第48讲压轴之函数与几何综合类型⑥全等三角形存在性问题探究

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中考压轴题存在性的探究 ppt课件

解：存在.
理由：第一种情况，当以点C为直角顶点时，过点C作CP1⊥AC交抛物线于点P1，过点P1作y 轴的垂线，垂足为M.
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∵∠ACP1＝90°， ∴∠MCP1+∠ACO＝90°， ∵∠ACO+∠OAC=90°， ∴∠MCP1＝∠OAC. ∵OA＝OC. ∴∠MCP1＝∠OAC=45°， ∴∠MCP1＝∠MP1C， ∴MC＝MP1.
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①当定长为直角三角形的直角边时，分别以定长的某一端点作定长的垂线，与数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
②当定长为直角三角形的斜边时，以此定长为直径作圆，圆弧与所求点满足条件的数轴或抛物线有交点时，此交点即为符合条件的点；
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（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边
的直角三角形，若存在，
求出所有符合条件的点P的
坐标；若不存在，说明理由. ②
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【思路分析】由设问以AC为直角边出发，分两种情况讨论，设出P点坐标，再根据直角三角形的性质、点坐标特征求点P坐标.
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例1 如图，在平面直角
坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A,B,C三点的抛物
线上. （1）求抛物线的解析式；①
例1题图
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【思路分析】已知点A坐标，且OA，OC，OB的关系可确定A、B、C三点坐标，用三点式即可

中考数学微专题5 全等或相似三角形存在性问题

解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－ 1，0)，B(3，0)， ∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3. ∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)过点 D 作 DM∥y 轴，交 BC 于点 M. ∵当 x＝0 时，y＝－x2＋2x＋3＝3， ∴c(0，3)． ∴直线 BC 解析式为 y＝－x＋3. ∴D(m，－m2＋2m＋3)，M(m，－m＋3)． ∴DM＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.
△OBE 与△ABC 相似时，点 Q 的坐标( 3，－2 3)或(－ 2，
2 3)或－1＋2 13，
3－3 2
13或－1－2
3，3＋23
3．
例1 (2021黑龙江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)x 轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，连接 BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.(1)求抛物
考题变式 1．(2020 广东东莞)如图，抛物线 y＝3＋6 3x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A，B 分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点 B 的直线与 y 轴正半轴
和抛物线的交点分别为 C，D，BC＝ 3CD.
(1)求b，C的值； (2)求直线BD的函数解析式； (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA 上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
②若△PEQ∽△CBO，如图所示，设 P(x，2)，代入关系式得，2＝－x2－2x＋3，整理得，x2＋2x－1＝0，解得，x1＝－1－ 2，x2＝－1＋ 3(舍)， ∴点 P 的坐标为(－1－ 2，2) 综上所述点 P 的坐标为(－1－ 2，2)，(－2，3).

函数背景下的三角形综合问题探究

函数背景下的三角形综合问题探究摘要：函数与几何相结合的综合问题主要有两类，一类是以函数知识为背景，考查几何相关知识；另一类是利用几何图形的直观性、几何图形的性质，建立几何图形中各元素之间的函数关系式，建构数量间的函数模型。

三角形是最基本的几何图形，是研究几何问题的关键，特别是等腰三角形和直角三角形。

关键词：函数背景；综合问题；方程思想在初中学习阶段，函数与几何相结合的综合问题主要有两类，一类是以函数知识为背景，考查几何相关知识；另一类是利用几何图形的直观性，几何图形的性质建立几何图形中各元素之间的函数关系式，建构数量间的函数模型。

而三角形是最基本的几何图形，是研究初中几何问题的关键，特别是等腰三角形和直角三角形。

函数背景中的几何问题，常常用到数形结合、分类讨论、方程思想等数学思想方法，在具体问题中要渗透这些思想方法，有助于我们解决这类问题。

一、平面直角坐标系中的三角形问题例1.在平面直角坐标系中，已知点a（2,1）,若点b在坐标轴上，且△oab为等腰三角形，则点b坐标为___.分析：在本题中，最重要的信息是“△oab为等腰三角形”，而等腰三角形的条件往往需要我们用分类的思想进行研究，找出符合条件的点b.1.若ob=oa=■时，如图1-1，以原点为圆心，oa长为半径画圆，圆与坐标轴的交点就是我们要找的点b，而且可以直观的得出b1（0,■）,b2（-■,0）,b3（0,-■）,b4（■,0）;2.若ab=ao=■时，如图1-2，以a点为圆心，oa长为半径画圆，圆与坐标轴的交点就是我们要找的点b，再根据等腰三角形的对称性可直接得出b5（0,2），b6（4,0）；3.若bo=ba时,此时，点b一定在线段oa的垂直平分线上，过oa中点c（1，0.5）作oa的垂线与坐标轴的交点就是我们要找的点b（如图1-3），再作ad⊥y轴于点d（0，1），可知△dao∽△cb7o,设b7（0，a），由相似可得：■=■,即：■=■■=,a=2.5，所以b7（0，2.5），同理可得b8（1.25，0）。

第48课几何型综合问题

【例 1】 (2013·常德 )已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC、 Rt△CEF，∠ABC＝∠CEF＝90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME. (1)如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； (2)如图1，若CB＝a，CE＝2a，求BM、ME的长； (3)如图2，当∠BCE＝45°时，求证：BM＝ME.
答图2a
第 48 课几何型综合问题
解法二：
如答图 1b 所示，延长 BM 交EF 于D ，
∵CB ＝a，CE ＝2a，
∴BE ＝CE －CB ＝2a－a＝a，
∵△ ABM ≌△ FDM ，
∴BM ＝DM ，又∵△ BED 是等腰直角三角形，
答图1b
∴△ BEM 是等腰直角三角形，
第 48 课几何型综合问题
的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结
论错误的是
( )
A．∠C＝2∠A
B．BD平分∠ABC
C．S△BCD＝S△BOD D．点D为线段AC的黄金分割点
B ．∵OD 是AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD ， ∴∠A ＝∠ABD ＝36°， ∴∠DBC ＝72°－36°＝36°＝∠ABD ， ∴BD 是∠ABC 的角平分线，正确，故本选项错误；
第 48 课几何型综合问题
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四个注意解几何型综合题，还应注意以下几点： (1)注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐
含条件，寻找数量关系和相等关系； (2)注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； (3)注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线添法； (4)注意灵活地运用数学的思想方法．
第 48 课几何型综合问题
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2．(2013·乌鲁木齐 )如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、 CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，

二次函数压轴题之全等三角形的存在性(讲义及答案)

