微积分大一下 大学总复习提纲题库
微积分(下册)总复习
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(2) 方程组情形
隐函数的个数=方程的个数
隐函数的自变量个数=总自变量个数
方程的个数
* 5. 多元函数微分学的几何应用
(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形)
(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形)
* 6. 方向导数与梯度
方向导数 f lim f (P) f (P0 ) .
D
f (x, y)对x为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
6、二重积分计算
(1) 直角坐标系
D {( x, y) a x b,1( x) y 2( x)}, 其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
其中 I是各D 小f (闭x,区y)域d的直li径m0中i1的f最(大i ,值i ). i
2. 几何意义 当连续函数 z f ( x, y) 0时,
二重积分I表示以D为底, z =f (x, y)为曲顶, 侧面是
以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面的曲顶
柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
f ( x, y)d
D
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
a
1( x )
先对y 后对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
D {( x, y) c y d ,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
大一下学期微积分期末复习题
0
x
28、计算三重积分 ∫∫∫(x2 + y 2 + z)dv ，其中 Ω
Ω
为由曲线
y2 = 2z
x=0
绕z轴
旋转一周形成的曲面与平面 z = 4 所围成的区域。
29、设 u = f (x, y, z) 各个偏导数连续，函数 y = y(x) 及 z = z(x) 分别由
下列两个方程所确定：
ey
−
= =
0 0
垂直的平面方程。
1
∫ ∫ 17、求
π
6 dy
π 6
cos
x
dx
。
0
yx
xy
18、证明
f
(x,
y)
=
x2 + y2
0
x2 + y2 ≠ 0
在点（0，0）处两个偏导数都存
x2 + y2 = 0
在，但此函数在点（0，0）不可微。
2
2−x
∫ ∫ 19、改变二次积分
dx
−6
x2 −1 f (x, y)dy
∞
∞
∑ ∑ 33、设级数 an n =1
收敛且
lim
n→∞
bn
= 1，证明：级数
a n bn
n =1
收敛。
2
34、设
f
(x)
在[a,
b]上连续，求证：
∫
b a
f
(x)dx∫
b x
f
(
y)dy
=
1 2
[∫
b a
f
2
( x)dx]
。
35、设 y = y(x) 满足微分方程 y ''− 3y '+ 2 y = ex ，且其图形在点 (0,2)处的切线
大一微积分复习总结
微积分期中复习第一章 函数与极限一、函数1、数轴、区间、领域2、函数的概念：设有两个变量x 和y ，如果当某非空集合D 内任取一个数值时， 变量y 按照一定的法则(对应规律)f ，都有唯一确定的值y 与之对应，则称y 是x 的函数。
记作()y f x =，其中变量x 称为自变量，它的取值范围D 称为函数的定义域；变量y 称为因变量，它的取值范围是函数的值域，记作()Z f ，即(){|(),}Z f y y f x x D ==∈。
函数的表示：函数的表示有三种。
公式法、表格法和图示法。
3、函数的几种特性函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性。
4、初等函数(1) 基本初等函数① 幂函数：y x μ=(μ为任意实数)， y kx b =+， 2y ax bx c =++ ② 指数函数：x y a =(0a >且1a ≠) ③ 对数函数：log a y x =(0a >且1a ≠)。
恒等式： log (0,1)a N a N a a =>≠ 换底公式： log log log c a c bb a=运算的性质：log log log a a a xy x y =+，log log log aa a yy x x=-。
④ 三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======。
⑤ 反三角函数：arcsin ,arccos ,arctan ,cot y x y x y x y arc x ====。
(2) 反函数： (3) 复合函数： 5、常见的经济函数(1) 成本函数、收益函数和利润函数01()()C x C C x =+， ()()R x p x x =⋅，()()()L x R x C x =-。
(2) 需求函数与供给函数 (),()d d s s Q f p Q f p ==二、极限的概念与性质1、数列的极限 (1) 数列(2) 数列极限的定义 (3) 数列极限的几何意义 2、函数的极限(1) 当自变量x →∞时函数()f x 的极限 (2) 当自变量0x x →时函数()f x 的极限 (3) 左右极限3、函数极限的主要性质极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。
（完整版）微积分复习资料
（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。
()()'F x dx F x C =+? 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。
大学微积分总复习提纲
2
微积分（一） calculus
第二章 极限与连续
极限的描述性定义与左右极限
极限四则运算
未定式求极限(因式分解/有理化/同除最高次项)
求极限
夹逼定理 两个重要极限
无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质)
等价代换(加减不能代换，乘除可以代换)
洛必达法则(注意运用条件，与上述方法结合)
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分（一） calculus
第一章 函数
初等函数 分段函数
定义域、值域 奇偶性 周期性 有界性 反函数
选择题或填空题：与换元法结合考察上述知识点
1
微积分（一） calculus
第一章 函数
经济学函数
需求与供给函数 成本函数 收益函数 利润函数 库存函数
边际与弹性 最优化问题
应用题必考：与求导、求极值、最值知识点结合
5
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
导数的定义与左右导数 (求分段点导数，判断可导性与连续性，求极限)
必考：判断分段函数分段点可导性，与连续性、可微 结合考察；与求极限及无穷小量基本性质结合考察。
6
微积分（一） calculus
第三章 导数与微分
基本公式
求导数
四则运算 链式法则 反函数求导
9
微积分（一） calculus
第五章 多元函数微分学
ห้องสมุดไป่ตู้
求极限
极限定义与不同方向的极限 极限四则运算 未定式求极限(因式分解/有理化) 夹逼定理 无穷小量X有界函数(注意无穷小量性质) 等价代换(加减不能代换，乘除可以代换) 换元法后，使用洛必达法则
必考：先分清极限类型，选择相应方法
微积分大一下 大学总复习提纲题库PPT课件
无条件极值一般是计算题(需要对驻点的极值性 进行判断) 条件极值一般是应用题—方法是拉格朗日乘数 法(不需要对极值性进行判断)
9
4. 二重积分 交换积分次序,计算直角坐标系下二重积分,极坐 标系下二重积分.
