第3讲 微分方程模型
微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
微分方程模型
1 ( dy dx 2 (1 x ) )
2
(1 x )
d y dx
2
2
d为：
1 (
代入得：
d y dx
2
2
另有初始条件：y (0) 0， y '(0) 0
模型求解
求解过程见“鱼雷追击”文件； 其中%表示运用上次记算的结果，此处表 示求得的y=y[x]鱼雷运动轨迹方程； /.{x→1}表示用1代替/.前边式子中的x； 求解结果表明，敌舰在行驶2/3mile后被击 中，即一分钟后被击中；
dt i (0 ) i 0
模型求解
1 i0 i (t ) 1 t i0 ( )t e
1 1
定义变量：
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 从而使病人比例减小;
研发特效药是有效提高日治愈率μ;使使σ 减小,从而使病人比例减小;
SIS模型函数关系
s (t ) i (t ) 1 每天新增病人数为： N i (t ) s (t ) 每天被治愈的病人数为： N i ( t ) 病人变化量为： d i
N dt
N i (t ) s (t ) N i (t )
所以有：d i i ( t )[1 i ( t )] i ( t )
Mathematica求极限
Limit[f[x],x－>x0,Direction－>±1] 功能：求函数f[x]在x0处的左,右极限.
例求
数学建模第三章微分方程模型
3-7 香烟过滤嘴的作用机理（2）
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3-7 香烟过滤嘴的作用机理（3）
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3-7 香烟过滤嘴的作用机理（7）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（8）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（9）
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3-6 疾病传播的机理分析模型（10）
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3-10 赤道上空通讯卫星颗数的确定（3）
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微分方程模型(数学建模)
3
2019年1月8日
开普勒三大定律：
《数学的实践与认识》 2005.12
• 太阳系每一颗行星的轨道皆以太阳为一 焦点的椭圆;
• 行星的向径在单位时间扫过的面积是一 个常数；
• 行星运动周期之平方与平均距离之立方 成正比。
4
2019年1月8日
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段 • 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
5 2019年1月8日
微分 方程 建模
一、微分方程建模的思想和方法
当我们用微观的眼光观察实际问题时一般遵循如下的模式
净变化率=输入率-输出率
（1）根据已知规律：利用数学、物理、力学、化学等经 过实践检验的规律和定理； （2）利用微元法 （3）利用模拟近似法：在社会科学、生物学、医学、经 济学的学科中一些现象的规律性我们不太清楚，需要在不 同的假设下去模拟实际现象。如此建立的模型从数学上求 解或分析后再与实际对比，观察看这个模型是否能够模拟、 近似这些现象。
现代战争的特点是多兵种的协同作战，根据不 同兵种的特点,在不同的区域参加战斗，都对战争的 结果产生一定的影响．
20 2019年1月8日
战争的预测与评估问题
１．问题的提出 现在要求建立数学模型讨论的问题： (1) 分析研究引起军备竞赛的因素，并就诸多 因素之间的相互关系进行讨论； (2) 在多兵种的作战条件下，对作战双方的战 势进行评估分析. （3）分析研究作战双方的兵力消耗，并预测初 始总兵力和战斗力变化对作战结果的影响。
各种微分方程模型
第三章 微分方程模型当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型.建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了.经济增长模型本节的模型将首先建立产值与资金、劳动力之间的关系，然后研究资金与劳动力的最佳分配，设投资效益最大，最后讨论如何调节资金与劳动力的增长率，使劳动生产率得到有效增长。
3.1.1.道格拉斯（Douglas ）生产函数用()Q t ,(),()K t L t 分别表示某一地区或部门在时刻t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作()((),())Q t F K t L t = （1）其中F 为待定函数。
对于固定的时刻t ，上述关系可写作(,)Q F K L = （2）为寻求F 的函数形式，引入记号/,/Z Q L y K L == （3）Z 是每个劳动力的产量，y 是每个劳动力的投资，如下的假设是合理的：Z 随着y 的增加而增长，但增长速度递减。
进而简化地把这个假设表示为(),()01aZ cg y g y ya ==<< （4）显然函数g （y ）满足上面的假设，常数c>0可看成技术的作用。
由（3）（4）即可得到(2）式中F 的具体形式为10,1<<=-αααLK cQ （5）由（5）式容易知道Q 有如下性质0,,0,2222<>∂∂∂∂∂∂∂∂LK Q Q L QK Q （6）记K Q Q k ∂∂=,Q K 表示单位资金创造的产值；Q L , LQ∂∂ 表示单位劳动力创造的产值，则从（5）式可得Q L K QL QK Q Q Q Q LKLK=+-==,1,αα （7）（7）式可解释为：a 是资金在产值中占有的份额，1-a 是劳动力在产值中占有的份额。
3微分方程模型
微分模型课程安排一、微分模型简介二、微分静态模型1、血管分支模型2、最佳存贮模型三、微分动态模型1、水流出的时间2、CO2的吸收3、浓度变化问题4、服药问题5、人口模型四、香烟过滤嘴问题一、微分模型简介微分模型是数学模型中的最主要模型，也是应用最为广泛的数学模型。
通常微分模型可分为两类，静态模型与动态模型。
微分静态模型主要出现在解决一些简单的优化问题中。
此类问题通常可将所要解决的实际问题化简为一个一元或多元的目标函数的最值问题，只要对目标函数求导数或偏导数就可求得驻点，从而讨论问题的最优解决方案。
这种解决实际问题的方法在《高数》书中就有一定的讨论只不过当时不是学习的重点而已。
