2020-2021高考理科数学模拟试题
2020-2021学年高考数学理科一模试题及答案解析二
最新高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π2．设函数，则f[f（1）]的值为（）A．﹣6 B．0 C．4 D．53．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y+4的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．274．若α是第二象限角，，则=（）A． B．C．D．5．已知f（x）=ax3+b3+4（a，b∈R），f[lg（log32）]=1，则f[lg（log23）]的值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．86．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中，，则=（）A．1 B．2 C．t D．2t7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．38．已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且AB与平面BCD成60°角．当的值取到最大值时，二面角A﹣CD﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°二、填空题（本大题共7小题，共36分）9．设全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x≥2}，则A∩B=______，A∪B=______，A∩（∁R B）=______．10．已知命题p：“若a2=b2，则a=b”，则命题p的否命题为______，该否命题是一个______命题．（填“真”，“假”）11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为______，体积为______．12．若函数f（x）是幂函数，则f（1）=______，若满足f（4）=8f（2），则=______．13．空间四点A、B、C、D满足|AB|=1，|CD|=2，E、F分别是AD、BC的中点，若AB与CD 所在直线的所成角为60°，则|EF|=______．14．已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A是其上顶点，且△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，若△AF1B的面积为6，则椭圆C 的方程为______．15．已知等差数列{a n}满足a9＜0，且a8＞|a9|，数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），{b n}的前n 项和为S n，当S n取得最大值时，n的值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．17．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．18．已知函数f（x）=x2+ax+1，（Ⅰ）设g（x）=（2x﹣3）f（x），若y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．19．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．20．数列{a n}各项均为正数，a1=，且对任意的n∈N*，都有a n+1=a n+ca n2（c＞0）．（1）求++的值；（2）若c=，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+），利用三角函数的周期公式即可求值得解．【解答】解：∵=2sin（2x+），∴最小正周期T==π．故选：C．2．设函数，则f[f（1）]的值为（）A．﹣6 B．0 C．4 D．5【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．【解答】解：函数，则f[f（1）]=f（1﹣4）=f（﹣3）=﹣6．故选：A．3．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y+4的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．27【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=2x+3y+4为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为11．故选：B．4．若α是第二象限角，，则=（）A． B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的余弦函数．【分析】由条件利用同角三角的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得的值．【解答】解：∵α是第二象限角，=，∴+α为第三项象限角．∵+=1，sin（）＜0，cos（）＜0，求得=﹣，故选：A．5．已知f（x）=ax3+b3+4（a，b∈R），f[lg（log32）]=1，则f[lg（log23）]的值为（）A．﹣1 B．3 C．7 D．8【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的值．【分析】易判lg（log23）与lg（log32）互为相反数，构造函数f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+b3，利用g（x）的奇偶性可求结果．【解答】解：∵lg（log23）+lg（log32）=lg（log23•log32）=lg1=0，∴lg（log23）与lg（log32）互为相反数，令f（x）=g（x）+4，即g（x）=ax3+b3，易知g（x）为奇函数，则g（lg（log23））+g（lg（log32））=0，∴f（lg（log23））+f（lg（log32））=g（lg（log23））+4+g（lg（log32））+4=8，又f（lg（log23））=1，∴f（lg（log32））=7，故选：C．6．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中，，则=（）A．1 B．2 C．t D．2t【考点】向量在几何中的应用．【分析】可连接CD，CB，从而得到CD⊥AD，BC⊥AB，这便可得到，，从而得出=，带入便可求出的值．【解答】解：如图，连接CD，CB；∵AC为直径；∴CD⊥AD，BC⊥AB；∴====t+2﹣（t+1）=1．故选A．7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：B．8．已知三棱锥ABCD中，AB⊥CD，且AB与平面BCD成60°角．当的值取到最大值时，二面角A﹣CD﹣B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据直线和平面所成的角，求出的值取到最大值时的条件，进行求解即可．【解答】解：过A作AO⊥平面BCD，连接BO并延长交CD，于E，连接AE，则BE是AB在底面BCD上的射影，则∠ABE=60°，∵AB⊥CD，AO⊥CD，∴AO⊥平面ABE，即AE⊥CD，则∠AEB是二面角A﹣CD﹣B的平面角，则==，要使的值取到最大值，则取得最大，由正弦定理得=，∴当sin∠BAE取得最大值，即当∠BAE=90°时取最大值．此时∠AEB=30°，故选：A二、填空题（本大题共7小题，共36分）9．设全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x≥2}，则A∩B= {x|2≤x≤3 ，A∪B= {x|x＞1} ，A∩（∁R B）= {x|1＜x＜2} ．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集，并集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|1＜x≤3}，B={x|x≥2}，即∁R B={x|x＜2}，∴A∩B={x|2≤x≤3}，A∪B={x|x＞1}，A∩（∁R B）={x|1＜x＜2}，故答案为：{x|2≤x≤3}，{x|x＞1}，{x|1＜x＜2}10．已知命题p：“若a2=b2，则a=b”，则命题p的否命题为若a2≠b2则a≠b ，该否命题是一个真命题．（填“真”，“假”）【考点】四种命题间的逆否关系；四种命题的真假关系．【分析】根据命题：“若p，则q”的否命题为“若￢p，则￢q”，写出它的否命题，再判定真假性．【解答】解：命题p：“若a2=b2，则a=b”，则命题p的否命题为“若a2≠b2，则a≠b”，该否命题是一个真命题．故答案为：“若a2≠b2，则a≠b”，真．11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为，体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，底面△ABC是等腰直角三角形，△PBC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥底面ABC．利用三角形面积计算公式、三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥P﹣ABC，底面△ABC是等腰直角三角形，△PBC是边长为2的正三角形，且平面PBC⊥底面ABC．∴该几何体的表面积为=+++×=4++，体积V==．故答案分别为：4++；．12．若函数f（x）是幂函数，则f（1）= 1 ，若满足f（4）=8f（2），则= ．【考点】函数的值．【分析】设f（x）=xα，由幂函数的性质能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）是幂函数，∴设f（x）=xα，∴f（1）=1，∵满足f（4）=8f（2），∴4α=8×2α，解得α=3，∴==．故答案为：1，．13．空间四点A、B、C、D满足|AB|=1，|CD|=2，E、F分别是AD、BC的中点，若AB与CD 所在直线的所成角为60°，则|EF|= 或．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO∥CD，且|EO|=1，FO∥AB，且|FO|=，∠EOF（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，由此能求出EF．【解答】解：取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，|AB|=1，|CD|=2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为60°，∴EO∥CD，且|EO|=1，FO∥AB，且|FO|=，∴∠EOF（或其补角）是异面直线AB与CD所成的角，∴∠EOF=60°或120°，∴∠EOF=60°，EF==，∠EOF=120°，EF==．故答案为：或．14．已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点，A是其上顶点，且△AF1F2是等腰直角三角形，延长AF2与椭圆C交于另一点B，若△AF1B的面积为6，则椭圆C 的方程为=1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由△AF1F2是等腰直角三角形，可得b=c，可设椭圆的标准方程为：=1（b＞0）．在Rt△ABF1中，由勾股定理可得：+|AB|2=，|AF2|=|AF1|=b，设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m=2b﹣m，2b2+=，又=×=6，联立解出即可得出．【解答】解：∵△AF1F2是等腰直角三角形，∴b=c，可设椭圆的标准方程为：=1（b＞0）．在Rt△ABF1中，由勾股定理可得：+|AB|2=，|AF2|=|AF1|=b，设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m=2b﹣m，代入可得：2b2+=，又=×=6，联立解得b2=，∴椭圆的标准方程为：=1．故答案为：=1．15．已知等差数列{a n}满足a9＜0，且a8＞|a9|，数列{b n}满足b n=a n a n+1a n+2（n∈N*），{b n}的前n 项和为S n，当S n取得最大值时，n的值为8 ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由满足a9＜0，且a8＞|a9|，可得d＜0，a8＞﹣a9＞0，因此当n≤8时，a n＞0；当n≥9时，a n＜0．S n=a1a2a3+a2a3a4+…+a6a7a8+a7a8a9+a8a9a10+a9a10a11+…+a n a n+1a n+2，当n≤6时，S n的每一项都大于0，当n≥9时，a n a n+1a n+2＜0，只要计算a7a8a9+a8a9a10与0的关系即可得出．【解答】解：∵设等差数列{a n}的公差为d，∵满足a9＜0，且a8＞|a9|，∴d＜0，a8+a9＞0，a8＞﹣a9＞0，∴当n≤8时，a n＞0；当n≥9时，a n＜0．S n=a1a2a3+a2a3a4+…+a6a7a8+a7a8a9+a8a9a10+a9a10a11+…+a n a n+1a n+2，当n≤6时，S n的每一项都大于0，当n≥9时，a n a n+1a n+2＜0，而a7a8a9＜0，a8a9a10＞0，并且a7a8a9+a8a9a10=a8a9（a7+a10）=a8a9（a8+a9）＞0，因此当S n取得最大值时，n=8．故答案为：8．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A、B、C分别是边a、b、c的对角，且3a=2b，（Ⅰ）若B=60°，求sinC的值；（Ⅱ）若，求cosC的值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知可得3sinA=2sinB，由已知可求sinA，利用大边对大角可得A为锐角，可求cosA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可求sinC的值．（Ⅱ）设a=2t，b=3t，由已知可求，利用余弦定理即可得解cosC的值．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵3a=2b，∴3sinA=2sinB又∵B=60°，代入得3sinA=2sin60°，解得．∵a：b=2：3，∴A＜B，即∴．…（Ⅱ）设a=2t，b=3t，则，则．…17．如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．证明AH⊥DE，AD⊥DE，然后证明DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．说明∠CNM就是所求二面角的一个平面角．然后求解即可．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．∵平行四边形ABCD⊥平面CDE∴AH⊥平面CDE又∵DE⊂平面CDE∴AH⊥DE…①由已知AD⊥DE…②，AH∩AD=A…③由①②③得，DE⊥平面ABCD；…解：（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．由（Ⅰ）得DE⊥平面ABCD，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD．∴CM⊥AE，又∵CN垂直AE，且CM∩CN=C．∴AE⊥平面CMN，得角CNM就是所求二面角的一个平面角．又∵，，∴所求二面角的余弦值为．…18．已知函数f（x）=x2+ax+1，（Ⅰ）设g（x）=（2x﹣3）f（x），若y=g（x）与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得，故；综上所述，a的取值集合为．（Ⅱ）（1）若，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max=f（1）=2+a；（2）若，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故，（3）若，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，，综上所述，．19．过离心率为的椭圆的右焦点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设|FA|=λ|FB|，T（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得，c=1，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，不成立．于是可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆方程联立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2，再利用根与系数的关系代入可得：﹣2=，由1≤λ≤2，可得0≤，利用AB边上的中线长为=，及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，c=1，a2=b2+c2，∴=b，∴椭圆C的方程为：．（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，显然不成立．因此可设直线l的方程为：my=x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程与椭圆方程联立可得：（m2+2）y2+2my﹣1=0，∴，，由|FA|=λ|FB|，可得y1=﹣λy2，∵，∴，∴﹣2=，∵1≤λ≤2，∴∈，∴0≤，又AB边上的中线长为===，∵0≤，∴=t∈．∴f（t）=2t2﹣7t+4=2﹣∈．∴．∴△ABT中AB边上中线长的取值范围是．20．数列{a n}各项均为正数，a1=，且对任意的n∈N*，都有a n+1=a n+ca n2（c＞0）．（1）求++的值；（2）若c=，是否存在n∈N*，使得a n＞1，若存在，试求出n的最小值，若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（1）由a1=，且对任意的n∈N*，都有a n+1=a n+ca n2（c＞0），可得a2==，a3=（2+c）（4+2c+c2）．代入化简整理即可得出．（2）a n+1=a n+ca n2，c=，变形为=，可得++…+=++…+=．通过“放缩法”即可得出结论．【解答】解：（1）∵a1=，且对任意的n∈N*，都有a n+1=a n+ca n2（c＞0），∴a2==，a3==+c=（2+c）（4+2c+c2）．∴++=++=++==2．（2）∵a n+1=a n+ca n2，c=，∴a n+1＞a n＞0．∴，即=，∴++…+=++…+=．∴＜++…+=．当n=2016时，＜1，可得a2017＜1．当n=2017时，2﹣＞++…+=1，可得a2018＞1．因此存在n∈N*，使得a n＞1．2016年9月29日。
2020-2021学年数学理科高考模拟密卷及答案解析
最新高考数学（理）密卷第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数12i34iz -=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数的虚部是() A.25i - B.25i C.25- D. 252．设集合{}2320A x x x =-+≤，{}21x B y y ==+，则A B = () A.[]1,2 B.(]1,2 C. ()1,+∞ D. [)2,+∞3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A ．3.24.0ˆ+=x yB ．4.22ˆ-=x yC ．5.92ˆ+-=x yD ．4.43.0ˆ+-=x y 4．已知命题:p 对任意R x ∈，总有112x x -++>；命题:q 2x >是1x >的充分不必要条件.则下列命题为真命题的是 () A.p q ∧ B.p q ⌝∧⌝ C. p q ⌝∧ D. p q ∧⌝5．下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是() A.()sin f x x = B.()3f x x = C. ()12x f x =D. ()3x f x = 6．已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x=0，若以直线y=kx -2上任意一点为圆心，以l 为半径的圆与圆C 没有公共点，则k 的整数值是() A ．-l B ．0C ．1D ．2 7．函数2sin 2xy x =-的图象大致是()8.已知点P(x ，y)的坐标满足条件2144x y x y x y a -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，当2z x y =-+取得最大值为1时，那么x 2＋y 2的最小值为( )A ．22B ．12C ．1D ．29．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法种数为( )A ．12B ．15C ．18D ．2110．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线右支上存在点P使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为( )21-) B ．(21-，1) C ．(1，A ．(0，21+)D ．(21+，+∞)第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________．12.执行如图所示的程序框图，若输入x ＝0.1，则输出的m 的值是________．13. 在△ABC 中，90A ∠=，边1AC =，2AB =，过点A 作AP BC ⊥交BC 于P ，且AP AB AC λμ=+，则λμ=________．14. 直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点且与x 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于.15.定义域为R 的函数()f x 满足(2)2()f x f x +=，当[0,2]x ∈时，2()2f x x x =-，若[4,2]x ∈--时，13()()8f x t t≥-恒成立，则实数t 的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知函数23()sin cos 3cos 2f x x x x ωωω=⋅+-（0>ω），直线1x x =，2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为4π． （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移8π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()0g x k +=，在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．17．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等． （Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．18. （本小题满分12分）已知等边三角形的边长为3，点E D ,分别在边AC AB ,上，且满足21==EA CE DB AD ，将ADE ∆沿DE 折叠到DE A 1∆的位置，使BCDE DE A 平面平面⊥1，连接C A B A 11,．（Ⅰ）证明：BCDE D A 平面⊥1；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使得直线1PA 与平面BD A 1所成的角为60？若存在，求出PB 的长；若不存在，说明理由．19. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*N n ∈，点 ⎝⎛⎪⎭⎫nS n n,都在函数x a x x f n 2)(+=的图象上．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n A 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n a a 1的前n 项积，若不等式a a a f a A n nn 23)(1+-<+对一切 *N n ∈都成立，其中0>a ，求a 的取值范围．20. （本小题满分13分）设平面上一动点P 到定点（1,0）的距离与到定直线4x =的距离之比为12． （Ⅰ）求动点的P 轨迹C 的方程；（Ⅱ）设定点A (-2,3),曲线上C 一点00(,)M x y ,其中00y ≥.若曲线C 上存在两点,E F ，使AE AF AM +=，求0x 的取值范围．21. （本小题满分14分） 函数()ln f x x =，()2122g x x x =-．（Ⅰ）设()()()1h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值； （Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有()()22b af a b f a a-+-<； （Ⅲ）设k Z ∈，当1x >时，不等式()()()134k x xf x g x '-<++恒成立，求k 的最大值．密卷答案一、 选择： DDBDCAABCA二、 填空11. 15；12. 20；13. -1；14. 8：27；15. 3 三、解答题16解：（Ⅰ）由题意知：243ππω=，解得：32ω=， ……………………2分 CB CB B A A cos cos 2sin sin sin sin tan --+==∴A C A B A A C A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴ A A C A C A B A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴ A C A B A sin 2)(sin )(sin =+++∴……………………………………4分a cb A B C 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（Ⅱ）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形 …………8分213sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ ……………9分435cos 3-sin +=θθ532sin (-)34πθ=+， …10分(0)θπ∈，,2--333πππθ∴∈(，)，zyxFEPDCBA当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACB S 的最大值为5324+………………12分 17.解：（Ⅰ）证：由已知DF ∥AB 且∠DAB 为直角，故ABFD 是矩形，从而AB ⊥BF ． ……(1分)又PA ⊥底面ABCD, ∴平面PAD ⊥平面ABCD ， ……(2分) ∵AB ⊥AD ，故AB ⊥平面PAD,∴AB ⊥PD ， ……(3分)在ΔPCD 内，E 、F 分别是PC 、CD 的中点，EF//PD ，……（4分)∴ AB ⊥EF ． ……(5分) 由此得⊥AB 平面BEF ．……(6分)（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 为x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系，则)21,0(),0,2,1(h BE BD =-=……(8分) 设平面CDB 的法向量为)1,0,0(1=n ，平面EDB 的法向量为),,(2z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022BE n BD n ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-0202hzy y x 可取⎪⎭⎫ ⎝⎛-=h n 2,1,22……(10分) 设二面角E -BD -C的大小为θ，则|||||||,c o s |c o s 212121n n n n n n ⋅⋅=><=θ=224522<+h h ， 化简得542>h ，所以552>h …(12分) 18解:(I)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，则“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件A ，则31)(391714==C C C A P 所以32)(1)(=-=A P A P ………………（4分）(II) X 的取值为2,3,4,5211)2(3912222212=+==C C C C C X P ，214)3(3914222412=+==C C C C C X P 73)3(3916222612=+==C C C C C X P ，31)5(3928===C C X P…………………（8分） 所以X 的分布列为：X 23 4 5P21121473 31 的数学期望218531573421432112=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ………..12分19解：（Ⅰ）由n S a n n +=+1，得)1(1-+=-n S a n n )2(≥n ，两式相减得1111+=+-=--+n n n n n a S S a a ，所以121+=+n n a a ---------------------------------2分所以)1(211+=++n n a a )2(≥n -------------------------------------3分 又,32=a 所以n n n a a 2)1(2122=+=+-，从而12-=n n a )2(≥n ----------------5分而21=a ，不符合上式，所以⎩⎨⎧≥-==2,121,2n n a n n -------------------------------------6分因为}{n b 为等差数列，且前三项的和93=T ，所以32=b ，--------7分可设db d b +=-=3,331，由于7,3,2321===a a a ，于是d b a b a d b a -=+=+-=+10,6,5332211，因为332211,,b a b a b a +++成等比数列，所以36)10)(5(=+-d d ，2=d 或7-=d （舍）所以12)1(21)1(1-=-+=-+=n n d n b b n -----------------------------------9分 （Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=--<-=k k k k k k b k11141)22(211)12(1)12(11222 所以，当2≥n 时22222221)12(13111111-++=+++n b b b n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<n n 1113121211411 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n 1141145411=+< ------- ----------------------------------------------------12分 20.解（1）22222c a b a =∴= （1分） 又22b b =，得1b =22221:1,:12x C y x C y ∴=-+= （3分）（2）设直线1122:,(,),(,)AB y kx A x y B x y =则22101y kxx kx y x =⎧⇒--=⎨=-⎩ （4分） 211221212(,1)(,1)(1)()1MA MB x y x y k x x k x x ⋅=+⋅+=++++=0M A M B ∴⊥ （6分）（3）设直线1212:1;:1,1MA y k x MB y k x k k =-=-=-1121122110,(,1)111x k y k x x A k k y y k y x ==-⎧⎧=⎧⎪∴-⎨⎨⎨=-=-=-⎪⎩⎩⎩解得或，同理可得222(,1)B k k -2211212111122S MA MB k k k k ==++ （8分） 1212111222221112141120421,(,)11212211212k x y k x k x k k D x y k k k y y k ⎧==-⎧⎪+=⎧-⎪⎪∴⎨⎨⎨=-++-+=⎩⎪⎪=⎩⎪+⎩解得或 同理可得2222222421(,)1212k k E k k -++1222212221216111122(12)(12)k k S MD ME k k k k ∴==++++ （11分） 2122211212152()(12)(12)9161616k S k k k S λ++++===≥所以λ的最小值为169,此时k=1或-1. （13分）21解：（Ⅰ）)(x f 其定义域为),0(+∞. ……………1分当0=a 时，x x x f 1ln )(+= ，22111)(xx x x x f -=-='. 令0)(='x f ，解得1=x ,当10<<x 时，0)(<'x f ；当1>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 的单调递减区间是)1,0(，单调递增区间是),1(+∞； 所以1=x 时，)(x f 有极小值为1)1(=f ，无极大值 ……………3分(Ⅱ)222211(1)1(1)(1)()(0)a ax a x ax x f x a x x x x x----+-'=--==>………4分 令0)(='x f ,得1=x 或ax 1-= 当01<<-a 时，a 11-<，令0)(<'x f ，得10<<x 或ax 1->，令0)(>'x f ，得a x 11-<<；当1-=a 时，0)1()(22≤--='x x x f .当1-<a 时，110<-<a ，令0)(<'x f ，得a x 10-<<或1>x ， 令0)(>'x f ，得11<<-x a； 综上所述:当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(，),1(+∞-a ，单调递增区间是)1,1(a-；当1-=a 时，)(x f 的单调递减区间是),0(+∞；当1-<a 时，)(x f 的单调递减区间是)1,0(a-，),1(+∞，单调递增区间是)1,1(a -……10分（Ⅲ）0≥a 时)0()1)(1()(2>-+='x xx ax x f )0(0)(>='∴x x f 仅有1解,方程0)(=x f 至多有两个不同的解.(注:也可用01)1()(min >+==a f x f 说明.)由(Ⅱ)知01-<<a 时,极小值01)1(>+=a f , 方程0)(=x f 至多在区间),1(+∞-a上有1个解.-1a =时)(x f 单调, 方程0)(=x f 至多有1个解.;1-<a 时,01)1()1(<+=<-a f a f ,方程0)(=x f 仅在区间)1,0(a -内有1个解;故方程0)(=x f 的根的个数不能达到3.…………………14分。
