第二节 洛必达法则
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洛必达法则
∞+)内单调递增.
n .x
(7) yxe (n>0, x≥0)
=
3
' n.. 1 xn .xn..
解：y=nx e .xe = 1 x( .) ， (n>0, x≥0) ，
xe nx
当x∈(0, n) 时，y' >0 ，当x∈(,n+∞) 时，y' <0 ，
解：取函数() =ln xa, ∈ +∞), fx () = 1 .a，得驻点x= 1,
fx .xx (0, '
x a
4
当0 <<1
时，fx >0 ，因此函数x 在(0, 1
x '( ) f ())内单调增加；
aa
1 <<∞ '
xf ()1
当x +时，f () <0 ，因此函数x 在(, +∞) 内单调减少.
从而f ()为最大值,又lim fx =.∞， lim fx =.∞，故
1+()()(aa)
ax→0 x→+∞
1 1 1
..
当f ..=ln .1 =0 ，即a =时，曲线y =ln x .ax 与x 轴仅有一个交点，这时原方程
..aa e
有惟一实根.
当f ..1 =ln 1 .>0 ，即0 <<1
x 1 = lim
.1 =.
x.>1 x .1 x .1 x.>1 x .1 x.>12x 2
1
(16) lim ( ) tan x
x.>0+ x
高等数学课件同济版第二节洛必达法则
在求解过程中，洛必达法则可以与其他极限 求解方法相结合，如等价无穷小替换、泰勒 展开等，提高解题的灵活性和准确性。
需要注意的是，洛必达法则并非万 能，有些情况下使用洛必达法则可 能会导致计算量增加或者无法得出 正确结果，因此在实际应用中需要 谨慎选择。
02 洛必达法则证明过程剖析
洛必达法则证明思路概述
导数之比有确定趋势或极限存在。
适用条件
分子分母在限定的区域内可导；
分子分母的极限都是0或都是无穷大；
洛必达法则与极限关系
洛必达法则是求未定式极限的有效工 具，可以将复杂的极限问题转化为导 数问题来求解。
通过洛必达法则，可以简化极限的求 解过程，提高计算效率。
洛必达法则在求极限中作用
洛必达法则能够解决一些其他方法难以 处理的极限问题，如含有根号、三角函 数等的复杂表达式。
02 解决方案
在求解极限前，先判断函数在 给定点的导数是否存在，若不 存在则不能使用洛必达法则。
03
问题2
04
对于复杂的极限问题，如何选择 合适的变量代换？
解决方案
根据极限的形式和特点，选择合 适的变量代换，将复杂的极限问 题转化为简单的形式进行求解。 例如，对于$infty/infty$型未定 式，可以尝试通过倒数代换或指 数代换等方法进行化简。
分析
此题为$infty/infty$型未定式，需转 化为0/0型后使用洛必达法则。
解答
通过变量代换$t = frac{1}{x}$，转化为0/0型， 再对分子分母分别求导，得到极限为0。
练习题设置及解题技巧指导
练习题1
求解极限 $lim_{x to 0} frac{ln(1+x)}{x}$
解题技巧
高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt
lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)
洛必达法则详解
x
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )
e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得
B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1
e
lim
x 1
x 1
e .
x x
x
(
0 ) 0
e e lim 2 x 0 cos x
9
信息学院
x
罗捍东
例 5：
e cos x 求 lim x 0 x sin x
x
e sin x e cos x lim 解：lim x 0 x 0 sin x x cos x x sin x
x
e x cos x 11 lim 1 x 0 cos x cos x x sin x 11 0
lim ( x )
e
0
1 lim x x 0 1 2 x
e
x 0
e 1
25
信息学院
(cot x ) 例15: 求 lim
x 0 1 ln x
罗捍东
.
( )
0
解：取对数得 ln(cot x)
1 ln x
ln(cot x) lim x0 ln x
1 ln x
x lim 1, x0 cos x sin x
x
罗捍东
2
lim
x0
e 2C 1 2 B B 4C x Cx 6x
得
B 4C 2Cx lim x0 6
1 B A 0 2 B 2C 1 0 B 4C 0
8分
10分
14
解得
1 2 1 A , B ,C 3 3 6
x 1
1 1 x
lim x
lim e
x 1
e
ln x lim x 11 x
1
e
lim
x 1
x 1
e .
