线性代数第3章习题解答(rr)
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1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T
ααα=--=-- 求1223αα+ 解:
∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=-----
1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4
T T
=-----=-
∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T
T
T
αα+=-+-=
2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T
αα==
3123[4,1,1,1],3()2()5()0T
ααααααα=--++-+=并且
求 α
解:
∵ 1236325αααα=+-
[6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24],
T T T
T
=+--=
∴ [1,2,3,4].T
α=
3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关
解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T
αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使
11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。
解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T
T
k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关
(3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都
不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。
(4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。
解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T
T
T
ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。
(5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数
123,,k k k 不全为零。
解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T
T
T
βαα===
[]31230,0,1,000T
αβααα==++，表示系数全为0。
(6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.
解：正确。因12,αα线性相关，即存在不全为零的数12,,k k 使
11221122120,000k k k ααααββ+=+++=从而k .因12,,0,0k k 不全为零，所以1212,,,ααββ线
性相关。
4.判断向量β能否由向量组1234,,,αααα线性表示，若能，写出它的一种表示方式。 (1) [][][]121,1,2,2,1,1,0,0,2,2,0,0,T
T
T
βαα===[]30,0,1,1T
α=，[]40,0,1,1T
α=-- 解：显然 131342βααααα=+=+-
(2)
[][][]121,2,5,1,1,1,1,2,3,T T T βαα=-==[]32,1,1T α=-，[]40,0,0.T
α= 解： 设112233,βχαχαχα=++得到方程组
1232233
23212535
x x x x x x x x x ++=⎧⎪
+-=⎨⎪++=⎩
对方程组的增广矩阵作初等行变换，得到：
2112313211211121105412120133013321315021400510r r r r A r r r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
--⎢⎥⎢⎥⎢
⎥=------⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
u u u u u r u u u u u u u r
231323510541006501330103300120012r r r r r -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
u u u u u u u r u u r
故 1236,3,2,x x x =-==12346320.βαααα∴=-+++ (3)
[][][]121,2,3,4,1,1,2,2,1,0,0,0,T T T
βαα===
[][]341,2,2,2,2,0,0,0.T
T
αα=----=
解: 设11223344βχαχαχαχα=+++，对该方程组的增广矩阵作初等 行变换得到：
123242111210
112110202102022202030
020122020400200r r A r r r r --⎡⎤⎡⎤-⎢⎥
⎢⎥
--⎢
⎥⎢
⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦u u u u u u u r 430
1121102020020100001r r B -⎡⎤
⎢⎥
-⎢
⎥-=⎢⎥
⎢
⎥
-⎣⎦
u u u u u u r
因阶梯形矩阵B 所对应的方程组中存在矛盾方程，故方程组无解。 1234,,,.βαααα∴不能由线性表示
(4) [][][]125,2,2,0,1,1,2,3,1,2,3,1,T
T
T
βαα=--==- [][]341,1,1,2,1,4,5,11.T
T
αα=--=-
解： 设11223344βχαχαχαχα=+++ ，对该方程组的增广矩阵作初等变换得到：
1111510001121420
100
223152001033121100
0011A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥=→----⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦⎣⎦