浙大控制考研-现代控制理论(浙大)第二章

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现代控制理论浙大

y c1x1 c2 x2 cn xn
用矢量矩阵表示的状态空间表达式为：
n 1 维列向量
n n 状态矩阵
系统矩阵
系数矩阵
x Ax bu
n 1 控制矩阵
输入矩阵
d, y,u 为标量
y Cx du
1 n 观测矩阵输出矩阵
x x1 x2 xn T
a11 a12 a1n
A a21 a22
• 系统的外部描述 • 系统的内部描述
传递函数状态空间描述
1.1 状态变量及状态空间表达式
•状态：是完全地描述动态系统运动状况的信息，系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为状态。
•状态变量：是指足以完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量。
完全描述：如果给定了t t0时刻这组变量值
⑶用箭头将这些元件连接起来。
例画出一阶微分方程的系统结构图。
微分方程： x ax bu
状态结构图
例画出三阶微分方程的系统结构图。微分方程：
x a2x a1x a0 x b0u
例画出下述状态空间表达式的系统结构图。
0 1 0 0
x
0
0
1
x
0u
6 3 2 1
y 1 1 0x
x1 x2
0 1 L
1
C R
x1 x2
0 1
u
L
L
y
1
0
x1 x2
状态变量选择不同，状态方程也不同。若按照如下所示的微分方程：
duc(t) 1 i(t) dt C
di(t) 1
R1
dt L uc (t) L i(t) L u(t)

现代控制理论-02

3. 状态转移矩阵是可逆的，且 Φ −1 (t ) = Φ(−t )
根据 Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
x2 = e A(t2 −t1 ) x1 = Φ(t2 − t1 ) x1
x x(t0) x(t1) x(t2)
x1 = e A(t1−t0 ) x0 = Φ(t1 − t0 ) x0
2. 对任意的t和s，Φ (t + s ) = Φ (t )Φ ( s )
Φ(t )Φ(s) = e At e As 1 2 2 1 A t + L)(I + As + A2 s 2 + L) 2! 2! 1 ⎞ 1 1 1 ⎞ ⎛1 ⎛1 = I + A(t + s) + A2 ⎜ t 2 + ts + s 2 ⎟ + A3 ⎜ t 3 + t 2 s + ts 2 + s 3 ⎟ + L 2! ⎠ 2! 2! 3! ⎠ ⎝ 3! ⎝ 2! 1 2 1 3 2 = I + A(t + s) + A (t + s) + A (t + s) 3 + L 2! 3! = e A(t + s) = Φ(t + s) = ( I + At +
故
e
At
1 −1 1 (T DT ) 2 t 2 + L + (T −1 DT ) n t n + L 2! n! 1 −1 2 2 1 −1 n n −1 −1 = T IT + T DTt + T D Tt + L + T D Tt + L n! 2! 1 1 ⎛ ⎞ = T −1 ⎜ I + Dt + D 2t 2 + L + D nt n + L⎟T n! 2! ⎝ ⎠ =e

浙江大学控制工程第2章拉氏变换

(t 0)
④
注意求拉氏反变换的步骤
19
2.1.4 拉普拉斯反变换
s m bm 1 s m1 b1 s b0 B(s) bm F ( s) n 1 s n1 a1 s a0 A(s) s an
A(s) (s s1 )(s s2 )(s sn ) 0
1. A(s)=0 只有单实根:
-si为A(s)=0的根, 应先求出.
c c1 c 2 n s s1 s s 2 s sn
si 为实数且两两相异. 有 F (s) B(s)
A( s)
[ F ( s)( s si )] ci为待定系数: ci slim s
1
现有: 则:
F (s) e
1 s
f (t ) 1(t t1 )
1s
0
t1
t
1 s
14
知识巩固
• • • • • • 所谓原函数, 写作( ), 其自变量为( ), (具有/不具有)物理意义; 所谓象函数, 写作( ), 其自变量为( ), (具有/不具有)物理意义; 从原函数获得象函数有两种方法,即( ), 课程要求是( ); 对原函数微分一次, 则对应的象函数运算是( ); 对原函数积分一次, 则对应的象函数运算是( ); 假设初始条件为零, 其好处是( ); 这种假设对自动控制系统的分析有影响吗? • 所谓初值定理中的”初值”, 指的是当( )时, (原/象)函数的值; • 所谓终值定理中的”终值”, 指的是当( )时, (原/象)函数的值;
F (s) A sa
f (t ) e at
f (t ) Ae
at
t