二次函数压轴题之全等三角形的存在性（讲义）课前预习1.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(2，1)，点B坐标为(3，0)，点D为平面直角坐标系中任一点（与点O，A，B不重合）．（1）△AOB和△DOB的公共边为_________．（2）若△DOB与△OAB全等，则点D的坐标为_________．（3）在下图中画出可能的△DOB，并考虑与△AOB之间的联系．知识点睛全等三角形存在性的处理思路1.分析特征：分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定等）考虑分类．注：全等三角形存在性问题主要结合对应关系及不变特征考虑分类．2.画图求解：往往先从对应关系入手，再结合背景中的不变特征分析，综合考虑边、角的对应相等和不变特征后列方程求解．3.结果验证：回归点的运动范围，画图或推理，验证结果．精讲精练1.如图，抛物线C1经过A，B，C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线C1的对称轴与x轴交于点F，另一条抛物线C2经过点E（抛物线C2与抛物线C1不重合），且顶点为M(a，b)，对称轴与x轴交于点G，且以M，G，E为顶点的三角形与以D，E，F为顶点的三角形全等，求a，b的值．（只需写出结果，不必写出解答过程）2.如图，抛物线213442y x x =-++与x 轴的一个交点为A (-2，0)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点B ．若点D 在x 轴上，点P 在抛物线上，使得△PBD ≌△PBC ，则点P 的坐标为_____________________________________．3.如图，抛物线21382y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过原点O ，与抛物线的一个交点为D (6，-8)，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ．若点F 在抛物线上，使△FOE ≌△FCE ，则点F 的坐标为____________．4.如图，抛物线21(2)62y x =--+与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，顶点为M ．设点Q 是y 轴右侧该抛物线上的一动点，若经过点Q 的直线QE 与y 轴交于点E ，使得以O ，Q ，E 为顶点的三角形与△OQD 全等，则直线QE 的解析式为_______________．5.如图，在平面直角坐标系中，直线l1过点A(1，0)且与y轴平行，直线l2过点B(0，2)且与x轴平行，直线l1与l2相交于点P．点E为直线l2上一点，反比例函数ky（k＞0）的图象x过点E且与直线l1相交于点F．（1）若点E与点P重合，求k的值．（2）连接EF．是否存在点E及y轴上的点M，使得以M，E，F为顶点的三角形与△PEF全等？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】课前预习1.（1）OB（2）(2，-1)，(1，1)，(1，-1)（3）略精讲精练1.（1）y =-x 2+2x +3；（2）a =7，b =2或a =7，b =-2或a =-1，b =2或a =-1，b =-2或a =1，b =-4或a =5，b =-4或a =5，b =4．2.(1418241)-+-+，，(1418241)----，，126(426)2-+-，，126(426)2--+，3.(3174)+-，或(3174)--， 4.122y x =+或71724y x -+=-或y =65.（1）2；（2）3(2)8，或8(2)3，．。

