2012年湖北高考数学试题及答案(理科)

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2012年湖北高考理科数学试题(解析版)

由，知，△ 为等腰直角三角形，所以 .
由折起前知，折起后（如图2），，，且，
所以平面．又，所以．于是
，
当且仅当，即时，等号成立，
故当，即时,三棱锥的体积最大．
解法2：
同解法1，得．
令，由，且，解得．
当时，；当时，．
所以当时，取得最大值．
故当时,三棱锥的体积最大．
解析：令，扇形OAB为对称图形，ACBD围成面积为，围成OC为，作对称轴OD，则过C点。即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，。在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和，，，扇形OAB面积，选A.
9．函数在区间上的零点个数为
A．4B．5
C．6D．7
考点分析：本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.
考点分析：本题考查排列、组合的应用.
难易度：★★
解析：（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有种。
答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1位回文数和2n+2位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2位回文数的个数。2n+2位回文数只用看前n+1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为 .
（Ⅱ）由概率的加法公式，
又 .
由条件概率.
21．（本小题满分13分）
设是单位圆上的任意一点，是过点与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足 .当点在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线．

湖北高考数学试卷理科格式答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A 卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 方程2+6+13=0x x 的一个根是A -3+2iB 3+2iC -2 + 3iD 2 + 3i()()222+6+13=+3+4=0+3=-4,+3=2x x x x x i ∴±，所以=-32x i ±，故选A2. 命题“300,R x C Q x Q ∃∈∈”的否定是 A 300,R x C Q x Q ∃∉∈ B 300,R x C Q x Q ∃∈∉ C 300,R x C Q x Q ∀∉∈ D 300,R x C Q x Q ∀∈∉存在性命题的否定为“∃”改为“∀”，后面结论加以否定，故为300,R x C Q x Q ∀∈∉，选D3. 已知二次函数()=y f x 的图像如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为 A.25π B.43 C.32 D.2π由图像可知，二次函数解析式为()2=1-f x x设面积为S ，则()()111223-10014=1-=21-=2-=33S x dx x dx x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰，故选B4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.83π B.3π C. 103π D.6π此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1，高为 4，现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体，从而构成一个底面半径为1，高为6的圆柱，这个圆柱的体积为=6V π，要求几何体的体积为圆柱体积的一半，为3π，故选B 5.设a Z ∈，且013a ≤≤，若201251+a 能被13整除，则=aA.0B.1C.11D.12()()20122012020121201120112012201220122012201251+=52-1+=52-52++-52++a a C C C C a L ，显然上式除了+1a 外，其余各个因式都能被13整除，所以201251+a 能被13整除，只需=12a ，故选 D6.设,,,,,a b c x y z 是正数，且222222++=10,++=40,++=20a b c x y z ax by cz ，则++=++a b cx y zA.14 B. 13 C.12 D.34由柯西不等式知()()()2222222++++++=400a b c x y z ax by cz ≥，而此时()()222222++++=400a b c x y z 恰好满足取等条件==a b c x y z ，令===,=,=,=a b ck a kx b yk c zk x y z代入到222++=10a b c 中得 ()2222211++=10,=,>0=42k x y z k k k ∴∴，所以由合比定理得++1=====++2a b c a b c k x y z x y z ，故选C 7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}{}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”。

完整版2012年湖北省高考数学试卷理科答案及解析

2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2+6x+13=0的一个根是（湖北）方程x）1．（2012? A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i，∈Q”的否定是（“?x∈CQ）2．（2012?湖北）命题R0，?CQQQ ∈D．?xQ，?Q C．?x?CQ∈，C A．?x?Q．，∈Q B?x∈C R0R0RR003．（2012?湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）．． C AD．B．4．（2012?湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为（）．D．6π．B．3πAC2012+a能被13整除，则a=（）51Z（2012?湖北）设a∈，且0≤a≤13，若5．A．0 B．1 C．11 D．12222222，则=（）x=10，+y+zax+by+cz=20=40，azyxcba?（6．2012湖北）设，，，，，是正数，且+b+cCBA ．．．．D1}a），{f（f（0，+∞）上的函数（x），如果对于任意给定的等比数列{a}．7（2012?湖北）定义在（﹣∞，0）∪nn）x①f（+．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，∞）上的如下函数：f仍是等比数列，则称（x）为“保等比数列函数”x2）=ln|x|）．则其中是“保等比数列函数”的f（=2；②f（x）x；③f（x））的序号为（=；④f（x=x D．②④B．③④C．①③．A①②内随机为直径作两个半圆．在扇形OAB（2012?湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB8．）取一点，则此点取自阴影部分的概率是（．D﹣A．1C﹣B．．2）在区间[0，4]上的零点个数为（湖北）函数9．（2012?f（x）=xcosx7 ．5 C．6 D．A．4 B曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方2012?湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”（10．．人们还用过一≈的一个近似公式，求其直径dd除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ）判断，下列近似公式中最精确的一个是（些类似的近似公式．根据x=3.14159…..≈≈C．d．≈Dd A．d≈B．d分．请将答案5分，共25二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．，则角_________C=．cb所对的边分别是a，，c．若（a+b﹣）（a+b+c）=ab，，△201211．（?湖北）设ABC的内角AB，C_________．（2012?湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=12．位回2等．显然，3443，942492213．（2012?湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如，，11 999，．则：191，202，…，个：，22，，33…99.3位回文数有90101，111121，…，119文数有个：_________位回文数有个；Ⅰ（）4（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有_________个．+2，，两焦点为F．（2012?B湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A，A，虚轴两端点为，B1411122 D为直径的圆内切于菱形F．若以AAFBFB，切点分别为A，B，C，．则：2112221；（Ⅰ）双曲线的离心率_________e=（Ⅱ）菱形FBFB的面积S与矩形ABCD的面积S的比值=_________．212211二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（2012?湖北）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为_________．16．（2012?湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线_________．来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（t为参数）相较于A，B75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．三、解答题：本大题共6小题，共λ?+）f（x=，设函数cos，（﹣=cosωx﹣sinωx2ωx）xxx=（17．2012?湖北）已知向量（cos ω﹣sinω，sinω），，1）（λπ∈（xR）的图象关于直线x=对称，其中ω，为常数，且ω∈）的最小正周期；f（1）求函数（x上的取值范围．，）在区间（，）的图象经过点（0）求函数fx[0]xy=f2（）若（18．（2012?湖北）已知等差数列{a}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．n（1）求等差数列{a}的通项公式；n 3项和．|}的前naa，，a成等比数列，求数列{|a（2）若n213，AB上且异于点B，连接⊥BC，垂足D在线段BC1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD（19．2012?湖北）如图，（如图2所示）ABD折起，使∠BDC=90°沿AD将△的体积最大；A﹣BCD（1）当BD的长为多少时，三棱锥，BMEN⊥CD上确定一点N，使得设点E，M分别为棱BC，AC 的中点，试在棱（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，所成角的大小．与平面BMN并求EN20．（2012?湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：X≥900 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900工期延误天数Y 02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．22=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i湖北）设21．（2012?A是单位圆x与+yx轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x=rxf湖北）．22（2012?（I）已知函数（x）﹣x）的最小值；b1b2≤ab+aab；a+b为正有理数，若b≥≥I（II）试用（）的结果证明如下命题：设a0，a0，，bb=1，则222121121112（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求r1﹣αα．α道公式（x）=x42012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（2012?湖北）考点：复数相等的充要条件。

