导数公式和运算法则教案

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(完整版)导数公式和运算法则教案

§1.2.2基本初等函数的导数公式
及导数的运算法则
【教学目标】
1.知识与技能：
熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
2.过程与方法：
通过对每个公式的针对性简单练习，使学生掌握基本初等函数的导数公式，通过8个基本初等函数的整合练习，加深理解导数的运算法则，以及解题的简洁性和变式的灵活性．
3.情感态度与价值观：
通过对新知的理解与巩固，培养学生创新能力，应变能力，运算能力，思维敏捷度，使学生体会到成功的喜悦，培养学生的学习兴趣．
【教学重点与难点】
1.重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．
2.难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．
【教学手段】
多媒体幻灯片
【学习目标】
1．掌握基本函数的导数公式，灵活运用公式求某些函数的导数.
2．理解函数的和、差、积、商的求导法则，能够用法则求一些函数的导数.
【教学过程】。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案马长琴

学校：临清一中学科：数学编写人：马长琴审稿人：张林§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一．教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．二．教学重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用三．教学过程：（一）．创设情景复习五种常见函数y c =、y x =、应用 1（1 （2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．（1）2y x =与2x y =（2）3x y =与3log y x =2.（1推论：['()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）提示：积法则,商法则, 都是前导后不导,前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）sin y x x =⋅；（3）2(251)x y x x e =-+⋅；（4）4x x y =；【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．四．典例精讲例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系()(15%)t p t =+的导数。

解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．变式训练1：如果上式中某种商品的05p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？解：当05p =时，()5(15%)t p t =+，根据基本初等函数导数公式和求导法则，有'()5 1.05ln1.05t p t =⨯所以'10(10)5 1.05ln1.050.4p =⨯≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨．例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．点评函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．五．课堂练习做导学案的当堂检测六．课堂小结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则七．布置作业八．教学后记。

人教A版选修2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案及教学反思

人教A版选修2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案及教学反思一、教学目标通过本节课的学习，让学生： 1. 熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2. 掌握导数的常数因子、和差、积、商的运算法则； 3. 能够应用所学知识求出初等函数的导数； 4. 培养学生的逻辑思维能力和应用能力。

二、教学内容2.1 基本初等函数的导数公式（1）常数函数的导数公式：[C]′=0（2）幂函数的导数公式：[x n]′=nx n−1（3）指数函数的导数公式：[e x]′=e x（4）对数函数的导数公式：$[\\ln{x}]'=\\dfrac{1}{x}(x>0)$ （5）三角函数的导数公式：$$\\begin{aligned} [\\sin{x}]'&=\\cos{x}\\\\[\\cos{x}]'&=-\\sin{x}\\\\ [\\tan{x}]'&=\\sec^2{x} (x\ eq n\\pi+\\frac{\\pi}{2})\\\\ [\\cot{x}]'&=-\\csc^2{x} (x\ eq n\\pi) \\end{aligned}$$2.2 导数的运算法则（1）常数因子法则：设C为常数，则[Cf(x)]′=Cf′(x)（2）和差法则：$[f(x)\\pm g(x)]'=f'(x)\\pm g'(x)$ （3）积法则：[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)（4）商法则：$[\\dfrac{f(x)}{g(x)}]'=\\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)} (g(x)\ eq0)$三、教学过程3.1 导入教师通过数字游戏，引导学生探讨“导数”的概念，并由此引出本节课的教学内容。

3.2 讲授教师对基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则进行一一讲解，强调注意事项和易错点。

数学《导数运算法则》教案

数学《导数运算法则》教案教学内容：导数运算法则教学目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的运算法则：和、差、积、商的求导法则、复合函数求导法则；3. 能够应用导数运算法则解决实际问题。

教学重难点：1. 掌握导数运算法则；2. 能够应用导数运算法则解决实际问题。

教学方法：1. 知识讲解法；2. 案例分析法；3. 练习演练法。

教学过程：一、导入请学生回忆上节课学习的内容：导数的定义和意义。

二、学习导数运算法则1. 和、差、积、商的求导法则：（1）和差求导法则：设 f(x) 和 g(x) 都在 x 处可导，则(f(x)\pm g(x))^{'}=f^{'}(x)\pm g^{'}(x)（2）积的求导法则：设 f(x) 和 g(x) 都在 x 处可导，则(f(x)\cdot g(x))^{'}=f^{'}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{'}(x) （3）商的求导法则：设 f(x) 和 g(x) 都在 x 处可导，g(x)\neq 0，则\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{'}=\frac{f^{'}(x)g(x)-f(x)g^{'}(x)}{(g(x))^2}2. 复合函数的求导法则：设函数 y=f(g(x))，其中 f(u) 在 u=g(x) 处可导，g(x) 在 x 处可导，则\frac{dy}{dx}=f^{'}(g(x))\cdot g^{'}(x)三、应用导数运算法则解决实际问题请学生结合具体案例，多做练习，能够熟练应用导数运算法则解决实际问题。

四、课堂小结本节课主要学习了导数运算法则，包括和差、积、商的求导法则，以及复合函数求导法则。

通过案例分析的方式，帮助学生理解掌握导数运算的具体方法，并能够应用于实际问题的求解中。

五、作业布置1. 预习下节课内容：高阶导数的定义及其计算；2. 完成课堂练习题并检查答案；3. 阅读相关的数学文章，加深对导数运算法则的理解。

导数的运算法则教案

公开课教案：导数的四则运算法则
第一小节：导数的加法与减法法则；
（一）教学目标
1．知识与技能：
了解函数的和、差的导数公式的推导；掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则；能正确运用两个函数的和差积商的求导法则和已有的导数公式求某些简单函数的导数。