洛必达法则
3 x→π − 2cos x sin x x→π sin 2 x x→π 2cos 2 x
2
2
2
注意： 洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它 求极限方法结合使用，效果更好.
-6-
tan x − x
例
5
求
lim
x→0
x2 tan x
.
(0) 0
解：原式
=
lim
x→0
tan x x3
−
x
(0) 0
x→∞
洛必达法则失效！
解：原= 式 lim(1+ 1 cos x) = 1.
x→∞
x
-12-
例12 求 lim[n − n2 ln(1+ 1 )]
n→∞
n
注意：数列极限没有洛必达法则，但是，可将数列极限
转化为函数极限，然后再使用洛必达法则．
解：原式 = lim [x − x2 ln(1+ 1 )]
x→+∞
x
1 =t x
t − ln(1+ t)
= lim
t →0+
t2
(0) 0
1− 1 = lim 1+ t
=1
t→0+ 2t
2
-13-
a x − asin x 例 13 求 lim
x→0 1− 1+ 2x3
解：原式 = lim asin x (ax−sin x −1) x→0 −( 1+ 2x3 −1)
∞
0
例 6 求 lim x−2ex. ( 0 ⋅ ∞ ) x→+∞
解：原式
=
lim
x→+∞
ex x2
高数第三章第二节洛必达法则
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例1 解
0 tan x . ( ) 求 lim x→0 → 0 x
(tan x )′ sec 2 x = 1. 原式 = lim = lim x →0 x→ 0 → ( x )′ 1
例2. 求 解: 原式 = lim
0 型 0
x→ 1
3x 3 2 3x 2x 1
2
6x 3 = lim = x→ 6x 2 1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ln(1+ x + x2 ) + ln(1 x + x2 ) 2) lim x→0 secx cos x
ln[(1+ x2)2 x2] 解: 原式 = lim x→0 sec x cos x ln(1+ x2 + x4) x2 + x4 = lim = lim x→0 sec x cos x x→0 sec x cos x
f ( x) 与F( x) 都趋于零或都趋于无穷 ，那末 大 f ( x) 可能存在、 极限 lim 可能存在、也可能不存 ．通 在 x→a F( x) ( x→∞) 0 ∞ . 常把这种极限称为 或 型未定式 0 ∞
tan x 0 ,( ) 例如 lim x→0 → x 0
lnsinax ∞ lim ,( ) x→0 lnsin bx → ∞
7 2 x cos 2 2 x 7 2 1 = lim = = 1. 2 2 x →0+ 7 x cos 7 x 2 7 1
mx m 1 ma m 1 m m n = ( 2)式 = lim a . n 1 = n 1 x → a nx na n
习题解答
P139 1题（15）
3-2 洛必达法则
注意： 注意：
f ′(x) 0 （1） 如 ） 果 仍 属 型 且 f ′(x), F′(x) 满 ， 足 F′(x) 0 定 的 件 可 继 使 洛 达 则 即 理 条 ， 以 续 用 必 法 ，
f (x) f ′(x) f ′′(x) lim . = lim = lim =L x→ F(x) a x→ F (x) a x→ F ′(x) a ′ ′
×
3、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。 、运算过程中有非零极限因子（积的形式）可先算出极限。
例：求 lim xe 2 x + xe x − 2e 2 x + 2e x (e − 1)
x 3
x→0
（代数和的形式不可以） 代数和的形式不可以）
xe x + x − 2e x + 2 xe x + e x + 1 − 2e x x 解：原式 = lim e . = lim 3 x →0 x →0 x 3x 2
ln sin ax ∞ lim , ( ) x→0 ln sin bx → ∞
定理1 设 (1 lim f (x) = 0, limF(x) = 0; 定理 )
x→ a x→ a
0 ( ) 0
(2) 在a点 某 心 域 , f ′(x)及 的 去 邻 内 F′(x) 都 在 F′(x) ≠ 0 存 且 ;
tanx − x . 求lim 2 x→ x tanx 0
0 ( ) 0
tanx− x x− sec2 x−1 x− 解: 原 = lim 式 = lim 3 2 x→ 0 x→ 0 x 3x
tan x 1 tan2 x 1 = lim 2 = lim 2 = . 3 x→ 3x 0 3 x→0 x
3-2第二节洛必达L’Hospital法则
系
高
等 数 学
.例如 当x→∞时,
x sin x 是, x cos x
型不定式
电 子 教
显然有.