而微分动态模型，从名称上看我们就知到此方法是用来解决动态变化问题的。
当我们从实际问题中得到的目标量是一个随时间或空间在改变的量时，直接建立此目标量的动态变化方程是很困难的，通常可以先找到此问题的动态变化函数（一般是一个微分方程或方程组），然后通过解方程的方法来求解出我们所需要的目标量所满足的方程。
同样在《高数》书中提到的微元法就是此方法的讨论，它是任何一项研究都必须要首先考虑和掌握的基本方法。
下边举几个例子看一下我们该怎样使用这两种方法.===================================================================== 二、微分静态模型微分静态模型的关键就是建立一个包含各个影响因素在内的目标函数。
具体分析步骤：（1）首先明确我们的优化目标；（2）明确影响这个目标的各个因素；（3）建立目标函数与各指标的代数关系；（4）对各指标变量求导数（或偏导）找极值点；（5）讨论目标的极值。
问题1血液在动物的血管中一刻不停地流动，为了维持血液循环动物的机体要提供能量。
能量的一部分用于供给血管壁以营养。
另一部分用来克服血液流动受到的阻力，消耗的总能量显然与血管系统的几何形状有关。
在长期的生物进化过程中，高级动物血管系统的几何形状应该已经达到消耗能量最小原则下的优化标准了。
《微分方程模型》课件
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас
微分方程模型
微分方程模型一、 一阶常微分方程模型在很多实际问题的研究中，经常要涉及各变量的变化率问题。
这些问题的解决通常要建立相应的微分方程模型。
微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理，力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学，人口预测等社会科学方面的应用则是在类比，假设等措施下建立起来。
（一）人口模型人口数量以及和次类似的动植物种群 的个体数量都是离散变量，不具有连续可微性。
但由于短时间内改变的是少数个体，与整体数量相比，这种变化是很微小的。
基于此原因，为了成功应用数学工具，我们通常假定大规模种群的个体数量是时间的连续可微函数。
此假设条件在非自然科学的问题中常常用到。
1、指数增长模型（Malthus 人口模型）美国人口学家Malthus(1766-1834)于1798年根据百余年人口统计资料提出了著名的人口指数增长模型。
模型假设：在人口的自然增长过程中，单位时间内人口增量与人口总数成比。
模型建立：设)(t N 为t 时刻的人口述，考察时间区间t t ∆+上的人口变动。
t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(令0→∆t 可以得到微分方程模型⎪⎩⎪⎨⎧=>=00)(0,N r N r rN dt dN 可以解得此方程的解为)(00)(t t r e N t N -=模型分析和应用：(1)当0>r 时，人口将随着时间的增加无限的增长，这是一个不合理的模型，因为一个环境的资源不可能容纳无限增长的人口，从生态环境的角度分析也可以看出其中的不合理性。
一般说来，就一个种群的发展规律看，在种群的发展初期种群数的变化是和指数增长模型大致吻合的（甚至可能出现年增长率递增的现象），但是随着人口数的增加，人口的年增长率将呈现逐年递减的现象。
再考虑到环境适应程度的制约，想象人口的增长不可能超过某个度。
(2)对于其中常数增长率r 的估计可以使用拟合或者参数估计的方法得到。
(3)在实际情况下，可以使用离散的近似表达式t r N t N )1()(0+=作为人口的预测表达式。
微分方程模型
图示
y 敌艇 R=(0,at)
D(x,y)
x (c,0)
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： b ds
dt
dt
3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体 积为v0。
在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：
其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
2gy
（2）弧微分公式： ds 1 (y/ )2 dx
（3）下降的时间： dt ds ds 1 ( y/ )2 dx
v 2gy
2gy
模型：
2、追线问题
我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。
令t 0,得 dp rp(N p), r 0, dt
p(0) 1
解
p(t)
N
为
1 (N 1)erNt
当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？ 还有当？时变化率最大？
如果考虑广告的效应呢？
考虑单位时间内使用该技术的企业数增量 时应把示范效应和广告效应一起考虑。而 广告只对没采用该技术的企业起作用。假 设其引起的增量与（N-p）成正比
第三章 微分方程模型
第三章 微分方程模型本章重点是：车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法复习要求1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法。
2．理解种群的相互关系模型的建立原理与结论。
3．会建立较为简单的相关实际问题的数学模型。
所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.一、车间空气清洁问题某生产车间内有一台机器不断排出CO 2，为了清洁车间里的空气，用一台鼓风机通入新鲜空气来降低车间空气中的CO 2含量，那么，上述做法的清洁效果如何呢？这一问题是利用平衡原理来建模，即建立其微分方程模型．请注意，平衡原理在建立微分方程模型时常表现为区间],[x x x ∆+上的微元形式：某个量在该区间上的增加量等于该区间段内进入量与迁出量的差．1．问题分析与假设上述清洁空气的原理是通过鼓风机通入新鲜的空气，其CO 2含量尽管也有但较低．新鲜空气与车间内空气混合后再由鼓风机排出室外，从而降低CO 2含量．为讨论问题方便，假设通入的新鲜空气能与原空气迅速均匀混合，并以相同风量排出车间. 此问题中的主要变量及参数设为：车间体积：V （单位：立方米），时间：t （单位：分钟），机器产生CO 2速度：r （单位：立方米/分钟），鼓风机风量：K （单位：立方米/分钟）新鲜空气中CO 2含量：m %，开始时刻车间空气中CO 2含量：x %，t 时刻车间空气中CO 2含量：x (t )%，2．