导数压轴处理套路与大招(上)

导数压轴题处理套路

专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -

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专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理）

例1. 已知 （1）讨论的单调性

（2）设，求证：

例2. 已知函数，。 （1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有。

例3. 设函数

. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；

（2）讨论函数零点的个数；

（3）若对任意恒成立，求的取值范围.

()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212,0,,4x x f x f x x x ∀∈+∞-≥-()2

1(1)ln 2

f x x ax a x =

-+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212

()()

1f x f x x x ->--()ln ,m

f x x m R x

=+

∈m e =e ()f x ()'()3

x

g x f x =

-()()

0,

1f b f a b a b a

->><-m

例4. 已知函数 （1）讨论函数的单调性

（2）对任意的

，有

，求k 的取值范围

例5. 已知函数，是否存在，对任意x ，x ，x x ，恒成立？若存在，求之；若不存在，说明理由。

例6. 已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．

（1）求实数a 的值；

（2）若2

()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围； （3）当1n m >>*

(,)m n N ∈时,m n

>．

()1ln x

f x x

-=

()y f x =)2

12,,x x e ⎡∈+∞⎣121212

()()f x f x k

x x x x ->-()2

1ln (2)2

f x x a x a x =-+-a R ∈12∈(0,)+∞1≠21212

()()

f x f x a x x ->-

专题二 分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）

例1. 已知函数ln ()=

1a x b

f x x x

++，曲线=()y f x 在点(1(1))f ，处的切线方程为23=0x y +-. （1）求a 、b 的值；

（2）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围.

例2. 设函数2

()=1x

f x e x ax ---. （1）若0a =，求()f x 的单调区间； （2）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.

例3. 已知函数2

()(1)x

f x x e ax =--.

（1）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式； （2）当1x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. （3）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围.

例4. 设函数()1x f x e -=-. （1）证明：当1x >-时，()1

x f x x ≥+； （2）设当0x ≥时，()1

x

f x ax ≤+，求a 的取值范围.

例5. 设函数sin ()=

2cos x

f x x

+．

（1）求()f x 的单调区间；

（2）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．

例6. 已知函数()=

11

x x

f x e x λ-+-+ （1）证明：当0λ=时间，()0f x ≥

（2）若当0x ≥时，()0f x ≥，求实数λ的取值范围。

例7. 已知函数()()

2()=ln 1f x x a x x ++-，其中R a ∈ （1）讨论函数()f x 的极值点个数，并说明理由 （2）若()0,0x f x ∀>≥成立，求a 取值范围。

例8. 已知函数()2

11()=ln .022f x ax x ax a ⎛⎫++->

⎪⎝⎭

（1）求证02a <≤时，()f x 在1+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭

，上是增函数

（2）若对任意的()1,2a ∈，总存在01,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭

使不等式()

20()1f x m a >-成立，求实数m 的取值范围

例9. 已知函数2

()=(2)e (1)x f x x a x -+-有两个零点.求a 的取值范围；