lim x sin x 1 x x cos x
案
但是如果用洛必达法则,则得不出结果
lim x sin x lim (x sin x) lim 1 cos x lim (1 cos x)
子
教 案
在区间[a,x]或[x,a]上应用柯西中值定理
f (x) f (a) f ( ) , ( [a, x]) g(x) g(a) g ( )
武
x a, a
汉
科
技 学 院
lim f (x) lim f ( ) lim f (x) A
数 理
xa g(x) x g ( ) xa g (x)
ln cos x
exp[lim x0
x2
]
武 汉
exp[lim tgx ] exp[ 1 1]
x0 2 x
2
科
技 学
e1/ 2 1
院 数
e
理 系
(tgx) sec2 x
高
等 数
(3) lim (1 1 ) x lim e x ln(11/ x)
x0
院
数
理
系
高 等 数
例1 求下列极限
(1 x)a 1
(1) lim
;
学
x0
x
1
(2) lim n(e n 1) n
电 子
解: (1)是0/0型的,用洛必达法则,得到
教 案
lim (1 x)a 1 lim a(1 x)a1 a(1 0)a1 a
第二节 洛必达法则
0 型 0
tan x x 洛 sec 2 x 1 原式 lim lim 3 x0 x 0 x 3x 2 tan 2 x 2 2 lim sec x 1 tan x 2 x 0 3 x
1 3
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内容小结
00 ,1 , 0 型
洛必达法则
f g e g ln f
)
(洛必达法则)
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结束
推论1. 定理 1 中 x a 换为下列过程之一:
xa ,
x ,
条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x)
理1条件, 则
定理1
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结束
例1. 求 解: 原式 lim
lim
t 0
洛
(1 2 t )
1 2
(1 t ) 2t
1 2
洛
lim
t 0
(1 2t )
3 2
1 2 (1 t ) 2
3 2
1 4
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3. 求极限 :
1 解: 令t 2 , 则 x
1 lim 100 e x 0 x
x π 2
型
1 sin x 1 sin x ) lim 解: 原式 lim ( π cos x cos x cos x x π x 2 2
洛
cos x lim sin x x π 2
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通分 转化
0 0
(参考资料)洛必达法则详解
2
sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
18
信息学院 罗捍东
4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
19
信息学院 罗捍东
例11: 求 lim x2e x . x
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
23
信息学院 罗捍东
1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
24
罗捍东
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
29
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
信息学院 罗捍东
4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
sec x
1
正解：
lim lim 1 x tan x x sin x
2
2
18
信息学院 罗捍东
4.2.3 其它型未定式
关键:将其它类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型 ( 0 ),( ) .
0
1. 0 型
步骤:
0 0 0,
1
0
或
0
1
0
.
19
信息学院 罗捍东
例11: 求 lim x2e x . x
3. 1 ,00 ,0 型
步骤:
1
ln1
00
取对数
0 ln 0
0
0 ln
0 .
23
信息学院 罗捍东
1
例13: 求 lim x1 x . x1
( 1 )
e 1
1 ln x
解: lim x1x lim e1x
x1
x1
limln x x11 x
1
e
lim x
x1 1 e1 .
24
罗捍东
洛必达法则
型
f g 1 g1 f 1 g1 f
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
29
其它型的未定式还有： 0 , ,1 ,00,0
1
信息学院 罗捍东
4.2.1 0 型未定式 0
定理：洛必达法则 设:(1) lim f (x) lim g(x) 0;
xa
xa
(2) f (x), g(x)在a点的某去心邻域内可导,且g(x) 0;
(3) lim f (x) 存在(或); xa g(x)
高数第二节 洛必塔法则
0
1. 0 型
步骤: 0 1 , 或 0 0 1 .
0
1
1
例7 求 lim x(a x b x ), (a 0, b 0) ( 0 ) x11解原式
lim
x
ax
1
bx
lim at bt lim at ln a bt ln b
t0 t
t0
1
x
ln a ln b
定理2：设 (1) lim f ( x) , lim F ( x)
x
x
(2) N 0,当| x | N时, f ( x)及F ( x)
都存在, 且 F ( x) 0;
(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); x F ( x)
那末 lim f ( x) lim f ( x) . x F ( x) x F ( x)
2. 型
步骤: 1 1 0 0 . 0 0 00
例8 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解
原式
lim
x0
x sin x x sin x
lim
x0
x
sin x2
x
lim sin x x0 2
0.
