牛顿拉夫逊算法
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
牛顿拉夫逊法
并将雅可比矩阵分块，把每个2 2 阶子
阵
如MH
ij ij
Nij H ij
Lij
Rij
N ij S ij
等
作为分块矩阵的
元素，则按节点号顺序而构成的分块雅
可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的
稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。
(4) 和节点导纳矩阵具有相同稀疏结 构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但 由于H ij H ji , Nij N ji , M ij M ji , Lij L ji ， 所以雅可比矩阵不是对称阵。
1 对于稀疏矩阵，在计算机中只储存其非 零元素，且只有非零元素才参加运算。
2 修正方程式的求解过程，采用对包 括修正方程常数项的增广矩阵以按行消 去的方式进行消元运算。由于消元运算 按行进行，因此可以边形成增广矩阵， 边进行消元运算，边存储结果，即每形 成增广矩阵的一行，便马上进行消元， 并且消元结束后便随即将结果送内存存 储。
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
(
2!
)
(
x
x0
)，2
在 x0 和 x* 之间。
将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 )
y
x*
x0
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x1 x0
节点编号优化通常有三种方法： (1) 静态法―按各节点静态连接支路数
的多少顺序编号。由少到多编号； (2) 半动态法一按各节点动态连接支路
数的多少顺序编号； (3) 动态法一按各节点动态增加支路数
的多少顺序编号。 消去节点后出现新支路数最少的节点。
牛顿-拉夫逊算法(极坐标)潮流计算算例
极坐标系下的潮流计算
潮流计算
在电力系统中，潮流计算是一种常用的计算方法，用于确定在给定网络结构和参数下，各节点的电压 、电流和功率分布。在极坐标系下进行潮流计算，可以更好地描述和分析电力系统的电磁场分布和变 化。
极坐标系下的潮流计算特点
在极坐标系下进行潮流计算，可以更直观地描述电力线路的走向和角度变化，更好地反映电力系统的 复杂性和实际情况。此外，极坐标系下的潮流计算还可以方便地处理电力系统的非对称性和不对称故 障等问题。
03
CATALOGUE
极坐标系下的牛顿-拉夫逊算法
极坐标系简介
极坐标系
一种二维坐标系统，由一个原点（称为极点）和一条从极点出发的射线（称为 极轴）组成。在极坐标系中，点P的位置由一个角度θ和一个距离r确定。
极坐标系的应用
极坐标系广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，特别是在电力系统和通 信网络中，用于描述电场、磁场、电流和电压等物理量的分布和变化。
极坐标形式
将电力系统的节点和支路参数以极坐 标形式表示，将实数问题转化为复数 问题，简化计算过程并提高计算效率 。
02
CATALOGUE
牛顿-拉夫逊算法原理
算法概述
牛顿-拉夫逊算法是一种迭代算法，用于求解非线性方程组。在电力系统中，它 被广泛应用于潮流计算，以求解电力网络中的电压、电流和功率等参数。
准确的结果。
通过极坐标系的处理，算法 能够更好地处理电力系统的 复杂结构和不对称性，提高 了计算的准确性和适应性。
算例分析表明，该算法在处理 大规模电力系统时仍具有较好 的性能，能够满足实际应用的
需求。
展望
进一步研究牛顿-拉夫逊算法在极坐标 系下的收敛性分析，探讨收敛速度与电 力系统规模、结构和参数之间的关系， 为算法的优后的电压、电流和功 率等参数。
Newton-Raphson算法
Newton-Raphson算法简介⽜顿法⼜叫做⽜顿-拉裴森（Newton-Raphson）⽅法，是⼀维求根⽅法中最著名的⼀种。
其特点是在计算时需要同时计算函数值与其⼀阶导数值，从⼏何上解释，⽜顿法是将当前点处的切线延长，使之与横轴相交，然后把交点处值作为下⼀估值点。
图1从数学上解释，⽜顿法可以从函数的泰勒展开得到。
f(x)的泰勒展开可以表⽰为：f(x+\delta)=f(x)+f’(x)\delta+\frac{f’’(x)}{2}\delta^2+O(\delta^3)对于⾜够⼩的\delta，可以将只保留上式右端关于的⼀阶项，得到：\delta=-\frac{f(x)}{f’(x)}于是得到由到的递推公式：x_{i+1}=x_{i}+\delta=x_i-\frac{f(x_i)}{f’(x_i)}可见⽜顿法是让x沿着f(x)梯度的⽅向下降，类似于最优化⽅法中的梯度下降法。