2012年高考数学湖北理解析版

2012年湖北卷(理数)详细解析1.A 【解析】因为判别式26413160∆=-⨯=-<，所以方程26130x x ++=无实数根，只有复数根，且复数根6643222i x i -±-±===-±.【点评】本题考查一元二次方程跟的求解以及复数的有关运算.对于一元二次方程20a x b x c ++=，若240b ac ∆=-<，则方程没有实数根，只有复数根22x aa==.来年需注意复数的概念，如共轭复数，复数的运算，复数的几何意义等，都是复数中的热门考点.2.D 【解析】本命题为特称命题，写其否定的方法是：先改变量词，再否定结论，故D 符合. 【点评】本题考查含有量词的命题的否定.对于特称命题的否定，一般是先改变量词，再否定结论；对于全称命题的否定，也是类似的.千万不要忽略改变量词这一点，否则就是错误的.来年需注意充要条件的判断，这也是逻辑中的一大热门考点.3.B 【解析】根据图象可知，二次函数图象的顶点为()0,1，且开口向下，故可设二次函数的解析式为()()210f x ax a =+<.因为函数()f x 的图象过点()1,0，所以()2111f a =⨯+0=，解得1a =-.所以()21f x x =-+,所以()31211141|33x S x dx x --⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰.【点评】本题考查二次函数的图象，定积分的应用以及数形结合的数学思想方法.本题容易直接把所围成的图形当成半圆去求解面积了.来年需注意直接给出定积分解析式，却要用定积分的几何意义来数形结合去解题的一类型题.4. B 【解析】由三视图可知，该几何体的下方是一个圆柱，上方是圆柱的一半，两圆柱的底面圆半径都为1，高都为2，所以该几何体的体积221121232V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=.【点评】本题考查三视图的识别，圆柱的体积求解.对常见几何体：如圆柱，圆锥，正四棱锥，长方体，正方体及它们的组合体等的三视图要了如指掌.来年需注意圆锥与长方体等的三视图考查及体积，表面积的求解. 5.D 【解析】由题意，()20122012122201220125111341C 134C (134)a a a +=-⨯+=+-⨯+⨯++()2012134⨯,显然当()113a k k +=∈Z 时，201251a +的各项都是13的倍数，故能被13整除.故此时()131a k k =-∈Z .又013a <<，所以当1k =时，12a =.【点评】本题考查二项式定理的应用.运用二项式定理判断数a 能被数b 整除，关键是要能将数a 转化分解为含有数b 的因式的乘积.来年需注意利用二项式定理求解常数项，系数等题型.6.C 【解析】已知22222210,40,20a b c x y z ax by cz ++=++=++=，则()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++=++.由柯西不等式得()()()2222222a b c x y z ax by cz ++++≥++，所以上述不等式取等号，一定有,,,a kx b ky c kz === 此时()2222222a b c k x y z ++=++，即21040k =，解得12k =（舍去负值）.所以由等比性质得+1.2a b c a k x y zx +===++【点评】本题考查柯西不等式的应用.柯西不等式是考纲中的了解内容，考查一般难度并不大，但如果不了解柯西不等式的结构，求解也有一定的困难.来年需注意绝对值不等式的求解与应用7. C 【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n nna a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===;对于④,11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等. 8.A 【解析】如下图所示，设O A 的中点为1O ，O B 的中点为2O ，半圆1O 与半圆2O 的交点分别为,O F ，则四边形12O O FO 是正方形.不妨设扇形O A B 的半径为2，记两块白色区域的面积分别为12,S S ，两块阴影部分的面积分别为34,S S .则21234124O A B S S S S S ππ+++==⨯=扇形, ①而22132311111,12222S S S S ππππ+=⨯=+=⨯=，即1232S S S π++=, ②由①-②，得34S S =.又由图象观察可知，12214OO FO OAB OFBO AF S S S S S =---正方形扇形扇形扇形222222111111111114422πππππ=⨯-⨯-⨯-⨯=⨯-=-.故由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 3442221O ABO ABS S S P S S πππ+-====-扇形扇形.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.9.C 【解析】由()2cos 0f x x x ==，得0x =或2cos 0x =.又[]0,4x ∈，所以[]20,16x ∈.由于()c o s 02k k ππ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭Z ,而在()2k k ππ+∈Z 的所有取值中，只有3579,,,,22222πππππ满足在[]0,16内.故零点个数为156+=.【点评】本题考查函数的零点个数的求解.求解函数的零点个数通常有两种方法：一、直接法，即求解出所有的零点；二、数形结合法，即转化为原函数的图象与x 轴的交点个数或分解为两个函数相等，进而判断两个函数图象的交点个数，此法往往更实用.本题是直接求解零点法，来年需注意数形结合法.10.D 【解析】设球的直径为d ,则球的体积为3344332d V r ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭（,r d 分别为圆的半径、直径），所以d =≈,对于A 项,d ≈≈;对于C 项,d ≈≈对于D 项，d ≈≈;比较各选项的被开方数大小可知,选项D 中的d 与d =≈D.【点评】本题考查球的直径与体积的关系，估算法.根据球的直径与体积的关系，即可用体积来表示直径；然后比较各选项中的表示直径的式子，看哪个最接近求出的式子即可.11年考查的是以放射性元素为背景，考查了导数的运算，难度不算大，主要是要读懂题意，本题承接了11年的思想，难度不大，重在考查数学知识在实际生活中的应用.来年需注意一些常见知识的实际应用，比如线性规划，函数的应用，数列的应用等. 11.23π【解析】因为已知()()a b c a b c a b +-++=,所以()22a b c a b +-=，即222a b c a b+-=-,故2221a b cab+-=-，即222122a b cab+-=-，故1c o s 2C =-.所以23C π=.【点评】本题考查余弦定理的应用.正余弦定理是解三角形的有力武器，本题只考查到余弦定理，来年需注意它们的结合考查.12. 9【解析】由程序框图可知：第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,满足判断条件3?n <;第二次:n=2,s=4,a=5,满足判断条件3?n <;第三次:n=3,s=9,a=7,此时不满足判断条件3?n <，故终止运行，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.13.（1）90; （2）910n ⨯.【解析】按照回文数的定义，1位回文数有1,2,3，…9等9个，又已知2位回文数有9个，3位回文数有90910=⨯个，4位回文数有1001,1111,……,1991,2002,…,9999,共90910=⨯个，5位回文数有2910⨯个，6位回文数有2910⨯个，…以此类推，故猜想()21n n ++∈N 位回文数与()22n n ++∈N 位回文数个数相等，均为910n ⨯个. 【点评】本题考查归纳推理的应用.对于归纳推理问题，关键是要归纳前几项所共有的性质，这就需要学生有一定的归纳与猜想能力.来年需注意类比推理的创新性问题.14.（1）12；（2）22【解析】（1）由图象可知，O B 即为点O 到直线12F B 的距离,且OB a =，又易知直线12F B 的方程为0bx cy bc -+=，所以a =,整理得()22222c aa c -=，得22c a ac -=.所以210e e --=，解得12e =（负值舍去）（2）连结O B ，设B C 与x 轴的交点为G，则1BF =.在直角三角形1OBF 中，有11,O B BF BG O F ⊥⊥, 所以1111122O B F S O B B F F O B G ∆==,得11BF O B ab BG F Oc==.所以2aOG c==.所以32242||2||a b S OG GB c=⋅=.而112121||||22S F F B B bc ==,所以331321222S ce S a===【点评】本题考查双曲线的离心率，点到直线的距离，四边形的面积以及运算求解的能力.由直线与圆相切，得到圆心到该直线的距离等于半径，这是求解本题的突破口.来年需注意双曲线的标准方程，轨迹问题，特别是双曲线的定义的应用.15. 2【解析】由勾股定理，得CD ==r 为O 的半径，是定值），所以当O D 取最小值时，C D 取得最大值.显然当O D AB ⊥时，O D 取得最小值，故此时122C D A B ==,故所求的C D 的最大值2.【点评】本题考查直角三角形的性质以及转化与化归的能力.本题将求解C D 的最大值转化为求O D 的最小值，进而转化为点到直线的距离，体现了转化与化归的数学思想的作用之巨大.来年需注意弦切角，切线长定理，相似三角形的性质等题型.16.55,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】曲线()21,1x t y t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩化为直角坐标方程是()22y x =-，射线4πθ=化为直角坐标方程是()0y x x =≥.联立()()22,0,y x y x x ⎧=-⎪⎨=≥⎪⎩消去y 得2540x x -+=，解得121,4x x ==.所以121,4y y ==.故线段A B 的中点的直角坐标为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即55,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【点评】本题考查极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，中点坐标公式的应用问题.()()1122,,,A x y B x y 两点的中点坐标公式为1122,22x y x y ++⎛⎫⎪⎝⎭.来年需注意极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的互化，直线与圆锥曲线的位置关系，交点个数等题型.17. 【解析】【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 18. 【解析】【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c 为常数）或等比数列的定义：1'n n a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 19. 【解析】【点评】本题考查三棱锥的体积，直线与平面所成的角以及线线垂直的探讨性问题；考查空间想象，逻辑推理，以及运算求解的能力.本题将三棱锥的体积与基本不等式结合考查，实为一种创新.求解最值时注意验证等号成立的条件，因为实际问题要求相关量都为正数；对于线面角的求解，可以用两种方法：向量法与直接法求解.来年需注意二面角的求解，这是高考的考查频度最高的几何考题.20.【解析】【点评】本题考查随机变量的期望，方差，古典概型.本题有两个随机变量，分别是与Y，两个随机变量之间的关系要理清理顺，不要混淆，各自对应的概率要求解正确；来年需注意频率分布直方图的应用考查，概率与生活热点话题结合考查等题型.21.【解析】【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.22.【解析】【点评】本题考查导数的综合应用，不等式的性质，数学归纳法等；考查分类讨论的数学思想，运算求解，逻辑推理的能力.本题利用导数求函数的最值，利用最值来证明不等式；层层递进，难度一步一步递增，学生若做不出前一问，就很难做出后一问，来年需注意导数判断函数的极值，含有对数函数或指数函数的导数综合应用，导数的实际应用等.。