2020-2021学年高考数学理科模拟试卷及答案解析
最新咼考数学模拟试卷（3）符合题目要求的）已知 E 〜N (3 , a 2),若 P (EW 2) =0.2 ,则A . 30°B . 60°C . 120°D .150°7.阅读如图所示的程序框图，若输出的 S 是126 ,则①处应填（)、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共 60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是A .2. A .3. a+i.为纯虚数，则实数 a=（11 2B .C .D .F 列命题中的假命题是（ ? x € R , 2x -1>0B . 已知 f i (x ) =sinx+cosx , ? x € R , tanx=2C . ? x € R , Igx v 1D . * Q? x € N ,(x - 1)>0f n+1 ( x )是 f n ( x ) 的导函数，即f 2 （ X ）=f i ' (X) ,f 3 ( x ) =f 2‘ (X ),…,f n+1 (x ) =f n '( x ), n € N ,则f2015( x )=()A . sin x+cosxB . -sinx - cosxC . sinx - cosxD . -sinx+cosx函数y=xcosx+sinx 的图象大致为（5. A . 0.2B . 0.3C . 0.7D . 0.86.在厶ABC 中, 内角A , B, C 的对边分别是 a , b , c ,若 a 2 - b 2=「；bc , sinC=2. _；sinB ,则 A=( )1.复数 4. )A . n W 5B . n <6C . n 》7D . n W 8&△ ABC 中，角 A 、B 、C 所对应的边分别 a 、b 、c ,已知bcosC+ccosB=2b,则一=()zbA . 2B . £C .西D . 19.已知f (x )是偶函数，它在［0, +s)上是减函数，若 f (Igx )> f (1),则实数x 的取值范围 10 .某宾馆安排 A 、B 、C D 、E 五人入住3个房间，每个房间至少住 1人，且A 、B 不能住同一 房间，则不同的安排方法有( )种.A . 24B . 48C . 96D . 11411. 设O 是厶ABC 的外接圆圆心，且： I ■ ： / " |,则/ AOC=()K2H71571A 亏B .三C •豆D.12. 设函数f (x )是定义在(-R, 0)上的可导函数，其导函数为f '( x ),且有3f (x ) +xf'是( ) A .^o, 1)U( 10, +s)B .( 0,亍；)U( 1 , +s)C.(~, 10)D . ( 0, 1)(x)> 0,则不等式(x+2015) 3f (x+2015) +27f (- 3)> 0 的解集( )A. (- 2018,- 2015) 2016) C. (- 2016,- 2015)D.(-s,- 2012)二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在题中横线上) 13.”展开式中的常数项为x -----------------14. 已知 J ； (3x 2+k ) dx=16，则 k= ___________ .15. 在△ ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若叮中（acosB+bcosA =2csinC , a+b=4,ABC 的面积的最大值为二则此时△ ABC 的形状为兀16. 设函数f (x) =3sin ( - 2x+—)的图象为C ,有下列四个命题:三、解答题(17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)“ 71 V2讥 3兀17. 已知 cos (x^—) , x €(p, ^-).(1 )求sinx 的值；I X(2 )求 sin ( 2x •—)的值.18. 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了 频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3个小组的频率之比为 1: 2: 3，其中第2小组的频数为12.(I)求该校报考飞行员的总人数；(H)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人，设 X 表示体重超过60公斤的学生人数，求 X 的分布列和数学期望.①图象 C 关于直线S=- ° 对称:②图象 C 的一个对称中心是③函数 ④图象C 可由y= - 3sin2x 的图象左平移晋得到.其中真命题的序p.曰号疋f (x )在区间-―］上是增函数;匚！-a )( sinB+sinA ) = (b - c ) sinC.(I)求sinB 的值;(□)求厶ABC 的面积.(2 )若 AC=3,求 APAD 的值.(I)求AC 的长;/ ADC=120°,c os ； = \ --p —C 所对的边分别为 a,b ,c ,且满足 cosC-^T^：- ,(b21 .设函数 f (x ) =x --mlnx(1)若函数f (x )在定义域上为增函数，求 (2)在(1)条件下，若函数 h (x ) =x - lnx m 范围；1- ,?为,eX 2 € [1 , e]使得f (x i )> h (血)成立，求m 的范围.选修4-1 :几何证明选讲22 .在△ ABC 中，AB=AC,过点A 的直线与其外接圆交于点 P ,交BC 延长线于点D .(1)求证:PC rit—TV选修4-4 :坐标系与参数方程I 直=2+十23.( 2016太原校级模拟)【坐标系与参数方程】设直线I 的参数方程为「(t 为参数)，[y=2t若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线; (2)若直线I 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|.选修4-5 :不等式选讲. , ___________________ 2 224.( 2016太原校级模拟)设函数 f (x ) =|x+a|+|x - b |,其中a , b 为实数, (1 )若 a 2+b 2- 2a+2b+2=0,解关于 x 的不等式 f (x )> 3;(2)若 a+b=4,证明：f (x )> &参考答案与试题解析符合题目要求的)1. 复数云片为纯虚数，则实数 a=( )、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是的极坐标方程为P8-COSL【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数.【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.--2a _仁0, 2+a H 0, 解得a*.故选：D .【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题.2. 下列命题中的假命题是( )x — 1* 2A .? x € R , 2 >0 B . ? x € R , tanx=2 C . ? x € R , Igx v 1D .? x € N ,( x — 1)> 0【考点】全称命题；特称命题. 【专题】简易逻辑.【分析】根据全称命题和特称命题的定义判断命题的真假，全称命题要包含全称量词，特称命题 要包含特称量词，我们逐一分析四个命题易得到答案. 【解答】解：对于 A ，根据指数函数的性质可知，选项 A 为真命题，对于B ，根据正确函数的性质可知，选项 B 为真命题， 对于C ，根据对数函数的性质可知，选项C 为真命题，对于D ，当x=1时，(x — 1) 2=0,故选项D 为假命题， 故选：D【点评】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，命题的真假判断与应用，要判断一个 特称命题为真命题，只要举出一个满足条件的例子即可，这是提高本题解答速度和准确度的重要 方法.3. 已知 f 1 (x ) =sinx+cosx ,仏+1 (x )是 f n (x )的导函数，即 f ? (x ) =f 「(x ), f a (x )=f 2‘(x ),…，f n+1 (x ) =f n '( x ), n € N ,则 f 2015 (X )=( )A .— 2B .C . 2(2-0 (2H)【解答】解：•••复A. sinx+cosxB.—sinx—cosxC. sinx—cosxD.—si nx+cosx 【考点】导数的运算.【专题】导数的综合应用.【分析】求函数的导数，确定函数f n'( X)的周期性即可.f1(x) =sin x+cosx【解答】解：••• f2 ( x) =f i'(x) =cosx —sinx,f3 ( x) =f2‘(x) = —sinx —cosx,f4 ( x) =f3‘(x) = —cosx+sinx,f5 ( x) =f4‘(x) =sinx+cosx,f n+4‘( x) =f n'( x),即f n'( x)是周期为4的周期函数，f20i5 (x) =f2oJ( x) =f2‘(x) =—sinx —cosx,故选：B【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键.4 .函数y=xcosx+sinx的图象大致为( )【考点】函数的图象.【专题】函数的性质及应用.【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B,然后利用区特值排除A和C,则答案可求.【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B,丄【n~ JT兀兀__-V *由当x=—时，丁・•当x= n 时，y= nX cos n +sin n = —nV 0.由此可排除选项A和选项C.故正确的选项为D.故选D.【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题.5.已知E 〜N (3, a2)，若P (EW 2) =0.2，则P 4)=( )A. 0.2B. 0.3C. 0.7D. 0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】概率与统计.【分析】根据随机变量X服从正态分布N( 3, a2),看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3, 根据正态曲线的特点，得到P (EW 4) =1 —P (EW 2),得到结果.【解答】解：•••随机变量X服从正态分布N( 3, a2),=3,得对称轴是x=3.P (EW 2) =0.2,••• P (EW 4) =1 —P (EW 2) =0.8.故选D.【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=卩，并在x=卩时取最大值从x=卩点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的.6.在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c,若a2-b2=二be, sin C=2；sinB,则A=( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【考点】余弦定理的应用.【专题】综合题.【分析】先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A.【解答】解：••• sinC=2.「・sinB,「. c=2 ：;b,••• a- b2= -；bc,.・. COSA=—-= 、_= J2bc 2bc 2••• A是三角形的内角••• A=30°故选A.【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题.7•阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126,则①处应填（A. n W 5B. n<6C. n》7D. n W 8【考点】程序框图.【专题】算法和程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进行循环的条件，可模拟程序的运行，对每次循环中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果【解答】解：第一次循环，s=0+21=2, n=1+仁2,进入下一次循环；2第二次循环，s=2+2=6, n=2+仁3,进入下一次循环；第三次循环，s=6+23=14, n=3+1=4,进入下一次循环；第四次循环，s=14+24=30, n=4+仁5,进入下一次循环；第五次循环，s=30+25=62, n=5+仁6,进入下一次循环；第六次循环，s=62+26=126, n=6+仁7,循环结束，即判断框中的条件不成立了，所以框中的条件应该是n W 6,故选：B.【点评】本题主要考查了含循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的s, n的值是解题的关键，属于基础题.&△ ABC中，角A、B、C 所对应的边分别a、b、c,已知bcosC+ccosB=2b,则一二=( )2bA. 2 B•土C.近D. 1【考点】正弦定理.【专题】解三角形.【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果.【解答】解：将bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB即sin (B+C) =2sinB,■/ sin (B+C) =sinA,/• si nA=2si nB,利用正弦定理化简得：a=2b, 则-•「=仁故选：D.【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题.9.已知f (x)是偶函数，它在［0，+R)上是减函数，若f (Igx)> f (1)，则实数x的取值范围是( )A.(佥，1)B.( 0,寺)U( 1，+R)C.(寺，10)D. ( 0，1) U( 10, +s)【考点】函数单调性的性质；偶函数.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用偶函数的性质， f (1) =f (- 1)，在［0 , +8)上是减函数，在(-汽0)上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围.【解答】解：T f (x)是偶函数，它在［0 , +8)上是减函数，••• f (x)在(-8, 0) 上单调递增，由 f (lgx )> f (1), f (1) =f (- 1)得：—1v Igx v 1,故答案选C.【点评】本题考查偶函数的性质及函数单调性的应用.10 .某宾馆安排 A 、B 、C D 、E 五人入住3个房间，每个房间至少住 1人，且A 、B 不能住同一 房间，则不同的安排方法有（ ）种.A . 24B . 48C . 96D . 114【考点】排列、组合的实际应用.【专题】应用题；分类讨论；综合法；排列组合. 【分析】5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3, 1 , 1）和（2, 2, 1）两种，计算出每一种的，再排除 A 、B 住同一房间，问题得以解决. 【解答】解：5个人住三个房间，每个房间至少住1人，则有（3, 1 , 1 ）和（2, 2, 1）两种，3 3 1 3当为（3, 1 , 1）时，有C 5 A 3 =60种，A 、B 住同一房间有 C 3A 3=18种，故有60 - 18=42种，C©r _lI o <4 Q Q当为（2, 2, 1）时，有A 3 =90种，A 、B 住同一房间有 C3QA=18种，故有90- 18=72种,根据分类计数原理共有 42+72=114种， 故选：D .【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是如何分组，属于中档题.11.设O 是厶ABC 的外接圆圆心，且『■:「一 |,则/ AOC=（ ）27T B .【考点】向量在几何中的应用.【专题】计算题；转化思想；向量法；综合法；平面向量及应用.1 10v x v 10 5HD .【分析】可设外接圆的半径为r,而由；■ | ! I-〔便可得到''■. '- 1 .,两边平cos / AOC的值，根据向量夹角的范围便可得出/ A OC的值.方，进行数量积的运算便可求出【解答】解：设圆O的半径为r，则：由得，「「- I ■；•••：;—^2 一2 ———*22 2 2 2 即r +4r +4r cos / AOC=3r;.；ZAOC^故选：B.【点评】考查三角形外接圆的概念，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角.12•设函数f (x)是定义在(-3 0)上的可导函数，其导函数为f'( x),且有3f (x) +xf'(x)> 0,则不等式(x+2015) 3f (x+2015) +27f (- 3)> 0 的解集( )A. (- 2018,- 2015)B.(-3,- 2016)C. (- 2016,- 2015)D.(-3,- 2012)【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算.【专题】导数的综合应用.【分析】根据条件，构造函数g (x) =x3f (x),利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(-3, 0) 上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可._ 3 2【解答】解：构造函数g (x) =x f (x), g'( x) =x (3f (x) +xf'( x));2■/ 3f (x) +xf'( x)> 0, x > 0;••• g '( X )> 0； • •• g (X )在(-8,0)上单调递增；g (x+2015) = (x+2015) 3f (x+2015), g (- 3) =- 27f (- 3);3•由不等式(x+2015) f (x+2015) +27f (- 3)> 0 得:3(x+2015) f (x+2015)>- 27f (- 3); • g (x+2015)> g (- 3); • x+2015>- 3,且 X+2015V 0; •••- 2018v x v- 2015; •原不等式的解集为(- 2018, - 2015).故选A .【点评】本题主要考查不等式的解法：禾U 用条件构造函数，禾U 用函数单调性和导数之间的关系判 断函数的单调性，然后根据单调性定义将原不等式转化为一次不等式即可.二、填空题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在题中横线上)【考点】二项式定理的应用. 【专题】二项式定理.【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于0,求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值.故答案为：70.配方是关键，属于中档题.14. 已知『器(3x 2+k ) dx=16，则 k=13.：< _「展开式中的常数项为 70【解答】解：二项式(x -2+-)4可化为：x 4分子中含x 4的项为CgX 4,故常数项为5=70,【点评】本题主要考查二项式定理的应用, 二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数,【考点】定积分.【专题】计算题；函数思想；综合法；转化法；导数的概念及应用.【分析】将 f I(3x2+k) dx利用定积分公式写出8+2k的形式即可求得k=8.【解答】解；由『：(3x2+k) dx= (x3+kx) | ；=8+2k,即8+2k=16,/• k=4,故答案为：4.【点评】本题主要考察定积分的计算，属于基础题.15. 在△ ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若"*苗(acosB+bcosA =2csinC, a+b=4, 且厶ABC的面积的最大值为二则此时厶ABC的形状为等腰三角形 . 【考点】正弦定理.【专题】解三角形；不等式的解法及应用.【分析】由.(acosB+bcosA) =2csinC 及正弦定理可得［■--yU (sinAcosB+sinBcosA) =2sin2C,结合sinC > 0，化简可得sinC= J,由a+b=4,利用基本不等式可得ab< 4，(当且仅当a=b=2成立)，由△ ABC的面积的最大值S A AB C=^二匸二■亠w 1 ，：_ =二，即可解得a=b=2,从而得解厶ABC的形状为等腰三角形.【解答】解：•••} .：；( acosB+bcosA) =2csinC,手(sinAcosB+sinBcosA) =2sin2C,•••、厂何nC=2sin2C,且sinC>0,•sin C=「，T a+b=4,可得：4-•:解得：ab< 4，(当且仅当a=b=2成立)•••△ ABC的面积的最大值S A ABC^bsinC w寺X 4X^^3 ,•a=b=2,•则此时△ ABC的形状为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，基本不等式的应用，属于基本知识的考查.16.设函数f (x) =3sin ( - )的图象为C ,有下列四个命题:4【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性；函数 y=Asin (3 x+Q )的图象变换. 【专题】综合题；压轴题.【分析】对于①，先根据诱导公式进行化简，将：心—二一代入到函数f (x )中得到f (- —) 的值为最小值，可判断直线是1■ — 的一条对称轴，从而正确；对于②，将x=—代入到函数f(x )得到f (丄厂)为函数f(x )的一个最大值，进而可知□€5.兀7T 3 7T不是f =3sin ( - 2x +p )的对称中心，②不正确；对于③，根据 f (=) =0, f (*厂)=-3可判断函数f(x )在区间'丄 — 上不是增函数，可知③不正确；对于④根据左加右减的 原则进行平移可知将 y= - 3sin2x 的图象左平移——得到得图象不是函数 f (x ),故④不正确.兀”【解答】解：••• f二3由口( - 2x +—) =- 3sin (2x-p)57T57 将1—代入到函数f (x )中得到f (-— •••直线X 二一罟是f (小二口晋)的一条对称轴，故①正确；7n|7JT7 7T 7T 3 兀将x=飞—代入到函数 f (x )中得到 f (―~) = - 3sin (不—-—)=-3si^^ =3了兀兀-—-3- 不是 「■- ■的对称中心，故②不正确；①图象 C 关于直线x=- ° 对称:②图象C 的一个对称中心是！二-・I ;O③函数 f (x )在区间——丄-I 上是增函数;④图象 C 可由y=- 3sin2x 的图象左平移TV得到.其中真命题的序号是)=-3— =-3sin (-)=-3I 解答】解：(1)因为x €( —,「),TUl ：JU JT所以x - Q €(4， 2)=TU::I « .sinx=sin[ (x -7T —]71 3 71 3 兀口 f3 兀 r 「, • '■ f (右)=3sinO=O , f (— ) =3sin (------ +—) =- 3，故函数 f (x )在区间,-—上不88q Q88是增函数 故③不正确；7T 71 TT将 y=- 3sin2x 的图象左平移一得到 y=- 3sin2 (x+—) =-3sin (2x —-)工 f (x )3OQ J故④不正确， 故答案为：①.【点评】本题主要考查正弦函数的基本性质--对称性、单调性的应用和三角函数的平移，三角 函数的平移的原则是左加右减，上加下减.三、解答题(17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤)(1) 求 sinx 的值; 兀(2 )求 sin ( 2x -—)的值.(2)利用x 的范围和(1)中sinx 的值，利用同角三角函数的基本关系求得 cosx 的值，进而根据二倍角公式求得 sin2x 和cos2x 的值, 最后代入正弦的两角和公式求得答案.).【考点】两角和与差的正弦函数; 运用诱导公式化简求值. 【专题】计算题.【分析】(1)利用x 的范围确定x 的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得 sin (x ---)的值，进而根据 sinx=sin[(p]利用两角和公式求得答案7T 3兀17 .已知 cos (x -),sin (x -组的频数为12.(I)求该校报考飞行员的总人数;【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计.71 71=sin (x ------- ) cos —-+cos (x -4 a=「「「:x =二 10 2 10 2 &71故 cosx=-sin 2x=2s in xcosx=-24~，cos2x=2cos 2x - 1 =-257Y所以 sin (2x+^) =sin2xcoL-+cos2xsi24+7^3 =-■■【点评】本题主要考查了两角和公式的化简求值和同角三角函数基本关系的应用•考查了学生基 础知识的掌握和基本运算能力.18•为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了 频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为 1: 2: 3，其中第2小(H)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中 (人数很多)任选三人，设 X 表示体重超过60公斤的学生人数,X 的分布列和数学期望.离散型随机变量及其分布列.(2)因为x € ;频率分布直方图;【分析】(I)设图中从左到右的前3个小组的频率分别为x, 2x, 3x,由频率分布直方图的性质求出第2小组的频数为12,频率为2x=0.25，由此能求出该校报考飞行员的总人数.(H)体重超过60公斤的学生的频率为0.625 , X的可能取值为0, 1 , 2, 3，且X〜B( 3, 0.625), 由此能求出X的分布列和数学期望.【解答】解：(I)设图中从左到右的前3个小组的频率分别为x, 2x, 3x,则x+2x+3x+ (0.037+0.013 )X5=1,解得x=0.125,•••第2小组的频数为12，频率为2x=0.25,12•••该校报考飞行员的总人数为：-亠二=48 (人).0. 25(H)体重超过60公斤的学生的频率为 1 - 0.125X3=0.625,•X的可能取值为0, 1, 2, 3，且X〜B ( 3, 0.625),C 0 3P ( X=0)=匚3 ( 0.375) =0.052734375 ,P (X=1) = '一：一=0.263671875,P (X=2) =「」「| . -：!■=0.439453125,P (X=3)=匚；J0.244140625,•X的分布列为：X 0 1 2 3P 0.052734375 0.263671875 0.439453125 0.244140625EX=3>0.625=1.875.【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用.19.在梯形ABCD中, AB// CD, CD=2,/ ADC=120°(I)求AC的长;(H)若AB=4,求梯形ABCD的面积.【考点】余弦定理；正弦定理.【专题】解三角形.if rri【分析】(I)在厶ACD中，由正弦定理得：一二不m近■，解出即可；(□)在厶ACD中，由余弦定理得：AC2=AC2+CD2- 2ADCD COS120°,解得AD,过点D作DE± AB于E,贝U DE为梯形ABCD的高.在直角厶ADE中，可求DE=ADsin60°,即可由梯形面积得解.【解答】解：(1)在厶ACD 中，T cos/CAD= ,••• sin/ CAD=—.14 14口亠TRF I/»n hi CD由正弦疋里得：ginZCAD“ CDsinZADC 2即AC—=-=2 二14(□)在厶ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+C D2-2ADCD COS120°,整理得AD"+2AD- 24=0，解得AD=4.过点D作DE丄AB于E,贝U DE为梯形ABCD的高.•/ AB// CD, / ADC=120°,•••/ BAD=60°.在直角△ ADE 中，DE=ADsin60°=2 :'..--宀…•: .. ：=6.-；.所以呻初(A+C )=品应+如心.•- -- '/■得厂•，解得 '：, 所以△ ABC 的面积 S^a<sinB=-|x3X2V2【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公 式的应用，属于基本知识的考查. 21 .设函数 f (x ) =x -丄-minx (1)若函数f (x )在定义域上为增函数，求 m 范围；【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用、同角三角函数基本关系式、直角三角形的边角关 系、梯形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20•已知△ ABC 中的三个内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,且满足CO S C=~F a=3 -a )( sinB+sinA ) = (b - c ) sinC.(I)求sinB 的值；(□)求厶ABC 的面积. 【考点】余弦定理；正弦定理. 【专题】解三角形.(b【分析】(I)由正弦定理化简已知等式可得 b 2+c 2- a 2=bc ,由余弦定理得cosA ，结合范围0V A＜兀，可求A 的值，由cosC 」，可求sinC ，由三角形内角和定理及两角和的正弦函数公式即可求值.(□)在厶ABC 中，由正弦定理可求 c ,由三角形面积公式即可得解. 【解答】解：(I)由正弦定理可得(b - a )( b+a) = (b -c ) c ,即b 2+c 2 - a 2=bc ,由余弦定理得亡口畝二2. 2^ 2 .+ c a 1------------- -.—,2bc 2又0V A Vn ，所以「二—— 因为/，所以沁笛. (□)在厶ABC 中，由正弦定理sinA _sinC ，(2)在(1)条件下，若函数h( x)=x- lnx --，? x i，X2 €[1 , e]使得 f (捲)> h ( x?)成立，求em的范围.【考点】禾U用导数研究函数的单调性；禾U用导数求闭区间上函数的最值.【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用.2 I- 2【分析】(1) f'( x) =1+ = . ，转化为x - mx+1 >0,在x>0时恒成立，根据对钩函数求解即可.(2)根据导数判断单调性得出 f (x)的最大值=f (e) =e --------------- m, h (x)单调递增，h (x)的最e小值为h (1) =1 -丄，e把问题转化为f (x)的最大值》h (x)的最小值，求解即可.【解答】解：函数 f (x) =x- = - mlnxx(1)定义域上为(0, +8),1 IT K2_mzMf'( x) =1^--=--------------------耳—,•••函数f (x)在定义域上为增函数，••• x2- mx+1 > 0,在x> 0 时恒成立.即x计丄> m在x> 0时恒成立，根据对钩函数得出m W 2,故m的范围为：m W 2.(2)函数h (x) =x- inx-£, ? X1, X2€ [1 , e]使得f (xj》h (X2)成,即f (x)的最大值》h (x)的最小值，T f (x)的最大值=f (e) =e- = - m,e, _ 1h'( x) =1 ->0, x€ [1 , e],••• h (x )单调递增，h (x )的最小值为h (1) =1-二，e•可以转化为 e -土-m > 1 ■—e e即 m w e -1,m 的范围为：m w e - 1.【点评】本题考查导数在求解函数的问题中的应用，存在性问题转化为函数最值的应用，关键是 求解导数，判断单调性，属于难题.选修4-1 :几何证明选讲 22.在△ ABC 中，AB=AC,过点A 的直线与其外接圆交于点 P ,交BC 延长线于点 D .【专题】计算题；证明题.【分析】(1)先由角相等/ CPD=Z ABC,/ D=Z D ,证得三角形相似，再结合线段相等即得所证 比例式；(2)由于/ ACD=/ APC ,/ CAP=/ CAP,从而得出两个三角形相似： “△ APC 〜A ACD'结合相似三角形的对应边成比例即得 APAD 的值. 【解答】解：(1)v/ CPD=/ ABC, / D=/ D , .A A • PC PD•DPC 〜A DBA , —.--A D DJJPC PD又••• A B=AC, •••— —(2)T/ ACD=/ APC,/ CAP=/ CAP,APC7 ACD ：(1)求证:PC PD ■ I |;A?_Ag(2 )若 AC=3,求 APAD 的值.• AC"=APAD=9【点评】本小题属于基础题•此题主要考查的是相似三角形的性质、相似三角形的判定，正确的 判断出相似三角形的对应边和对应角是解答此题的关键.选修4-4 :坐标系与参数方程23.( 2016太原校级模拟)【坐标系与参数方程】设直线 I 的参数方程为“ "(t 为参数)，lv=2t若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线 C 一 8cos9的极坐标方程为P —. •si n 9(1) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线； (2) 若直线I 与曲线C 交于A 、B 两点，求|AB|.【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式；参数方程化成普通方程.【专题】坐标系和参数方程.2 2 2【分析】(1 )由卩=得P si n B =8 p COS B,故有y =8x ，故曲线C 表示顶点在原点，焦si n y点在x 上的抛物线.t 什 t 2=2,1t 2=— 4,由此求得 |AB|=|t 1— t 2|=J （ t ］十弋2）匚 一4 亡1叫2•••曲线C 表示顶点在原点，焦点在 x 上的抛物线.•••|AB|=|t 1— t 2|=： -…）-4 1 - ■=2 匚【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，参数的几何意义，一元二次方程根与系 数的关系，属于中档题.选修4-5 :不等式选讲24. ( 2016太原校级模拟)设函数 f (x ) =|x+a 2|+|x - b 2|,其中a , b 为实数,(2) 4一：+± 代入 y 2=8x 求得 的值. 【解答】Sees 8 _21）由 P =—.百 得 p sin B =8cos B,「.p si n 日2 2sin B =8 p COS B,y 2=8x , rx=2+t代入 y 2=8x 得 t 2- 2t - 4=0,「. b+t 2=2, 址2= - 4,2 2(1 )若a+b - 2a+2b+2=0,解关于x 的不等式 f (x)> 3;(2)若a+b=4，证明：f (x)> &【考点】绝对值不等式的解法.【专题】不等式的解法及应用.【分析】(1)由条件求得a=1, b= - 1,再利用绝对值的意义求得f(x) =|x+1|+|x- 1|>3的解集(2)由条件利用基本不等式求得a2+b2> 8，再利用绝对值三角不等式证得结论.【解答】解：(1)v a2+b2- 2a+2b+2= (a- 1) 2+ (b+1) 2=0,二a=1, b=- 1.2 2•••函数f (x) =|x+a |+|x- b |=|x+1|+|x - 1|>3.由于|x+1|+|x - 1|表示数轴上的x对应点到-1、1对应点的距离之和，而0.5和-0.5对应点到-1、1对应点的距离之和正好等于3,故 f (x) =|x+1|+|x - 1| > 3 的解集为{x|x w—0.5，或x> 1.5}.2 2 2 2 2 2(2)证明：T a+b=4,「. a +b +2ab=16< 2 (a +b ),• a +b > 8.2 2 2 2 9 2 2 2• f (x) =|x+a |+|x - b |=|x+a |+|x- b | > | (x+a )-( x- b ) |=|a +b |> 8,当且仅当a=b时，取等号，即f (x)> 8.【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，基本不等式的应用，属于中档题.。