第九章 微分方程 1. 基本概念 微分方程,微分方程的阶 2. 求解一阶微分方程 可变量分离型,齐次微分方程,一阶线性微分方程 3*. 求解二阶微分方程 二阶线性齐次和非齐次微分方程
1
(-1 x 1)
n0
1 x
(1)n xn 1 x
(1)n xn
1
(-1 x 1)
n0
1 x
4*.求函数的幂级数展开式
方法：直接展开法和间接展开法
类型：麦克劳林展式和泰勒展式
f ( x) f (n)(0) xn , x 收敛域.
n0 n!
f ( x)
n0
f
(n) ( x0 n!
考查 un 的敛散性 n1
比较或比较的极限形式
比值 un 与 un同敛散
n1
n1
比较或比较的极限形式
un 收敛 un绝对收敛
n1
n1
un 发散 un的敛散性重新判定
n1
n1
--一般莱布尼兹公式
绝对收敛或条件收敛或发散
5
3*.求幂级数的收敛半径,收敛域和和函数
1）定理
如果幂级数 an xn的所有系数an 0 ,
n0
设 lim an1 a n
n
(或
lim n
n
an
)
(1)则当
0 时, R
1 ;
(2)则当
0 时,R ;
微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)
微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。
微积分复习资料_微积分公式运算法则
《 微积分》综合复习资料一、填空题1、设1ln ,0,()1,0x x f x x x+>⎧⎪=⎨<⎪⎩，则)(x f 的定义域 ,1()f e = .2、曲线2xy x e =+在点（0，1）处的切线方程是 .210,2Q C Q Q =+=3、设产量为时的成本为则产量时的平均成本 边际成本为4、设21,11,()1,13,x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨-<≤⎩，则(1)f = .(0)f = (2)f =5、曲线ln y x x =在点（1，0）处的法线方程是: .6、3(),()f x dx x C f x dx '=+=⎰⎰则7、设111)(++-=x x x f ，则)(x f 的定义域 ,(1)f x += . 8、曲线1xy x=+的水平渐近线为 ，铅直渐近线为 。
9、设需求函数为505,Q P =-2P =时的边际收益为 10、设21()1f x x=++，则)(x f 的定义域 ,2()f x π+= . 11、曲线41y x =+在点(1,2)处的切线方程是 。
12、设需求函数时的边际收益为则销售量2,210=-=Q QP . 二、选择题1、 下列函数中的奇函数是（ ）(a)2()sin ,[0,1]f x x x x =+∈ (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 2()tan(1),(,)f x x x =+∈-∞+∞ 2、下列级数中绝对收敛的是（ ）(a)∑∞=121n n (b) ∑∞=-1)1(n nn (c)14()n n ∞=π∑ (d) 11n n n ∞=+∑ 3、下列算式中不正确的是（ ）(a)(sin )sin cos x x x x x '=+ (b)22()x x e e '=(c)2()2d x xdx +π= (d)1ln(1)1d x dx x+=+ 4、下列函数中函数是非奇非偶的函数是（ ）(a)2()sin ,[1,1]f x x x x =+∈- (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) 24()log (1),(,)f x x x =+∈-∞+∞5、若130(4)0x k dx -=⎰，则k=（ ）(a) -1 (b) 1 (c) 0 (d) 26、下列算式中不正确的是（ ）(a)2(ln )2ln x x x x x '=+ (b)(sin 2)2cos 2x x '= (c)2()d x xdx +π= (d)222ln(1)1d xx dx x +=+ 7、下列函数对中是偶函数的是（ ）(a)53)(x x f = (b)x x x x x f cos 1)(224++=(c)x x x f sin )(+= (d)2)(x x x f +=8、2211(),121x x f x x kx x ⎧-≤==⎨->⎩在点连续，则k=( ) (a) 4 (b) 3 (c) 2 (d) 19、下列极限中能用罗必达法则计算得出结果的是（ ） (a)21lim1++→x x x (b) )1sin(1lim 1--→x x x(c) xx xx x sin sin lim +-∞→ (d) x x x x x e e e e --+∞→+-lim10、下列函数中既是偶函数又是有界函数的是（ ） (a)]1,0[,)(2∈=x x x f (b)),(,)(2+∞-∞∈=x x x f (c))1,1(,cos )(-∈=x x x x f (d) ),(,11)(2+∞-∞∈+=x xx f 11、31(),11x kx f x x x kx -≤⎧==⎨+>⎩在处连续，则k=( ) (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 12、下列算式中不正确的是（ ）(a)x xt e dt e dx d =⎰0 (b))()(x f dx x f dxd =⎰(c)C x dx x dx d +=⎰22sin )(sin (d)1cos cos xdtdt x dx =⎰三、判断题1、已知2(1)1,f x x -=+则2()22f x x x =++（ ）2、如果极限lim ()x af x →存在，则函数()f x 在点a 连续 ( )3、已知边际收益函数为()2R p p '=，则总收益函数为2()R p p =( )4、函数()sin(21)f x x =+是周期函数，也是有界函数( )5、如果函数()f x 在点a 的导数存在，则()f x 在点a 连续。
微积分下期末总复习题
22
3、二阶偏导数
2 z 2 z 1 设z x ln( xy), 求 2 , . x xy 解 z ln( xy) x 1 y ln( xy) 1, x xy
1 (1) n (1) n (1) 1, p 1, | n 1 |收敛，故 n 1 绝对收敛, p n 1 np n 1 np 1 ( 1) n ( 1) n (2) 1, p 1, | n 1 |发散，故 n 1 发散, p n 1 np n 1 np
0
1 . 4
9
4：极坐标系下的二重积分
Chapter 8 三、14
a 2 x2 y 2 dxdy , 其中D ( x, y) x2 y2 a2 , a 0
2
D
0
d
a 0
a
0
a r rdr
2 2
a 2 r 2 d (a 2 r 2 )
期末考试考核点