模型建立考虑时间区间[t , t +Δt ]，并利用质量守恒定律：[t , t +Δt ]内车间空气中CO 2含量的“增加”等于[t , t +Δt ]时间内，通入的新鲜空气中CO 2的量加上机器产生的CO 2的量减去鼓风机排出的CO 2的量，即CO 2增加量=新鲜空气中含有CO 2量+机器产生的CO 2量－排出的CO 2量数学上表示出来就是V [x (t+∆t)% - x (t)%]=K m %∆t +r ∆t –⎰∆+tt t K x (s)%ds其中t ≥0. 于是令0→∆t ，取极限便得 ⎪⎩⎪⎨⎧=>-=,)0(,0,0x x t bx a dt dx其中.,100VK b V r Km a =+=3．模型求解与分析此问题是一阶线性非齐次常微分方程的初值问题. 解之得},exp{)100(100}exp{)()(00t V K K r Km x K r Km bt b a x b a t x -+-++=--+= 这就是t 时刻车间空气中含CO 2的百分比.显然，,1000x Kr Km <+否则CO 2含量只能增加. 令,+∞→t 则有,100100)(lim Kr m K r Km t x t +=+=+∞→ 这说明了，车间空气中CO 2的含量最多只能降到%100Kr Km +.由此可见，鼓风机风量越大（K 越大），新鲜空气中CO 2含量越低（m 越小），净化效果越好.4．模型的优缺点分析及改进方向：优点：模型简洁，易于分析和理解，并体现了建立微分方程模型的基本思想，而且所得到的结果与常识基本一致.缺点：建立数学模型时所作出的假设过于简单.改进方向：（1） 考虑新鲜空气和车间内的空气的混合扩散过程重新建模；（2）若要使得车间空气中的CO 2含量达到一定的指标，确定最优的实施方案.二、减肥问题随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高.由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题.如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题.于是了解减肥的机理成为关键.1．背景知识根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：（1） 每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准.如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响.（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志.（3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量.（4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳.（5） 一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%.2．问题分析与模型假设（1） 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标.对于一个成年人来说体重主要由三部分组成：骨骼、水和脂肪.骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志.已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×107焦耳的能量.记D=4.2×107焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数.（2） 人体的体重仅仅看成是时间t 的函数w (t )，而与其他因素无关，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响.（3） 体重随时间是连续变化的，即w (t )是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的.（4） 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的.可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B 为每1千克体重每天因活动所消耗的能量.（5） 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重.记C 为1千克体重每天消耗的能量.（6） 减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A .3．模型的建立建模过程中，我们以“天”为时间单位.根据假设3，我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化.根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差.考虑时间区间[t ,t +Δt ]内能量的改变，根据能量平衡原理，有⎰⎰∆+∆+--∆=-∆+t t t tt tds s w C ds s w Bt A t w t t w D .)()()]()([ 由积分中值定理有 ),1,0(,)()()(∈∆∆+-∆=-∆+θθt t t bw t a t w t t w其中a =A/D,b=(B+C)/D,遍除以t ∆并令Δt →0取极限得0),()(>-=t t bw a dtt dw （3.1）这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型.4．模型的求解 设t =0为模型的初始时刻，这时人的体重为w (0)=w 0.模型（3.1）的求解方法很多，下面用积分因子法求解. 在（3.1）的两边同时乘以e bt 得bt bt bt bt btae t w e dtd ae e t bw dt t dw e ==+))((,)()(即 从0到t 积分，并利用初值w (0)=w 0得bt bt bt e ba wb a e b a e w t w ----+=-+=)()1()(00. （3.2） 5．模型的分析与修改推广 （1）ba 是模型中的一个重要参数.a =A /D 是每天由于能量的摄入而增加的体重.b=(B+C)/D 是每天由于能量的消耗而失去的体重.不进食的节食减肥法是危险的.因为,0)(lim =+∞→t w t 即体重（脂肪）都消耗尽了，如何能活命！ （2）假设a =0，即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生.此时，w (t )=w 0e bt -.