北师大版全等三角形 PPT
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北师大版七年级数学下册第四章三角形复习三角形全等的判定及其应用与尺规作三角形课件

第九讲 三角形全等的判定及其应用
与尺规作三角形
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
书写格式:
∵△ABC≌ △DFE ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE (全等三角形的对应边相等) ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ F ,
∠ C= ∠ E (全等三角形的对应角相等)
全等三角形的条件
证明两条线段 相等:可以放 在一个三角形 中证等腰
例3:如图,点B在线段AE上,∠CAE=∠DAE, ∠CBE=∠DBE.求证:EC=ED.
例4 如图,已知点E在△ABC的外部,点D在BC边上, DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,则有( D ) A.△ABD≌△AFD B.△AFE≌△ADC C.△AEF≌△DFC D.△ABC≌△ADE
类型2 对称模型
图形特点:沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得 两三角形重合
常见模型: 类型3 旋转模型
图形特点:共顶点,绕该顶点旋转可得到两三角形重合
类型4 一线三等角
图形特点:同一条线上有三个相等的角
类型5 组合模型 平移+旋转模型
平移+对称模型
图形特点:将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合,然后 两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合,或者绕该顶点旋转后重合
三角形全等判定方法一
三边分别相等的两个三角形全等。
(可以简写为“边边边”或“SSS”)。
A
用符号语言表达为:
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF(SSS)E
F
三角形全等的判定二
两角及其夹边分别相等的两个三角 形全等. 简记为 “角边角”或“ASA” 。
与尺规作三角形
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
书写格式:
∵△ABC≌ △DFE ∴ AB=DF, BC=FE, AC=DE (全等三角形的对应边相等) ∠ A= ∠ D, ∠ B= ∠ F ,
∠ C= ∠ E (全等三角形的对应角相等)
全等三角形的条件
证明两条线段 相等:可以放 在一个三角形 中证等腰
例3:如图,点B在线段AE上,∠CAE=∠DAE, ∠CBE=∠DBE.求证:EC=ED.
例4 如图,已知点E在△ABC的外部,点D在BC边上, DE交AC于F,若∠1=∠2=∠3,AC=AE,则有( D ) A.△ABD≌△AFD B.△AFE≌△ADC C.△AEF≌△DFC D.△ABC≌△ADE
类型2 对称模型
图形特点:沿公共边或者公共顶点所在某条直线折叠可得 两三角形重合
常见模型: 类型3 旋转模型
图形特点:共顶点,绕该顶点旋转可得到两三角形重合
类型4 一线三等角
图形特点:同一条线上有三个相等的角
类型5 组合模型 平移+旋转模型
平移+对称模型
图形特点:将其中一个三角形平移至与另一个三角形对应顶点重合,然后 两三角形可关于这点所在直线对称变换后重合,或者绕该顶点旋转后重合
三角形全等判定方法一
三边分别相等的两个三角形全等。
(可以简写为“边边边”或“SSS”)。
A
用符号语言表达为:
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF(SSS)E
F
三角形全等的判定二
两角及其夹边分别相等的两个三角 形全等. 简记为 “角边角”或“ASA” 。
北师大版七年级数学下册 (图形的全等)三角形教育课件

随堂演练 1.下列四组图形中,是全等图形的一组是( D )
2.下列说法正确的是( C ) A.形状相同的两个三角形全等 B.面积相等的两个三角形全等 C.完全重合的两个三角形全等 D.所有的等边三角形全等
3. 如图,点E,F在线段BC上,△ABF与△DCE全等,点A与点D, 点B与点C是对应顶点,AF与DE交于点M,则∠DCE等于( A ) A.∠B B.∠A C.∠EMF D.∠AFB
B
C
D
B
C
4.对应角的对边为对应边;对应边的对角为对应角.
3.有公共角
1.有公共边
A
B
D
C
A D
B C
A B
D C
D AO
C B
A
E
D
B
C
例3 如图,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50° ,BF=4,EF=7,求∠DEF的度数和CF的长.
解:∵△ABC≌△DEF,∠A=70°, ∠B=50°,BF=4,EF=7, ∴∠DEF=∠B=50°,BC=EF=7, ∴CF=BC-BF=3.
(12)
(13)
(14)
(15)
全等图形的特征
(1) 你能说出生活中全等图形的例子吗? (2) 观察下面两组图形,它们是不是全等图形?
(1)
形状 相同
大小
(2)
相同
(3) 如果两个图形全等,它们的形状大小一定都相同吗? 全等图形的形状和大小都相同
观察图中的全等三角形应怎样表示?
△ ABC ≌△ DEF
注:记全等三角形时,通常把表示对应 顶点的字母写在对应的位置上.
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
直角三角形全等的判定课件18张度北师大版数学八年级下册

