(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆系统
直线一级倒立摆建模与性能分析直线一级倒立摆建模及性能分析一、数学模型建立在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。
u 为外界作用力；x 为小车位移； 为摆杆与铅垂方向的夹角；O 、G 分别为摆杆与小车的链接点、摆杆质心的位置；M 为小车的质量；m 为摆杆的质量；J 为摆杆绕G 的转动惯量；l 为O 到摆杆质心的距离,L 为摆杆的长度；0f 为小车与导轨间的滑动摩擦系数，1f 为摆杆绕 O 转动的摩擦阻力矩系数。
对于上图的物理模型我们做以下假设： M ：小车质量 m ：摆杆质量 b ：小车摩擦系数l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律。
因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
应用牛顿力学来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：N x b F xM --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：22(sin )d N m x l dtθ=+即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2（1-1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=-即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+力矩平衡方程如下：θθθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：θθθcos sin )(2xml mgl ml I -=++ （1-2） 1.1 微分方程模型设φπθ+=，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小，即 1<<φ 时，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2=dt d θ。
一级倒立摆系统仿真及分析
一级倒立摆系统仿真及分析1•摘要本次课程设讣，我们小组选择一级倒立摆系统作为物理模型，首先通过物理分析建立数学模型，得到系统的传递函数，通过对传递函数的极点，根轨迹，单位阶跃响应来分析系统稳定性。
建立状态空间模型，利用matlab进行能控能观性分析, 输入阶跃信号，分析系统输出响应。
通过设定初始条件，查看系统稳定性，利用simulink绘制系统状态图。
再对系统进行极点配置，进行状态反馈，使得系统在初始状态下处于稳定状态，并绘制系统状态图。
2・；3课程设计目的倒立摆系统是一个经典的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统，是用来检验某种控制理论或方法的典型方案。
倒立摆控制理论产生的方法和技术在半导体及精密仪器加E.机器人技术、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
因此研究倒立摆系统具有重要的实践意义。
4.课程设计题目描述和要求本次课程设计•我们小组选择环节项H三：系统状态响应、输出响应的测量。
<环节目的：1. 利用MATLAB分析线性定常系统。
2. 利用SIMULINK进行系统状态空间控制模型仿真，求取系统的状态响应及输出响应。
环节内容、方法：1•给定系统状态空间方程，对系统进行可控性、可观性分析。
并利用SIMULINK 绘制系统的状态图，求取给定系统输入信号和初始状态时的状态响应及输出响应。
2.给定两个系统的状态空间模型，分别求两个系统的特征值；将两个系统的系统矩阵化为标准型；求出给定系统初始状态时，状态的零输入响应；求两个系统的传递函数并分析仿真结果。
4.课程设计报告内容数学模型的建立及分析对于倒立摆系统，山于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示我们不妨做以下假设：M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、I摆杆转动轴心到杆质心的长度、I摆杆惯、F加在小车上的力、x小车位置、＜1）摆杆与垂直向上方向的夹角、0 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。
直线一级倒立摆的建模及性能分析
直线一级倒立摆的建模及性能分析1 直线一级倒立摆数学模型的建立 (1)2 直线一级倒立摆系统的实际模型 (5)3 直线一级倒立摆系统的性能分析 (6)相关理论的介绍 (6)倒立摆系统的性能分析 (7)1 直线一级倒立摆数学模型的建立所谓系统的数学模型，是指利用数学结构来反映实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。
数学模型是分析、设计、预测以及控制一个系统的理论基础。
因此，对于实际系统的数学模型的建立就显得尤为重要。
系统数学模型的构建可以分为两种：实验建模和机理建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对像并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律的基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是不稳定的系统，无法通过测量频率特性的方法获取其数学模型，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统是一个典型的机电一体化系统，其机械部分遵守牛顿运动定律，其电子部分遵守电磁学的基本定律，因此可以通过机理建模得到系统较为精确的数学模型。
为了简单起见，在建模时忽略系统中的一些次要的难以建模的因素，例如空气阻力、伺服电机由于安装而产生的静摩擦力、系统连接处的松弛程度、摆杆连接处质量分布不均匀、传动皮带的弹性、传动齿轮的间隙等。
将小车抽象为质点，摆杆抽象为匀质刚体，摆杆绕转轴转动，这样就可以通过力学原理建立较为精确的数学模型。
我们可以应用牛顿力学的分析方法或者欧拉－拉格朗日原理建立系统的动力学模型。
对于直线一级倒立摆这样比较简单的系统，我们采用通俗易懂的牛顿力学分析法建模。