现代控制理论-2PPT课件

现代控制理论
20世纪60年代以后发展起来，以状态空间法为基础，研究多输入多输出、非线性、时变等复杂系统的分析和设计问题。
现代控制理论的研究对象与特点
研究对象
现代控制理论以系统为研究对象，包括线性系统、非线性系统、离散系统、连续系统等。
特点
现代控制理论注重系统的内部结构、状态和行为，强调对系统的整体性能和优化指标的研究，采用状态空间法、最优控制、鲁棒控制等先进的分析和设计方法。
现代控制理论-2ppt课件
contents
目录
• 引言 • 线性系统的状态空间描述 • 线性系统的能控性和能观性 • 线性定常系统的稳定性分析 • 线性定常系统的综合与校正 • 非线性系统分析基础
01 引言
控制理论的发展历程
经典控制理论
起源于20世纪初，主要研究单输入-单输出线性定常系统的分析和设计问题，采用传递函数、频率响应等分析方法。
串联校正
在系统中串联一个校正装置，改变系统的开环传递函数，从而实
现对系统性能的综合与校正。
并联校正
在系统中并联一个校正装置，产生一个附加的控制作用，以改善系统的性能。
复合校正
同时采用串联和并联校正方式，以更灵活地改善系统的性能。
06 非线性系统分析基础
非线性系统的特点与分类
非线性特性
系统输出与输入之间呈现非线性关系，不满足叠加原理。
本课程的目的和要求
目的
本课程旨在使学生掌握现代控制理论的基本概念和方法，培养学生分析和设计控制系统的能力，为从事控制工程和相关领域的科学研究和技术开发打下基础。
要求
学生应掌握状态空间法的基本原理和数学工具，了解最优控制和鲁棒控制的基本思想和方法，能够运用所学知识分析和设计简单的控制系统，并具备一定的实验技能和创新能力。

第2章现代控制理论1PPT课件

时不变系统状态转移矩阵Φ tt0或 Φ t是满足如下矩阵微分
方程和初始条件的解,这也是检验一个矩阵是不是状态转移
的条件。
Φ (tt0)AΦ (tt0)或 Φ (t)AΦ (t)
Φቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(0)I
Φ (0)I
（2.5）
1Φ t在 t0的值 lim ΦtI
t0
(2)Φt对t的导 Φ 数 tA Φ tΦ tA
故可求出其解为：
t
X ( t) ( t) X ( 0 ) o ( t ) B () U d ( 2 .2 b )
式中 (t) eAt 为系统的状态转移矩阵。
对于线性时变系统非齐次状态方程，
X ( t) A ( t) X ( t) B ( t) U ( t) ( 2 3 )
类似可求出其解为
x (0 )e a t tb(u )e a (t )d 0
同样，将方程（2.1）写为 X (t)A(X t)B(U t)
在上式两边左乘eAt ，可得：
e A [X t(t) A(t) X ]d[e AX t(t) ]e A B t (tU )
dt
3
将上式由 0 积分到 t ，得
X ( t) e A X t ( 0 ) te A (t )B () U d (2 .2 a ) o
的解，X(t)=Ф (t, t0)X(0) 。下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个
重要性质： 1、 (t,t)I
2 、 ( t 2 ,t 1 ) ( t 1 ,t 0 ) ( t 2 ,t 0 )
3 、 1 (t,t0) (t0 ,t) 4、当A给定后，(t,t0) 唯一
5、计算时变系统状态转移矩阵的公式
令 x (t) b 0 b 1 t b 2 t2 b iti b iti,t 0