2020-2021学年浙江省高考数学理科模拟试题及答案解析
普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A.B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n 项和为，若 ，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e|+|b ·e|，则a ·b 的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2020-2021学年高考数学理科模拟试题及答案解析
最新高三第一次模拟考试数学试题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。
2．第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号。
第II 卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，{}12B x x =-≤≤，则等于 ( )A. {}10x x -<< B. {}24x x ≤< C. {}02x x x <>或 D. {}02x x x ≤≥或 2．在复平面内，复数2iz i-=的共轭复数z 对应的点所在的象限（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设0x >，则“4m =”是“4≥+xmx ”恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4、执行如图所示的程序框图，若输出的n=6，则输入整数p 的最小值是. （ ） A ． 17 B ． 16 C ．18 D ． 195.在等差数列{}n a 中，若1201210864=++++a a a a a ，则12102a a -的值为（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 606、已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若()0AO AF OF +⋅=u u u r u u u r u u u r，则双曲线的离心率e 为( )A. 3B.2C.3 D.27．在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k(x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A. 12B. 13C. 2D.2 8．有以下命题：①命题“2,20x R x x ∃∈--≥”的否定是：“2,20x R x x ∀∈--<”； ②已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.79,P ξ≤=则(2)0.21P ξ≤-=；③函数131()()2xf x x =-的零点在区间11(,)32内；其中正确的命题的个数为（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个9.已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的偶函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<--成立（其中()()f x f x '是的导函数），若3(3)a f =，(1)b f =，212(log )4c f =-，则,,a b c 的大小关系是 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．a c b >>10.已知实数,x y 满足：04010x y x y x -≤⎧⎪+-<⎨⎪-≥⎩，则使等式(2)(1)240t x t y t ++-++=成立的t 取值范围为（ ）A . 51--42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B . 51---+42⎛⎤⎛⎫∞⋃∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，， C.5-14⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D 1-12⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 11.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，⊥AB 平面BCD ，又3,2,4AB BC BD ===,且60CBD ∠=o ，则球O 的表面积为（ ）（A ）12π （B ） 16π （C ） 20π （D ）25π12、如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE=CD.若动点P 从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中AP AB AE λμ=+u u u r u u u r u u u r，下列判断正确．．的是（ ）A.满足2λμ+=的点P 必为BC 的中点B.满足1λμ+=的点P 有且只有一个C.λμ+的最大值为3D.λμ+的最小值不存在二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、设21eea dx x=⎰,则二项式261()-ax x 展开式中的常数项为。
2020-2021学年河北省高考数学模拟试卷(理科)及答案解析
河北省高考数学模拟试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩C I S D．（M∩P）∪C I S【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．【解答】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故选：C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．2．设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．【解答】解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．3．已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x+1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【分析】函数f（x+1）为偶函数，说明其定义域关于“0”对称，函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，说明f（x）的定义域（3﹣2a，a+1）关于“1”对称，由中点坐标公式列式可求a的值．【解答】解：因为函数f（x+1）为偶函数，则其图象关于y轴对称，而函数f（x）的图象是把函数f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，所以函数f（x）的图象关于直线x=1对称．又函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），所以（3﹣2a）+（a+1）=2，解得：a=2．故选B．【点评】本题考查了函数图象的平移，考查了函数奇偶性的性质，函数的图象关于y轴轴对称是函数为偶函数的充要条件，此题是基础题．4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C． D．5πa2【分析】由题意可知上下底面中心连线的中点就是球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱，上下底面中心连线的中点就是球心，则其外接球的半径为，球的表面积为，故选B．【点评】本题主要考查空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．5．如图是某几何体的三视图，正视图是等腰梯形，俯视图中的曲线是两个同心的半圆组成的半圆环，侧视图是直角梯形，则该几何体的体积等于（）A．12πB．16πC．20πD．24π【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，分别求出半圆台和半圆柱的体积，相减可得答案．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个半圆台挖去一个半圆柱的组合体，半圆台的下底面为半径等于4，上底面为半径等于1，高为4，半圆柱的底面为半径等于1，高为4，=××π（12+1×4+42）×4﹣×π×12×4=12π．∴该几何体的体积为V几何体故选：A．【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中根据已知中的视图分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6}【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．【解答】解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；故，解得：1＜a≤5，故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a 的不等式组，是解答的关键．7．已知点P是抛物线x2=4y上的一个动点，则点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．C．2D．【分析】利用抛物线的定义，将抛物线x2=4y上的点P到该抛物线准线的距离转化为点P到其焦点F的距离，当F、P、M共线时即可满足题意，从而可求得距离之和的最小值．【解答】解：∵抛物线x2=4y的焦点F的坐标为F（0，1），作图如下，∵抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1，设点P到该抛物线准线y=﹣1的距离为d，由抛物线的定义可知，d=|PF|，∴|PM|+d=|PM|+|PF|≥|FM|（当且仅当F、P、M三点共线时（P在F，M中间）时取等号），∴点P到点M（2，0）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为|FM|，∵F（0，1），M（2，0），△FOM为直角三角形，∴|FM|=，故选B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，着重考查抛物线的定义的应用，突出转化思想的运用，属于中档题．8．已知数列{a n}，{b n}，满足a1=b1=3，a n+1﹣a n==3，n∈N*，若数列{c n}满足c n=b，则c2013=（）A．92012B．272012 C．92013D．272013【分析】本题可先等差数列{a n}和等比数列{b n}的通项，再利用数列{c n}的通项公式得到所求结论．【解答】解：∵数列{a n}，满足a1=3，a n+1﹣a n=3，n∈N*，=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n．∴an}，满足b1=3，=3，n∈N*，∵数列{bn∴．}满足c n=b，∵数列{cn=36039=272013．∴=b6039故选D．【点评】本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项，再用通项公式求出新数列中的项，本题思维量不大，属于基础题．9．点（x，y）是如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界）的任意一点，若目标函数z=x+ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个值取得最优解必在边界上而不是在顶点上，故目标函数中系数必为负，最小值应在左上方边界AC上取到，即x+ay=0应与直线AC平行，进而计算可得a值，最后结合目标函数的几何意义求出答案即可【解答】解：由题意，最优解应在线段AC上取到，故x+ay=0应与直线AC平行=，∵kAC∴﹣=1，∴a=﹣1，则=表示点P（﹣1，0）与可行域内的点Q（x，y）连线的斜率，由图得，当Q（x，y）=C（4，2）时，其取得最大值，最大值是=故选：B．【点评】本题考查线性规划最优解的判定，属于该知识的逆用题型，利用最优解的特征，判断出最优解的位置求参数，属于中档题．10．已知⊙O：x2+y2=1，若直线y=x+2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围为（）A．k≥1 B．k＞1 C．k≥2 D．k＞2【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为O（0，0）到直线y=x+2的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于k的不等式求解．【解答】解：⊙O：x2+y2=1的圆心为：（0，0），半径为1，∵y=x+2上存在一点P，使得过P的圆O的两条切线互相垂直，∴在直线上存在一点P，使得P到O（0，0）的距离等于，∴只需O（0，0）到直线y=x+2的距离小于或等于，故，解得k≥1，故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于是解决问题的关键，属中档题．11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A．B．2 C．D．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．12．若f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2且f（x1）=x1，则关于x的方程3[（f（x）]2+2af （x）+b=0的不同实根个数为（）A．2 B．3 C．4 D．不确定【分析】由函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b＞0．而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2，∴f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b＞0．解得x=．＜x2，∵x1=，x2=．∴x1而方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的△1=△＞0，或x2．∴此方程有两解且f（x）=x1不妨取0＜x1＜x2，f（x1）＞0．个单位即可得到y=f（x）﹣x1的图象，①把y=f（x）向下平移x1）=x1，可知方程f（x）=x1有两解．∵f（x1个单位即可得到y=f（x）﹣x2的图象，②把y=f（x）向下平移x2）=x1，∴f（x1）﹣x2＜0，可知方程f（x）=x2只有一解．∵f（x1综上①②可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2．只有3个实数解．即关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的只有3不同实根．故选：B．【点评】本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、极值及方程解得个数、平移变换等基础知识，考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案写在答题卡上．）13．若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56 ．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．14．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π≤φ＜π）的图象如图所示，则φ= ．【分析】根据函数的图象，求出周期，利用周期公式求出ω，当x=π时，y有最小值﹣1，以及﹣π≤φ＜π，求出φ即可．【解答】解：由图象知函数y=sin（ωx+φ）的周期为2（2π﹣）=，∴=，∴ω=．∵当x=π时，y有最小值﹣1，因此×+φ=2kπ﹣（k∈Z）．∵﹣π≤φ＜π，∴φ=．故答案为：【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，考查学生的视图用图能力，注意﹣π≤φ＜π的应用，考查计算能力．15．等差数列{a n}前n项和为S n．已知a m﹣1+a m+1﹣a m2=0，S2m﹣1=38，则m= 10 ．【分析】利用等差数列的性质a n﹣1+a n+1=2a n，我们易求出a m的值，再根据a m为等差数列{a n}的前2m﹣1项的中间项（平均项），我们可以构造一个关于m的方程，解方程即可得到m的值．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴a n﹣1+a n+1=2a n，+a m+1﹣a m2=0，∴2a m﹣a m2=0∵am﹣1解得：a m=2，又∵S2m﹣1=（2m﹣1）a m=38，解得m=10故答案为10．【点评】本题考查差数列的性质，关键利用等差数列项的性质：当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q，同时利用了等差数列的前n和公式．16．如图，已知圆M：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是 6 ．【分析】由题意可得=+．由ME⊥MF，可得=0，从而=．求得=6cos＜，＞，从而求得的最大值．【解答】解：由题意可得=，∴==+．∵ME⊥MF，∴=0，∴=．由题意可得，圆M的半径为2，故正方形ABCD的边长为2，故ME=，再由OM=3，可得=3cos＜，＞=6cos＜，＞，即=6cos＜，＞，故的最大值是大为6，故答案为6．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦函数的值域，属于中档题．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．（1）写出cosA与cosQ的关系式；（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．【分析】（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，在三角形PQB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，两者相等变形即可得到结果；（2）利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积即可．【解答】解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PAABcosA=1+3﹣2cosA=4﹣2cosA，在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQQBcosQ=2﹣2cosQ，∴4﹣2cosA=2﹣2cosQ，即cosQ=cosA﹣1；（2）根据题意得：S=PAABsinA=sinA，T=PQQBsinQ=sinQ，∴S2+T2=sin2A+sin2Q=（1﹣cos2A）+（1﹣cos2Q）=﹣+cosA+=﹣（cosA ﹣）2+，当cosA=时，S2+T2有最大值，此时S四边形PABQ=S+T=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C；（Ⅱ）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的PM2.5监测数据如茎叶图所示．（Ⅰ）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天PM2.5日均监测数据未超标的概率；（Ⅱ）小王在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2.5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；（Ⅲ）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【分析】（I）由茎叶图可知：有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，据此利用古典概型的概率计算公式即可得出；（II）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标．据此可得得出其概率；（III）由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标，利用“超几何分布”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“当天PM2.5日均监测数据未超标”为事件A，因为有2+4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下，故P（A）==．（Ⅱ）记“这两天此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”为事件B，P（B）==．（Ⅲ）ξ的可能值为0，1，2，3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．ξ的分布列如下表：ξ0 1 2 3P∴Eξ=．【点评】正确理解茎叶图和“空气质量超标”的含义、古典概型的概率计算公式、超几何分布、排列与组合的意义与计算公式是解题的关键．20．已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2﹣m2=0，则判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，则x1+x2=，则x M==，y M=kx M+b=，于是直线OM的斜率k OM==，即k OM k=﹣9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（，m），∴由判别式△=4k2b2﹣4（k2+9）（b2﹣m2）＞0，即k2m2＞9b2﹣9m2，∵b=m﹣m，∴k2m2＞9（m﹣m）2﹣9m2，即k2＞k2﹣6k，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y=x，设P的横坐标为x P，由得，即x P=，将点（，m）的坐标代入l的方程得b=，即l的方程为y=kx+，将y=x，代入y=kx+，得kx+=x解得x M=，四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，于是=2×，解得k1=4﹣或k2=4+，＞0，k i≠3，i=1，2，∵ki∴当l的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB能为平行四边形．【点评】本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．21．设函数f（x）=e x﹣1﹣x﹣ax2．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先对函数f（x）求导，导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．（2）根据e x≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，从而可知当1﹣2a≥0，即时，f′（x）≥0判断出函数f（x）的单调性，得到答案．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=e x﹣1﹣x，f′（x）=e x﹣1．当x ∈（﹣∞，0）时，f'（x ）＜0；当x ∈（0，+∞）时，f'（x ）＞0． 故f （x ）在（﹣∞，0）单调减少，在（0，+∞）单调增加（II ）f ′（x ）=e x﹣1﹣2ax由（I ）知e x≥1+x ，当且仅当x=0时等号成立．故f ′（x ）≥x ﹣2ax=（1﹣2a ）x ，从而当1﹣2a ≥0，即时，f ′（x ）≥0（x ≥0），而f （0）=0，于是当x ≥0时，f （x ）≥0．由e x＞1+x （x ≠0）可得e ﹣x＞1﹣x （x ≠0）． 从而当时，f ′（x ）＜e x﹣1+2a （e ﹣x﹣1）=e ﹣x（e x﹣1）（e x﹣2a ），故当x ∈（0，ln2a ）时，f'（x ）＜0，而f （0）=0，于是当x ∈（0，ln2a ）时，f （x ）＜0． 综合得a 的取值范围为．【点评】本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点． （1）证明：EF ∥BC ；（2）若AG 等于⊙O 的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF 的面积．【分析】（1）通过AD 是∠CAB 的角平分线及圆O 分别与AB 、AC 相切于点E 、F ，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD 是EF 的垂直平分线，连结OE 、OM ，则OE ⊥AE ，利用S △ABC ﹣S △AEF 计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016张家口模拟）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），以Ο为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．θ=与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．【分析】（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），即可解得：a，b．即可得出普通方程．设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）解得R可得圆C2的方程为：ρ=2cosθ，即可化为直角坐标方程．（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，代入+即可得出．【解答】解：（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ=．代入曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），得：解得：，的方程为：（φ为参数），即：．∴曲线C1设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，将点D（，）代入得：=2R×，∴R=1的方程为：ρ=2cosθ即：（x﹣1）2+y2=1．∴圆C2（2）将A（ρ1，θ），Β（ρ2，θ+）代入C1得：，∴+=（）+（）=．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、圆的标准方程、椭圆的方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（2+3+c1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算能力，属于中档题．。
2020-2021学年浙江省宁波市高考模拟数学理科试卷及答案解析