角边角(ASA) 角角边(AAS)
新知学习
如图,已知AC=DF,AB=DE,∠B=∠E,△ABC≌△DEF吗?
A BC
D
E
F
如果“SSA”中 所对的角是直 角呢?
经过证明,我们发现三角形全等不存在“SSA”定理.
探究
已知一条直角边和斜边,求作一个直角三角形. 如图,已知线段a,c( a < c ),直角α. 求作:Rt△ABC,使∠C=∠α,BC=a,AB=c.
“斜边、 直角边”
前提条件
在直角三角形中
使用方法
在判定直角三角形全等时,只需找除 直角外的两个条件即可(其中至少有 一个条件是一组对应边相等)
解:根据题意可知∠BAC =∠EDF = 90°, BC =EF,AC =DF. ∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL). ∴∠B =∠DEF ∵∠DEF +∠F =90° ∴∠B +∠F =90°.
课堂练习
1. 如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,则能直
接得到△PEA≌△PFA的理由是( A )
a
c
作法如下:
M
(1)作∠MCN=∠ =90°.
C
N
M (2)在射线CM上截取CB =a.
B
C
N
(3)以点 B为圆心,线段 c的长为 M
半径作弧,交射线CN于点A.
B
C
(4)连接AB,得到Rt△ABC.
M
C
A N
A N
思考
比较小明作的直角三角形和已知三角形,发现它们全等.
猜想:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等;
∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS)
北师大版数学七年级下册《三角形全等的判定3—AAS》课件

思考题:
1. 已知:如图,△ABC ≌△A’B’C’, AD、A’D’ 分别是△ABC 和△A’B’C’ 的高。试说明AD= A’D’ ,并用一句话说
出你的发现。
A
A’
B
D C B’
D’ C’
全等三角形对应边上的高也相等。
思考题:
2、△ABC是等腰三角形,AD、BE 分别是∠A、 ∠B 的角平分线,△ABD和△BAE 全等吗?试
D
在△ABC和△DEF中
∠B = ∠E
E
F
BC = EF ∠C = ∠F
∴△ABC≌△DEF(ASA)
两你角能及从一上角题的中对得边到对什应么相结等论的? 两个三角形全等(AAS)。
全等三角形的判定方法3:
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等。 简称“角角边”(AAS)。
A
A′Βιβλιοθήκη BB′C在△ABC和△ A'B'C'中
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等。 简称“角角边”(AAS)。
△ABC ≌△DEF的理由是: 角角边(AAS)
C
F
A
BD
E
掌握全等三角形的AAS定理
要用AAS判定△ABC≌△DEF,
需要添加的条件是______.
A
D
B
CE
F
掌握全等三角形的AAS定理
要用AAS判△ABC≌△DEF,
需要添加的条件是__________.
A
D
B
CE
F
掌握全等三角形的AAS定理
4.3.3 三角形全等的条件(3)
---边边边(AAS)
A
A′
B
B′
C
探索三角形全等的条件角边角、角角边判定PPT课件(北师大版)

1.(2015.广东)如题21图,在边长为6的正方 形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折 至△AFE,延长EF交BC于点G,连接AG.(1)求证: △ABG≌△AFG;(2) 求BG的长.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠D=90°,AD=AB.
由折叠的性质,得AD=AF,∠AFE=∠D=90°. ∴∠AFG=90°,AB=AF.
(1)证明:∵△ABC是等边Байду номын сангаас角形, ∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EG∥BC ∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°. ∴△ADG是等边三角形. ∴AD=DG=AG. ∵DE=DB, ∴EG=AB ∴GE=AC.
∵EG=AB=CA,∴∠AGE=∠DAC=60°, 在△AGE和△DAC中,
A
• 边”或“_S_S_S__”).
A1
B
C B1
C1
•6.两条边和它们的夹角对应SA相S 等的两个A 三角形A1全等
• (简记为“边角边”或“_____”)B.
C B1
C1
•7.两个角和它们的夹边对AS应A 相等的两A 个三角A形1 全等(
简
B
C B1
C1
•8.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形
AAS
或BF=EC A
D SAS
BC=EF
B CFE
●议一议
2.(202X·南京市)如图,四边形ABCD的对角线
AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:
①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC. 其中正确结论的序号是____①__②__③____.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠D=90°,AD=AB.
由折叠的性质,得AD=AF,∠AFE=∠D=90°. ∴∠AFG=90°,AB=AF.
(1)证明:∵△ABC是等边Байду номын сангаас角形, ∴AB=AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°.
∵EG∥BC ∴∠ADG=∠ABC=60°∠AGD=∠ACB=60°. ∴△ADG是等边三角形. ∴AD=DG=AG. ∵DE=DB, ∴EG=AB ∴GE=AC.
∵EG=AB=CA,∴∠AGE=∠DAC=60°, 在△AGE和△DAC中,
A
• 边”或“_S_S_S__”).
A1
B
C B1
C1
•6.两条边和它们的夹角对应SA相S 等的两个A 三角形A1全等
• (简记为“边角边”或“_____”)B.
C B1
C1
•7.两个角和它们的夹边对AS应A 相等的两A 个三角A形1 全等(
简
B
C B1
C1
•8.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形
AAS
或BF=EC A
D SAS
BC=EF
B CFE
●议一议
2.(202X·南京市)如图,四边形ABCD的对角线
AC,BD相交于点O,△ABO≌△ADO.下列结论:
①AC⊥BD;②CB=CD;③△ABC≌△ADC;④DA=DC. 其中正确结论的序号是____①__②__③____.
北师大版七年级数学下册《图形的全等》三角形PPT优质课件