1、定积分计算题 2、级数敛散性判断 3、偏导数计算 3、二重积分计算 4、微分方程求解 5、应用题 6、证明题
1
一、定积分
1、变量代换 2、分部积分 3、直角坐标系下的二重积分 4、极坐标系下的二重积分
2
1、变量代换
(1)
求： x 1 xdx （课本225页）
Chapter 8 三、13 D是无界区域
y2
解一： e
大一微积分下册经典题目及解析
微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y yy x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zyz x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23y x z∂∂∂5.)11(yx ez +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x y x xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续.习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
《微积分》考试大纲
《微积分》考试大纲一、考试题型1、填空题2、选择题3、计算题4、综合题二、考试参考用书经济数学——《微积分》,吴传生编，高等教育出版社，2006年,第二版。
三、考试内容第一章函数1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系；2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念；4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
第二章极限与连续1、了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念；2、了解极限的性质；3、了解极限的四则运算法则；4、掌握极限存在的两个准则；5、掌握利用两个重要极限求极限的方法；6、理解无穷小量的概念和基本性质；7、掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小求极限；8、了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)；10、会判别函数间断点的类型；11、了解连续函数的性质和初等函数的连续性；12、理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
第三章导数、微分、边际与弹性1、理解并掌握导数的概念，会用定义求点导数；2、掌握函数可导性与连续性之间的关系；3、了解导数的几何意义；4、会求平面曲线的切线方程和法线方程；5、掌握基本初等函数的导数公式；6、熟练掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；7、会求分段函数的导数；8、会求反函数与隐函数的一阶、二阶导数；9、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数；10、了解微分的概念、掌握导数与微分之间的关系11、了解函数一阶微分形式的不变性，熟练地求函数的微分。
第四章中值定理及导数的应用1、理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解费马引理，泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用；2、掌握洛必达法则的使用条件和使用方法，熟练地用洛必达法则求极限；3、掌握函数单调性的判别方法；4、了解函数极值的概念；5、掌握函数取到极值的必要条件和充分条件，会求函数的极值；6、会求函数的最大值和最小值，并会解决实际问题的最值；7、掌握凹凸性的定义，会用导数判断函数图形的凹凸性；8、会求函数图形的拐点和渐近线；9、了解泰勒公式，会写出简单函数的泰勒公式。
微积分复习题题库超全
习题 1—21．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）xy πsin 2=； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 21arccos 2x x y a -+-= 2．求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=)0(0)0(1sin x x x y的定义域和值域。
3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2sin 21)(,cos )(2π-==x g x x f ；（3）1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g xxx f ==。
4．设x x f sin )(=证明：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+2cos 2sin2)()(x x xx f x x f ∆∆∆ 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。
6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）323x x y -=； （3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2xx a a y -+=。
7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。
8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。
10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。
微分几何练习题库与答案