为了建立直线一级倒立摆的数学模型，采用如下的坐标系：图1直线一级倒立摆的物理模型其中，F 为加在小车上的力，M 为小车质量，m 为摆杆质量，I 为摆杆惯量， l 为摆杆转动轴心到杆质心的长度，x 为小车位移，φ为摆杆与垂直向上方向的夹角，b 为小车在滑轨上所受的摩擦力，N 和P 为摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
演示文稿一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计
的。为了应用线性系统理论，可在倒立摆平衡位
置附近对系统进行线性化，取 - ，令
• sin , cos 1 并忽略高次项，可得如下方程：
•
x
u mgl
J
c J
ml J
u
第7页，共33页。
• 可以用线性系统理论对倒立摆系统进行控制，选
择状态变量x。
x1 x
x2
x
x3 x4
第15页，共33页。
4.极点配置
• 假设系统要求超调量不超过10%，调整时间为2s，根据公
式
e( / 1 2 ) 10%
ts
4
wn
2
经计算取 0.7， wn 3
可得系统特征方程为
主导极s点2 为 2wns wn2 s2 4.2s 9 0
s1,2 2.1 j2.1424
第16页，共33页。
• 降维观测器状态跟踪误差仿真结果：
第33页，共33页。
21.4174 1 3.9281
0
•
计算
A
28.3480 6.3224
0 0
78.5615 27.9079
0
1
122.1830 0 152.8225 0.6747
第22页，共33页。
• 带状态观测器的状态反馈系统为
v
u
+ x
b
+
A
y c
+ b
xˆ G
xˆ
+
A-GC
K
第23页，共33页。
T
A22
T
A12
K)
a(s)
•得
30 0
K
0
29.3253
直线一级倒立摆系统实验报告
直线一级倒立摆系统实验报告1. 实验目的：通过对直线一级倒立摆系统进行分析，掌握系统的基本原理、参数设置和控制策略；提高学生实际动手能力和科学实验能力。
2. 实验内容：（1）搭建直线一级倒立摆系统实验平台；（2）设置系统的动力学模型，采集系统的状态变量；（3）根据系统的特性设计控制策略，实现系统的稳定控制；（4）记录实验数据，并进行数据处理和分析。
3. 实验原理：直线一级倒立摆系统是一种经典的非线性控制系统，其原理和稳定性分析可以使用动力学建模方法来描述。
系统由直线弹簧、质量块、直线导轨和质量块的摆杆组成。
当摆杆处于垂直状态时，系统处于平衡状态；当摆杆被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。
在实验中，我们选取了单摆系统作为直线一级倒立摆系统的原形。
单摆系统由一个质点和一个线性弹簧组成，其状态变量为质点的位置和速度。
当质点处于平衡位置时，系统拥有稳定状态；当质点被扰动后，系统进入不稳定状态，需要通过控制策略来实现其稳定控制。
因此，我们可以使用单摆系统来研究直线一级倒立摆系统的控制策略。
4. 实验步骤：（1）搭建实验平台：搭建直线一级倒立摆系统实验平台，包括直线导轨、摆杆、质点、力传感器、位移传感器和控制电路等。
将质点放置在导轨上，并用摆杆将其固定在弹簧上。
使用力传感器和位移传感器来测量系统的状态变量。
（2）设置系统模型：对实验平台的动力学模型进行建模，将系统的状态变量与控制策略联系起来。
（3）设计控制策略：根据系统的特性设计相应的控制策略，使系统保持稳定状态。
常用的控制策略包括模型预测控制、PID控制、滑模控制等。
（4）记录实验数据：实验过程中需要记录系统的状态变量和控制参数，并进行数据处理和分析，得到实验结论。
5. 实验结果分析：通过对直线一级倒立摆系统的实验研究，我们发现系统的稳定控制需要根据其特性和实际情况来确定相应的控制策略。
在实验中，我们采用了模型预测控制策略，通过对系统的状态变量进行预测和调节，成功实现了系统的稳定控制。
一级倒立摆控制系统设计
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统，经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。
、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。
当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
二、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。
四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：工业控制计算机电动机驱动器一阶倒立摆一阶倒立摆控制系统动态结构图F面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数!1. 一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示,其中：M小车质量m为摆杆质量J :为摆杆惯量F:加在小车上的力x :小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角l :摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知:(1) 摆杆绕其重心的转动方程为J鎳F y lsin 二- F x l cos： (1)(2) 摆杆重心的运动方程为F x d2(x l sin r)彳『=mg-m d2 d2t(3) 小车水平方向上的运动为-1-L+10-0一4即 G 1(s)=' ; G 2(s)='-一阶倒立摆环节问题解决！2. 电动机驱动器选用日本松下电工MSMA02型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下:F — F x 二 M d 2x联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：J ml 2F ml J ml 2sin u 2-m 2l 2gsin r COST2 2 2 2J ml j[ M m ：-m l cos )mlcos v.F m 2l 2sin vcos m 2-＜； M m mlg sin vm 2l 2cos 20—(M + m )(J +ml 2)式中J 为摆杆的转动惯量：J 』3若只考虑B 在其工作点附近B 0=0附近(-10 —”：10 )的细微变化，则可 以近似认为: 石2“* sin^比日 cos 日“若取小车质量M=2kg,摆杆质量 m=1kg,摆杆长度2 l =1m,重力加速度取g=10m/s 2,则可以得阶倒立摆简化模型:x =0.44F -3.33^ v - -0.4 F 12^拉氏变换=^>日(s)』F(s) x(s) ?(s)-0.42s-122 -1.1s 102 s2(J ml 2)F -m 2l 2g J J(M m) Mml (M m)mlg mlF J(M m) Mml电磁时间常数：Tl=0.001s电机时间常数：TM=0.003s经传动机构变速后输出的拖动力为： F=0~16N 与其配套的驱动器为:MSDA021A1A S 制电压：UDA=0± 10V 。