2012年湖北省高考数学试卷(理科)附送答案

2012年湖北省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i2．（5分）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q3．（5分）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．4．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π5．（5分）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．126．（5分）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．7．（5分）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④8．（5分）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．9．（5分）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．710．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=．13．（5分）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有个；）位回文数有个．（Ⅱ）2n+1（n∈N+14．（5分）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD 的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为．16．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．18．（12分）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．20．（12分）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥90002610工期延误天数Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．（13分）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．22．（14分）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2012•湖北）方程x2+6x+13=0的一个根是（）A．﹣3+2i B．3+2i C．﹣2+3i D．2+3i【分析】由方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，知=﹣3±2i，由此能求出结果．【解答】解：∵方程x2+6x+13=0中，△=36﹣52=﹣16＜0，∴=﹣3±2i，故选A．2．（5分）（2012•湖北）命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是（）A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x0∉∁R Q，x03∈Q D．∀x0∈∁R Q，x03∉Q【分析】根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题，即可得到答案．【解答】解：∵命题“∃x0∈C R Q，∈Q”是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，∴“∃x0∈C R Q，∈Q”的否定是∀x0∈C R Q，∉Q故选D3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（）A． B．C．D．【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后利用定积分表示所求面积，最后根据定积分运算法则求出所求．【解答】解：根据函数的图象可知二次函数y=f（x）图象过点（﹣1，0），（1，0），（0，1）从而可知二次函数y=f（x）=﹣x2+1∴它与X轴所围图形的面积为=（）=（﹣+1）﹣（﹣1）=故选B．4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．5．（5分）（2012•湖北）设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a=（）A．0 B．1 C．11 D．12【分析】由二项式定理可知512012+a=（52﹣1）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求【解答】解：∵512012+a=（52﹣1）2012+a=+…++a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且a∈Z，0≤a≤13则可得a+1=13∴a=12故选D6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．【分析】根据所给条件，利用柯西不等式求解，利用等号成立的条件即可．【解答】解：由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（x2+y2+z2）≥（ax+by+cz）2，当且仅当时等号成立∵a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，∴等号成立∴∴=故选C．7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．【解答】解：由等比数列性质知，①=f2（a n），故正确；+1），故不正确；②≠=f2（a n+1），故正确；③==f2（a n+1④f（a n）f（a n+2）=ln|a n|ln|a n+2|≠=f2（a n+1），故不正确；故选C8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A．1﹣B．﹣C．D．【分析】求出阴影部分的面积即可，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB的面积．【解答】解：设扇形的半径为r，则扇形OAB的面积为，连接OC，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选A．9．（5分）（2012•湖北）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0，4]上的解，从而可得函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数【解答】解：令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0∴x=0或x2=，k∈Z∵x∈[0，4]，则x2∈[0，16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解∴函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个故选C10．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．d≈B．d≈ C．d≈D．d≈【分析】根据球的体积公式求出直径，然后选项中的常数为，表示出π，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V=，解得d=设选项中的常数为，则π=选项A代入得π==3.375；选项B代入得π==3；选项C代入得π==3.14；选项D代入得π==3.142857由于D的值最接近π的真实值故选D．二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．【分析】利用已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，以及余弦定理，可联立解得cosB 的值，进一步求得角B．【解答】解：由已知条件（a+b﹣c）（a+b+c）=ab可得a2+b2﹣c2+2ab=ab即a2+b2﹣c2=﹣ab由余弦定理得：cosC==又因为0＜C＜π，所以C=．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．【分析】用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．【解答】解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N）位回文数有9×10n个．+【分析】（I）利用回文数的定义，四位回文数只需从10个数字中选两个可重复数字即可，但要注意最两边的数字不能为0，利用分步计数原理即可计算4位回文数的个数；（II）将（I）中求法推广到一般，利用分步计数原理即可计算2n+1（n∈N）位+回文数的个数【解答】解：（I）4位回文数的特点为中间两位相同，千位和个位数字相同但不能为零，第一步，选千位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间两位数字，有10种选法；故4位回文数有9×10=90个故答案为90（II）第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n、n+1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法，）位回文数有9×10n个故2n+1（n∈N+故答案为9×10n14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．【分析】（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx﹣cy+bc=0，所以O到直线的距离为【解答】解：∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴∴（c2﹣a2）c2=（2c2﹣a2）a2∴c4﹣3a2c2+a4=0∴e4﹣3e2+1=0∵e＞1∴e=（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴∵m2+n2=a2，∴，∴面积S2=4mn=∴==∵bc=a2=c2﹣b2∴∴=故答案为：，二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．【分析】由题意可得CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值，故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半．【解答】解：由题意可得△OCD为直角三角形，故有CD2=OC2﹣OD2，故当半径OC最大且弦心距OD最小时，CD取得最大值．故当AB为直径、且D为AB的中点时，CD取得最大值，为AB的一半，由于AB=4，故CD的最大值为2，故答案为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．【分析】化极坐标方程为直角坐标方程，参数方程为普通方程，联立可求线段AB的中点的直角坐标．【解答】解：射线θ=的直角坐标方程为y=x（x≥0），曲线（t为参数）化为普通方程为y=（x﹣2）2，联立方程并消元可得x2﹣5x+4=0，∴方程的两个根分别为1，4∴线段AB的中点的横坐标为2.5，纵坐标为2.5∴线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）故答案为：（2.5，2.5）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx ﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【分析】（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx﹣sinωx）×（﹣cosωx﹣sinωx）+sinωx ×2cosωx+λ=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z∴ω=+，又ω∈（，1）∴k=1时，ω=∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0∴2sin（2××﹣）+λ=0∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣由x∈[0，]∴x﹣∈[﹣，]∴sin（x﹣）∈[﹣，1]∴2sin（x﹣）﹣=f（x）∈[﹣1﹣，2﹣]故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[﹣1﹣，2﹣]18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n ﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n ﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．【分析】（1）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD 的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可；（2）由（1）可先建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，设出动点N的坐标，先利用线线垂直的充要条件计算出N点坐标，从而确定N 点位置，再求平面BMN的法向量，从而利用夹角公式即可求得所求线面角【解答】解：（1）设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）∴V A﹣BCD设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）以D为原点，建立如图直角坐标系D﹣xyz，由（1）知，三棱锥A﹣BCD的体积最大时，BD=1，AD=CD=2∴D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2），M（0，1，1），E （，1，0），且=（﹣1，1，1）设N（0，λ，0），则=（﹣，λ﹣1，0）∵EN⊥BM，∴•=0即（﹣1，1，1）•（﹣，λ﹣1，0）=+λ﹣1=0，∴λ=，∴N（0，，0）∴当DN=时，EN⊥BM设平面BMN的一个法向量为=（x，y，z），由及=（﹣1，，0）得，取=（1，2，﹣1）设EN与平面BMN所成角为θ，则=（﹣，﹣，0）sinθ=|cos＜，＞|=||==∴θ=60°∴EN与平面BMN所成角的大小为60°20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X X＜300300≤X＜700700≤X＜900X≥900工期延误天数02610Y历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【分析】（I）由题意，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，结合某程施工期间的降水量对工期的影响，可求相应的概率，进而可得期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）利用概率的加法公式可得P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X ＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜300）=0.9﹣0.3=0.6，利用条件概率，即可得到结论【解答】（I）由题意，P（X＜300）=0.3，P（300≤X＜700）=P（X＜700）﹣P（X ＜300）=0.7﹣0.3=0.4，P（700≤X＜900）=P（X＜900）﹣P（X＜700）=0.9﹣0.7=0.2，P（X≥900）=1﹣0.9=0.1Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1∴E（Y）=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3D（Y）=（0﹣3）2×0.3+（2﹣3）2×0.4+（6﹣3）2×0.2+（10﹣3）2×0.1=9.8∴工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）P（X≥300）=1﹣P（X＜300）=0.7，P（300≤X＜900）=P（X＜900）﹣P （X＜300）=0.9﹣0.3=0.6由条件概率可得P（Y≤6|X≥300）=．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x 轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m 丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【分析】（I）设M（x，y），A（x0，y0），根据丨DM丨=m丨DA丨，确定坐标之间的关系x0=x，|y0|=|y|，利用点A在圆上运动即得所求曲线C的方程；根据m∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），利用P，H两点在椭圆C上，可得，从而可得可得．利用Q，N，H三点共线，及PQ⊥PH，即可求得结论．【解答】解：（I）如图1，设M（x，y），A（x0，y0）∵丨DM丨=m丨DA丨，∴x=x0，|y|=m|y0|∴x0=x，|y0|=|y|①∵点A在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C的方程为∵m∈（0，1）∪（1，+∞），∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x1∈（0，1），设P（x1，y1），H（x2，y2），则Q（﹣x1，﹣y1），N（0，y1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r 为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．【分析】（I）求导函数，令f′（x）=0，解得x=1；确定函数在（0，1）上是减函数；在（0，1）上是增函数，从而可求f（x）的最小值；（II）由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r），分类讨论：若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立（III）（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；用数学归纳法证明：（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，推广命题成立；（2）假设当n=k时，推广命题成立，证明当n=k+1时，利用a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1，结合归纳假设，即可得到结论．【解答】（I）解：求导函数可得：f′（x）=r（1﹣x r﹣1），令f′（x）=0，解得x=1；当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上是减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上是增函数所以f（x）在x=1处取得最小值f（1）=0；（II）解：由（I）知，x∈（0，+∞）时，有f（x）≥f（1）=0，即x r≤rx+（1﹣r）①若a1，a2中有一个为0，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立；若a1，a2均不为0，∵b1+b2=1，∴b2=1﹣b1，∴①中令，可得a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立综上，对a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；②（III）解：（II）中的命题推广到一般形式为：设a1≥0，a2≥0，…，a n≥0，b1，b2，…，b n为正有理数，若b1+b2+…+b n=1，则a1b1a2b2…a n bn≤a1b1+a2b2+…a n b n；③用数学归纳法证明（1）当n=1时，b1=1，a1≤a1，③成立（2）假设当n=k时，③成立，即a1≥0，a2≥0，…，a k≥0，b1，b2，…，b k为正有理数，若b1+b2+…+b k=1，则a1b1a2b2…a k bk≤a1b1+a2b2+…a k b k．当n=k+1时，a1≥0，a2≥0，…，a k+1≥0，b1，b2，…，b k+1为正有理数，若b1+b2+…+b k+1=1，＞0则1﹣b k+1于是a1b1a2b2…a k bk a k+1bk+1=（a1b1a2b2…a k bk）a k+1bk+1=a k+1bk+1∵++…+=1∴…≤++…+=bk+1≤•（1∴a k+1﹣b k）+a k+1b k+1，+1∴a1b1a2b2…a k b ka k+1bk+1≤a1b1+a2b2+…a k b k+a k+1b k+1．∴当n=k+1时，③成立由（1）（2）可知，对一切正整数，推广的命题成立．。