当a =0时，由（3.11）式有（w 0－w (t )）/w 0=1－e bt -，这表明在[0，t ]内体重减少的百分率为1－e bt -，称之为[0，t ]内体重消耗率，特别地，1―e b -是单位时间内的体重的消耗率，事实上，w (t +1)=w 0e )1(+-t b =w 0e bt -e b -=w (t )e b -,所以（w(t)-w(t+1)）/w(t)=1－e b -.自然0/)(w t w e bt =-为[0，t ]内的体重保存率，它表明t 时刻体重占初始体重的百分率.基于上面的分析，由（3.2）式可知，t 时刻的体重由两部分构成：一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的.（3）由（3.2）式有，,:)/(/)(lim *+∞→=+==w C B A b a t w t 也就是说模型（3.1）的解渐近稳定于*w ，它给出了减肥的最终结果，称*w 为减肥效果指标.因为bt e -衰减很快，在有限时间内，bt e b a w --)/(0就很小，可以忽略，当t 充分大时，),/(/)(C B A b a t w +==这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、瘦小），从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A （进食）、B （活动）、C （新陈代谢）.同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节A 、活动是调节B 、减肥药是调节C.由于C 是基础代谢和食物特殊动力的消耗，它不可能作为减肥的措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的.于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量.这也是熟知的常识.对于模型（3.1），容易证明，当且仅当0w w <*时有,0/<dt dw 这表明只有当0w w <*时才有可能产生减肥的效果.（4） 进一步讨论能量的摄取量A 与活动消耗量B 对减肥效果的影响.由有)/(C B A w +=*，,C w B w A **+=在A －B 坐标系内表示一条过点（－C,0）斜率为w *的直线.根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理功能所需要的能量.因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限w 1，当1w w <*时表明能量的摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量.这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康，因而称w 1为减肥的临界指标.此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，即存在B 1使得.01B B <<于是在A ——B 平面上由B =0、B =B 1和A =0所界出的上半带形区域被直线C w B w A l 000:+=和C w B w A l 111:+=分割成三个区域：1Ω、2Ω和3Ω，这表明减肥的效果是控制进食和增加消耗综合作用、相互协调的结果.在区域1Ω中，能量的摄取量A 大于体重为w 0（初始体重）时的消耗量w 0(B +C ),这时体重将在w 0基础上继续增加，故称之为非减肥区；而在区域3Ω中，能量的摄取量A 低于体w 1时的消耗量w 1(B +C ),体重将减少到临界减肥指标以下，图3—1这将危及人的身体健康，故称3Ω为减肥危险区.只有区域2Ω所表示的A 和B 的组合才能实现有效的减肥，故称B 为有效减肥区.（如图3－1）实际上，减肥的过程是一个非常复杂的过程.这个模型是一个简化的模型，只是为了揭示饮食和活动这两个主要因素与减肥的关系.三、单种群增长问题类似于人口增长模型，对单种群增长模型我们讨论以下几种情形．情形1 马尔萨斯模型1．模型假设（1）初始种群规模已知（设为N 0），种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；（2）种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；（3）种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等.（4）环境资源是无限的.确定变量和参数:t 自变量，t t N :)(时刻的种群密度， :b 出生率，:d 死亡率.2．模型的建立与求解由上述假设，单种群增长模型与马尔萨斯人口模型极为类似，于是使用完全相同的建模过程易得)(:)()()(t rN t N d b dtt dN =-= （3.3） 满足初始条件0)0(N N =的解为.)(0)(0rt t d b e N e N t N ==-于是有,)(lim ,,0+∞=>>+∞→t N d b r t 则有即 ,)(lim ,,00N t N d b r t ===+∞→则有即 ,0)(lim ,,0=<<+∞→t N d b r t 则有即 在种群生长的初期，种群规模较小，有足够的生存空间、足够的食物，彼此间没有利益冲突.但随着种群规模的逐渐扩大，对有限的空间、食物和其他生存必须条件的种内竞争越来越激烈，这必然影响种群的出生率和死亡率，从而降低实际增长率，因而在上述模型中假设出生率、死亡率为常数，资源无限不尽合理.情形2 罗捷斯蒂克模型1．模型假设（1）与情形1相同，但有一个理想条件下的最大种群值K ，种群密度达到K 时，不再增长；（2）与情形2相同（3）不区分种群个体的大小、年龄、性别等；（4）环境资源是有限的，且对每个个体的分配是均等的.2．模型建立与求解完全类似于人口模型的分析知道，种群的增长模型为⎪⎩⎪⎨⎧=-=,)0(),1(0N N K N rN dt dN （3.4） 其中r 是种群的固有（N =0时）增长率，K 是环境的最大容纳量.方程（3.4）既是变量可分离方程，又是贝努利型方程.容易求得其解为 000)()(N e N K KN t N rt +-=- （3.5）3．模型分析这里的分析与人口的罗捷斯蒂克模型又是完全类似的，从略.由于罗捷斯蒂克方程形式简单，且有非常深刻的实际背景，它是构建更为复杂生物数学模型的基础.