5:如图,已知ΔAEF是ΔABC绕A点顺时针旋转55° 得到的,求∠BAE,∠CAF和∠BME的度数.
6:如图,已知ΔABE≌ΔACD,且∠1=∠2, ∠B=∠C,请指出其余的对应边和对应角.
课堂小结
两个能够重合 的图形称为全等图形; 如果两个图形全等,那么它们的__形___状___大___小____ 一定都相同; 把一个图形可以划分为两个全等图形 ; 几个全等的图形拼成一个大的图案。
课后作业
习题4.5 第2、3题
∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD=
.
3:如图,若ΔABC≌ΔAEF, AB=AE,∠B=∠E,则下列结 论:①AC=AF, ②∠FAB=∠EAB, ③EF=BC,
④ ∠FAC=∠EAB,其中正确结论的个数是(
)
A.1个 个
Bபைடு நூலகம்2个
C.3个
D.4
4:如图,已知ΔABD≌ΔAEC, ∠B和∠E是对 应角,AB与AE是对应边,试说明:BC=DE.
形状相同,大小不同
面积相同,形状不同
全等图形的特征是:能够完全重合,即 形状和大小完全相同。
课堂练习
1 若ΔDEF≌ΔABC, ∠A=70°,∠B=50°,点A的 对应点是点D,AB=DE,那么∠F的度数等于( ) A.50° B.60° C.50° D.以上都不对
2 如图,若ΔOAD≌ΔOBC, 且
说一说:
说说你生活中见过的全等图形的例子。
你能找出图 中有几对全 等图形?
(2)与(4 ) (3)与(6 )
观察下列各组图形是不是全等图形?为什么?
交 流 1. 讨 论 2.
不全等,大小不等
全等,大小、形状 均相同
全等,大小、形状
北师大版数学七年级下4.3探索三角形全等的条件“角边角”“角角边”判定课件 (15张PPT)

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。简称 “角边角”或“ASA”
几何语言
在ABC和DEF中
A D,
Q
AB
DE,
B
B E,
ABC DEF ASA
A
D
CE
F
练习
1、如图,∆ABC和∆DEF中,AC=DF,∠A=∠D,∠C=∠F。
(1)判断两个三角形是否全等并说明理由。
(2)类比“SSS”证明全等的格式,写出本题的证明过程。
Q
AB
AC 已知 ,
B C 已知 ,
ABD ACE ASA
练习
3、如图,∠A=∠B,O是AB中点。
(1)要证明∆AOC≌∆BOD已具备了哪些条件?
其余条件的获得方式和上题有什么共同点与不同点? 依据各是什么?
(2)请写出规范的解题过程。
C
解: Q 点O是AB的中点
AO OB 在ACO和BDO中
M
A
D
C
E
B
Q ME PBC
MEA B 两直线平行,同位角相等
Q DM AB MDE 90 MDE C 在MDE和ACB中
MEA B, Q MDE C
DM AC,
DME ACB AAS
小结反思
通过本节课的学习,你有什么收获? 知识上…… 学习过程上…… 其它……
课后作业
课后习题 4.7
几何语言
A
D
在ABC和DEF中
A D, Q B E,
BC EF,
B
CE
F
ABC DEF AAS
练习
A
2 1
B
E
D C
Q 1=2
1 EAC 2 EAC 即BAC EAD 在ABC和AED中
北师大版七年级数学下册角边角判定三角形全等课件

B
∠B=∠E(已知)
BC=EF(已知)
∠C=∠F(已证)
E
∴ △ABC≌△DEF (ASA)
D F
探究二反应的规律是:
有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个 三角形全等。 (简写成“角角边”或“AAS”)
A
用几何语言表达为:
证明:在△ABC和△DEF中
∠A= ∠D
B
ห้องสมุดไป่ตู้
∠B = ∠E
BC=EF
C D
例1.已知:点D在AB上,点E在AC上,BE和 CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C。
求证:△ACD≌△ABE
A
证明 :在△ADC和△AEB中 ∠A=∠A(公共角)
DO E
AC=AB(已知)
∠C=∠B(已知)
B
C
∴△ACD≌△ABE(ASA)
思考 如果把已知中的AB=AC改成AD=AE,那么
△ADC和△AEB还全等吗 ?
∴ △ABC≌△CDA(ASA) ∴ AB=CD BC=AD
(全等三角形对应边相等)
(1)学习了角边角、角角边
(2)注意角角边、角边角中两角与边的区分。
(3)会根据已知两角一边画三角形
(4)进一步学会用推理证明。 (5)证明线段或角相等,就是证明它们所 在的两个三角形全等。
布置作业
P
∴ △ABC≌△DEF (AAS)
F E
典型例题
例2.如图,∠1=∠2,∠3=∠4 求证: AC=AD
证明:∵ ∠3=∠4 ∴ ∠ABC=∠ABD
在△AB C与△ ABD中
∠1=∠2
AB=AB ∠ABC=∠ABD ∴ △AB C ≌ △ ABD (ASA)
∴ AC=AD
第2课时直角三角形全等的判定课件北师大版数学八年级下册