2．过程与方法：
利用学生已掌握的导数的定义，得出一个简单的两个函数的和的导数，从而提出问题，引入课题，通过学生的猜想、尝试，探究出函数的和、差、积、商的求导法则，使学生加深对求导法则的理解。

3．情感与价值观：
通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲,培养探索精神。

(二)教学重点、难点
教学重点:掌握函数的和、差、积、商的求导法则。

教学难点：学生对积和商的求导法则的理解和运用。

（三）教学方法
本节在教学中可运用尝试探索、类比联想、变式练习等方法进行。

（五）：教学反思。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案马长琴

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案编写者：马长琴教学目标：1. 理解基本初等函数的导数公式。

2. 掌握导数的运算法则。

3. 能够运用导数公式和运算法则解决问题。

教学重点：1. 基本初等函数的导数公式。

2. 导数的运算法则。

教学难点：1. 导数公式的记忆和应用。

2. 导数运算法则的推导和应用。

教学准备：1. 教学PPT。

2. 教案手册。

3. 黑板和粉笔。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾导数的定义和性质。

2. 提问：导数在实际应用中的作用是什么？二、基本初等函数的导数公式（15分钟）1. 讲解常数的导数公式：$ (c)' = 0 $2. 讲解幂函数的导数公式：$ (x^n)' = nx^{n-1} $3. 讲解指数函数的导数公式：$ (a^x)' = a^x \ln(a) $4. 讲解对数函数的导数公式：$ (\log_a(x))' = \frac{1}{x \ln(a)} $5. 讲解三角函数的导数公式：$ (\sin(x))' = \cos(x) $$ (\cos(x))' = -\sin(x) $$ (\tan(x))' = \sec^2(x) $6. 讲解反三角函数的导数公式：$ (\arcsin(x))' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ (\arccos(x))' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$ (\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2} $三、导数的运算法则（15分钟）1. 讲解导数的四则运算法则：加法法则：$ (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x) $减法法则：$ (f(x) g(x))' = f'(x) g'(x) $乘法法则：$ (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $除法法则：$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} $2. 讲解导数的复合运算法则：-链式法则：$ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $-反函数法则：$ (f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $-乘积法则：$ (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $-商法则：$ \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} $四、巩固练习（15分钟）1. 让学生独立完成教材上的练习题。

数学高中导数定律教案

数学高中导数定律教案
教学目标：
1.理解导数的定义和意义。

2.掌握导数的基本运算法则。

3.掌握导数的常用定律。

教学重点：
1.导数的定义和基本运算法则。

2.导数的常用定律。

教学难点：
1.对导数的理解和应用。

2.导数的运算法则及定律的灵活运用。

教学准备：
1.教科书、教具、黑板、彩色粉笔。

2.学生练习本。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引导学生回顾导数的定义和意义，引出导数的运算法则和常用定律。

二、讲解导数的基本运算法则（10分钟）
1.导数的四则运算法则。

2.导数的复合函数法则。

三、讲解导数的常用定律（15分钟）
1.常数函数导数的定理。

2.幂函数导数的定理。

3.指数函数导数的定理。

4.对数函数导数的定理。

四、巩固练习（15分钟）
教师出示几道相关的练习题，让学生运用所学的导数定律进行练习，并进行讲解。

五、课堂小结（5分钟）
教师和学生一起回顾本节课的重点内容，并对导数的定律进行总结。

六、作业布置（5分钟）
布置相关的作业，要求学生运用导数的定律进行求解。

教学反思：
通过本节课的学习，学生能够掌握导数的基本运算法则和常用定律，并能够灵活运用导数
定律解决相关问题。

同时，教师也要引导学生多进行练习，加深对导数定律的理解和掌握。

导数公式和运算法则教案

导数公式和运算法则教案一、教学目标1.理解导数的定义和概念。

2.掌握导数的公式和运算法则。

3.能够灵活运用导数公式和运算法则解决实际问题。

二、教学准备1.教材：高中数学教材。

2.工具：黑板、彩色粉笔、教学PPT。

三、教学过程1.导入导数的定义和概念（15分钟）教师使用PPT展示导数的定义和概念，引导学生回顾导数的概念，并解释导数与函数的变化率之间的关系。

通过一些例题让学生感受导数的实际应用。

2.导数公式的介绍和讲解（30分钟）教师依次讲解常见函数的导数公式，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

对每个函数的导数公式进行逐一证明和解释，引导学生理解其中的推导过程。

3.导数的基本运算法则（30分钟）教师介绍导数的基本运算法则，包括常数规则、加减法则、乘法法则和除法法则。

通过实例演示，让学生理解和掌握这些运算法则的应用。

并提醒学生注意特殊情况和需要注意的问题。

4.实例演练与讨论（30分钟）教师提供一些实际问题，让学生利用导数公式和运算法则进行求解。

鼓励学生积极思考和参与讨论，提高他们的解题能力。

5.小结和课后作业（15分钟）教师对本节课的内容进行小结，并强调要求学生掌握导数的公式和运算法则。

布置相关的课后作业，巩固和深化学生的学习。

四、教学反思本节课通过对导数公式和运算法则的介绍和讲解，培养了学生对导数的理论和实际应用的理解能力，同时通过实例演练和讨论，培养了学生解决问题的能力和思维能力。

在教学过程中，教师注重直观性的解释和举例，并给予学生足够的练习机会，提高了学习效果。

同时，在教学过程中也注意对学生解题过程的引导和问题的提问，以激发学生的思考，提高他们的思维水平。

大学导数的计算教案

课时：2课时教学目标：1. 让学生理解导数的概念，掌握导数的定义和计算方法。

2. 使学生能够熟练运用导数公式和导数的运算法则求解简单函数的导数。

3. 培养学生运用导数解决实际问题的能力。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法。

2. 常用函数的导数公式和导数的运算法则。

教学难点：1. 导数的定义和计算方法的理解。

2. 导数公式的记忆和应用。

教学准备：1. 多媒体课件2. 导数公式和导数运算法则的表格3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习极限的概念，引入导数的概念。