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计
一阶倒立摆系统模型分析状态反馈与观测器设计一阶倒立摆系统是控制工程中常见的一个具有非线性特点的系统，它由一个摆杆和一个质点组成，质点在摆杆上下移动，而摆杆会受到重力的作用而产生摆动，需要通过控制来实现倒立的功能。
以下是一阶倒立摆系统的模型分析、状态反馈与观测器设计的详细介绍。
一、系统模型分析:一阶倒立摆系统是一个非线性动力学系统，可以通过线性化的方式来进行模型分析。
在进行线性化之前，首先需要确定系统的状态变量和输入变量。
对于一阶倒立摆系统，可以将摆杆角度和质点位置作为状态变量，将水平推力作为输入变量。
在对系统进行线性化之后，可以得到系统的状态空间表达式:x_dot = A*x + B*uy=C*x+D*u其中，x是状态向量，u是输入向量，y是输出向量。
A、B、C和D是系统的矩阵参数。
二、状态反馈设计:状态反馈是一种常用的控制方法，通过测量系统状态的反馈信号，计算出控制输入信号。
在设计状态反馈控制器之前，首先需要确定系统的可控性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可控性矩阵的秩来判断系统是否是可控的。
如果可控性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可控的。
在确定系统可控性之后，可以通过状态反馈控制器来实现控制。
状态反馈控制器的设计可以通过选择适当的反馈增益矩阵K来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将状态反馈控制器加入到系统模型中。
状态反馈控制器的输入是状态变量，输出是控制输入变量。
然后，通过调节反馈增益矩阵K的值，可以实现对系统的控制。
三、观测器设计:观测器是一种常用的状态估计方法，通过测量系统的输出信号，估计系统的状态。
在设计观测器之前，首先需要确定系统的可观性。
对于一阶倒立摆系统，可以通过可观性矩阵的秩来判断系统是否是可观的。
如果可观性矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是可观的。
在确定系统可观性之后，可以通过观测器来实现状态估计。
观测器的设计可以通过选择适当的观测增益矩阵L来实现。
具体的设计方法是，根据系统的状态空间表达式，将观测器加入到系统模型中。
一级倒立摆实验报告
一级直线倒立摆极点配置控制实验一、实验目的1.运用经典控制理论控制直线一级倒立摆,包括实际系统模型的建立、根轨迹分析和控制器设计、PID 控制分析等内容。
2.熟悉利用极点配置方法来进行倒立摆实验的原理方法。
3.学习MATLAB工具软件在控制工程中的应用。
3.掌握对实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。
二、实验设备计算机及MATLAB相关软件元创兴倒立摆系统的软件元创兴一级直线倒立摆系统,包括运动卡和倒立摆实物倒立摆相关安装工具三、倒立摆系统介绍倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。
由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。
学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。
倒立摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。
由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法，相关的科研成果在航天科技和机器人学方面获得了广阔的应用。
四、倒立摆工作原理和物理模型以及数学模型（简述）1、工作原理：数据采集卡（也称运动控制卡，安装于计算机机箱的PCI插槽上）采集到旋转编码器数据和电机尾部编码器数据，旋转编码器与摆杆同轴，电机与小车通过皮带连接，所以通过计算就可以得到摆杆的角位移以及小车位移，角位移差分得角速度，位移差分可得速度，然后根据自动控制中的各种理论转化的算法计算出控制量。
控制量由计算机通过运动控制卡下发给伺服驱动器，由驱动器实现对电机控制，电机尾部编码器连接到驱动器形成闭环，从而可以实现闭环控制。
一级倒立摆实验(状态反馈)
第1章倒立摆系统介绍1.1 倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
1.2 倒立摆分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。
直线倒立摆系列产品如图 1-1 所示。
直线一级倒立摆系统实验报告
直线一级倒立摆系统实验报告西北工业大学姓名：张云虎探测制导与控制技术学号：2013300925 1.实验参数介绍2.