()12,,,m b b b b = ,其中, 01j b <<,m 为可能出现的评语个数,提供的信息对被评判对象作出所属等级的判断,目前通用的判别原则是最大隶属原则[7].在实际应用中很少有人注意到最大隶属原则的有效性问题,在模糊综合评判的实例中最大隶属原则无一例外地被到处搬用,然而这个原则并不是普遍适用的.最大隶属原则有效度的测量1. 有效度指标的导出在模糊综合评判中,当11max 1,1njj j nj bb ≤≤===∑时,最大隶属原则最有效;而在()1max 01,jj nbc c ≤≤=<< 1nj j b nc ==∑时,最大隶属原则完全失效,且1max jj nb ≤≤越大(相对于1nj j b =∑而言),最大隶属原则也越有效.由此可认为,最大隶属原则的有效性与1max jj nb ≤≤在1njj b =∑中的比重有关,于是令:11max njjj nj b b β≤≤==∑ (12)显然,当11max 1,1njj j nj bb ≤≤===∑时,则1β=为β的最大值,当()1max 01jj nb c c ≤≤=<<,1njj bnc==∑时,有1n β=为β的最小值,即得到β的取值范围为:11n β≤≤.由于在最大隶属原则完全失效时,1n β=而不为0,所以不宜直接用β值来判断最大隶属原则的有效性.为此设:()()11111n n n n βββ--'==-- (13)则β'可在某种程度上测定最大隶属原则的有效性.而最大隶属原则的有效性还与j nj b ≤≤1sec (jnj b ≤≤1sec 的含义是向量b 各分量中第二大的分量)的大小有很大关系,于是我们定义:11sec njjj nj b bγ≤≤==∑ (14)可见: 当()1,1,0,0,,0b = 时,γ取得最大值12.当()0,1,0,0,,0b = 时,γ取得最小值0.即γ的取值范围为012γ≤≤,设()02120γγγ-'==-.一般地,β'值越大最大隶属原则有效程度越高;而γ'值越大,最大隶属原则的有效程度越低.因此,可以定义测量最大隶属原则有效度的相对指标:()112121n n n n βββαγγγ'--⎛⎫=== ⎪'--⎝⎭ (15) 使用α指标能更准确地表明实施最大隶属原则的有效性.2. α指标的使用从α指标的计算公式看出α与γ成反比,与β成正比.由β与γ的取值范围,可以讨论α的取值范围: 当γ取最大值,β取最小值时,α将取得最小值0;当γ取最小值,β取最大值时,α将取得最大值:因为 0lim γα→=+∞,所以可定义0γ=时,α=+∞.即:0α≤<+∞.由以上讨论,可得如下结论:当α=+∞ 时,可认定施行最大隶属原则完全有效;当1α≤<+∞时,可认为施行最大隶属原则非常有效;当0.51α≤<时,可认为施行最大隶属原则比较有效,其有效程度即为α值;当00.5α<<时可认为施行最大隶属原则是最低效的;而当0α=时,可认定施行最大隶属原则完全无效.有了测量最大隶属原则有效度的指标,不仅可以判断所得可否用最大隶属原则确定所属等级,而且可以说明施行最大隶属原则判断后的相对置信程度,即有多大把握认定被评对象属于某个等级. 讨论a . 在很多情况下,可根据β值的大小来直接判断使用最大隶属原则的有效性而不必计算α值.根据α与β之间的关系,当0.7β≥,且4n >时,一定存在1α>.通常评价等级数取4和9之间,所以4n >这一条件往往可以忽略,只要0.7β≥就可免算α值,直接认定此时采取最大隶属原则确定被评对象的等级是很有效的.b . 如果对()12,,,m b b b b = 进行归一化处理而得到b ',则可直接根据b '进行最大隶属原则的有效度测量. (四) 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学有诸多分支,应用广泛.如模糊规划、模糊优化设计、综合评判、模糊聚类分析、模糊排序、模糊层次分析等等.这些方法在工业、军事、管理等诸多领域被广泛应用. 举例 带模糊约束的最小费用流问题[8]问题的提出 最小费用流问题的一般提法是:设(),,,D V A c ω=是一个带出发点s v 和收点t v 的容量-费用网络,对于任意(),ijv v A ∈,ijc表示弧(),i j v v 上的容量,ij ω表示弧(),i j v v 上通过单位流量的费用,0v 是给定的非负数,问怎样制定运输方案使得从s v 到t v 恰好运输流值为0v 的流且总费用最小?如果希望尽可能地节省时间并提高道路的通畅程度,问运输方案应当怎样制定?模型和解法 问题可以归结为:怎样制定满足以下三个条件的最优运输方案?