中考数学压轴题十大类型经典题目

中考数学压轴题十大类型目录第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题 7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题 13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题 19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题 25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系 31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题 38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题 44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究 50 第十讲中考压轴题十大类型之圆 56 第十一讲中考压轴题综合训练一 62 第十二讲中考压轴题综合训练二 68第一讲中考压轴题十大类型之动点问题1.2011吉林如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠BAD =90°,CE ⊥AD 于点E ,AD =8cm,BC =4cm,AB =5cm ．从初始时刻开始,动点P ,Q 分别从点A ,B 同时出发,运动速度均为1cm/s,动点P 沿A -B -C -E 方向运动,到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动,到点D 停止,设运动时间为x s,△PAQ 的面积为y cm 2,这里规定：线段是面积为0的三角形解答下列问题：1 当x =2s 时,y =_____ cm 2；当x =92s 时,y =_______ cm 2． 2当5 ≤ x ≤ 14时,求y 与x 之间的函数关系式．3当动点P 在线段BC 上运动时,求出154 y S 梯形ABCD 时x 的值． 4直接写出在整个．．运动过程中,使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．D C BA 2.2007河北如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =DC =50,AD =75,BC =135．点P 从点B 出发沿折线段BA -AD -DC 以每秒5个单位长的速度向点C 匀速运动；点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点Q 向上作射线QK ⊥BC ,交折线段CD -DA -AB 于点E ．点P 、Q 同时开始运动,当点P 与点C 重合时停止运动,点Q 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒t ＞0．1当点P 到达终点C 时,求t 的值,并指出此时BQ 的长；2当点P 运动到AD 上时,t 为何值能使PQ ∥DC3设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ,分别求出点E 运动到CD 、DA 上时,S 与t 的关系式；,写出t 的取值范围；若不能,请说明理由．备用图3.2008河北如图,在Rt ABC △中,∠C=90°,AB =50,AC =30,D ,E ,F 分别是AC ,AB ,B C 的中点．点P 从点D 出发沿折线DE -EF -FC -CD 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q 作射线QK AB ⊥,交折线BC -CA 于点G ．点P Q ，同时出发,当点P 绕行一周回到点D 时停止运动,点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒0t >．1D F ，两点间的距离是；2射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分若能,求出t 的值．若不能,说明理由；3当点P 运动到折线EF FC -上,且点P 又恰好落在射线QK 上时,求t 的值； 4连结PG ,当PG AB ∥时,请直接．．写出t 的值． 4.2011山西太原如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC 是平行四边形．直线l 经过O 、C 两点．点A 的坐标为8,0,点B 的坐标为11,4,动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位的速度向点A 运动,同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动,过点P 作PM 垂直于x 轴,与折线O -C -B 相交于点M ．当P 、Q 两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P 、Q 运动的时间为t秒0t>,△MPQ的面积为S．1点C的坐标为________,直线l的解析式为__________．2试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围．3试求题2中当t为何值时,S的值最大,并求出S的最大值．4随着P、Q两点的运动,当点M在线段CB上运动时,设PM的延长线与直线l相交于点N．试探究：当t为何值时,△QMN为等腰三角形请直接写出t的值．5.2011四川重庆如图,矩形ABCD中,AB＝6,BC＝2错误!,点O是AB的中点,点P在AB的延长线上,且BP＝3个单位长度的速度沿OA匀速运动,到达A点后,F从P点出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线当两点相遇时停止运动．在点E、F的运动过程中,以和矩形ABCD在射线PA的同侧,设运动的时间为t秒1当等边△EFG的边FG恰好经过点C时,求运动时间t的值；2在整个运动过程中,设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S 与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；3设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰三角形若存在,求出对应的t的值；若不存在,请说明理由．备用图1备用图2三、测试提高1．2011山东烟台如图,在直角坐标系中,梯形ABCD的底边AB在x轴上,底边CD的端点D在y轴上．直线CB的表达式为41633y x=-+,点A、D的坐标分别为－4,0,0,4．动点P自A点出发,在AB上匀速运动．动点Q自点B出发,在折线BCD 上匀速运动,速度均为每秒1个单位．当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动．设点P运动t秒时,△OPQ的面积为S不能构成△OPQ的动点除外．1求出点B、C的坐标；2求S随t变化的函数关系式；3当t为何值时S有最大值并求出最大值．备用图第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题12011浙江温州如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标为-4,0,点B的坐标为0,bb＞0．P是直线AB上的一个动点,作PC⊥x轴,垂足为C,记点P 关于y轴的对称点为P′ 点P′不在y轴上,连结P P′,P′A,P′C,设点P的横坐标为a．（1）当b =3时,①直线AB 的解析式；②若点P ′的坐标是-1,m ,求m 的值；2若点P 在第一象限,记直线AB 与P ′C 的交点为D ．当P ′D :DC =1:3时,求a 的值； 3是否同时存在a ,b ,使△P ′CA 为等腰直角三角形若存在,请求出所有满足要求的a ,b 的值；若不存在,请说明理由．2. 2010武汉如图,抛物线212y ax ax b=-+经过A －1,0,C 2,32两点,与x 轴交于另一点B ． 1求此抛物线的解析式； 2若抛物线的顶点为M ,点P 为线段OB 上一动点不与点B 重合,点Q 在线段MB 上移动,且∠MPQ =45°,设线段OP =x ,MQ=22y ,求y 2与x 的函数关系式,并直接写出自变量x 的取值范围； 3在同一平面直角坐标系中,两条直线x =m ,x =n 分别与抛物线交于点E ,G ,与2中的函数图象交于点F ,H ．问四边形EFHG 能否为平行四边形若能,求m ,n 之间的数量关系；若不能,请说明理由．备用图3. 2011江苏镇江在平面直角坐标系xOy 中,直线1l 过点A 1,0且与y 轴平行,直线2l 过点B 0,2且与x 轴平行,直线1l 与2l 相交于点P ．点E 为直线2l 上一点,反比例函数k y x=k >0的图象过点E 且与直线1l 相交于点F ． 1若点E 与点P 重合,求k 的值； 2连接OE 、OF 、EF ．若k >2,且△OEF 的面积为△PEF 的面积2倍,求点E 的坐标； 3是否存在点E 及y 轴上的点M ,使得以点M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等若存在,求E 点坐标；若不存在,请说明理由．4. 2010浙江舟山△ABC 中,∠A =∠B =30°,AB=ABC 放在平面直角坐标系中,使AB 的中点位于坐标原点O 如图,△ABC 可以绕点O 作任意角度的旋转．1当点B 在第一象限,,求点B 的横坐标； x y P'DO C B A P2如果抛物线2y ax bx c =++a ≠0的对称轴经过点C ,请你探究：①当a =,12b =-,c =,A ,B 两点是否都在这条抛物线上并说明理由； ②设b =-2am ,是否存在这样的m 值,使A ,B 两点不可能同时在这条抛物线上若存在,直接写出m 的值；若不存在,请说明理由．5.12若点N 为线段BMQ ．当点N 在线段BM 上运动时点N 不与点B ,点M 面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式及自变量3,求出所有符合条件的点P 4将△OAC 补成矩形,使得△,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标不需要计算过程．三、测试提高1． 2011山东东营如图所示,四边形OABC 是矩形,点A 、C 的坐标分别为30-，,0,1,点D是线段BC 上的动点与端点B 、C 不重合,过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E ． 1记△ODE 的面积为S ．求S 与b 的函数关系式；2当点E 在线段OA 上时,且tan ∠DEO =12．若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ．试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积；若改变,请说明理由．第三讲中考压轴题十大类型之面积问题1. 2011辽宁大连如图,抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A －1,0、B 3,0、C 0,3三点,对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ,连接PB ．1求该抛物线的解析式；2抛物线上是否存在一点Q ,使△QMB 与△PMB 的面积相等,若存在,求点Q 的坐标；若不存在,说明理由；3在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ,使△RPM 与△RMB 的面积相等,若存在,直接写出点R 的坐标；若不存在,说明理由．2. 2011湖北十堰如图,和点 B ,与y 轴交于点C 0,-3．1求抛物线的解析式；2如图1,己知点H 0,-1．问在抛物线上是否存在点G 点G 在y 轴的左侧,使得S △GHC =S △GHA 若存在,求出点G 的坐标,若不存在,请说明理由：3如图2,抛物线上点D 在x 轴上的正投影为点E ﹣2,0,F 是OC 的中点,连接DF ,P 为线段BD 上的一点,若∠EPF =∠BDF ,求线段PE 的长．3. 2010天津在平面直角坐标系中,已知抛物线2y x bx =-+c +与x 轴交于点A 、B 点A 在点B 的左侧,与y 轴的正半轴交于点C ,顶点为E ． Ⅰ若2b =,3c =,求此时抛物线顶点E 的坐标；Ⅱ将Ⅰ中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ,求此时直线BC 的解析式；Ⅲ将Ⅰ中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC 中满足S △BCE =2S △AOC ,且顶点E 恰好落在直线43y x =-+上,求此时抛物线的解析式．