2. 举例说明导数在物理学、经济学等领域的应用。

二、新课讲授1. 导数的定义：介绍导数的定义，让学生理解导数的概念。

2. 导数的计算方法：讲解导数的计算方法，包括导数的定义法和导数的公式法。

3. 常用函数的导数公式：介绍常用函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

三、例题讲解1. 利用导数的定义法求导数的例题。

2. 利用导数公式法求导数的例题。

3. 利用导数的运算法则求导数的例题。

四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

第二课时一、复习1. 回顾导数的定义和计算方法。

2. 回顾常用函数的导数公式和导数的运算法则。

二、新课讲授1. 导数的几何意义：讲解导数的几何意义，让学生理解导数与函数图像的关系。

2. 导数的物理意义：讲解导数的物理意义，让学生理解导数在物理学中的应用。

三、例题讲解1. 利用导数的几何意义和物理意义求解例题。

2. 利用导数求解实际问题。

四、课堂练习1. 让学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

五、总结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 鼓励学生在课后复习，加强巩固。

教学评价：1. 通过课堂练习和课后作业，了解学生对导数的掌握程度。

2. 通过课堂提问和课堂讨论，评估学生对导数的理解和应用能力。

教学反思：1. 根据学生的反馈，调整教学方法和教学内容。

2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

(完整版)基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则

全国中小学“教学中的互联网搜索”优秀教学案例评选教案设计高中数学人教A版选修1-13、2、2基本初等函数的导数公式及导数的四则运算一、教案背景：面向学生：周村区实验中学学科：数学课时：1课时二、教学目标：熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．三、教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则四、教学难点：基本初等函数导数公式和导数的四则运算法则的应用五、教材分析：教科书直接给出基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，不要求根据导数定义推导这些公式和法则，只要求能够利用他们能求简单函数的导数即可。

在教学中，适量的联系对于熟悉公式和法则的运用是必要的，但应避免过量的形式化的运算联系。

六、教学方法及教学思路：运用“721”信息化课堂教学模式----“自主、展示、合作、交流、引领”，本课的设计内容分为以下几个部分：1、回顾公式、寻找技巧2、自主探究、合作学习3、成果展示，汇报交流4、归纳总结，提升拓展5、反馈训练，巩固落实6、总结本节复习要点及课后作业的布置七、教学过程1、回顾公式、寻找技巧基本初等函数的导数公式：导数的四则运算法则：函数的和、差、积、商的求导法则：简单复合函数的求导：函数其中和都可导，则： 2、自主探究、合作学习针对性训练：求下列函数的导数3、成果展示，汇报交流学生分学习小组到黑板上板书本组解决的任务，并且进行讲解，同时指出本题目所运用的数学思想和数学方法。

4、归纳总结，提升拓展总结反思：1、先观察函数是由哪些子函数组成。

2、再观察有哪些运算法则。

3、拿到题目不要急于动手计算，先要分析清楚函数的组合成员xx y sin 34+=）（3229+=x e y ）（5)35(7+=x y ）（（4）y=xsinx )5)(23(62-+=x x y ）（)12(log 103+=x y ）（)32sin(8π+=x y ）（)(x g u =xu x u f y '''⋅=)(u f y =))((x g f y =26331x x x y -+=）（x e y x cos 2-=）（（5）y=tanx再进行拆分。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿教案教学设计

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、学习目标掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法．二、重点难点本节的重点是：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即 (u ±v )′＝u ′±v ′ (uv )′＝uv ′＋u ′v (vu )′＝2v v u v u '-'．本节的难点是：积的导数和商的导数的正确求法．三、典型例题例1求下列导数（1）y ＝xx --+1111；（2）y ＝x · sin x · ln x ；（3）y ＝x x 4；（4）y ＝x x ln 1ln 1+-．【点评】如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．例2求函数的导数① y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x② y ＝xx x x x x sin cos cos sin +- 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？【解】（1）把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4．∴ 切点为（1，－4）．y ′＝12 x 3－6 x 2－18 x ，∴ 切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．∴ 切线方程为y ＋4＝－12（x －1），即y ＝－12 x ＋8．由⎩⎨⎧+-=+--=8124923234x y x x x y 得 3 x 4－2 x 3 －9 x 2＋12 x －4＝0(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0x ＝1，－2，32．代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（32，0）．除切点外，还有两个交点（－2，32）、（32，0）．【点评】直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．例4曲线S ：y ＝x 3－6 x 2－x ＋6哪一点切线的斜率最小？设此点为P （x 0，y 0）．证明：曲线S 关于P 中心对称．【解】y ′＝3 x 2－12 x －1当x ＝3212 ＝2时，y ′有最小值，故x 0＝2，由P ∈S 知：y 0＝23－6 · 22－2＋6＝－12即在P （2，－12）处切线斜率最小．设Q （x ，y ）∈S ，即y ＝x 3－6 x 2－x ＋6则与Q 关与P 对称的点为R （4－x ，－24－y ），只需证R 的坐标满足S 的方程即可． (4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6＝64－48 x ＋12 x 2 －x 3－6（16－8 x ＋x 2）＋x ＋2＝－x 3 ＋6 x 2 ＋x －30＝－x 3 ＋6 x 2 ＋x －6－24＝－y －24故R ∈S ，由Q 点的任意性，S 关于点P 中心对称．。

