§ 9 重积分习题与答案

第九章 重积分

A

1、 填空题

1）交换下列二次积分的积分次序

（1）

()=⎰⎰-dx y x f dy y y 102,______________________________________________ （2）

()=⎰⎰dx y x f dy y y 2022,______________________________________________ （3）

()=⎰⎰dx y x f dy y 100,_______________________________________________ （4）

()=⎰⎰---dx y x f dy y y 101122,___________________________________________ （5）()=⎰⎰

dy y x f dx e

x 1ln 0,______________________________________________ （6）()()=⎰⎰

---dx y x f dy y y 4

04214,________________________________________ 2）积分dy e dx x

y ⎰⎰-2

022的值等于__________________________________ 3)设(){}10,10,≤≤≤≤=y x y x D ，试利用二重积分的性质估计()σd y x xy I D

⎰⎰+=

的 值则 。 4)设区域D 是有x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成，根据二重积分的性质，试比较积分 ()σd y x I D 2⎰⎰+=与()σd y x I D 3

⎰⎰+=的大小________________________________

5）设()⎭⎬⎫⎩⎨⎧

≤≤≤≤=20,20,ππy x y x D ，则积分()dxdy y x I D

⎰⎰+-=2sin 1 ___________________________________________

6)已知Ω是由12,0,0,0=++===z y x z y x 所围，按先z 后y 再x 的积分次序将 ⎰⎰⎰Ω

=xdxdydz I 化为累次积分，则__________________________=I

7）设Ω是由球面222y x z --=与锥面22y x z +=的围面，则三重积分

dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω

++=)(222在球面坐标系下的三次积分表达式为

2、 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值

1）

⎰⎰-+a x ax dy y x dx 2020222)(

2）⎰⎰+a

x dy y x dx 0022

3、利用极坐标计算下列各题

1）

⎰⎰+D y x d e σ22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.

2）⎰⎰++D

d y x σ)1ln(22，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.

3）⎰⎰D d x

y σarctan

，其中D 是由圆周1,42222=+=+y x y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限的闭区域.

4、选用适当的坐标计算下列各题 1)

⎰⎰D d y

x σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域.

2）

⎰⎰+D yd x σsin )1(，其中D 是顶点分别为)2,1(),0,1(),0,0(和)1,0(的梯形闭区域.

3）⎰⎰--D d y x R σ222，其中D 是圆周Rx y x =+22所围成的闭区域.

4）

⎰⎰+D d y x σ22，其中D 是圆环形闭区域{}2222),(b y x a y x ≤+≤.

5、设平面薄片所占的闭区域D 由螺线θρ2=上一段弧⎪⎭⎫ ⎝⎛≤

≤20πθ与直线2πθ=所围成，它的面密度为()22,y x y x +=μ，求这薄片的质量（图9-5）.

6、求平面0=y ，()0>=k kx y ，0=z ，以及球心在原点、半径为R 的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.

7、设平面薄片所占的闭区域D 由直线2=+y x ，x y =和x 轴所围成，它的面密度 ()22,y x y x +=μ，求该薄片的质量.

8、计算由四个平面0=x ，0=y ，1=x ，1=y 所围成的柱体被平面0=z 及 632=++z y x 截得的立体的体积.

9、求由平面0=x ，0=y ，1=+y x 所围成的柱体被平面0=z 及抛物面z y x -=+62

2 截得的立体的体积.

10、计算以xoy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底，而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.

11、化三重积分()⎰⎰⎰Ω

=dxdydz z y x f I ,,为三次积分，其中积分区域Ω分别是

1）由双曲抛物面z xy =及平面0,01==-+z y x 所围成的闭区域.

2）由曲面2

22y x z +=及22x z -=所围成的闭区域.

12、设有一物体，占有空间闭区域(){}

10,10,10,,≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点()z y x ,, 处的密度为()z y x z y x ++=,,ρ，计算该物体的质量.

13、计算⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32，其中Ω是由曲面xy z =，与平面1,==x x y 和0=z 所围成

的闭区域.

14、计算⎰⎰⎰Ωxyzdxdydz ，其中Ω为球面1222=++z y x

及三个坐标面所围成的在第一卦

限内的闭区域.

15、算⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由锥面22y x R

h z +=

与平面()0,0>>=h R h z 所围成的闭区域.