根据实验指导书给的受力分析结合newton定律得出动力学方程：分析水平方向的合力有：M=F-f-N （1）分析摆杆水平方向的受力得；N-Fs=m（x+lsinθ) ps：Fs=0即N=m+mlθcosθ-mlθsinθ（2）把（2）带入（1）得到：（M+m）+f+ mlθcosθ-mlθsinθ=F（3）对垂直方向的合力进行分析得到：-P+mg+Fh=m(l-lcosθ) ps:Fh=0即P-mg= mlθsinθ+mlθcosθ（4）力矩平衡方程：Plsinθ+Nlcosθ+Iθ=0 （5）把公式（2）（4）带进（5）得到：（I+m）θ+mglsinθ=-ml（6）近似化处理得到：(I+m)ф-mglф=ml(M+m)+f-mlф=u写出状态空间模型：=Ax+Buy=Cx+Du==+ф+ uф=фф= +ф+ u写成矩阵形式，带入参数化简如下：фф =ф= uy= ф = фф+ u3.MATLAB分析：>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]A =0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 29.4000 0>> B=[0;1;0;3]B =13>> C1=[1 0 0 0]C1 =1 0 0 0>> C2=[0 0 1 0]C2 =0 0 1 0>> C=[C1;C2]C =1 0 0 00 0 1 0>> D=[0;0]D =D1 =>> D2=[0]D2 =状态空间模型如下：>> sys1=ss(A,B,C,D)sys1 =a =x1 x2 x3 x4x1 0 1 0 0x2 0 0 0 0x3 0 0 0 1x4 0 0 29.4 0b =u1x1 0x2 1x3 0x4 3c =x1 x2 x3 x4y1 1 0 0 0y2 0 0 1 0d =u1y1 0y2 0Continuous-time state-space model.4.利用MATLAB判断系统的能控性与观性：>> Qc=ctrb(A,B);>> Qo1=obsv(A,C1);>> Qo2=obsv(A,C2);>> rank(Qc)ans =4>> rank(Qo1)ans =2>> rank(Qo2)ans =2>> rank(obsv(A,C))ans =4因为rank(ctrb（A.B）)=4,所以系统可控；因为rank（obsv(A,C1)）=2,所以输出1不可观测；因为rank（obsv(A,C2)）=2,所以输出2不可观测；因为rank（obsv（A，C）=4，所以由全部输出是可观测的。
一级倒立摆系统分析
一级倒立摆系统分析一级倒立摆系统由一个垂直的支撑杆和一个质量为m、长度为l的摆杆组成。
摆杆的一端通过一个旋转关节连接在支撑杆的顶端，另一端可以自由地在重力作用下摆动。
我们将摆杆的摆动角度定义为θ，并假设摆杆的运动是平面运动，不考虑摆杆在垂直方向上的移动。
首先，我们需要建立一级倒立摆系统的动力学方程。
根据牛顿第二定律和角动量守恒定律，可以得到以下方程：1.支撑杆垂直方向受力平衡方程：-mgl sinθ = 0其中g为重力加速度。
2. 摆杆绕旋转关节的转动惯量为I = ml^2/3，根据转动惯量的定义可以得到角加速度α与力矩τ之间的关系：τ=Iα其中τ = ml^2/3α。
3.摆杆绕旋转中心的转动方程：τ = Iα = ml^2/3α = -mgl sinθ可以得到α与θ之间的关系：α = -3g/(2l)sinθ。
以上方程可以描述一级倒立摆系统在垂直方向上的平衡和旋转运动。
其中，第一条方程表示摆杆在垂直方向上的受力平衡，第二条方程表示摆杆的转动惯量及其与角加速度之间的关系，第三条方程表示摆杆绕旋转中心的转动方程。
接下来，我们可以通过线性化分析来研究一级倒立摆系统的稳定性。
线性化是一种将非线性系统近似为线性系统的方法，通过计算系统在一些平衡点附近的一阶导数来实现。
我们首先要找到一级倒立摆系统的平衡点。
根据第一条方程，当θ=0时，系统达到平衡。
在这个平衡点，摆杆不再摆动，所有受力均平衡。
接下来，我们对系统进行线性化。
首先将θ分解为平衡点的偏差值Δθ和小量δθ，即：θ=θ_e+Δθ+δθ其中θ_e为平衡点的角度。
将上述表达式带入到第三条方程中，并只保留一阶项，可以得到线性化的转动方程：α = -3g/(2l)(sinθ_e + cosθ_e Δθ +cosθ_e δθ)。
我们可以进一步线性化该方程，即将sinθ_e和cosθ_e在一阶项展开，并忽略二阶项，得到：α=-3g/(2l)(θ_e+Δθ+δθ)。
一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析
一级直线倒立摆的控制策略与仿真分析一、引言倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。
然而倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，是一个绝对不稳定系统。
倒立摆实物仿真实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案，它对一类不稳定系统的控制以及对深入理解反馈控制理论具有重要意义。
倒立摆系统在研究双足机器人直立行走、火箭发射过程的姿态调整和直升机飞行控制领域中有重要的现实意义，相关的科研成果已经应用到航天科技和机器人学等诸多领域。
二、一级直线倒立摆模型的建立图1 一级直线倒立摆物理模型图2 小车和摆杆的受力分析图2.1 传递函数模型图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
设小车质量为M，摆杆质量为m，小车摩擦系数为b，摆杆转动轴心到杆质心的长度为l，摆杆的转动惯量为I，根据牛顿第二定律，可以得到系统的两个运动方程：F ml ml x b x m M =-+++∙∙∙∙∙∙θθθθsin cos )(2（1）θθθcos sin )(2∙∙∙∙-=++x m l m gl m l I （2）设φπθ+=, 假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ，0)(2=dtd θ。
用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：2()()I ml mgl ml x M m x b x ml uϕϕϕ∙∙∙∙∙∙∙∙∙+-=++-= （3）假设初始条件为0，对式(3)进行拉普拉斯变换得到：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s s M m X s s bX s s ml s s U s +Φ-Φ=++-Φ=（4）由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：mgl s ml I mls s X s -+=Φ222)()()(（5）令∙∙=x v ，则有：mgls ml I mls V s -+=Φ22)()()(（6） 把上式代入方程组的第二个方程，得到：)()()(])([)(])()[(222222s U s s ml s s sg ml ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ+++Φ-++（7）整理后得到传递函数：232()()()()mlss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s q q qΦ=+++--（8） 其中])())([(22ml ml I m M q -++=。