现代控制理论第二章答案

cos2t
e At
TeAtT 1
1 0
0 cos2t 2sin 2t
cos2t 0.5sin 2t
2sin 2t
c os 2t
sin 2t1
c os 2t
0
0 0.5
(2)
1 1
I A
2 3 0
4 1
1 1
2 3
1
1
P1 2 P2 2
1 1 T 2 2
0.25
s 0.5
3
s 1 s 3
e At
L1[(sI
A)1]
0.5et 0.5e3t
et e3t
0.25et 0.25e3t
0.5et 0.5e3t
解法四:凯莱—哈密顿定理法
(1) 特征方程:
I A
1 2 4 0
4
0 (t)
1
(t
)
1 1
1 2
1
e1t e2t
s
0
s2 1
1 0
t 1
s
t
x(t) (t)x(0) o (t )Bu( )d
1 0
t1 t 1 11 0 0
t
1
101(
)d
1 2
t
2
t
t 1
1
【习题2－10 】有离散系统如下,求x(k)
1
x(k
1)
2 1
8
1
8 1
x(k
)
1 0
2
0 u1 (k ) 1u2 (k)
(et
(et
e3t ) e3t )
141((eet tee33t t))
1 2
(et (et

浙大839《控制理论》考试大纲

2018年硕士生统考（全日制）入学考《控制理论》考试大纲控制理论第一章引论1、了解自动控制的基本概念；2、开环与闭环控制系统的构成及各自特点；3、控制系统的典型应用案例。

第二章数学模型1、掌握用微分方程和传递函数建立系统的数学模型方法；2、非线性系统模型的线性化；3、典型控制系统环节的数学模型及其推导方法；4、掌握方框图的绘制及其简化方法；5、应用信号流图和梅逊公式求系统的传递函数第三章时域分析1.掌握一阶系统、二阶系统在脉冲输入和阶跃输入下时域响应及性能指标计算；2.分析一阶系统、二阶系统参数变化对性能指标的影响；3.掌握稳态误差计算方法、系统型式对稳态误差的影响，理解积分环节对改善稳态误差作用；4.掌握线性系统稳定性的定义，并能用相应的判据分析和判断系统稳定性的方法。

第四章根轨迹法1、了解根轨迹法的概念；绘制根轨迹依据是什么？幅值方程作用是什么？2、掌握常规根轨迹、相角为π，0及迟后系统的根轨迹绘制方法及要点；3、对于多回路系统和参数根轨迹，如何绘制根轨迹并对系统稳定性进行分析；4、利用根轨迹定性分析参数对性能的影响。

第五章频域分析法1、频域特性定义及它与传递函数关系；2、掌握绘制典型环节及串联系统的频率特性方法（极坐标图，伯德图）；3、熟悉奈奎斯特稳定性原理，并能灵活应用于系统稳定性分析；4、掌握相对稳定性分析方法，分析相对稳定性与时域指标关系；5、了解闭环频率特性绘制和闭环频率特性与系统时域响应的关系。

第六章控制系统校正1、系统为什么要进行校正，校正分哪两类（有源和无源），各有何特点；2、掌握用频率特性法进行串联超前、滞后、超前－滞后和PID校正方法；3、掌握用根轨迹法进行串联超前、滞后和PID校正方法；4、分析校正前后系统稳定性或性能指标的变化。

第七章非线性系统分析1、了解非线性系统的基本概念、特点（与线性系统比较）；2、掌握相轨迹的定性绘制方法；3、掌握用相轨迹分析非线性系统的稳定性；4、典型非线性环节的描述函数计算；5、掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性，并注意其应用条件。