4. 2011山东聊城如图,在矩形ABCD 中,AB ＝12cm,BC ＝8cm ．点E 、F 、G 分别从点A 、B 、C 同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动,点E 、G 的速度均为2cm/s,点F 的速度为4cm/s,当点F 追上点G 即点F 与点G 重合时,三个点随之停止移动．设移动开始后第t s 时,△EFG 的面积为S cm 2．1当t ＝1s 时,S 的值是多少2写出S 与t 之间的函数解析式,并指出自变量t 的取值范围；3若点F 在矩形的边BC 上移动,当t 为何值时,以点B 、E 、F 为顶点的三角形与以C 、F 、G 为顶点的三角形相似请说明理由．5. 2011江苏淮安如图,在Rt△ABC中,∠C =90°,AC =8,BC =6,点P 在AB 上,AP =2,点E 、F 同时从点P 出发,分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动,点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动,点F 运动到点B 时停止,点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中,以EF 为边作正方形EFGH ,使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒t ＞0,正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S ．1当t =1时,正方形EFGH 的边长是．当t =3时,正方形EFGH 的边长是． 2当0＜t ≤2时,求S 与t 的函数关系式；3直接答出：在整个运动过程中,当t 为何值时,S 最大最大面积是多少A EB FC GDA 备用图三、测试提高1. 2010山东东营如图,在锐角三角形ABC 中,BC =12,△ABC 的面积为48,D ,E 分别是边AB ,AC 上的两个动点D 不与A ,B 重合,且保持DE ∥BC ,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG ．1当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时,求正方形DEFG 的边长；2设DE = x ,△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,写出x 的取值范围,并求出y 的最大值．第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题板块一、等腰三角形存在性1. 2011江苏盐城如图,已知一次函数7y x =-+与正比例函数34y x =的图象交于点A ,且与x 轴交于点B ．1求点A 和点B 的坐标；2过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l ∥y 轴．动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒．是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形若存在,求t 的值；若不存在,请说明理由．备用图2. 2009湖北黄冈如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线21410189y x x =--与x 轴的交点为点A ,与y 轴的交点为点B ,过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC ．现有两动点P ,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P 停止运动时,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ,Q 移动的时间为t 单位：秒B AD E F G C B 备用图1 A C B 备用图2 A C1求A ,B ,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；2当t 为何值时,四边形PQCA 为平行四边形请写出计算过程；3当902t <<时,△PQF 的面积是否总为定值若是,求出此定值,若不是,请说明理由；4当t 为何值时,△PQF 为等腰三角形请写出解答过程．板块二、直角三角形3. 2009四川眉山如图,已知直线112y x =+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 1,0． 1求该抛物线的解析式；2动点P 在x 轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标．4. 2010广东中山如图所示,矩形ABCD 的边长AB =6,BC =4,点F 在DC 上,DF =2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发,沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动点M 可运动到DA 的延长线上,当动点N 运动到点A 时,M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、FN ,当F 、N 、M 不在同一直线上时,可得△FMN ,过△FMN 三边的中点作△PWQ ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒,M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：1说明△FMN ∽△QWP ；2设04x ≤≤即M 从D 到A 运动的时间段．试问x 为何值时,△PWQ 为直角三角形当x 在何范围时,△PQW 不为直角三角形3问当x 为何值时,线段MN 最短求此时MN 的值．板块三、相似三角形存在性 5. 2011湖北天门在平面直角坐标系中,抛物线2y ax bx =+ 3+与x 轴的两个交点分别为-3,0、B 1,0,过顶点C 作CH ⊥x 轴于点． 1直接填写：a = ,b = ,顶点C 的坐标为；2在y 轴上是否存在点D ,使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形若存在,求出点D 的坐标；若不存在,说明理由； 3若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点点P 与顶点C 不重合,PQ ⊥AC 于点Q ,当△PCQ 与△ACH 相似时,求点P 的坐标． W QPNM F D CB A备用图三、测试提高1. 2009广西钦州如图,已知抛物线234y x bx c =++与坐标轴交于A 、B 、C 三点, A 点的坐标为－1,0,过点C 的直线334y x t=-与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ,且01t <<．1填空：点C 的坐标是_____,b ＝_____,c ＝_____；2求线段QH 的长用含t 的式子表示；3依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似若存在,求出所有t 的值；若不存在,说明理由．第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题1. 2009黑龙江齐齐哈尔直线364y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点,动点P 、Q 同时从O 点出发,同时到达A 点,运动停止．点Q 沿线段OA 运动,速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．1直接写出A 、B 两点的坐标；2设点Q 的运动时间为t 秒,△OPQ 的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；3当485S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．2. 2010河南在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (40)，-,B (04)，-,C (20)，三点．1求抛物线的解析式；2若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值．3若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线x y -=上的动点,判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q 的坐标．3. 2011黑龙江鸡西已知直线y =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,∠ABC =60°,BC 与x 轴交于点C ．1试确定直线BC 的解析式；2若动点P 从A 点出发沿AC 向点C 运动不与A 、C 重合,同时动点Q 从C 点出发沿CBA 向点A 运动不与C 、A 重合,动点P 的运动速度是每秒1个单位长度,动点Q 的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ 的面积为S ,P 点的运动时间为t 秒,求S 与t 的函数关系式,并写出自变量的取值范围；3在2的条件下,当△APQ 的面积最大时,y 轴上有一点M ,平面内是否存在一点N ,使以A 、Q 、M 、N 为顶点的四边形为菱形若存在,请直接写出N 点的坐标；若不存在,请说明理由．4. 2007河南如图,对称轴为直线x ＝27的抛物线经过点A 6,0和B0,4．1求抛物线解析式及顶点坐标；2设点Ex ,y 是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形,求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；3①当四边形OEAF 的面积为24时,请判断OEAF 是否为菱形②是否存在点E ,使四边形OEAF 为正方形若存在,求出点E 的坐标；若不存在,请说明理由．5. 2010黑龙江大兴安岭如图,在平面直角坐标系中,函数2y x =+12的图象分别交x轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点M,且点M 为线段OB 的中点． 1求直线AM 的解析式；2试在直线AM 上找一点P ,使得S △ABP ＝S △AOB ,请直接写出点P 的坐标；3若点H 为坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H ,使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形若存在,请直接写出点H 的坐标；若不存在,请说明理由．三、测试提高 1. 2009辽宁抚顺已知：如图所示2=++y ax x c a ≠0与x C ．1求出此抛物线的解析式,2在抛物线上有一点D ,D 的坐标,并求出直线AD 的解析式；3在2中的直线AD P ,x 轴上有一动点Q ．是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形如果存在,请直接写出点Q 的坐标；如果不存在,请说明理由．第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系1. 2010天津在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点O 在坐标原点,顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,3OA =,4OB =,D 为边OB 的中点．Ⅰ若E 为边OA 上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,求点E 的坐标；Ⅱ若E 、F 为边OA 上的两个动点,且2EF =,当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标．2. 2011四川广安四边形ABCD 是直角梯形,BC ∥AD ,∠=90°,BC 与y 轴相交于点M ,且M 是BC 的中点,A 、B 、D 三点的坐标分别是A 1 0-，,B 1 2-，,D 3,0．连接DM ,并把线段DM 沿DA 方向平移到ON ．若抛物线2y ax bx c =++经过点D 、M 、N ．1求抛物线的解析式；2抛物线上是否存在点P ,使得PA =PC ,若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由；3设抛物线与x 轴的另一个交点为E ,点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q 在什么位置时有|QE -QC |最大并求出最大值．