高中数学讲义 第二章 函数A (超级详细)

将点 (1, 4) 代入解得 a 2 ．故所求的解析式为 f (x) 2x2 4x 6 ．
点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式．
例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是 2km，甲 10
时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程 y（km）与时间 （x 分）的关系．试写出 y f (x)
1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数． 2.求解析式一般有四种情况：（1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（2）给出函数特征，利用待 定系数法求解析式；（3）换元法求解析式；（4）解方程组法求解析式． 【基础练习】
1.设函数 f (x) 2x 3 ， g(x) 3x 5 ，则 f (g(x)) __6__x___7__； g( f (x)) ___6_x___4___．
【知识导读】
高中数学复习讲义 第二章 函数
一般化
概念 图像
表示方法 定义域 值域 单调性 奇偶性
特殊化
映射
函数
具体化
基本初等 函数Ⅰ
幂函数 指数函数 对数函数 二次函数
指数 互逆 对数
函数与方程
应用问题
【方法点拨】 函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础．高中函数以具体的幂函数，
求函数的值域应注意新元的取值范围．
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【反馈演练】
1．函数 f(x)＝ 1 2 x 的定义域是__(____,_0_]___．
2．函数
f
(x)
1 log 2 (x 2
4x
3)
的定义域为___(_1_, _2_)___(_2_, _3_)___．
3.
函数
y
1 1 x2
指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函 数和抽象函数；同时要对初中所学二次函数作深入理解． 1.活用“定义法”解题．定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点．利用定义，可直接判断所 给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等． 2.重视“数形结合思想”渗透．“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．当你所研究的问题较为抽象时，当 你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像！利用图形的 直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题． 3.强化“分类讨论思想”应用．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的 解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．进行分类讨论时，我们要遵循的原则 是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中 最重要的一条是“不漏不重”． 4.掌握“函数与方程思想”．函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中 的地位与作用很高．函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题．
(3) f (x) x 1 1 的定义域为[__1_,_0_)___(_0_,____)； (4) f (x) (x 1)0 的定义域为_(____,__1_)___(__1_,_0_)_．
x
x x
4．已知三个函数:(1) y
P(x) Q(x)
；
(2) y 2n P(x)
(n N*) ；
2
2
Ａ． 2 f (x)
Ｂ． 2[ f (x) g(x)]
Ｃ． 2g(x)
2．已知
f
(1 2
x
1)
2x
3 ，且
f
(m)
6 ，则
m
1 等于____4____．
Ｄ． 2[ f (x) g(x)]
3. 已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且 f(x)＝x2＋2x．求函数 g(x)的解析式．
1．设有函数组：① y x ，y
x2 ；② y x ，y 3 x3 ；③ y
x ，y
x x
；④
y
1 1
(x 0),
，
(x 0),
y x ；⑤ y lg x 1 ， y lg x ．其中表示同一个函数的有___②④⑤___．
x
10
2.设集合 M {x 0 x 2} ， N {y 0 y 2} ，从 M 到 N 有四种对应如图所示：
解：在①中， f (x) 的定义域为{x x 1} ， g(x) 的定义域为 R ，故不是同一函数；在②中， f (x) 的定义
域为[1, ) ， g(x) 的定义域为 (, 1] [1, ) ，故不是同一函数；③④是同一函数．
点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，
y
y
y
y
2
2
2
2
O 1 2x ①
O 1 2x ②
O 1 2x ③
O 1 2x ④
其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有_____②③____．
3.写出下列函数定义域：
(1) f (x) 1 3x 的定义域为______R________；
(2)
f
(x)
1 的定义域为____{_x__x____1_}__； x2 1
的函数解析式．
y
4
3
2
分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式．
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1 O 10 20 30 40 50 60 x
例2
解：当 x [0,30] 时，直线方程为 y 1 x ，当 x [40, 60] 时，直线方程为 y 1 x 2 ，
15
10
f
(x)
1 15 2
分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．
解法一：设
f
(x)
ax 2
bx
c(a
0)
，则 c4a6,2b
c
6,
a 解得 b
2, 4,
4ac
b
2
4a
4.
c 6.