(1)从s v 到t v 运送的流的值恰好为0v ;(2)总运输费用最小;(3)在容量ij c 大的弧(),i j v v 上适当多运输.如果仅考虑条件(1)和(2),易写出其数学模型为:()()()()()()(){}(),0,,0,,,,min()..0,0i j s j j s t j j t i j j i ij ijv v Asj js v v A v v A tj jt v v Av v A ij ji i s t v v A v v A ij ijf f f v f f v M s t f f v V v v f c ω∈∈∈∈∈∈∈⎧-=⎪⎪-=-⎪⎪⎨⎪-=∈⎪⎪≤≤⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑ 把条件(3)中的“容量大” 看作A 上的一个模糊子集A ,定义其隶属函数μ:[]0,1A →为:()()00,0,1,ij ij ij i j A d c c v ij c c v v e c cμμ--≤≤⎧⎪==⎨->⎪⎩其中 ()1,i j ij v v c A c -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦∑ (平均容量)()()()()()()21,2211,,0,1lg ,1i j i j i j ij v v A ij ij v v A v v A A c c d A c c A c c -∈--∈∈⎧⎡⎤⎪⎢⎥-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥-->⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩∑∑∑建立ij μ是为了量化“适当多运输”这一模糊概念.对条件(2)作如下处理:对容量ij c 大的弧(),i j v v ,人为地降低运价ij ω,形成“虚拟运价”ij ω,其中ij ω满足:ij c 越大,相应的ij ω的调整幅度也越大.选取ij ω为()1kij ij ij ωωμ=-,(),i j v v A ∈.其中k 是正参数,它反映了条件(2)和条件(3)在决策者心目中的地位.决策者越看重条件(3),k 取值越小;当k 取值足够大时,便可忽略条件(3) .一般情况下,合适的k 值最好通过使用一定数量的实际数据进行模拟、检验和判断来决定.最后,用ij ω代替原模型M 中的ij ω,得到一个新的模型M '.用现有的方法求解这个新的规划问题,可期望得到满足条件(3)的解.模型的评价 此模型在原有的数学规划模型和解法的基础上,增加了模糊约束.新模型比较符合实际,它的解包含了原模型的解,因而它是一个较为理想的模型.隶属度的确定在模糊数学中有多种方法,可以根据不同的实际问题进行调整.同样的思想方法可以处理其他的模糊约束问题.三、灰色系统客观世界的很多实际问题,其内部结构、参数以及特征并未全部被人们了解,对部分信息已知而部分信息未知的系统,我们称之为灰色系统.灰色系统理论是从系统的角度出发来研究信息间的关系,即研究如何利用已知信息去揭示未知信息.灰色系统理论包括系统建模、系统预测、系统分析等方面.(一)灰色关联分析理论及方法灰色系统理论[9]中的灰色关联分析法是在不完全的信息中,对所要分析研究的各因素,通过一定的数据,在随机的因素序列间,找出它们的关联性,找到主要特性和主要影响因素.计算方法与步骤:1.原始数据初值化变换处理分别用时间序列()k的第一个数据去除后面的原始数据,得出新的倍数列,即初始化数列,量纲为一,各值均大于零,且数列有共同的起点.2. 求关联系数 ()()()()()()()()()0000min min ||max max ||||max max ||k i k k i k ikiki k k i k k i k ikx x x x x x x x ρξρ-+-=-+-3. 取分辨系数 01ρ<< 4. 求关联度()()11ni k i k k r n ξ==∑(二) 灰色预测1.灰色预测方法的特点(1)灰色预测需要的原始数据少,最少只需四个数据即可建模;(2)灰色模型计算方法简单,适用于计算机程序运行,可作实时预测;(3)灰色预测一般不需要多因素数据,而只需要预测对象本身的单因素数据,它可以通过数据本身的生成,寻找系统内在的规律;(4) 灰色预测既可做短期预测,也可做长期预测,实践证明,灰色预测精度较高,误差较小.2. 灰色预测GM(1,1)模型的一点改进一些学者为了提高预测精度做出了大量的研究工作,提出了相应的方法.本文将在改善原始离散序列光滑性的基础上,进一步研究GM(1,1)预测模型的理论缺陷及改进方法[10].