虽然罗捷斯蒂克模型与自然界和实验室种群的增长吻合的非常好，但人们经过长期研究发现，罗捷斯蒂克模型也存在许多不合理之处：（1）自然环境因素充分恒定，不影响生殖率和死亡率；（2）拥挤对所有种群成员的影响相同，如果个体成群出现，并不是在整个可利用的空间中均匀分布，这个假设不大可能成立；（3）种群密度的变化不延误地立即影响生殖率和死亡率；（4）种群增长率是与密度相关的，甚至在很低密度下也是如此，如果假设有一个开端密度，在这个密度之下，种群个体之间互不干扰，可能更合理一些；（5）种群具有并保持一个稳定的年龄分布；（6）在有性繁殖的生物种群中，雌性总是能够找到配偶，甚至在低密度情况下也是如此；（7）种群的相对增长率是种群密度的线性函数.针对方程的上述缺陷，人们提出了各种各样的改进的单种群增长模型，这里不再讨论.情形3 单种群生物资源的开发与保护生物资源是自然资源的有机组成部分，是一种可更新的自然资源，能够根据自身的遗传特点，借助于增长、繁殖而不断地进行自我更新，维持数量稳定.但任何生物的繁殖必须满足其必要条件，如果对其进行合理利用和科学管理，会取之不竭，永续利用；生物资源也是一种可耗竭的自然资源，如果不加以科学管理，采取掠夺式的过度开发，资源将受到破坏，甚至完全枯竭.科学地利用和管理生物资源，必须遵循生态规律.过度捕猎而造成渔业、狩猎业、林业等生物资源的严重破坏，许多有经济价值的生物面临灭绝或种群密度过低而不能被利用．当然对于生物资源不加利用或不充分利用，听任其自生自灭，也是不符合人类利益的.因为这不一定能使资源增加，而是徒然的浪费.可更新资源的科学管理既要使产量达到最大，又要达到持久利用,例如：经营森林，不会在幼林期把正在生长的木材砍伐掉，也不会等待森林老朽了，因为这样只能获得少量木材，在这两个极端之间有一个最适点，即最适产量.最适产量比最大可持续产量更加广泛，它包括经济上对成本和收益的考虑，为了讨论方便起见，这里我们把最适产量的概念限定在最大可持续产量范围内.限于范围，这里主要讨论单种群生物资源的开发问题．设有一可更新资源，它是由某单一生物种群组成，例如：鱼塘中的鲫鱼，其增长规律符合罗捷斯蒂克方程).1(Kx rx dt dx -= （3.6） 现在对该生物种群进行开发，捕获的效果是增大种群的死亡率，设捕获率为,0)(≥t h 则被开发的生物种群的增长满足方程⎪⎩⎪⎨⎧>=--=0)()()1(00x t x t h K x rx dt dx （3.7） 设开发行为只考虑产量，不考虑经济效益.生物资源开发的目标是获得最大可持续产量.方案一：固定限额捕获策略（即0)(>=h t h ）令 0)1(:)(=--=h Kx rx x f 可解得方程（3.7）有两个平衡解： rrKh K r rK x r rKh K r rK x 24,24222221-+=--=图3—2当<04rK h <时，x 1,x 2同时存在且2120x K x <<<（图3－2（a ））而 ,0)(,0)(21<'>'x f x f 所以x 1是不稳定的，x 2是稳定的.若初始种群规模,10x x <则种群灭绝；若初始种群规模,10x x >尽管不断进行捕获，但从长期来看，种群数量将稳定为x 2. 当4rK h =时，.0)()(22121='='==x f x f K x x 且初始种群规模;0)(lim ,10=<+∞→t x x x t 则若初始种群规模2,2)(lim ,2110K x x K t x x x t ===>+∞→故则是半稳定的. 当21,,4x x rK h 时>均不存在，此时,0<dtdx 种群将灭绝，资源遭到破坏. (将0)1(:)(=--=h K x rx x f 进行配方得 )4()2()(2k r h r k x k r x f ----=，再进行分析即知．） 由上面分析可见，如果种群持续，必须有.4,4max rK h rK h =≤即从理论上讲，4rK h =*是最大的收获率，它是资源管理部门所渴望达到的管理目标，但若使2,4K x rK h ==是半稳定的，而在自然界中，种群资源经受着各种各样的干扰，如果外界干扰不利于种群增长，且在某一时刻生物种群的数量小于2K ，则种群就会灭绝.因此理论上可获得最大的捕获，但在实际中很难达到，可见固定限额捕获策略的实际操作性不好，必须寻求其他的开发策略.方案二：固定捕获努力量捕获策略捕获努力量即是单位时间内用于捕获所付出的努力，在渔业中经常用日出动捕鱼的渔船数或渔网数来度量.在单位捕获努力量的捕获量假设下，单位时间内的捕获量为,qEx h =即捕获与捕获努力量与种群密度的乘积成正比，其中E 是捕获努力量，q 是捕获能力系数，与设备的先进程度、从业人员的技术水平有关，不失一般性，在下面的讨论中，我们假设q =1.在上述假设下，被开发的生物种群的增长满足方程⎪⎩⎪⎨⎧>==--=0)(),(:)1(00x t x x F Ex K x rx dt dx （3.8） 注意到当,时r E ≥,0)(22<-≤--=x Kr x K r x E r dt dx 故种群将灭绝，不可能持续.生物资源可持续开发的一个基本前提是生物种群可持续发展，因此我们研究生物资源最优开发问题时，假设E <r . 令0)1()(=--=Ex Kx rx x F 得到方程（3.8）的平衡点为 ).1(,021rE K x x -== 容易计算得0)(0>-='E r x F ，,0)(1<-='r E x F所以x 0不稳定，x 1稳定，即当E <r 时，以捕获努力量E 开发捕获时，种群密度最终维持在x 1水平，此时捕获开发是可持续的.在捕获努力量E 之下，单位时间内可持续的捕获是).1()(2rE EK Ex E Y -== 资源管理的目标是制定一种开发捕获策略，使生物资源持续的前提下为人类提供最大的利益.即求解 ⎪⎩⎪⎨⎧<-=...),1()(max r E t s r E EK E Y 这是一个函数极值问题.令,0)(='E Y 解得最优捕获努力量为,2r E =* （3.9） 此时最优种群水平及单位时间的最大可持续捕获量分别为.4,2rK Y K x ==** （3.10） 综上所述，将捕获努力量控制在E *，或者说使渔场鱼量保持在环境容纳量的一半时，可以获得最大的可持续产量，这就是渔业中所采用的“2K 捕获策略”.四、多物种相互作用问题在客观世界中单一的生物种群是不存在的，不同生物种群之间是相互作用的，存在着各种各样的关系，例如：竞争关系、捕食关系、互惠关系、寄生关系等等. 下面主要介绍两个生物种群之间的竞争关系和捕食关系．情形1 竞争关系1．模型假设与建立设N 1（t ）和N 2(t )分别为t 时刻种群1和2的密度（或数量），K 1，K 2，r 1，r 2分别为两种群的环境的最大容纳量和固有增长率.假设两个种群单独生长时均满足罗捷斯蒂克方程),1(11111K N N r dt dN -= ),1(22222K N N r dt dN -= 如前所述，1-N /K 可理解为尚未利用的“剩余资源项”，而N /K 为已利用资源项.当考虑两个种群竞争或共同利用资源时，对种群1，除N 1外还要加入N 2，),1(121111K N N N r dt dN α+-= 其中α为竞争系数，它表示每个N 2个体所占的空间相当于α个N 1个体，举例说，N 2个体大，一个N 2个体所消耗的食物相当于10个N 1个体，则α=10.