高考模拟测试卷数学（理）试题说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． 参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 锥体的体积公式：V=31Sh ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高.球的表面积公式：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式：V=34πR 3，其中R 表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()2xf x =，则 2(log 0.5)f =（ ▲ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1 2．已知函数2()(1)g x f x x =-+是定义在R 上的奇函数，则（ ▲ ）A ．(1)0f =B ．(1)4f =-C ．(3)(1)8f f +-=D ．(3)(1)8f f -+=-3．设不等式组518026030x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为M ，若直线:1l y kx =+上存在区域M 内的点，则k 的取值范围是（ ▲ ） A ．32[,]23-B ．23[,]32- C ．32(,][,)23-?+?U D ．23(,][,)32-?+?U 4．已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1(1)0->a q ”是“数列}{n a 是递增数列”的 （ ▲ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．已知点B 为双曲线2222:1x y C a b-=0(>a ，)0>b 的左顶点，(0,)A b ，线段AB 交双曲线一条渐近线于C且满足3cos 5OCB ∠=，则该双曲线的离心率为（ ▲ ） AB ．3C ．35 D6．已知在ABC ∆中，()230BA BC CB -⋅=u u u r u u u r u u u r,则角A 的最大值为（ ▲ ）A ．6π B. 4π C. 3π D. 2π 7．已知函数2()log ()f x ax =在1[,2]4x ∈上的最大值为()M a ，则()M a 的最小值是 （ ▲ ）A ．2B ．32 C ．1 D ．128．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA M 为11A D 的中点，P 为底面四边形ABCD 内的动点，且满足PM PC =，则点P 的轨迹的长度为（ ▲ ）ABC ．23πD ．3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、 填空题: 本大题共7小题,前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分． 9．已知集合2{|{|230}A x y B x x x ===--≤，则A B =U ▲ ；()R A B =I ð ▲ ．10．数列{}n a 的前n 项和n S 满足2=+n S n An ，且24=a ，则=A ▲ ，数列11+禳镲镲睚镲镲铪n n a a 的前n 项和=n T ▲ ． 11.与圆22:2+=O x y 外切于点(1,1)--A，且半径为的圆C 方程为 ▲ ，MD1D 1C ⋅1A ABC1B P⋅若圆C 上恰有两个点到直线0++=x y m，则实数Îm ▲ ．12．已知函数()2sin(5)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的一个对称中心是,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=▲ ，现将函数()f x 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数()g x ，再将函数()g x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()h x ,若 2()322h ππαα⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭，则sin α的值是 ▲ ．13．边长为1的正四面体的三视图中，俯视图为边长为1的正三角形，则正视图的面积的取值范围是▲ ．14．若实数,x y 满足221x y +=，则35x y x y --+-的取值范围是 ▲ ．15．ABC ∆的三边,,a b c 成等差，且22221++=a b c ，则b 的取值范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分15分）已知向量=sin ,cos 6m x x π⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u r ，()cos ,cos n x x =r.若函数()14f x m n =⋅-u r r ．（Ⅰ）求,42x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域； （Ⅱ） 在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、的对边，若()14f A =,且=2AC AB -u u u r u u u r ,求BC 边上中线长的最大值．17．（本题满分15分）如图，三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．6PA PB AB BC ====，点M ，N 分别为PB ，BC 的中点．（Ⅰ）求证：AM PBC ⊥平面；（Ⅱ）E 在线段AC 上的点，且//平面AM PNE ；求直线PE 与平面PAB 所成角的正切值．PABMNCE18．（本题满分15分）已知二次函数2()f x ax bx c =++．（Ⅰ）若(3):(1):(1)3:1:3f f f -=，且函数()f x 的最大值为2-，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在1(,)2-+∞上单调递增，且()f x 的顶点在x 轴上，求满足(2)(2)(1)f mf mf +-=的实数m 的最小值．19．（本题满分15分）已知O 为坐标原点，椭圆2212x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为直线 :2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点．（Ⅰ）求12F PF ∆周长的最小值；（Ⅱ）设直线1PF 和2PF 的斜率分别为12,k k ，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ．ⅰ）证明：12132k k -=； ⅱ）当直线,,,OA OB OC OD 的斜率之和为0时，求直线l 上点P 的坐标．20．（本题满分14分）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12n n a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．参考答案说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的题答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容与难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分． （1） C （2） D （3） C （4） B （5） D （6） A （7） B （8） B二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算．前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分． （9）{3}x x ≤，{23}x x <≤ （10）1=A ，4(1)=+n nT n（11）22(3)(3)8x y +++=, (0,4)(8,12)m ∈U （12）6πϕ=,（13） （14）7[,1]23（15） 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．答案：（1）()1sin 226f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，值域12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；…………………7分（2）3A π=…………………15分17．答案：(1) PA AB AM PB PM MB BC PAB AM BC AM PBC AM PAB PB BC B =⎫⎫⇒⊥⎬⎪=⎭⎪⎪⊥⎫⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎪=⎪⎪⎭I 平面平面平面 …………5分(2)连MC 交PN 于F ，则F 是PBC ∆的重心，且13MF MC =， ////AM PEN AMC PEN EF AM EF AM AMC ⎫⎪=⇒⎬⎪⊂⎭I 平面平面平面平面所以123AE AC ==， …………9分 作EH AB ⊥于H ，则//EH BC ，所以EH PAB ⊥平面，所以，EPH ∠是直线PE 与平面PAB 所成角. 12分 且123EH BC ==,123AH AB ==, PH ∴=,tan 7EH EPH PH ∴∠==. 所以，直线PE 与平面PAB所成角的正切值为7. …………15分 方法二：以B 为坐标原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴，建立空间直角坐标系.3(0,6,0),(0,(3,0,0),2A P M N 设(,6,0),-E m m(3,6,0),(3,3,=--=--u u u r u u u rNE m m PN令面PEN 的法向量为1(,,)=r n x y z ，则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r NE n PN n，(3)(6)00-+-=⎧⎪⎨-=⎪⎩m x m y x y ，得1(6,3,=--rn m m9(0,2=-u u u u r AM 因为//AM 平面,PNE 所以1,⊥u u u u r r AM n 10,⋅=u u u u r r AM n 得2,=m则(2,4,0),E …………10分(2,1,=-u u u r PE 面PAB 的法向量2(1,0,0),=rn 222,1,⋅===u u u r u u u r r rn PE n PE设直线PE 与平面PAB 所成角为θ，则2sin cos ,4θ=<>=u u ur r n PE ，tan θ=直线PE 与平面PAB…………15分 18．解：（Ⅰ）由条件(3):(1):(1)3:1:3f f f -=，可得3,2c a b a ==-于是22()(23)(1)2f x a x x a x a =-+=-+， …………3分 因为函数()f x 的最大值为2-，则0a <且22a =-即1a =-，故2()(1)2f x x =--- …………6分（Ⅱ）由条件可设2()()f x a x t =-，其中12t ≤-…………8分 由(2)(2)(1)f mf mf +-=，得222(2)(2)(1)a t ma t ma t -++=-于是2(2)(63)t m t -=--， …………10分易知12t ≠-则2(2)63t m t -=--， …………11分令(21)0t s -+=>于是2(5)1255(10)12123+==++≥s m s s s …………14分取等号的条件为：3t =-…………15分19．（Ⅰ）令2(1,0)F 关于2+=x y 的对称点为2(,),'F x y 则2(2,1),'F121212''+=+≥=PF PF PF PF F F12min ()2F PF C ∆= …………5分（Ⅱ）ⅰ）令000(,2),()-≠P x x x x00120022,11--==+-x x k k x x ， 0001200013342132222+---=-==---x x x k k x x x …………9分 ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 令11:(1)=+PF l y k x 由122(1),22=+⎧⎨+=⎩y k x x y 得2222111(12)4220+++-=k x k x k ， 2112212112214122(1)12⎧-+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩k x x k k x x k ， 121112121112121212121(1)(1)211(2)(2)1++++=+=+=++=+=-OA OB y y k x k x x x k k k k k x x x x x x x x k 同样可算得22221+=-OC OD k k k k ， 由0+++=OA OB OC OD k k k k ，得12221222011+=--k k k k ，整理得1212()(1)0+-=k k k k ， 120+=k k 或121=k k ，又因为12132-=k k1212122,,(0,2),1322+=⎧=⎧⎪⎨⎨-==-⎩⎪⎩k k k P k k k 12121211,1321=⎧=-⎧⎪⎨⎨-==-⎩⎪⎩k k k k k k （舍）或12153,(,),3443⎧=⎪⎨⎪=⎩k P k (0,2)P 或53(,)44P …………15分20．（Ⅰ）由221122322a a a a +=+=及20a >，所以2a =…………3分 （Ⅱ）由22221111113242(2)2n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+<+=+又因为2y x x =+在(0,)x ∈+∞上递增，故12n n a a +≤ …………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，112n n a a -≥，1212n n a a --≥，…，2112a a ≥，相乘得1111122n n n a a --≥=，即112n n a -≥ 故121111112222n n n n S a a a --=+++≥+++=-L L …………10分 另一方面，222211111132222()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++++=+>+=+， 令2n n n a a b +=，则12n n b b +>于是112n n b b -<，1212n n b b --<，…，2112b b <，相乘得1121122n n n b b --≤=，即2212n n nn a a b -+=≤ 故1222111()1(1)33222n n n n S a a a --=+++<++++=-<L L 综上，11232n n S --≤< …………14分。
2020-2021学年高考模拟题理科数学(天津卷)_含解析
普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分 参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么·如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高．h 表示锥体的高．第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合{1,2,3,4},{|32},A B y y x x A ===-∈，则A B I =（A ）{1} （B ）{4} （C ）{1,3} （D ）{1,4}（2）设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为（A ）4- （B ）6 （C ）10 （D ）17（3）在△ABC 中，若=13AB ,BC=3，120C ∠=o,则AC=（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（5）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q<0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（A ）充要条件（B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线2224=1x y b-（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - （7）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE=2EF ，则AF BC →→g 的值为 （A ）58-（B ）18（C ）14（D ）118（8）已知函数f （x ）=2(4),0,log (1)13,30)ax a a x x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a>0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程│f（x ）│=2-x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]U {34}（D ）[13，23）U {34} 第II 卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1+i)(1-bi ）=a ，则ab的值为_______. （10）281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为_______m 3.（第11题图）（12）如图，AB 是圆的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，BE=2AE=2，BD=ED ，则线段CE 的长为__________.(13)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)＞f （2），则a 的取值范围是______.(14)设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l.过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B.设C （72p,0），AF 与BC 相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE 的面积为32p 的值为_________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (15) 已知函数f(x)=4tanxsin(2x π-)cos(3x π-3(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论f(x)在区间[,44ππ-]上的单调性.（16）（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望.（17）（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2. （I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=23HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.（20）（本小题满分14分）设函数f(x)=（x-1）3-ax-b,x ∈R ，其中a,b ∈R 。
2020-2021学年高考数学理科一模测试题及答案解析
最新高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（ a∈ R， i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（）A．﹣ 4 B．﹣ 1 C． 1 D． 42．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1 ；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与 Y，求出其统计量K2， K2越小，我们认为“X与 Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③ D．②④3．在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是 3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（ 2，+∞） C．（ 2， 4] D．（4，+∞）4．某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1如图（2），其中O1A1=6， O1C1=2，则该几何体的侧面积为（）=1 的左、右焦点分别为F 1， F 2，过 F 1作圆 x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B 、 C ，且 |BC|=|CF 2|，则双曲线的离心率为（10．已知点 A （ 1，﹣ 1 ） ， B （ 4，0） ， C （ 2， 2），平A ． 48 B ． 64 C ． 96 D ． 1285．将函数 f （ x ）的图象向左平移φ（ 0<φ< ）个单位后得到函数 g （ x ） =sin2x 的图象，若对 满足 |f （ x 1）﹣ g x 2) |=2的 x 1， x 2，有 |x 1﹣ x2| min = =（ ） A ．B ．C ．D ．6．长郡中学早上 8 点开始上课，若学生小典与小方匀在早上 7： 40 至 8： 00 之间到校，且两人在 该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早 5 分钟到校的概率为（ A ．B ．C ．D ．7．已知函数 f （ x ） =klnx+1 k ∈ R ） ，函数 g （ x ） =f （ x 2﹣ 4x+5） ，若存在实数k 使得关于x 的方程g （ x ） +sin x=0 有且只有A ． 3πB ． 6C ． 12 6 个实数根，则这 6 个根的和为（D ． 12πAB= ，将△ ABD 折起到△ P BD 的位置，若三棱锥 P ﹣P ﹣ BD ﹣ C 的正弦值为（A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线A ．B ．C ．D ．( 1<λ面区域 D≤a，1<μ≤ b）的点P（x，y）组成．若区域 D 的面积为8，则a+b 的最小值为（A．B． 2 C． 4 D． 811．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣ 1 ），S n是其前n 项和，若S2017=﹣1007﹣b，且a1b> 0，则 + 的最小值为（）A． 3﹣ 2 B． 3 C． 2 D． 312．设函数f（x）=x3+bx+c，η，ξ是方程f（x）=0 的根，且f′（ξ）=0，当0<ξ﹣η< 1 时，关于函数g（x）= x3﹣ x2+（b+2）x+（c﹣b+η） lnx+d 在区间（η+1，ξ +1 ）内的零点个数的说法中，正确的是（）A．至少有一个零点B．至多有一个零点C．可能存在 2 个零点D．可能存在 3 个零点二、填空题（每题5分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣ 3< 0}，B={x∈R|﹣1< x< m}，若 x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为．14．在等差数列{a n}中，S n 为数列{a n}的前n 项和， d 为数列{a n}的公差，若对任意n∈ N*，都有S n> 0，且a2a4=9，则d的取值范围为．15．设椭圆C： + =1 与函数 y=tan 的图象相交于A1， A2两点，若点P在椭圆 C上，且直线 PA2的斜率的取值范围[﹣ 2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是．16．已知kC n k=nC n﹣1k﹣1（ 1≤k≤n，且k，n∈N*）可以得到几种重要的变式，如：C n k，将 n+1 赋给n，就得到kC n+1k=（n+1 ）C n k﹣1，⋯，进一步能得到：1C n1+2C n2?21+⋯+nC n n?2n﹣1=nC n﹣10+nC n1?21+nC n﹣12?22+⋯ +nC n﹣1n﹣1?2n﹣1=n（ 1+2）n﹣1=n?3n﹣1．﹣1请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论，计算：C n0×+ C n1×（）2+C n2×（）3+⋯+ C n n×（）n+1= ．三、解答题（本大题共 5 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数．（Ⅰ）求函数f（ x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，，求△ABC的面积．18． 《环境空气质量指标（AQI ）技术规定（试行） 》如表 1 ：表 1 ：空气质量指标 AQI 分组表AQI 0～ 51 100 101～ 150 151 ～ 201 ～ > 300级别 Ⅰ级 Ⅱ级 Ⅲ级 Ⅳ级 Ⅴ级 Ⅵ级类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污表 2 是长沙市某气象观测点在某连续 4 天里的记录， AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y （ km ） 的情况． 表 2： 2016 年 1 月 1 日至 1 月 30 日 AQI 指数频数统计表．表 3：AQI 指数 [0， 200] （ 201， 400] （ 401，（ 601， 800]600]频数 3 6 12 6（ 1 ）设 x= ，根据表 2 的数据，求出 y 关于 x 的回归方程；AQI 指数不高于 200 时，洗车店平均每天亏损约 200 元； AQI 指数在 200 至 400 时，洗车店平均每天收入约 400 元； AQI 指数大于 400 时，洗车店平均每天收入约 700 元．（ⅰ）计算小李的洗车店在当年 1 月份每天收入的数学期望．（ⅱ）若将频率看成概率，求小李在连续三天里洗车店的总收入不低于 1200 元的概率．（用最小二乘法求线性回归方程系数公式 = ， = ﹣ x ）19．如图所示，异面直线 AB ， CD 互相垂直， AB= ， BC= ， CD=1， BD=2， AC=3，截面 EFGH分别与 BD ， AD ， AC ， BC 相交于点 E ， F ， G ， H ，且AB ∥平面 EFGH ， CD ∥平面 E FGH ． （ 1 ）求证： BC ⊥平面 EFGH ； （ 2）求二面角 B ﹣ AD ﹣ C 的正弦值．AQI 指数 900 700 300 100 空气可见度 （千米） 0.5 3.5 6.5 9.5表 3 是某气象观测点记录的长沙市 ( 801， 1000] 3 2）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：20．如图，抛物线C： x2=2py（ p> 0）的焦点为 F（ 0，1），取垂直于 y轴的直线与抛物线交于不同P1， P2，过P1， P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥ P2Q．1）求抛物线C 和圆 Q 的方程；（ 2） 过点 F 作倾斜角为θ （ ≤θ≤ ） 的直线l ， 且直线 l 与抛物线 C 和圆 Q 依次交于 M ， A ， B ， N ，求 |MN||AB|的最小值．选修 4-4 ：坐标系与参数方程 23．已知曲线 C 的极坐标方程是ρ =4cos θ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半 轴，建立平面直角坐标系，直l 的参数方程是 （ t 是参数）（ 1 ）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= ，求直线的倾斜角α的值．选修 4-5 ：不等式选讲 24．关于 x 的不等式 lg （ |x+3| ﹣ |x ﹣ 7|）＜ m ． （Ⅰ）当 m=1 时，解此不等式； （Ⅱ）设函数 f （ x ） =lg （ |x+3|﹣ |x ﹣ 7|） ，当 m 为何值时， f （ x ）＜ m 恒成立？21．已知函数 f （ x ） =（ 1+x ） e ﹣2x， g （ x ）=ax+ +1+2xcosx ，当 x ∈ [0， 1]时，（ I ）求证： ；（ II ）若f （ x ）≥g （ x ）恒成立，求实数 a 的取四、请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 何证明选讲 22．如图， AB 是圆 O 的直径，弦 CE 交 AB 于 D ， CD=4 ， DE=2 ， BD=2． . 选修 4-1 ：几参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数a﹣（ a∈ R， i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值为（）A．﹣4 B．﹣ 1 C． 1 D． 4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i） =（ a﹣ 4）﹣i 是纯虚数，∴ a﹣ 4=0，解得a=4．故选： D．2．以下四个命题，正确的是（）①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于 1 ；③在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，变量y一定增加0.2单位；④对于两分类变量X与Y，求出其统计量K2， K2越小，我们认为“ X 与 Y有关系”的把握程度越小．A．①④B．②③C．①③D．②④【考点】两个变量的线性相关；线性回归方程．【分析】①抽样是间隔相同，故①应是系统抽样；②根据相关系数的公式可判断；③由回归方程的定义可判断；④ k 越小，“ X 与 Y 有关系”的把握程度越小．【解答】解：根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于 0；故②为真命题；在回归直线方程=0.2x+12中，当变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，故③为假命题相，若分类变量X与Y的随机变量 K2的观测值k 越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，故④为真命题．∴正确的是②④，故选： D．3．在如图所示的程序框图中，若输出i 的值是 3，则输入x 的取值范围是（）A ． 48B ． 64C ． 96D ． 128 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，计算出底面的周长和高，进而可得几何体的侧面积．A ． （ 4， 10]B ． （ 2， +∞）C ． （ 2， 4]D ． （ 4， +∞） 【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入 x=a ，第一次执行循环体后， x=3a ﹣ 2， i=1 ，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后， x=9a ﹣ 8， i=2，不满足退i 的值，模拟4．某几何体的主视图和左视图如图（ 1） ，它的俯视图的直观图是矩形 O A B C 如图（ 2） ，其中O 1A 1=6， O 1C 1=2，则该几何体的侧面积为（ ）【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱，∵它的俯视图的直观图是矩形 O 1A 1B 1C 1， O 1A 1=6， O 1C 1=2， ∴它的俯视图的直观图面积为 12， ∴它的俯视图的面积为： 24 ， ∴它的俯视图的俯视图是边长为： 6 的菱形， 棱柱的高为 4故该几何体的侧面积为： 4× 6× 4=96， 故选： C ．5．将函数 f （ x ）的图象向左平移φ（ 0<φ< ）个单位后得到函数 g （ x ） =sin2x 的图象，若对 满足 |f （ x 1）﹣g （x 2）|=2的 x 1， x 2，有 |x 1﹣ x 2|min = ，则φ=（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】函数y=Asin （ω x +φ）的图象变换．x 1， x 2的值，然后判断选项即可．g （ x ）=sin2x 的周期为π，函数的图象向右平移φ（ 0<φ< ）个单位后得到函数 f （ x ） =sin （ 2x ﹣ 2 φ）的图象． 若对满足 |f （ x 1）﹣ g （ x 2） |=2 的可知，两个函数的最大值与最小值的差为 不妨设： x 2= ， x 1= ，即 f （ x ）在x 1= ，取得最小值， =+k π， k ∈Z ，由于 0<φ< ，不合题意，时φ = ﹣ k π， k ∈ Z ，当 k=0 时，φ = 满足题意．故选： D ．6．长郡中学早上 8 点开始上课，若学生小典与小方匀在早上该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则小典比小方至少早x ，小王到校的时间为 y ． （ x ， y ）可以看成平面中的点试2，有|x 1﹣ x 2|m i nsin （ 2× ﹣ 2φ） =﹣ 1 ，此时φ不妨设：f （ x ）在x 1=﹣ ，取得最小值， sin[2 ×（﹣ ）﹣ 2φ ]=﹣ 1 ，此A ．B ．C ．D ． 7： 40 至 8： 00 之间到校，且两人在5 分钟到校的概率为（验的全部结果所构成的区域为Ω =｛（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60｝是一个矩形区域，则小张比小王至少早 5 分钟到校事件A=｛（ x， y） |y﹣ x≥ 5｝作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|40≤x≤60，40≤y≤60}是一个矩形区域，对应的面积S=20× 20=400，则小张比小王至少早 5 分钟到校事件A={x|y﹣ x≥ 5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得 C（ 55， 60），由得 B（ 40， 45），则 S△ ABC= × 15× 15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5 分钟到校的概率为=，=，故选： A．