3. 00 ,1 ,0 型
步骤:
00
1
取对数
0 ln 0 ln1
lim
x1
6
6 x
x
2
lim
x1
6 6
1.
原式
lim
x1
3
3x2 3 x2 2x
1
lim
x1
6x 6x
2
6
6
2
3 2
.
二、其它形式未定式的洛必达法则
1. 0 型
步骤: 0 1 , 或 0 0 1 .
0
1
1
例7 求 lim x(a x b x ), (a 0, b 0) ( 0 ) x11解原式
lim
x
ax
1
bx
lim at bt lim at ln a bt ln b
t0 t
t0
1
x
ln a ln b
定理2：设 (1) lim f ( x) , lim F ( x)
x
x
(2) N 0,当| x | N时, f ( x)及F ( x)
都存在, 且 F ( x) 0;
(3) lim f ( x) 存在(或为无穷大); x F ( x)
那末 lim f ( x) lim f ( x) . x F ( x) x F ( x)
2. 型
步骤: 1 1 0 0 . 0 0 00
例8 求 lim( 1 1 ). x0 sin x x
()
解
原式
lim
x0
x sin x x sin x
lim
x0
x
sin x2
x
lim sin x x0 2
0.
3. 00 ,1 ,0 型
步骤:
00
1
取对数
0 ln 0 ln1
lim
x1
6
6 x
x
2
lim
x1
6 6
1.
原式
lim
x1
3
3x2 3 x2 2x
1
lim
x1
6x 6x
2
6
6
2
3 2
.
二、其它形式未定式的洛必达法则
第二节洛必达法则
直到不是未定式 2. 条件充分不必要，只有在 lim f ′( x) 存在 前提下，才能使用法则
F ′( x)
+ − x → a , x → a , x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ 3.
条件 2) 作相应的修改 , 该法则 仍然成立.
tan x 例1 求 lim . (0) x→0 0 x
第二节 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
∞ 二、 型未定式 ∞
三、其他未定式
如果当x → a (或x → ∞)时, 两个函数f ( x)与F ( x)
都趋于零或都趋于无穷大, 那么极限
f ( x) lim x→a F ( x) ( x →∞ )
0 ∞ 称为 或 型未定式. 0 ∞
0 tan x 例如： lim , ( ) x→0 0 x
2
sin x 2 2 2 1 x = lim = = . 2 x →0 sin x 2+2 2 2 2 2 + 2 cos x x
2
1 2 2 ( x ) 另解： 1 2 原式 = lim 2 2 = . x →0 x x 2
2.
e −1 lim x →0 ln(1 + 2 x )
3x
f (sin x) − f (0) 3.设f ( x)可导, 求 lim x →0 ln(1 + 2 x)
则
o
f ( x) f ′( x) lim = lim x →a F ( x ) x →a F ′( x )
(洛必达法则)
当x → ∞时, 该法则仍然成立 .
ln x 例1 求 lim (α > 0) α x→+∞ x
∞ ( ) ∞
1/ x 1 解 原式 = lim = lim α = 0. α − 1 x→+∞ αx x→+∞ αx
F ′( x)
+ − x → a , x → a , x → ∞ , x → +∞ , x → −∞ 3.
条件 2) 作相应的修改 , 该法则 仍然成立.
tan x 例1 求 lim . (0) x→0 0 x
第二节 洛必达法则
0 一、 型未定式 0
∞ 二、 型未定式 ∞
三、其他未定式
如果当x → a (或x → ∞)时, 两个函数f ( x)与F ( x)
都趋于零或都趋于无穷大, 那么极限
f ( x) lim x→a F ( x) ( x →∞ )
0 ∞ 称为 或 型未定式. 0 ∞
0 tan x 例如： lim , ( ) x→0 0 x
2
sin x 2 2 2 1 x = lim = = . 2 x →0 sin x 2+2 2 2 2 2 + 2 cos x x
2
1 2 2 ( x ) 另解： 1 2 原式 = lim 2 2 = . x →0 x x 2
2.
e −1 lim x →0 ln(1 + 2 x )
3x
f (sin x) − f (0) 3.设f ( x)可导, 求 lim x →0 ln(1 + 2 x)
则
o
f ( x) f ′( x) lim = lim x →a F ( x ) x →a F ′( x )
(洛必达法则)
当x → ∞时, 该法则仍然成立 .
