一个自然数幂和公式的推导

-1
)+
na
个递推关系。做形式幂级数：
n = 0,
下面来求解这
n ≥ 1.
∞
∑ A(x) = Sα(n)xn n=0
将递推关系代入（1）得
∞
∞
∑ ∑ A(x) − Sα(0) = Sα(n −1)xn + nα xn
n=1
n=1
∞
∑ = xA(x) + nα xn n=1
∑ ∑ 所以，
A( x)
=
1 1− x
（5）
其中， Lαj （1≤j≤α）为多项式 fα (x) 的 x j 项的系数，即“李氏数”。例如，
S4
(n)
=
(n+4 5
)
+
11(5n+3
)
+
11(5n+2
)
+
(n+1 5
)
。
根据图 1 和 （5）式， 很容易写出 S α(n) 一般组合形式的表达式。
4. 结论
S α(n) 的计算方法有很多种，大多数都是通过递推的形式。本文给出了自然数幂和以
α
α
∑ ∑ (1− x)( ai xi )' − (−1)(α +1) ai xi
=x
i =1
i =1
(1− x)α +2
α −1
∑ a1 + [(1+ α − i)ai + (i +1)ai+1]xi + aα xα
=x
i =1
(1− x)α &##43;1(x) (1− x)α +2
可以看出，当把生成函数 G{k α +1} 的分子多项式 fα +1(x) 写为升幂或降幂的形式时，
∞ n=1
nα
xn
。令
∞
Tα (x) = nα xn ，于是，
n=0
（1）
A(x) = 1 Tα(x) 1− x
（2）
其中，T α (x) 是数列{kα } 的生成函数，记为 G{kα } 。求出形式幂级数 A（x）的 xn
项对应的系数即是 Sα (n) 。
-1-

它的系数可以由 G{kα } 的分子多项式系数递推地得出。即 fα+1(x) 的系数是 fα (x) 系
数的线性和。由 f1(x) = x 和
系数的递推三角阵：
f2 (x) = x + x2 的系数，根据（3）可以写出 fα (x)
-2-

1
1
1
1
4
1
1
Lu Duojun
The Shenyang institute of computing technology .Chinese Academy of Sciences, Shenyang (110004) Abstract
This paper deduces the formulary of the summation of powered natural numbers,by solving the recursion. It offers methods and accords for computing the summation of powered natural numbers using computers. Keywords: summation of powered natural numbers, formed power series, generated function
j)
Li−1 j −1
+
jLij−1
1< i, 1< j < i
（4）
其中，每一行的首项和末项为 1。由（4）容易得出 fα (x) 的系数是对称的。例如，
f4 (x) = x +11x2 +11x3 + x4
，进而有， G{k 4} =
x
+11x2 +11x3 (1− x)5
+
x4
。
3. Sα(n) 的求解
1. 引言
n
∑ 自然数的幂和指的是对于 α，n∈N，形如 Sα (n) = iα 的求和式。这是一个古典 i =1
的数学问题，从古希腊阿基米德开始研究，一直是经典数学问题研究热点之一。本文通过对 递推关系的求解，推导出自然数幂和的一种表示。
⎧0
对
α∈
N，
S
α(n)
可以递归地表示为
S
α(n)
=
⎨ ⎩ Sa(n
+2
。于是，
可以求得
A(x) =
fα
(
x)
⋅
G{(
m k
+k
−1
)}
= fα (x) ⋅ G{(αk +k+1)}
α
∑ xn 的系数： Sα (n) =
Lαj
⋅
(αn−+
n− j
j
+1
)
j =1
-3-

α
∑ =
Lαj
(αα
+n− +1
j+1 )
。
j =1
α
∑ 由 G{k} =
x (1− x)2
，得 G{k 2} =
x ⋅ G'{k} =
x + x2 (1− x)3
。设 G{k a
}
=
i =1
(1 −
ai xi x)α +1
，
其中 ai ∈ N
α
∑ ，记 f α (x) = ai xi 为 G{kα } 的分子， 那么 i =1
G{kα +1} = xG'{kα }
-4-
由（2）
A(
x)
=
1
1 −
x
T
α
(
x)
，而
Tα (x)
的分子系数满足（3）所表示的递推关系。
α
∑ 设
fα (x) =
Lαj x j ，那么
j =1
A(
x)
=
1
1 −
x
⋅
(1
fα −
(x) x)α +1
=
fα (x) (1− x)α +2
。
又，
G{(mk +k−1)} =
1 (1− x)m
[2]。令 m = α
简单递推关系为基础的组合数表示及推导过程。从组合表示形式很容易计算出自然数幂和的 多项式形式。从而简化幂和的计算过程。
参考文献
[1] 吴文俊．《世界著名数家传记》[M]，北京：科学出版社，1995 [2] 孙淑玲， 许胤龙 ．《组合数学引论》[M]，合肥：中国科学技术大学出版社，2002.4
A Deduction of the formulary for summing powered natural numbers
2. G{kα } 的推导
以已经知道的生成函数作为基础，归纳推导出 G{kα } 系数满足的递推关系。为了便于
推导先介绍生成函数的一个性质：
∞
∑ 设 数 列 {ak } 的 生 成 函 数 G{ak } = A(x) = ak xn , bk = k ⋅ ak , 那 么 n=0
G{bk } = x ⋅ A' (x) 。其中， A'(x) 是 A(x) 的一阶导数。
11
11
1
1
26
66
26
1
1
57
302
302
57
1
…
图 1 fα (x) 系数的递推关系
fα +1(x) 的系数对应于第 α +1行。这就是我国古代数学家李善兰所发现的乘方垛求
和公式中的“李氏数”[1]。在图 1 中，根据（3）第 i 行第 j 列的“李氏数”满足下面递推关系：
Lij
=
(1+ i −

一个自然数幂和公式的推导
陆多俊
中国科学院沈阳计算技术研究所，辽宁沈阳（110004）
E-mail：ludj@
摘 要：本文从对递推关系求解的角度，推导出自然数幂和的组合数表达形式。为计算机求 解幂和问题提供了方法和依据。 关键词：幂和，形式幂级数，生成函数 中图分类号：O122.7