3. 2011四川眉山如图,在直角坐标系中,已知点A 0,1,B 4-,4,将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ,顶点在坐标原点的抛物线经过点B ． 1 求抛物线的解析式和点C 的坐标；2 抛物线上有一动点P ,设点P 到x 轴的距离为1d ,点P 到点A 的距离为2d ,试说明211d d =+；3 在2的条件下,请探究当点P 位于何处时,△PAC 的周长有最小值,并求出△PAC 的周长的最小值．4. 2011福建福州已知,如图,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ,与x轴交于A 、B 两点B 在A 点右侧,点H 、B 关于直线3:33l y x =+ 1求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上； 2求二次函数解析式；3过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点,M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN +NM +MK 和的最小值．5. 2009湖南郴州如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M －2,－1,且y B O D C A xEyB O DC A x温馨提示：如图,可以作点D 关于x 轴的对称点D ',连接CD '与xP －1,－2为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B ．1写出正比例函数和反比例函数的关系式；2当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△OBQ 与△OAP 面积相等如果存在,请求出点Q 的坐标,如果不存在,请说明理由；3如图2,当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ,求平行四边形OPCQ 周长的最小值．图1 图26. 2010江苏苏州如图,以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为3,0、0,4． 1求抛物线的解析式；2设()M m n ，M B O A 、、、,求点M 的坐标； 3在2的条件下,试问：22228PA PB PM ++>是否总成立请说明理由．三、测试提高1. 2009浙江舟山如图,已知点A -4,8和点B 2,n 在抛物线2=y ax 上．1求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标,并在x 轴上找一点Q ,使得AQ +QB 最短,求出点Q 的坐标；2平移抛物线2=y ax ,记平移后点A 的对应点为A ′,点B 的对应点为B ′,点C -2,0和点D -4,0是x 轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时,A ′C +CB ′ 最短,求此时抛物线的函数解析式；②当抛物线向左或向右平移时,是否存在某个位置,使四边形A ′B ′CD 的周长最短若存在,求出此时抛物线的函数解析式；若不存在,请说明理由．第七讲中考压轴题十大类型之定值问题1. 2011天津已知抛物线1C ：21112y x x =-+,点F 1,1． Ⅰ求抛物线1C 的顶点坐标；Ⅱ①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ,连接AF ,并延长交抛物线1C 于点B ,求证：112AF BF +=；②抛物线1C 上任意一点P P P x y ，01P x <<,连接PF ,并延长交抛物线1C 于点Q Q Q x y ，,试判断112PF QF+=是否成立请说明理由； Ⅲ将抛物线1C 作适当的平移,得抛物线2C ：221()2y x h =-,若2x m <≤时,2y x ≤恒成立,求m 的最大值．2. 2009湖南株洲如图,已知△ABC 为直角三角形,90ACB ∠=︒,AC BC =,点A 、C 在x轴上,点B 坐标为3,m 0m >,线段AB 与y 轴相交于点D ,以P 1,0为顶点的抛物线过点B 、D ．1求点A 的坐标用m 表示； 2求抛物线的解析式；3设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结BQ 并延长交AC 于点F ,试证明：()FC AC EC +为定值．3. 2008山东济南已知：抛物线2y ax bx c =++a ≠0,顶点C1,3-,与x 轴交于A 、B 两点,(10)A -，． 1求这条抛物线的解析式； 2如图,以AB 为直径作圆,与抛物线交于点D ,与抛物线对称轴交于点E ,依次连接A 、D 、B 、E ,点P 为线段AB 上一个动点P 与A 、B 两点不重合,过点P 作断PM PNBE AD+是否为PM ⊥AE 于M ,PN ⊥DB 于N ,请判定值若是,请求出此定值；若不是,请说明理由；3在2的条件下,若点S 是线段EP 上一点,过点S 作FG ⊥EP ,FG 分别与边．AE 、BE相交于点F 、GF 与A 、E 不重合,G 与E 、B 不重合,请判断PA EFPB EG=是否成立．若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．4. 2011湖南株洲孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ,两直角边与该抛物线交于A 、B 两点,请解答以下问题： 1若测得OA OB ==如图1,求a 的值；2对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时,过B 作BF x ⊥轴于点F ,测得1OF =,写出此时点B 的坐标,并求点A 的横坐标．．．； 3对该抛物线,孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现,交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标．5. 2009湖北武汉如图,抛物线24y ax bx a =+-经过()10A -，、()04C ，两点,与x 轴交于另一点B ．1求抛物线的解析式；2已知点(),1D m m +在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标； 3在2的条件下,连接BD ,点P 为抛物线上一点,且45DBP ∠=︒,求点P 的坐标．三、测试提高1. 2009湖南湘西在直角坐标系xOy与x 轴交于两点A 、B ,与y 的坐标是3,0．将直线y kx =沿y 轴向上平移3（1）求k 的值；（2）求直线BC 和抛物线的解析式；（3）求△ABC 的面积；（4）设抛物线顶点为D ,点P 在抛物线的对称轴上,且∠APD =∠ACB ,求点P 的坐标．、第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题1. 2009山西太原问题解决：如图1,将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一方法指导：图1 图2 图3 图4αθ4HB 2B 3A 3A 222B 1A 1A 011点E 不与点C ,D 重合,压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时,求AMBN 的值．类比归纳：在图1中,若13CE CD =，则AMBN 的值等于；若14CE CD =，则AMBN的值等于；若1CE CD n=n 为整数,则AMBN 的值等于．用含n 的式子表示联系拓广：如图2,将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E 不与点C D ，重合,压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n=>=，，则AMBN 的值等于．用含m n ，的式子表示 2. 2011陕西如图①,在矩形ABCD 中,将矩形折叠,使B落在边AD 含端点上,落点记为E ,这时折痕与边BC 或边CD 含端点交于点F ,然后再展开铺平,则以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”.1由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF ”是一个_________三角形；2如图②,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =4．当它的“折痕△BEF ”的顶点E 位于边AD 的中点时,画出这个“折痕△BEF ”,并求出点F 的坐标；3如图③,在矩形ABCD 中, AB =2,BC =4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF ”若存在,说明理由,并求出此时点E 的坐标；若不存在,为什么图① 图② 图③3. 2010江西南昌课题：两个重叠的正多边形,其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．实验与论证设旋转角∠A 1A 0B 1＝αα＜∠A 1A 0A 2,θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,θ6所表示的角如图所示． 1用含α的式子表示：θ3＝_________,θ4＝_________,θ5＝_________；图1－图4中,连接A 0H 时,在不添加其他辅助线的情况下,是否存在与直线0H 垂直且被它平分的线段若存在,请选择其中的一个图给出证明；若不存在,请说明理由；归纳与猜想图2NA B CD E F M图1A BCDE FM N设正n 边形A 0A 1A 2…A n -1与正n 边形A 0B 1B 2…B n -1重合其中,A 1与B 1重合,现将正n 边形A 0B 1B 2…B n -1绕顶点A 0逆时针旋转αn1800<<α． 3设θn 与上述“θ3,θ4,…”的意义一样,请直接写出θn 的度数；4试猜想在n 边形且不添加其他辅助线的情形下,是否存在与直线A 0H 垂直且被它平分的线段若存在,请将这条线段用相应的顶点字母表示出来不要求证明；若不存在,请说明理由．4. 2009山东德州已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG ． 1求证：EG =CG ；2将图①中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o,如图②所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG ．问1中的结论是否仍然成立若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由． 3将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问1中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论均不要求证明5. 2010江苏苏州刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②．图①中,90°，B ∠=306cm °，；A BC ∠==图②中,90D =°，45E ∠=°， 4cm DE =.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将DEF △的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起,并将DEF △沿AC 方向移动．在移动过程中,D 、E 两点始终在AC 边上移动开始时点与点重合． 1在DEF △沿AC 方向移动的过程中,刘卫同学发现：F C 、两点间的距离逐渐_________．填“不变”、“变大”或“变小” 2刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题：问题①：当DEF △移动至什么位置,即AD 的长为多少时,F C 、的连线与AB 平行问题②：当DEF △移动至什么位置,即AD 的长为多少时,以线段AD FC BC 、、的长度为三边长的三角形是直角三角形问题③：在DEF △的移动过程中,是否存在某个位置,使得15FCD ∠=°？如果存在,求出AD 的长度；如果不存在,请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．三、测试提高1. 2009湖南常德如图1,若△ABC 和△ADE 为等边三角形,M ,N 分别EB ,CD 的中点,易证：F BA D E G图①F A D G图② F A E 图③ ①图②F ED AB图③D。

