滤波器设计方法

相应的离散时间滤波器指标（图）： 与上图基本相同，以归一化频率：
ω=ΩT， 0≤ ω ≤π
其余频段：周期性导出 相应的通带幅度： 其中δ1 = 0.01
ωp= 2π(2000)10-4 = 0.4 π----- 通带截止频率
阻带幅度： δ2 = 0.001
ωs= 2π(3000)10-4 = 0.6 π------ 阻带截止频率
图示系统的特性： （1）在频带0≤Ω≤2π(2000)内, 增益|Heff(jΩ)|应当在单位幅度±0.01之内 （2）在频带Ω ≥2π(3000)内, 增益|Heff(jΩ)|应当不大于0.001
|Heff(jΩ)|的指标如图所示： 图中的具体参数为：
理想的通带增益为1 通带增益：1+δ1 ~ 1-δ1 阻带增益：0 ~ δ2 以分贝表示：
7.1.1 滤波器设计的脉冲响应不变法 连续滤波器 （变换） 离散滤波器 hc(t), Hc(s) h[n], H(z) 脉冲响应不变法： 通过hc(t) h[n] （离散，即保持不变） 实现 Hc(s) （连续系统） H(z) （离散系统）的变换 即： h[n] = Tdhc(nTd) Td ------采样间隔 H(z)h[n]的z变换，设计完成？ 给定的滤波器设计指标 ------ 滤波器的频率响应 设法方法必须考虑： Hc(jΩ) H(ejω) 之间的联系 根据以前的采样讨论，时域离散 频域关系，可以得到：
实际可实现性 ------ 对理想滤波器的逼近 ------ 过渡带（ ωs - ωp ） 从通带光滑过渡到阻带。虚线表示实际滤波器的幅度响应
实际数字滤波器设计，考虑到： （1）实际应用中的离散时间信号并不都是由连续时间信号导出； （2）离散时间系统的讨论，采样周期无影响（归一化频率） 滤波器设计 ------- 离散频率变量ω表示的技术指标（ω域指标）
方法的实用性（逼近）：如果Hc(jΩ) 高频部分趋近于零，则混叠很 小，可以忽略 ------- 逼近 。 由H(ejω) 指标 Hc(jΩ) 指标： Ω = ω/Td 确定出Hc(jΩ) Hc(s)， 再由脉冲响应不变法，由Hc(s) 得到H(z) 。 具体的方法（直接，不通过hc(t) h[h]的过程）： 设连续时间滤波器的传递函数具有一阶极点的形式（不失一般性）：
第七章 滤波器设计方法
Filter Design Techniques
7.0 引言
滤波器：一种特别重要的线性时不变系统 线性时不变系统 选频滤波器：对信号的频率成分进行选择（通过或拒绝）的系统 滤波器的广义定义：能对某些频率进行修正的系统 两点说明： （1）重点讨论选频滤波器设计 ----- 设计方法具有广泛应用价值 （2）滤波器是因果的 （作一些修正可以得到非因果滤波器） 滤波器内容包括： （1）滤波器设计 （2）滤波器实现（结构、算法）---- 第六章 滤波器设计的步骤： （1）给出系统所要求特性的技术指标（频域） （2）用因果离散时间系统逼近这些技术指标
滤波器 ----- 离散时间系统 数字滤波器 （digital filters） 对连续时间信号进行离散时间滤波的基本系统：
技术指标（有效连续和离散时间滤波器）：频域的技术指标 如图所示连续与离散时间滤波器的等效条件： 输入带限；采样频率避免混叠 jT H (e ), π / T, 即： H ( j )
7.1 由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器 IIR滤波器的传统设计方法： 连续时间滤波器 (变换) 满足预定指标的离散时间滤波器 理由：连续IIR滤波器设计方法成熟，简单（公式），方便，快捷 滤波器设计技术指标：离散（滤波器）频率域指标 设计过程：原型连续时间滤波器(变换) 离散时间滤波器 即：Hc(s) (变换) H(z) s域z域的变换或映射 检验：Hc(jΩ) H(ejω) 首先需要：离散（滤波器）频率域指标 （转换）原型连续（滤波器）频率域指标 设计（变换）的两个基本要求： （1）频率响应的一致性，即s平面虚轴（代表连续频率变量）必须 映射到z平面单位圆（代表离散频率变换），保持频率与频率对 应；
（2）因果稳定性，即因果稳定的Hc(s)因果稳定的H(z)， 亦即s左半平面映射到z平面单位圆内 连续时间滤波器的主要类型（设计方法）（附录B） 巴特沃兹滤波器（Butterworth filter） 切比雪夫滤波器（Chebyshev filter） 椭圆滤波器（elliptic filter） 由模拟滤波器设计IIR数字滤波器的主要方法： 脉冲响应不变法（impulse invariance） 阶跃响应不变法（step invariance） 双线性变换法（bilinear transformation）
主要的技术指标：幅度响应（ω域） 相位响应 ------ 不是非常重要（满足滤波器隐含的稳定性和因果性 要求；FIR滤波器的线性相位要求） 具体的滤波器设计： 确定符合频率指标要求的系统函数（频率响应、脉冲响应） 即：H(z)，H(ejω)，h[n] ------------ 函数逼近问题 对于IIR滤波器 ------ 利用z的有理函数逼近 对于FIR滤波器 ------- 多项式逼近
eff
0,
π / T.
有效连续滤波器指标 （转换为） 离散滤波器指标 ------- ω=ΩT 离散滤波器的特性： j
H (e ) H eff j , T
π.
例7.1 离散时间滤波器指标的确定 低通离散时间滤波器：对连续时间信号进行低通滤波 采样频率为10000样本/秒，即10000 Hz （10 kHz），（T= 10-4s）
2π H (e ) H c j j k . Td k Td
j
如果连续时间滤波器是带限的，则有
H c (j)=0, H (e ) H c j Td
j
π/Td ,
Baidu Nhomakorabea
π;
两者之间关系：频率轴的线性关系，即|ω|＜π时， ω= ΩTd 实际情况：任何连续时间滤波器都不能是完全带限的（即使低通） 因此，混叠存在。如图，