导数的四则运算教案

导数的四则运算教案
一、教学目标
1. 理解导数的四则运算，掌握导数的加、减、乘、除运算规则。

2. 能够运用导数的四则运算规则解决一些简单的实际问题。

3. 培养学生的数学逻辑思维和运算能力。

二、教学内容
1. 导数的加法运算规则
2. 导数的减法运算规则
3. 导数的乘法运算规则
4. 导数的除法运算规则
三、教学难点与重点
难点：理解导数的四则运算规则，掌握其应用方法。

重点：导数的加、减、乘、除运算规则。

四、教具和多媒体资源
1. 黑板
2. 投影仪
3. 教学软件：几何画板
五、教学方法
1. 激活学生的前知：回顾导数的定义和性质，为学习导数的四则运算做准备。

2. 教学策略：通过讲解、示范、小组讨论等方式进行教学。

3. 学生活动：进行导数的四则运算练习，解决实际问题。

六、教学过程
1. 导入：通过实际问题导入，例如：速度的变化与加速度的关系，曲线的切线斜率等。

2. 讲授新课：讲解导数的四则运算规则，并举例说明。

3. 巩固练习：给出几个实际问题，让学生运用导数的四则运算规则求解。

4. 归纳小结：总结导数的四则运算规则，强调在实际问题中的应用。

七、评价与反馈
1. 设计评价策略：通过课堂小测验或小组报告的方式评价学生的学习效果。

2. 为学生提供反馈：根据学生的测验或报告结果，为学生提供学习建议和指导。

八、作业布置
1. 完成教材上的相关练习题。

2. 自行寻找一些实际问题，运用导数的四则运算规则求解。

《导数的概念教案》

《导数的概念教案》word版第一章：导数的概念1.1 导入利用实际例子引入变化率的概念，如物体运动的速度、温度变化等。

引导学生思考如何描述函数在某一点的“变化率”。

1.2 导数的定义介绍导数的定义：函数在某一点的导数是其在该点的切线斜率。

解释导数的几何意义：函数图像在某一点的切线斜率。

强调导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

1.3 导数的计算介绍导数的计算方法：极限法、导数的基本公式、导数的运算法则。

强调导数计算中需要注意的问题，如函数的连续性、可导性等。

1.4 导数的应用介绍导数在实际问题中的应用，如最优化问题、物理运动问题等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第二章：导数的性质与法则2.1 导数的性质介绍导数的性质，如单调性、连续性、可导性等。

通过实例引导学生理解导数性质的应用。

2.2 导数的运算法则介绍导数的运算法则，如四则运算法则、复合函数运算法则等。

利用导数的运算法则进行函数求导。

2.3 导数的应用利用导数研究函数的单调性、极值、拐点等。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题。

第三章：函数的单调性与极值3.1 函数的单调性介绍函数单调性的概念，如何判断函数的单调性。

利用导数判断函数的单调性。

3.2 函数的极值介绍函数极值的概念，如何求解函数的极值。

利用导数求解函数的极值。

3.3 函数的拐点介绍函数拐点的概念，如何求解函数的拐点。

利用导数求解函数的拐点。

第四章：导数在实际问题中的应用4.1 运动物体的瞬时速度与加速度利用导数求解运动物体的瞬时速度与加速度。

解释瞬时速度与加速度的概念及物理意义。

4.2 函数的最值问题利用导数求解函数的最值问题。

解释最值问题的实际意义，如成本最小化、收益最大化等。

4.3 曲线的切线与法线利用导数求解曲线的切线与法线。

解释切线与法线的概念及几何意义。

第五章：高阶导数与隐函数求导5.1 高阶导数介绍高阶导数的概念，如何求解高阶导数。

强调高阶导数在实际问题中的应用，如加速度与瞬时加速度的关系。

基本初等函数导数公式及导数运算法则教案导学案有答案

§根本初等函数的导数公式及导数的运算法那么课前预习教案一．预习目标1．娴熟掌握根本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二．预习内容1．根本初等函数的导数公式表导数的运算法那么导数运算法那么函数导数1．2．3．〔2〕推论：〔常数与函数的积的导数，等于：〕三．提出迷惑同学们，经过你的自主学习，你还有哪些迷惑，请把它填在下边的表格中迷惑点迷惑内容课内研究教案一．学习目标1．娴熟掌握根本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四那么运算法那么；3．能利用给出的根本初等函数的导数公式和导数的四那么运算法那么求简单函数的导数二．学习过程〔一〕。

【复习回想】复习五种常有函数、、、、的导数公式填写下表〔二〕。

【提出问题，展现目标】函数导数我们知道,函数的导数为，此后看见这类函数就能够直接按公式去做，而不用用导数的定义了。

那么其余根本初等函数的导数怎么呢又怎样解决两个函数加。

减。

乘。

除的导数呢这一节我们就来解决这个问题。

〔三〕、【合作研究】1．〔1〕分四组对比记忆根本初等函数的导数公式表函数导数〔2〕依据根本初等函数的导数公式，求以下函数的导数．（1〕与（2〕与〔1〕记忆导数的运算法那么，比较积法那么与商法那么的同样点与不一样点导数运算法那么1．2．3．推论：〔常数与函数的积的导数，等于：〕提示：积法那么,商法那么, 都是前导后不导, 前不导后导,但积法那么中间是加号, 商法那么中间是减号.2〕依据根本初等函数的导数公式和导数运算法那么，求以下函数的导数．1〕2〕；3〕；4〕；【评论】①求导数是在定义域内推行的．②求较复杂的函数积、商的导数，一定仔细、耐心．〔四〕．典例精讲例1：假定某国家在20年时期的年均通货膨胀率为，物价〔单位：元〕与时间〔单位：年〕有以下函数关系，此中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这类商品的价钱上升的速度大概是多少〔精准到〕剖析：商品的价钱上升的速度就是：解：变式训练1：假如上式中某种商品的，那么在第10个年头，这类商品的价钱上升的速度大概是多少〔精准到〕例2平时生活中的饮水往常是经过净化的．跟着水贞洁度的提升，所需净化花费不停增添．将1吨水净化到贞洁度为时所需花费〔单位：元〕为求净化到以下贞洁度时，所需净化花费的刹时变化率：〔1〕〔2〕剖析：净化花费的刹时变化率就是：解：比较上述运算结果，你有什么发现（三．反省总结：（1〕分四组写出根本初等函数的导数公式表：（2〕导数的运算法那么：四．当堂检测求以下函数的导数〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕4.求以下函数的导数5.〔1〕〔2〕6.课后练习与提升7.1．函数在处的导数为 3，那么的分析式可能为：8. B9.CD10.2．函数的图像与直线相切，那么11. A B C D 112.设函数在点〔1,1〕处的切线与轴的交点横坐标为，那么13. A B C D 114.曲线在点〔0,1〕处的切线方程为-------------------15.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线在点P处的切线的斜率为2，那么P点的坐标为------------6.函数的图像过点P〔0,2〕，且在点处的切线方程为，求函数的分析式。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿教案教学设计

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则整体设计教材分析本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作用．在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法．但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的．因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程．因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致．复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容．教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数．教材层层深入，由易到难，给我们展示了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生．因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂．课时分配2课时．第1课时(基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)；第2课时(复合函数的求导法则)．第1课时教学目标1．知识与技能目标(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法目标能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用．在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．重点难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．教具准备：多媒体教学过程引入新课首先回顾一下上一节的内容，从导数的定义出发，按求导数的三个步骤推导了五个常用函数y＝c、y＝x、y＝x2、y＝1x、y＝x的导数公式：是不是所有的函数求导都必须按那三个步骤来求呢？回答是否定的．为了方便，我们有一个基本初等函数的导数公式表，今后我们直接可以使用基本初等函数的导数公式表来求函数的导数．这一节我们就看一下基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．(板书课题) 探究新知(一)基本初等函数的导数公式表(板书)这八个常用的基本初等函数的导数，包括常函数、幂函数(指数为非0有理数)、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数，其中每一个公式都可以根据导数的定义推导出来，但这里不做要求．给学生时间先记忆这八个基本初等函数的导数公式．(二)导数的运算法则(1)导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．提问1：若法则2中的f(x)＝k(常数)，其结果是什么？活动成果：根据[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，[kg(x)]′＝0·g(x)＋kg′(x)．所以有以下推论(板书)：(2)推论：[cf(x)]′＝cf′(x)．(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)运用新知例1求(1)y＝x9；(2)y＝5x；(3)y＝3x.答案：(1)y′＝9x8；(2)y′＝5x ln5；(3)y′＝3x ln3.例2假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)＝p0(1＋5%)t，其中p0为t＝0时的物价．假定某种商品的p0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?解：根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)＝1.05t ln1.05.所以p′(10)＝1.0510ln1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．变式应用如果上述某种商品的p0＝5，那么第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？根据基本初等函数导数公式表，有p′(t)＝5×1.05t ln1.05.所以p′(10)＝5×1.0510ln1.05≈0.40(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.40元/年的速度上涨．从这里看出，当p0＝5时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)＝5与g(t)＝1.05t乘积的导数．上面的导数运算法则可以帮我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题．(板书) 例3求下面函数的导数(1)y＝x4－x3＋sinx＋e x；(2)y＝x7＋x3－x＋10.思路启迪：这两个函数都是由几个初等函数的代数和构成的，求它们的导数只要利用和与差的求导法则及前面的导数公式即可得出正确的答案．规范解法解：(1)y′＝(x4)′－(x3)′＋(sinx)′＋(e x)′＝4x3－3x2＋cosx＋e x.(2)y′＝(x7)′＋(x3)′－(x)′＋(10)′＝7x6＋3x2－1.设计意图熟悉基本初等函数的导数公式，也熟悉一下导数的加减法运算法则．在应用中熟记基本初等函数的导数公式．例4根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．(1)y＝x3－2x＋3；(2)y＝11＋x－11－x；(3)y＝x·sinx·lnx；(4)y＝x 4x.解：(1)y′＝(x3－2x＋3)′＝(x3)′－(2x)′＋(3)′＝3x2－2，∴y′＝3x2－2.(2)y′＝(11＋x )′－(11－x)′＝－(1＋x)′(1＋x)2＋(1－x)′(1－x)2＝－12x(1＋x)2＋－12x(1－x)2＝12x [－1(1＋x )2－1(1－x )2]＝－12x·(1＋x )2＋(1－x )2(1－x )2＝－(1＋x )x x (1－x )2，∴y ′＝－(1＋x )xx (1－x )2.(3)y ′＝(x·sinx·lnx)′＝[(x·lnx)·sinx]′＝(x·lnx)′·sinx ＋(x·lnx)·(sinx)′ ＝(1·lnx ＋x·1x )·sinx ＋(x·lnx)·cosx ＝sinx ＋lnx·sinx ＋x·lnx·cosx ，∴y ′＝sinx ＋lnx·sinx ＋x·lnx·cosx.(4)y ′＝(x4x )′＝x ′·4x －x·(4x )′(4x )2＝1×4x －x·4x ln4(4x )2＝1－xln44x，∴y ′＝1－xln44x . 点评：①求导数是在定义域内进行的；②求较复杂的函数积、商的导数，必须要细心、耐心．设计意图(1)强化基本初等函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对学生在应用中存在的问题加以指导．例5日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝5 284100－x(80<x<100)．求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%；(2)98%. 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． c ′(x)＝(5 284100－x )′＝5 284′×(100－x )－5 284×(100－x )′(100－x )2＝0×(100－x )－5 284×(－1)(100－x )2＝ 5 284(100－x )2.(1)因为c ′(90)＝ 5 284(100－90)2＝52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．(2)因为c ′(98)＝ 5 284(100－98)2＝1 321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1 321元/吨．函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，c ′(98)＝25c ′(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．设计意图(1)强化对函数的导数公式的记忆和导数的运算法则的熟练应用；(2)了解学生对公式的掌握程度；(3)对现实生活中的问题如何运用所学进行解答．变练演编1．求函数y ＝x 3cosx 的导数y ′.思路分析：该函数是由两个基本初等函数y ＝x 3与y ＝cosx 的积所构成，而y ＝x 3与y ＝cosx 的导数我们知道，两个函数的积的求导法则我们学过，因此只要能正确运用两个函数的积的求导法则与y ＝x 3和y ＝cosx 的求导公式，该题将迎刃而解．解：由两个函数积的求导法则得y ′＝(x 3cosx)′＝(x 3)′cosx ＋x 3(cosx)′＝3x 2cosx －x 3sinx. 2．求下列函数的导数． (1)y ＝1－lnx1＋lnx； (2)y ＝(2x 2－5x ＋1)e x ； (3)y ＝sinx －xcosx cosx ＋xsinx.解：(1)y ′＝(1－lnx 1＋lnx )′＝(－1＋21＋lnx )′＝2(11＋lnx )′＝2·－1x (1＋lnx )2＝－2x (1＋lnx )2，∴y ′＝－2x (1＋lnx )2.(2)y ′＝(2x 2－5x ＋1)′·e x ＋(2x 2－5x ＋1)·(e x )′＝(4x －5)·e x ＋(2x 2－5x ＋1)·e x ＝(2x 2－x －4)·e x ，∴y ′＝(2x 2－x －4)·e x .(3)y ′＝(sinx －xcosx cosx ＋xsinx )′＝(sinx －xcosx )′·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·(cosx ＋xsinx )′(cosx ＋xsinx )2＝(cosx －cosx ＋xsinx )·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·(－sinx ＋sinx ＋xcosx )(cosx ＋xsinx )2＝xsinx·(cosx ＋xsinx )－(sinx －xcosx )·xcosx (cosx ＋xsinx )2＝x 2(cosx ＋xsinx )2，∴y ′＝x 2(cosx ＋xsinx )2.达标检测一、选择题1．函数y ＝lgx 的导数为( )A.1xB.1x ln10C.1xln10D.1xlge 2．函数y ＝(1a )x (a>0，且a ≠1)的导数为( )A ．(1a )x lnaB ．－a －x lnaC ．a －x lna D ．a x ln 1a3．设f 0(x)＝sinx ，f 1(x)＝f 0′(x)，f 2(x)＝f 1′(x)，…，f n ＋1(x)＝f n ′(x)，n ∈N ，则f 2 009(x)等于( )A ．sinxB ．－sinxC ．cosxD ．－cosx 二、填空题1．函数f(x)＝101的导数是__________． 2．函数y ＝3x 在x ＝1处的导数为__________．3．f(x)＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a ＝__________.4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 5．物体的运动方程为s ＝t 5，则物体在t ＝2时的瞬时速度为__________． 6．给出下列命题，其中正确的命题是__________．(填序号)(1)任何常数的导数都为零；(2)直线y ＝2x 上任一点处的切线方程是这条直线本身； (3)双曲线y ＝1x上任意一点处的切线斜率都是负值；(4)函数y ＝2x 和函数y ＝x 2在(0，＋∞)上函数值增长的速度一样快． 7．函数y ＝lnx 在x ＝1处的切线方程为____________________．答案：一、1.C 2.B 3.C二、1.0 2.13 3.1034.4x －y －3＝05.806.(1)(2)(3)7.x －y －1＝0课堂小结前面，我们不仅知道了所有的基本初等函数的导数公式，而且还知道了函数的和、差、积、商的求导法则．因此，现在我们可以说，一切基本初等函数的求导问题基本上都得以解决．事实上，根据初等函数的定义，初等函数是可以用一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数(常函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数)经过有限次的四则运算构成的，所以任何初等函数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来．因此，前面给出的公式和求导法则，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用．为了便于查阅和记忆，现将这些公式和求导法则归纳如下：基本初等函数的导数公式表导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；3．[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．第2课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解并掌握复合函数的复合过程．(2)理解并熟练掌握复合函数的求导法则．2．过程与方法目标首先明白复合函数的复合过程，对中间变量的理解是学好对复合函数的求导的关键．在熟悉构成的基础上，利用所给的求导法则求出复合函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习复合函数的复合过程和复合函数的求导法则，让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用，体会导数在现实生活中的应用价值，从而提高数学的应用能力，同时也让学生学会人与人之间的相互依存关系和在以后的为人处事中懂得如何做到有计划、有步骤地解决遇到的各类问题．重点难点重点：复合函数的求导方法．复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．难点：正确理解复合函数的复合过程，做到不重、不漏、熟练、正确．教具准备多媒体课件．教学过程导入新课上节课我们一起学习了基本初等函数的导数公式和导数运算法则，我们大家来默写一下这些公式．活动设计：三个同学上黑板进行默写，并求函数y＝(3x－2)2的导数．基本初等函数的导数公式表导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)； 2．[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)；3．[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g(x)≠0)．默写完后，给予点评．设计意图让学生熟记这两组公式，并能熟练掌握公式，为下一步学习复合函数求导引出问题．提出问题问题1：求函数y ＝(3x －2)2的导数，除了把函数y ＝(3x －2)2的表达式先展开，再利用导数的四则运算法则求导，是否还有其他的求导方法呢？问题2：函数f(x)＝lnx 的导数是什么？函数f(x)＝ln(3x ＋2)的导数又是什么？学情预测：f(x)＝lnx 的导数是f ′(x)＝1x ，函数f(x)＝ln(3x ＋2)的导数是f ′(x)＝33x ＋2.回答得对不对呢？我们今天就来学习复合函数的求导法则．探究新知(一)复合函数首先分析函数y ＝ln(3x ＋2)的结构特点．若设u ＝3x ＋2(x>－23)，则y ＝lnu.从而函数y ＝ln(3x ＋2)可以看成是由函数y ＝lnu 和函数u ＝3x ＋2(x>－23)经过“复合”得到的．即y 可以通过中间变量u 表示成自变量x 的函数．如果把y 与u 的关系记作y ＝f(u)，u 与x 的关系记作u ＝g(x)，那么这个“复合”过程可以表示为y ＝f(u)＝f(g(x))＝ln(3x ＋2)．我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的．例如，函数y ＝(3x －2)2是由y ＝u 2和u ＝3x －2“复合”而成等等．一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．理解新知例1指出下列函数是怎样复合而成的．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)；(4)y ＝sin 2(1－1x)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sinu 和u ＝πx ＋φ的复合函数．(4)函数y ＝sin 2(1－1x )可以看作函数y ＝u 2和u ＝sinv 及v ＝1－1x的复合函数．活动成果：使学生明白什么是复合函数和复合函数的复合过程．设计意图通过对这几个函数的分解，使学生明白复合函数的复合过程，为下面复合函数的求导打下基础．例2写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝lnu ，u ＝12x －3； (2)y ＝e u ，u ＝3x ＋5.解：(1)y ＝ln(12x －3)； (2)y ＝e 3x ＋5.设计意图不仅要使学生懂得如何分解复合函数，还要让学生明白函数的复合过程，使学生对问题触类旁通，达到举一反三的效果．探究新知问题：对复合函数如何求导数呢？(二)复合函数的求导法则复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′(y x ′表示y 对x 的导数)，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．(板书)理解新知例3求下列函数的导数．(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln(3x ＋2)．解：(1)因为函数y ＝(3x －2)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝3x －2的复合函数，所以y ＝(3x －2)2对x 的导数等于y ＝u 2对u 的导数与u ＝3x －2对x 的导数的乘积．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝2u·3＝6u ＝6(3x －2)＝18x －12.(2)因为函数y ＝ln(3x ＋2)可以看作函数y ＝lnu 和u ＝3x ＋2的复合函数，所以y x ′＝y u ′·u x ′＝(lnu)′·(3x ＋2)′＝1u ·3＝33x ＋2. 设计意图发现真正出错的原因，使得对复合函数的求导法则的认识更加明确，便于以后的学习．运用新知例4(课本例4)求下列函数的导数．(1)y ＝(2x ＋3)2；(2)y ＝e －0.05x ＋1；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中π，φ均为常数)．解：(1)函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′(2x ＋3)′＝4u ＝8x ＋12.(2)函数y ＝e －0.05x ＋1可以看作函数y ＝e u 和u ＝－0.05x ＋1的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(e u )′(－0.05x ＋1)′＝－0.05e u ＝－0.05e －0.05x ＋1.(3)函数y ＝sin(πx ＋φ)可以看作函数y ＝sinu 和u ＝πx ＋φ的复合函数．根据复合函数的求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(sinu)′(πx ＋φ)′＝πcosu ＝πcos(πx ＋φ)．点评：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于对自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节，并及时化简计算结果．[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也容易求，然后再利用复合函数的，导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”的不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]对例4(1)中求导数的步骤进行归纳总结：函数y ＝(2x ＋3)2可以看作函数y ＝u 2和u ＝2x ＋3的复合函数．分解y u ′＝2u ，u x ′＝2. 求导y x ′＝y u ′·u x ′＝2u·2. 相乘函数y ＝(2x ＋3)2的导数是y x ′＝4u ＝4(2x ＋3)．回代总结：复合函数求导的基本步骤是：(1)分解；(2)求导；(3)相乘；(4)回代．例5求下列函数的导数．(1)y ＝x －ax 2－2ax ；(2)y ＝sin 4x ＋cos 4x.解：(1)y ′＝1·x 2－2ax －(x －a )·2x －2a 2x 2－2ax x 2－2ax ＝－a 2(x 2－2ax )x 2－2ax＝－a 2x 2－2ax (x 2－2ax )2，y ′＝－a 2x 2－2ax (x 2－2ax )2. 点评：本题是求商的导数和复合函数的导数，求导数后要予以化简整理．(2)解法一：y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x)2－2sin 2xcos 2x ＝1－12sin 2(2x) ＝1－14(1－cos4x)＝34＋14cos4x.y ′＝－sin4x. 解法二：y ′＝(sin 4x)′＋(cos 4x)′＝4sin 3x(sinx)′＋4cos 3x(cosx)′＝4sin 3xcosx ＋4cos 3x(－sinx)＝4sinxcosx(sin 2x －cos 2x)＝－2sin2xcos2x ＝－sin4x.点评：解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意准确变形；解法二是对复合函数求导数，应注意不漏步．设计意图本例题练习复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的导数求解法则，意在巩固基本初等函数的导数公式与复合函数的求导法则，熟练掌握复合函数的导数求法．巩固练习求下列函数的导数．(1)y ＝(2x －3)3；(2)y ＝(1－3x)3；(3)y ＝sin(3x ＋π3)；(4)y ＝x 2＋1. 答案：(1)y x ′＝6(2x －3)2；(2)y x ′＝－9(1－3x)2；(3)y x ′＝3cos(3x ＋π3)；(4)y x ′＝x x 2＋1. 变练演编求下列函数的导数．(1)y ＝e 2x ＋5；(2)y ＝53x －1；(3)y ＝log 3(2x ＋4)；(4)y ＝sin2x －cos(3x －2)；(5)y ＝2xsin(2x ＋5)．答案：(1)y x ′＝2e 2x ＋5；(2)y x ′＝3(53x －1ln5)；(3)y x ′＝2(2x ＋4)ln3； (4)y x ′＝2cos2x ＋3sin(3x －2)；(5)y x ′＝2sin(2x ＋5)＋4xcos(2x ＋5)．设计意图本题意在进一步熟练对复合函数之间的加、减、乘、除四则运算构成的新函数的求导进行计算．课堂小结。

导数的运算教案大学

课程名称：高等数学授课对象：大学本科生课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的四则运算法则，掌握其应用。

2. 通过实例练习，提高运用导数四则运算法则解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。

教学重点：1. 导数的四则运算法则。

2. 运用导数四则运算法则解决实际问题。

教学难点：1. 理解导数四则运算法则的推导过程。

2. 正确运用导数四则运算法则解决实际问题。

教学准备：1. 多媒体课件2. 导数四则运算法则的相关资料3. 实例练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习导数的定义和求导方法。

2. 引入导数的四则运算法则，提出本节课的学习目标。

二、新课内容1. 导数的四则运算法则：（1）导数的加法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)。

（2）导数的减法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)。

（3）导数的乘法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，则[f(x)g(x)]' =f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。

（4）导数的除法法则：若f(x)和g(x)在x处可导，且g(x) ≠ 0，则[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。

2. 导数四则运算法则的推导过程。

3. 运用导数四则运算法则解决实际问题。

三、实例练习1. 给出几个函数，让学生运用导数四则运算法则求出它们的导数。

2. 给出几个实际问题，让学生运用导数四则运算法则解决。

四、总结1. 总结本节课所学内容，强调导数四则运算法则的重要性。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

第二课时一、复习1. 复习上节课所学的导数四则运算法则。

2. 提出本节课的学习目标。

二、新课内容1. 深入探讨导数四则运算法则的应用。

数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案

数学基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】§则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用教学过程：一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表（二）导数的运算法则导数运算法则1．[]'''()()()()f x g x f x g x ±=±2．[]'''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ⋅=±3．[]'''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦ （2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）函数导数函数导数三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+（2）y ＝xx --+1111；（3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝x x 4；（5）y ＝xx ln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x x x x sin cos cos sin +- 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．（1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大(98)25(90)c c约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．。

高中数学导数运算方法教案

高中数学导数运算方法教案让我们回顾一下导数的定义。

简单来说，导数描述的是函数在某一点处的瞬时变化率。

对于函数$ f(x) $，如果其在某一点$ x_0 $处可导，那么该点的导数记作$ f'(x_0) )，表示当\( x $从$ x_0 $变动一个非常小的量时，函数值的变化与$ x $的变化量的比值。

我们将通过几个关键点来展开我们的教案：1. 导数的基本公式在学习导数运算之前，我们必须熟悉一些基本的导数公式。

这些公式是解决更复杂问题的基础，例如：- 常数的导数是0：$ (C)' = 0 $- 幂函数的导数：$ (x^n)' = nx^{n-1} $- 指数函数的导数：( (e^x)' = e^x \)- 对数函数的导数：( (\ln x)' = frac{1}{x} \)- 三角函数的导数：\( (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x )2. 导数的运算法则了解了基本公式后，我们需要学习如何应用这些公式来解决实际问题。

这包括了以下几个重要的运算法则：- 和差法则：$ [f(x) \m g(x)]' = f'(x) \m g'(x) $- 乘积法则：$ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $- 商法则：$ \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]' = frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $3. 高阶导数当我们遇到需要重复求导的情况时，就需要考虑高阶导数。

高阶导数可以帮助我们理解函数曲线的凹凸性和拐点等特性。

4. 实际应用我们将通过一系列的实际例题来巩固和应用我们所学的知识点。

这些例题将涵盖物理运动的速度和加速度计算、经济学中的成本和收益分析等领域。

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