第5章时域离散系统的基本网络结构

式中A是常数， 和 分别表示零点和极点。由于多项式的系数是实数， 和 是实数或者是共轭成对的复数，将共轭成对的零点（极点）放在一起，形成一个二阶放在一起，形成一个二阶网络 。 如下式：
式中， 和 均为实数。这样 就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联形式，如下式：
例 设FIR网络系统函数 如下式：
画出 的直接型结构和级联型结构。
解 将 进行因式分解，得到：
其级联型结构和直接型结构如图所示。
第五章 时域离散系统的基本网络结构
§
一个时域离散系统或网络的表示方法有三种：
1．差分方程
2． 系统函数
3． 单位脉冲响应
上述三种表示方法实际上是一致的，在实际中，我们经常采用一种信号流图来表示一个系统，这种流图直观地反映了在实现该系统时具体的算法，如延迟单元，加法和乘法等一些基本运算单元，构成了系统转移函数实现的功能，我们称这种流图为网络结构。
例2：对于同一个系统函数，可以有很多信号流图与之对应。
可以证明以上 ，但它们具有不同的算法。不同的算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统的复杂程度和成本等。
三．网络结构的分类
一般将网络结构分成两类，一类称为有限长脉冲响应网络，简称FIR(Finite Impulse Response)网络，另一类称为无限长脉冲响应网络，简称IIR(Infinite Impulse Response)网络。
1．直接型
将N阶差分方程重写如下：
设M=N=2,其系统函数如下：
按照差分方程可以直接画出网络结构如图所示。图中第一部分系统函数用 表示，第二部分用 表示，那么 ，当然也可以写成 ，按照该式，相当于将图中两部分流图交换位置，如图所示。该图中节点变量 ，因此前后两部分的延时支路可以合并，形成如图所示的网络结构流图，我们将图 所示的的这类流图称为IIR直接型网络结构。
FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应 长度为N,其系统函数 和差分方程分别为
1．直接型
按照 或者差分方程直接画出结构图如图所示。
这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。
2．级联型
将 进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。
3．两个变量相加，用一个圆点表示，称为网络节点。
4．每个节点处的信号称节点变量，节点变量等于所有输入支路之和。
二．基本信号流图
不同的信号流图代表不同的运算方法，而对于同一个系统函数可以有很多种信号流图与之相对应。从基本运算考虑，满足以下条件，称为基本信号流图(Primitive Signal Flow Graghs)。
（1）信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是 ；
（2）流图环路中必须存在延迟支路；
(3)节点和支路的数目是有限的。
例1：根据下图的网络结构，写出该系统的传输函数。
（）
对式进行Z变换，得到：
经过联立求解得到：
图是基本信号流图，图中有两个环路，环路增益分别为 和 ，且环路中都有延时支路，而图不是基本信号流图，它不能决定一种具体的算法，不满足基本信号流图的条件。
网络结构实际表示的是一种运算结构。
§
一．基本运算单元的流图表示
数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟。三种基本运算用流图表示如图所示。
图 三种基本运算的流图表示
说明：
1． 与系数 作为支路增益写在支路箭头旁边，如果箭头旁边没有标明增益符号，则认为支路增益是1。
2．箭头表示信号流动方向。
例设IIR数字滤波器的系统函数 为
画出该滤波器的直接型结构。
解由 写出差分方程如下：
按照差分方程画出如图所示直接型网络结构。
上面我们按照差分方程画出了网络结构，也可以按照 表达式，直接画出直接型网络结构。
2．级联型
在式表示的系统函数 中，分子、分母均为多项式，且多项式的系数一般为实数。现将分子、分母多项式分别进行因式分解，得到：
1．FIR网络
FIR网络中一般不存在输出对输入的反馈支路，因此差分方程用下式描述：
其单位脉冲响应 是有限长的，按照式， 表示为
2．IIR网络
IIR网络结构存在输出对输入的反馈支路，也就是说，信号流图中存在环路。这类网络的单位脉冲响应是无限长的。
§
IIR网络的特点是信号流图中含有反馈支路，即含有环路，其单位脉冲响应是无限长的。基本网络结构有三种，即直接型、级联型和并联型。
解 将例中 展成部分分式形成：
将每一部分用直接型结构实现，其并联型网络结构如图所示。
并联型特点：
在这种并联型结构中，每一个一阶网络决定一个实数极点，每一个二阶网络决定一对共轭极点，因此调整极点位置方便，但调整零点位置不如级联型方便。另外，各个基本网络是并联的，产生的运算误差互不影响，不象直接型和级联型那样有误差积累，因此，并联形式运算误差最小。由于基本网络并联，可同时对输入信号进行运算，因此并联型结构与直接型和级联型比较，其运算速度最高。
如果将级联形式的 展成部分分式形式，则得到IIR
并联型结构。
式中， 通常为一阶网络或二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为
式中， 和 都是实数。如果 ，则构成一阶网络。由式，其输出 表示为
上式表明将 送入每个二阶（包括一阶）网络后，将所有输出加起来得到输出 。
例 画例题中 的并联型结构。
级联型结构特点：
级联型结构中每一个一阶网络决定一个零点、一个极点，每一个二阶网络决定一对零点、一对极点。在式中，调整 三个系数可以改变一对零点的位置，调整 可以改变一对极点的位置。因此，相对直接型结构，调整方便是优点。此外，级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型也小。
3．并联型
式中 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个 的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图所示。
例 设系统函数 如下式：
试画出其级联型型网络结构。
解 将 的分子、分母进行因式分解，得到：
为减少单位延迟的数目，将一阶的分子、分母多项式组成一个一阶网络，二阶的分子、分母多项式组成一个二阶网络，画出结构图如图所示。