直线一级倒立摆控制详细报告
直线一级倒立摆控制一、课程设计目的学习直线一级倒立摆的数学建模方法，运用所学知识设计PID控制器，并应用MATLAB进行仿真。
通过本次课程设计，建立理论知识与实体对象之间的联系，加深和巩固所学的控制理论知识，增加工程实践能力。
二、课程设计要求1. 应用动力学知识建立直线一级倒立摆的数学模型（微分方程形式），并建立系统的开环传递函数模型。
2. 运用经典控制理论知识，按设计要求设计控制器。
3. 应用MATLAB的Simulink建立控制系统的仿真模型，得出仿真结果。
4. 控制要求：※小车的位置x和摆杆角度的稳定时间小于10秒；※阶跃响应摆杆角度的摆幅小于2°；※θ有≤8°扰动时，摆杆的稳定时间小于三秒。
对比仿真结果与控制要求，修正设计值，使之满足设计要求。
三、控制系统建模过程1、控制对象示意图图1.控制对象示意图图中对象参数：M 小车质量 1.32kg l 摆杆转动中心到杆质心的距离0.27mm 摆杆质量0.132kg F 作用在系统上的外力X 小车位移θ 摆杆与竖直方向的夹角，以垂直向上为起始位置,取逆时针方向为正方向。
b 小车摩擦阻尼系数 m/sec 2. 控制系统模拟结构图：图2.系统的模拟结构图其中G1（s ）表示关于摆角θ的开环传递函数，D(S)表示PID 控制器的传递函数，G2（s ）表示小车位移x 的传递函数。
由于摆角与垂直向上方向夹角为0时为平衡状态，故摆角的理想输出值应为R （S ）=0。
3. 建模过程：T图3.小车及摆杆的受力分析图如图3所示，对小车及摆杆进行受力分析，得到以下平衡方程：对小车有： 22..................................(1)dx d xF F b N M dt dt=--=∑小车对摆杆有：2222(cos ) (2)(cos ).............................(3)d F N m x l dt d Fmg P m l l dtθθ==-=-=-∑∑水平竖直转矩：2222sin cos ...................................(4)1 (5)23ll d T I Pl Nl dt mr I dr ml l θθθ-==+==∑⎰为使摆杆直立，需使θ≪1，则有sin ,cos 1θθθ≈≈， 线性化（2）（3）（4）方程得：2222() (6)0.......................................................................(7)..............................d N m x l dtmg P d I Pl Nl dtθθθ=--==+................................(8) 由（1）（5）（6）（7）（8）式联立解得：222222222() (9)4 (10)3d x d dxF M m ml b dt dt dtd d xmgl ml ml dt dtθθθ=+-+=- 对（9）（10）两式进行拉式变换，得：22222()()()()()4()()()3F S M m s X s Mls s bsX s mgl s ml s s mls X s θθθ=+-+=- 传递函数：13222432()3()()(4)43()3()43()()(4)43()3s sG s F s Ml ml s bls M m gs gbX s ls gG s F s Ml ml s bls M m gs gbsθ==++-+--==++-+-将数值带入后得到系统的传递函数：132224323() 1.461240.10842.6888 2.941.0829.4() 1.461240.10842.6888 2.94sG s s s s s G s s s s s =+---=+--四、应用Simulink建立仿真模型进行实验1．控制系统的simulink仿真结构图及仿真结果其中PID控制器的传递函数参数的初步范围可以由劳斯判据确定，具体过程如下：设PID控制器的传递函数为1()P I DD s K K K ss=++，则以θ为输出量的系统特征方程为111()()0P ID K K K s G s s+++= 整理得321.46124(30.108)(342.6888)(3 2.94)0D P I s K s K s K +++-+-=通过劳斯判据可以确定，若使系统稳定，则有0.48708(3 2.94)0.98,0,14.22960.1083I I D P DK K K K K ->>>++通过模拟系统反复实验，根据PID 各个参数的作用进行数值调整，得到使系统满足要求的PID 控制器的传递函数为：1()90092650D s s s=++2. 系统响应曲线在单位阶跃输入下，θ（t ）的响应曲线为：从该响应曲线可以看出，此时系统的稳定时间小于10s ，且摆杆的摆幅小于2度，满足控制要求。
(完整word版)一级倒立摆控制系统设计
基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。
设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统.二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置,并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度.当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。
实验参数自己选定，但要合理符合实际情况,控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。
三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是:由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。