2012高考湖北理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试卷共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( ) A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3i D ．2＋3i2．命题“x 0∈R Q ，30x ∈Q ”的否定是( )A ．x 0R Q ，30x ∈Q B ．x 0∈R Q ，30x QC ．x R Q ，x 3∈QD ．x ∈R Q ，x3Q 3．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π24．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8π3 B ．3π C ．10π3D ．6π 5．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．126．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a b cx y z++=++( )A ．14B ．13C ．12D ．347．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A．①②B．③④C．①③D．②④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A．21π-B．112π-C．2πD．1π9．函数f(x)＝x cos x2在区间[0,4]上的零点个数为()A．4 B．5 C．6 D．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是()A．d≈B．d≈C．d≈D．d≈二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．11．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．14．如图，双曲线22221x y a b-=(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值12S S =________. 15． (选修4—1：几何证明选讲)如图，点D 在O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为________．16．(选修4—4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线π4θ=与曲线21(1)x t y t ⎧⎨⎩＝＋＝－(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx，x ω)，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围． 18．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 19．如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．图1 图2(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．20求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22． (1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1，求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数，若b 1＋b 2＝1，则a 1b 1a 2b 2≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)′＝αx α－1.1． A 由题意可得，∆＝62－4×13＝－16，故x ＝64i2-±＝－3±2i ，故A 项正确． 2． D 该特称命题的否定为“x ∈R Q ，x 3Q ”．3． B 由图象可得二次函数的解析式为f (x )＝－x 2＋1，则与x 轴所围图形的面积312114(1)d ()133x S x x x --+=-+=-⎰＝.4． B 由三视图画出几何体，如图所示，该几何体的体积V ＝2π＋π＝3π.5． D ∵52能被13整除，∴512 012可化为(52－1)2 012，其二项式系数为T r ＋1＝2012C r 522012－r·(－1)r .故(52－1)2 012被13除余数为20122012C (－1)2 012＝1，则当a ＝12时，512 012＋12被13整除．6． C ∵由题意可得，22210444x y z ++=， ∴a 2＋b 2＋c 2＋222444x y z ++－ax －by －cz ＝0，即(a －2x )2＋(b －2y )2＋(c －2z)2＝0.∴2x a =，2y b =，2z c =.∴122x y za b c x y z x y z ++++==++++. 7．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则对于f (x )＝x 2，f (a n )＝2n a ，由等比数列得，222211()n n n n a a q a a --==，符合题意；而对于f (x )＝2x和f (x )＝ln|x |，则f (a n )＝2a n 和f (a n )＝ln|a n |.由等比数列定义得，122n n a a -＝2a n －a n －1.1ln ||ln ||n n a a -都不是定值，故不符合题意；而对于f (x )＝则f (a n )，==为定值，符合题意．故选C 项．8． A 设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝14π(2R )2＝πR 2，故所求的概率是22(π2)21ππR R -=-.9． C 令f (x )＝x cos x 2＝0可得，x ＝0或cos x 2＝0，故x ＝0或x 2＝k π＋π2，k ∈Z .又x ∈[0,4]，则x 2∈[0,16]，则k ＝0,1,2,3,4符合题意，故在区间[0,4]上的零点个数为6.10． D 由34π3V R =，得34π()32d V =，整理可得d =π＝3.141 59代入，近似得d =. 11．答案：2π3解析：∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，∴2π3C =.12．答案：9解析：由程序框图依次可得， s ＝1，a ＝3；n ＝2，s ＝4，a ＝5； n ＝3，s ＝9，a ＝7；结束，输出s ＝9.13．答案：(1)90 (2)9×10n解析：(1)2位回文数均是不为0的自然数，故有9个；而对于3位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，而对于中间一数可含有0，故有10种，因此3位回文数有90种；对于4位回文数，首、末均相同且不为0，故有9种，对于中间两数则可含有0，故有10种，因此也有90种；(2)经归纳可得2n ＋1位回文数有9×10n 个．14．答案：解析：(1)连接OA ．在Rt △B 2OF 2中，∵OA ＝a ，OB 2＝b ，OF 2＝c ，∴22B F =由等面积法可得bc a =，两边平方可得，b 2c 2＝(b ＋c )a .①又由b 2＝c 2－a 2代入①式可得，c 4－3a 2c 2＋a 4＝0.同时除以a 4可得，e 4－3e 2＋1＝0，解得，232e +=，故12e +=. (2)S 1＝S 菱形F 1B 1F 2B 2＝12×2c ×2b ＝2cb ，在Rt △OAF 2中，∵OA ＝a ，OF 2＝c ，∴AF 2＝b .∴A ab x c =.再由△OAB 2∽△F 2AO 得，22AB OAAO F A=，即22a AB b =，故232A a a a b y b b⨯==，因此，S 2＝4x A ·y A ＝34244ab a a c b bc ⨯⨯=，于是222222144222211(1)2224S cb b c b c e e a S a a a bc===⋅⋅=-⋅=. 15．答案：2 解析：连结OC ，则OD ⊥CD 知，OD 2＋CD 2＝OC 2.要使CD 最大，则OD 最小；当OD ⊥AB 时，OD 最小，此时CD ＝2.16．答案：55(,)22解析：由极坐标方程可知，π4θ=表示直线y ＝x ，而21(1)x t y t ⎧⎨⎩＝＋，＝－表示y ＝(x －2)2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)．联立2(2)y x y x ⎧⎨⎩＝＝－可得，x 2－5x ＋4＝0，可得x 1＋x 2＝5.即x 0＝y 0＝12522x x +=，故M 55(,)22． 17．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx＋ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωxωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即123k ω=+(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以56ω=.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=λ=故5π()2sin()36f x x =--由0≤x ≤3π5，有π5π5π6366x -≤-≤，所以15πsin()1236x -≤-≤，得5π12sin()236x --≤，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[1-．18．解：(1)设等差数列{|a n |}的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得1111333()(2)8.a d a a d a d ⎧⎨⎩＋＝－，＋＋＝解得123a d ⎧⎨⎩＝＝－或14,3.a d -⎧⎨⎩＝＝所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝371,237 3.n n n n ⎧⎨≥⎩－＋，＝，－，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-+=-+.当n ＝2时，满足此式．综上，241,31110 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，，19．解：(1)方法一：在题图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0＜x ＜3)，则CD ＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如题图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ．所以AD ⊥平面BCD ．又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A －BCD ＝12AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝112·2x (3－x )(3－x ) ≤312(3)(3)2[]1233x x x +-+-=，当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．方法二：同方法一，得V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x )．令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )取得最大值．故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．(2)方法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D －xyz . 由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0,2)，M (0,1,1)，E (12，1,0)，且BM ＝(－1,1,1)．设N (0，λ，0)，则EN ＝(12-，λ－1,0)，因为EN ⊥BM 等价于0EN BM ⋅= ，即(12-，λ－1,0)·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0，故12λ=，N (0，12，0)．所以当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，及BN ＝(－1，12，0)，得2.y x z x ⎧⎨⎩＝，＝－可取n ＝(1,2，－1)．设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =-- ，n ＝(1,2，－1)，可得sin θ＝cos(90°－θ)＝1|1|||2||||EN EN --⋅==⋅ n n ，即θ＝60°. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.图a 图b图c 图d方法二：由(1)知，当三棱锥A－BCD的体积最大时，BD＝1，AD＝CD＝2，如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF∥AD．由(1)知AD⊥平面BCD，所以MF⊥平面BCD．如图c，延长FE至P点使得FP＝DB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DP⊥BF.取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN∥DP，所以EN⊥BF.因为MF⊥平面BCD，又EN平面BCD，所以MF⊥EN.又MF∩BF＝F，所以EN⊥平面BMF.又BM平面BMF，所以EN⊥BM.因为EN⊥BM当且仅当EN⊥BF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的．即当12DN=(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，EN⊥BM.连结MN，ME，由计算得NB＝NM＝EB＝EM＝2，所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，则BM⊥平面EGN.在平面EGN中，过点E作EH⊥GN于H，则EH⊥平面BMN，故∠ENH是EN与平面BMN所成的角．在△EGN中，易得EG＝GN＝NE＝2，所以△EGN是正三角形，故∠ENH＝60°，即EN与平面BMN所成角的大小为60°.20．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P(X＜300)＝0.3，P(300≤X＜700)＝P(X＜700)－P(X＜300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X＜900)＝P(X＜900)－P(X＜700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X＜900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为：于是，E(Y)＝0×0.3＋D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P(x≥300)＝1－P(X＜300)＝0.7，又P(300≤x＜900)＝P(X＜900)－P(X＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X＜900|X≥300)＝(300900)0.66 (300)0.77 P XP X≤<==≥.故在降水量X至少是300 mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是6 7 .21．解：(1)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝1m|y|.①因为A点在单位圆上运动，所以x02＋y02＝1.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋22y m＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，，0)；当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，)，(0．(2)方法一：如图2,3，k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 12－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝212244k x m k -+，即212224m x x m k =+.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝212224km x m k+. 于是PQ ＝(－2x 1，－2kx 1)，PH ＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(212244k x m k -+，212224km x m k +)．而PQ ⊥PH 等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k-⋅==+ ，即2－m 2＝0.又m ＞0，所以m =，故存在m =，使得在其对应的椭圆x 2＋22y ＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH.图1 图2(0＜m ＜1) 图3(m ＞1)方法二：如图2,3，x 1∈(0,1)，设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以 222211222222,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得 m 2(x 12－x 22)＋(y 12－y 22)＝0.③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合．故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+.④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即1121122y y y x x x +=+. 于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即212m -=-. 又m ＞0，得m =.故存在m =，使得在其对应的椭圆x 2＋22y ＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .22．解：(1)f ′(x )＝r －rx x －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )．①若a 1，a 2中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤＋成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1, 于是在①中令12a x a =，r ＝b 1，可得1111122()(1)b a ab b a a ≤⋅+-，即111121121(1)bb a a a b a b ≤－＋－，亦即12121122b b a a a b a b ≤＋.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 1＝1，总有12121122bba a ab a b ≤＋.② (3)(2)中命题的推广形式为：设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数．若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则12121122n bbbn n n a a a a b a b a b ≤…＋＋…＋.③用数学归纳法证明如下：(ⅰ)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 2，③成立．(ⅱ)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则12121122kb bbkk k a a a a b a b a b ≤…＋＋…＋.当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是()111212121121k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++=……＝11211111111121k kk k k k b b b b b b b b k k a a a a +++++----+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭…. 因121111111k k k k b b b b b b ++++++=---…，由归纳假设可得 1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++---…≤1212111111k k k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---…＝112211k k k a b a b a b b ++++-…，从而1111211122121111k k k k b bbb bbk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭…….又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得()1111221122111111()111k b b k k k k kk k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b b b +-+++++++++++++≤⋅-+--……＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而121121k b b b k k a a a a ++…≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1.故当n ＝k ＋1时，③成立．由(ⅰ)(ⅱ)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．。