问题的存在及改进方法如下:传统灰色预测GM(1,1)模型的一般步骤为: (1)1-ADO :对原始数据序列(){}0k x ()1,2,,k n = 进行一次累加生成序列()()101kk i i x x =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∑()1,2,,k n =(2)对0x 数列进行光滑性检验:00,k λ∀>∃,当0k k >时:()()()()0011101k k k k i i x x x x λ--==<∑文献[11]进一步指出只要()()0101k k i i x x -=∑为k 的递减函数即可.(3)对1x 作紧邻生成:()()()()1111*1*,2,3,,k k k Z x x k n αα-=+-=。
数学建模常用算法和模型全集
数学建模常用算法和模型全集
数学建模是研究问题、建立模型、利用数学工具进行分析和求解的过程。
在数学建模中,常用的算法和模型有很多。
以下是其中的一些常用算
法和模型的全集:
算法:
1.遗传算法:模拟进化过程,通过选择、交叉、变异等操作,优化求
解问题。
2.蚁群算法:模拟蚂蚁觅食过程,在问题空间中最优解。
3.粒子群算法:模拟鸟类觅食行为,通过交互和协作,最优解。
4.模拟退火算法:模拟固体材料退火过程,在解空间中寻找全局最优解。
5.支持向量机:通过寻找超平面将样本分为不同的类别,进行分类和
回归分析。
模型:
1.线性回归模型:建立变量之间的线性关系,进行预测和解释性分析。
2.逻辑回归模型:通过转化为概率问题,进行分类分析。
3.马尔可夫模型:描述具有状态和状态转换的随机过程,用于建模时
间序列数据。
4.神经网络模型:模拟人脑神经元的连接和传递过程,用于分类、回
归和聚类等任务。
5.混合模型:结合多个模型,适应复杂的数据分布和问题求解。
6.随机森林模型:结合多个决策树模型的集成算法,用于分类和回归问题。
此外,还有许多其他的算法和模型,如朴素贝叶斯、决策树、聚类分析、时间序列分析、图论等等。
这些算法和模型根据具体问题的特点和求解要求,选择合适的方法进行建模和分析。
不同的算法和模型有不同的优缺点,需要根据具体情况选择合适的方法。
数模竞赛常用算法
数模竞赛常用算法数模竞赛(数学建模竞赛)是指通过数学建模与算法求解问题的比赛。
在数模竞赛中,常用的算法有很多种。
以下是一些常见的数模竞赛常用算法:一、线性规划算法:1.单纯形法:是一种用于求解线性规划问题的常用方法,通过不断迭代找到目标函数取得最大(或最小)值的解。
2.内点法:也是一种求解线性规划问题的方法,通过在可行域内不断向内部移动来逼近最优解。
与单纯形法相比,内点法在求解大规模问题时更具优势。
二、整数规划算法:1.分支定界法:将整数规划问题不断划分为更小的子问题,并通过对子问题的求解来逐步确定最优解。
针对子问题,可以再次应用分支定界法,形成逐层递归的求解过程。
2.割平面法:通过不断添加割平面(约束条件)来逼近整数规划问题的最优解。
通过割平面法,可以有效地减少空间,提高求解效率。
三、动态规划算法:1.最优化原理:将原问题划分为若干子问题,利用子问题的最优解构造出原问题的最优解。
2.状态转移方程:通过定义状态和状态之间的转移关系,将原问题转化为一个递推求解的问题。
四、图论算法:1.最短路径算法:-Dijkstra算法:通过确定节点到源节点的最短路径长度来更新其他节点的最短路径。
-Floyd-Warshall算法:通过动态规划的方法计算图中所有节点间的最短路径。
2.最小生成树算法:-Prim算法:通过不断选择与当前生成树连接的最小权值边来构建最小生成树。
-Kruskal算法:通过按照边的权值递增的顺序,依次选择权值最小且不形成环的边来构建最小生成树。
3.网络流算法:-Ford-Fulkerson算法:通过不断寻找增广路径来增加流量,直至找不到增广路径为止。
-最小费用流算法:在网络流问题的基础上,引入边的费用,最终求解费用最小的流量分配方案。
五、模拟退火算法:模拟退火算法是一种经典的优化算法,模拟物质退火过程的特性,通过随机和接受劣解的策略,逐步逼近最优解。
六、遗传算法:遗传算法是一种模拟自然界生物进化过程的优化算法,通过对一组候选解(个体)进行遗传操作(如交叉、变异、选择等),逐代进化出适应度更高的解。
数学建模(常用软件+基本算法)
主要用到的软件有:Matlab、Mathmatic、Lingo/LinDo、SAS、SPSS。
其中前两个主要为计算软件(也可做优化),中间的那个为优化软件,最后两个为统计分析软件。