⽜顿法也可以作为最优化算法，只不过那时需要求函数的⼆阶导数。
⽜顿法相⽐⼆分法、截弦法的优点是收敛速度可以达到⼆阶，在根附近没迭代⼀次，结果的有效数字⼏乎可以翻倍。
当然⽜顿法也可能可能失败，⽐如收敛到⼀个局部极值，其切线⽅向与横轴⽔平，从⽽⽆法计算下⼀个迭代值。
另外，⽜顿法的实现需要⽤户提供⼀个函数⽤于计算函数值f(x)与其⼀阶导数值f'(x)，因此⽐较适合函数的导数可以解析求出的情况，如果需要求数值导数，则⽜顿法的收敛速度和精度都会受影响。
我们可以将⽜顿法和⼆分法综合起来形成⼀个混合算法，⼀旦⽜顿法在运⾏过程中出现解跳出给定区间或者猜测值远离实际根导致收敛速度较慢时，就采取⼀步⼆分法。
实现⼀：利⽤预先求出的⼀阶导函数import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(FV, PMT, r, n):return PMT * (1 + r) * (((1 + r)**n - 1)) / r + FVdef df(FV, PMT, r, n):r_plus_1_power_n = (1 + r)**np1 = N * PMT * r_plus_1_power_n / rp2 = -PMT * (r + 1) * (r_plus_1_power_n - 1) / r / rp3 = PMT * (r_plus_1_power_n - 1) / rreturn p1 + p2 + p3def newtonRaphson2(FV,PMT,n,f,df,xmin,xmax,maxit,shift=0.0001,tol=1.0e-9):'''函数作⽤说明：计算组合收益率FV：⽬标⾦额PMT：每期投资⾦额n:定投期数f：函数值（根据要求的⽅程⾃定义）df：导数值（根据要求的⽅程⾃定义）xmin：根的下限xmax：根的上限maxit：最⼤迭代次数tol：计算精度'''import mathfxmin = f(FV, PMT, xmin, n)if fxmin == 0.0:return xminfxmax = f(FV, PMT, xmax, n)if fxmax == 0.0:return xmaxif fxmin * fxmax > 0.0:print('Root is not bracketed') # 在[xmin, xmax]内函数不变号（没根），或者是变了偶数次号（多个根）return 1if fxmin < 0.0: # 确定搜索⽅向使f(xl)<0xl = xminxh = xmaxelse:xl = xmaxxh = xminx = 0.5 * (xmin + xmax) # 根的预测值if x == 0:x += shiftfx, dfx = f(FV, PMT, x, n), df(FV, PMT, x, n) # 求f(x)和其⼀阶导数dxold = math.fabs(xmax - xmin) # 储存步长dx = dxoldfor ii in range(maxit):# ⽜顿法的解跳出解区间或者收敛速度太慢，则下⼀步改⽤⼆分法if ((x - xh) * dfx - fx) * ((x - xl) * dfx - fx) > 0.0 or (math.fabs(2 * fx) > math.fabs(dxold * dfx)):# ⼆分法dxold = dxdx = 0.5 * (xh - xl)x = xl + dxelse:# ⽜顿法dxold = dxdx = fx / dfxtemp = xx -= dxif temp == x:print("total iterate time:%s " % ii)return xif math.fabs(dx) < tol: # 达到要求精度，返回找到的根print("total iterate time:%s " % ii)return xif x == 0:x += shiftfx, dfx = f(FV, PMT, x, n), df(FV, PMT, x, n) # 否则继续迭代，求f(x)和其⼀阶导数if fx < 0.0: # 使根保持在解区间内xl = xelse:xh = xprint('Maximum number of iterations exceeded')return 1### 测试⽤例：⾸先给定PMT，n，r_analytical，计算FV，然后利⽤PMT，n，FV计算r_numerical，两者应该相等##给定r_analytical计算FVR=0.1r_analytical = R / 12PMT = -4e3N = 30n = N * 12FV = -PMT * (1 + r_analytical) * (((1 + r_analytical)**n - 1)) / r_analytical##给定FV反解r_numericalr_numerical = newtonRaphson2(FV, PMT, n, f, df, -1, 1, 100, tol=1.0e-8)print('\nr_analytical=%s,\nr_numerical=%s\n' % (r_analytical, r_numerical))实现⼆：利⽤TensorFlow提供的⾃动微分计算导函数import numpy as npimport mathimport pandas as pdimport tensorflow as tfimport matplotlib.pyplot as plt##⼀个利⽤tensorflow的⾃动微分功能实现⽜顿法解⽅程的⼩程序class NewtonRaphson:def__init__(self, y, x, session):self.y = yself.x = xself.grad = tf.gradients(y, x)self.sess = sessionsess.run(tf.global_variables_initializer())def _fx(self, x_value):# 尽量避免出现f(x)不能计算的情况，⽐如函数试图计算a/0，log(0)等，如果计算结果为inf则x+0.0001再进⾏计算 temp = self.sess.run(y, feed_dict={x: [x_value]})[0]if np.isinf(temp):return self.sess.run(y, feed_dict={x: [x_value + 0.0001]})[0]else:return tempdef _dfx(self, x_value):return self.sess.run(self.grad, feed_dict={x: [x_value]})[0][0]def solve(self, xmin, xmax, maxiter, tol):fmin = self._fx(xmin)fmax = self._fx(xmax)if fmin == 0:return xminif fmax == 0:return xmaxif fmin * fmax > 0.0:raise ValueError('Root is not brackted!!')if fmin < 0:xl = xminxh = xmaxelse:xl = xmaxxh = xminx = (xmin + xmax) / 2fx, dfx = self._fx(x), self._dfx(x)dxold = math.fabs(xmax - xmin)dx = dxoldfor ii in range(maxiter):if ((x - xh) * dfx - fx) * ((x - xl) * dfx - fx) > 0.0 or (math.fabs(2 * fx) > math.fabs(dxold * dfx)):dxold = dxdx = 0.5 * (xh - xl)x = xl + dxelse:dxold = dxdx = fx / dfxtemp = xx -= dx# newtonif temp == x:print("total iterate time:%s " % ii)return xfx, dfx = self._fx(x), self._dfx(x)if fx < 0.0:xl = xelse:xh = xprint('Maximum number of iterations exceeded')return 1PV = 1e4FV = 3e6N = 20cpi = 0.018RATE = 0.15r = RATE / 12PMT = 10000x = tf.placeholder(shape=[1], dtype=tf.float32)y=r * (FV * (1 + cpi)**(N) - PV * (r + 1)**x) / ((r + 1)**x - 1 - r) - PMT sess = tf.InteractiveSession()solver=NewtonRaphson(y,x,sess)nmin = 2nmax = 300solver.solve(nmin,nmax,100,1e-9)Processing math: 0%。
牛顿拉夫逊法
牛顿拉夫逊法牛顿拉夫逊法(Newton–Raphsonmethod)是常用的迭代算法，它是特殊情况下牛顿法的一种变体，用于求解方程的根。