中考数学“全等、相似三角形的存在性问题”题型解析

中考数学“全等、相似三角形的存在性问题”题型解析解此类问题，一般分为三个步骤：第一步寻找分类标准；第二步列方程；第三步解方程并验根 .难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使得列方程和解方程又好又快 .一般情况下，寻找一组相等的角或边，分情况列方程 .本节主要来讨论下全等三角形和相似三角形的存在性问题 .类型一：全等三角形存在性问题【例题1】如图，抛物线y = ax^2 + c （a ≠0）与y 轴交于点A，与x 轴交于B , C 两点（点C 在x 轴正半轴上），△ABC 为等腰直角三角形，且面积为4，现将抛物线沿BA 方向平移，平移后的抛物线过点C 时，与x 轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x 轴的交点为H .（1）求a , c 的值；（2）连接OF，试判断△OEF 是否为等腰三角形，并说明理由；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q 放在射线AF 或射线HF 上，一直角边始终过点E，另一直角边与y 轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使以点P、Q、E 为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由 .【解题策略】（1）关键是利用等腰直角三角形的性质及面积，求出关键点坐标，用待定系数法求解；（2）关键是求得平移后的函数抛物线，证明两边相等即可；（3）关键是分类讨论分两种情形，而情形一又分两种情形，依据全等三角形性质，寻找边角相等求解 .类型二：相似三角形存在性问题【例题2】如图，已知抛物线y = ax^2 + 8/5 x + c 与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C，且A（2,0），C（0，-4），直线l : y = -1/2 x - 4 与x 轴交于点D，点P 是抛物线y = ax^2 + 8/5 x + c 上的一动点，过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E , 交直线l 于点F .（1）试求该抛物线表达式；（2）如图（1），若点P 在第三象限，四边形PCOF 是平行四边形，求P 点的坐标；（3）如图（2），过点P 作PH⊥y 轴, 垂足为H，连接AC .①求证：△ACD 是直角三角形；②试问当P 点横坐标为何值时，使得以点P , C , H 为顶点的三角形与△ACD 相似？【解题策略】解析本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、相似三角形的性质 .依据平行四边形的对边相等列出关于m 的方程是解析问题（2）的关键；利用相似三角形的性质列出关于n 的方程是解析问题（3）的关键 .。

函数与几何相结合型综合问题

方法二：由题意，圆心 P 在 AB 的中垂线上，即在抛物线 y＝x2＋4x－5 的对称轴直线 x＝－2 上，设 P(－2，h)．连接 PB、PC，则 PB2＝(1＋2)2＋h2，PC2＝(5＋h)2＋22，由 PB2＝PC2，即(1＋2)2＋h2＝(5＋h)2＋22，解得 h＝－2. ∴P(－2，－2)， ∴⊙P 的半径 PB＝ 1＋22＋22＝ 13.
答案
B
5．(2010· 潼南)如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B、 D(F)、H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，
正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大
[难点正本疑点清源] 1．代数、几何综合题对解题的要求代数几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数、几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入
了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等．经
行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分
析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、运动观点等数学思想方法，能更有效地解决问题．
基础自测
1．(2010· 随时间变化的图象如图所示．则下列结
b＝－5，则 k＋b＝0. b＝－5， ∴ k＝5.
∴直线 BC 的解析式为 y＝5x－5.
(2)图象略． (3)方法一：在 Rt△AOC 中， ∵OA＝OC＝5， ∴∠OAC＝45° . ∴∠BPC＝2 ∠BAC＝90° . 又∵BC＝ OB2＋OC2＝ 26， 2 ∴⊙P 的半径 PB＝ 26× ＝ 13. 2

苏科版九年级数学下册：二次函数与相似三角形、全等三角形及等角的存在性问题

二次函数与相似三角形、全等三角形及等角的存在性问题（一）、相似三角形的存在性问题：1、如图,直线y=−x+3与x轴、y轴分别相交于点B. C,经过B. C两点的抛物线cbxaxy++=2与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x=2.(1)、求该抛物线的解析式；(2)、连接PB、PC，求△PBC的面积；(3)、连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

2、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝x2﹣x交于A、B两点．（1）、直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；（2）、点P在抛物线上，当k＝﹣时，解决下列问题：①、在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②、连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x－3与抛物线y＝x2＋mx＋n相交于两个不同的点A、B，其中点A在x轴上．(1)、则A点坐标为▲；(2)、若点B为该抛物线的顶点，求m、n的值；(3)、在(2)条件下，设该抛物线与x轴的另一个交点为C，请你探索在平面内是否存在点D，使得△DAC与△DCO相似？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．4、已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A(−3,0)和点B(1,0),与y轴相交于C(0,−3m)(m>0)，顶点为点D.(1)、求该二次函数的解析式(系数用含m的代数式表示)；(2)、如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；(3)、如图②，当m取何值时，以A. D. C三点为顶点的三角形与△OBC相似?5、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）、求抛物线的表达式；（2）、D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）、抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，直线y＝﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B、C两点．（1）、求抛物线的解析式；（2）、点E是直线BC上方抛物线上的一动点，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，交x轴于点F，设E的横坐标为m，请用含m的代数式表示线段EM的长；（3）、在（2）的条件下，若B，E，M为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出m的值．7、如图所示抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，A 、B 两点的坐标分别为（-1,0）、（0，-3）（1）、求抛物线的解析式；（2）、点E 为抛物线的顶点，点C 为抛物线与x 轴的另一个交点，点D 为y 轴上一点，且DC=DE ，求出点D 的坐标；（3）、在（2）的条件下，在直线DE 上存在点P ，使得以C 、D 、P 为顶点的三角形与△DOC 相似，请直接写出所有满足条件的点P 的坐标。