7．已知函数f（x）=klnx+1（k∈R），函数g（x）=f（x2﹣4x+5），若存在实数k 使得关于x的方程g（ x） +sin x=0 有且只有 6 个实数根，则这6 个根的和为（）A． 3πB． 6 C． 12 D． 12π【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据条件，先判断g（ x）关于 x=2 对称，然后利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵y=x2﹣ 4x+5 的对称轴为x=2，∴由 g（ x） =f（ x2﹣ 4x+5），得 g（ x）关于 x=2 对称，由g（ x） +sin x=0 得 g（ x） =﹣ sin x，作出函数y=﹣ sin x 的图象，若程 g（ x） +sin x=0 只有 6 个根，则六个根两两关于x=2 对称，则关于对称的根分别为x1 和x2， x3和 x4， x5和 x6，=2，=2，=2则 x1+x2=4， x3+x4=4， x5+x6=48．在菱形ABCD中，A=60°， AB= ，将△ ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣ BCD的外接球P﹣ BD﹣ C的正弦值为（A． BB C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD 中点E，连接AE，CE，则∠AE，PEC是二面角P﹣ BD﹣ C 的平面角，由此能求出二面角CE，则∠PEC是二面角P﹣ BD﹣ C的平面角，PE=CE= ，P﹣ BCD的外接球的半径为R，则解得设△ BCD的外接圆的圆心 F与球心 O的距离为OF=h，则 CF= =1 ，则 R2=1+h2，即，解得过 P 作 PG⊥平面BCD，交CE 延长线于G，过则四边形HGFO是矩O 作 OH∥ CG，交PG于 H，PO=R= ，则这 6 个根之和为4+4+4=129．已知双曲线 ﹣ =1 的左、右焦点分别为F 1， F 2，过 F 1作圆 x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B 、 C ，且 |BC|=|CF 2|，则双曲线的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】 过 F 1 作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交双曲线的左、 右两支于点 B 、 C ， 且 |BC|=|CF 2|， 可得|BF 1|=2a ，求出 B 的坐标，代入双曲线方程，可得 a ， b 的关系，再由 a ， b ， c 的关系可得 a ， c 的关系．由 离心率公式计算即可得到． 【解答】解：∵过F 1 作圆x 2+y 2=a 2的切线分别交cos ∠PEC=PC= =，故选： C双曲线的左、右两支于点B、 C，且|BC|=|CF2|，∴ |BF1|=2a，设切点为T， B（ x， y），则利用三角形的相似可得= =x= ∴ B （ ， ） 代入双曲线方程，整理可得 b=（ +1） a ， 则 c= = a ， 即有 e= = ． 故选 C ． 10．已知点 A （ 1，﹣ 1 ） ， B （ 4， 0） ， C （ 2， 2） ，平面区域 D 由所有满足 （ 1<λ ≤ a ， 1<μ≤ b ）的点 P （ x ， y ）组成．若区域 D 的面积为 8，则 a+b 的最小值为（ ） A ． B ． 2 C ． 4 D ． 8 【考点】简单线性规划． 【分析】如图所示，以 AB ， AC 为邻边作平行四边形 ABCD ．分别作 = ， = ，则由所有满足 （ 1 <λ≤ a ， 1<μ≤ b ）表示的平面区域 D 为平行四边 形 DEQF. = ， = ，由于 =（ 3， 1 ） ， =（ 1， 3） ， =6．可 =． S 平行四边形 DEQF= =8（λ﹣1）（μ﹣ 1） =8，化为λμ =λ+μ，利用基本不等式的性质可得λ +μ≥ 4．由 （ 1 <λ≤ a ， 1<μ≤b ） ，可得，于是 x+y=4（λ +μ）≤ 4（ a+b ） ．即可得出． 【解答】解：如图所示，以 AB ， AC 为邻边作平行四边形 ABCD ． 分别作 = ， = ， 则由所有满足 （ 1<λ≤ a ， 1 <μ≤ b ）表示的平面区域 = ，= ， D 为平行四边形 DEQF ．=（ 3， 1） ，=（ 1， 3） ，=6． = ，∴== ==．S 平行四边形DEQF==（λ﹣1）（μ﹣ 1）×=8（λ﹣1）（μ﹣ 1）=8，化为（λ﹣1）（μ﹣ 1 ）=1，∴λμ=λ +μ≥ ，可得λμ≥4，∴λ+μ≥4，当且仅当λ=μ =2 时取等号．∵（ 1<λ≤a， 1 <μ≤b），∴= =（1，﹣ 1 ） +λ（ 3， 1）+μ（1， 3），∴，∵ 1 <λ≤a， 1<μ≤b，∴ x+y=4（λ +μ）≤ 4（ a+b）．∴ a+b≥λ+μ≥ 4，∴ a+b 的最小值为4．故选： C．11．已知数列{a n}满足a n+a n﹣1=n（﹣ 1 ），S n是其前n项和，若S2017=﹣ 1007﹣b，且a1b> 0，则 + 的最小值为（）A． 3﹣ 2 B． 3 C． 2 D． 3【考点】基本不等式．【分析】由已知递推式得到：a3+a2=3， a5+a4=﹣ 5，⋯ a2017+a2016=﹣2017，累加可求S2017﹣ a1，结合S2017=﹣ 1007﹣ b，求得a1+b=1，代入 + ，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：由已知得：a3+a2=3， a5+a4=﹣ 5，⋯a2017+a2016=﹣2017，把以上各式相加得：S2017﹣ a1=﹣ 1008，即： a 1﹣ 1008=﹣ 1007﹣ b ， a 1+b=1，故选： D ．12．设函数f （ x ） =x 3+bx+c ，η，ξ是方程 f （ x ） =0 的根，且 f ′（ξ）=0，当 0<ξ﹣η< 1 时，关于函数 g （ x ） = x ﹣ x +（ b+2） x+（ c ﹣ b+η） lnx+d 在区间（η +1，ξ +1 ）内的零点个数的说法中，正确的是（ ）A ．至少有一个零点B ．至多有一个零点C ．可能存在 2 个零点D ．可能存在 3 个零点 【考点】函数零点的判定定理．f （ x ）=x 3+bx+c=（x ﹣η）（ x ﹣ξ） 2，进一步得到η +2ξ=0， 2ηξ +ξ 2=b ，2=c ，且 x ∈（﹣ 2ξ，ξ） ，把函数g （ x ）求导，用η，ξ表示 b ， c ，二次求导可得在区间 +1，ξ +1）内h ′（ x ）< 0，则答案可求．f （ x ） =0 的根，且 f ′（ξ） =0，f （ x ） =x 3+bx+c=（ x ﹣η） （ x ﹣ξ） 2， 即得η+2ξ =0， 2ηξ+ξ 2=b ，﹣ηξ 2=c ，且 x ∈（﹣ 2ξ，ξ） ，令 h （ x ） =x 3﹣ 3x 2+（ b+2）x+c ﹣ b+η =x 3﹣ 3x 2+（ 2﹣ 3ξ 2）x+2ξ 3+3ξ 2﹣ 2ξ=（ x ﹣ 1 ）3﹣（ 1+3ξ 2） （ x ﹣ 1 ） +2ξ 2﹣ 2ξ，则 h ′（ x ） =3（ x ﹣ 1） 2﹣（ 3ξ2+1） ，当 x ∈（﹣2ξ +1，ξ +1）时， h ′（ x ）< h ′（﹣ 2ξ+1） =+ =+ =3+ +2 3+2 ，0 <ξ﹣η< 1，得 0<ξ ， 0，则 g ′（ x ） =x 2﹣ 3x+（ b+2） +=（3ξ+1）（ 3ξ﹣ 1）< 0．∴h（x）在（η+1，ξ +1）上为减函数，而h（﹣2ξ+1）=﹣8ξ3+2ξ（3ξ2+1） +（2ξ3﹣ 2ξ）=0，当x∈（﹣2ξ +1，ξ +1）时， h′（x）△h′（﹣2ξ +1） =0，即当x∈（﹣2ξ +1，ξ+1）时， h′（ x）< 0，∴ g（ x）在（η+1，ξ+1）上为减函数，至多有一个零点．故选： B．二、填空题（每题5分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13．已知集合A={x∈R|x2﹣2x﹣3< 0}，B={x∈R|﹣ 1< x< m}，若 x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为（ 3， +∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可求出m 的取值范围．【解答】解：A={x∈ R|x2﹣ 2x﹣ 3< 0}={x|﹣ 1< x< 3}，若“x∈ A”是“x∈ B”的充分不必要条件，则 A? B，则 m> 3，故答案为：（ 3， +∞）14．在等差数列{a n}中，S n 为数列{a n}的前n 项和， d 为数列{a n}的公差，若对任意n∈ N*，都有S n△0，且a2a4=9，则d的取值范围为．【考点】等差数列的通项公式．【分析】对任意n∈ N*，都有S n> 0，可得：a1> 0，d≥0．由于a2a4=9，化为 3d2+4a1d+ ﹣ 9=0，△> 0，而且两根之和=﹣4d< 0，而必须至少有一个正实数根．可得3d2﹣9≤0，d≥0，解出即可得出．【解答】解：对任意n∈ N*，都有S n> 0，∴ a1> 0， d≥ 0．∵ a2a4=9，∴（a1+d）（ a1+3d） =9，2化为+4a1d+3d ﹣ 9=0，△=16d2﹣ 4（ 3d2﹣ 9） =4d2+36> 0，∴方程有两个不相等的实数根，并且两根之和为﹣4d< 0，而必须至少有一个正实数根．d= 时， a1=0，舍去．则 d 的取值范围为．故答案为：．A1， A2两点，若点 P在椭圆 C上，且直15．设椭圆C：线 PA2的斜率的取值范围[ ﹣ 2，﹣1] ，那么直线PA1 斜率的取值范围是C：+ =1 y=tan 的图象相交于A1， A2两点，可知：A1， A2两点关于原点对称，设A1（x1，y1），A2（﹣x1，﹣y1），P（x0， y0），分别代入椭圆方程可得：≤1，．由于直线PA2的斜率k1 的取值范围[﹣ 2，﹣ 1]，可得﹣ 2≤=k2，可得k1k2= ．即可得出．C：+ =1 与函数 y=tan 的图象相交于 A1， A2两点，A1， A2两点关于原点对称，设A1（x1， y1）， A2（﹣x1，﹣y1），=1，= ．设P（ x0， y0），则=1，可得：1］，PA2的斜率k1的取值范围[﹣ 2，﹣21k1 k2=1，将 n+1 赋给 n ， 就得到 k C n+1k =（ n+1 ） C n k ﹣1， ⋯， 进一步能得到： 1C n 1+2C n 2?21+⋯ +nC n n ?2n ﹣1=nC n ﹣ 10+nC n11?21+nC n ﹣ 12?22+⋯ +nC n ﹣ 1n ﹣ 1?2n ﹣ 1=n （ 1+2） n ﹣ 1=n?3n ﹣ 15 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）f （ x ）的单调递增区间；ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．已知，a=2， ，求△ABC 的面积．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；正弦定理．k ∈ z ，求得 x 的范围，即可求得 f （ x ）的单调递增区间．解得那么直线 PA 1 斜率的取值范围是 故答案为：16．已知 kC n k=nC n ﹣ 1k ﹣1（ 1≤ k ≤ n ，且 k ， n ∈ N *）可以得到几种重要的变式，如： C k， k 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法与结论， 计算： 0×）n+1=+C n 1 ） 2+ 2 C n 2×23+⋯ + C n n再利用二项式定理即可得出．由可得解： 由得= =．故案为：．，17．已知函数．（Ⅰ） 利用两角和差的正弦公化简函数的解析式为 sin （ 2x+） ， 令 2k π﹣ ≤ 2x≤ 2k π + ，（Ⅱ）由已知 ，可得 sin （ 2A+ ） = ，求得 A= ，再利用正弦定理求得三角形内角和公式求得 C 的值，再由 S= ab?sinC ，运算求得结果．cos2x) = sin( 2x+，可得 sin （ 2A+ ） = ，A 为△ ABC 内角，由题意知 0< A <π，所以 < 2A+ <2A+ = ，解得 A= ．，得 b= ，⋯A= ，由 B= ，可得 sinC= ，⋯ S= ab?sinC==18． 《环境空气质量指标（AQI ）技术规定（试行） 》如表 1 ：表 1 ：空气质量指标 AQI 分组表AQI 0～ 51 100 101～ 150 151 ～ 201 ～ > 300级别 Ⅰ级 Ⅱ级 Ⅲ级 Ⅳ级 Ⅴ级 Ⅵ级类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污表 2 是长沙市某气象观测点在某连续 4 天里的记录， AQI 指数 M 与当天的空气水平可见度 y （ km ） 的情况． 表 2： AQI 指数 900 700 300 100 空气可见度 （千米） 0.5 3.5 6.5 9.5表 3 是某气象观测点记录的长沙市 2016 年 1 月 1 日至 1 月 30 日 AQI 指数频数统计表．b 的值，由≤ x ≤ k π +，=sin2xcos +cos2xsin +cos2xin2x+ cos2x= ( sin2x+函数 f （x ）的单调递增区间为表 3：AQI 指数 [0， 200] （ 201， 400] （ 401，（ 601，800]600]频数 3 6 126（ 1 ）设 x= ，根据表 2 的数据，求出 y 关于 x 的回归方程；( 801， 1000] 3AQI 指数不高于 200 时，洗车店平均每天亏损约 200 元； AQI 指数在 200 至 400 时，洗车店平均每天收入约 400 元； AQI 指数大于 400 时，洗车店平均每天收入约 700 元．1 月份每天收入的数学期望．（ 1 ）利用公式计算线性回归方程系数，即可得到 y 关于 x 的线性回归方程； 2） （ⅰ）由表 2 知 AQI 指数不高于 200 的频率为 0.1 ， AQI 指数在 200 至 400 的频率为 0.2， AQI指数大于 400 的频率为 0.7，确定饭馆每天的收入的取值及概率，从而可求分布列及数学期望；由 （ⅰ） ， “连续三天洗车店收入不低于 1200 元包含 1A2C ， 3B ， 2B1C ， 1B2C ， 3C 五种情况” ，即可求出小李在连续三天里洗车店的总收入不低于 1200 元的概率．1），，所以 ， ，所以 y 关于 x 的回归方程是 ．（ 2）由表 3 知 AQI 不高于 200的频率为 0.1 ， AQI 指数在 200 至 400的频率为 0.2， AQI 指数大于 400 的频率为 0.7．设“洗车店每天亏损约 200 元”为事件 A ， “洗车店每天收入约入约 700 元”为事件 C ， 则 P （ A ） =0.1， P （ B ） =0.2， P （ C ） =0.7，X 元，则 X 的分布列为X ﹣ 200 400 700 P 0.1 0.2 0.72）小李在长沙市开了一家小洗车店，经小李统计：400 元”为事件 B ， “洗车店每天收 1200 元的则 X的数学期望为EX=﹣ 200× 0.1+400× 0.2+700× 0.7=550（元）．（ⅱ）由（ⅰ），“连续三天洗车店收入不低于1200 元包含1A2C， 3B， 2B1C， 1B2C， 3C五种情况”，则“连续三天洗车店收入不低于 1200 元”的概率：19．如图所示，异面直线AB， CD 互相垂直，AB= ， BC= ， CD=1， BD=2， AC=3，截面EFGH 分别与BD，AD，AC，BC相交于点E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH．（ 1 ）求证：BC⊥平面EFGH；（ 2）求二面角B﹣ AD﹣ C的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（ 1 ）推导出AB∥EF，CD∥HE，AB⊥BC，BC⊥DC，BC⊥EF，BC⊥EH，由此能证明BC⊥平面EFGH．（2）作，以C为原点，CD为 x轴，CB为y轴，Cz为z轴，建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣ AD﹣ C 的正弦值．【解答】证明：（ 1 ）∵AB∥平面EFGH，又∵ AB? 平面ABD，平面ABD∩平面EFGH=EF，∴ AB∥ EF，同理CD∥ HE，∵，∴ AB2+BC2=AC2，∴AB⊥ BC，同理BC⊥ DC，∴ BC⊥ EF，同理BC⊥ EH，又∵EF， EH是平面 EFGH内的两相交直线，∴ BC⊥平面EFGH．（ 2）由（ 1 ）及异面直线AB， CD互相垂直知，直线AB， BC， CD 两两垂直，作，以 C为原点，CD为 x轴，CB为y轴，Cz为 z轴，建立空间直角坐标系C﹣ xyz，如图所示，则，∵ x 轴 ? 平面ACD，∴平面ACD 的一个法向量可设为，∵，∴，得：，即，又∵ z轴∥平面ABD，∴平面ABD的一个法向量可设为，∴，得，即，设二面角B﹣ AD﹣ C 的大小为θ，那么20．如图，抛物线C： x2=2py（ p> 0）的焦点为 F（ 0， 1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同P1， P2，过P1， P2作圆心为Q的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且P1Q⊥ P2Q．1 ）求抛物线 C 和圆 Q 的方程；2）过点 F作倾斜角为θ（≤θ≤ ）的直线 l，且直线 l 与抛物线C和圆 Q依次交于M，A，B， N，求|MN||AB|的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（ 1 ）由抛物线的焦点坐标求出p 值，可得抛物线方程，再由，代入抛物线方程有，抛物线在点P2处切线的斜率为．由，知，求出 r， b，可得圆Q的方程；（ 2）设出直线方程y=kx+1 且，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|，再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得 |MN|?|AB|的最小值．【解答】解：（ 1 ）因为抛物线C： x2=2py（ p> 0）的焦点为F （ 0， 1），所以，解得p=2，所以抛物线 C 的方程为x2=4y．由抛物线和圆的对称性，可设圆Q： x2+（ y﹣ b）2=r2，21．已知函数 f （ x ） =（ 1+x ） e ﹣2x， I ）求证： ；II ）若 f （ x ）≥g （ x ）恒成立，求实数 a 的取值范围．P 1Q ⊥ P 2Q ，∴△ P 1QP 2是等腰直角三角形，则，代入抛物线方程有P 1， P 2处圆和抛物线相切，对抛物线，．x 2=4y 求导得，代入，解得 b=3．所以圆 Q 的方程为 x 2+（ y ﹣ 3） 2=8．2）设直线l 的方程为 y=kx+1，且Q （ 0， 3）到直线 l 的距离为y 2﹣（ 2+4k 2） y+1=0，设 M （ x1， y 1） ， N （ x 2， y 2） ， 则，由抛物线定义知，，所以，所以 ，所以当时，即所以抛物线在点 P，知|MN||AB|有最小值g （ x ） =ax+1+2xcosx ，当 x ∈[0， 1]时，（ I ）①当 x ∈ [0， 1）时， （ 1+x ） e ﹣2x ≥ 1﹣ x? （ 1+x ） e ﹣x ≥（ 1 ﹣ x ）e x，令 h （ x ） =（ 1+x ） e ﹣x ﹣（ 1﹣ x ） e x ，利用导数得到 h （ x ）的单调性即可证明； ②当 x ∈ [0， 1）时， ? e x ≥ 1+x ，令 u （ x ） =e x﹣ 1﹣ x ，利用导数得出 h （ x ）的单调 性即可证明． （ II ）利用（ I ）的结论得到 f （ x ）≥ 1﹣ x ，于是 G （ x ） =f （ x ）﹣ g （ x ）≥ = ．再令 H（ x ） = ，通过多次 求导得出其单调性即可求出 a 的取值范围． （ I ）证明：①当 x ∈ [0， 1）时， （ 1+x ） e ﹣ 2x ≥ 1﹣ x ? （ 1+x ） e ﹣ x ≥（ 1﹣ x ） e x ， 令 h （ x ） =（ 1+x ）e ﹣x ﹣（ 1﹣ x ） e x ，则 h ′（ x ） =x （ e x ﹣ e ﹣ x ） 当 x ∈ [0， 1）时， h ′（ x ）≥ 0， ∴ h （ x ）在 [0， 1）上是增函数， ∴ h （ x ）≥ h （ 0） =0，即 f （ x ）≥ 1﹣ x ． ②当 x ∈ [0， 1 ）时， ? e x ≥ 1+x ，令 u （ x ） =e x ﹣ 1﹣ x ，则 u ′（ x ） =e x ﹣ 1 ．x ∈ [0， 1）时， u ′（x ）≥ 0， u （ x ）在 [0，1）单调递增，∴ u x ）≥ u （ 0） =0， 综上可知： （ II ）解：设 G （ x ） =f （ x ）﹣ g（ x ） = ≥ =． 令 H （ x ） = ，则 H ′（ x ） =x ﹣ 2sinx ， 令 K （ x ） =x ﹣ 2sinx ，则 K ′（ x ） =1﹣ 2cosx ． 当 x ∈ [0， 1）时， K ′（ x ）< 0， 可得 H ′（ x ）是 [0， 1）上的减函数，∴ H ′（ x ）≤H ′（ 0） =0，故 H （ x ）在 [0， 1）单调递减， H （ x ）≤ H （ 0） =2．∴ a+1+H （ x ）≤ a+3． a ≤﹣ 3 时， f （ x ）≥ g （ x ）在[0， 1）上恒成立． a>﹣ 3 时， f （ x ）≥ g （ x ）在 [0， 1）上不恒成立．f （ x ）﹣ g（ x ）≤=﹣x∈ [0， 1）时， v′（x）≤0，故 v（ x）在[0，1）上是减函数，v（ x）∈（ a+1+2cos1， a+3]．a>﹣3 时，a+3> 0．x0∈（0， 1 ），使得v（x0）> 0，此时，f（x0）< g（x0）．即f（x）≥g（ x）在[0， 1）不恒成立．综上实数 a 的取值范围是（﹣∞，﹣ 3]．四、请考生在22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分何证明选讲22．如图，AB 是圆 O 的直径，弦CE交AB于D，CD=4 ， DE=2 ， BD=2．（ I ）求圆O 的半径R；（Ⅱ）求线段BE 的长．（ I ）由相交弦定理可得CD?DE=AD?DB，求出 AD，即可求圆O的半径 R；cos∠ DOE，即可求线段BE的长．（ I ）由相交弦定理可得CD?DE=AD?DB，CD=4 ， DE=2 ， BD=2，4 × 2 =2AD，AD=8AB=10，O 的半径R=5；ODE中， DE=2 ， OD=3， OE=5，cos∠ DOE= = ，BE= = ．选修 4-4 ：坐标系与参数方程23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平令v（ x）= = ，则v′（. 选修 4-1 ：几x 轴的正半面直角坐标系的原点，极轴为轴，建立平面直角坐标系，直l 的参数方程是（ t 是参数）（ 1 ）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ 2）若直线l 与曲线C相交于A、 B 两点，且|AB|= ，求直线的倾斜角α的值．1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线 C 的直角坐标方程；2）先将直l 的参数方程是（ t 是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣ t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（ 1 ）∵ρcosθ =x，ρsinθ =y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：2ρ =4ρ cosθ，∴ x2+y2=4x，∴（x﹣ 2）2+y2=4．2）将代入圆的方程（x﹣ 2）2+y2=4得：( tcosα﹣ 1 ) 2+( tsinα)2=4，化简得t2﹣ 2tcos α﹣3=0．设A、 B 两点对应的参数分别为t1、 t2，则，∴ |AB|=|t1﹣ t2|= = ，∵ |AB|= ，∴=．cos[0，∴直线的倾斜角或．选修 4-5 ：不等式选讲24．关于 x的不等式lg（ |x+3| ﹣ |x﹣ 7|）＜m．（Ⅰ）当m=1 时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（ |x+3|﹣|x﹣7|），当 m 为何值时，f（x）< m 恒成立？【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）当m=1 时，原不等式可变为 0< |x+3|﹣ |x﹣7|< 10，通过两边平方和绝对值不等式的性质，即可得到解集；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则0< t≤10，f（x）< m 恒成立，只需m> f（x）max，求得最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）当m=1 时，原不等式可变为0< |x+3|﹣ |x ﹣ 7|< 10，由 |x+3|> |x﹣ 7|，两边平方，解得，x> 2，由于 ||x+3|﹣ |x﹣ 7||≤ |（ x+3）﹣（x﹣ 7） |=10，即有﹣10≤ |x+3|﹣ |x﹣ 7|≤ 10，且x≥ 7 时，|x+3|﹣ |x﹣ 7|=x+3﹣（x﹣ 7） =10．则有2< x< 7．故可得其解集为{x|2< x< 7}；（Ⅱ）设t=|x+3|﹣ |x﹣ 7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知，0< t≤ 10，因 y=lgx 在（0， +∞）上为增函数，则lgt≤ 1 ，当t=10，即x=7时， lgt=1 为最大值，故只需m> 1 即可，即m> 1 时，f（ x）< m 恒成立．2016 年 9 月 3 日。
2020-2021学年高三数学(理科)高三毕业模拟考试试题及答案解析
最新普通高中毕业班模拟考试理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若全集U=R ，集合{}124xA x =<<，{}10B x x =-≥，则U A B I ð＝（A ）{}12x x << （B ）{}01x x <≤ （C ）{}01x x << （D ）{}12x x ≤< （2）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若i a -与2i b +互为共轭复数，则()2i =a b +（A ）3+4i （B ）5+4i （C ）34i - （D ）54i - （3）下列说法中正确的是（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:,10p x x x ∃∈-->R ，则2:,10p x x x ⌝∀∈--<R（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠” （4）已知()f x 在R 上是奇函数,且满足()()4f x f x +=,当()0,2x ∈时,()22f x x =，则()7f =（A ） 2 （B ）2- （C ）98- （D ）98 （5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A ）()22-，（B ）()40-，（C ）()44--，（D ）()08-，（6）各项均为正数的等差数列{}n a 中，3694=a a ，则前12项和12S 的最小值为（A ）78 （B ）48 （C ）60（D ）72（7）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个 几何体的体积为 （A ）312π（B ）36π（C ）34π（D ）33π （8）已知3sin 5ϕ=，且2ϕπ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图像 的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 （A ）35- （B ）45- （C ）35 （D ）45（9）若实数,x y 满足约束条件220,240,2,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则x y 的取值范围是（A ）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（C ）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（D ）[]1,2（10）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，若2FB FA =uu r uu r，则此双曲线的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）5 （11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有（A ） 150种 （B ） 180种 （C ） 240种 （D ）540种 （12）已知ABC ∆的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为()()()0,1,2,0,0,2-，O 为坐标原点，动点P 满足1CP =uu r ，则OA OB OP ++uu r uu u r uu u r的最小值是（A 1 （B 1 （C 1 （D 1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知向量a ，b 满足||4=b ，a 在b 方向上的投影是12，则=g a b ． （14）已知()1cos 3θ+π=-，则sin 22θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（15）102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180，则a =．（16）已知()y f x =为R 上的连续可导函数，且()()0xf x f x '+>，则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为___________．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*n ∈N ，都有()21n n S n a =+． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）若数列4(2)n n a a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为nT ,求证：112n T ≤<.（18）(本小题满分12分)如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=o ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（Ⅰ）证明：MN ⊥平面11ADD A ； （Ⅱ）求二面角1A A M N --的余弦值．（19）（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立． （Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221221x y C a b +=：()1a b >≥的离心率2e =，且椭圆1C 上一点M 到点()30，Q 的距离的最大值为4． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程；（Ⅱ）设1016A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，N 为抛物线22x y C =：上一动点，过点N 作抛物线2C 的切线交椭圆1C 于B ，C 两点，求ABC ∆面积的最大值．（21）（本小题满分12分）已知函数()e xf x ax =-（e 为自然对数的底数，a 为常数）在点()0,1处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，2e x x <；（III ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2e x x c <.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆O 与BC 交于点E ． （Ⅰ）求证：BC CE AD DB ⋅=⋅；（Ⅱ）若4BE =，点N 在线段BE 上移动，90ONF ∠=o ,NF 与O e 相交于点F ，求NF 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2C ：cos 3sin x a y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数，0a >)．（Ⅰ）若曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在x 轴上，求a 的值；（Ⅱ）当3a =时，曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()||||f x x m x =-+，*m ∈N ，存在实数x 使()2f x <成立． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）若,1αβ>，()()2f f αβ+=，求证：4192αβ+≥．参考答案。