十类算法的详细说明1、蒙特卡罗算法:在大多数建模赛题中都离不开计算机的仿真,随机性模拟是非常常见的算法之一。
举个例子就是97年的A题,每个零件都有自己的标定值,也都有自己的容差等级,而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108种容差选取方案,根本不可能去解析求解的,那如何去找到最优的方案呢?随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法,在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案,然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案,从中选取一个最佳的。
另一个例子就是去年的彩票第二问,要求设计一种更好的方案,首先方案的优劣决定于很多复杂的因素,同样不可能刻画出一个模型进行求解,只能靠随机仿真模拟。
2、数据拟合、参数估计、插值等算法:数据拟合在很多赛题中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98年美赛A题,生物组织切片的三维插值处理,94年A题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的非典问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。
此类问题在Matlab中有很多数据处理现成的函数可以调用,熟悉Matlab,这些方法都能游刃有余的做好。
3、规划类问题算法:竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式组作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题,遇到这类问题,求解就是关键了,比如98B,用很多不等式完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用Lindo、Lingo等软件来进行解决比较方便,所以还需要熟悉这两个软件。
4、图论问题:98B、00B、95锁具装箱等问题体现了图论问题的重要性,这类问题算法有很多,包括:Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford,最大流,二分匹配等问题。
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假设图G 权的邻接矩阵为0A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n nn a a a a a a a a a A2122221112110 来存放各边长度,其中:0=ii a n i ,,2,1 =;∞=ij a j i ,之间没有边,在程序中以各边都不可能达到的充分大的数代替; ij ij w a = ij w 是j i ,之间边的长度,n j i ,,2,1, =。
对于无向图,0A 是对称矩阵,ji ij a a =。
Floyd 算法的基本思想是:递推产生一个矩阵序列n k A A A A ,,,,,10 ,其中),(j i A k 表示从顶点i v 到顶点j v 的路径上所经过的顶点序号不大于k 的最短路径长度。
计算时用迭代公式:)),(),(),,(min(),(111j k A k i A j i A j i A k k k k ---+=k 是迭代次数,n k j i ,,2,1,, =。
最后,当n k =时,n A 即是各顶点之间的最短通路值。
例10 用Floyd 算法求解例1。
矩阵path 用来存放每对顶点之间最短路径上所经过的顶点的序号。
Floyd 算法的Matlab 程序如下: clear; clc;M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; a(5,:)=[zeros(1,5),55]; a(6,:)=zeros(1,6);b=a+a';path=zeros(length(b)); for k=1:6 for i=1:6 for j=1:6if b(i,j)>b(i,k)+b(k,j)b(i,j)=b(i,k)+b(k,j); path(i,j)=k; end end end endb, pathFloyd 最短路算法的MATLAB 程序 %floyd.m%采用floyd 算法计算图a 中每对顶点最短路 %d 是矩离矩阵 %r 是路由矩阵function [d,r]=floyd(a) n=size(a,1); d=a; for i=1:n for j=1:n r(i,j)=j; end end rfor k=1:n for i=1:n for j=1:nif d(i,k)+d(k,j)<d(i,j) d(i,j)=d(i,k)+d(k,j); r(i,j)=r(i,k) end end end k d r end两个指定顶点之间的最短路径问题如下:给出了一个连接若干个城镇的铁路网络,在这个网络的两个指定城镇间,找一条最短铁路线。