计算机根据一定的控制算法，计算出空置量,并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡.四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示,其中：M:小车质量m:为摆杆质量J ：为摆杆惯量 F:加在小车上的力 x ：小车位置θ：摆杆与垂直向上方向的夹角l :摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1） 摆杆绕其重心的转动方程为（2） 摆杆重心的运动方程为得(3）小车水平方向上的运动为22..........(4)x d xF F M d t -=联列上述4个方程，可以得出一阶倒立精确气模型：()()()()()()()2222222222222222sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ⎧+++-⎪=++-⎪⎨+-+⎪=⎪-++⎩式中J 为摆杆的转动惯量：32m l J =sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-2222(sin ) (2)(cos ) (3)x y d F m x l d td F mg m l d t θθ=+=-若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（︒︒≤≤-1010θ)的细微变化，则可以近似认为：⎪⎩⎪⎨⎧≈≈≈1cos sin 02θθθθ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=++-+=2..2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 若取小车质量M=2kg,摆杆质量m=1kg,摆杆长度2 l =1m ，重力加速度取g=2/10s m ,则可以得一阶倒立摆简化模型：....0.44 3.330.412x F F θθθ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 拉氏变换即 G 1（s ）= ； G 2（s)=一阶倒立摆环节问题解决！2.电动机驱动器选用日本松下电工MSMA021型小惯量交流伺服电动机，其有关参数如下: 驱动电压：U=0～100V 额定功率:PN=200W 额定转速:n=3000r/min 转动惯量:J=3×10-6kg 。
一阶倒立摆项目报告剖析
10.1Gc(S) 0.057S 1
0.0057 S 1
校正后系统的传递函数为
10(0.057S 1) G (S) (0.0057 S 1)(0.0102125 S2 0.26705)
4.2 校正前后波特图
校正前系统的波特图
校正后系统的波特图
5.1 系统加入 PID：
五.PID 控制
5.2 自动调节 PID 参数
subplot(3,2,4);step(T,t) %
校正后系统阶跃相应
Transfer function:
0.02725
--------------------
0.01021 s^2 - 0.2671
Empty matrix: 0-by-1
p =5.1136 -5.1136
K = 2.6683
Zero/pole/gain:
4.1 校正后传递函数…………………………………………………… 11
4.2 校正前后波特图…………………………………………………… 12
五、 PID 控制
5.1 系统加入 PID……………………………………………………… 13
5.2 自动调节 PID 参数………………………………………………… 13
AdjustTime=0.5; % 设置调整时间
zeta1=abs(sqrt((log(OverStep)^2)/(pi^2+(log(OverStep)^2))))
% 计算满足设计要求的阻尼比
sita1=acos(zeta1)
wn=4/(zeta1*AdjustTime) % 计算满足要求的自然振荡角频率
5.3 加入 PID 后的阶跃响应
5.4 加入 PID 后的脉冲响应
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。
合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。
一级倒立摆分析
一级倒立摆的极点配置及仿真摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。
本文主要研究的是一级倒立摆，首先应用动力学方程建立一级倒立摆的非线性数学模型，采用小偏差线性化的方法在平衡点附近局部线性化得到线性化的数学模型。
然后通过输入单位阶跃信号分析系统的开环稳定性，由线性化得到的状态方程判断系统的能控性和能观性，结合系统的稳定性条件、调整时间以及超调量找到合适的极点，运用极点的配置方法（Matlab的acker函数）算出状态反馈增益矩阵K，运用状态空间分析方法，采用状态反馈为倒立摆系统建立稳定的控制律，并判断加入反馈矩阵K后的能观性和能控性是否改变。
最后应用Matlab中的Simulink建立相应框图，得到输出变量水平位置和角度随时间的变化曲线，验证加入反馈矩阵K后一级倒立摆系统的稳定性。
关键词：一级倒立摆状态反馈极点配置Matlab Simulink目录1、一级倒立摆系统简介 (2)2、一级倒立摆系统的数学模型 (3)2.1、数学模型的建立 (3)2.2、运动分析 (4)2.2.1、沿水平方向运动（直线运动） (4)2.2.2、绕轴线的转动（旋转运动） (6)3、状态空间极点配置 (8)3.1、系统开环稳定性分析 (8)3.2、开环系统的能控性分析 (10)3.3、开环系统的能观性分析 (11)3.4、系统极点配置 (12)3.5、闭环系统的能控性和能观性分析 (15)4、一级倒立摆系统Matlab仿真 (16)4.1、系统开环Simulink搭建及仿真 (16)4.2、系统极点配置后的Simulink仿真 (19)5、总结 (23)6、参考文献 (24)1、一级倒立摆系统简介倒立摆系统是一种很常见的又和人们的生活密切相关的系统，它深刻揭示了自然界一种基本规律，即自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。
一级倒立摆实验(状态反馈)
第1章倒立摆系统介绍1.1 倒立摆系统简介倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。
最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。
由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。
平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。
