多项式法在GPS高程异常拟合中的应用

摘 要: 使用多项式法对某区域高程异常插值计算, 通过对不同参数的实验分析, 得到了该区域的最 优插值结果
的参数; 提出了多项式法与反距离加权平 均法的 综合计算 模型, 插 值计算结 果精度 比传统多 项式法 提高 了一个
数量级。
关键词: 多项式法; 高程异常; 综合模型
中图分类号: P228. 4
Abstrac t: Th is paper carried ou t the interpo lating ca lcu la tion fo r he ight anom aly o f an area using mu ltinom ia lm ethod. T hrough the ex perim enta l analysis o f different param eters, it acqu ired the param eters o f optima l interpo la tion resu lts for the area. Then it put forw ard the integ ra tive ca lculation model o fm ultinom ial me thod and inverse d istance w eighting m ethod. Com pared w ith the trad itionalm ultino m ia lm ethod, the accuracy o f interpo la ting ca lcu la tion resu lts is improved by a lm ost one orde r o fm agnitude. K ey word s: mu ltinom ia lm ethod; he ight anom aly; integ ra tive model
文献标识码: B
文章编号: 1672- 5867 ( 2010 ) 03- 0174 - 02
Application ofM ultinom ialM ethod in GPS H eight Anom aly Fitting
FANG Y i- feng ( Guan gdong H u izhou G eologica l Survey and E ngin eer ing Invest iga tion Corporation, H uidong 516300, Ch ina)
点。本文首先选取出了多项式法拟 合高程异常的 最优 参数, 提出了多项式法的综合模型, 最后给出算例 验证 结果。
1 高程异常拟合的基本方法
1. 1 加权平均法
加权平均法 [2] 的基本思想是将权函数看作是距离倒
数的幂次方, 若取指数为 m, 则:
n
(di )- m Zi
Z (x, y) =
i= 1
!+
apxpi ) ] 2, 使 ∀m in这就是在最小二乘法意义下的趋势曲面
拟合。求 对 a0, a1, !, ap 的偏导数, 并令其等于 0, 令:
1 x11 x 21 ! xp1
z1
a1
X = 1 x12 x 22 ! xp2 Z = z2
A = a2
1 x1n x 2n ! xpn
zn
an
在实际应用中, 对于特定的遥感数据, 不同的分类方 法的分类精度不同, 而且同一个分类方法对不同类别的 分类精度也不同。通过专家对各种分类方法在遥感数据 分类中的应用研究, 基本认为没有哪一个分类方法是万 能的。这是因为, 遥感数据分类的精度决定于分类过程 的各个环节, 包括分类特征选择和提取、适当的数据先验 知识以及合适的分类方法等。真实地表的遥感数据是复 杂的, 同一遥感数据中不同类别数据的统计分布特征也 是不同的, 因此在同样的分类方法下, 不同类别的分类精 度差别很大, 而且 这种差别随 不同的分类 方法而不同。 常常出现一些分类方法对一部分类别的分类精度高, 而 另一些分类方法则对另一部分类别分类精度高。从这个 意义上说, 不同的分类方法之间可能有一定的互补性。
得到 X TXA = X T Z, 计算可得:
A = (X TX ) - 1XT Z
( 5)
将式 ( 5) 代入式 ( 4) 即可加密每一点的高程值。本文使用
的权函数为:
w (d ) = 1 / ( 1 + d2 /a2 )
( 6)
式中: a 为常数, 可由试验给定, 一般应取数据点平均间距
的两倍为宜。考虑权因素后, 式 ( 5)变为:
4 结束语
对遥感影像的精度影响因子从 3个方面进行了分析: 遥感数据本身的分辨率, 数据处理过程中的数据融合与 图像分类方法对精度的影响以及精度评价方法对遥感精 度的影响。通过分析可以发现, 数据的空间分辨率和光 谱分辨率对精度的影响相当明显; 数据融合和图像分类 方法要根据遥感数据的使用目的选择合适的方法才能达 到较好的分类精度; 精度评价方法对精度的影响是存在 的, 结果存在一定的随机性 [ 5] 。
定精度, 则可以代替低等级的水准测量。 传统的多项式法均拟合成趋势面, 这种趋势面采用
