第一章 复数与复变函数

第一章 复数与复变函数第一节 复数1．复数域每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。

复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。

复数的四则运算定义为：)21()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222a ib a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。

2．复平面C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。

作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z -平面，w -平面等。

3．复数的模与辐角复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。

向量的长度称为复数的模，定(,)x y义为：||z向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：Arg arctan 2y z i xπ=+（k Z ∈）。

复数的共轭定义为：z x iy =-；复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+；复数加法的几何表示：设1z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：（1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =；例1．1试用复数表示圆的方程：22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠）其中a,b,c,d 是实常数。

解：方程为 0azz z z d ββ+++=，其中1()2b ic β=+。

2z例1.2、设1z 、2z 是两个复数，证明 ,12121212z z z z z z z z +=+= 11z z = 利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设1z 、2z 是两个非零复数，则有 ||(cos sin )1111z z Argz i Argz =+,||(cos sin )2222z z Argz i Argz =+ 则有||||[cos()121212 sin()]12z z z z Argz Argz i Argz Argz =+++ 即||||||1212z z z z =，()1212Arg z z Argz Argz =+，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有/||/||[cos()121212 sin()]12z z z z Argz Argz i Argz Argz =-+- 即|/|||/||1212z z z z =，(/)1212Arg z z Argz Argz =-，其后一个式子也应理解为集合相等。

例1.3、设1z 、2z 是两个复数，求证： 222||||||2Re(),121212z z z z z z +=++ 例1.4、作出过复平面C 上不同两点a,b 的直线及过不共线三点 a,b,c 的圆的表示式。

解：直线：Im 0z a b a -=-； 圆：Im()0z a c a z b c b --=--4．复数的乘幂与方根利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：||(cos sin )n n z z nArgz i nArgz =+ 令1n z n z-=，则 ||[cos()sin()]n n z z nArgz i nArgz --=-+-进一步，有111|[cos()sin()]n z Argz i Argz n n=+ 共有n -个值。

例1.5解：由于1sin )44i i ππ+=+，所以有 11(2)sin (2)]4444k i k ππππ+++2[cos()sin()]162162k k i ππππ+++ 其中，0,1,2,3k =。

第二节 复平面上的点集1．初步概念：设 ,(0,)a C r ∈∈+∞，a 的r -邻域(,)U a r 定义为{| ||,},z z a r z C -<∈称集合{| ||,},z z a r z C -≤∈为以a 为中心，r 为半径的闭圆盘，记为(,)U a r 。

设,E C a C ⊂∈，若0,(,)r U a r E ∀>⋂中有无穷个点，则a 称为E 的极限点； 若0r ∃>，使得(,)U a r E ⊂，则称a 为E 的内点；若0,(,)r U a r E ∀>⋂中既有属于E 的点，由有不属于E 的点，则称a 为E 的边界点；集E 的全部边界点所组成的集合称为E 的边界，记为E ∂； E E ⋃∂称为E 的闭包，记为E ；若0r ∃>，使得(,){}U a r E a ⋂=，则称a 为E 的孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集E ：或者没有聚点，或者所有聚点都属于E ；则任何集合E 的闭包E 一定是闭集；如果0r ∃>，使得(0,)E U r ⊂，则称E 是有界集，否则称是E 无界集； 复平面上的有界闭集称为紧集。

例1.6、圆盘(,)U a r 是有界开集；闭圆盘(,)U a r 是有界闭集； 例 1.7、集合{|||}z z a r -=是以a 为心，半径为r 的圆周，它是圆盘(,)U a r 和闭圆盘(,)U a r 的边界。

例1.8、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。

例1.9、集合{|0||}E z z a r =<-<是去掉圆心的圆盘。

圆心a E ∈∂，它是E ∂的孤立点，是集合E 的聚点。

无穷远点的邻域：0r ∀>，集合{|||,}z z r z C >∈∞称为无穷远点的一个邻域。

类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。

C ∞我们也称为C 的一点紧化。

2．区域、曲线复平面C 上的集合D ，如果满足：（1）、D 是开集；（2）、D 中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于D 。

则称D 是一个区域。

结合前面的定义，有有界区域、无界区域。

性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。

区域D 内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。

扩充复平面C ∞上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C 上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。

设已给(),()z z t a t b =≤≤如果Re ()z t 和Im ()z t 都在闭区间[,]a b 上连续，则称集合{()|[,]}z t t a b ∈为一条连续曲线。

如果对[,]a b 上任意不同两点1t 及2t ，但不同时是[,]a b 的端点，我们有()()12z t z t ≠，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。

若还有()()z a z b =，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。

若尔当定理: 任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。

光滑曲线： 如果Re ()z t 和Im ()z t 都在闭区间[,]a b 上连续，且有连续的导函数，在[,]a b 上，'()0z t ≠则称集合{()|[,]}z t t a b ∈为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。

设D 是一个区域，在复平面C 上，如果D 内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于D ，则称D 是单连通区域，否则称D 是多连通区域。

C ∞中区域的连通性：如果D 内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于D ，则称D 是单连通区域，否则称D 是多连通区域。

例1.10集合{|(1)(1)0}z i z i z -++>为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线(1)(1)0i z i z -++=即0x y +=。

例1.11集合{|2Re 3}z z <<为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线Re 2z =及Re 3z =。

例1.12集合{|2arg()3}z z i <-<为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线arg()2z i -=及arg()3z i -=。

例1.13集合{|2||3}z z i <-<为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆||2z i -=及||3z i -=。

例1.14在C ∞上，集合{|2||}z z <≤+∞与{|2||}z z <<+∞分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为{||2}z =及{||2}{}z =⋃∞。

第三节 复变函数1．复变函数的概念设在复平面C 上以给点集E 。

如果有一个法则f ，使得z x iy E ∀=+∈，C w u iv ∃=+∈同它对应，则称f 为在E 上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为()w f z =。

注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个w 和z 对应；注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若z x iy =+，Re ()Im ()(,)(,)w f z i f z u x y iv x y =+=+，则()w f z =等价于两个二元实变函数(,)u u x y =和(,)v v x y =。

函数f 也称为从E 到C 上的一个映射或映照。

把集合E 表示在一个复平面上，称为z -平面；把相应的函数值()w f z =表示在另一个复平面上，称为w -平面。

从集合论的观点，令{()|}A f z z E =∈，记作()A f E =，我们称映射()w f z =把任意的0z E ∈映射成为()00w f z A =∈，把集E 映射成集A 。

称0w 及A 分别为0z 和E 的象，而称0z 和E 分别为0w 及A 的原象。

若()w f z =把E 中不同的点映射成A 中不同的点，则称它是一个从E 到A 的双射。