基本不等式知识点归纳

1．基本不等式2

b

a a

b +≤

(1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义

提示：①当b a =时，

ab b a ≥+2取等号，即.2

ab b

a b a =+⇒= ②仅当b a =时，

ab b a ≥+2取等号，即.2

b a ab b a =⇒=+ 2．几个重要的不等式

).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a

a b R b a ab b a

),(2

)2();,()2(2

222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤

3．算术平均数与几何平均数 设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2

b

a +，几何平均数为a

b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知,0,0>>y x 则

(1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)．

(2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4

2

p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理 提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x

x y 1

+

=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2

5min =

y

[自测·牛刀小试]

1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( )

A ．18

B ．36

C ．81

D ．243

解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18. 2．若函数)2(2

1

)(>-+

=x x x x f 在a x =处取最小值，则=a ( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 3．已知,02,0,0,0=+->>>z y x z y x 则

2

y xz

的( ) A ．最小值为8 B ．最大值为8 C ．最小值为18 D ．最大值为1

8

4．函数x

x y 1

+

=的值域为 ____________________． 5．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数x

x f 2

)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．

利用基本不等式证明不等式

[例1] 已知,0,0>>b a ,1=+b a 求证：.9)11)(11(≥++b

a

保持例题条件不变，证明：

a ＋12

＋

b ＋12

≤2.

———————————————————

利用基本不等式证明不等式的方法技巧

利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．

1．已知,0,0,0>>>c b a 求证：

.c b a c

ab b ca a bc ++≥++

利用基本不等式求最值

[例2] (1)(2012·浙江高考)若,0,0>>y x 满足,53xy y x =+则y x 43+的最小值是( ) C ．5

D ．6

(2)已知,0,0>>b a ,12

2

2

=+b a 则21b a +的最大值为________． —————

——————————————

应用基本不等式求最值的条件

利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)一正二定三相等．“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

1．(1)函数)1,0(1≠>=-a a a

y x

的图象过定点,A 若点A 在直线)0,(01>=-+n m ny mx 上，求

n

m 1

1+的最小值；

(2)若正数b a ,满足,3++=b a ab 求ab 的取值范围．

利用基本不等式解决实际问题

[例3] 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2014年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用)0(≥t t 万元满足1

24+-

=t k

x (k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2014年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．

(1)将该厂家2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大 —————

——————————————

解实际应用题时应注意的问题

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值； 3在求函数的最值时，一定要在定义域使实际问题有意义的自变量的取值范围内求.

4有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时这几个变量满足某个关系式，这时问题就变成了一个条件最值，可用求条件最值的方法求最值.

3．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并