ln x 例1 求 lim (α > 0) α x→+∞ x
∞ ( ) ∞
1/ x 1 解 原式 = lim = lim α = 0. α − 1 x→+∞ αx x→+∞ αx
洛必达法则
4º 注意洛比达法则与其它求极限方法的灵活使用.
e x − e− x ∞ e x + e− x 例如， lim x 型 不定 − x = lim x x → +∞ e + e ∞ x → +∞ e − e − x 1 − e− 2 x e x − e− x = lim = 1 (恒等变形) 而 lim x −2 x −x x → +∞ 1 + e x → +∞ e + e
例1 求下列极限： 0 0 π 0 − arctan x 0 x . (1) lim 2 ; (2) lim 1 x→ 0 ln cos x x→ + ∞ x 解 (1) 原式 = lim
x→ + ∞
1 − 1 + x2 1 − 2 x
x = 1. = lim 2 x→ + ∞ 1 + x
2
1 (2) 原式 = lim = − lim cot x = −∞ . x → 0 − sin x x →0 cos x
tan x − x . 例4 求 lim 2 x → 0 x tan x tan x − x 解 原式 = lim 3 x→0 x
0 0 0 0
(tan x ~ x, x → 0)
sec x − 1 = lim x →0 3 x2
2
1 tan 2 x 1 = lim = . 2 3 x→0 x 3
1∞
解 (方法1) 令 y =
0 ln(ln x ) Q lim ln y = lim 0 x →e x →e 1 − ln x 1 1 = lim x ln x = − lim = −1, 1 x →e x →e ln x − x
可去间断点 .
第2节 洛必达法则
f ′( x ) ( 3 ) lim = A (或 ∞ ), x → a g ′( x )
f ( x) 则有 lim = A ( 或 ∞ ). x →a g( x )
注： x → a 可改为 x → ∞ .
证略. 证略.
3
3 x4 − 5 x + 4 4x − 5 1 = lim 例1 lim 2 =− . x →1 x + 2 x − 3 x →1 2 x + 2 4
罗必塔法则可多次使用. 罗必塔法则可多次使用
4
(1 + x ) − 1 例2 lim (α ≠ 0) x→0 x α (1 + x )α −1 = lim =α . x →0 1
当 x → 0时 , t → 0.
α
0 ( ) 0
比较: 比较 令 (1 + x )α − 1 = t , 则 α ln(1 + x ) = ln(1 + t ) ,
x →0
lim+ (cot x )
1 ln x
.
1 ln x
( ∞0 )
,
令
y = (cot x )
ln(cot x) , 取对数得 ln y = ln x
1 − ⋅ csc 2 x ln(cot x) x) Q lim = lim+ cot x x →0+ 1 x→0 ln x x −x = lim+ = −1 , x → 0 cos x ⋅ sin x
∴ 原式 = e −1 .
18
例14 求 lim ( arctan x ) .
x x → +∞
2
π
(1 )
2
∞
解 设 y = ( arctan x ) , 则 ln y = x ( ln + ln arctan x ) , π π
高等数学 第二节 洛必达法则
x
( 0 , 0 ) .5
应用罗彼塔法则后如果还是不定式 , 可以继续设法求 极限 , 包括继续使用罗彼塔法则 ( 如例 4 ) 或其它方法 , 如 等价无穷小代换等 . 1 2 arc tan x 0 1 2 ln 0 lim arc tan x x1 x 例 5 . lim x x x e e x 1 e 2 lim e x lim lim 2 x arctan x x 1 x x 2 x
1 2n , 1 x 右端极限不存在 , 也不是 . 1 ( 2n 1) , 1 x
但并不能说明原极限不存在 , 也不是 .
x 2 sin 1 sin x ~ x x 2 sin 1 x lim x 事实上 , lim x x 0 x 0 sin x
n Leabharlann x lim(n ) x
n 1
x
e
x
lim
( n ) ( n 1 ) ( n n ) x 1
x
n 1 x
e
0.