2020-2021学年高考数学理科全真模拟试题及答案解析
最新高考数学全真模拟试卷（理科）（五）一、选择题1．计算+（2﹣i）2等于（）A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i2．若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤14．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A． B． C．D．5．一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．56 D．646．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ8．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．59．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（）A．B．C．D．10．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B．4e2C．2e2D．e211．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2）D．[，）二、填空题13．已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=______．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为______．15．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=______．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于______．三、解答题17．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2（Ⅰ）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的最值．18．（12分）（2016•陕西模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．19．（12分）（2016•陕西模拟）某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？品质优质品数量合格品数量季节夏秋季生产26 8春冬季生产12 4（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．B1B2A1 a bA2 c d参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，P（（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997，X2=0.100 0.050 0.010p（x2≥k0）k0 2.706 3.841 6.63520．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•陕西模拟）如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•陕西模拟）已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•陕西模拟）已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题1．计算+（2﹣i）2等于（）A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】同乘分母共轭复数，（2﹣i）2去括号，化简即可．【解答】解：+（2﹣i）2=﹣i（1+i）+4﹣1﹣4i=4﹣5i，故选：A．【点评】本题考查了复数的四则运算．2．若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由两角和与差的三角函数公式可得sinβ=﹣m，结合角β的象限，再由同角三角函数的基本关系可得．【解答】解：∵sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，∴sin[（α﹣β）﹣α]=﹣sinβ=m，即sinβ=﹣m，又β为第三象限角，∴cosβ＜0，由同角三角函数的基本关系可得：cosβ=﹣=﹣故选B【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A． B． C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．5．一个简单组合体的三视图及尺寸如右图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．56 D．64【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得几何体是简单组合体，且可求出几何体的各棱长，再利用几何体的体积公式求出该组合体的体积及即可．【解答】解：由几何体的三视图知，该几何体是由两个长方体叠加构成的简单组合体，且下面的长方体长为6mm，宽为4mm，高为1mm，则体积为24（mm）3，上面长方体长为2mm，宽为4mm，高为5mm，则体积为40（mm）3，则该组合体的体积为64（mm）3，故选D．【点评】本题考查由三视图得到几何体的体积，注意三视图中的等价量：正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽．6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．7．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由m⊂α，m⊥γ，知α⊥γ，由β∩γ=l，知l⊂γ，故l⊥m．【解答】解：∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ，∵β∩γ=l，∴l⊂γ，∴l⊥m，故A一定正确．故选A．【点评】本题考查平面的基本性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．8．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．5【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC|=5n mile．故选：D．【点评】本题考查正弦定理的运用，确定三角形模型是关键．9．口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，则两次取出的球颜色不同的概率是（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出能两次取出的球颜色不同的概率．【解答】解：∵口袋里装有红球、白球、黑球各1个，这3个球除颜色外完全相同，有放回的连续抽取2次，每次从中任意地取出1个球，∴基本事件总数n==9，能两次取出的球颜色不同包含的基本事件个数m==6，∴能两次取出的球颜色不同的概率p===．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A． B．4e2C．2e2D．e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x轴，与y轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e2）∴f（x）|x=4=e2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．【点评】此题主要考查利用导数求曲线上点切线方程，解此题的关键是对曲线y=能够正确求导，此题是一道基础题．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，然后利用向量模的运算性质求得||的最小值．【解答】解：∵=0，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∴AC为△ABC外接圆直径，如图，设坐标原点为O，则==，∵P是圆x2+y2=4上的动点，∴，∴||=．当与共线时，取得最小值5．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了直线与圆位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．12．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，] B．（﹣∞，]C．（，2）D．[，）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．，当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）≥1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得综上所述，a的取值范围是．故选：A．【点评】此题考查学生会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件．二、填空题13．已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a= 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z=a+1=3，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，1），∵a＞1，∴﹣1＜﹣＜0，∴z=x+ay看化为：y=﹣x+，结合图象直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是z=a+1=3，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c ．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；令g（x）=，则g′（x）=，当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立；∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∵1＜m＜2，∴2＜2m＜4，0＜＜1，∴a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．【点评】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．15．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k= 1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB斜率为k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令k MA•k MB=﹣1列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx﹣k．联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=﹣4．∵•=0，∴MA⊥MB，∴k MA•k MB=﹣1．即=﹣1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，∴﹣4﹣+4+1+2++1=0，解得k=1．故答案为：1．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于 3 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该汽车第n年的营运费为a n，万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该汽车使用了n年的营运费用总和为T n=n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9，∴年平均盈利额P=10﹣（n+）当n=3时，年平均盈利额取得最大值4，故答案为：3．【点评】本题主要考查与数列有关的应用问题，根据条件利用等差数列的通项公式求出盈利总额的表达式是解决本题的关键．三、解答题17．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2（Ⅰ）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值（Ⅱ）若x∈[0，]，求f（x）的最值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x﹣）﹣1，由三角函数定义可取α=﹣，代值计算可得f（α）；（Ⅱ）由x∈[0，]和不等式的性质以及三角函数值域可得．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2=2sinxcosx+2sin2x﹣2=sin2x﹣cos2x﹣1=2sin（2x﹣）﹣1，∵点P（，﹣1）在角α的终边上，∴tanα==﹣，可取α=﹣∴f（α）=2sin（﹣﹣）﹣1=﹣3；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，∴f（x）的最小值为﹣2，最大值为1．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的定义和三角函数的最值，属中档题．18．（12分）（2016•陕西模拟）如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）求直线AB′与平面BEC′所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由△ACE和△A′C′E是等腰直角三角形得∠A′EC′=∠AEC=45°，于是C′E⊥CE，结合C′E⊥BE得出C′E⊥平面BCE；（2）证明BC⊥平面ACC′A′得出AC⊥BC，以C为原点建立空间直角坐标系，设AC=1，求出和平面BC′E的法向量，则直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（1）在矩形ACC′A′中，∵E是AA′的中点，AA′=2AC，∴EA=AC=EA′=A′C′，∴∠A′EC′=∠AEC=45°，∴∠CEC′=90°．即C′E⊥CE．又C′E⊥BE，CE⊂平面BCE，BE⊂平面BCE，BE∩CE=E，∴C′E⊥平面BCE．（2）∵C′E⊥平面BCE，BC⊂平面BCE，∴C′E⊥BC，又CC′⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴CC′⊥BC，又C′E，CC′⊂平面ACC′A′，C′E∩CC′=C′，∴BC⊥平面ACC′A′，又AC⊂平面ACC′A′，∴BC⊥AC．以C为原点，以CA，CB，CC′为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：设AC=BC=1，则CC′=2．∴A（1，0，0，），B（0，1，0），B′（0，1，2），E（1，0，1），C′（0，0，2）．∴=（﹣1，1，2），=（1，﹣1，1），=（0，﹣1，2）．设平面BC′E的法向量为=（x，y，z）．则．∴，令z=1，得=（1，2，1）．∴=3，||=，||=，∴cos＜＞==．∴直线AB′与平面BEC′所成角的正弦值为，∴直线AB′与平面BEC′所成角为30°．【点评】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题．19．（12分）（2016•陕西模拟）某设备在正常运行时，产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，为了检验设备是否正常运行，质量检查员需要随机的抽取产品，测其质量．（1）当质量检查员随机抽检时，测得一件产品的质量为504g，他立即要求停止生产，检查设备，请你根据所学知识，判断该质量检查员的决定是否有道理，并说明你判断的依据．进而，请你揭密质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准：（2）请你根据以下数据，判断优质品与其生产季节有关吗？品质优质品数量合格品数量季节夏秋季生产26 8春冬季生产12 4（3）该质量检查员从其住宅小区到公司上班的途中要经过6个红绿灯的十字路口，假设他在每个十字路口遇到红灯或绿灯是互相对立的，并且概率均为，求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．B1B2A1 a bA2 c d参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.683，P（（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954，P（（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997，X2=0.100 0.050 0.010p（x2≥k0）k0 2.706 3.841 6.635【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；独立性检验的应用．【分析】（1）P（m＞500+3σ）=0.0015，可得m＞500+3σ的事件是小概率事件，利用P（497＜m＜503）=0.997，可得质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准；（2）利用公式，计算X2，可得结论；3）该质量检查员在上班途中遇到红灯的次数为Y，则X～B（6，），利用公式，即可求该质量检查员在上班途中遇到红灯的期望和方差．【解答】解：（1）∵产品的质量m～N（μ，σ2），其中μ=500g，σ2=1，504∈（500+3σ，+∞），P（m＞500+3σ）=0.0015∴m＞500+3σ的事件是小概率事件，∴该质量检查员的决定有道理．∵P（497＜m＜503）=0.997，∴质量检查员做出“要求停止生产，检查设备”的决定时他参照的质量参数标准为m＜497或m ＞503；（2）X2==0.0129＜2.706，∴没有充足的理由认为优质品与其生产季节有关；（3）该质量检查员在上班途中遇到红灯的次数为Y，则X～B（6，），∴EX=6×=2，DX=6×=．【点评】本题考查正态分布，考查独立性检验，考查期望和方差，知识综合性强．20．（12分）（2016•长春二模）椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（4分）（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，则，，假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），则，，，即，即，，即6nt﹣9+n2+（4﹣m）2=0，若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．（12分）【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆方程的求法，直线与圆锥曲线的相关知识，以及恒过定点问题．本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求．21．（12分）（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）将m=1代入函数表达式，通过讨论函数的单调性证明结论即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围确定函数的零点即可．【解答】证明：（1）m=1时，令g（x）=f（x）﹣，（﹣1＜x≤0），则g′（x）=，当﹣1＜x≤0时，﹣x3≥0，1+x＞0，∴g′（x）≥0，g（x）递增，∴g（x）≤g（0）=0，故f（x）≤①；解：（2）f′（x）=，②，令f′（x）=0，解得：x1=0或x2=m﹣，（i）m=1时，x1=x2=0，由②得f′（x）=③，∴x＞﹣1时，1+x＞0，x2≥0，∴f′（x）≥0，f（x）递增，∴﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，故函数y=f（x）在x＞﹣1上有且只有1个零点x=0；（ii）0＜m＜1时，m﹣＜0，且﹣＜m﹣，由②得：x∈（﹣，m﹣]时，1+mx＞0，mx＜0，x﹣（m﹣）≤0，此时，f′（x）≥0，同理得：x∈（m﹣，0]时，f′（x）≤0，x≥0时，f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣，m﹣]，（0，+∞）递增，在（m﹣，0]递减，故m﹣＜x＜0时，f（x）＞f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，∴f（x）在（m﹣，+∞）有且只有1个零点x=0，又f（m﹣）=lnm2﹣（m2﹣），构造函数ω（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则ω′（t）=④，易知：∀t∈（0，1），ω′（t）≤0，∴y=ω（t）在（0，1）递减，∴ω（t）＞ϖ（1）=0，由0＜m＜1得：0＜m2＜1，∴f（m﹣）﹣ln（m2）﹣（m2﹣）＞0⑤，构造函数k（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则k′（x）=，0＜x＜≤1时，k′（x）≥0，x＞1时，k′（x）＜0，∴k（x）在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，∴k（x）≤k（1）=0，∴ln≤﹣1＜+1，则＜m2，＜m﹣，∴﹣＜x＜时，m（1+mx）＜﹣﹣1⑥，而﹣mx＜x2﹣mx＜+1⑦，由⑥⑦得f（x）=ln（1+mx）+﹣mx＜﹣﹣1++1=0⑧，又函数f（x）在（﹣，m﹣]递增，m﹣＞，由⑤⑧和函数零点定理得：∃x0∈（﹣，），使得f（x0）=0，综上0＜x＜＜1时，函数f（x）有2个零点，m=1时，f（x）有1个零点．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查不等式的证明以及函数的零点问题，是一道综合题．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•陕西模拟）如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明：△PED∽△PAE；（2）利用相似三角形的性质，结合PE=2，求PA长．【解答】（1）证明：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，∵在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，∴△PED∽△PAE；（2）解：∵△PED∽△PAE，∴=，∴PE2=PA•PD．设AD=x∵PD=2DA，∴PA=3x，PD=2x，∴6x2=（2）2，∴x=2∴PA=6．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查学生的计算能力，正确判断三角形相似是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．（2016•陕西模拟）已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M（﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1+t2=2（sinα+cosα），t1t2=﹣2．∴||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|=2|sinα+cosα|=2||，∴||MB|﹣|MC||的最大值为2．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标、三角函数求值、参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•陕西模拟）已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．综上所述，x＜﹣4或x＞2，∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}；（2）∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，∴a2﹣2a﹣3≥0，∴a≥3或a≤﹣1，﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a≥3．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，正确转化是关键．。
2020-2021学年高三数学（理科）第一次高考模拟考试试题及答案解析
2020-2021学年⾼三数学（理科）第⼀次⾼考模拟考试试题及答案解析@学⽆⽌境！@绝密★启⽤前试卷类型：A 最新第⼀次⾼考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和⾮选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考⽣要务必填写答题卷上的有关项⽬。
2．选择题每⼩题选出答案后，⽤2B 铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3．⾮选择题必须⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题⽬指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使⽤铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案⽆效。
4．考⽣必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）⼀.选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数i215-（i为虚数单位）的虚部是（）A. 2iB. 2i -C. 2-D. 22. 下列函数在其定义域上既是奇函数⼜是减函数的是（）A ．()2x f x =B ．()sin f x x x =C ．1()f x x =D ．()||f x x x =- 3.已知()=-παcos 12，πα-<<，则tan α=（）A.B.C. D.4.设双曲线2214y x -=上的点P到点的距离为6，则P点到(0,的距离是（）@学⽆⽌境！@A ．2或10 B.10 C.2 D.4或85. 下列有关命题说法正确的是（）A. 命题p ：“sin +cos =2x x x ?∈R ，”，则?p 是真命题 B ．21560x x x =---=“”是“”的必要不充分条件 C ．命题2,10x x x ?∈++的否定是：“210x x x ?∈++D ．“1>a ”是“()log (01)(0)a f x x a a =>≠+∞，在，上为增函数”的充要条件6. 将函数-=32sin )(πx x f 的图像向右平移3π个单位得到函数)(x g 的图像,则)(x g 的⼀条对称轴⽅程可以为（） A. 43π=x B. 76x π= C. 127π=x D. 12π=x 7．2015年⾼中⽣技能⼤赛中三所学校分别有3名、2名、1名学⽣获奖，这6名学⽣要排成⼀排合影，则同校学⽣排在⼀起的概率是（）A ．130 B ．115 C ．110 D ．158．执⾏如图8的程序框图，若输出S 的值是12，则a 的值可以为（）A ．2014B ．2015C ．2016D ．20179．若某⼏何体的三视图(单位：cm )如图所⽰，则该⼏何体的体积（）A.310cmB.320cmC.330cmD.340cm10．若nx x ??? ?-321的展开式中存在常数项，则n 可以为（） A ．8 9 C ．10 D. 11 11．=∠=?==?C CA A B CA BC ABC 则中在,60,6,8, （）A ．?60B ．C ．?150D ．?120 12. 形如)0,0(||>>-=b c cx by 的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其⽣动地称为“囧函数”．若函数()()2log 1a f x x x =++)1,0(≠>a a 有最⼩值，则当,c b 的值分别为⽅程222220x y x y +--+=中的,x y 时的“囧函数”与函数||log x y a =的图像交点个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．6第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）⼆.填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题 5分，共20分.13．⼀个长⽅体⾼为5，底⾯长⽅形对⾓线长为12，则它外接球的表⾯积为@学⽆⽌境！@14．如图，探照灯反射镜的纵截⾯是抛物线的⼀部分，光源在抛物线的焦点F 处，灯⼝直径AB 为60cm ，灯深（顶点O 到反射镜距离）40cm ，则光源F 到反射镜顶点O 的距离为15.已知点()y x P ,的坐标满⾜条件>-+≤≤02221y x y x ，那么()221y x ++的取值范围为 16．CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===?且的⼀个三等分点为中在，则B cos =三.解答题：本⼤题共5⼩题，每题12分共60分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.17．（本⼩题满分12分）已知{}n b 为单调递增的等差数列，168,266583==+b b b b ,设数列{}n a 满⾜n b n n a a a a 2222233221=++++(1)求数列{}n b 的通项； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。
2020-2021年高三数学理科模拟试卷
高三理科模拟试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则B. D.2. 设，则A. C.3. 已知，，，则A. B. C. D.4. 下列有关命题说法正确的是A. 命题：“，”，则是真命题B. “”是“”的必要不充分条件C. 命题“，使得”的否定是：“，”D. “”是“在上为增函数”的充要条件5. 已知对任意实数，有，，且时，，，则时A. B.C. D.6. 刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心，圆的半径为，现随机向圆内段放粒豆子，其中有粒豆子落在正十二边形内（，），则圆周率的近似值为D.7. 在平面直角坐标系中，已知四边形，则A. B. C. D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为A. B.C. D.9. 在等比数列中，，前 项和为 ，若数列 也是等比数列，则等于A.B.C.D.10. 已知点 是抛物线上的一个动点，则点 到点 的距离与 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 B.C.11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③12. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为( )A.3π8B.3π2二、填空题（共4小题；共20分） 13. 在曲线 上求一点 ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为，则 点坐标为 ．14. 加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为 、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 ．15. 已知向量序列：，，，，， 满足如下条件：，且（）．若，则 ；，， 中第 项最小．16.已知抛物线 的准线方程为 ，焦点为 ， 、 、 为该抛物线上不同的三点， 、 、 成等差数列，且点 在 轴下方，若，则直线的方程为 ．三、解答题：共70分。
2020-2021学年高考数学理科模拟诊断试题及答案解析