《微积分几何》复习题本科第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章1．已知a(1,1,1), b(1, 0,1) ，则这两个向量的夹角的余弦cos =6 32．已知a(0,1,1), b(1, 0,1) ，求这两个向量的向量积a b(-1,-1,-1) ．3．过点P (1,1,1)且与向量a(1, 0,1)垂直的平面方程为X-Z=04．求两平面1 : x y z0与2: x y 2 zx1y z 1 1 的交线的对称式方程为1235．计算 lim[(3 t 21) i t 3j k ]13 i8 j k．t 26 ．设f(t )(sin t ) i t j，g(t )(t21) i e t j ，求lim ( f ( t )g( t ))0．t07．已知r( u , v )( u v, u v, uv ) ，其中 u t2， v sin t ，则d r(2 t cos t , 2t cos t , 2vt u cos t ) dt8．已知t ，t2 ，则d r(,)( a sin cos 2 at cos sin , a sin sin 2 at cos cos , a cos )dt469．已知r( t )d t(1,2,3) ，r ( t )d t(2,1, 2)，求2446a r (t )d tb a r ( t )d t(3,9,5) ，其中a(2,1,1)， b(1,1, 0)2210．已知r(t ) a （a为常向量），求 r ( t )t a c1211．已知r(t ) t a，（a为常向量），求r( t )t a c24 12．已知f(t )(2 t ) j(log t ) k，g(t ) (sin t )i(cos t ) j， t 0 ，则0第二章d( f g)d t 2 6 cos 4 ．dt13．曲线r(t )(2 t , t 3 , e t ) 在任意点的切向量为(2, 3t 2 , e t )14．曲线r(t )(a cosh t , a sinh t , at ) 在 t0点的切向量为 (0, a, a ) 15．曲线r(t )(a cos t , a sin t , bt ) 在 t0 点的切向量为 (0, a , b )y1x ee z116．设有曲线 C : xte t2，当 t 1 时的切线方程为e , y, zte12e17．设有曲线 x e t cos t , ye tsin t , z e t ，当 t0 时的切线方程为x 1 yz 1第三章18．设 rr (u, v) 为曲面的参数表示，如果r u r v0 ，则称参数曲面是正则的；如果r : G r ( G ) 是一一的，则称参数曲面是简单的．19．如果 u 曲线族和 v曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．( 坐标网 ; 易;3 分钟 )20．平面 r (u , v) (u , v , 0) 的第一基本形式为d u 2d v 2 ，面积元为 d u dv21．悬链面 r ( u , v ) (cosh u cos v, coshu sin v , u ) 的第一类基本量是Ecosh2F0 , Gcosh2u , u2x 0 y 22．曲面 z axy 上坐标曲线 x x 0 ， yy 0 的交角的余弦值是a 0(1a 2 x 0 2 )(1 a 2 y 0 2 )23．正螺面 r ( u , v ) ( u cos v , u sin v , bv ) 的第一基本形式是 d u 2 ( u 2b 2 )d v 2 ．24．双曲抛物 面r ( u, v) (a ( u v ), b (uv ), 2uv )的 第一基本 形式是22222b 24 uv )d u d v ( a 2222( a b 4 v )d u 2( a b4u )d v25．正螺面 r (u , v ) (u cos v, u sin v , bv ) 的平均曲率为．（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3 分钟）26．方向 (d) d u : dv 是渐近方向的充要条件是n (d )22 M d ud vN dv 20 或 L d u27．两个方向(d)du : dv 和 ( δδ δ 共轭的充要条件是 II (d r , δ 0或 L d u δ δδ δ)u : vr ) u M (d u vdv u )N dv v28．函数是主曲率的充要条件是ELF M0 F M G N29．方向 (d)d u : dv 是主方向的充要条件是E duF d v L d u M d v 0 F duG d vM du N d v30．根据罗德里格定理，如果方向 (d) (d u : d v ) 是主方向，则 d nn d r ，其中 n 是沿 (d) 方向的法曲率31．旋转极小曲面是平面或悬链面第四章32．高斯方程是 r ijk r k L ij n ， i , j 1, 2 ，魏因加尔吞方程为 n ikj， i , j 1, 2ijL ik g r ikj ,kij用 g ij 表示为 ( g ij)1 g22g 1233． gdet( g ij )g12 ．g1134．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线 ( C ) 在 P 点的测地曲率的绝对值等于 (C ) 在 P 点的切平面 上的正投影曲线(C )的曲率35． , g , n 之间的关系是2 g 2 n2．36．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为．d 2 u k k d u i d u j1, 2 37．测地线的方程为2ij0, kds i , jd sdsk38．高斯 - 波涅公式为K dg d s(i ) 2GGi 1k39．如果 G 是由测地线组成，则高斯 -波涅公式为K d(i ) 2 ．Gi 1二、单选题第一章40．已知 a( 1,0,1) ， b (1, 2, 1) ，则这两个向量的内积 a b 为（ C ）．（内积；易； 2 分钟）A2B 1C 0D 141．求过点 P (1,1,1) 且与向量 a ( 1, 0, 1) 平行的直线的方程是（A）．（直线方程；易； 2 分钟）Ax zBx 1 y z 1y12 3Cx 1yz 1 D x yz142．已知 a(1,1, 1), b (1, 0, 1), c (1,1,1)，则混合积为（D）．（混合积；较易； 2 分钟）A2B1C 1D243. 已知 r ( t ) (e t , t , et) ，则 r (0) 为（A）．（导数；易； 2 分钟）Ａ ( １，０，１ ) Ｂ (- １，０，１ )Ｃ ( ０，１，１ )Ｄ(１，０， -１)44．已知 r (t )r ( t ) ， 为常数，则 r (t ) 为（ C）．（导数；易； 2 分钟）Ａt aＢaＣ e t aＤ e a上述 a 为常向量．45. 已知 r ( x , y )( x , y , xy ) ，求 d r (1, 2) 为（ D ）．（微分；较易； 2 分钟）Ａ (d x , d y , d x 2d y ) Ｂ (d x d y , d x dy , 0)第二章46．圆柱螺线 r(cos t , sin t , t ) 的切线与 z 轴（ C） . ( 螺线、切向量、夹角；较易、 2分钟)Ａ 平行Ｂ垂直Ｃ有固定夹角Ｄ 有固定夹角4347．设有平面曲线C : rr ( s) ， s 为自然参数， α β是曲线的基本向量．下列叙述错误 的是（ C ）．,Ａ为单位向量 Ｂα ααＣαβＤβα48．直线的曲率为（B ）．