微积分大一下 大学总复习提纲题库
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1 (1)则当 0 时, R ; (2)则当 0 时,R ; (3)则当 时, R 0.
n 0
2)判断x =±R时,幂级数
n a R n 和 n0
a
n0
n ( R ) 的敛散性; n
3)写出幂级数
n a x 的收敛域 . n n 0
1).比值判别法 2).比较判别法的极限形式
3.若为任意项级数,
收敛或发散
4
判断任意项级数敛散性的方法
lim | un | 0, 发散
考查 un 的敛散性
n 1
比值 un 与 un同敛散
n 1 n 1
比较或比较的极限形式
比较或比较的极限形式
u 收敛 u 绝对收敛 u 发散
无条件极值一般是计算题(需要对驻点的极值性 进行判断) 条件极值一般是应用题—方法是拉格朗日乘数 法(不需要对极值性进行判断)
9
4. 二重积分
交换积分次序,计算直角坐标系下二重积分,极 坐标系下二重积分.
第九章 微分方程 1. 基本概念 微分方程,微分方程的阶 2. 求解一阶微分方程 可变量分离型,齐次微分方程,一阶线性微分方程
6
x 1 x x
n n n 0 n 0
1 (-1 x 1) 1 x 1 (-1 x 1) 1 x
n n n n ( 1) x 1 x ( 1) x
4*.求函数的幂级数展开式 方法：直接展开法和间接展开法 类型：麦克劳林展式和泰勒展式
1 3 1 5 1 n sin x x x x ( 1) x 2 n 1 , x R 3! 5! (2n 1)!
1 1 x x 2 x n , x (1,1) 1 x
8
第八章 多元函数
1. 多元函数的极限和连续性 2. 多元函数的偏导数(一阶和二阶)和全微分 多元显函数,抽象复合函数和隐函数的一阶及二 阶导数 3. 多元函数的无条件极值和条件极值
n 1 n n 1 n
un的敛散性重新判定
n 1
n 1
n
--一般莱布尼兹公式
绝对收敛或条件收敛或发散
5
3*.求幂级数的收敛半径,收敛域和和函数
1） 定理
n a x 如果幂级数 n 的所有系数 an 0 ,
a n 1 n a 设 lim (或 lim n ) n n a n
11
2
2.判断级数的敛散性
1 正项p 级数 : p n 1 n
当p 1时, 收敛 当p 1时, 发散
交错p 级数 ( 1)
n 1
n 1
1 np
当p 1时, 绝对收敛 当p 1时, 条件收敛
3
判断级数敛散性的步骤 1.判定级数类型-----任意项级数或正项级数 2.若为正项级数,采用正项级数的判别法
f ( x)
n 0
f ( n ) (0) n x , x 收敛域. n!
来自百度文库
f ( x)
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n , x 收敛域. n!
7
n 2 n x x x ex 1 x . x R. 2! n! n 0 n !
3*. 求解二阶微分方程
二阶线性齐次和非齐次微分方程
10
一、填空 二、选择
基本题型
三、计算定积分—三类 四、判断级数的敛散性—正项和任意项 五、计算偏导数（一阶和二阶）--三类
六、计算二重积分—二类 七、求解微分方程----三类 (加一类) 八、求平面图形面积和旋转体体积 九、条件极值应用题 十、证明题 十一*、求收敛半径,收敛域和和函数或幂级 数展开
第六章 定积分 1.定积分的计算 换元法和分部积分法
2.广义积分的计算
无穷限积分和瑕积分
a
b
f ( x )dx
b
f ( x )dx
f ( x )dx
f x dx (a或b为瑕点)
a
1
1 dx p x
发散 1 p1
p1 p1
1
0
1 dx p x
发散 1 1 p
p1 p1
1
3.定积分的应用 平面图形面积和截面面积已知立体体积 第七章 级数 1.级数的一些常用的性质
1)若 lim un 0, 则级数 un发散。
2)若 un收敛， vn发散，则 (un vn )发散。
n
3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.