2012年湖北省高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2，知=3，，∉3．（5分）（2012•湖北）已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与X轴所围图形的面积为（）B轴所围图形的面积为）+1﹣=4．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）B=32012+6．（5分）（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）Bx y ax+by+cz 当且仅当=7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；，①②≠③8．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）﹣﹣的面积为﹣∴此点取自阴影部分的概率是．210．（5分）（2012•湖北）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈．人们还用过一些类似的近似公式．根据π=3.14159…..≈≈，表示出V=，解得设选项中的常数为，则==3.375=3=3.14=3.142857二、填空题：（一）必考题（11-14题）本大题共4小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．（5分）（2012•湖北）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，则角C=．cosC==．故答案为：12．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．13．（5分）（2012•湖北）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，11，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（Ⅰ）4位回文数有90个；（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有9×10n个．14．（5分）（2012•湖北）如图，双曲线﹣=1（a，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D．则：（Ⅰ）双曲线的离心率e=；（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值=．到直线的距离为，根据以，到直线的距离为，∴，==故答案为：二、填空题：（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（5分）（2012•湖北）如图，点D在⊙O的弦AB上移动，AB=4，连接OD，过点D作OD的垂线交⊙O于点C，则CD的最大值为2．16．（2012•湖北）（选修4﹣4：坐标系与参数方程）：在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线θ=与曲线（t为参数）相交于A，B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为（2.5，2.5）．=，曲线三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2012•湖北）已知向量=（cosωx﹣sinωx，sinωx），=（﹣cosωx﹣sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．•2）=+，又（）的最小正周期为（××﹣）（﹣）﹣，x∈，x），x）﹣=f﹣﹣，，18．（12分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．，由题意可得，，根据等差数列的求和公式可求或=综上可得19．（12分）（2012•湖北）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示），（1）当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；（2）当三棱锥A﹣BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD 上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．××××（=（（，且，则=，•=0，+=，DN=的一个法向量为，由及，，取==（﹣，﹣，＞|=|=20．（12分）（2012•湖北）根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X（单位：mm）对0.9，求：（I）工期延误天数Y的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．．21．（13分）（2012•湖北）设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且满足丨DM丨=m丨DA丨（m＞0，且m≠1）．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．|y|上，可得，从而可得可得在圆上运动，∴的方程为（）上，∴可得，∴，∴，使得在其对应的椭圆上，对任意22．（14分）（2012•湖北）（I）已知函数f（x）=rx﹣x r+（1﹣r）（x＞0），其中r为有理数，且0＜r＜1．求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a1≥0，a2≥0，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1a2b2≤a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．注：当α为正有理数时，有求导公式（xα）r=αxα﹣1．，a中令a+≤+a•。

2012年理数高考试题答案及解析湖北

....2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试卷解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1．方程x 26 x 13 0 的一个根是 A ． 3 2iB ． 3 2iC ． 2 3iD ． 2 3i 考点分析：本题考察复数的一元二次方程求根 .难易度： ★ 解析：根据复数求根公式： x 6 6213 4 3 2i ，所以方程的一个根为2 答案为 A.2．命题“ x 0 e R Q ， x 03 Q ”的否定是 A ． x0 eR Q ， x0 3 B ． x0 eR Q ， x03 Q Q C ． x e R Q ， x 3 Q D ． x e R Q ， x 3 Q 考点分析：本题主要考察常用逻辑用语，考察对命题的否定和否命题的区别. 难易度：★解析：根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定。