（曲率；易； 2 分钟）Ａ–１Ｂ０Ｃ １Ｄ ２49．关于平面曲线的曲率C : rr ( s ) 不正确 的是（ D ）．（伏雷内公式；较易； 2 分钟）Ａ( s)α( s)Ｂ ( s) ( s) ， 为 α( s ) 的旋转角Ｃ( s)α βＤ( s ) | r ( s) |50．对于平面曲线， “曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（D ） ．（曲率；易； 2 分钟)Ａ 充分不必要条件Ｂ 必要不充分条件Ｃ既不充分也不必要条件Ｄ充要条件51．下列论述 不正确 的是（ D ）．（基本向量；易； 2 分钟）Ａ均为单位向量Ｂαβα, β, γＣβ γＤα// β52．对于空间曲线Ｃ， “曲率为零”是“曲线是直线”的（D ） ．（曲率；易； 2 分钟)A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 既不充分也不必要条件D 充要条件53．对于空间曲线 C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（D ）．（挠率；易； 2分钟)A 充分不必要条件B必要不充分条件C 既不充分也不必要条件D 充要条件54． xa (tsin t ), ya (1cos t ), z4 a sint的切线与 z 轴关系为（D在点 t）．22Ａ 垂直Ｂ 平行Ｃ成的角Ｄ 成的角34第三章22255．椭球面 xy z 1 的参数表示为（ C ）．（参数表示；易； 2 分钟）222a bcA ( x, y, z) (cos cos ,cos sin ,sin )B ( x, y, z) ( acoscos , cosb sin ,sin )C ( x , y , z)( a coscos , bcossin, csin )D ( x, y, z)( a cos cos , bsincos , sinc 2 )x 22256．以下为单叶双曲面y z 1 的参数表示的是（ D ）．（参数表示；易； 2 分钟）a222bcA ( x, y, z) ( acosh usin , vcoshb cosu ,sinhv ) uB ( x, y, z) (cosh ucos ,coshv sinu ,sinhv ) uC ( x , y , z)( a sinh u cos v, bsinh usin v, ccoshu)D ( x, y, z)( a cosh ucos v, bcosh sinu , v sinhc ) u2 2257．以下为双叶双曲面x yz1 的参数表示的是（ A ）．（参数表示；易；2 分钟）222abcA ( x, y, z) ( asinh ucos , vsinhb sinu , coshv ) uB( x, y, z)( acosh ucos ,v bsinh sinu , vcosh ) uC ( x , y , z ) (a cosh u cos v , b cosh u sin v , c sinh u )D ( x, y, z)(cosh ucos ,coshv sinu ,sinhv) u2258．以下为椭圆抛物面x y2 z 的参数表示的是（ B ）．（参数表示；易； 2 分钟）a2b 222A ( x, y, z) ( ucos ,v usin , v )uB ( x, y, z) ( au cos v, busin v, u2)2C ( x, y, z)( au cosh v, bu sinh v, u 2D ( x, y, z)( acos v, bsinv, v))259．以下为双曲抛物面x 2y 22 z 的参数表示的是（ C ）．（参数表示；易； 2 分钟）22a bA ( x, y, z) ( acosh ,u sinhb , u) uB ( x, y, z) (cosh u,sinh , u)uC ( x , y , z)( a( u v ), b( u v ), 2 uv ) D ( x, y , z) ( au , bv ,u v )60．曲面 r (u , v)(2 u v , u 2v 2 , u 3 v 3 )在点 M (3, 5, 7) 的切平面方程为（ B ）．（切平面方程；易； 2 分钟）A 21 x 3 y 5 z 20 0B 18 x 3 y 4 z 41 0C 7 x 5 y 6 z 18 0D 18 x 5 y 3 z 16 061．球面 r (u , v)( R cos u cos v , R cos u sin v, R sin u ) 的第一基本形式为（D ）．（第一基本形式；中； 2 分钟）A 2222B 22 cosh2 2R (d usin ud v )R (d uud v )C 2222) D 2222R (d u sinh ud vR (d u cos u dv )62．正圆柱面 r ( u , v )( R cos v, R sin v , u ) 的第一基本形式为（ C ）．（第一基本形式；中；2 分钟）A d u 2d v 2B d u 2d v 2C d u 2R 2 dv 2D du 2R 2 d v 263．在第一基本形式为 I (d u , d v ) d u 2sinh 2 u dv 2 的曲面上， 方程为 uv( v 1 v v 2 ) 的曲线段的弧长为 （ B ）．（弧长；中； 2 分钟）A cosh v 2 cosh v 1B sinh v 2 sinh v 1C cosh v1cosh v2D sinh v1sinh v264．设M为R3中的 2维C 2 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B）．A E 0B F 0C G 0D M065．以下正确的是（D）．（魏因加尔吞变换；较易； 2 分钟）A d n W (d r)B d n W (d r u)C d n u W (d r v )D d n W (d r )66．以下正确的是（C）．（魏因加尔吞变换；较易； 2 分钟）AI (d r, W(δδBδδr) r ))II (d ,r r )I (d r, W ( r ))I( W ( r ),dCδδDδδI (d r , W ( r )) I ( W (d r ), r )I (d r , W ( r ))II ( W (d r ), r ) 67．以下正确的是（A）．（魏因加尔吞变换；较易； 2 分钟）AI (d r ,W(δ))δ)BI (d r ,W (δII ( W (d r ),δr II (d r , r r ))r )CδδDδδI (d r , W ( r ))I ( W (d r ), r )II (d r , W ( r )) II ( W (d r ), r ) 68．高斯曲率为常数的的曲面叫（ C ）．（高斯曲率；易； 2 分钟）A 极小曲面B 球面C 常高斯曲率曲面D 平面第四章B 69．ij gji___________．