结论 : 当 x 时 ,
ln x x e
当 x 时 , x ( 0 ) 和 ln x 都趋于 , 但 x 速度
更快些 . 记为 ln x x . 例 4 . 当 0 , 0 1 , 整数 n 0 时 : ( n 复盖了 R )
lim x x e
1 x
1 x
1 x
nx
y y n ln ( a1y a2 an ) ln n lim ln f ( x ) lim y x y 0 y y n 0 y y a 1 ln a 1 a n ln a n a1 a n 0 lim y 0 1 ln a 1 ln a n ln ( a 1 a 2 a n )
2.洛必达法则
lim
lim
x 0
3x2
x0 3x 3
(4)原 式 lx i0m tax x3 n xlxim0se3c2xx21
tan2 lim
x
1
.
x0 3x2 3
xsin2 x (5)lim
x2xsinx
lim
x
1 sin 2 x x
2 sin x
解：因 为 0 必存在k,使 自 k1 然 数 k
lim
x
x ax
x1 xl im ax lna
xl im ( axl1n)2xa2
lim (1)…[(k1)] =0 x xkaxln ka
ax是x的高阶无穷 . 大
2
(sin ax)
解 (1)原式 lim ＝ (lsnian)x lim sin ax x 0(lsnibn)x x0 (sin bx)
sin bx
lim acoasxsibnxlimacobsxbx x 0bcobsxsianx x0bcoasxax
limcosbx1. x0 cosax
0型 0 型
00,1,0型
令y f g 取对数
0型
f g f 1g
第二节 洛必达法则
一、
0 0
型未定式
若当x→a时，函数 f (x)与g(x)都趋于零，
称极限 lim f ( x ) 为 0 型未定式。 x a g( x ) 0
求这种未定式的极限方法：
（1）约掉零因子，再求极限 （2）用等价无穷小代换法 （3）用重要极限
研究极限：lim f ( x ) ， 其中：lif m (x ) lig m (x ) 0
3.2 洛必达法则
0
1 0 , 步骤: 1 0 或 0 0 . 0 0 即将其中之一的因子下放至分母就可转化为 0 . 或 0
1. 0 型
例9
n 求 lim x ln x(n 0). x 0
注意：对数因子一般不下放，要放在分子上 2. 型 步骤:
1 1 00 . 0 0 0 0
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
3. 00 ,1 , 0 型 步骤:
0 1 0
0
x0
取对数
0 ln 0 ln1 0 . 0 ln
例11 例12 例13
f '( x) 存在(或为无穷大)， F '( x)
f ( x) f '( x) lim lim . x F ( x) x F '( x)
例4
求 lim 2
x
arctan x 1 x .
例5
求 lim ln x , (n为正整数). x ®+¥ x n
0 ). (n为正整数，
x 求 lim x .
求 lim x
x 1 x 0
1 1 x
.
1 ln x
求 lim (cot x)
.
几点说明
① 洛必达法则只是求未定式极限的一种有效方法， 是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限 存在或为∞，当定理的条件不满足时，主要是指 (3)不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存 在(不为∞)，此时洛必达法则：“失效”.
定理1 设 (1) 当 x a 时，函数 f ( x), F ( x) 都趋于零； (2) 在点 a 的某去心领域内f '( x), F '( x) 都存在且 F '( x) 0;
1 0 , 步骤: 1 0 或 0 0 . 0 0 即将其中之一的因子下放至分母就可转化为 0 . 或 0
1. 0 型
例9
n 求 lim x ln x(n 0). x 0
注意：对数因子一般不下放，要放在分子上 2. 型 步骤:
1 1 00 . 0 0 0 0
1 1 例10 求 lim( ). x 0 sin x x
3. 00 ,1 , 0 型 步骤:
0 1 0
0
x0
取对数
0 ln 0 ln1 0 . 0 ln
例11 例12 例13
f '( x) 存在(或为无穷大)， F '( x)
f ( x) f '( x) lim lim . x F ( x) x F '( x)
例4
求 lim 2
x
arctan x 1 x .
例5
求 lim ln x , (n为正整数). x ®+¥ x n
0 ). (n为正整数，
x 求 lim x .
求 lim x
x 1 x 0
1 1 x
.
1 ln x
求 lim (cot x)
.
几点说明
① 洛必达法则只是求未定式极限的一种有效方法， 是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限 存在或为∞，当定理的条件不满足时，主要是指 (3)不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存 在(不为∞)，此时洛必达法则：“失效”.
定理1 设 (1) 当 x a 时，函数 f ( x), F ( x) 都趋于零； (2) 在点 a 的某去心领域内f '( x), F '( x) 都存在且 F '( x) 0;