因此选 D 3．已知二次函数 y f ( x) 的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 A ． 2πB ． 45 3C ． 3 πD ． 2 2 考点分析：本题考察利用定积分求面积 .难易度：★解析：根据图像可得： y f ( x)x 2 1，再由定积分的几何意 2 1 1 x 34 4义，可求得面积为x 2 1)dx ( x)1 2S( 14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ． 8π B ．π 3....3 2iy111 O 1 x1第 3 题图142侧视图第 4 题图C ．10πD ． 6π 3 考点分析：本题考察空间几何体的三视图 .难易度：★解析：显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2 的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为 6，则知所求几何体体积为原体积的一半为 .选 B. 3π 5．设 a Z ，且 0a 13 ，若 512012 a 能被 13 整除，则 aA ．0 B ．1 C ．11D ． 12 考点分析：本题考察二项展开式的系数 .难易度：★解析：由于51=52-1 ， (52 1)2012C 20120 522012 C 20121 522011 ... C 20122011521 1 , 又由于 13|52,所以只需 13|1+a ， 0≤ a<13, 所以a=12 选 D.6．设 a,b, c, x, y, z 是正数，且 a 2b2 c 210 ， x 2 y 2 z 240 ， ax by cz 20 ，则 a b c x y zA ． 1B ． 14 3 C ． 1 D ． 32 4考点分析：本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件.难易度： ★★解析：由于 ( a 2b 2 2 )( x 2 y 2 z 2 ) ( ax by cz)2c等号成立当且仅当a b c t , 则 a=t x b=t y c=t z ， t 2( x 2 y 2 z 2 ) 10 x y z所以由题知 t1/ 2 , 又 a b c a b c , 所以 a b c t 1/ 2，答案选 C.x y z x y z x y z7．定义在 ( ,0) (0, ) 上的函数 f ( x) ，如果对于任意给定的等比数列{ a n}， { f(a n )} 仍是等比数列，则称f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在( ,0) (0,) 上的如下函数：① f( x) x2；② f ( x) 2x；③ f ( x)| x | ；④ f (x) ln | x | .第 2 页共 15 页则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为A ．① ②B ．③ ④C．① ③ D ．② ④考点分析：本题考察等比数列性质及函数计算.难易度：★解析：等比数列性质， a n a n a n21，①f a n f a n 2 a n2a n22 a n22f 2 a n 1；2 12a n2a n2 2a n a n2 22a n 1 f 2 an 1；③ f a n f a n 222 an 1；② f a n f a n 2a n a n 2a n 1 f④ f a n f a n 2ln a n ln a n 22f 2 an 1.选 C ln a n 18．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以 OA，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A ．1 2 B ．11π 2 πC．2D．1ππ考点分析：本题考察几何概型及平面图形面积求法.难易度：★解析：令OA 1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为S1，围成 OC 为 S2，作对称轴 OD ，则过 C 点。

2012湖北高考数学理科

2012湖北理一、选择题1 ．方程26130x x ++=的一个根是（）A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i +2 ．命题“0x ∃∈R Q ð,30x ∈Q ”的否定是（）A ．0x ∃∉R Q ð,30x ∈QB ．0x ∃∈R Q ð,30x ∉QC ．x ∀∉R Q ð,3x ∈QD ．x ∀∈R Q ð,3x ∉Q3 ．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为（）A ．2π5B ．43 C ．32D ．π24 ．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π侧视图正视图45 ．设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a = （）A ．0B ．1C ．11D ．126 ．设,,,,,a b c x y z 是正数,且22210a b c ++=,22240x y z ++=,20ax by cz ++=,则a b cx y z++=++（）A ．14B ．13C ．12D ．347 ．定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的如下函数:①2()f x x =; ②()2x f x =; ③()f x ()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④8 ．如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（）A ．21π-C ．2π9 ．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为A ．4B ．5C ．6D ．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159 判断,下列近似公式中最精确的一个是（）A ．dB ．dC ．d ≈D ．d ≈二、填空题11．设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.12．阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s =__________.13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个:11,22,33,,99.3位回文数有90个:101,111,121,,191,202,,999.则 (Ⅰ)4位回文数有__________个;(Ⅱ)21()n n ++∈N 位回文数有_________个.14．如图,双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的两顶点为1A ,2A ,虚轴两端点为1B ,2B ,两焦点为1F ,2F . 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ,切点分别为,,,A B C D . 则(Ⅰ)双曲线的离心率e =________;(Ⅱ)菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S =________. .15．(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D 在O 的弦AB 上移动,4AB =,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交O 于点C ,则CD 的最大值为__________.16．(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21,(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数) 相交于A ,B 两点,则线段AB 的中点的直角坐标为__________.三、解答题17．已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,)x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;18．已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.(Ⅰ)求等差数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.19．如图1,45ACB ∠= ,3BC =,过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于点B ,连接AB ,沿AD 将△ABD 折起,使90BDC ∠= (如图2所示).(Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A BCD -的体积最大;(Ⅱ)当三棱锥A BCD -的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在棱CD 上确定一点N ,使得EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.第15题图 A AM20．根据以往的经验,某工程施工期间的降水量X (单位:mm)对工期的影响如下表:历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9. 求:(Ⅰ)工期延误天数Y 的均值与方差;(Ⅱ)在降水量X 至少是300的条件下,工期延误不超过6天的概率.21．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x轴的交点,点M 在直线l 上,且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.22．(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,且01r <<. 求()f x 的最小值;(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则12121122b b a a a b a b ≤+; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.2012湖北理参考答案一、选择题 1. A. 2. D3. B4. B.5. D.6. C.7. C8. A.解析：令1=OA ，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点。

2012年湖北高考数学理科试卷(带详解)

