浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章

第二章 控制系统的状态空间表达式的解
本章主要内容： • 线性定常齐次状态方程的解（自由解） • 矩阵指数函数——状态转移矩阵 • 线性定常系统非齐次状态方程的解
状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其 直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输 出与内部状态关系的动态数学模型——状态方程，运用矩 阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状 态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务 之一。 本章重点:
证明： x(t1) Φ(t1)x(0) x(0) Φ1(t1)x(t1) Φ(t1)x(t1) x(t2 ) Φ(t2 )x(0) Φ(t2 )Φ(t1)x(t1) Φ(t2 t1)x(t1) x(t1)转移至x(t2 )的状态转移矩阵为 Φ(t2 t1)
(6) Φ(t2 t0 ) Φ(t2 t1)Φ(t1 t0 )
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kbk Abk1
b1 Ab0
b
2
1 2
Ab1
1 2!
A
2b0
b3
1 3
Ab2
1 3!
A3b0
b k
1 k
Abk 1
1 k!
A
k
b
0
代入 x(t)
x(t) Ax(t)
eat 1 at 1 a2t 2 1 akt k
2!
k!
x(t)
(I At
讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，并在 此基础上导出状态方程的求解公式。
*** 齐次状态方程的解
1、线性定常系统的运动
1）自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，
由初始状态引起的运动称自由运动。
u0
x
( A, B)
齐次状态方程的解： x Ax , x(t) |t0 x(0)
此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变 换阵P。
需要说明的是：对于所有重特征值 i ，构造约当块，并和非重特
征值一起构成约当矩阵。根据状态转移矩阵的性质，求得 e A。t
例 已知矩阵
0 6 5
A 1 0
2
3 2 4
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
6 5 I A 1 2 0
代入微分方程： x (t) Ax(t) A(b0 b1t b2t 2 bkt k )
对x(t)求导： x (t) b1 2b2t 3b3t 2 kbkt k1
两式相等必有：
b1 Ab0
32bb32
Ab1 Ab2
kbk Abk1
b1 Ab0
b
2
1 2
Ab1
1 2!
t0
)
Φ(t
t0)
则有：
x(t) Φ(t)x(0) x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
线性定常系统的状态转移矩阵
说明1：状态转移矩阵必须满足以下两个条件：
1）状态转移矩阵初始条件： Φ(t0 t0 ) I
2）状态转移矩阵满足状态方程本身： Φ (t t0 ) AΦ(t t0 )
Ax
eAt x(0) Φ(t)x(0)
eP1APt I P1APt 1 (P1AP)2 t 2 1 (P1AP)k t k
2!
k!
P1 I
At
1 A2t 2 2!
1 Aktk k!
P
P1eAt P
Φ(t) P1Φ(t)P P1eAtP Φ(t) PΦ(t)P1
3、几个特殊的矩阵指数函数
*** 状态转移矩阵
1、状态转移矩阵的含义
已知：线性定常系统的齐次状态方程： x Ax
满足初始状态 x(t) |t0 x(0) 的解是：x(t) eAtx(0) 满足初始状态 x(t) |tt0 x(t0 ) 的解是：x(t) eA(tt0 )x(t0 )
令：eAt Φ(t)
e
A
(t
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
1）根据状态转移矩阵的定义求解：
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k!
对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 。
求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。
例：求解系统状态方程 解：
x1
x2
0 0
2!
3!
e At e Bt
I
At
1 A2t 2 2!
1 A3t 3 3!
I
Bt
1 B2t 2 2!
1 B3t 3 3!
I (A B)t 1 (A2 B2 2AB)t 2 1 (A3 3A2B 3AB2 B3)t3
2!
3!
AB BA (A B)2 A2 B2 AB BA A2 B2 2AB
（1）设A diag[1,2 ,, n ]，即A为对角阵且具有互异元素
时，有
e1t
(t)
e2t
0
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
0
e
nt
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即 P-1AP Λ
Φ(t) PΦ(t)P1
e1t
0
(t) P
e2t
P 1
1 x1
0
x2
x(t) eAtx(0) I At 1 A2t 2 1 Akt k x(0)
2!
k!
A2
0 0
10 00
1 0
0 0
0 0
A3
An
0 0
0 0
Φ(t) eAt
I At
1 0
0 1
0 0
10t
1 0
t 1
x1 x2
(t ) (t)
1 0
t x1(0)
1
x2
如果A为友矩阵，且有 n个互异实特征值 1, 2 ,, n
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a0 a1 a2 an
1
1
P
12
1n1
1
2 2 2
n1 2
1
3 32
n1 3
1
n
1
n 2
nn1
P1AP
2
n
例：已知矩阵
0 1 1
A 6
证明： I Φ(0) Φ(t t) Φ(t)Φ(t) Φ(t)Φ(t) 推论： x(t) Φ(t)x(0) x(0) Φ1(t)x(t) Φ(t)x(t)
状态转移具有可逆性
(5) x(t2 ) Φ(t2 t1)x(t1) x(t) Φ(t)x(0) Φ(t 3)x(3)
(0)
xx21((tt))
x1(0) x2 (0)
tx2
(0)
2）标准型法求解：
思路：根据状态转移矩阵性质：
Φ(t) eP1APt Φ(t) PΦ(t)P1
对A进行非奇异线性变换，得到：
1
A P AP
得到：
eAt PeAt P1
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约旦矩阵
（1）当A的特征值1, 2,, n为两两相异时：对角线标准型
0
ent
1
0
（3）设A为 n n 约旦阵，即 A
1
1
t
t2 2
t n1 (n 1)!