最新高考数学三诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．23．已知a=30.6，b=log2，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0．A．0 B．1 C．2 D．35．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．直线l：kx﹣y+1=0被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A． B．3 C． D．27．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．108．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos（2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．﹣1 D．09．在区间[﹣1，1]内任取两个数x、y，记事件“x+y≤1”的概率为p1，事件“|x﹣y|≤1”的概率为p2，事件“y≤x2”的概率为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p1＜p3＜p2D．p3＜p2＜p110．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．πD．5π11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（，3）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t=______．14．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于______．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为______．16．△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD=______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n﹣4（n∈N*）（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项，证明：1≤T n＜（n∈N*）．18．某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市 A B C D E4S店个数x 3 4 6 5 2销量y（台）28 29 37 31 25（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．（=，=﹣）．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC 的中点O．（Ⅰ）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．20．如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设U=R，若集合A={0，1，2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩∁U B=（）A．{0，1} B．{0，2} C．{1，2} D．{0，1，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，则∁U B={x|﹣1≤x≤3}，则A∩∁U B={0，1，2}，故选：D2．已知复数z满足z（1+i）=i2016，则|z|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z（1+i）=i2016，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算即可得答案．【解答】解：由z（1+i）=i2016，得==．则|z|=．故选：B．3．已知a=30.6，b=log2，c=cos300°，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】分别估算每个数的大小，然后比较．【解答】解：a=30.6＞1，b=log2＜0，c=cos300°=cos60°=0.5＞0，故b＜c＜a；故选B．4．下列命题中真命题的个数为（）①两个变量x，y的相关系数r越大，则变量x，y的相关性越强；②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数为31种．③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据相关性系数的性质进行判断，②利用排列组合的公式进行求解即可③根据全称命题的否定是特称命题进行判断．【解答】解：①两个变量x，y的相关系数|r|越大，则变量x，y的相关性越强，故①错误，②从4个男生3个女生中选取3个人，则至少有一个女生的选取种数﹣=35﹣4=31种，故②正确，③命题p：∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0的否定为¬p：∃x0∈R，x02﹣2x0﹣1≤0，正确，故③正确，故正确的是②③，故选：C．5．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】循环结构．【分析】根据输入A的值，然后根据S进行判定是否满足条件S≤2，若满足条件执行循环体，依此类推，一旦不满足条件S≤2，退出循环体，求出此时的P值即可．【解答】解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C6．直线l：kx﹣y+1=0被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为（）A． B．3 C． D．2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆截得的弦最短，由弦长公式求出即可．【解答】解：由x2+y2﹣4y=0得x2+（y﹣2）2=4，∴圆心坐标是C（0，2），半径是2，∵直线l：kx﹣y+1=0过定点P（0，1），且在圆内，∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣4y=0截得的最短弦长为2=2，故选：A．7．已知x、y满足，则z=|3x+y|的最大值为（）A．1 B．6 C．7 D．10【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，确定目标函数经过的点，利用几何意义求出目标函数的最大值，【解答】解：作出不等式组表示的可行域如图：目标函数z=|3x+y|经过可行域内的点A时，z最大，可得A（3，1）时，取得最大值|3×3+1|=10．故选：D．8．已知f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），对任意x都有f（x）≤f（）=2，则g（x）=Acos （2x+ϕ）在区间[0，]上的最大值与最小值的乘积为（）A．B．C．﹣1 D．0【考点】三角函数的最值．【分析】求出f（x）的表达式，从而求出g（x）的表达式，根据三角函数的性质求出g（x）的最大值和最小值即可，从而求出其乘积即可．【解答】解：f（x）=Asin（2x+ϕ），（A＞0，|ϕ|＜），若对任意x都有f（x）≤f（）=2，则A=2，f（）=2sin（2×+φ）=2，∴φ=，∴g（x）=2cos（2x+），x∈[0，]，2x+∈[，]，∴2x+=时，g（x）最大，最大值是，2x+=π时，g（x）最小，最小值是﹣2，故g（x）max•g（x）min=﹣2，故选：A．9．在区间[﹣1，1]内任取两个数x、y，记事件“x+y≤1”的概率为p1，事件“|x﹣y|≤1”的概率为p2，事件“y≤x2”的概率为p3，则（）A．p1＜p2＜p3B．p2＜p3＜p1C．p1＜p3＜p2D．p3＜p2＜p1【考点】几何概型．【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）则阴影部分的面积S1=4﹣=，S2=4﹣×2=3，S3==（）=，∴S3＜S2＜S1，即P3＜P2＜P1，故选：D．10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．2πB．4πC．πD．5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，结合直观图判断外接球球心的位置，求出半径，代入球的表面积公式计算即可．【解答】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱垂直于底面，高为1，底面为等腰直角三角形，斜边长为2，如图：∴△ABC的外接圆的圆心为斜边AC的中点D，OD⊥AC，且OD⊂平面SAC，∵SA=1，AC=2，∴SC的中点O为外接球的球心，∴半径R=，∴外接球的表面积S=4π×=5π．故选：D．11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），焦距为2c，若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则双曲线的离心率的范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．（1，2）D．（，3）【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质结合直线和双曲线的位置关系，得到直线斜率和渐近线斜率之间的关系即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标F1（﹣c，0），F2（c，0），则直线l1：y=（x﹣c）过双曲线的右焦点F2（c，0），l2：y=2（x+c）过双曲线的左焦点F1（﹣c，0），若l1：y=（x﹣c）与C的左右两支交于一点，则直线的斜率满足．l2：y=2（x+c）与C的左支交于两点，则直线的斜率2满足＜2，即＜＜2，则离心率e===，∵＜＜2，∴3＜（）2＜8，4＜1+（）2＜9，则2＜＜3，即2＜e＜3，故离心率的取值范围是（2，3），故选：B12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），对定义域内的任意x，都有2f（x）+xf'（x）＜2成立，则使得x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4成立的x的范围为（）A．{x|x≠±2} B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，进行求解即可．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf'（x）＜2得2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣4f（2）＜x2﹣4∴x2f（x）﹣x2＜4f（2）﹣4即g（x）＜g（2），∵f（x）是偶函数，∴g（x）=x2f（x）﹣x2也是偶函数，则不等式g（x）＜g（2）等价为g（|x|）＜g（2），即|x|＞2；则x＞2或x＜﹣2，即实数x的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故选：C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知=（3，﹣4），=（3，t），向量在方向上的投影为﹣3，则t= 6 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据投影的定义即可求出．【解答】解：∵=（3，﹣4），=（3，t），∴•=9﹣4t，||=5，∵向量在方向上的投影为﹣3，∴==﹣3，解得t=6，故答案为：614．已知（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则其展开式各项系数之和等于729 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，可得n=6．令x=1，即可得出．【解答】解：∵（x+）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，∴n=6．令x=1，可得：则其展开式各项系数之和=36=729．故答案为：729．15．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=3，直线AD1，DC1所成角的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD1，DC1所成角的正弦值．【解答】解：取四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为直棱柱，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=1，AA1=3，∴A（1，0，0），D1（0，0，3），D（0，0，0），C1（0，1，3），=（﹣1，0，3），=（0，1，3），设直线AD1，DC1所成角为θ，cosθ===，∴sinθ==．∴直线AD1，DC1所成角的正弦值为．故答案为：．16．△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，D在BC边上，AD=BD，则AD= ．【考点】三角形中的几何计算．【分析】在△ABC中，根据条件的正弦定理求出角B、C，由边角关系和内角和定理求出∠BAD、∠ADB，在△ABD中，由正弦定理和特殊角的三角函数值求出AD．【解答】解：如图所示：∵在△ABC中，∠A=π，AB=2，BC=，∴由正弦定理得，则sin∠C===，∵∠A是钝角，且0＜∠C＜π，∴∠C=，则∠B=π﹣∠A﹣∠C==，∵AD=BD，∴∠BAD=∠B=，则∠ADB=π﹣∠B﹣∠BAD=，在△ABD中，由正弦定理得，∴AD====，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n+n﹣4（n∈N*）（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{}的前n项，证明：1≤T n＜（n∈N*）．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）当n≥2时利用a n=S n﹣S n﹣1计算可知a n=2a n﹣1﹣1，进而可构造首项、公比均为2的等比数列{a n﹣1}，计算即得结论；（2）通过（1）放缩可知＜，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】（1）解：∵S n=2a n+n﹣4，∴当n=1时，a1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n+n﹣4）﹣（2a n﹣1+n﹣5），即a n=2a n﹣1﹣1，变形，得：a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），∴数列{a n﹣1}是首项、公比均为2的等比数列，∴a n﹣1=2n，即a n=1+2n；（2）证明：由（1）可知：=＜，当n≥2时，T n＜1++…+=﹣＜，又∵T n≥T1=1，∴1≤T n＜（n∈N*）．18．某汽车公司为调查4S店个数与该公司汽车销量的关系，对同等规模的A，B，C，D，E五座城市的4S店一季度汽车销量进行了统计，结果如下；城市 A B C D E4S店个数x 3 4 6 5 2销量y（台）28 29 37 31 25（1）根据该统计数据进行分析，求y关于x的线性回归方程；（2）现要从A，B，E三座城市的9家4S店中选取4家做深入调查，求A城市中被选中的4S店个数X的分布列和期望．（=，=﹣）．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）X的取值为0，1，2，3，分别计算各取值的概率，得出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由==4，==30，==2.7，=﹣=30﹣2.7×4=19.2，y关于x的回归方程为=2.7x+19.2，（2）X的可能取值0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，A城市中被选中的4S店个数X的分布列：X 0 1 2 3PA城市中被选中的4S店个数X的期望E（X），E（X）=0×+1×+2×+3×=，E（X）=．19．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O．（Ⅰ）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（Ⅱ）求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以，OE⊥BB1，证明BC⊥OE，可得结论，AE=；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面B1CC1的一个法向量、平面A1B1C的法向量，利用向量的夹角公式求二面角A1﹣B1C﹣C1的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以，OE ⊥BB1因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，所以OE⊥平面BB1CC又AO==1，AA1=得AE==．（Ⅱ）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）由=，得点E的坐标是（，0，），由（Ⅰ）知平面B1CC1的一个法向量为=（，0，）设平面A1B1C的法向量是=（x，y，z），由得可取=（2，1，﹣1），所以cos＜，＞==．20．如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2（1）求k1k2的值；（2）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若=λ，求λ的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣ty﹣1=0，从而求出=0，由此能求出k1k2．（2）设直线MA：y=k1x﹣1，直线MB：y=﹣x﹣1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（﹣，﹣1），E（，），由此能求出λ的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），E（x3，y3），E（x4，y4），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣ty﹣1=0，=（x1，y1+1），=（x2，y2+1），=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=0，∴⊥，∴k1k2=﹣1．（2）设直线MA：y=k1x﹣1，直线MB：y=﹣x﹣1，联立，得A（），联立，得D（，），同理，得B（﹣，﹣1），E（，），=（），=（﹣，），=（，），=（，），∴S1=||，S2=|×+×|=，∴λ==（4k12++17）≥．当且仅当，即k1=±1时，取等号，∴λ的取值范围[，+∞）．21．已知f（x）=（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a，g（x）=．（1）若a=1，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e2]上方程f（x）=g（x0）总存在两个不等的实数根，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的范围，得到f（x）=g（x0）⇔（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0）=2lnx，记h（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x﹣2（1+lnx）+1，f′（x）=1﹣=，f（1）=0，f′（1）=﹣1，故切线方程是：y=﹣x+1；（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x，g（x）在（0，1）递增，在（1，e）递减，而g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）∈（0，1]，f（x）=g（x0）⇔（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0）=2lnx，记h（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣g（x0），h（1）=﹣g（x0）＜0，h′（x）=（2﹣a）﹣，①a≥2﹣时，h（x）在（0，e2]递减，不可能有两个零点，②a＜2﹣时，h（x）在（0，）递减，在（，e2]递增，h（）＞a﹣2﹣（a﹣3）﹣g（x0）≥0，h（x）有2个零点，必有h（e2）≥0⇒a≤2﹣，综上：a≤2﹣．[选修4-1：几何选讲]22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt △DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）将ρ=4cosθ两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|．【解答】解：（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2=4整理得，∴，即t1，t2异号．∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，x，y满足a+b=1（1）求a2+2b2的最小值；（2）求证：（ax+by）（ay+bx）≥xy．【考点】不等式的证明．【分析】（1）方法一、求得0＜a＜1，化原式=3（a﹣）2+，由二次函数的最值求法，可得最小值；方法二、运用柯西不等式可得[a2+（b）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2，化简即可得到最小值；（2）将不等式的左边展开，合并，运用重要不等式x2+y2≥2xy，整理即可得证．【解答】解：（1）解法一、由a+b=1，可得b=1﹣a，且a＞0，b＞0，可得0＜a＜1，则a2+2b2=a2+2（1﹣a）2=3a2﹣4a+2=3（a﹣）2+，当a=∈（0，1）时，取得最小值；解法二、由柯西不等式可得（a2+2b2）（1+）=[a2+（b）2][12+（）2]≥（a•1+b•）2=（a+b）2=1，即有a2+2b2≥，当且仅当a=2b=，取得最小值；（2）证明：由正实数a，b，x，y满足a+b=1，可得（ax+by）（ay+bx）=abx2+aby2+a2xy+b2xy=ab（x2+y2）+（a2+b2）xy≥2abxy+（a2+b2）xy=xy（a2+b2+2ab）=xy（a+b）2=xy，则（ax+by）（ay+bx）≥xy．2016年10月5日。
2020-2021学年数学理科高考模拟试题及答案解析九
最新高考模拟训练试题理科数学(一)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页，满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米规格的黑色中性(签字)笔或碳索笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.4．保持卷面清洁，不折叠，不破损．笫I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,2,3,5,7,21,,M N x x k k M M N ===-∈⋂=则A.{}123，，B.{}135，，C.{}235，，D.{}1357，，， 2.i 为虚数，()2133ii -=+ A.1344i + B.1322i + C.1322i -- D.1344i -- 3.点()()1,0,0,1A B ，点C 在第二象限内，已知5,2,6AOC OC OC OA πλ∠===+uuu r uu r 且 OB μuu u r ，则λμ，的值分别是 A.13-， B.31-， C.13，- D.31-，4.ABC ∆中，“sin sin A B =”是“ABC ∆为等腰三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知,a b 表示两条直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若//,//,//a M b M a b 则；②若,,//,//b M a M a b a M ⊂⊄则；③若,,a b b M a M ⊥⊂⊥则；④若,//a M a b b M ⊥⊥则.A.0B.1C.2D.36.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为A.20122B.20132C.20142D.201312 7.若变量,x y 满足条件0,21,43y x y z x y x y ≥⎧⎪+≥=+⎨⎪+≤⎩则，的取值范围是A.(]3-∞，B.[)3+∞，C.[]03，D.[]13，8.已知函数()()21,0,1,0,x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则方程()()12log 1f x x =+的根的个数为 A.0B.1C.2D.39.已知定义在()3,3-上的函数()f x 满足()()()311,0f x f x x f x x -=--≥=且时，，则()()2710f x f x +->的解集为A.∅B.13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭10.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 A.12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C.2,13⎛⎫⎪⎝⎭ D.111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：将第II 卷答案用0.5mm 规格的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.设()[)[]()260,0,2,6,2,6,x x f x f x dx x x ⎧∈⎪==⎨-∈⎪⎩⎰则___________. 12.艺术节期间，秘书处派甲、乙、丙、丁四名工作人员分别到A,B,C 三个不同的演出场馆工作，每个演出场至少派一人.若要求甲、乙两人不能到同一演出场馆工作，则不同的分派方案有________种.13.若直线22680y kx x y x =+-+=与圆相切，且切点在第四象限，则k=_________.14.已知函数()214f x x ax b =+-+（,a b 为正实数）只有一个零点，则12a b +的最小值为__________.15.设M 是一个非空集合，#是它的一个代数运算（例如：+，×），如果满足以下条件： （I ）对M 中任意元素,,a b c ，都有()()####a b c a b c =；（II ）对M 中任意两个元素,a b ，满足#a b M ∈.则称M 对代数运算#形成一个“可#集合”.下列是“可#集合”的为__________.①{}2,1,1,2-- ②{}1,1,0- ③Z ④Q三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分） 已知向量()()()22cos ,3,1,sin 22a x b x f x a b ===⋅-函数. （I ）求函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角A,B,C 的对边，若()1,1,23,f C c ab a b ===>且，求边,a b 的值.17. （本小题满分12分）如图所示的几何体中，111ABC A B C -为正三棱柱，点D 在底面ABC 中，且12,3,DA DC AC AA E ====为棱11AC 的中点.（I ）证明：平面11AC D ⊥平面BDE;（II ）求二面角1C DE C --的余弦值.18. （本小题满分12分）为了响应低碳环保的社会需求，某自行车租赁公司打算在A 市设立自行车租赁点，租车的收费标准是每小时1元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为1142、，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为1124、，两人租车时间都不会超过三小时.（I ）求甲、乙两人所付租车费用不相同的概率；（II ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ.19. （本小题满分12分）将正奇数组成的数列{}n a ，按下表排成5列：（I ）求第五行到第十行的所有数的和；（II ）已知点()()()111222,,,,,,n n n A a b A a b A a b ⋅⋅⋅在指数函数2x y =的图象上，如果，以12,,,n A A A ⋅⋅⋅为一个顶点，x y 轴轴为邻边构成的矩形面积为12n ,12,,n S S S S S S ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+求的值n T .20. （本小题满分13分） 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线242x y =的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，离心率33e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M,N 两点.（I ）求椭圆C 的方程. （II ）是否存在直线l ，使得1?OM ON ⋅=-uuu r uuu r 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.（III ）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN//AB.是否存在,?AB MN λλ=使若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()1ln a x f x x e x-+==在处取得极值，,a t R ∈，且0t >. （I ）求a 的值；（II ）求函数()()()(]10,g x x f x t =-⋅在上的最小值； （III ）证明：对任意的()()11221212121,,x f x x f x x x x x t t x x -⎛⎫∈+∞≠< ⎪-⎝⎭，且，都有.。
2020-2021学年数学理科高考模拟试题及答案解析
最新高考数学模拟卷一.填空题(每小题4分。