由此可见,竞争系数α可以表示每个N 2个体对于N 1所产生的竞争抑制效应.若α=1，则表示每个N 2个体对N 1种群所产生的竞争抑制效应与每个N 1个体对自身种群所产生的相等; α>1表示种群2的竞争抑制效应比种群1（对N 1种群）的大;α<1表示种群2的竞争抑制效应比种群1(对N 1种群)的小.同样，对于种群2，有),1(212222K N N N r dt dN β+-= β为种群1对种群2的竞争系数.这样，我们就得到了著名的竞争系统（Lotka －Volterra ）),1(121111K N N N r dt dN α+-= ),1(212222K N N N r dt dN β+-= 从理论上讲,两个种群竞争的结局可能有三种:(1)种群1取胜,种群2被排挤掉;(2)种群1被排挤掉,种群2取胜;(3)两个种群在竞争中获得共存的局面.具体结果的计算与分析从略．情形2 捕食关系一般来说,如果一种生物攻击、损伤或者杀死另一种动物,并以其为食,称为捕食,前者称为捕食者,后者称为食饵.捕食者—食饵关系是种间相互作用的一个基本关系,在客观世界中是普遍存在的.捕食者和食饵的相互作用关系很复杂,这种关系不是一朝一夕形成的,而是长期协同进化的结果.本节我们主要介绍捕食者—食饵关系研究中的最初的、最简单的模型,即经典的（Lotka －Volterra ）系统.首先我们回顾一下该模型提出的历史背景.一位意大利生物学家发现，第一次世界大战时期,地中海不同港口捕获进港的几种鱼类的数量占总数百分比的数据.特别是软骨鱼(鲨鱼等)占被捕获总数的百分比.里耶卡港1914—1921年间的数据如下:1914 1915 1916 1917 1918 1919 1920 19210.12 0.21 0.22 0.21 0.36 0.27 0.16 0.16上述数据已经简化处理．在战争期间,捕获几种软骨鱼的百分比如此大的增大,使他困惑不已,他清楚地知道,几种软骨鱼的百分比的增长是由于在这个时期大大地降低了捕鱼的强度,然而,捕鱼的强度又是如何影响鱼群的呢?食用鱼和软骨鱼的区别在于,软骨鱼是捕食者,而食用鱼是其食饵，软骨鱼依赖食用鱼而生存.由于在这个时期捕鱼的强度大大降低了,软骨鱼就可以得到更多的食饵了,因此它能够迅速地繁殖而种群规模也迅速扩大.然而,这种解释并不是无懈可击的,因为在这个时期食用鱼也更丰富了.分析仅仅表明,当捕鱼水平降低时,可以得到更多的软骨鱼,但不能解释为什么降低捕鱼水平时,相对于食饵而言,更有利于捕食者.为此他求助于他的同事—意大利著名的数学家沃尔特拉（Volterra ）,希望他能够建立描述软骨鱼和它们的捕获对象(即食用鱼)增长的数学模型,并为他的问题提供解答.在研究这个问题的过程中, 沃尔特拉首先把所有的鱼类分为捕食者种群y (t )和被捕食者种群x (t )．由于食用鱼不那么密集且食物丰富,于是它们之间不会由于食物供应而发生剧烈竞争.因此,在没有软骨鱼的情况下,食用鱼将遵从马尔萨斯增长规律ax x= (其中α是某个正常数)而无界增长.其次,他认为,单位时间内,捕食者与被捕食者和被捕食者之间相互作用的总数为bxy ，其中b 为正常数，亦即假设捕食作用使得被捕食者的增长率的减少与捕食者和被捕食者的种群数量的乘积成正比,因而被捕食者的增长方程为bxy ax x-= .类似的，捕食者的自然减少率与当前种群的数量成正比，即当被捕食者不存在时,捕食者种群指数衰减,即dy y-= ,同样的分析知，捕食作用而导致的捕食者的增长率为cxy .从而在没有捕鱼的情况下,描述食用鱼和软骨鱼相互作用关系的数学模型为,,cxy dy dtdy bxy ax dt dx +-=-= (3.11) 这就是所谓的捕食者—食饵系统.系统(3.11)有两个平衡点(0,0)和(d /c ,α/b ).运用常微分程定性理论的方法容易证明(0,0)是不稳定的鞍点,(d /c , α/b )是中心,是中性稳定的.对系统(3.11)容易证明0)(},ex p{)(0==t y at x t x 和}ex p{)(,0)(0dt y t y t x -==是解,因此x 轴和y 轴是轨线,这蕴含了系统的从正的第一象限x >0,y >0出发的解x (t ),y (t )恒为正,即正的第一象限关于系统是正向不变的.系统(3.11)的在正的第一象限内的轨线是一阶常微分方程,bxyax cxy dy dx dy -+-= (3.12) 的解曲线,方程(3.12)是变量可分离方程,变形为dx xcx d dy y by a +-=- 两边积分得,ln ln 1k cx x d by y a =-+-即H cx x by y da =⨯}exp{}exp{ (3.13) 其中min 1}ex p{H H k >=为常数;H min 是H 的最小值且在x =d /c ,y =α/b 时取到.因此,系统(3.11)的轨线即是(3.13)所定义的曲线族.可以证明对于任何H >H min ，(3.13)所定义的轨线是闭的.。
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中描述变化的一种重要工具，它能够描述系统中随时间、空间或者其他变量而发生的变化规律。
微分方程模型是一种基于微分方程的数学模型，用于描述各种实际问题的变化过程。
1.变量与变化率的关系：微分方程模型描述了系统中变量随时间的变化率，即变量的导数。
它指出了变量如何随时间而变化，从而提供了数量化的描述。
2.初始条件和边界条件：微分方程模型需要给定初始条件和边界条件，以确定具体的解。
初始条件是在系统起始时给定的变量值，边界条件是在系统边界上给定的限制条件。
这些条件可以是实际问题中必须满足的条件。
3.多变量之间的关系：微分方程模型可以涉及多个变量之间的相互作用。
这些变量可以表示不同的物理量或者变化过程，它们之间的关系可以是线性的、非线性的、常系数的或者变系数的。
这些关系可以通过微分方程进行描述。
4.具体问题的建模过程：微分方程模型的建立需要针对具体问题进行分析和建模过程。
这个过程中需要确定问题中涉及的变量、关系以及边界条件，并将其转化为合适的微分方程模型。
这个过程可以涉及到数学推理、物理实验、统计分析等多个方面。
微分方程模型的应用非常广泛，几乎涉及到各个学科领域。
例如，在物理学中，微分方程模型可以用于描述粒子的运动、电磁场的分布、热传导等问题；在经济学中，微分方程模型可以用于描述市场供需关系、经济增长等问题；在生物学中，微分方程模型可以用于描述生物种群的演化、药物动力学等问题。
微分方程模型的求解方法也非常丰富多样，可以通过数值方法、解析方法、近似方法等进行求解。
数值方法通过将微分方程转化为差分方程，然后采用逼近的方式进行求解。
解析方法通过数学推导和变量分离的方式求得方程的解析解。
近似方法通过针对特定问题的特殊性质，利用适当的近似方法得到问题的近似解。