以各城镇为图G 的顶点,两城镇间的直通铁路为图G 相应两顶点间的边,得图G 。
对G 的每一边e ,赋以一个实数)(e w —直通铁路的长度,称为e 的权,得到赋权图G 。
G 的子图的权是指子图的各边的权和。
问题就是求赋权图G 中指定的两个顶点00,v u 间的具最小权的轨。
这条轨叫做00,v u 间的最短路,它的权叫做00,v u 间的距离,亦记作),(00v u d 。
求最短路已有成熟的算法:迪克斯特拉(Dijkstra )算法,其基本思想是按距0u 从近到远为顺序,依次求得0u 到G 的各顶点的最短路和距离,直至0v (或直至G 的所有顶点),算法结束。
为避免重复并保留每一步的计算信息,采用了标号算法。
下面是该算法。
(i) 令0)(0=u l ,对0u v ≠,令∞=)(v l ,}{00u S =,0=i 。
(ii) 对每个i S v ∈(i i S V S \=),用)}()(),({min uv w u l v l iS u +∈代替)(v l 。
计算)}({min v l iS v ∈,把达到这个最小值的一个顶点记为1+i u ,令}{11++=i i i u S S 。
(iii). 若1||-=V i ,停止;若1||-<V i ,用1+i 代替i ,转(ii)。
算法结束时,从0u 到各顶点v 的距离由v 的最后一次的标号)(v l 给出。
在v 进入i S 之前的标号)(v l 叫T 标号,v 进入i S 时的标号)(v l 叫P 标号。
算法就是不断修改各项点的T 标号,直至获得P 标号。
若在算法运行过程中,将每一顶点获得P 标号所由来的边在图上标明,则算法结束时,0u 至各项点的最短路也在图上标示出来了。
例9 某公司在六个城市621,,,c c c 中有分公司,从i c 到j c 的直接航程票价记在下述矩阵的),(j i 位置上。
(∞表示无直接航路),请帮助该公司设计一张城市1c 到其它城市间的票价最便宜的路线图。
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞055252510550102025251001020402010015252015050102540500用矩阵n n a ⨯(n 为顶点个数)存放各边权的邻接矩阵,行向量pb 、1index 、2index、d 分别用来存放P 标号信息、标号顶点顺序、标号顶点索引、最短通路的值。
其中分量⎩⎨⎧=顶点未标号当第顶点已标号当第i i i pb 01)(; )(2i index 存放始点到第i 点最短通路中第i 顶点前一顶点的序号;)(i d 存放由始点到第i 点最短通路的值。
求第一个城市到其它城市的最短路径的Matlab 程序如下: clear; clc;M=10000;a(1,:)=[0,50,M,40,25,10];a(2,:)=[zeros(1,2),15,20,M,25]; a(3,:)=[zeros(1,3),10,20,M]; a(4,:)=[zeros(1,4),10,25]; a(5,:)=[zeros(1,5),55]; a(6,:)=zeros(1,6); a=a+a';pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;index1=1;index2=ones(1,length(a)); d(1:length(a))=M;d(1)=0;temp=1; while sum(pb)<length(a) tb=find(pb==0);d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb)); tmpb=find(d(tb)==min(d(tb))); temp=tb(tmpb(1)); pb(temp)=1;index1=[index1,temp];index=index1(find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1))); if length(index)>=2 index=index(1); endindex2(temp)=index; endd, index1, index24.2.1prim 算法构造最小生成树设置两个集合P 和Q ,其中P 用于存放G 的最小生成树中的顶点,集合Q 存放G 的最小生成树中的边。