n 0
2)判断x =±R时,幂级数
n a R n 和 n0
a
n0
n ( R ) 的敛散性; n
3)写出幂级数
n a x 的收敛域 . n n 0
1).比值判别法 2).比较判别法的极限形式
3.若为任意项级数,
收敛或发散
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判断任意项级数敛散性的方法
lim | un | 0, 发散
考查 un 的敛散性
n 1
比值 un 与 un同敛散
n 1 n 1
比较或比较的极限形式
比较或比较的极限形式
u 收敛 u 绝对收敛 u 发散
无条件极值一般是计算题(需要对驻点的极值性 进行判断) 条件极值一般是应用题—方法是拉格朗日乘数 法(不需要对极值性进行判断)
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4. 二重积分
交换积分次序,计算直角坐标系下二重积分,极 坐标系下二重积分.
第九章 微分方程 1. 基本概念 微分方程,微分方程的阶 2. 求解一阶微分方程 可变量分离型,齐次微分方程,一阶线性微分方程
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x 1 x x
n n n 0 n 0
1 (-1 x 1) 1 x 1 (-1 x 1) 1 x
n n n n ( 1) x 1 x ( 1) x
4*.求函数的幂级数展开式 方法：直接展开法和间接展开法 类型：麦克劳林展式和泰勒展式
1 3 1 5 1 n sin x x x x ( 1) x 2 n 1 , x R 3! 5! (2n 1)!
1 1 x x 2 x n , x (1,1) 1 x
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第八章 多元函数
1. 多元函数的极限和连续性 2. 多元函数的偏导数(一阶和二阶)和全微分 多元显函数,抽象复合函数和隐函数的一阶及二 阶导数 3. 多元函数的无条件极值和条件极值
n 1 n n 1 n
un的敛散性重新判定
n 1
n 1
n
--一般莱布尼兹公式
绝对收敛或条件收敛或发散
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3*.求幂级数的收敛半径,收敛域和和函数
1） 定理
n a x 如果幂级数 n 的所有系数 an 0 ,
a n 1 n a 设 lim (或 lim n ) n n a n
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2.判断级数的敛散性
1 正项p 级数 : p n 1 n
当p 1时, 收敛 当p 1时, 发散
交错p 级数 ( 1)
n 1
n 1
1 np
当p 1时, 绝对收敛 当p 1时, 条件收敛
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判断级数敛散性的步骤 1.判定级数类型-----任意项级数或正项级数 2.若为正项级数,采用正项级数的判别法
f ( x)
n 0
f ( n ) (0) n x , x 收敛域. n!
来自百度文库
f ( x)
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n , x 收敛域. n!
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n 2 n x x x ex 1 x . x R. 2! n! n 0 n !
3*. 求解二阶微分方程
二阶线性齐次和非齐次微分方程
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一、填空 二、选择
基本题型
三、计算定积分—三类 四、判断级数的敛散性—正项和任意项 五、计算偏导数（一阶和二阶）--三类
六、计算二重积分—二类 七、求解微分方程----三类 (加一类) 八、求平面图形面积和旋转体体积 九、条件极值应用题 十、证明题 十一*、求收敛半径,收敛域和和函数或幂级 数展开
第六章 定积分 1.定积分的计算 换元法和分部积分法
2.广义积分的计算
无穷限积分和瑕积分
a
b
f ( x )dx
b
f ( x )dx
f ( x )dx
f x dx (a或b为瑕点)
a
1
1 dx p x
发散 1 p1
p1 p1
1
0
1 dx p x
发散 1 1 p
p1 p1
1
3.定积分的应用 平面图形面积和截面面积已知立体体积 第七章 级数 1.级数的一些常用的性质
1)若 lim un 0, 则级数 un发散。
2)若 un收敛， vn发散，则 (un vn )发散。
n
3)如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.