故所求的解析式为 f (x) 2x2 4x 6 ． 解法二： f (0) f (2) ，抛物线 y f (x) 有对称轴 x 1 ．故可设 f (x) a(x 1)2 4(a 0) ．
例
1.设有函数组：①
f
(x)
x2 1
，
x 1
g(x)
x
1；②
f
(x)
x 1
x 1 ， g(x)
x2 1 ；
③ f (x) x2 2x 1 ，g(x) x 1 ；④ f (x) 2x 1，g(t) 2t 1 ．其中表示同一个函数的有③④．
分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同．
(x R) 的值域为_______(_0_,1_]______．
4. 函数 y 2x 3 13 4x 的值域为____(___,_4_]____．
5．函数 y
log 0.5 (4x 2
3x)
[ 1 , 0) ( 3 ,1] 的定义域为______4_______4________．
6.记函数 f(x)=
分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域．
（1） 解： y x2 4x 2 (x 2)2 2 ， x [0,3) ，函数的值域为[2, 2] ；
（2）
解法一：由
y
x2 x2 1
1
x
1 2
1
，
0
1 x2 1
1 ，则 1
1 x2 1
0
， 0
y
1，故函
数值域为[0,1) ．
解法二：由
它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．
例 2.求下列函数的定义域：① y 1 x 2 1 ； 2 x
② f (x)
x
；
log 1 (2 x)
2
解：（1）①
2 由题意得：
x
0, 解得 x 1且 x
2 或 x
1且 x
2，
x2 1 0,
2.设函数
f (x) 1 ， g(x) x2 2 ,则 g(1) _____3_______； 1 x
f [g(2)]
1
；
7
f [g(x)]
1
．
x2 3
3.已知函数 f (x) 是一次函数，且 f (3) 7 ， f (5) 1 ,则 f (1) __15___．
| x 1 | 2,| x | 1,
y
x2
，则
x2 1
x2
y 1 y
， x2
0 ， y 1 y
0 ，0
y
1，故函数值域为[0,1)
．
（3）解：令 x 1 t (t 0) ，则 x t 2 1， y t 2 2t 1 (t 1)2 2 ，
当 t 0 时， y 2 ，故函数值域为[2, ) ．
点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法
2
x3 x 1
的定义域为 A，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)
的定义域为 B．
(1) 求 A；
(2) 若 B A，求实数 a 的取值范围．
x3
x 1
解：(1)由 2－ x 1 ≥0，得 x 1 ≥0，x<－1 或 x≥1， 即 A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
4
4.设
f(x)＝
1 1 x2
,
，则 f[f( 1 )]＝______1_3______．
| x | 1
2
y 3 3 | x 1 | (0≤x≤2)
5.如图所示的图象所表示的函数解析式为______2____2________________．
【范例解析】
第5题
例 1.已知二次函数 y f (x) 的最小值等于 4，且 f (0) f (2) 6 ，求 f (x) 的解析式．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵B A， ∴2a≥1 或 a+1≤－1，即 a≥ 1 或 a≤－2，而 a<1， 2
1
∴
≤a<1Biblioteka Baidu
或 a≤－2，故当
B A 时，
实数
1
a 的取值范围是(－∞,－2]∪[
,1)．
2
2
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【考点导读】
第 2 课 函数的表示方法
5.写出下列函数值域：
(1) f (x) x2 x ， x {1, 2,3} ；值域是{2, 6,12}．
(2) f (x) x2 2x 2 ； 值域是[1, ) ．
(3) f (x) x 1， x (1, 2] ． 值域是 (2,3] ．
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【范例解析】
将点 (0, 6) 代入解得 a 2 ．故所求的解析式为 f (x) 2x2 4x 6 ．
解法三：设 F (x) f (x) 6. ，由 f (0) f (2) 6 ，知 F (x) 0 有两个根 0，2，
可设 F (x) f (x) 6 a(x 0)(x 2) (a 0) ， f (x) a(x 0)(x 2) 6 ，
故定义域为 (, 2) (2, 1] [1, 2) (2, ) ．
② 由题意得： log 1 (2 x) 0 ，解得1 x 2 ，故定义域为 (1, 2) ．
2
例 3.求下列函数的值域：
（1） y x2 4x 2 ， x [0,3) ；
（2）
y
x2 x2 1
(x R)
；
（3） y x 2 x 1 ．
x
x [0,30], x (30, 40),
1
x 2 x [40, 60].
10
点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要
注意求出解析式后，一定要写出其定义域．
【反馈演练】
1．若 f (x) ex ex ， g(x) ex ex ，则 f (2x) （ D ）
解：设函数 y f x 的图象上任意一点 Q x0 , y0 关于原点的对称点为 P x, y ，
则
x0 2
y0 2
x y
0,
即
x0
0, y0
x, y.
∵点 Q x0 , y0 在函数 y f x 的图象上
∴ y x2 2x，即y x2 2x, 故g x x2 2x ．
(3) y logQ(x) P(x) ．写出使各函数式有意
义时， P(x) ， Q(x) 的约束条件： (1)_________Q__(_x_)___0______； (2)_________P_(_x_)___0_______； (3)__Q__(_x_)___0_且___P_(_x_)___0__且__Q__(_x_)___1．
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【考点导读】
第 1 课 函数的概念
1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体 会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数． 【基础练习】