斜边AB=5cm.
探究学习
用三角板和圆规,画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=4cm,
斜边AB=5cm.
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
探究学习
用三角板和圆规,画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=4cm,
斜边AB=5cm.
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
而由条件知在Rt△BDF与Rt△ADC中有BF=AC,DF=DC,故
这两个三角形全等,从而问题得证.
典例
例1 如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点
F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.
证明:∵AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=90°.
∴∠1+∠2=90°.
在Rt△BDF和Rt△ADC中,ቊ
1.2
第2课时
直角三角形
直角三角形全等的判定
学习目标
1.掌握直角三角形全等的判定方法.
2.会运用“HL”解决一些简单的实际问题.
3.灵活运用三角形全等的判定方法进行证明,注意
“HL”与其它判定方法的区分与联系.
新课引入
如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个
直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无
= ,
= ,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).∴∠2=∠C.
∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠C=90°.
∵∠1+∠C+∠BEC=180°,
典例
例2:如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,
垂足分别为E、F,CE=BF.
探究学习
用三角板和圆规,画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=4cm,
斜边AB=5cm.
Step1:画∠MCN=90°;
N
M
C
探究学习
用三角板和圆规,画一个Rt△ABC,使得∠C=90°,一直角边CA=4cm,
斜边AB=5cm.
Step1:画∠MCN=90°;
Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
而由条件知在Rt△BDF与Rt△ADC中有BF=AC,DF=DC,故
这两个三角形全等,从而问题得证.
典例
例1 如图,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点
F,且有BF=AC,FD=CD.求证:BE⊥AC.
证明:∵AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=90°.
∴∠1+∠2=90°.
在Rt△BDF和Rt△ADC中,ቊ
1.2
第2课时
直角三角形
直角三角形全等的判定
学习目标
1.掌握直角三角形全等的判定方法.
2.会运用“HL”解决一些简单的实际问题.
3.灵活运用三角形全等的判定方法进行证明,注意
“HL”与其它判定方法的区分与联系.
新课引入
如图,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个
直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无
= ,
= ,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).∴∠2=∠C.
∵∠1+∠2=90°,∴∠1+∠C=90°.
∵∠1+∠C+∠BEC=180°,
典例
例2:如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,
垂足分别为E、F,CE=BF.
北师大版八年级下册.2直角三角形全等的判定课件

相等,也即该直角边相等,再根据“SAS”公理可 判定两个三角形全等.
2.下列条件中,利用基本尺规作图,不能作出唯 一直角三角形的是( D ) A.已知斜边和一锐角 B.已知一锐角和它所对的直角边 C.已知斜边和一直角边 D.已知两个锐角
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点, 以下结论:①△ABD≌△ACD;②AB=AC;③ ∠B=∠C;④AD是△ABC的角平分线. 其中正确的有( D ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1.2 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定
学习目标
一、判定两直角三角形全等的方法 二、判定两三角形全等方法的综合应用
复习旧知
两个三角形全等的判定方法有哪些? 边边边”SSS”,边角边“SAS”, 角角边“AAS”,角边角“ASA”
情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形,为了美观,工作 人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都 有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个 办法吗?
等的两个直角三角形全等.
解:
(1)假.理由:如图, 在Rt△ABC和Rt△AB′C′中, ∠A=∠A,∠AB′C′=∠ABC, 但Rt△ABC与Rt△AB′C′不全等.
(2)真.理由:因为该命题满足“AAS”公理的条件. (3)真.理由:因为该命题满足“SAS”公理的条件. (4)真.先利用“HL”定理得到另一条直角边的一半
导引:根据AB=CB,∠ABE= ∠CBF=90°,AE=CF, 可利用“HL”证明 Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明:∵∠ABC=90°, ∴∠CBF=∠ABE=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中, ∵AE=CF,AB=CB, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
2.下列条件中,利用基本尺规作图,不能作出唯 一直角三角形的是( D ) A.已知斜边和一锐角 B.已知一锐角和它所对的直角边 C.已知斜边和一直角边 D.已知两个锐角
3.如图,在△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点, 以下结论:①△ABD≌△ACD;②AB=AC;③ ∠B=∠C;④AD是△ABC的角平分线. 其中正确的有( D ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
1.2 直角三角形 第2课时 直角三角形全等的判定
学习目标
一、判定两直角三角形全等的方法 二、判定两三角形全等方法的综合应用
复习旧知
两个三角形全等的判定方法有哪些? 边边边”SSS”,边角边“SAS”, 角角边“AAS”,角边角“ASA”
情境导入
舞台背景的形状是两个直角三角形,为了美观,工作 人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都 有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个 办法吗?
等的两个直角三角形全等.
解:
(1)假.理由:如图, 在Rt△ABC和Rt△AB′C′中, ∠A=∠A,∠AB′C′=∠ABC, 但Rt△ABC与Rt△AB′C′不全等.
(2)真.理由:因为该命题满足“AAS”公理的条件. (3)真.理由:因为该命题满足“SAS”公理的条件. (4)真.先利用“HL”定理得到另一条直角边的一半
导引:根据AB=CB,∠ABE= ∠CBF=90°,AE=CF, 可利用“HL”证明 Rt△ABE≌Rt△CBF.
证明:∵∠ABC=90°, ∴∠CBF=∠ABE=90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中, ∵AE=CF,AB=CB, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
北师大版八年级数学下册直角三角形全等的判定第2课时课件(共21页)