（第一基本形式；易； 2 分钟）gi,jA1B2C0D-1B 70．gkjj______．（第一基本形式；易； 2 分钟）ljA gkj Bgkl Cgki DgijA 71．k________．（克氏符号；较易； 2 分钟）ijA1kl(gilgjlgij)B1kl(gilgjlgij) gu j u i u lgu j u i u li2i21klgilgjlgij1klgilgjlgijC i2 g (u j u i u l )D i2 g (u j u i u l)A72．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．A0B1 C 2 D 3B73．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____ ．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）A1ln EB1ln E 2E u 2 G v1 ln G 1 ln ECvDu2 E2 GA74．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____ ．（测地曲率、法曲率、曲率；中； 2 分钟）A 直线B 平面曲线C 抛物线D 圆柱螺线B75．在伪球面 ( K1) 上，任何测地三角形的内角之和____ ．（高斯 - 波涅定理；中； 4 分钟）A 等于B 小于C 大于D 不能确定三、多选题第一章76. 若 r i ( t ) ( x i (t ), y i (t ), z i ( t )), i1, 2, 3 为向量函数，则下列论述正确的是（ AD ） ．（导数；易； 4 分钟）Ａ r 1 ( t ) ( x 1 ( t ), y 1 (t ), z 1 (t ))Ｂ r 1 ( t ) ( x 1 ( t ), y 1 ( t ), z 1 (t )) ( x 1 ( t ), y 1 ( t ), z 1 (t )) ( x 1 ( t ), y 1 ( t ), z 1 ( t))Ｃ (r 1 (t ), r 2 ( t ), r 3 (t )) ( r 1 (t ), r 2 (t ), r 3 ( t ))Ｄ ( r 1 (t ), r 2 ( t ), r 3 (t )) (r 1 ( t ), r 2 ( t ), r 3 (t )) (r 1 ( t ), r 2 (t ), r 3 (t )) (r 1 (t ), r 2 (t ), r 3 ( t ))Ｅ(r 1 (t ), r 2 ( t ), r 3 (t )) ( r 1 (t ), r 2 (t ), r 3 ( t ))77． m , n 为常向量， r ( t ) 为向量函数，则下述正确的是（ABC ）．（积分的性质；中； 4 分钟）bbbbＡm r ( t )d t mr ( t )d t Ｂm r ( t )d t mr ( t )d taaaab b b bＣ(m , n , r (t ))d t (m n ) r (t )d tＤ( m , n , r (t ))d t ( m n ) r (t )d taaaab bＥ(m , n , r (t ))d t (m n )r (t )d taa第二章78．下列曲线中为正则曲线的有（ACDE ）。
《微积分》总复习试题
（Ｂ） y yy y 0
2
（C） y y y y x 0
2 2
(D) y yy x 0
三、求解下列微分方程 1.求 ydx+(x2y-x)dy=0，满足 y 2.求 y y
x 1
1 的特解，
1 的通解 1 ex
2x
是方程 y 4 y 0 的
（A）通解； （B）特解； （C）解，但既非通解也非特解（D）以上都不对 ３．微分方程 2 y 5 y cos x 的特解应具有形式（其中，a,b,c 为常数）
2
（A） x ( a cos x b sin x ); （C）a+bcos2x;
lim u n 0 是级数 u n 发散的
n n 0
。
A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。
总复习 吖恰制作
广东工业大学华立学院（微积分课程）吖恰制作
3．在区域 D ： 0 y
2 2
R 2 x 2 上的 xy 2 d 值为 2 3
4
4
（D） e
2 y=y(x)是微分方程 y y e
0 的解，且 f ( x 0 ) 0 ，则 f(x)在
（A） x０的某个邻域内单调增加 （B）x０的某个邻域内单调减少 （C）x０处的取极小值 （D）x０处取极大值 3．一曲线通过点 m(4.3),且该曲线上任意一点 p 处的切线在 y 轴上的截距等于原点到 p 的距 离，则此曲线方程为 （A） x y 25 （B） y 2
x
2
dydz z 2 dxdy ，其中 为 z x 2 y 2 和 z 1 所围立体边界的外侧。
经济数学微积分期末复习资料
经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：1.求偏导数5*8’=40’2.求偏弹性1*6’=6’3.条件极值1*6’=6’4.二重积分2*6’=12’5.微分方程与差分方程4*6’=24’6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）求和函数展开式一.求偏导类型1：展开式形式，如：xy z =求解：将求的看做变量，另一个看做常数。
求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。
Eg ：设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z ∂∂∂2、yx z∂∂∂2、22y z ∂∂解：y -y 3-y x 3xz322=∂∂x -x y 9-y x 2yz23=∂∂22x z ∂∂=2x y 6xy z∂∂∂2=1-y 9-y x 622yx z∂∂∂2=1-y 9-y x 62222yz∂∂=x y 18-x 23类型2:），（y x z f =求解：画链式法则进行求解Eg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求zx wx w ∂∂∂∂∂2，解：设u=x+y+z ，v=xyz ，），（v u f w =则链式法则如右图所示参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性uwvxz y x yz经济数学-微积分P310 例8 PS ：例8参考资料：练习册21-22页 三.条件极值求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。