1.2 倒立摆分类倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置，由于在相同的运动模块上可以装载不同的倒立摆装置，倒立摆的种类由此而丰富很多，按倒立摆的结构来分，有以下类型的倒立摆：1) 直线倒立摆系列直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件，可以组成很多类别的倒立摆，直线柔性倒立摆和一般直线倒立摆的不同之处在于，柔性倒立摆有两个可以沿导轨滑动的小车，并且在主动小车和从动小车之间增加了一个弹簧，作为柔性关节。
直线倒立摆系列产品如图 1-1 所示。
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一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆惯量F：加在小车上的力x：小车位置ɸ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程：M ẍ＝Ｆ-ｂẋ-Ｎ (1-1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程：N =md 2dt 2(x +l sin θ) (1-2)即： N =mẍ+mlθcos θ−mlθ2sin θ (1-3)将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )ẍ+bẋ+mlθcos θ−mlθ2sin θ=F (1-4)为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P −mg =md 2dt 2(l cos θ) (1-5)P −mg =− mlθsin θ−mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：−Pl sinθ−Nl cosθ=Iθ (1-7)注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+ɸ，cosɸ=−cosθ，sinɸ=−sinθ，所以等式前面含有负号。
合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程：(I+ml2)θ+mgl sinθ=−mlẍcosθ (1-8)设θ=π+ɸ，假设ɸ与1（单位是弧度）相比很小，即ɸ＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=−1，sinθ=−ɸ，（dθdt ）2=0。
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下：{(I+ml2)ɸ−mglɸ=mlẍ(M+m)ẍ+bẋ−mlɸ=u(1-9)假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到：{(I+ml2)Φ(s)s2−mglΦ(s)=mlX(s)s2(M+m)X(s)s2+bX(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度ɸ，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(s)=[(I+ml2)ml −gs2]Φ(s) (1-11)或改写为：Φ(s)X(s)=mls2(I+ml2)s2−mgl(1-12)如果令v=ẍ,则有：Φ(s)V（s）=ml(I+ml2)s2−mgl(1-13)如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到：(M+m)[(I+ml2)ml −gs]Φ(s)s2+b[(I+ml2)ml+gs2]Φ(s)s−mlΦ(s)s2=U(s) (1-14) 整理后可得传递函数：Φ(s) U(s)=mlqs2s4+b(I+ml2)qs3−(M+m)mglqs2−bmglqs(1-15)其中q=[(M+m)(I+ml2)−(ml)2]假设系统状态空间方程为：X=AX+Buy=CX+Du (1-16) 方程组对ẍ,ɸ解代数方程，可以得到解如下：{ẋ=ẋẍ=−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2ẋ+m2gl2I(M+m)+Mml2ɸ+(I+ml2)I(M+m)+Mml2uɸ=ɸɸ=−mlbI(M+m)+Mml2ẋ+mgl(M+m)I(M+m)+Mml2ɸ+mlI(M+m)+Mml2u(1-17)整理后可以得到系统状态空间方程：[ẋẍɸɸ]=[01000−(I+ml2)bI(M+m)+Mml2m2gl2I(M+m)+Mml200010−mlbI(M+m)+Mml2mgl(M+m)I(M+m)+Mml20][xẋɸɸ]+[(I+ml2)I(M+m)+Mml2mlI(M+m)+Mml2]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-18)由（1-9）的第一个方程为：(I+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ对于质量均匀分布的摆杆可以有：I=13ml2于是可以得到：(13ml2+ml2)ɸ−mgl ɸ=mlẍ化简可以得到：ɸ=3g4l ɸ+34lẍ(1-19)设X={x, ẋ, ɸ , ɸ}，u=ẍ则有：[ẋẍɸɸ]=[010000000001003g4l0][xẋɸɸ]+[134l]uy=[xɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u(1-20)以上公式推理是根据牛顿力学的微分方程验证的。
在实际系统中模型参数如下：M 小车质量1.096 Kgm 摆杆质量0.109 Kgb 小车摩擦系数0 .1N/m/secl 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.2 5mI 摆杆惯量0.0034 kg*m*m将上述参数代入，就可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：Φ(s) X(s)=0.02725s20.0102125s2−0.26705(1-21)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：Φ(s) V（s）=0.027250.0102125s2−0.26705(1-22)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：Φ(s) U（s）= 2.35655ss3+0.0883167s2−27.9169s−2.30942(1-23)以外界作用力作为输入的系统状态方程：[ ẋẍ ɸɸ]=[01000−0.08831670.629317000010−0.23565527.82850][x ẋɸɸ]+[00.88316702.35655]uy =[x ɸ]=[10000010][x ẋɸɸ]+[0]u (1-24) 以小车加速度作为输入的系统状态方程：[ ẋẍ ɸɸ]=[0100000000010029.40][x ẋɸɸ]+[0103]u y =[x ɸ]=[10000010][xẋɸɸ]+[0]u （1-25） 综述可知以上就是一级倒立摆系统的模型建立过程，最终得出了实际模型的传递函数和状态空间方程。