2012湖北高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．方程2+6+13=0x x 的一个根是（） A ．3+2i - B ．3+2i C ．22i -+ D ．2+2i 【测量目标】复数的一元二次方程求根.【考查方式】给出一元二次方程，由求根公式求出它的根. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】根据复数求根公式：26613432i 2x -±-⨯==-±，所以方程的一个根为32i -+，答案为A.2．命题“300x x ∃∈∈RQ Q ，”的否定是（）A ．300x x ∃∉∈RQ Q ，B ．300x x ∃∈∉RQ Q ，C ．300x x ∀∉∈R Q Q ，D ．300x x ∀∈∉R Q Q ，【测量目标】常用逻辑用语，含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出了存在性命题，根据逻辑用语写出命题的否定. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】根据对命题的否定知，是把谓词取否定，然后把结论否定因此选D.3．已知二次函数=()y f x 的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（）第4题图A ．2π5B.43 C ．32D ．π2【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】给出了二次函数的图象，求出函数解析式，由定积分的几何意义可求得面积. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】根据图像可得：2()+1y f x x ==-，再由定积分的几何意义，可求得面积为1221114=(+1)()133S x dx x x --=-+=-⎰.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π第4题图【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】给出了几何体的的三视图，确定其为圆柱，根据体积公式求出体积. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】显然有三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B. 5．设a ∈Z ，且013a <，若201251a +能被13整除，则a = （）A ．0B ．1C ．11D ．12 【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，根据其展开式的系数求解. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由于51=52-1，2012020121201120111201220122012(521)C 52C 52C 521-=-+-+…又由于13|52,所以只需13|1+a ，0a ＜13,所以a =12选D.6．设,,,,,a b c x y z 是正数，且222++=10a b c ，22240x y z ++=，20ax by cz ++=，则a b cx y z ++=++ （）A ．14B ．13C ．12D ．34【测量目标】不等式的基本性质.【考查方式】给出含未知量的3个方程，根据柯西不等式的使用及其去等条件可得出答案.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】由于2222222()()()a b c x y z ax by cz ++++++等号成立当且仅当a b ct x y z===，则a tx b ty c tz ===，，， 2222()10t x y z ++=（步骤1）所以由题知12t =,又a b c a b cx y z x y z++===++（步骤2）,所以12a b c t x y z ++==++，答案选C.（步骤3）7．定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =； ②()2x f x =； ③()f x =④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（）A ．① ②B ．③ ④C ．① ③D ．② ④【测量目标】等比数列性质及函数计算.【考查方式】给出了保等比数列的定义，判断所给4个函数是否为保等比数列. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】等比数列性质，221n n n a a a ++=， ①222222211()()()()n n n n n n f a f a a a a f a ++++=== （步骤1）2212221()()2222()n n n n n a a a a a n n n f a f a f a ++++++==≠=②（步骤2）2221()()()n n n f a f a f a ++===③（步骤3）2221()()=ln ln ()n n n n n f a f a a a f a +++≠④选C.（步骤4）8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A ．21π-B ．112π- C ．2π D ．1π第8题【测量目标】几何概型及平面图形面积公式. 【考查方式】给出扇形根据面积公式求出扇形面积以及阴影部分的面积，算出他们的比值即为概率. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】令1OA =，扇形OAB 为对称图形，ACBD 围成面积为1S ，围成OC 为2S ，作对称轴OD ，则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积，（步骤1）221111π2π122228S -⎛⎫=-⨯⨯=⎪⎝⎭.在扇形OAD 中12S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ，21211π2π(1)284216S S -=--=，12π24S S -+=，扇形OAB 面积1π4S =，选A.（步骤2）第8题图9．函数2()cos f x x x =在区间[]0,4上的零点个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【测量目标】三角函数的周期性以及函数零点的判断.【考查方式】给出复合函数，根据函数周期性确定其在区间类的零点个数. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】()0f x =，则0x =或2cos 0x =，2ππ+,2x k k =∈Z 又[]0,4x ∈， 0,1,2,3,4k =所以共有6个解.选C.10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π=3.14159...判断，下列近似公式中最精确的一个是（） A ．3169d V ≈B ．32d V ≈C ．3300157d V ≈D ．32111d V ≈【测量目标】球的体积公式以及估算.【考查方式】根据球的体积估算圆周率. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由34π32d V ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得36πV d =，设选项中常数为a b ，则6π=b a （步骤1）；A中代人得69π 3.37516⨯==，B 中代入得6π32==，C 中代入得π61573.14300⨯==，D 中代人得611π= 3.142857,21⨯=由于D 中值最接近π的真实值，故选D.（步骤2）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 若()()a b c a b c ab +-++=，则角C = ．【测量目标】余弦定理，解三角形.【考查方式】给出三角形的各边关系，利用余弦定理求出角C . 【难易程度】容易【参考答案】120【试题解析】由()(+)a b c a b c ab +--=，得222a b c ab +-=-根据余弦定理2221cos ,222a b c ab C ab ab +-==-=-故120C ∠=.12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .第12题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，通过输入、赋值、输出语句，得出满足条件的s . 【难易程度】容易【参考答案】9【试题解析】程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈循环：当n =1时，得s =1，a =3.（步骤1）第二圈循环: 当n =2时，得s =4，a =5 （步骤2）第三圈循环：当n =3时，得s =9，a =7 （步骤3）此时n =3，不再循环，所以解s =9 . （步骤4）13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）21()n n ++∈N 位回文数有个．【测量目标】排列、组合及其应用.【考查方式】根据回文数的定义求出4位回文数以及21()n n ++∈N 回文数的个数. 【难易程度】较难【参考答案】（I ）90；（II ）910n⨯【试题解析】（Ⅰ）4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（0~9）种情况，所以4位回文数有91090⨯=种，答案：90. （Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2n +1位回文数和2n +2位回文数的个数相同，所以可以算出2n +2位回文数的个数.2n +2位回文数只用看前n +1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n⨯.法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数.计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个,按此规律推导22102n n s s =-,而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因21210n n s s +=,则答案为910n⨯.14．如图，双曲线22221(,0)x y a b a b-=＞的两顶点为12A A ，虚轴两端点为12B B ，两焦点为12F F ，. 若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为,,,A B C D . 则第14题图（Ⅰ）双曲线的离心率e = ；（Ⅱ）菱形1122F B F B 的面积1S 与矩形ABCD 的面积2S 的比值12S S = . 【测量目标】双曲线的标准方程、定义、离心率，以及一般平面几何图形的面积计算. 【考查方式】给出了双曲线和平面几何图形的位置关系求出离心率，根据面积公式求出面积比.【难易程度】较难【参考答案】（I ）512e +=，（II ）12252S S += 【试题解析】（Ⅰ）由于以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，因此点O 到直线22F B 的距离为a ，又由于虚轴两端点为12B B ，，因此2OB 的长为b ，那么在22F OB △中，由三角形的面积公式知，2222111222bc a B F a b c ==+（步骤1），又由双曲线中存在关系222c a b =+联立可得出222(1)e e -=，根据(1,)e ∈+∞解出512e +=.（步骤2）（II ）菱形1122F B F B 的面积12S bc =，设矩形ABCD ，2BC m =，2BA n = ∴m c n b =（步骤3），∵222m n a +=，∴2222,ac ab m n b c b c==++(步骤4) ∴面积222244a bc S mn b c ==+，∴221222S b c S a+=（步骤5） ∵222b c a =-∴12252S S +=（步骤6）. （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，点D 在O 的弦AB 上移动，4AB =，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交O 于点C ，则CD 的最大值为 .第15题图【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据直线与圆的位置关系，判断点D 的位置从而求出线段最大值. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】（由于OD CD ⊥,因此CD =线段OC 长为定值，即需求解线段OD 长度的最小值，根据弦中点到圆心的距离最短，此时D 为AB 的中点，点C 与点B 重合，因此122CD AB == 16．（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知射线π4θ=与曲线21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为 .【测量目标】平面直角坐标与极坐标系下的曲线方程交点.【考查方式】给出了两曲线的极坐标方程，将它们化为一般方程并求出交点. 【难易程度】中等【参考答案】55(,)22【试题解析】π4θ=在直角坐标系下的一般方程为()y x x =∈R ，将参数方程21(1)x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）转化为直角坐标系下的一般方程为222(1)(11)(2)y t x x =-=--=-表示一条抛物线（步骤1），联立上面两个方程消去y 有2540x x -+=，设A B ，两点及其中点P 的横坐标分别为0A B x x x 、、（步骤2），则有韦达定理0522A B x x x +==,又由于点P 点在直线y x =上，因此AB 的中点P 55(,)22.（步骤3）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知向量(cos sin sin )x x x ωωω=-，a ，(cos sin )x x x ωωω=--b ，设函数()()f x x λ=+∈R a b 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π,04⎛⎫⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角函数的变换及化简.【考查方式】求出函数解析式，根据三角变换求得最小正周期和在特定区间类函数的取值范围.【难易程度】容易【试题解析】（I ）因为22()sin cos cos f x x x x ωωωλ=-+cos22.x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+（步骤1）.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ+()62k k ω-=∈Z ，即1().23k k ω=+∈Z 又1(,1)2k ω∈∈Z ，，所以k =1，故56ω=，所以()f x 的最小正周期为6π5.（步骤2）（II ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，（步骤3）即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=即λ=故5π()2sin()36f x x =--（步骤4）由3π0,5x 有π5π5π,6366x -- 所以15πsin()1236x --，得5π12sin()222,36x ----故函数()fx 在3π0,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围为12⎡-⎣.（步骤5） 18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}n a 的前n 项和. 【测量目标】等差数列的通项，前n 项和.【考查方式】由等差数列的前三项和以及积的大小求出通项，由前三项成等比关系求出新数列的前n 和. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+. 有题意得1111333()2a d a a d a d +=-⎧⎨++⎩（）=8解得123a d =⎧⎨=-⎩或143a d =-⎧⎨=⎩（步骤1）所以由等差数列通项公式可得23(1)35,n a n n =--=-+或43(1)37.n a n n =-+-=- 故35,n a n =-+或37.n a n =-（步骤2）（II ）当35n a n =-+时，231,,a a a 分别为1,4,2--,不成等比数列. 当37n a n =-时，231,,a a a 分别为1,2,4,--成等比数列，满足条件. 故37,1,237.37,3n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-⎩（步骤3）记数列{}n a 的前n 项和为n S .当n =1时，114;S a ==当n =2时，2125;S a a =+= 当n3，234...5(337)(347)...(37)n n S S a a a n =++++=+⨯-+⨯-++- =[]2(2)2(37)311510.222n n n n -+-+=-+当2n =时，223112210522S =⨯-⨯+=综上，24131110,122n n S n n n =⎧⎪⎨-+⎪⎩，＞.（步骤4）19．（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=（如图2所示）．（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．