参考资料：练习册19-20页 四.二重积分 类型1.直角坐标系下 a.X 型 先积x 再积y b.Y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下⎩⎨⎧==θθrsin y rcos x θσrdrd d =：PS求解：1.做出积分区间2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。
4.如果需要，要考虑交换积分次序。
参考资料：练习册23-26页 五.微差分方程 微分方程：（一）)x (y x dxdy Q P =+）（⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎰•⎰==+≡===+≡⎰⋅⋅C Q Q P Q P P P Q P P dx x Y x y x dxdyx dx x -ydyy x -dx dy0y x dxdy0x dx x dx x -）（）（）（运用公式）（）（）不（②）（）（可分离变量为）（时）（①（二）为常数）、（）（q p x f qy y p y xλ =+'+''*x n xnk *x nk *x x 21x 21rx 21x r 1x r 1212y y x f qy y p y x y y y x x y 2k 1k 0k x x y x f qy y p y x f qy y p y 0qy y p y 0x f 0x f x sin x cos r r 0x r 0r r 00q pr r 0qy y p y 0x f 21+==+'+'''''=⎪⎩⎪⎨⎧=====+'+''=+'+''=+'+''=≡⎪⎩⎪⎨⎧+=±=<∆+==∆+=>∆=++=+'+''≡Y Q Q Q C C Y i C C Y C C Y 的通解为）（综上可得）中的相关未知值。
大一高数下册期末总复习题1
第八章 多元函数微分学1．函数)1arccos(arcsin 2y y x u -+=的定义域为的定义域为。
2．设．设 x y x y x f 2sin ),(2+=，则=--+®xx f x f x )0,1()0,1(lim 0。
3．设22yx x z +=，则=dz 。
4．球面3222=++z y x 上点)1,1,1(处的切平面方程是处的切平面方程是 。
5．可微函数),(y x f z =在点),(y x 处取得极大值的必要条件是处取得极大值的必要条件是 。
6．函数),(y x f z =具有一阶偏导数，其沿着x 轴负方向的方向导数为：轴负方向的方向导数为： 。
7．可微函数),(y x f z =在),(y x 处取得极大值的必要条件是处取得极大值的必要条件是 。
8．设曲面224y x z --=上点P 处的切平面平行于平面0122=-++z y x 则点P 的坐标为坐标为 。
9．22)(y x z +=在点)2,1(处的全微分=dz 。
1010．设空间三点．设空间三点)111(，，M ，)122(，，A ，)212(，，B ，则=ÐAMB 。
1111．．2xyz =在点)111(，，处的切平面方程为处的切平面方程为 。
1212．二元函数的偏导数连续是函数可微的．二元函数的偏导数连续是函数可微的 条件。
条件。
条件。
1313．可微函数．可微函数),(y x f z =在),(y x 处取得极值的必要条件是处取得极值的必要条件是 。
1414．函数．函数xy y x z333-+=的驻点是的驻点是。
1515．．=++-®®)()cos(1lim 22220,0y x y x y x 。
1616．曲面．曲面32=+-xy e z x在)0,2,1(处的切平面方程为处的切平面方程为 。
1717．函数．函数)ln(222z y x u ++=在)1,2,1(-M 处的梯度=M u grad 。
精选-经济数学微积分期末复习资料
经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：1.求偏导数5*8’=40’2.求偏弹性1*6’=6’3.条件极值1*6’=6’4.二重积分2*6’=12’5.微分方程与差分方程4*6’=24’6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）求和函数展开式一.求偏导类型1：展开式形式，如：xy z =求解：将求的看做变量，另一个看做常数。
求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。
Eg ：设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z ∂∂∂2、yx z∂∂∂2、22y z ∂∂解：y -y 3-y x 3xz322=∂∂x -x y 9-y x 2yz23=∂∂22x z ∂∂=2x y 6x y z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 yx z ∂∂∂2=1-y 9-y x 622 22y z ∂∂=x y 18-x 23类型2:），（y x z f =求解：画链式法则进行求解xEg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求zx wx w ∂∂∂∂∂2，解：设u=x+y+z ，v=xyz ，），（v u f w =则链式法则如右图所示参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性经济数学-微积分P310 例8 PS ：例8答案中2221222221222P P P Q P P P Q -=∂∂-=∂∂应改为wvx zy y参考资料：练习册21-22页 三.条件极值求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。
参考资料：练习册19-20页 四.二重积分类型1.直角坐标系下 a.X 型 先积x 再积y b.Y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下 ⎩⎨⎧==θθrsin y rcos x θσrdrd d =：PS求解：1.做出积分区间2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。
大一微积分下册经典题目及解析汇报