中考考试数学压轴题之三角形存在性问题

中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性题型特点三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．解题思路①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；②分类讨论，画图；③建等式，对结果验证取舍．对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑对应关系，用同样方法解决问题．难点拆解①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模型、直线k值乘积为1；②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．1.（2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。

的图象经过点(2，4)，且与直线错误!未找到引用源。

交于A ，B 两点．（1）求抛物线的函数解析式．（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标．（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2009广西钦州）如图，已知抛物线错误!未找到引用源。

与坐标轴交于A，B，C三点，A点的坐标为(﹣1，0)，过点C的直线错误!未找到引用源。

与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB=5t，且0<t<1．（1）点C的坐标是____________，b=_______，c=______．（2）求线段QH的长（用含t的式子表示）．（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P，H，Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．3.（2012海南）如图，顶点为P(4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是(6，﹣3)，求△ANO的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①证明：∠ANM =∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．4.（2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误!未找到引用源。

二次函数与几何综合专题相似(全等)三角形存在性问题

专题相似（全等）三角形存在性问题
策略：相似三角形存在性问题解法的一般步骤，分三步走：
第一步：寻找分类标准（一般通过“角”）；
第二步：列方程（一般通过“对应边成比例”）；
第三步：解方程并验根（除重、查漏）．
母题】
1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，顶点为D，对称轴交x轴于点E．
∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3），
∴AO＝OC＝3，OB＝1，
∵ ，
∴OD＝2，
∴点D的坐标为（0，2），
设直线AP的解析式为，
∴ ，
∴ ，
∴直线AP的解析式为，
联立，解得：或，
∴点P的坐标为（，）．
（4）解：∵抛物线的解析式为，
∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3），
过点Q作QD⊥OC于点D，则QD＝－x，
∴QC＝，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQC＝∠OCA＝45°，
当△QCP △ACB时，
∴ ，即，
解得：（舍去）或：，
此时点P的坐标为（，）；
当△QPC △ACB时，
∴ ，即，
解得：（舍去）或：，
此时点P的坐标为（，）；
综上，点P的坐标为（，）或（，）．
（2）解：∵抛物线的解析式为，
∴A（－3，0），B（1，0），C（0，－3），
∴AO＝OC＝3，OB＝1，
∵△AOP≌△COB，
∴OD＝OB＝1，
∴点P的坐标为（0，1），
设直线AP的解析式为，
∴ ，
∴ ，
∴直线AP的解析式为，
联立，解得：或，

中考数学压轴题《全等三角形的存在性》

《全等三角形的存在性》解题方法全等三角形的存在性问题的解题策略有：（1）当有一个三角形固定时（三角形中所有边角为定值），另一个三角形会与这个固定的三角形有一个元素相等；再根据全等三角形的判定，利用三角函数的知识（画图）或列方程来求解．（2）当两个三角形都不固定时（三角形中有角或边为变量），若条件中有一条边对应相等时，就要使夹这条边的两个角对应相等，或其余两条边对应相等；若条件中有一个角对应相等时，就要使夹这个角的两边对应相等，或再找一个角和一条边对应相等．例题讲解例1 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴的一个交点为A（－2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x＝3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的表达式；（2）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M在y轴的正半轴上，连结MA，过点M作MA的垂线，交抛物线的对称轴于点N．问：是否存在点M，使以点M、A、N为顶点的三角形与△BAN全等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由题意可列方程组424032a bba-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1432ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以抛物线的表达式为213442y x x =-++．（2）显然OA ＝2， OB ＝3， OC ＝4．所以5BC BA ==．若△P BD ≌△PBC ，则BD ＝ BC ＝5，PD ＝PC所以D 为抛物线与x 轴的左交点或右交点，点B ，P 在CD 的垂直平分线上， ①若点D 为抛物线与 x 轴的左交点，即与点A 重合．如图1，取AC 的中点E ，作直线BE 交抛物线于P 1（x 1，y 1），P 2（x 2．y 2）两点．此时△P 1BC ≌△P 1BD ，△P 2BC ≌△P 2 B D ．由A 、C 两点的坐标可得点E 的坐标为（－1，2）．所以直线BE 的表达式为1322y x =-+．联立方程组2132213442y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得114x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，224x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ ．所以点P 1，P 2的坐标分别为（4）．（4②若D 为抛物线与x 轴的右交点，则点D 的坐标为（8，0）．如图2，取CD 的中点F ．作直线BF 交抛物线于P 3（x 3，y 3），P 4（x 4，，y 4）两点．此时△P 3BC ≌△P 3BD ，△P 4BC ≌△P 4 B D ．由C 、D 两点的坐标可得点F 的坐标为（4，2），所以直线BF 的表达式为y ＝2x －6．联立方程组22613442y x y x x =-⎧⎪⎨=-++⎪⎩，解得3318x y ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，4418x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩所以点P 3，P 4的坐标分别为（－1，－8＋，（－1，－8－），综上可得，满足题意的点P 的坐标为（4），（4（－18＋）或（－18－）．（3）由题意可设点M （0，m ），N （3，n ），且m ＞0，则AM 2＝4＋m 2，MN 2＝9＋（m －n ）2，BN 2＝n 2．而∠AMN ＝∠ABN ＝900，所以△AMN 与△ABN 全等有两种可能： ①当AM ＝AB ，MN ＝BN 时，可列方程组2224259()m m n n⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得11m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩22m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩（舍），所以此时点M 的坐标为（0）．②当AM ＝NB ，MN ＝BA 时，可列方程组：22249()25m nm n ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩·解得113252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，223252mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍）所以此时点M 的坐标为（0，32）．综上可得，满足题意的点M 的坐标为（0，21）或（0，32）．例2 如图，在平面直角坐标系xoy 中，△ABO 为等腰直角三角形，∠ABO ＝ 900，点A 的坐标为（4．0），点B 在第一象限．若点D 在线段BO 上，OD ＝ 2DB ，点E ，F 在△OAB 的边上，且满足△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．图1 图2 解：由题意可得OA ＝4，从而OB ＝AB ＝22．所以OD ＝23OB ＝42，BD ＝13OB ＝22．①当点F 在OA 上时，（ⅰ）若△DFO ≌△DFE ，点E 在OA 上．如图1．此时DF ⊥OA ，所以OF ＝2OD ＝43，所以OE ＝2OF ＝83，即点E 的坐标为（83，0）．（ⅱ）若△DFO ≌△DFE ，点F 在AB 上，如图2．此时ED ＝OD ＝2BD ，所以sin ∠BED ＝BD ED ＝12；所以∠BED ＝300，从而BE ＝3BD ＝26，AE ＝6226-．过点E 作EG ⊥OA 于点G ．则EG ＝AG ＝2AE ＝232-，所以OG ＝232+，即点E 的坐标为（232+，232-）．图3 图4（ⅲ）若△DFO ≌△FDE ，点E 在AB 上，如图3．此时DE ∥OA ，所以BD ＝BE ．从而AE ＝OD，过点E 作EG ⊥OA 于点G ，则EG ＝AGAE ＝43，所以OG ＝83，即点E 的坐标为（83，43）．②当点F 在AB 上时，只能有△ODF ≌△AFD ，如图4．此时DF ∥0A ．且点E 与点A 重合，即点E 的坐标为（4，0）．综上可得，端足条件的点E 的坐标为（83，0），（2，2），（83，43）或（4，0）．进阶训练1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线21382y x x 与y 轴变于点C ．直线l ；43yx 与抛物线的对称轴交于点E ．连结CE ，探究；抛物线上是否存在一点F ，使得△FOE ≌△FCE ．．若存在，请写出点F 坐标；若不存在，请说明理由．答案：存在．点F 的坐标为（317，－4）或（317，－4）2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1过点A （1，0）且与y 轴平行．直线l 2过点B （0，2）且与x 轴平行，直线l 1与l 2相交于点P ．E 为直线l 2上一点，反比例函数kyx（k ＞0）的图象过点E 且与直线l 1相交干点F ．（1）若点E 与点P 重合，求k 的值；（2）是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M ，E ，F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求点E 的坐标：若不存在，请说明理由．备用图答案：（1）k＝2（2）存在．点E的坐标为（38，2）或（83，2）【提示】（2）易得点E（3k，2），F（1，k）．①如图1，当k＜2时，只能有△MEF≌△PEF．过点F作FH⊥y轴于点H，易证△BME∽△HFM，用k表示相关线段的长度，从而得到BM＝12，再解Rt△BME，得k＝34，所以点E的坐标为（38，2）；②如图2，当k＞2时，只能有△MEF≌△PFE．过点F作FQ⊥y轴于点Q，同①可得点E的坐标为（83，2）图1图23．如图，抛物线2y ax bx c经过A（3，0），B（0），C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴交干D，该抛物线的顶点为P，连结PA，A D．线段AD与y轴相交于点E．（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系中是否存在一点Q．使以Q，C，D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）抛物线的表达式为212333yx x（2）存在．点Q的坐标为（42），（23，1）或（0，7）．【提示】（2）方法一：易求直线BC ：333yx ，从而点D 2），可得CD ＝PD ，所以△QCD 与△ADP 全等有两种情况．设点Q 坐标，通过两点间距离公式列出QC ，QD ，AP ，AD 的长．再分类讨论列方程组，从而求得点Q 点坐标．方法二：连接CP ，易证△CDP 为等边三角形，∠ADC ＝60°，所以∠PDA ＝120°．△QCD 与△ADP 全等有两种情况，①如图1，∠DCQ ＝120°，CQ ＝DA ＝4，此时点Q 1的坐标为（0，7），点Q 2的坐标为（23，1）；②如图2，∠CDQ ＝120°，DQ ＝DA ＝4，此时点Q 3的坐标为，－2），点Q 4的坐标为（4）。