则有 (t) et 0 1
t
tn2 (n 2)!
0 0 0 t
0 0 0
1
第三次课 4、状态转移矩阵的计算
▪ 直接求解法：根据定义 ▪ 标准型法求解：对角线标准型和约当标准型 ▪ 拉氏反变换法
证明： x(t2 ) Φ(t2 t0 )x(t0 ) x(t1) Φ(t1 t0 )x(t0 )
x(t2 ) Φ(t2 t1)x(t1) Φ(t2 t1)Φ(t1 t0 )x(t0 )
状态转移可以分段进行！
例：已知状态转移矩阵，求 Φ1(t), A
2et百度文库 e2t
et e2t
t2
2、状态转移矩阵的基本性质
(1) Φ(0) I
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
(2) Φ (t) AΦ(t) Φ(t)A Φ (0) A
(3) Φ(t1 t2 ) Φ(t1)Φ(t2 ) Φ(t2 )Φ(t1) (4) Φ1(t) Φ(t), Φ1(t) Φ(t)
1 A2t 2 2!
1 k
Aktk
)
b0
t 0 x(0) b0
x(t) (I At 1 A2t 2 1 Akt k )x(0)
2!
k
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
矩阵指数函数
Φ(t) 状态转移矩阵
x(t) eAtx(0) 描述了状态向量由初始状态x(0)向任意时 刻状态 x(t)转移的内在特性。
说明2：对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指 数函数本身。
说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地 作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵
x2
x(0) x(t1 )
0
x1
(t1 0)
t1
(t2 t1 )
x(t2 )
t
-11
6
-6 -11 5
试计算状态转移矩阵 eAt .
解: 1) 特征值
1 1
I A 6 -11 6 1 2 3 0
6 11 5
1 1,2 2,3 3
2) 计算特征向量：
1 1 1 p1 0, p2 2, p3 6
1 4 9
3) 构造变换阵P：
1 1 1 P 0 2 6
证明： Φ(t) eAt
eAt I At 1 A2t 2 1 Akt k
2!
k
Φ(t) k (eAt )k ekAt eA(kt) Φ(kt)
(8) AB BA e(AB)t eAteBt eBteAt
证明： e(AB)t I (A B)t 1 (A B)2t 2 1 (A B)3t3
dt
x
x(t) eat x(0)
x(t) x(0) ax(0)t 1 a2x(0)t 2 1 ak x(0)t k
2!
k!
指数函数 eat 1 at 1 a2t 2 1 akt k
2!
k!
x(t) Ax(t)
向量
仿照标量 微分方程：
x(t) b0 b1t b2t 2 bkt k
2）强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为
强迫运动。
u
x
( A, B)
非齐次状态方程的解： x Ax Bu, x(t) |tt0 x(t0 )
2、齐次状态方程的解：
已知状态方程 x (t) Ax(t) 求 x(t) ?
一阶标量微分方程 x(t) ax(t)
dx ax dx a dt ln x ln x(0) at
3 2 4
1,2 1, 3 2
2)计算特征向量和广义特征向量。
Φ(t) 2et 2e2t
et
2e2t
解：性质4
Φ1(t) Φ(t)
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
性质2
A
Φ (0)
2et 2e2t
2et
4e2t
0 1 2 3
et 2e2t
et 4e2t
t0
(7) Φ(t)k Φ(kt)
6e2t 6e3t
2et 12e2t 9e3t
（2）当A具有n重特征根i ：约旦标准型 约旦矩阵A的矩阵指数函数
eit
e At
PeAt P1
P
0
teit
(n
1
1)
t !
n1e
it
P
1
teit
0
0
eit
其中： P为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
(A B)3 A3 B3 3A2B 3AB 2
(9) x Px Φ(t) P-1Φ(t)P P-1eAtP
证明：非奇异线性变换
x Px
n n非奇异矩阵 另一组状态变量
x Px
x P1AP x x(t) eP1AP x(0)
x Ax APx 新的系统矩阵 新的状态转移矩阵
A
2b0
b3
1 3
Ab2
1 3!
A3b0
b k
1 k
Abk 1
1 k!
A
k
b0
x(t) Ax(t)
向量
仿照标量 微分方程：
x(t) b0 b1t b2t 2 bkt k
b0 (I
Ab0t At 1
2!
1A 2! A2t 2
2b0t 2 1 Ak
k
1
k tk
Akb0t k ) b 0
1 4 9
3
P-1 3
1
5
2 4 3
2
3
1
2
则有：
et
eAt P
e2t
P
-1
e3t
3et 3e2t e3t
6et 6e3t
3et 12e2t 9e3t
5 et 4e2t 3 e3t
2
2
8e2t 9e3t
5 et 16e2t 27 e3t
2
2
2et 3e2t e3t
e1t
0
eAt PeAt P1 P
P
1
0
ent
其中： P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于i 的特征向量 pi，并得到P阵及P的逆阵。
3） 代入上式即可得到状态转移矩阵的值。
即：A det(I A) 0 i (i I A)pi 0 pi P