令集合P 的初值为}{1v P =(假设构造最小生成树时,从顶点1v 出发),集合Q 的初值为Φ=Q 。
prim 算法的思想是,从所有P p ∈,P V v -∈的边中,选取具有最小权值的边pv ,将顶点v 加入集合P 中,将边pv 加入集合Q 中,如此不断重复,直到V P =时,最小生成树构造完毕,这时集合Q 中包含了最小生成树的所有边。
prim 算法如下:(i )}{1v P =,Φ=Q ;(ii )while V P =~},,m i n (P V v P p w pv pv -∈∈= }{v P P += }{pv Q Q +=end例11 用prim 算法求右图的最小生成树。
我们用nresult⨯3的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。
Matlab程序如下: clc;clear; M=1000;a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40; a(3,4)=52;a(3,7)=45;a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70;a=[a;zeros(2,7)];a=a+a';a(find(a==0))=M;result=[];p=1;tb=2:length(a);while length(result)~=length(a)-1 temp=a(p,tb);temp=temp(:); d=min(temp);[jb,kb]=find(a(p,tb)==d); j=p(jb(1));k=tb(kb(1));result=[result,[j;k;d]];p=[p,k];tb(find(tb==k))=[]; end result4.2.1 Kruskal 算法构造最小生成树科茹斯克尔(Kruskal )算法是一个好算法。
Kruskal 算法如下: (i)选)(1G E e ∈,使得min )(1=e w 。
(ii)若i e e e ,,,21 已选好,则从},,,{)(21i e e e G E -中选取1+i e ,使得 ① }],,,,[{121+i i e e e e G 中无圈,且 ② min )(1=+i e w 。
(iii)直到选得1-νe 为止。
例12 用Kruskal 算法构造例3的最小生成树。
我们用nindex⨯2存放各边端点的信息,当选中某一边之后,就将此边对应的顶点序号中较大序号u 改记为此边的另一序号v ,同时把后面边中所有序号为u 的改记为v 。
此方法的几何意义是:将序号u 的这个顶点收缩到v 顶点,u 顶点不复存在。
后面继续寻查时,发现某边的两个顶点序号相同时,认为已被收缩掉,失去了被选取的资格。
Matlab 程序如下: clc;clear; M=1000;a(1,2)=50; a(1,3)=60; a(2,4)=65; a(2,5)=40; a(3,4)=52;a(3,7)=45;a(4,5)=50; a(4,6)=30;a(4,7)=42; a(5,6)=70;[i,j]=find((a~=0)&(a~=M)); b=a(find((a~=0)&(a~=M)));data=[i';j';b'];index=data(1:2,:); loop=max(size(a))-1; result=[];while length(result)<loop temp=min(data(3,:));flag=find(data(3,:)==temp); flag=flag(1);v1=data(1,flag);v2=data(2,flag); if index(1,flag)~=index(2,flag) result=[result,data(:,flag)]; endif v1>v2index(find(index==v1))=v2; elseindex(find(index==v2))=v1; enddata(:,flag)=[]; index(:,flag)=[]; end result一名推销员准备前往若干城市推销产品,然后回到他的出发地。