二、 系统模型的转换以小车加速度作为输入的系统状态方程为例，将系统状态方程转化为能控标准型，能观标准型和约当标准型。
由系统状态方程可知：A =[010000000001029.40] B =[0103]C=[1000]0010]D=[01、转化为能控标准型定出系统特征多项式：>> a=poly(A) a =1.0000 -0.0000 -29.4000 0 0 由此可知a0=0, a1=0, a2=-29.4, a3=0。
>> b3=C*Bb3 =b2=C*A*B+a3*C*Bb2 =13>> b1=C*A^2*B+a3*C*A*B+a2*C*Bb1 =>> b0=C*A^3*B+a3*C*A^2*B+a2*C*A*B+a1*C*Bb0 =-29.4000所以系统的能控标准型为：[ẋ1ẍ1ɸ1ɸ1]=[0 10000 1000010029.40][x1x1ɸ1ɸ1]+ [1]uy=[−29.40100030][x1x1ɸ1ɸ1]+[0]u2、转化为能观标准型利用对偶性求出能观标准型为：[ẋ1ẍ1ɸ1ɸ1]=[0 00010 0001029.40010][x1x1ɸ1ɸ1]+ [0−29.4003300]u y=[0001][x1x1ɸ1ɸ1]3、转化为约当标准型首先求出系统的特征值以及相应的特征向量：A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]A =0 1.0000 0 00 0 0 00 0 0 1.00000 0 29.4000 0>> [V,D]=eig(A)V =0 0 1.0000 -1.00000 0 0 0.00000.1814 -0.1814 0 00.9834 0.9834 0 0D =5.4222 0 0 00 -5.4222 0 00 0 0 00 0 0 0其中D表示A全部特征值构成的对角阵，V表示相对应的特征向量。
求出变换矩阵V的逆：>> V1=inv(V)Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 1.720635e-292.V1 =1.0e+291 *0 0 0.0000 0.00000 0 -0.0000 0.00000.0000 2.4948 0 00 2.4948 0 0计算变换后的系数矩阵：>> A1=V1*A*VA1 =5.4222 0 0 00.0000 -5.4222 0 00 0 0 0.00000 0 0 0 B1=V1*BB1 =1.0e+291 *0.00000.00002.49482.4948所以系统的约当标准型为：[ẋ1 ẍ1ɸ1ɸ1]=[5.4222 0000−5.4222 0000000000][x1x1ɸ1ɸ1]+ 1.0e+291 ∗[2.49482.4948]u三、开环阶跃响应曲线及分析利用已知的状态空间方程来进行阶跃响应分析，在MATLAB中可以写入以下命令：>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]；>> B=[0;1;0;3]；>> C=[1 0 0 0;0 1 0 0]；>> D=[0;0]；>> step(A,B,C,D)可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。
四、判断系统稳定性判断系统的稳定性可以利用根轨迹来判断，已知实际系统的开环传递函数为：Φ(s)V（s）=0.027250.0102125s2−0.26705，则其根轨迹图形可以利用MATLAB键入如下命令来完成。
>> num=[0.02725];>> den=[0.0102125 0 -0.26705]; >> z=roots(num)z =Empty matrix: 0-by-1>> p=roots(den)p =5.1136-5.1136>> rlocus(num,den)可以看出系统没有零点，有两个极点，并且有一个极点为正。
由画出的根轨迹图形可以看出闭环传递函数的一个极点位于复平面的右半平面，这就意味着系统是一个不稳定的系统。
五、 能控性和能观性分析对于系统的能控性和能观性分析，可以利用能控性秩判据和能观性秩判据。
能控性秩判据：对于n 维连续时间线性时不变系统，构成能控性判别矩阵：Q c =[B ⋮AB ⋮⋯⋮A n−1B]，则系统完全能控的充要条件为：rankQ c =rank [B ⋮AB ⋮⋯⋮A n−1B ]=n能观性秩判据：对于n 维连续时间线性时不变系统，构成能观性判别矩阵：Q o =[C CA ⋮CA n−1]，则系统完全能观的充要条件为： rankQ o =rank [C CA ⋮CA n−1]=n 利用MATLAB 键入以下命令来进行判断：>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0];>> B=[0;1;0;3];>> C=[1 0 0 0;0 1 0 0];>> D=[0;0];>> Qc=[B A*B A^2*B A^3*B]Qc =0 1.0000 0 01.0000 0 0 00 3.0000 0 88.20003.0000 0 88.2000 0>> R1=rank(Qc)R1 =4>> Qo=[C;C*A;C*A^2;C*A^3]Qo =1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0>> R2=rank(Qo)R2 =2可以看出，系统的完全能控矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全能观测矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统是可以完全能控完全能观测的系统。