内容
直角三角 形全等的
判定
应用
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等.(简写成“斜边,直角边”或 “HL”)
1.使用的前提条件是在直角三角形中 2.遇到直角三角形全等问题,优先考虑“HL” 3.使用时只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一对对应边 相等)
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°.
课程讲授
2 直角三角形全等的应用
归纳:“HL”是判断两个直角三角形全等的简便方 法,对于一般的三角形不成立,在使用时要注意其应用 的范围.同时,利用“HL”还能说明两直线的位置关系, 在实际解题过程中要结合实际灵活运用.
课程讲授
2 直角三角形全等的应用
练一练:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
∠C=∠C′=90°,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC A
和Rt△A′B′C′全等的是( B )
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
B
C A'
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
B'
C'
随堂练习
1.下列条件:
①两条直角边对应相等;
②斜边和一锐角对应相等;
③斜边和一直角边对应相等;
④直角边和一锐角对应相等.
以上能判定两直角三角形全等的个数有( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
随堂练习
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点 E ,
直角三角 形全等的
判定
应用
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三 角形全等.(简写成“斜边,直角边”或 “HL”)
1.使用的前提条件是在直角三角形中 2.遇到直角三角形全等问题,优先考虑“HL” 3.使用时只须找除直角外的两个条件即可 (两个条件中至少有一个条件是一对对应边 相等)
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°.
课程讲授
2 直角三角形全等的应用
归纳:“HL”是判断两个直角三角形全等的简便方 法,对于一般的三角形不成立,在使用时要注意其应用 的范围.同时,利用“HL”还能说明两直线的位置关系, 在实际解题过程中要结合实际灵活运用.
课程讲授
2 直角三角形全等的应用
练一练:如图,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,
∠C=∠C′=90°,那么下列各条件中,不能使Rt△ABC A
和Rt△A′B′C′全等的是( B )
A.AB=A′B′=5,BC=B′C′=3
B.AB=B′C′=5,∠A=∠B′=40°
B
C A'
C.AC=A′C′=5,BC=B′C′=3
D.AC=A′C′=5,∠A=∠A′=40°
B'
C'
随堂练习
1.下列条件:
①两条直角边对应相等;
②斜边和一锐角对应相等;
③斜边和一直角边对应相等;
④直角边和一锐角对应相等.
以上能判定两直角三角形全等的个数有( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
随堂练习
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点 E ,
北师大版数学七年级下册第3课时 利用“边角边”判定三角形全等课件

பைடு நூலகம்
2.5 cm C
F
E 40°
A 3.5 cm D
40° B
3.5 cm
E
A
D
F
A
D
两边及其一边所对的角对应相等, 两个三角形不一定全等.
“SAS”的几何语言:
在△ABC 和△DEF 中,
因为
AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF,
所以△ABC ≌ △DEF(SAS).
A
B
C
D
E
F
随堂演练
►为你理想的人,否则,爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候,我们愿意原谅一个人,并不是我们真的愿意原谅他,而是我们 不愿意失去他。不想失去他,惟有假装原谅他。不管你爱过多少人,不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后,你不是学会了怎样恋爱,而是学会了,怎 样去爱自己。
►雨水打在窗户上,发出嘀嗒,嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子, 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处,被笼罩在雨山之中的 大楼,如海市蜃楼般忽隐忽现,让人捉摸不透,还不时亮起一丝红灯, 给人片丝暖意。 ►七月盛夏,夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令,以最高的温度炙烤着大地,天热得发了狂, 地烤得发烫、直冒烟,像着了火似的,马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几,只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩,一些似云非云、似雾非雾的灰气,低低地浮在空中, 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来,耷拉着 脑袋。
解:因为∠1=∠2,所以∠ABC =∠FBE . 在△ABC 和 △FBE 中,
BC = BE, 因为 ∠ABC = ∠FBE,
AB = FB, 所以△ABC ≌△FBE (SAS),
2.5 cm C
F
E 40°
A 3.5 cm D
40° B
3.5 cm
E
A
D
F
A
D
两边及其一边所对的角对应相等, 两个三角形不一定全等.
“SAS”的几何语言:
在△ABC 和△DEF 中,
因为
AB = DE, ∠B = ∠E, BC = EF,
所以△ABC ≌ △DEF(SAS).
A
B
C
D
E
F
随堂演练
►为你理想的人,否则,爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候,我们愿意原谅一个人,并不是我们真的愿意原谅他,而是我们 不愿意失去他。不想失去他,惟有假装原谅他。不管你爱过多少人,不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后,你不是学会了怎样恋爱,而是学会了,怎 样去爱自己。
►雨水打在窗户上,发出嘀嗒,嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子, 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处,被笼罩在雨山之中的 大楼,如海市蜃楼般忽隐忽现,让人捉摸不透,还不时亮起一丝红灯, 给人片丝暖意。 ►七月盛夏,夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令,以最高的温度炙烤着大地,天热得发了狂, 地烤得发烫、直冒烟,像着了火似的,马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几,只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩,一些似云非云、似雾非雾的灰气,低低地浮在空中, 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来,耷拉着 脑袋。
解:因为∠1=∠2,所以∠ABC =∠FBE . 在△ABC 和 △FBE 中,
BC = BE, 因为 ∠ABC = ∠FBE,
AB = FB, 所以△ABC ≌△FBE (SAS),
北师大版七年级数学下册 4.2《图形的全等》教学课件%28共32张PPT%29