现代控制理论基础第二章习题答案

第二章状态空间表达式的解3-2-1 试求下列矩阵A 对应的状态转移矩阵φ（t ）。

（1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A （2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0410A （3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2110A （4） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=452100010A （5）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000100001000010A （6）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλ000100010000A 【解】：（1）（2）（3）（4）特征值为：2,1321===λλλ。

由习题3-1-7(3)得将A 阵化成约当标准型的变换阵P 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=421211101P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1211321201P线性变换后的系统矩阵为：（5）为结构四重根的约旦标准型。

（6）虽然特征值相同，但对应着两个约当块。

或}0100010000{])[()(1111----⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-=Φλλλλs s s s L A sI L t 3-2-2 已知系统的状态方程和初始条件（1）用laplace 法求状态转移矩阵；（2）用化标准型法求状态转移矩阵；（3）用化有限项法求状态转移矩阵；（4）求齐次状态方程的解。

【解】：（1）（2）特征方程为：特征值为：2,1321===λλλ。

由于112==n n ，所以1λ对应的广义特征向量的阶数为1。

求满足0)(11=-P A I λ的解1P ，得：0110000000312111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011P 再根据0)(22=-P A I λ，且保证1P 、2P 线性无关，解得：对于当23=λ的特征向量，由0)(33=-P A I λ容易求得：所以变换阵为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==110010001321P P P P ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1100100011P 线性变换后的系统矩阵为：（3）特征值为：2,1321===λλλ。

现代控制理论第二章答案舒欣梅

2-2 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a a eAt，由状态转移矩阵的定义)0()()0()(x t x e t x AtΦ==得， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----12211222112112221121122a a a a e e a a a a e e t t t t 求解得到⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---==Φ--------t ttt tt t t Ate eee ee e e et 22222222)( 由状态转移矩阵的性质)0(Φ= A 得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+-==--------312042422202222t tttt tttt eeee ee e e A 复习状态转移矩阵的性质：(0)IΦ=；()()()t A t t A Φ=Φ=Φ ；121221()()()()()t t t t t t Φ±=ΦΦ±=Φ±Φ；11()(),()()t t t t --Φ=Φ-Φ-=Φ；2211()()()x t t t x t =Φ-；202110()()()t t t t t t Φ-=Φ-Φ-；[()]()kt kt Φ=Φ；若A B B A =则()A B tAt BtBt Atee ee e +==2-3（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-211s sA sI ()22122222222121(1)(1)()111(1)(1)(1)1111(1)(1)111(1)1(1)s s s s adj sI A sI A s s sI As s s s s s s s s -+⎡⎤⎢⎥+++⎡⎤-⎢⎥-===⎢⎥---+⎢⎥⎣⎦⎢⎥++⎣⎦⎡⎤+⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥+++⎣⎦11()()t t tt tt e te te t L sI A teete --------⎡⎤+⎡⎤Φ=-=⎢⎥⎣⎦--⎣⎦2-4（1）求系数矩阵的特征根3,121-==λλ将其带入式(2-24)得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----tt t t t te e e e e e a a 333110414141433111所以，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+==Φ--ttttAteee eA a I a et 331004141)( 2-5（2）求系数矩阵的特征根2,1,0321===λλλ根据公式0)(=-i i P A I λ求相应的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-011得到⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-011011011Q P，⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0212110002121P 因此，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+-+=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-===Φ-t t ttt tttA Ate e e ee e eP e P et 0002121212102121212102121100021210000101101101)(2222212-6（1）求特征根2321===λλλ，因为系数矩阵为约当标准型，因此直接写出⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==Φtttt tt tJt ete ee t te e e t t t et 2222222220002110010211)(2-7（1）先求)(t Φ，采用拉式变换法，11111331411(1)(3)(1)(3)()[()]343(1)(3)(1)(3)3111311122221313222233133222221313t ttt t s ss s s s t L sI A L L s s s s s s e e e e s s s s L e s s s s -------⎡⎤⎢⎥⎡⎤-----⎡⎤⎢⎥Φ=-==⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥----⎣⎦⎡⎤⎢⎥--+--+⎢⎥----⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥----⎣⎦33313222tt t ee e⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎣⎦再根据非齐次状态方程的解： 033()3()()3()033()3()()3()3()()(0)()131113111122222222(0)3313331312222222231122t t ttt t t t t t t t t t t t t t t t x t t x t B d e e e e e e e ex d e e e ee e eee e τττττττττττ--------=Φ+Φ-⋅⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--+--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--=⎰⎰3331122(0)331312222tt t t t t t t e e e x e e e e e⎡⎤+⎢⎥⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦2-8（1）先求)(t Φ，采用拉式变换法，1211112111112211()[()]222021002t tse t L sI A L L s s s s e s -----⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤--+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥Φ=-===⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦ 22111()()22TTeG T T e⎡⎤-+⎢⎥=Φ=⎢⎥⎣⎦2220222011111110124244()()2211110222TT T T T e T e eH T Bd d ee e ττττττττ⎡⎤⎡⎤-+-+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎡⎤⎢⎥=Φ===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰当1.0=T 时，离散化方程为：10.11070.0054(1)()()01.22140.1107x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦或者当采样周期T 很小时，可采用()()G T TA I H T TB=+=得到10.1(0.1)0 1.20()0.1G H T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦得到10.10(1)()()0 1.20.1x k x k u k ⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

