热力学第六章

宏观理论 （热力学） 研究对象 物 理 量 出 发 点 方 法
微观理论 （统计物理学）
热现象
宏观量 观察和实验 总结归纳 逻辑推理
热现象
微观量，宏观量 微观粒子 统计平均方法 力学规律
优 点
缺 点 二者关系
普遍，可靠 不深刻
揭露本质，探讨具体
近似模型，计算难
热力学验证统计物理学， 统计物理学揭示热力学本质
由此得到能量 :
2 nx L
2 px 2π 2 2 2 nx nx ; nx 0,1,2, 2 2m L
基态能级为非简并，激发态为二度简并。
三维自由粒子
考虑处于长度为L的三维容器中自由粒子的运动状态。 假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿照一维粒子的情 形，该粒子在三个方向动量的可能值为： 2 px nx L 2 nx , ny , nz 0,1,2, py ny L 2 pz nz L

A
p
§6-2
粒子运动状态的量子描述
微观粒子普遍具有波粒二象性（粒子性与波动性） 德布罗意关系(1924年)：
;
p k
不确定性关系（1925年）
qp h
其中
h 2 6.6261034 J s
都称为普朗克常数。
微观粒子的运动不是轨道运动 微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标,经典描述失效 在量子力学中，微观粒子的运动状态是用波函数来描述的，微观粒子的 运动状态称为量子态。量子态往往可以由一组量子数来表征。这组量子数的 数目等于粒子的自由度数。 微观粒子的能量是不连续的,分立的能量称为能级。 如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称为简并的。 一个能级的量子态数称为该能级的简并度。 如果一个能级只有量子态，该能级称为非简并的。 普朗克常数的量纲： [时间]· [能量]=[长度]· [动量]=[角动量] 具有这样量纲的一个物理量通常称为作用量，因而普朗克常数也称为基本 的作用量子。这个作用量子常作为判别采用经典描述或量子描述的判据。
dnx dny dnz
Vdp x dpy dpz h3
右边表示在μ空间中以h3为单位的相格的个数，左边表示量子态的数目。 一个相格h3 内只有一个量子态
进一步说明：
微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和 坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义 动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格）， 而不是一个点，这个体积元称为量子相格。 自由度为1的粒子，相格大小为普朗克常数：qp h
广义动量的形式和转子的拉格朗日量有关。 能量的形式和转子的对称性有关。
转子的拉格朗日量：
1 L T V m( x 2 y 2 z 2 ) V ( r ) 2 1 m(r 2 2 r 2 sin 2 2 ) V (r ) 2
L p m r2 L p m r2 sin 2
三.例子
1.三维自由粒子
自由度：3；μ空间维数：6
广义坐标 ：q1 x q2 y q3 z
能量：
广义动量 ：p1 p x mx p2 p y my p3 pz mz
1 2 2 ( p x p y p z2 ) 2m
dA A dt

能量球面半径：
一、自旋
电子(质子、中子等)具有内禀角动量（自旋）和内禀磁矩,关系为：

e S m
自旋角动量在空间任意方向上的投影（比如说 z 轴）只能取两个值:
1 S z m S ; 2
mS 1 称为自旋 （磁） 量子数 2
在外磁场中的势能为
e e U B z Bz mS B B m 2m
由于轻杆没有质量，故 OA之间为中心力，因此 O对A没有力矩，转子的总 角动量 M r p 是一个守恒量，其大小 和方向都不随时间改变 （注意和量子 力学中的角动量守恒进 行对比）。适当选择坐 标，可以使得角动量方 向在 z轴 方向，因此 A在x y平面内：
z
M
2 p 0
热力学与统计物理学的对比
热力学是热运动的宏观理论。 以实验总结的定律出发,经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联 系,宏观过程进行的方向和限度,从而揭示热现象的有关规律。 统计物理是热运动的微观理论。 认为宏观物质系统由大量微观粒子组成.宏观性质是大量微观粒子的集体 表现, 宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
M z m;
m l ,l 1,, l 称为磁量子数
l (l 1) 2 l 2I
转子的运动状态由l和m两个量子数表征。 基态非简并，激发态简并，简并度：2l 1 转子的运动状态即量子态用球谐函数 Ylm ( , ) 描写，它由l和m两个量子 数表征，l称为角动量量子数，一般为非负整数。
Vdp x dpy dpz L 3 dnx dny dnz ( ) dpx dpy dpz 2 h3
进一步理解这个式子，我们在μ空间中引入相格的概念。 首先，注意到 L3 dpx dpy dpz Vdpx dpy dpz 是μ空间中的一个体积元； 其次，普朗克常数h的量纲： [h]=[时间]· [能量]=[长度]· [动量] [h]3=[长度]3· [动量]3 h3是μ空间中的一个体积，称之为一个相格。
二.粒子的运动状态的经典描述
设粒子的自由度数r（能够完全确定质点空间位置的独立坐标数目），粒 子在任一时刻的力学运动状态（或者微观运动状态）由2r个广义坐标和广义 动量确定：
广义坐标 ：q1 , q2 , q3 ,qr 广义动量 ：p1 , p2 , p3 , pr
粒子的能量是广义坐标和广义动量的函数：
坐标用球坐标表示:

x
y
x r sin cos
y r sin sin
z r cos
x r sin cos r cos cos r sin sin
y r sin cos r cos sin r sin cos
二、线性谐振子
圆频率为 的线性谐振子的能量可能值为
n (n );
1 2
n 0,1,2,
Hale Waihona Puke 所有能级等间距，均为 ,每一个能级都是非简并的，即简并度为1。
三、转子
转子的能量:
M2 2I
量子理论要求:
M 2 l (l 1) 2 l 0,1,2,
固定l，角动量在空间任意方向上（比如说 z 轴）的投影:
广义坐标 ：q x;
p2 1 m 2 x 2 2m 2
广义动量 ：p mx
能量：
p
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
x
3. 转子
考虑质量为m的质点被具有固定长度的轻杆系于原点O时所作的运动。 质点在直角坐标下的能量：
z


o
A
1 m( x 2 y 2 z 2 ) 2
＝（q1 , q2 ,qr；p1, p2 , pr）
如果有外场，粒子的能量还是外场的函数。
μ空间
由2r个广义坐标和广义动量张成的2r维直角坐标空间：
μ空间 ：（q1 , q2 ,qr；p1 , p2 , pr）
μ空间中任何一点代表力学体系中一个粒子的一个运动状态，这个点 称为粒子运动状态的代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应 地在μ空间中移动，描画出一条轨迹。
如果自由度为r，相格大小为：
q1 qr p1 pr h r
对动量采用球坐标：
pz

o
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos

px
py
dpx dpy dpz p 2 sin dpdd
体积V内，动量 大小在p 到p dp， 方向在 到 d， 到 d的范围内， 自由粒子的量子态数为 :
第六章
近独立粒子的最概然分布
基本内容：粒子运动状态的描述 热力学系统的微观状态的描述 等概率原理 三种分布
§6-1 粒子运动状态的经典描述
一.粒子的运动状态
粒子：指组成宏观物质系统的基本单元。 例：气体中的分子 金属中的离子和电子 辐射场中的光子
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。
四、自由粒子
一维自由粒子： 考虑处于长度为 L 的一维容器中自由粒子。采用周期性边界条件，其 德布罗意波长 满足：
L nx ,
又：k x 2
nx 0,1,2,
2 nx , nx 0,1,2, L
px

,
kx
代入德布罗意关系式 p x k x , 得：
dn x L dp x 2
同理，在py到py dpy的范围内，可能的 py的数目为 :
dn y L dp y 2
在pz 到pz dpz的范围内，可能的 pz的数目为 :
dn z L dp z 2
由于自由粒子的量子态 由动量的三个分量 p x、p y、p （或者三个量子数 n x、n y、n z） z 表征，因此容器 V L3内，动量在 p x 到p x dpx，p y 到p y dpy，p z 到p z dpz的范围内， 自由粒子的量子态数为 :
2 p 1 1 ( p2 2 p 2 ) 2I 2I sin
z方向的角动量：
O
r
Lz xpy ypx m( xy yx) m r2 cos2 sin 2 m r2 p