总之，微分方程模型是一种重要的数学工具，广泛用于各个学科领域中的问题描述和解决。
它通过描述变量与变化率的关系，建立初始条件和边界条件，描述多变量之间的关系等方面，为实际问题提供了准确的数学描述和求解方法。
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
微分方程模型的基本原理
微分方程模型的基本原理微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程科学和社会科学等领域。
微分方程模型可以描述许多实际问题，并通过数学方法求解，为问题的解决提供了重要的工具。
本文将介绍微分方程模型的基本原理，以及其在实际问题中的应用。
微分方程模型的基本原理可以归结为以下几个方面：1. 定义：微分方程是包含未知函数及其导数的方程。
一般形式为dy/dx = f(x, y)，其中y是未知函数，f是已知函数。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，分别涉及到一元函数和多元函数。
2. 初始条件和边界条件：为了求解微分方程，还需要给出相应的初始条件和边界条件。
初始条件是在特定点上未知函数及其导数的已知值，而边界条件是在特定区域上未知函数的已知值或导数的已知值。
3. 解的存在唯一性：微分方程的解并不是任意的函数，而是满足特定条件的函数。
对于一阶常微分方程，根据皮卡-林德洛夫定理，如果已知函数f在某个区域内连续，则微分方程存在唯一的解。
4. 解的求解方法：求解微分方程的方法有很多，常见的方法包括分离变量法、变量代换法、常数变易法、特征方程法等。
对于一些特殊的微分方程，还可以采用级数解法、变换法、拉普拉斯变换等高级方法。
微分方程模型的应用广泛。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：微分方程模型在物理学中有着广泛的应用。
例如，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示，描述物体的运动。
电路中的电流、电压变化也可以用微分方程模型来描述。
2. 经济学：经济学中的许多问题也可以用微分方程模型进行描述。
例如，经济增长模型、人口增长模型等都可以用微分方程来分析。
3. 生物学：生物学中的许多现象和过程也可以用微分方程模型来描述。
例如，生物种群的增长、化学反应速率等都可以通过微分方程进行建模。
4. 工程学：工程学中的控制系统、信号处理等问题也可以用微分方程模型来分析和解决。
5. 计算机科学：微分方程模型在计算机图形学、机器学习等领域也有一定的应用。
微分方程模型
微分方程模型
微分方程是数学里最为重要的概念之一，这一概念在现代时代中发挥了越来越
重要的作用。
它用来描述以微小变化为基础的变化，模拟出自然界各种现象。
在互联网领域，微分方程可用来模拟用户在网络上的流量消费，解决用户多终端同时连接问题，还可以预测网络使用情况，帮助网络运营商决策有关网络投资的事宜。
微分方程首先要确定一个模型，因此，基础的微积分学知识对构建微分方程模
型是必不可少的。
要实现精确的模型，有必要首先考察网络中各种变量，比如稳定性、带宽、负载、容量等，并使用微积分方式，可以推导出一定的微分方程。
在根据这些方程完成模型分析后，可以因果分析得出不同的变量之间的联系。
构建出的微分方程模型，更进一步可以用来数值模拟，利用方程组信息和网络
设置，模拟并计算出网络中某种信息的变化和分布情况，从而及早识别出性能问题，调整网络性能设置。
此外，由于微分方程在处理数据时保持原有数据平稳性，并能够有效减少错误发生率，因此在工业界和学术界得到了广泛的应用。
综上所述，微分方程模型在互联网应用领域正在发挥越来越重要的作用。
它的
建模性质和精确性，不仅能够为企业提供有效的决策参考，而且还可以帮助把握未来网络使用状况，提升大量用户的网络使用体验。
微分方程模型
解
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
1、‚每天‛：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal) 转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉
私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟
踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试 求缉私舰追逐路线和追上的时间。
图2 走私船与缉私舰的位置关系
走私船
R(0,at)
缉私艇 D(x,y)
O
(c,0)
x
几何关系
dy y at tg dx x dy 即 x y at dx
模型的解：
k k dy 1 x c p dx 2 c x
y (c ) 0
解的进一步讨论
（1）若a<b，从而k<1，由积分式得
c 1 x y 2 1 k c
y 当x=0时，
W (t ) 81.25 C3e
C3 23.9968
则
0.0016t
初始条件为： W (4) 57.40625，代入解出
W (t ) 81.25 23.9968e
0.0016t
最后得到不同阶段的微分方程是：
81.25 24.0974e , 0t 3 0.0016t W (t ) 143.75 86.8981e , 3t 4 81.25 23.9968e0.0016t , t 4
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再编写一个M文件
clear all; close all; t=0:1:20; x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4]; plot(t,x,'o'); hold on; c(1)=3.9; c(2)=mean(diff(x)./diff(t)./x(1:20)); k=lsqcurvefit(@fun,c,t,x) tt=[21 22]; xx=fun(k,tt); plot(tt,xx,'r*'); tt=0:0.1:22; xx=fun(k,tt); plot(tt,xx,'r'); hold off
问题的提出
人口的增长情况是当前世界引起普遍关注的问题， 早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了。 20世纪90年代，我们经常可以在报刊上看见关于 人口增长的预报，说到20世纪末，或21世纪中叶， 全世界（或某地区）的人口将达到多少多少亿。 这些人口预报的数值是从哪里来的？准确不准确？ 你能不能对某地人口数目的演化进行一下估算？
要用模型的结果来预报人口，必须对其中 的参数r进行估计，这可以用表中所给的数 据通过拟合得到.