现代控制理论第2章

图2-14 典型一阶系统的结构图
其闭环传递函数为 (2-3-1) 其中，称为系统的时间常数，为系统的极点值。凡是具有(2-3-1) 式形式传递函数的系统为一阶惯性系统，它在S 平面上的极点分布为。如图2-15 所示
图2-15 一阶惯性系统的极点分布
一阶系统的单位阶跃响应可由下式求出
一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线如图2-16 所示：
系统输出为
（3）输入信号与干扰信号同时作用下的系统输出系统结构如图2-1 所示。系统在U(s) 和N(s) 同时作用下的总输出为
2. 闭环系统的误差传递函数偏差: ,拉氏变换为（1）输入信号U(s) 作用下的系统误差传递函数此时N(s) = 0，结构如图2-4 所示：
。
图2-4 输入信号作用下的系统
方框中的代数式代表矩阵，每一方框代表的输入输出关系规定为：Y (s) 为输出，U(s) 为输入，G(s) 为方块所示传递函数，则
Y (s) = G(s)U(s). 系统方块图的绘制步骤如下：（1）分析系统的组成，并写出各个环节的运动方程，要特别注意反馈的情形；（2）由运动方程，写出系统的传递函数；（3）由传递函数画出各个环节的方块图；（4）根据信号流向，用信号线及相加点将各个环节连接起来。
2. 临界阻尼（ = 1 ）当 = 1 时，特征方程有两个相同的负实根，即，此时的如图2-19（b）所示。 3. 过阻尼（ > 1 ）当 > 1 时，两个特征根为是两个不同的负实根，如图2-19 （c）所示。 4. 无阻尼（ = 0 ）当 = 0 时，特征方程有一对共轭纯虚根：如图2-19（d）所示，这是欠阻尼的特殊情况。
图2-16 一阶惯性环节的单位阶跃响应曲线

现代控制理论-2-控制系统状态空间描述-第2、3讲[1]