微积分练习册[第八章]多元函数微分学习题8-1多元函数的基本概念1.填空题：（1）若yxxy y x y x f tan),(22-+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________yf f x-==（3）若)0()(22 y y y x xyf +=，则__________)(=x f （4）若22),(y x xy y x f -=+，则____________),(=y x f（5）函数)1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________（6）函数y x z -=的定义域是_______________(7)函数xyz arcsin=的定义域是________________ （8）函数xy xy z 2222-+=的间断点是_______________2.求下列极限： （1）xy xy y x 42lim0+-→→(2)x xyy x sin lim0→→(3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim22)0,0(),(=+→yx xy y x4.证明：极限0lim 242)0,0(),(=+→y x yx y x 不存在5.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用1.填空题 （1）设y x z tanln =，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （2）设)(y x e z xy+=，则__________________,=∂∂=∂∂yzx z ; （3）设zyxu =，则________,__________________,=∂∂=∂∂=∂∂z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则_________________,_________,22222=∂∂∂=∂∂=∂∂y x zy z x z（5）设zyx u )(=，则________2=∂∂∂y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________),(),(lim 0=--+→xb x a f b x a f x2.求下列函数的偏导数y xy z )1()1(+=z y x u )arcsin()2(-=3.设xy z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数4.设)ln(xy x z =，求y x z ∂∂∂23和23yx z∂∂∂ 5.)11(yx ez +-=，试化简yz y x z x∂∂+∂∂226.试证函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),( ,0)0,0(),(,3),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处的偏导数存在，但不连续. 习题8-3全微分及其应用1.X 公司和Y 公司是机床行业的两个竞争者，这两家公司的主要产品的需求曲线分别为：QY PY Qx Px 41600;51000-=-=公司X 、Y 现在的销售量分别是100个单位和250个单位。
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发散 1 1 p
p1 p1
1
3.定积分的应用 平面图形面积和截面面积已知立体体积 第七章 级数 1.级数的一些常用的性质
1)若 lim un 0, 则级数 un发散。
2)若 un收敛， vn发散，则 (un vn )发散。
n
3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
1 3 1 5 1 n sin x x x x ( 1) x 2 n 1 , x R 3! 5! (2n 1)!
1 1 x x 2 x n , x (1,1) 1 x
8
第八章 多元函数
1. 多元函数的极限和连续性 2. 多元函数的偏导数(一阶和二阶)和全微分 多元显函数,抽象复合函数和隐函数的一阶及二 阶导数 3. 多元函数的无条件极值和条件极值
第六章 定积分 1.定积分的计算 换元法和分部积分法
2.广义积分的计算
无穷限积分和瑕积分
a
b
f ( x )dx
b
f ( x )dx
f ( x )dx
f x dx (a或b为瑕点)
a
1
1 dx p x
发散 1 p1
p1 p1
1
0
1 dx p x
n 1 n n 1 n
un的敛散性重新判定
n 1
n 1
n
--一般莱布尼兹公式
绝对收敛或条件收敛或发散
5
3*.求幂级数的收敛半径,收敛域和和函数
1） 定理
n a x 如果幂级数 n 的所有系数 an 0 ,
a n 1 n a 设 lim (或 lim n ) n n a n
1).比值判别法 2).比较判别法的极限形式
3.若为任意项级数,
收敛或发散
4
判断任意项级数敛散性的方法
lim | un | 0, 发散
考查 un 的敛散性
n 1
比值 un 与 un同敛散
n 1 n 1
比较或比较的极限形式
比较或比较的极限形式
u 收敛 u 绝对收敛 u 发散
3*. 求解二阶微分方程
二阶线性齐次和非齐次微分方程
10
一、填空 二、选择
基本题型
三、计算定积分—三类 四、判断级数的敛散性—正项和任意项 五、计算偏导数（一阶和二阶）--三类
六、计算二重积分—二类 七、求解微分方程----三类 (加一类) 八、求平面图形面积和旋转体体积 九、条件极值应用题 十、证明题 十一*、求收敛半径,收敛域和和函数或幂级 数展开
2
2.判断级数的敛散性
1 正项p 级数 : p n 1 n
当p 1时, 收敛 当p 1时, 发散
交错p 级数 ( 1)
n 1
n 1
1 np
当p 1时, 绝对收敛 当p 1时, 条件收敛
3
判断级数敛散性的步骤 1.判定级数类型-----任意项级数或正项级数 2.若为正项级数,采用正项级数的判别法
无条件极值一般是计算题(需要对驻点的极值性 进行判断) 条件极值一般是应用题—方法是拉格朗日乘数 法(不需要对极值性进行判断)
9
4. 二重积分
交换积分次序,计算直角坐标系下二重积分,极 坐标系下二重积分.
第九章 微分方程 1. 基本概念 微分方程,微分方程的阶 2. 求解一阶微分方程 可变量分离型,齐次微分方程,一阶线性微分方程
1 (1)则当 0 时, R ; (2)则当 0 时,R ; (3)则当 时, R 0.
n 0
2)判断x =±R时,幂级数
n a R n 和 n0
aБайду номын сангаас
n0
n ( R ) 的敛散性; n
3)写出幂级数
n a x 的收敛域 . n n 0
11
f ( x)
n 0
f ( n ) (0) n x , x 收敛域. n!
f ( x)
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n , x 收敛域. n!
7
n 2 n x x x ex 1 x . x R. 2! n! n 0 n !
6
x 1 x x
n n n 0 n 0
1 (-1 x 1) 1 x 1 (-1 x 1) 1 x
n n n n ( 1) x 1 x ( 1) x
4*.求函数的幂级数展开式 方法：直接展开法和间接展开法 类型：麦克劳林展式和泰勒展式