2023版中考数学复习6-满分大专题六-类型六全等三角形存在性问题

∴m = 2.
当 m = 2 时， 1 m2 1 m 3 4 24
=
5 4
.∴P
2,
5 4
.
当△PQR ≌ △ACD 时，PQ = AC 且 QR = CD，
无解.
综上所述，P
点坐标为
0,
3 4
或
2,
5 4
.
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满分训练
如图1，抛物线y = ax2 + bx - 4与x轴交于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC.点D是线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过点D作DE ⊥ x轴于点E.设点D的横坐标为m （0 < m < 4）.
9a
∴
b
2a
3b 3 4
1.
0,
a 解得
b
1 4 1 2
, .
∴抛物线 y1 的函数表达式为 y1 = 1 x2 1 x 3 . 4 24
点 B 的坐标为（1，0）.
返回目录
（2）如图2，将抛物线y1平移后得到顶点为B的抛物线y2.点P为抛物线y1上对称轴右侧的一个动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线 y2于点Q，过点Q作x轴的平行线，交抛物线y2于点R.当以点P，Q， R为顶点的三角形与△ACD全等时，请求出点P的坐标．
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Байду номын сангаас
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标. （2）线段DE的长用含m的式子表示为 4 - m .
解：（1）将 A（-3，0），B（4，0）代入
y = ax2 + bx - 4
，得196aa34bb4400, .解得
a b
1 3
, 1
.

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第48讲全等三角形存有性问题探究
【考点】抛物线上是否存有一点，使之与另3个点构成的两个三角形全等．
【重点】抛物线上是否存有一点，使之与另3个点构成的两个三角形全等．
【难点】1．一般有2个不确定的点，三角形形状不明确，学生分析对应边有困难．2．原理是“边角边”的全等判定理解有困难
【典型例题及针对训练】
【例】如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是抛物线y＝－1
2x
2－2x＋4上的一个动点，抛
物线的对称轴与x轴交于点D，经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存有△OPE与△OPD全等？若存有，请求出直线PE的解析式；若不存有，请说明理由．
1. 如图所示，m∥n，点B，C是直线n上两点，点A是直线m上一点，AB与AC的长不相等，在直线m上另找一点D，使得以点D，B，C为顶点的三角形和△ABC全等，这样的点D（）A．不存有B．有1个C．有3个D．有无数个
2. 在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2016·赤峰)如图，正方形ABCD的边长为3 cm，P，Q分别从B，A出发沿BC，AD方向运动，P点的运动速度是1 cm/s，Q点的运动速度是2 cm/s，连接AP并过点Q作QE⊥AP，垂足为E.
(1)求证：△ABP∽△QEA；
(2)当运动时间t为何值时，△ABP≌△QEA；
【提升训练】
3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －8与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的函数解析式，并分别求出点B 和点E 的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存有点F ，使△FOE ≌△FCE ，若存有，请写出点F 的坐标；若不存有，请
说明理由．
5．(2015·蚌埠六校联考)正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点P 在线段BC 上(不含点B)，∠
BPE ＝12
∠ACB ，PE 交BO 于点E ，过点B 作BF ⊥PE ，垂足为F ，交AC 于点G. (1)当点P 与点C 重合时(如图1)．求证：△BOG ≌△POE ；
(2)通过观察、测量、猜想：BF PE ＝12
，并结合图2证明你的猜想； (3)把正方形ABCD 改为菱形，其他条件不变(如图3)，若∠ACB ＝α，求BF PE
的值．(用含α的式子表示)
6、(2017镇江中考)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标
为（4，t）（t＞0），二次函数
2
y x bx
=+（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
（1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于；
（2）点E是二次函数
2
y x bx
=+（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA
的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数
2
y x bx
=+（b＜0）的图
象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．
学后/教后反思:。