图1 图2第19题图【测量目标】三棱锥的体积公式，均值不等式求最值，利用导数求函数的最值，空间直角坐标系的建立，平行与垂直关系的综合应用.【考查方式】给出了空间几何体的边、角等，通过均值不等式或者导数求出体积的最大值，利用空间向量或者垂直与平行关系求得线面角的大小. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设BD =x (03)x ＜＜，则3CD x =-. 由,45AD BC ACB ⊥∠=知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD =CD =3x -.（步骤1）由折起前AD ⊥平面BCD .又90BDC ∠=,所以11(3).22BCD S BD CD x x ==-△于是1111(3)(3)2(3)333212A BCD BCD V AD S x x x x x x -==--=-△（-）312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 当且仅当23,x x =-即当x =1时，等号成立，故当x =1，即BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2）解法2：同解法1，得321111=(3)(3)(69).3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -=--=-+△（步骤1）令321()(69),6f x x x x =-+由1()(1)(3)02f x x x '=--=，03,x ＜＜解得x =1. 当(0,1)x ∈时，()0;f x '＞当(1,3)x ∈时，()0f x '＜. 所以当x =1，()f x 取1得最大值.故当BD =1时，三棱锥A BCD -的体积最大.（步骤2）(II)解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -. 由（I ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1,2BD AD CD ===. 于是可得1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1),(,1,0)2D B C A ME 且(1,1,1).BM =-（步骤3）设1(0,,0),=2N EN λλ则（-,-1,0）.因为EN BM ⊥等价于0EN BM =,即111022λλ+-=（-,-1,0）(-1,1,1)=，故11,(0,,0)22N λ=（步骤4）所以当DN =12（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥. 设平面BMN 的一个法向量为n (,,),x y z =由BNBM⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，及1(1,,0),2BN =-得2y x z x=⎧⎨=-⎩可取(1,2,1)=-n .（步骤5）3cos 2EN <>=，n即EN 与平面BMN 所成角的大小60.（步骤6）第19题图a解法2：由（I ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1, 2.BD AD CD ===（步骤3）如图b ,取CD 的中点F ，连接,MF BF ,EF ,则MFAD .由（I ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .（步骤4）如图c ，延长FE 至P 点使得FP =DB ，连接BP ,DP ，则四边形DBPF 为正方形，所以.DP BF ⊥取DF 得中点N ，连接EN ，又E 为FP 的中点，则ENDP ，所以.EN BF ⊥因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂面BCD ，所以MF EN ⊥. 又=MFBF F ，因为MF ∈面BMF ，所以EN ⊥BM..因为EN BM ⊥当且仅当,EN BF ⊥而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的. 即当12DN =(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)，EN BM ⊥. 连接MN ，ME ，由计算得NB =NM =EB =EM =52，所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形，（步骤5）如图d .BM EGN ⊥平面在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H , 则EH ⊥平面BMN .故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角. 在△EGN 中，易得EG =GN =NE =22，所以△EGN 是正三角形，故=60EGN ∠，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60.（步骤6）图b图c 图d 第19题图 20．（本小题满分12分）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：mm ）对工期的影响如下表：降水量X 300X ＜300700X ＜＜700900X ＜＜ 900X工期延误天数Y2610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9. 求：（Ⅰ）工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率. 【测量目标】概率的加法公式与方差，条件概率.【考查方式】给出了降水量与工期延误的关系，根据概率的加法公式以及方差公式求出延误天数的均值与方差、条件概率. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）由已知条件和概率的加法公式有:(300)0.3,(300700)(700)(300)=0.70.30.4P X P X P X P X ==--=＜＜＜＜＜ (700900)=(900)700=0.90.70.2P X P X P X --=＜＜（＜） (900)1(900)=10.90.1.P XP X =--=＜（步骤1）所以Y 的分布列为：2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8.D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=故工期延误天数Y 的均值为3，方差9.8.（步骤2）（II ）由概率的加法公式，(300)1(300)0.7P X P X =-=＜，又(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X =-=-=＜＜＜.由条件概率，得(300900)0.66(6300)(900300)(300)0.77P X P Y X P X X P X ====＜＜.故在降水量X 至少是300mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.（步骤3） 21．（本小题满分13分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足(01),DM m DA m m =≠＞，且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H . 是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.【测量目标】双曲线的标准方程，直线的方程，直线与双曲线的位置关系，双曲线中的定点问题.【考查方式】给出了圆的方程以及直线与圆的位置关系，从而判断轨迹为何种曲线，根据直线与方程的联立求出满足条件的点. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）如图1，设00(,),(,),M x y A x y 则由(01),DM m DA m m =≠＞，且可得00,,x x y m y ==所以001,.x x y y m==① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y += ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为2221(0)y x m m m+=≠＞，且1，（步骤1）因为(0,1)(1,),m ∈+∞所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(；（步骤2）当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,.（步骤3）（II ）解法1：如图2、30k ∀＞，设1122(,),(,),P x kx H x y 则111(,),(0,),Q x kx N kx -- 直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40.m k x k x x k x m +++-=依题意可知此方程的两根为12,,x x -于是由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即21222.4m x x m k =+（步骤4）因为点H 在直线QN 上，所以212122222.4km x y kx kx m k-==+ 于是112121(2,2),(,)PQ x kx PH x x y kx =--=--=2211222242(,)44k x km x m k m k -++. 而PQ PH ⊥等价于PQ PH =2221224(2)0,4m k x m k-=+即220m -=，又m ＞0，得m =，故存在m =，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的0k ＞，都有PQ PH ⊥.（步骤5）第21题图1解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设1122(,),(,),P x y H x y 则111(,),(0,)Q x y N y --因为P ,H 两点在椭圆C 上，所以222211222222m x y m m x y m ⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得 222221212()()0.m x x y y -+-=（步骤3）依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ,H 不重合，故1212()()0x x x x -+≠，于是由③式可得212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+.（步骤4）又Q ,N ,H 三点共线，所以QN QH K K =，即1121122.y y y x x x +=+ 于是由④式可得211212121121212()()1.2()()2PQ PHy y y y y y y m K K x x x x x x x --+===---+（步骤5）而PQ PH ⊥等价于PQPH K K =1-,即22m -=1-，又m ＞0，得m =2. 故存在m =2，使得在其对应的椭圆2212y x +=上，对任意的k ＞0，都有PQ PH ⊥. （步骤6）图2 图3 （0＜m ＜1）（m ＞1）第21题图22．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+-＞，其中r 为有理数，且01r ＜＜. 求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ，为正有理数. 若121b b +=，则12121122;b b a a a b a b +（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.【测量目标】利用导数求函数的单调区间及最值、解不等式问题，数学归纳法.【考查方式】给出函数解析式，求其导数从而求出函数的最值.给出了参数的范围，利用问题（I ）的结论以及导数解决不等式的证明.在利用（II ）的命题根据数学归纳法得到命题的一般形式进行推广. 【难易程度】较难【试题解析】（I ）11()(1),r r f x r rx r x --'=-=-令()0f x '=，解得x =1. 当0＜x ＜1时，()0f x '＜，所以f (x )在（0，1）内是减函数；当x ＞1时，()f x '＞0，所以f (x )在（0，1）内是增函数. 故函数()f x 在x =1处取得最小值(1)0.f =（步骤1）（II ）由（I ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f =，即(1)rx rx r +-若12,a a 中有一个不为0，则12121122bba a ab a b ++成立（步骤2）；若12,a a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令112,,ax r b a ==可得1111122(1),b a a b b a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭即12121121(1)bba a ab a b +-，亦即12121122b b a a a b a b +.（步骤3）综上，对12120,0,,a a b b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b +.②（步骤3）(III) （II ）中命题的推广形式为：设12,,,n a a a …为非负实数，12,,,n b b b …为正有理数. 若121,k b b b +++=…则12121122+kb bbk k k a a a a b a b a b ++…….（步骤4）③用数学归纳法证明如下: （1）当1n =时，11,b =有11,a a ③成立.（步骤5）（2）假设当n k =时③成立，即若12,,,k a a a …，非负实数，12,,,k b b b …，为正有理数.且121,k b b b +++= (12121122)b b b k k k a a a a b a b a b ++…….当1n k =+时，已知12,,,k a a a …，1k a +非负实数，12,,,k b b b …，1k b +为正有理数且1211,k k b b b b +++++=…此时101k b +＜＜，即110k b +-＞，（步骤6）于是 111212121121(...)kk kk b b b b b b b b k k k k a a a aa a a a++++= (1211)1+1+11111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aa a a +++----+= (12)111...1111k k k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaa a +++--- (1122)121211111111k k k k k k k k b a b a b a b b b a a a b b b b +++++++++=----…… 从而112121k k bbbb k k a a a a ++ (1)111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫++ ⎪-⎝⎭…（步骤7）又因1+1(1)=1k k b b +-+，由②得 11111221122111111k k b b k k k kk k k k a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++⎛⎫++++ ⎪--⎝⎭……+（1-）1+1k k a b ++=1122k k a b a b a b ++…++11k k a b ++，从而112121k k bbbbk k a a a a ++…112211k k k k a b a b a b a b +++++…+.（步骤7）故当1n k =+时，③成立. 由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立. 说明：（III ）中如果推广形式中指出③式对2n 成立，则后续证明不需要讨论1n =的情况（步骤8）。

2012年湖北省高考数学试卷理科答案及解析

所求几何体的体积为: =3π.
故选B.
点评:本题考查三视图与几何体的关系,正确判断几何体的特征就是解题的关键,考查计算能力.
5.(2012•湖北)
考点:二项式定理的应用。
专题:计算题。
分析:由二项式定理可知512012+a=(52﹣1)2012+a的展开式中的项含有因数52,要使得能512012+a能被13整除,只要a+1能被13整除,结合已知a的范围可求
8.(2012•湖北)
考点:几何概型。
专题:计算题。
分析:设OA的中点就是D,则∠CDO=90°,这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积,从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积,用扇形OAB的面积减去两个半圆的面积,加上两个弧OC围成的面积的2倍就就是阴影部分的面积,最后根据几何概型的概率公式解之即可.
考点:一般形式的柯西不等式。
专题:综合题。
分析:根据所给条件,利用柯西不等式求解,利用等号成立的条件即可.
解答:解:由柯西不等式得,(a2+b2+c2)( x2+ y2+ z2)≥( ax+ by+ cz)2,
当且仅当时等号成立
∵a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,
(Ⅰ)4位回文数有_________个;
(Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有_________个.
14.(2012•湖北)如图,双曲线 ﹣ =1(a,b＞0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则: