专题02：有理数-2020-2021学年七年级数学暑假提高训练专题(人教版)

专题02：有理数1. 下列命题中真命题是（）A.如果m是有理数，那么m是整数B.4的平方根是2C.等腰梯形两底角相等D.如果四边形ABCD是正方形，那么它是菱形2. 已知下列命题：①若a2=b2，则a=b；①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；①在反比例函数y=2中，如果函数值y<1时，那么自变量x>2．x其中真命题的个数是（）A.4个B.3个C.2个D.1个3. 某商店出售一种商品，有如下方案：①先提价10%，再降价10%；①先降价10%，再提价10%；①先提价20%，再降价20%，则下列说法错误的是（）A.①①两种方案前后调价结果相同B.三种方案都没有恢复原价C.方案①①①都恢复原价D.方案①的售价比方案①的售价高4. 下列说法正确的是（）A.−6和−4之间的数都是有理数B.数轴上表示−a的点一定在原点的左边C.在数轴上离开原点的距离越远的点表示的数越大D.−1和0之间有无数个负数5. 下列说法中，正确的个数是（）（1）两点之间线段的长度，叫做两点间的距离；（2）延长射线BA到C：（3）正有理数，负有理数统称为有理数；(4)|a|一定是正数A.1B.2C.3D.46. 在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac<0，b+a<0，则（）A.b+c<0B.|b|<|c|C.|a|>|b|D.abc<07. 对于有理数a，下面的3个说法中：①−a表示负有理数；①|a|表示正有理数；①a与−a中，必有一个是负有理数.正确说法的个数有()A.0个B.1个C.2个D.3个8. 若|x|=−x，则x一定是()A.负数B.负数或零C.零D.正数9. +2与−2是一对相反数，请赋予它实际的意义：________．10. 最大的负整数是________，最大的非正数是________．11. 如图，在以表示数2的点处作长度为1个单位的线段与数轴垂直，连接上端点与原点，得线段a．以原点为圆心，a为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是________．+m2−3cd=________．12. 若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m=2，a+b4m13. 以下说法：①两点确定一条直线；①一条直线有且只有一条垂线；①不相等的两个角一定不是对顶角；①若|a|=−a，则a<0；①若a，b互为相反数，则a，b的商必定等于−1．其中正确的是________．（请填序号）14. 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足|a+2|+(b−8)2020＝0．点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为ME、ON的中点．思考，在运动过程中，MN−OEPQ的值________．15. 已知a，b，c，d为有理数，且|2a+b+c+2d+1|＝2a+b−c−2d−2，则(2a+b−12)(2c+4d+3)＝________．16. 已知a，b，c是△ABC的三边长，a、b满足|a−7|+(b−1)2=0，c为奇数，则c=________．17. 若|a−1|+|b+3|＝0，则b−a−12的值为多少？18. 将下列各数填在相应的集合里．−3.8，−10，4.3，−|−207|，42，0，−(−35)整数集合：分数集合：正数集合：负数集合：19. 如图，数轴上点A，B表示的数a，b满足|a+6|+(b−12)2＝0，点P为线段AB上一点（不与A，B重合），M，N两点分别从P，A同时向数轴正方向移动，点M运动速度为每秒2个单位长度，点N运动速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t秒(t≠6)．（1）直接写出a＝________，b＝________；（2）若P点表示的数是0．①t＝1，则MN的长为________（直接写出结果）；①点M，N在移动过程中，线段BM，MN之间是否存在某种确定的数量关系，判断并说明理由；（3）点M，N均在线段AB上移动，若MN＝2，且N到线段AB的中点Q的距离为3，请求出符合条件的点P表示的数．20. 已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，且|a+4|+(b−1)2＝0，现将A、B之间的距离记作，定义|AB|＝|a−b|．（1）求2019b+a的值；（2）求|AB|的值；（3）设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|−|PB|＝2时，求x的值．21. 已知代数式3t+12−2t的值与13t−1的值互为相反数，求t的值．22. 蜗牛从某点O开始沿一东西方向直线爬行，规定向东爬行的路程记为正数，向西爬行的路程记为负数．爬过的各段路程依次为（单位：厘米）：−6，+12，−10，+5，−3，+10，−8．(1)通过计算说明蜗牛是否回到起点O；(2)蜗牛离开出发点O最远时是多少厘米？(3)在爬行过程中，如果每爬1厘米奖励2粒芝麻，则蜗牛一共得到多少粒芝麻？23. 已知A＝a2−2b2+2ab−3，B＝2a2−b2−25ab−15．（1）求2(A+B)−3(2A−B)的值（结果用化简后的a、b的式子表示）；（2）当|a+12|与b2互为相反数时，求（1）中式子的值．24. 已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足(b−5)2+|c−7|＝0，a为方程|a−3|＝2的解，求△ABC 的周长．25. 画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，−12和它的倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“<”号连接起来．26. 如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|=10，a+b=80，ab<0．(1)求出a，b的值；(2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动．①设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，求出点C对应的数是多少？①经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？参考答案与试题解析专题02：有理数1.【答案】D【解答】解：A、如果m是有理数，那么m是整数是假命题，如2.1是有理数，但2.1不是整数，故本选项错误；B、4的平方根是±2，故本选项错误；C、等腰梯形两底角相等，应为等腰梯形同一底上的两个角相同，故本选项错误；D、如果四边形ABCD是正方形，则其四条边相等，那么它是菱形，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了命题的定义，包括真命题和假命题，还涉及有理数、平方根、梯形的性质、正方形的性质和菱形的判定．2.【答案】D【解答】解：①若a2=b2，则a=b，或a=−b，错误，故①是假命题；①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，故①是真命题；①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，故①是假命题；①在反比例函数y=2中，如果函数值y<1时，那么自变量为x>2或x<0，错误，故①是假命题，x综上所述，真命题有1个；故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解有理数的性质、菱形的判定、平行公理及反比例函数的性质，难度较小．3.【答案】C【解答】解：设这种商品的原价为a元，则该商品调价后的价钱分别为：①(1+10%)(1−10%)a=0.99a元；①(1−10%)(1+10%)a=0.99a元；①(1+20%)(1−20%)a=0.96a元．综上可知：①①两种方案前后调价结果相同，故A正确；三种方案都没有恢复原价，故B正确，C错误；方案①的售价0.99a元大于方案①的售价0.96a元，故D正确，所以说法错误的选项为C．故选C．【点评】设出该商品的原价为a元，然后把原价看成单位“1”，分别根据三种方案的规定列出调价后价钱的代数式，化简后可对四个选项作出判断．4.【答案】D【解答】数轴上的点不是与有理数一一对应，因此A选项不符合题意；−a不一定表示负数，因此B选项不符合题意；数轴所表示的数越向右越大，越向左越小，离原点越远，在左侧时，数就越小，因此选项C不符合题意；0与−1之间有无数个点，表示无数个实数，就是有无数个负数，因此选项D符合题意．【点评】考查数轴表示数的意义，以及数轴上所表示的数的大小比较，理解数轴上的点与实数一一对应是解决问题的前提．5.【答案】A【解答】（2）射线BA是无限长的，原来的说法是错误的（1）（3）正有理数，0，负有理数统称为有理数，原来的说法是错误的(2)(4)a＝0时，|a|＝0，原来的说法是错误的．故选：A．【点评】此题考查两点间的距离，关键是根据数学知识的应用解答．6.【答案】C【解答】解：由数轴可得，a<b<c，① ac<0，b+a<0，① 如果a=−2，b=0，c=2，则b+c>0，故选项A错误；如果a=−2，b=−1，c=0.5，则|b|>|c|，故选项B错误；如果a=−2，b=0，c=2，则abc=0，故选项D错误；① a<b，ac<0，b+a<0，① a<0，c>0，|a|>|b|，故选项C正确．故选C．【点评】根据数轴和ac<0，b+a<0，可以判断选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．7.【答案】A【解答】解：①当a<0时，−a表示正有理数，故错误；①|a|表示非负数，故错误；①当a=0时．a和−a都不表示负有理数，故错误．综上可知没有一个说法正确．故选A．【点评】本题考查有理数的知识，属于基础题，要求同学们掌握特殊值法的运用，这种方法会使问题变的简单．8.【答案】B【解答】解：A、错误，例如x=0时不成立；B、正确，符合绝对值的性质；C、错误，x<0时原式仍成立；D、错误，例如|5|≠−5．故选B．【点评】本题考查的是绝对的性质，根据已知条件判断出x的取值范围是解答此题的关键．9.【答案】如果水库的水位高于标准水位2m时，记作+2m，那么低于标准水位2m时，应记作−2m 【解答】解：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.故答案为：如果水库的水位高于标准水位2m时，记作+2m，那么低于标准水位2m时，应记作−2m（答案不唯一）．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．10.【答案】−1,0【解答】最大的负整数是−1，最大的非正数是0．【点评】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类及定义是解本题的关键．11.【答案】−√5【解答】由题意知，a=2+12=√5，① OA=√5，① 点A在原点左侧，① 点A表示的数是−√5，【点评】本题考查了二次根式与数轴等，解题关键是弄清楚原点左侧的数为负数．12.【答案】1【解答】解：由a，b互为相反数，c，d互为倒数，m=2，得a+b=0，cd=1，+m2−3cd=22−3=1.故a+b4m故答案为：1．【点评】本题考查了倒数，利用互为相反数的和为零，乘积为1的两个数互为倒数是解题关键．13.【答案】①①【解答】解：①两点确定一条直线；正确；①一条直线有且只有一条垂线；错误；①不相等的两个角一定不是对顶角；正确；①若|a|=−a，则a<0；错误，a=0也存立；①①若a，b互为相反数，那么a，b的商必定等于−1，其中a，b不为0，故错误．正确的有①①，故答案为①①．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关性质是解题关键．14.【答案】2【解答】① |a+2|+(b−8)2020＝0① a＝−2，b＝8，① A表示−2，B表示8；设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是−2−7t，点N对应的数是8+10t．① P是ME的中点，① P点对应的数是t+(−2−7t)2=−1−3t，又① Q是ON的中点，① Q点对应的数是0+(8+10t)2=4+5t，① MN＝(8+10t)−(−2−7t)＝10+17t，OE＝t，PQ＝(4+5t)−(−1−3t)＝5+8t，① MN−OEPQ =10+17t−t5+8t=2（定值）．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，有难度，正确的理解题意是解题的关键．15.【答案】0【解答】① |2a +b +c +2d +1|＝2a +b −c −2d −2，① 2a +b +c +2d +1＝2a +b −c −2d −2或−2a −b −c −2d −1＝2a +b −c −2d −2，① 2c +4d ＝−3或2a +b =12， ① (2a +b −12)(2c +4d +3)＝0，【点评】本题考查绝对值、代数式求值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用整体代入的思想解决问题．16.【答案】7【解答】解：① a ，b 满足|a −7|+(b −1)2=0，① a −7=0，b −1=0，解得a =7，b =1，① 7−1=6，7+1=8，① 6<c <8，又① c 为奇数，① c =7.故答案为：7.【点评】本题考查非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．17.【答案】① |a −1|+|b +3|＝0，① a −1＝0，b +3＝0，解得a ＝1，b ＝−3，① b −a −12=−3−1−12=−92．即b −a −12的值为−92．【解答】① |a −1|+|b +3|＝0，① a −1＝0，b +3＝0，解得a ＝1，b ＝−3，① b −a −12=−3−1−12=−92． 即b −a −12的值为−92．【点评】本题考查的是非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，即当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．18.【答案】整数集合：{−10, 42, 0...}分数集合：{−3.8, 4.3, −|−207|, −(−35)...} 正数集合：{4.3, 42, −(−35)...}负数集合：{−3.8, −10, −|−207|...}． 【解答】整数集合：{−10, 42, 0...}分数集合：{−3.8, 4.3, −|−207|, −(−35)...} 正数集合：{4.3, 42, −(−35)...}负数集合：{−3.8, −10, −|−207|...}．【点评】本题考查有理数的分类以及对整数，分数，正数以及负数概念的理解情况．19.【答案】−6,12；5综上所述，点M ，N 在移动过程中，BM ＝2MN ；【解答】① |a +6|+(b −12)2＝0，① a +6＝0，b −12＝0，① a ＝−6，b ＝12；故答案为：−6，12；①2+[(−6)+3]＝5，故答案为：5；①BM+2MN，理由：由题意得，PM＝2t，AN＝3t，当点N在M的左边时，如图1，① BM＝12−2t，MN＝AB−AN−BM＝18−3t−(12−2t)＝6−t，① bm＝2mn；当N在M的右边，如图2，① BM＝2t−12，MN＝AN−AP−PM＝3t−6−(2t−12)＝t−6，① BM＝2MN；综上所述，点M，N在移动过程中，BM＝2MN；设点P表示的数为x，点N表示的数为−6+3t，根据题意得，|(x+2t)−(−6+3t)|＝2，解得：x−t＝−4或x−t＝−8，① Q为线段AB的中点，Q表示的数为3，即QN＝3，点N表示的数为0或6，① −6+3t＝0或−6+3t6，解得：t＝2或4，①当t＝2时，由x−t＝−4得，x＝−2，由x−t＝−8得，x＝−6（c此时与点A重合，不符合题意，舍去），①当t＝4时，由x−t＝−4得，x＝0，由x−t＝−8得，x＝−4，综上所述，符合条件的点P表示的数为−2，0或−4．【点评】本题考查了一元一次方程的解法，两点间的距离，正确的理解题意是解题的关键．20.【答案】① |a +4|+(b −1)2＝0，① a ＝−4，b ＝1，① 2019b +a ＝2015；）① a ＝−4，b ＝1，① |AB|＝|a −b|＝5；当P 在点A 左侧时，|PA|−|PB|＝−(|PB|−|PA|)＝−|AB|＝−5≠2．当P 在点B 右侧时，|PA|−|PB|＝|AB|＝5≠2．① 上述两种情况的点P 不存在．当P 在A 、B 之间时，|PA|＝|x −(−4)|＝x +4，|PB|＝|x −1|＝1−x ，① |PA|−|PB|＝2，① x +4−(1−x)＝2．① x =−12，即x 的值为−12． 【解答】① |a +4|+(b −1)2＝0，① a ＝−4，b ＝1，① 2019b +a ＝2015；）① a ＝−4，b ＝1，① |AB|＝|a −b|＝5；当P 在点A 左侧时，|PA|−|PB|＝−(|PB|−|PA|)＝−|AB|＝−5≠2．当P 在点B 右侧时，|PA|−|PB|＝|AB|＝5≠2．① 上述两种情况的点P 不存在．当P 在A 、B 之间时，|PA|＝|x −(−4)|＝x +4，|PB|＝|x −1|＝1−x ，① |PA|−|PB|＝2，① x +4−(1−x)＝2．① x =−12，即x 的值为−12．【点评】本题考查了绝对值问题，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．21.【答案】解：① 代数式3t+12−2t的值与13t−1的值互为相反数，① 3t+12−2t+13t−1=0．① 9t+3−12t+2t−6=0，① t=−3．【解答】解：① 代数式3t+12−2t的值与13t−1的值互为相反数，① 3t+12−2t+13t−1=0．① 9t+3−12t+2t−6=0，① t=−3．【点评】本题考查解一元一次方程、相反数等知识，解题的关键是学会把问题转化为解方程，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)−6+12−10+5−3+10−8=0．所以蜗牛可以回到起点O．(2)|−6|=6，|−6+12|=6，|−6+12−10|=4，|−6+12−10+5|=1，|−6+12−10+5−3|=2，|−6+12−10+5−3+10|=8，所以蜗牛离开出发点O最远时是8厘米；(3)(6+12+10+5+3+10+8)×2=54×2=108，答：蜗牛一共得到108粒芝麻．【解答】解：(1)−6+12−10+5−3+10−8=0．所以蜗牛可以回到起点O．(2)|−6|=6，|−6+12|=6，|−6+12−10|=4，|−6+12−10+5|=1，|−6+12−10+5−3|=2，|−6+12−10+5−3+10|=8，所以蜗牛离开出发点O最远时是8厘米；(3)(6+12+10+5+3+10+8)×2=54×2=108，答：蜗牛一共得到108粒芝麻．