Page: 8
求系统的传递函数 G (s) 是输出。
Y(s) U(s)
，其中 U( s)是输入，Y( s)
解：根据求传递函数的公式 G (s)Y(s)C(sIA)1BD U(s)
s 00 0 1 0 s sIA 0s 0 0 0 1 0
00s 123 1
1 0 s 1 2 s3
d3y9d2y18 dy2y 72u 0 dt3 dt2 dt
Page: 14
(1) 选择状态变量
x1 y dy
x2 dt
(2) 对(1)中各式两边求导x ，3 并代dd 2t入2y 微分方程，有
x1
dy dt
x2
d2y x2 dt2 x3
x3
27
y
18
dy dt
9
d2y dt2
20u
输出方程为 y x1 2 7 x1 1 8 x 2 9 x 3 2 0 u
为 (sI-A) 的伴随矩阵
为 (sI-A) 的行列式
系统状态空间表达式的特征方程: sIA 0
系统状态空间表达式的特征根或特征值: sIA 0 的根
Page: 4
y s C s A I 1 B D u s G s u s
其展开式为
mr
矩阵函数
y1s y2s
g11s g1rs
U2 (s)
G12 (s) G22 (s)
Y2 (s)
Page: 6
Y1(s)G 11(s)U1(s)G 12(s)U2(s) Y2(s)G21(s)U1(s)G22(s)U2(s)
用矩阵方程表示：
Y Y1 2((ss))G G1 21 1((ss))
G12(s)U1(s) G22(s)U2(s)

现代控制理论(1-8讲第1-2章知识点)精品PPT课件

dia dt
Ke
I fD Coபைடு நூலகம்st
n f Const
nDJ , f
其中：Kf 为发电机增益常数；Ke 为电动机反电势常数。
(3).电动机力矩平衡方程：J
d
dt
f
Kmia
(Km
-电动机转矩常数)
以上三式可改写为：
d
dt
f J
Km J
ia
dia dt
Ke Ra
La
La
ia
Kf La
if
试写出其状态空间表达式。
解：选择相变量为系统的状态变量，有
•
•
•• •
x1 y x2 y x1 x3 y x2
故
即
•
x1 x2
•
x2 x3
•
x3
a0 a3
x1
a1 a3
x2
a2 a3
x3
1 a3
u
•
0
x 0
a0
a3
1 0 a1 a3
0
0
1 x 0 u
a2
1
a3 a3
a1 y a0 y
bnu (n)
b u (n1) n 1
b0u
(1)
分为两种情况讨论。
一、输入信号不含有导数项：
此时系统的运动方程为：
•
y(n)
a y(n1) n1
a1 y a0 y b u
故选
x1 y
•
x2 y
..
xn1
y(n2)
xn y(n1)
对左边各式求导一次，即有
18
24
2-3 化系统的频域描述为状态空间描述

现代控制理论第二章例题及答案

2.1 系统的动态特性由下列微分方程描述u u u y y y y 23375......++=+++写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡321321321001521573100010x x x y u x x x x x x 。

相应的模拟结构图如下：2.2 将下列状态空间表达式化成约旦标准型[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321021523311201214x x x y u x x x x x x解：1. 先求A 的特征值。

A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I A 的特征值1,332,1==λλ2. 求特征值所对应的特征向量。

当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p p 当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p p 当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p解之得 3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p p 3. 取A 的特征向量组成变换矩阵P 并求逆阵P -1,即有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101201011P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1102112101P4. 计算各矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1000300131012010113112012141102112101AP P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-3585231102112101B P[][]413101*********=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=CP5. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为[]xy u x x ~413358~100030013~=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡= 2.3 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x（1）画出其模拟结构图（2）求系统的传递函数解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W )1)(2)(3()3(2)3(2+++=+++=-s s s s s s A sI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=--)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)(21s s s s s s s s s s s s A sI()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++---++-+++++=--)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1)(21s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s B A sI[])1)(2()12()1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1+++=+++⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=-=-s s s s s s s s s s s B A sI C s G 2.4 已知差分方程为)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++试将其用离散状态空间表达式表示。

《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)