不同的幂级多项式来拟合复杂的曲 面, 起到了削 平、填 平真实曲面的作用。为了得到待定 点位更加逼 近真实
值的拟合值, 便不宜直接使用该方法, 因此将多 项式法 与其他方法结合起 来拟 合待定 点值, 是本文 研究 的重
A = (XT PX ) - 1XT P Z
( 7)
将式 ( 7)代入式 ( 4) 即可得到待求点的高程。
2 综合模型
文中提出了多项式法与反距离加权平均法的综合模
型, 从综合模型的本质分析可知, 混合拟合模型同时考虑
了高程异常的中长波项和短波项的影响, 其理论上更为
合理, 因此该模型更为可靠。文中方法对各已知数据点
的残差:
zi = f (xi, yi ) - z(xi, yi ), ( i = 1, !, n)
( 9)
利用反距离加权平均法将残差插值处理后分配到趋
势面拟合值上即得到最终待求点值:
f* ( xi, yi ) = f ( xi, yi ) + z*i
( 10)
3 最优参数选取及综合模型的精度验证
当多项式的最高阶数 n0 不同时, 式 ( 4) 的系数阵 X 也不相同, 计算得到的插值结果也有差异。本文针对某 一地区采用多项式法选取不同阶次 和搜索半径 进行实 验, 通过对内插结果的精度进行对比分析, 得到该区最优
3 遥感精度评价抽样方法对遥感数据精度 的影响
同一遥感分类结果, 精度评价的方式不同, 评价结果 就有可能不同, 因此很有必要对遥感精度评价过程中影
响精度评价结果的各种因素进行分析。一般地, 目前影 响遥感精度评价结果的因素主要包括抽样方法、参考数 据和评估参数 3个方面, 其中, 抽样方法和抽样样本的设 计和选择尤为关键 [ 4]。
值和趋势面之间的残差作进一步处 理后分配到 各待求
点, 于是待求点值即为趋势面值与残差拟合值之和。
首先, 根据 1. 2节中的方法对测区中已知高程异常值
拟合一个多项式趋势面:
nk
n
k
f (x, y) =
aki
x (k- i)
yi
( 8)
k= 1 i= 1
k= 1
i= 1
其次, 求出多项式趋势面在样点处的值与样点数据
( 3)
式中: i 为残差。当式中 ( xi, yi )变化时可以计算出每一
个点的趋势值和残差。则:
Z^ = a0 + a1x + a2 y + a3xy + a4x2 + a5y2 + ! = XA ( 4)
其残差平方和为
n
= i= 1 [ zi -
z^i ]
2
=
n
[
i= 1
zi -
(a0 + a1x+
第 33卷 第 3期 2010年 6月
测绘与空间地理信息
GEOMAT ICS & SPAT IAL IN FORMAT ION TECHN OLOGY
V o .l 33, N o. 3 Jun. , 2010
多项式法在 GPS高程异常拟合中的应用
方亿锋
(广东省惠州七五六地质测绘工 程公司, 广东 惠东 516300)
n0 k
多项式模型公式为
Z (X,
Y)
= a k = 0i= 0 k,
X Y , ( k - i) i[ 3- 5]
i
n0
为多项式的次数。设地面实际观测数据为 Zi ( xi, yi ) ( i=
1, 2, !, n ), 多项式拟合值为 Z^i (xi, yi ), 则有:
Zi ( xi, yi ) = Z^i ( xi, yi ) + i
n
(di )-m
( di
0)
( 2)
i= 1
Zi
( di = 0)
式中: Z (x, y )表示坐标点 ( x, y )上的插值结果; Zi 为第 i
点的已知值; di 为第 i点与插值点之间的距离。
影响加权平均法精 度的主要 参数是 指数 m。对式
(2 )分别取不同的 m 值, 插值计算并计算检核点的插值精 度, 得到适合实验区域的经验权函数 ( di ) - m。反距离加 权平均法选取 m 的值为 2, 文中在综合模型计算时采用此
图 2 不同参数的多项式插值结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ F ig. 2 Th e resu lts of m u ltin om ial in terpo lation
u sing differen t param e ters 如图 2所示, 针对该区域 2阶的结果优于 1 阶计算。 1阶、2阶和 3阶插值计算时, 式 ( 4)分别有 3个、6个和 10 个系数, 也就是说为了使式 ( 4) 有解, 待求点的搜索范围 内至少有 3个、6个与 10个起算点才能满足系数阵可逆, 因此分别采用 1阶、2 阶和 3阶计算时, 图 2中最小搜索 半径分别为 0. 12, 0. 15和 0. 18。 根据图 2得出结论 1: 针对该地区高程异常插值, 多 项式法的参数设置为 R = 0. 16~ 0. 18、计算阶次为 2时得 到的插值结果效果最好。 为了验证多项式法与加权平均法的综合模型的插值 精度, 利用单一拟合方法与文中提出的混合方法得到的 插值结果统计见表 1。 采用改进模型时, 首先利用多项式法将高程异常的 中长波部分滤掉, 再采用反距离加权平均法对残差插值 处理并分配到待求点上。