拟合的关键问题
1. t的变换
指数函数exp(t)当t很大时可能会溢出,为了减小 数据误差,首先将时间域变换至[0,20],所用的变 换为: t=1800+(t-1800)/10
2. x0和r初值的确定
建立微分方程模型的方法
（1）根据规律列方程
利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或 经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复
x0初始值自然应取t=0时的x的值3.9 r初始值取增长率的平均值 mean(diff(x)./diff(t)./x(1:20))
Matlab求解过程
首先编写M文件fun.m，其中参数c(1)表示 x0,c(2)表示r。 function x=fun(c,t) x=c(1)*exp(c(2)*t);
hold on和hold off
hold on 作用:当前轴及图形保持而不被刷新，准备 接受此后的绘制 例如，在作图时，想在一张图上同时显示 多组数据(便于观察等等原因)的时候用hold on (就是等一下,我还想在本图上画个东西) hold off 自然就是取消这个功能
指数增长模型的应用及局限性
第3讲 微分方程建模方法及案例
在研究实际问题时，常常会联系到某些变 量的变化率或导数，这样所得到变量之间 的关系式就是微分方程模型。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分 方程。
求解微分方程的方法
求解微分方程有三种方法 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。
下表是近两百年的美国人口统计数据，试依此建立美国人 口增长的数学模型，最后用它预报2000年、2010年美国 人口.
年（公元） 人口（百万） 年（公元） 人口（百万） 年（公元） 人口（百万）
1790 3.9 1860 31.4 1930 .6 1940 131.7
从整体来说，人口的变化由两个因素决定：出生 和死亡。出生使得人口增加，死亡使得人口减少。 对于局部地区来说，除了出生和死亡外，影响人 口的变化还有两个因素：迁入和迁出。迁入使得 局部人口增加，迁出使得局部人口减少。 在迁入、迁出人口的差别不大时，人口的变化主 要由出生率和死亡率决定。 根据上面的分析，不难建立起人口演化模型。
[2] 建立模型
当 x xm 时，增长率应为0
r ( xm ) 0
r s xm
代入
r x r sx
得：
x r x r 1 x m
(3)
将（3）式代入（1）得：
14
c
12
的数量成定比，
生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以
设 t 为死后年数，
r (t ) xc14 (t ) xc12
14 12
则t 0时, r r0 , 即活体中 c 与 c 数量的比例 .
dxc14 dt
积分得
xc14 8000
t 8000
dy y dt 8000
[1] 假设
0 最简单假定 rx r sx, r, s （线性函数）， r 为固有增长率(x很小时). 1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特 (Verhulst)引入常数 ,用来表示自然环境 条件所能容许的最大人口数（一般说来,一 个国家工业化程度越高,它的生活空间就越 大,食物就越多,从而 x m 就越大）
间的年代：
真正的年代＝
c
14
年 1.4 900
3.2
人口演化模型
预备知识:最小二乘原理
当由实验提供了大量数据时,不能要求拟合函数 ( x ) 在数据点( xi , yi ) 处的偏差,即 i ( xi ) y i (i=1,2,…,m) 严格为零,但为了使近似曲线尽量反映所给数据点 的变化趋势 ,需对偏差有所要求.通常要求偏差平方和
迭代初值
已知数据点
注意: 1.如无合理初值，那就只能给出一个猜想初值 2.拟合结果是初值敏感的，因为找到的不一定是全局最优 而可能是初值附近的局部最优.
例 用下面一组数据拟合 中的参数a，b，k
tj
c(t ) a be0.02 kt
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
c
14
与
c
12
的比例仅仅
是活组织内的6.24%，能否判断此动物生活在多
少年前？
背景
c
14
年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性
同位素
c
14
，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层
大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活
组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，这意味着
在活体中， c 的数量与稳定的 每年八千分之一的速度减少。
1810 7.2 1880 50.2 1950 150.7
1820 9.6 1890 62.9 1960 179.3
1830 12.9 1900 76.0 1970 204.0
1840 17.1 1910 92.0 1980 226.5
1850 23.2 1920 106.5 1990 251.4
问题的分析
杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现
象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
3.1 年代鉴定问题
在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代某种动 物特征的骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳 14年代测定，分析表明，
|
i 1
m
2 i
| ( ( x i ) y
i 1
m
i)
2
最小,此即称为最小二乘原理
用Matlab作非线性最小二乘拟和
Matlab的最优化工具箱中提供了求非线性最小二乘拟合的函数： lsqcurvefit，调用格式为： x = lsqcurvefit (‘fun’, x0, xdata, ydata,…); fun是一个事先建立的 定义函数F(x,xdata) 的 M-文件, 自变量为x和 xdata
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据
人口增长率r不是常数(逐渐下降)
美国实际人口与按指数增长模型计算 的人口比较
年 实际人口 （百万） 指数增长模型 预测人口（百万） 误差（%） 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 7.3 10.0 13.7 18.7 25.6 35.0 47.8 65.5 89.6 1.4 4.2 6.2 9.4 10.3 10.8 23.8 30.5 42.4
1900
1910 1920
76.0
92.0 106.5
122.5
167.6 229.3
61.2
82.1 115.3
阻滞增长模型(Logistic模型)
马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？ 这主要是地球上的各种资源只能供一定数量的人 生活,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素 对人口增长的阻滞作用越来越显著 如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常 数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长 r是x的减函数 率就要随人口的增加而减小. 因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的 假设进行修改.
求解步骤
[1] 假设 [2] 建立模型 [3] 模型求解 [4] 模型的参数估计
[1] 假设
人口增长率r(即出生率b-死亡率d)是常数 （或单位时间内人口的增长量与当时的人 口成正比）.
[2] 建立模型
记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为x(t),由于 量大,可视为连续、可微函数. t到t t时间内人口的增量为：xt t xt rxt t 于是x(t)满足微分方程： dx rx dt (1)