第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。

以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。

R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。

现代控制理论第2章答案

第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。

（2） A=1141⎛⎫⎪⎝⎭解：第一种方法：令0I A λ-=则11041λλ--=-- ，即()2140λ--=。

求解得到13λ=，21λ=- 当13λ=时，特征矢量11121p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由 111Ap p λ=，得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即112111112121343p p p p p p +=⎧⎨+=⎩，可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当21λ=-时，特征矢量12222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由222Ap p λ=，得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1222121222224p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ，可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1122T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，111241124T -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦3333311111111024224422111102422t tt t tAtt t tt t e ee e e e e e e e e-----⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦第二种方法，即拉氏反变换法：1141s sI A s --⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦[]()()11114131s sI A s s s --⎡⎤-=⎢⎥--+⎣⎦()()()()()()()()113131413131s s s s s s s s s s -⎡⎤⎢⎥-+-+⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-+-+⎣⎦1111112314311111131231s s s s s s s s ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎛⎫-+⎢⎥⎪-+-+⎝⎭⎣⎦()331133111122441122t tt t At t t t t e e e e e L sI A e e e e ------⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦第三种方法，即凯莱—哈密顿定理由第一种方法可知13λ=，21λ=-313303113131344441111114444t t t tt t t t e e e e e e e e -----⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥∂⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3333331111101113132244014111444422t tt t At t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e ------⎡⎤+-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。

现代控制理论2-精选文档

x1 y 1 0 0 x 2 x3
例1.3 一般的传递函数
2 b s b s b b ( s ) 1 2 3 G ( s ) 3 2 ( s ) s a s a s a 1 2 3 a
设法利用前面的结论
1 b ( s ) Y ( s ) U ( s ) b ( s ) U ( s ) a ( s ) a ( s )
所得到的状态空间模型：
1 0 x x 2 0 3 x a 3 y b3 b2 1 0 a2 0 x1 0 1 x 2 0 u a1 x3 1
y a y a y a y b u b u b u 1 2 3 1 2 3
先考虑
w a w a w a w u 1 2 3
则它的状态空间模型表示是
1 0 1 0 x1 0 x x x 0u 2 0 0 1 2 3 3 1x x a3 a2 a 1 w x1
Y ( s ) b ( s ) Y ( s ) b ( s ) X ( s ) 1 1
2 b s ( s ) b sX ( s ) b X ( s ) 1 X 1 2 1 3 1
经拉氏变换，得到
1 b y b b 1x 1 2x 3x 1 b b b b 1x 3 2x 2 3x 1 3 b 2 x 1 x b 1 2 3 x
现代控制理论的特点
• 以多变量线性或非线性系统为主要研究对象 • 以时域法（状态空间方法）为主要研究方法 • 以现代数学为主要分析和设计手段 • 以计算机为主要的计算和实现工具