【点评】本题考查了正数和负数的意义和有理数的加减法，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量；相加减时要注意同号相加比较简便．23.【答案】2(A+B)−3(2A−B)＝2A+2B−6A+3B＝−4A+5B＝−4(a2−2b2+2ab−3)+5(2a2−b2−25ab−15)＝−4a2+8b2−8ab+12+10a2−5b2−2ab−1＝6a2+3b2−10ab+11；① |a+12|与b2互为相反数，① |a+12|+b2＝0，则a =−12，b ＝0，6a 2+3b 2−10ab +11＝6×14+11=252．【解答】2(A +B)−3(2A −B)＝2A +2B −6A +3B＝−4A +5B＝−4(a 2−2b 2+2ab −3)+5(2a 2−b 2−25ab −15)＝−4a 2+8b 2−8ab +12+10a 2−5b 2−2ab −1＝6a 2+3b 2−10ab +11；① |a +12|与b 2互为相反数， ① |a +12|+b 2＝0，则a =−12，b ＝0，6a 2+3b 2−10ab +11＝6×14+11=252．【点评】本题考查的是整式的混合运算、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 24.【答案】① (b −5)2+|c −7|＝0，① {b −5=0c −7=0 ，解得{b =5c =7① a 为方程|a −3|＝2的解，① a ＝5或1，当a ＝1，b ＝5，c ＝7时，1+5<7，不能组成三角形，故a ＝1不合题意；① a ＝5，① △ABC 的周长＝5+5+7＝17，【解答】① (b −5)2+|c −7|＝0，① {b −5=0c −7=0 ，解得{b =5c =7① a 为方程|a −3|＝2的解，① a ＝5或1，当a ＝1，b ＝5，c ＝7时，1+5<7，不能组成三角形，故a ＝1不合题意；① a ＝5，① △ABC 的周长＝5+5+7＝17，【点评】本题考查三角形的三边关系，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25.【答案】−3.5<−3<−2<−1<−12<1<3<3.5 【解答】3.5的相反数是−3.5；−12的倒数是−2；绝对值等于3的数为±3；最大的负整数是−1，它的平方是1．【点评】本题主要考查的是比较有理数的大小，在数轴上确定出各数的位置是解题的关键．26.【答案】解：(1)① A ，B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左边，|a|=10，a +b =80，ab <0，① a =−10，b =90，即a 的值是−10，b 的值是90；(2)①由题意可得，点C 对应的数是：90−[90−(−10)]÷(3+2)×2=90−100÷5×2=90−40=50，即点C 对应的数为：50；①设相遇前，经过m 秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，[90−(−10)−20]÷(3+2)=80÷5=16（秒），设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，[90−(−10)+20]÷(3+2)=120÷5=24（秒），由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．【解答】解：(1)① A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边，|a|=10，a+b=80，ab<0，① a=−10，b=90，即a的值是−10，b的值是90；(2)①由题意可得，点C对应的数是：90−[90−(−10)]÷(3+2)×2=90−100÷5×2=90−40=50，即点C对应的数为：50；①设相遇前，经过m秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，[90−(−10)−20]÷(3+2)=80÷5=16（秒），设相遇后，经过n秒时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，[90−(−10)+20]÷(3+2)=120÷5=24（秒），由上可得，经过16秒或24秒的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．【点评】本题考查有理数的乘法、绝对值、数轴、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．。