EF=7,求∠DEF的度数和CF的长.
E
D
解:∵△ABC≌△DEF,∠A=70°, ∠B=50°,BF=4,EF=7, ∴∠DEF=∠B=50°,BC=EF=7, ∴CF=BC-BF=7-4=3.
C A
F B
典型例题
例4.如图,△ABC≌△ADE,∠CAD=10°,∠B=∠D= 25°,∠EAB=120°,求∠ACB的度数.
探究新知
②如图,已知△ABC≌△A′B′C′,在△A′B′C′中画出与线段DE相 等的对应线段.
典型例题
例1.下列四个图形是全等图形的是( C)
A .(1)和(3) C .(2)和(4)
B .(2)和(3) D .(3)和(4)
典型例题
例2.如图,若△BOD≌△COE,∠B=∠C,指出这两个全等三
探究新知
下面这些图形中有些是完全一样的,如果把它们叠在一起,它们 就能重合.你能分别从图中找出这样的图形吗?
定义:能够完全重合的两个图形称为全等图形.
探究新知
观察下面三组图形,它们是不是全等图形?为什么?
全等图形的性质:如果两个图形全等,它们的形状和大小一定都相同.
探究新知
A
D
B
C
E
F
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
(2)如图,△ACB≌△A′C′B′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数 为___3_0_°_____ .
随堂练习
(3)如图,C为直线BE上一点,△ABC≌△ADC,∠DCF= ∠ECF,则AC和CF的位置关系是 A_C__⊥__C_F.
随堂练习
4.找出下列图形中的全等图形.
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
北师大版七下 5.4 全等三角形 课件

如图,已知⊿ABD≌⊿ACE,∠B=∠C, ∠ADB=∠AEC,请用等式表示其它 的对应边和对应角; A
B
D
E
C
变式:若 ⊿ABE≌⊿ACD,∠B=∠C, ∠ADC=∠AEB,请用等式表示其它的 对应边和对应角;
A F
已知:△ABC≌△EFC, CE=5cm,BC=3cm 求:AF的长度 解: ∵ △ABC≌△EFC
BC=CF=3cm
B C
E
∵AF=AC-CF=BC-CE(等量代换)
(全等三角形的对边相等) CE=AC=5cm
AF=5-3=2cm
1、已知:⊿MNP≌⊿ABC,MN=AB, MP=AC,∠MPN=35º ,∠CAB=40º ,则 ∠ABC=____,∠M=____;
2、如图:⊿ADC≌⊿BFE,E ∠E=∠C,AB=7, DF=3,求AF的长?
1、理解全等三角形的概念。
2、掌握全等三角形对应边相等,对 应角相等的性质。 3、会利用全等三角形的性质进行简 单的推理和计算。
1、快速认真阅读课本153页的内容。
2、全等三角形的性质是什么?
3、找出图5-18中的对应边和对应角, 课本上是怎样标注的? 4、怎样用符号语言表示三角形全等? 需要注意什么? 5、4分钟以后小组交流看谁做得好。
A F D
C
B
这是一个等边三角形,你能把它分成两个全等 的三角形吗?能分成三个,四个全等的三角形 吗?
1 如图,把⊿ABC
绕点A旋转到⊿ADE,
D
B
则其对应边分别是____________; C E 对应角分别是____________;
A
2已知⊿ABC≌⊿DEF,且∠A=52º ,∠B=31º , ED=10cm, ∠F=∠C,求∠F的度数与AB的长; 3已知⊿ABC≌⊿DEF,⊿DEF的周长是32cm, DE=9cm,EF=12cm,且∠E=∠B,求AC的长;
北师大版数学全等三角形判定的三种类型 课件

∴△ABF≌△ACG(AAS).
∴BF=CG.
在 Rt△BEF 和 Rt△CDG 中,BBFE= =CCGD, , ∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL).∴∠ADC=∠AEB.
阶段归类专训 5.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD 交于点 O,且
AO 平分∠BAC.求证:OB=OC.
阶段归类专训
证明:∵∠BDC=∠CEB=90°,∠BOD=∠COE, ∴∠B=∠C. ∵AO 平分∠BAC,∴∠BAO=∠CAO.
∠B=∠C, 在△AOB 和△AOC 中,∠BAO=∠CAO,
AO=AO, ∴△AOB≌△AOC(AAS).∴OB=OC.
阶段归类专训 6.如图,在△ABC 与△DCB 中,AC 与 BD 交于点 E,且∠BAC
阶段归类专训 ∠AFE=∠AGE,
在△AFE 和△AGE 中,∠FAE=∠GAE, AE=AE,
∴△AFE≌△AGE(AAS).
∴EF=EG.
在 Rt△BFE 和 Rt△CGE 中,EEFB==EEGC,, ∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL).∴∠ABE=∠ACE.
阶段归类专训 3.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,D 是 AC 上
AC=DB, ∴△FAC≌△FDB(AAS). ∴BF=CF.
=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长 BA 与 CD 交于点 F.
求证:BF=CF. 证明:在△ABC 和△DCB 中, ∠BAC=∠CDB, ∠ACB=∠DBC, BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(AAS).
阶段归类专训
∴AC=DB. 又∵∠BAC=∠CDB,∴∠FAC=∠FDB. 在△FAC 和△FDB 中,∠ ∠FFA=C∠=F∠,FDB,
∴BF=CG.
在 Rt△BEF 和 Rt△CDG 中,BBFE= =CCGD, , ∴Rt△BEF≌Rt△CDG(HL).∴∠ADC=∠AEB.
阶段归类专训 5.如图,已知∠BDC=∠CEB=90°,BE,CD 交于点 O,且
AO 平分∠BAC.求证:OB=OC.
阶段归类专训
证明:∵∠BDC=∠CEB=90°,∠BOD=∠COE, ∴∠B=∠C. ∵AO 平分∠BAC,∴∠BAO=∠CAO.
∠B=∠C, 在△AOB 和△AOC 中,∠BAO=∠CAO,
AO=AO, ∴△AOB≌△AOC(AAS).∴OB=OC.
阶段归类专训 6.如图,在△ABC 与△DCB 中,AC 与 BD 交于点 E,且∠BAC
阶段归类专训 ∠AFE=∠AGE,
在△AFE 和△AGE 中,∠FAE=∠GAE, AE=AE,
∴△AFE≌△AGE(AAS).
∴EF=EG.
在 Rt△BFE 和 Rt△CGE 中,EEFB==EEGC,, ∴Rt△BFE≌Rt△CGE(HL).∴∠ABE=∠ACE.
阶段归类专训 3.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,D 是 AC 上
AC=DB, ∴△FAC≌△FDB(AAS). ∴BF=CF.
=∠CDB,∠ACB=∠DBC,分别延长 BA 与 CD 交于点 F.
求证:BF=CF. 证明:在△ABC 和△DCB 中, ∠BAC=∠CDB, ∠ACB=∠DBC, BC=CB,
∴△ABC≌△DCB(AAS).
阶段归类专训
∴AC=DB. 又∵∠BAC=∠CDB,∴∠FAC=∠FDB. 在△FAC 和△FDB 中,∠ ∠FFA=C∠=F∠,FDB,
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注意:1、“分别对应相等”是关键 2、两边及其中一边的对角分别对应相等的两
个三角形不一定全等
二、全等三角形识别思路复习
如图,已知△ABC和△DCB中,AB=DC,请补充一
个条件-----------------------,使△ABC≌ △DCB。
A
D
B
思路1: 找夹角
已知两边: 找第三边 找直角
A
D
C
O
E
△ABC≌ △AED △BOD≌ △EOC △ADO≌ △ACO △AOB≌ △AOE
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
例3,把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图, 再过点C作CP⊥AB于P,过点D作DQ ⊥AB于Q,请问CP和 DQ相等吗?为什么?若AC=2,求C、D两点间的距离。
探究:若不作垂线段CP,DQ的话,求
CD还有另外解法吗?
C
O
A 图1
D
C
BA
D
O
B
图2
中考链接:
(06年嘉兴市)如图,矩形纸片ABCD,AB=2, ∠ADB=30°,沿对角线BD折叠(使△ABD和△ EDB落在 同一个平面内),则A,E两点的距离是---------。
E(C)
A
D
∟
B
C
四、小结:
A
D
C
E
思路4:
找夹边
AB=AE (ASA)
已知两角:
找一角的对边
AC=AD 或 DE=BC
(AAS)
三、活动探究:
例1、把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图,问 图中共有几对全等三角形?请分别指出。
F
A
O
P
Q
∟
∟
B
D
C
E
△ABC≌ △FED △BPD≌ △EQC △FPO≌ △AQO
例2,把以上两块三角板先拼成如图,再连接AO, 则图中共有几对全等三角形?请任选一对加以证明。
C
∠ ABC=∠DCB (SAS) AC=DB (SSS) ∠ A=∠D=90°(HL)
如图,已知∠C= ∠D,要识别△ABC≌ △ABD,需要 添加的一个条件是------------------。
C
A
B
思路2:
已知一边一角 (边与角相对)
D
∠CAB=∠DAB
找任一角 或者
(AAS)
∠CBA=∠DBA
2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。
3、三角形全等是证明线段相等,角相等的重要途径。