现代控制理论

现代控制理论第⼆章线性系统的状态空间描述1.线性系统状态空间表达式连续系统离散系统2.已知系统状态⽅程，画出系统结构图3.已知系统结构图，求系统状态⽅程4.由系统的微分⽅程建⽴状态空间表达式（状态变量转换，转换后矩阵A为友矩阵）已知系统结构图可改写成传递函数表达式，再进⾏变换5.由传递函数建⽴状态空间表达式（N(S)/D(S)）①串联分解U(s)=D(s)*Z(s) Y(s)=N(s)*Z(s)②只含单实极点求解特征值,B阵全是1，C阵特征值相应系数③重实极点6.线性系统状态空间表达式的线性变换及其标准型①转换成标准型求特征值及其对应特征向量若A为友矩阵，则P为范德蒙矩阵②转换成约当标准型具有重实特征值，且只有⼀个独⽴实特征向量，⾃定义⼴义实特征向量满⾜P*λ(约当)=A*P ③转换成约当标准型A为友矩阵，P阵的取法不同④转换成约当标准型A具有重实特征值...第三章线性系统的运动分析1.齐次⽅程求解（幂级数、拉⽒变换）2.⾮齐次状态⽅程求解（⽅程多个Bu项）记住额外的积分项3.状态转移矩阵e At 的计算直接幂级数法、拉⽒变换、对⾓化矩阵、待定系数法（系数⽅程组，e At表达式）4.离散系统状态⽅程的解Z变换5.线性定长连续系统动态⽅程的离散化①先求e At ⽤T替代t ，求G（T）H（T）6.离散状态⽅程求解①递推②Z变换记住Z变换的⼏个常⽤的转换第四章线性系统的可控性和可观性1.可控性判别①判别矩阵②对⾓标准型，特征值不同B阵不存在全零⾏③具有重特征值，每⼀个重特征值只对应⼀个独⽴特征向量变换后的约当阵的每个约当⼩块最后⼀⾏所对应的B阵的各⾏元素不全为0.2.离散系统的可控性从⾮零初始状态经过有限步转移到零状态即是可控的或者采⽤判别矩阵判断3.将可控系统的状态⽅程化为可控标准型P逆阵的第⼀⾏取的QC逆的最后⼀⾏P阵的构造4.输出可控存在输⼊u（t）在有限时间内使初始输出转移到指定的任意输出判别矩阵Qyc=[CB CAB CA2B ```CA n-1B D]5.线性定常连续系统的可观测性①判别矩阵②对⾓标准型C阵不含全为0的列③具有重特征值转换成约当阵后约当块⾸列对应的C阵的列的元素不全为06.离散系统的可观测性判别矩阵可观性的物理解释：⽤y（k）在第n步确定每个x（k）7.采样周期对离散化系统可控性和可观测性的影响8.线性系统可控性和可观测性的对偶关系由相应对偶系统的可控性判别矩阵求出可观测标准型9可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系G（s）=C（sI-A）B-1+D两种情况：SISO和MIMO10.最⼩实现充要条件：可控可观测如何实现：已知传递函数输⼊维数⼤时（列），选可观测，再⽤判别矩阵检验是否可控输出维数⼤时（⾏），选可控，再⽤判别矩阵检验是否可观测11.SISO可控可观测：不存在零极点对消可控：（sI-A）-1b不存在零极点对消可观测：c（sI-A）-1 不存在零极点对消MIMO可控：（sI-A）-1B的n⾏线性⽆关可观测：C（sI-A）-1 n列线性⽆关12.线性系统的规范分解可控：构造RC可观测：构造RO （初始为逆阵）第五章线性定长系统的状态反馈和状态观测器设计1.状态反馈k为状态反馈矩阵（A-bk）为闭环系统矩阵过程：先写出可控标准型写出状态反馈系统的特征⽅程写出期望闭环极点对应的闭环系统期望特征⽅程对应特征值系数相等注意：系统不可控时（5.2.3）2.超调量相关公式3.状态反馈不影响可控性可能影响可观性，（配置的极点与原来的零点存在对消）4.镇定：闭环系统的极点具有负实部可控必然可镇定，可镇定不⼀定可控（5.3.1）再做⼀遍5.输出反馈（A-HC）配置极点问题同状态反馈H为列阵，k为⾏阵6.状态观测器（A-HC）：全维状态观测器系统矩阵H：n*q维，n为受控系统的特征多项式最⾼次幂，q为输出维数闭环系统极点的配置为k值的配置全维状态观测器极点配置为H值配置第六章李雅普诺夫稳定性分析1.外部稳定系统对所有有界输⼊引起的零状态响应的输出是有界的判据：G(s)=C(sI-A)-1B 对应极点都在s的左半平⾯内2.内部稳定系统的特征值为负？内部稳定=外部稳定+可控可观测3.李雅普诺夫概念4.李雅普诺夫稳定性判别间接法：A的所有特征值均具有⾮正实部，且具有零实部的特征值为A的最⼩多项式的单根系统的唯⼀平衡状态Xe=0 是渐进稳定的充要条件：A的所有特征值均具有负实部直接法：存在正定矩阵V(x)，其导数为负定的。