共56分) 1.函数xxy -=2的定义域为.______________2．若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-723102y x ，则x y +=__________.3．不等式0111log 2<x的解集为___________ 4．若1sin 3x =，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则x = ．（结果用反三角函数表示）5．方程03|lg |=-+x x 实数解的个数________________6. 在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 7．若多面体的各个顶点都在同一球面上,则称这个多面体内接于球.如图，设长方体1111ABCD A BC D -内接于球O ，且2AB BC ==，122AA =，则A 、B 两点之间的球面距离为____________.8.已知x 是1、2、x 、4、5这五个数据的中位数，又知1-、5、1x-、y 这四个数据的 平均数为3，则x y +最小值为_________9、设55432123456(4)(2)(4)(2)(4)x a x a x a x a x a x a =-+-+-+-+-+, 其中126,,,a a a 均为实数, 则123456a a a a a a -+-+-=________10. 在三行三列的方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，, 从中任取三个数,则三个数中任两个不同行不同列的概率是. (结果用分数表示)11．在空间四边形ABCD 中，点E,F 分别是AC,BD 的中点AB=CD=6，AB 与CD 所成的角为60度，则EF 的长为___________12.定义点P 对应到点Q 的对应法则：)2,(),(:m n Q n m P f --→，)0,0(≥≥n m ，则按定义的对应法则f ，当点P 在线段AB 上从点)0,4(A 开始运动到点)4,0(B 时，可得到P 的对应点Q 的相应轨迹，记为曲线E ，则曲线E 上的点与线段AB 上的点之间的最小距离为 __________ 13.已知函数)0(|2cos|3)(≥=x x x f π，图象的最高点从左到右依次记为,,,,531 P P P 函数)(x f y =图象与x 轴的交点从左到右依次记为,,,,642 P P P 设n n n n n n P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P S )()()()(2114655435443243323221→++→+→→→→→→→→⋅++⋅+⋅+⋅+⋅= ,则.________)2(1lim=-+∞→nnn S14．把14-=n a n 中所有能被3或5整除的数删去，剩下的数自小到大排成一个数列{}n b ，则=2013b _____________ 二．选择题（每小题5分，共20分）15．等差数列}{n a 的前n 项和为12811,,,n S a d a a a ++当变化时若是一个定值，那么下列各数中也为定值的是（ ）A ．S 13B ．S 15C ．S 7D ．S 816．已知集合}C ,R ,02i {∈∈=+⋅-⋅=z b z b z bi z A ，C},1{∈==z z z B ，若A B =∅，则b 的取值范围是（ ）A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．()()1,00,1 -D ．[)(]1,00,1 -17．已知θ为三角形的一个内角，且θθθθcos sin ,21cos sin 22y x -=+则方程=1表示（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦在点y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线18．已知()y f x =是定义域为R 的单调函数，且122112,1,,11x x x x x x λλλαβλλ++≠≠-==++，若12|()()||()()|f x f x f f αβ-<-，则（ ）（A ）0λ< （B ）0λ= （C ）01λ<< （D ）1λ> 三．解答题.19．（本题满分12分，每小题各6分）已知函数2x x xf (x)sincos 3cos 333=+． （1）将f(x)写成Asin(x )h ω+ϕ+（A 0>）的形式，并求其图像对称中心的横坐标； （2）若函数)(x f 的定义域为)3,0(π=D ，求函数f(x)的值域.20.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，2==BC AP ，︒=∠30CBA ,E D ,分别是AP BC ,的中点.（1）求异面直线AC 与ED 所成的角的大小；（2）求PDE ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积.，，21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数()3=+x f x k (k 为常数)，(2,2)-A k 是函数1()-=y f x 图像上的点． （1）求实数k 的值及函数1()-=y f x 的解析式；（2）将1()-=y f x 的图像按向量a (3,0)=平移得到函数y=g(x)的图像．若12f (x m 3)g(x)1-+--≥对任意的0>x 恒成立，试求实数m 的取值范围．22．(本题满分16分，第1小题5分，第2小题5+6分)已知两点(1,0)A -、(1,0)B ，点(,)P x y 是直角坐标平面上的动点，若将点P 的横坐标保持不变、纵坐标扩大到2倍后得到点(,2)Q x y 满足1AQ BQ ⋅=． (1) 求动点P 所在曲线C 的轨迹方程； (2)过点B 作斜率为22-的直线l 交曲线C 于M N 、两点，且满足0OM ON OH ++=，又点H 关于原点O 的对称点为点G ，①求点G H ,的坐标；②试问四点M G N H 、、、是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．23. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分) 我们规定：对于任意实数A ，若存在数列{}n a 和实数(0)x x ≠，使得21123.....n n A a a x a x a x -=++++，则称数A 可以表示成x 进制形式，简记为：1231~()()().....()()-=n n A x a a a a a 。
2020-2021学年高考数学理科模拟试题及答案解析二
最新高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣4x＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞4或x＜0} B．{x|1＜x＜4} C．{x|1＜x≤4} D．{x|1≤x≤4}2．在斜三角形ABC中，“A＞”是“tanA＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知{a n}是公比大于1的等比数列，若2a1，a2，a3成等差数列，则=（）A．B．C．D．24．若实数x和y满足，则x2+y2的最小值是（）A．2 B．C．3 D．45．已知函数f（x）=a x﹣b的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长相等，若∠AA1B1=∠AA1C1=60°，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是（）A．B．C． D．7．若f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则下列不等式正确的是（）A．f（sinx）＞f（cosx）B．f（）＞f（x）C．f（）≥f（）D．f（）≥f（）8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A 在l上的射影为A1．若|AB|=|A1B|，则直线AB的斜率为（）A．±3 B．±2C．±2 D．±二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=______，cos2α=______，=______．10．已知函数f（x）=则f（f（﹣2））=______；若f（x）≥2，则实数x的取值范围是______．11．已知函数f（x）=2cos2x+cos（﹣2x），则函数f（x）的最小正周期是______，值域是______．12．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是______cm3，该几何体的表面积是______cm2．13．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P．若点P 的纵坐标为，则该双曲线的离心率是______．14．已知单位向量，的夹角为120°，|x+y|=（x，y∈R），则|x﹣y|的取值范围是______．15．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c．已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=sinAsinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinA的值．17．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC1⊥平面ABC，BC=CA=AC1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值．18．已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．19．已知函数f（x）=x2+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若|f（x）+b|≤3对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．20．在数列{a n}中，a1=a（a∈R），a n+1=（n∈N*），记数列{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若对任意的n∈N*，都有a n+1＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，求证：S n＜+1（n∈N*）．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A={x|x2﹣4x＞0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞4或x＜0} B．{x|1＜x＜4} C．{x|1＜x≤4} D．{x|1≤x≤4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A，然后求解（∁R A）∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣4x＞0}={x|x＞4或x＜0}，B={x|x＞1}，则（∁R A）∩B={x|0≤x≤4}∩{x|x＞1}={x|1＜x≤4}．故选：C．2．在斜三角形ABC中，“A＞”是“tanA＞1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“A＞”是“tanA＞1”的什么条件，只要判断，其中一个成立时，另一个是否也成立即可，我们可以利用举反例进行判断；【解答】解：当A=时，tanA=﹣，所以△ABC中，“A＞”推不出“tanA＞1”；在斜三角形ABC中，当tanA＞1，可得A＞，满足tanA＞1，推出A＞，∴“A＞”是“tanA＞1”的必要不充分条件，故选：B．3．已知{a n}是公比大于1的等比数列，若2a1，a2，a3成等差数列，则=（）A．B．C．D．2【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由已知列式求得公比，然后代入等比数列的通项公式及前n项和求得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q（q＞1），由2a1，a2，a3成等差数列，得，解得q=1（舍）或q=2．则=．故选：C．4．若实数x和y满足，则x2+y2的最小值是（）A．2 B．C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据点到直线的距离公式进行转化求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图象知O到直线AB：3x+2y﹣6=0的距离最小，此时d==，则x2+y2的最小值为z=d=（）2=，故选：B．5．已知函数f（x）=a x﹣b的图象如图所示，则函数g（x）=ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据指数函数图象递减可知0＜a＜1，再有平移可知向右平移了小于1个单位，得出0＜b＜1，可得出选项．【解答】解：根据指数函数图象和平移可知：0＜a＜1，0＜b＜1，故一次函数g（x）=ax+b的图象为A．故选：A．6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长相等，若∠AA1B1=∠AA1C1=60°，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是（）A．B．C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】设，再设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为m，利用平面向量的数量积运算求出cos，则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值可求．【解答】解：设，再设三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长为m，则，，，∴==．=，=m．∴cos==．则异面直线A1C与AB1所成角的余弦值是．故选：A．7．若f（x）是定义在（﹣1，1）上的减函数，则下列不等式正确的是（）A．f（sinx）＞f（cosx）B．f（）＞f（x）C．f（）≥f（）D．f（）≥f（）【考点】函数单调性的性质．【分析】由三角函数线可判断出时，sinx＞cosx，根据f（x）的单调性便可判断选项A的正误，而对于B，C，D各选项可通过对自变量的值进行作差，配方，通分及提取公因式等方法，根据x的范围及指数函数的单调性便可判断出自变量值的大小关系，从而由f（x）的单调性即可判断出对应函数值的大小关系，从而判断选项的正误．【解答】解：A．x∈时，sinx＞cosx；∵f（x）在（﹣1，1）上为减函数；∴f（sinx）＜f（cosx），∴该选项错误；B．x∈（﹣1，1）；∴＞0；∴，且f（x）在（﹣1，1）上单调递减；∴，∴该选项错误；C.=；∵x∈（﹣1，1）；∴x∈（﹣1，0）时，；∴，且f（x）在（﹣1，1）上为减函数；∴，∴该选项错误；D.=；∴①x∈（﹣1，0]时，；∴；②x∈（0，1）时，；∴；∴综上得，；∵f（x）为（﹣1，1）上的减函数；∴，∴该选项正确．故选D．8．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A 在l上的射影为A1．若|AB|=|A1B|，则直线AB的斜率为（）A．±3 B．±2C．±2 D．±【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A，B到准线的距离分别为2a，a，由抛物线的定义可得|AB|=3a，利用锐角三角函数的定义即可得出直线AB的斜率．【解答】解：设A在第一象限，直线AB的倾斜角为α．过B作准线的垂线BB′，作AA′的垂线BC，∵|AB|=|A1B|，∴C是AA′的中点．设|BB′|=a，则|AA′|=2a，∴|AB|=|AA′|+|BB′|=3a．∴cosα=cos∠BAC==，∴tanα=2，由抛物线的对称性可知当A在第四象限时，tanα=﹣2．∴直线AB的斜率为±2．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）= ﹣3 ，cos2α= ，= ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知，利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式可求tan（α+）的值，利用同角三角函数基本关系式即可计算求得cos2α，的值．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3；cos2α====；===．故答案为：﹣3，，．10．已知函数f（x）=则f（f（﹣2））= 2 ；若f（x）≥2，则实数x的取值范围是x≥1或x≤﹣4 ．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式利用代入法进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣2）=log22=1，f（1）=21=2，则f（f（﹣2））=2；若x≥0，由f（x）≥2得2x≥2，得x≥1，若x＜0，由f（x）≥2得log2（﹣x）≥2，得﹣x≥4，则x≤﹣4，综上x≥1或x≤﹣4，故答案为：2，x≥1或x≤﹣4．11．已知函数f（x）=2cos2x+cos（﹣2x），则函数f（x）的最小正周期是π，值域是[1﹣，1] ．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）=sin（2x+）+1，利用三角函数周期公式可求最小正周期，利用正弦函数的图象和性质可得sin（2x+）∈[﹣1，1]，从而可求f（x）的值域．【解答】解：∵f（x）=2cos2x+cos（﹣2x）=1+cos2x+sin2x=sin（2x+）+1，∴函数f（x）的最小正周期T==π，∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）=sin（2x+）+1∈[1﹣，1]．故答案为：π，[1﹣，1]．12．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是 6 cm3，该几何体的表面积是cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由梯形的面积公式、柱体的体积公式求出该几何体的体积，由四棱柱的各个面的长度求出几何体的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是一个底面为直角梯形的四棱柱，其底面是正视图中的直角梯形，上底为1cm，下底为2cm，高为2cm，由侧视图知四棱柱的高为2cm，所以该几何体的体积V==6（cm3），由正视图可知直角梯形斜腰是，则该几何体的表面积S表面积=2×+=（cm2），故答案为：6；．13．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P．若点P的纵坐标为，则该双曲线的离心率是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设右焦点F（c，0），设双曲线的一条渐近线方程为l：y=，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得直线PF的方程，联立渐近线方程求得P的纵坐标，由条件结合离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设右焦点F（c，0），且c==，设双曲线的一条渐近线方程为l：y=，由PF⊥l，可得直线PF的方程为y=﹣a（x﹣c），联立消去x，可得y=，即有y===，由点P的纵坐标为，可得=，即有e=．故答案为：．14．已知单位向量，的夹角为120°，|x+y|=（x，y∈R），则|x﹣y|的取值范围是[1，3] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求得．再由|x+y|=得到x2+y2﹣xy=3．然后利用配方法及换元法分别求得|x﹣y|的最大值及最小值即可．【解答】解：∵，且，的夹角为120°，∴．∴|x+y|==．即x2+y2﹣xy=3．∴3=x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy，即xy≤3；则|x﹣y|==；令x+y=t，则（x+y）2=x2+y2+2xy=t2，∴3+xy+2xy=t2，则，∴|x﹣y|====．∴|x﹣y|的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．15．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若将△ABD沿直线BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，则直线A′B与平面BCD所成角的正弦值是．【考点】直线与平面所成的角．【分析】过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．则可证明A′O⊥平面BCD，于是∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．设AD=1，在直角梯形中根据平面几何知识解出DO，从而得出A′O，得出线面角的正弦值．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，连结A′E，过A′作A′O⊥DE，连结A′O．∵BC⊥A′D，BC⊥DE，A′D∩A′O=A′，∴BC⊥平面A′DE，∵A′O⊂平面A′DE，∴BC⊥A′O，又A′O⊥DE，BC∩DE=E，∴A′O⊥平面BCD．∴∠A′BO为直线A′B与平面BCD所成的角．在直角梯形ABCD中，过A作AO⊥BD，交BD于M，交DE于O，设AD=1，则AB=2，∴BD=，∴AM==，∴DM==．由△AMD∽△DMO得，即，∴DO=．∴A′O==．∴sin∠A′BO==．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A，B，C的所对边分别为a，b，c．已知a2+b2+5abcosC=0，sin2C=sinAsinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinA的值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由余弦定理，正弦定理化简已知可得：7（a2+b2）=5c2，c2=ab，从而利用余弦定理可求cosC=﹣，结合范围C∈（0，π）即可求得∠C的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求ab=2，由（Ⅰ）知，c2=7，a2+b2=5，联立可求a，b的值，利用正弦定理即可求得sinA的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意及余弦定理得，a2+b2+5ab=0，即7（a2+b2）=5c2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由题意及正弦定理得，c2=ab，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣故cosC===﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为C∈（0，π），∠C=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因为S△ABC=absinC=，即ab=2 ①．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由（Ⅰ）知，c2=7，a2+b2=5 ②．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣联立①②得，或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由正弦定理得，sinA=或sinA=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC1⊥平面ABC，BC=CA=AC1．（Ⅰ）求证：AC⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC∥B1C1，AC⊥B1C1，AC1⊥ACC，由此能证明AC⊥平面AB1C1．（Ⅱ）分别取BB1，CC1的中点M、N，连结AM，MN，AN，则∠AMN为二面角A1﹣BB1﹣C的平面角，由此能求出二面角A1﹣BB1﹣C的余弦．【解答】证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BC∥B1C1．又因为∠ACB=90°，所以AC⊥B1C1，因为AC1⊥平面ABC，所以AC1⊥ACC，因为AC1∩B1C1=C1，所以AC⊥平面AB1C1．解：（Ⅱ）因为点A1在平面A1ABB1内，故只需求A﹣BB1﹣C的二面角．分别取BB1，CC1的中点M、N，连结AM，MN，AN，所以AM⊥BB1．因为AC1⊥平面ABC，∠ACB=90°，所以BC⊥CC1，即平行四边形BCC1B1为矩形，所以MN⊥BB1，所以∠AMN为二面角的平面角．设BC=CA=AC1=1，则AB=AB1=BB1=，所以AM=，MN=1，AN=．由余弦定理得，cos∠AMN==，所以二面角A1﹣BB1﹣C的余弦值为．18．已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，再由点C在椭圆上，得，由此能求出实数x0的值．（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，又因为点C在椭圆上，所以，解得，因为﹣，所以．（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y0，y1y2=2x0﹣1，由，及得﹣2﹣2＜x0＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣2≤x0≤2，所以﹣2≤，|FA|•|FB|=•====，所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，4]．19．已知函数f（x）=x2+3|x﹣a|（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）设b∈R，若|f（x）+b|≤3对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；（Ⅱ）问题转化为3﹣b≤f（x）≤3﹣b对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=x2+3|x﹣a|=，①当a≥1时，f（x）=x2﹣3x+3a在x∈[﹣1，1]单调递减，则M（a）=f（﹣1）=4+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a，此时M（a）﹣m（a）=6；②当a≤﹣1时，f（x）=x2+3x﹣3a在x∈[﹣1，1]单调递增，则M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣2﹣3a，此时M（a）﹣m（a）=6；③当﹣1＜a＜1时，f（x）=，此时f（x）在x∈[﹣1，a]单调递减，在x∈[a，1]单调递增，则m（a）=f（a）=a2，M（a）=max{f（﹣1），f（1）}=max{4+3a，4﹣3a}=4+|3a|，此时M（a）﹣m（a）=4+|3a|﹣a2；因此M（a）﹣m（a）=，（Ⅱ）原问题等价于﹣3﹣b≤f（x）≤3﹣b，由（Ⅰ）知①当a≥1时，则，即，此时3a+b=﹣1；②当a≤﹣1时，则，即，此时b﹣3a=﹣1，此时3a+b≤﹣7；③当﹣1＜a＜1时，则m（a）=f（a）=a2，，即﹣a2﹣3≤b≤﹣|3a|﹣1，此时﹣a2+3a﹣3≤3a+b≤3a﹣|3a|﹣1；由﹣1＜a＜1得﹣a2+3a﹣3＞﹣7和3a﹣|3a|﹣1≤﹣1，此时﹣7＜3a+b≤﹣1，因此3a+b≤﹣1．20．在数列{a n}中，a1=a（a∈R），a n+1=（n∈N*），记数列{a n}的前n项和是S n．（Ⅰ）若对任意的n∈N*，都有a n+1＞，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=1，求证：S n＜+1（n∈N*）．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由a n+1=（n∈N*），可得=，当a n+1时，a n，且a n，反之也成立．即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a=1时，a n，从而a n＞0，可得a n+1﹣a n＜0，因此，又==，可得：a n+1．利用递推关系与等比数列的前n项和公式可得S n+．进而得出结论．【解答】（Ⅰ）解：∵a n+1=（n∈N*），∴=，当a n+1时，a n，且a n，反之，当a n时，且a n，可得：a n+1．故，且a．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a=1时，a n，从而a n＞0，∴a n+1﹣a n==＜0，∴，由=，可得：==，由，得，即a n+1．∴++…+≤=＜．∴S n+．又+1﹣=≥0，∴S n＜+1（n∈N*）．2016年10月3日。
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∴过点 的切线方程为： ，即 .
（2）∵ 的定义域为： .
令 . 又∵函数 有两个极值点 ，
∴ 有两个不等实数根 ，
∴ ，且 ，从而 .
由不等式 恒成立 恒成立，
∵ ，
令 ，∴ ，当 时恒成立，
∴函数 在 上单调递减，∴ ，
故实数 的取值范围是： .
22.（1）曲线 的普通方程为 ，
则 的极坐标方程为 ，
体积为( )
A. B.
C. D.
7．已知函数 在 上单调递减，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 ，则输入的正整数的
可能取值的集合是（ ）
B.
D.
9． 上的偶函数 满足 ，当 时， ，则
的零点个数为（）
A. 4B. 8C. 5D. 10
10．如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过 且依次交
∴ ，即 ①，∵ ，∴ ，即 ②，
∴由①②得 ，又 ， ，∴椭圆 的方程为 ．
（2）设直线 方程为： ，
由 得 ，∴ ，
∵ 为重心，∴ ，
∵ 点在椭圆 上，故有 ，可得 ，
而 ，
点 到直线 的距离 （ 是原点到 距离的3倍得到），
∴ ，
当直线 斜率不存在时， ， ， ，∴ 的面积为定值 ．
21.【解析】（1）当 时，有 .
13．已知平面向量 ，且 ，则 __________.
14．若变量 满足 ，且 恒成立，则 的最大值为______________.
15．若双曲线 上存在一点 满足以 为边长的正方形的面积等于
（其中 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是__________．
16．若曲线 与曲线 存在公共切线，则 的取值范围为__________．
23.【不等式选讲】已知 ， .
（1）解不等式 ；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
参考答案
1．B2．D3．C4．B5．C6．A，7．A8．A9．C10．C11.D12.D
13． 或 14． 15． 16．
17．（1） ，
，
的最大值为 ，此时
即
（2） ， ,
由 得
又 ,故 ，即周长 的范围为 .
试求实数 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 ，以 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
（1）求曲线 和直线 的极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 交于 两点，求 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知向量 .
（1）求 的最大值及 取最大值时 的取值集合 ；
（2）在△ 中， 是角 的对边,若 且 ，求△ 的周长的取值范围.
18．如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ， ，且 ， ， 是 的中点。
（Ⅰ）求证： ；
求 的分布列及 .
20．已知右焦点为 的椭圆 与直线 相交于 、 两点，
且 ．（1）求椭圆 的方程；
（2） 为坐标原点， ， ， 是椭圆 上不同的三点，并且 为 的重心，
试探究 的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21. 已知函数 .
（1）当 时，试求函数图像过点 的式 恒成立，
19．（Ⅰ）这400名学生中，体重超过 的频率为 ，
由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 的概率为 .
（Ⅱ）（ⅰ）∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ .
（ⅱ）因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，
其中体重介于 之间的人数 ， ， .
所以 的分布列为
.
20．（1）设 ， ，则 ，
高三上期第二次周练
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 ， ，则
A. B. C. D.
2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 的虚部是（ ）
A. B. C. D.1
3．在等比数列 中， ， ，
则数列 的前9项的和 （ ）
A.255B.256C.511D.512
4．如图所示的阴影部分是由 轴，直线 以及曲线 围成，
现向矩形区域 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ）
A. B.
C. D.
5．在 的展开式中，含 的项的系数是（ ）
A.10B.20
C.30D.60
6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的
（Ⅱ）求二面角 的余弦值。
19．从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示频率分布直方图.
（Ⅰ）估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过 的概率；
（Ⅱ）假设该市高一学生的体重 服从正态分布 .
（ⅰ）估计该高一某个学生体重介于 之间的概率；
（ⅱ）从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于 之间的人数为 ，利用（ⅰ）的结论，
由于直线 过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标为 （或 ）
（2）由 得： ，故 ， ，
∴ .
23(1) 解集为 或 ；(2) .
（1）当 时， 解得 .
当 时， 无解，当 时， 解得 .
∴ 的解集为 或 .
（2）由已知 恒成立.∴ 恒成立.
又 .∴ ，解得 .
∴ 时，不等式 恒成立
18．证明：（Ⅰ）以 为坐标原点 长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为 ， ， ， ， ， ，则 ， ，故 ，所以 ，由题设知 ，且 与 是平面 内的两条相交直线，由此得 ,又 在平面 内,故平面 。
（Ⅱ）在 上取一点 ，则存在 ，使 ，连接 ， ， ，所以 ， ， 。要使 ，只要 ，即 ，解得 。可知当 时， 点坐标为 ，能使 ，此时， ， ，所以 。由 ， ， ，所以 ，故所求二面角的余弦值为 。
抛物线及圆 于点 四点，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
11．已知函数 在区间 上是增函数，
且在区间 上恰好取得一次最大值，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知数列 中， =1，且对任意的 ,都有 则 （）
A． B．
C．2D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.