C
A P
解:∵△ACB≌△BDA ∴AC=BD,∠CAP= ∠DBQ ∵∠CPA=∠DQB=90 ° ∴△CAP≌△DBQ ∴CP=DQ ∵CP⊥AB,DQ ⊥AB ∴CP∥DQ ∴四边形CPQD为矩形 ∴CD∥PQ且CD=PQ
∟
D
O
Q
∵在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AC=2 ∴AB=4 又 在Rt△ACP中,∠ACP=30°,AC=2 ∴AP=1, 同理 BQ=1 ∴PQ=4-1-1=2 ∴CD=2
1、全等三角形识别思路:
已知Байду номын сангаас边
找夹角(SAS) 找第三边(SSS) 已知两角 找直角(HL)
找夹边(ASA) 找一边的对角(AAS)
(边与角相对) 找任一角(AAS)
已知一边一角
找夹这个角的另一边(SAS)
(边与角相邻) 找夹这条边的另一角(ASA)
找边的对角(AAS)
注意:1、“分别对应相等”是关键; 2、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
如图,已知∠1= ∠2,要识别△ABC≌ △CDA,需 要添加的一个条件是-----------------
D
C
2
1
A
B
思路3: 已知一边一角(边与角相邻):
找夹这个角的另一边
AD=CB(SAS)
找夹这条边的另一角
∠ACD=∠CAB (ASA)
找边的对角
∠D=∠B (AAS)
如图,已知∠B= ∠E,要识别△ABC≌ △AED,需要 添加的一个条件是--------------
《数学》( 北师大.七年级 下册 )
一、知识点复习:
1、全等三角形的概念: 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的特征: 全等三角形的对应边相等,对应角相等。
3、全等三角形的识别: (1)一般三角形全等的识别: SSS,SAS,ASA,AAS (2)直角三角形全等的识别: 除以上方法外,还有HL
个三角形不一定全等
二、全等三角形识别思路复习
如图,已知△ABC和△DCB中,AB=DC,请补充一
个条件-----------------------,使△ABC≌ △DCB。
A
D
B
思路1: 找夹角
已知两边: 找第三边 找直角
A
D
C
O
E
△ABC≌ △AED △BOD≌ △EOC △ADO≌ △ACO △AOB≌ △AOE
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
例3,把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图, 再过点C作CP⊥AB于P,过点D作DQ ⊥AB于Q,请问CP和 DQ相等吗?为什么?若AC=2,求C、D两点间的距离。
探究:若不作垂线段CP,DQ的话,求
CD还有另外解法吗?
C
O
A 图1
D
C
BA
D
O
B
图2
中考链接:
(06年嘉兴市)如图,矩形纸片ABCD,AB=2, ∠ADB=30°,沿对角线BD折叠(使△ABD和△ EDB落在 同一个平面内),则A,E两点的距离是---------。
E(C)
A
D
∟
B
C
四、小结:
A
D
C
E
思路4:
找夹边
AB=AE (ASA)
已知两角:
找一角的对边
AC=AD 或 DE=BC
(AAS)
三、活动探究:
例1、把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图,问 图中共有几对全等三角形?请分别指出。
F
A
O
P
Q
∟
∟
B
D
C
E
△ABC≌ △FED △BPD≌ △EQC △FPO≌ △AQO
例2,把以上两块三角板先拼成如图,再连接AO, 则图中共有几对全等三角形?请任选一对加以证明。
C
∠ ABC=∠DCB (SAS) AC=DB (SSS) ∠ A=∠D=90°(HL)
如图,已知∠C= ∠D,要识别△ABC≌ △ABD,需要 添加的一个条件是------------------。
C
A
B
思路2:
已知一边一角 (边与角相对)
D
∠CAB=∠DAB
找任一角 或者
(AAS)
∠CBA=∠DBA
2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。
3、三角形全等是证明线段相等,角相等的重要途径。
C
A P
解:∵△ACB≌△BDA ∴AC=BD,∠CAP= ∠DBQ ∵∠CPA=∠DQB=90 ° ∴△CAP≌△DBQ ∴CP=DQ ∵CP⊥AB,DQ ⊥AB ∴CP∥DQ ∴四边形CPQD为矩形 ∴CD∥PQ且CD=PQ
∟
D
O
Q
∵在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AC=2 ∴AB=4 又 在Rt△ACP中,∠ACP=30°,AC=2 ∴AP=1, 同理 BQ=1 ∴PQ=4-1-1=2 ∴CD=2
1、全等三角形识别思路:
已知Байду номын сангаас边
找夹角(SAS) 找第三边(SSS) 已知两角 找直角(HL)
找夹边(ASA) 找一边的对角(AAS)
(边与角相对) 找任一角(AAS)
已知一边一角
找夹这个角的另一边(SAS)
(边与角相邻) 找夹这条边的另一角(ASA)
找边的对角(AAS)
注意:1、“分别对应相等”是关键; 2、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
如图,已知∠1= ∠2,要识别△ABC≌ △CDA,需 要添加的一个条件是-----------------
D
C
2
1
A
B
思路3: 已知一边一角(边与角相邻):
找夹这个角的另一边
AD=CB(SAS)
找夹这条边的另一角
∠ACD=∠CAB (ASA)
找边的对角
∠D=∠B (AAS)
如图,已知∠B= ∠E,要识别△ABC≌ △AED,需要 添加的一个条件是--------------
《数学》( 北师大.七年级 下册 )
一、知识点复习:
1、全等三角形的概念: 能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的特征: 全等三角形的对应边相等,对应角相等。
3、全等三角形的识别: (1)一般三角形全等的识别: SSS,SAS,ASA,AAS (2)直角三角形全等的识别: 除以上方法外,还有HL