牛顿拉夫逊法也可以称为牛顿迭代法，通过连续反复地近似迭代实现求解目标。
牛顿拉夫逊法的应用十分广泛，如数值解析中的求一个实根，空间航道分析中的最小二乘法，物理学中的可动阻尼系统，几何学中的距离最短收敛算法等都可用牛顿拉夫逊法得出解答。
牛顿拉夫逊法是一种近似解法，它根据函数在给定位置的泰勒展开式进行迭代。
通常牛顿拉夫逊法采用一个初始值作为猜想解，然后不断修正该解，直至误差能够被忽略为止，从而取得方程的根。
以二次方程为例，若$x_0$是猜想解，则牛顿拉夫逊法可以将$x_0$迭代改进为$f(x_0)$对应的解$x_1$，即$x_1$由：\begin{equation}x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^′(x_0)}\end{equation}给出，其中$f^′(x_0)$是函数$f(x)$的导数在$x_0$处的值。
可以继续采用同样的迭代过程，反复地计算新的$x_2$，直至两次迭代的解之差小到足够的精度，从而求得最终解。
牛顿拉夫逊法的收敛速度快，因为它有效地利用了函数的导数信息，在求根时，根据Newton-Raphson公式，通过比较第n次和第n-1次取根相同位置x处函数值的比较，针对不同的方程，选取函数收敛时的步长不同，随着x的变化，可以改变它的收敛方向和步长大小，从而使迭代一步就可以得到比较精确的解。
但是，牛顿拉夫逊法也存在一定的缺点，它对于初始值的选取很敏感，若初始解不合适，可能会导致算法不收敛，无法求得正确解。
总之，牛顿拉夫逊法是一种有效快速的求方程根的方法，其运算简便，收敛速度快，应用范围广。
电力系统网络潮流计算—牛顿拉夫逊法
电力系统网络潮流计算—牛顿拉夫逊法牛顿拉弗逊法（Newton-Raphson Method）是一种常用的电力系统网络潮流计算方法，用于求解复杂电力系统中的节点电压和支路潮流分布。
本文将对牛顿拉弗逊法进行详细介绍，并讨论其优缺点及应用范围。
牛顿拉弗逊法的基本原理是通过迭代计算，将电力系统网络潮流计算问题转化为一个非线性方程组的求解问题。
假设电力系统有n个节点，则该方程组的节点电压和支路潮流分布可以通过以下公式表示：f(x)=0其中，f为非线性函数，x为待求解的节点电压和支路潮流分布。
通过泰勒展开，可以将f在其中一点x_k处展开为：f(x)≈f(x_k)+J_k(x-x_k)其中，J_k为f在x_k处的雅可比矩阵，x_k为当前迭代步骤的解。
通过令f(x)≈f(x_k)+J_k(x-x_k)=0，可以求解方程J_k(x-x_k)=-f(x_k)，得到下一步的迭代解x_{k+1}。
通过不断迭代，可以逐步接近真实的解，直到满足收敛条件为止。
牛顿拉弗逊法的迭代公式如下：x_{k+1}=x_k-(J_k)^{-1}f(x_k)其中，(J_k)^{-1}为雅可比矩阵J_k的逆矩阵。
牛顿拉弗逊法的优点之一是收敛速度快。
相比其他方法，如高斯赛德尔法，牛顿拉弗逊法通常需要更少的迭代次数才能达到收敛条件。
这是因为牛顿拉弗逊法利用了函数的一阶导数信息，能够更快地找到接近解的方向。
然而，牛顿拉弗逊法也存在一些缺点。
首先，该方法要求求解雅可比矩阵的逆矩阵，计算量较大。
尤其是在大型电力系统网络中，雅可比矩阵往往非常大，计算逆矩阵的复杂度高。
其次，如果初始猜测值不合理，可能会导致算法无法收敛，需要选择合适的初始值，否则可能陷入局部极小值。
牛顿拉弗逊法在电力系统网络潮流计算中有广泛的应用。
该方法可以用于计算节点电压和支路潮流分布，提供电力系统分析和设计的重要数据。
它可以用于稳态分析、短路分析、负荷流分析等多种电力系统问题的求解。
这些问题在电力系统规划、运行和控制等方面都具有重要意义。
牛顿-拉夫逊方法-概述说明以及解释
牛顿-拉夫逊方法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述牛顿-拉弗逊方法是一种用于求解非线性方程组的数值方法，由数学家牛顿和拉夫逊在17世纪提出。
该方法通过迭代的方式逼近非线性方程组的解，从而实现求解方程组的根的目的。
牛顿-拉夫逊方法是一种经典且广泛应用的数值计算方法，被广泛应用于科学、工程、金融等领域。
本文将对牛顿-拉夫逊方法的定义与原理、应用领域以及优缺点进行深入探讨，旨在帮助读者更好地理解并应用该方法解决实际问题。
通过学习和掌握牛顿-拉夫逊方法，读者可以更高效地解决复杂的非线性方程组，提高问题求解的准确性和精度。
1.2 文章结构:本文将首先介绍牛顿-拉夫逊方法的定义与原理，包括其数学模型和求解过程。
随后将讨论该方法在实际应用中的一些典型领域，比如优化问题、方程求解等。
接着将分析牛顿-拉夫逊方法的优缺点，探讨其在解决实际问题中的局限性和优势。
最后，将对牛顿-拉夫逊方法进行总结，并展望其在未来的应用前景，最终得出结论。
通过这些内容，读者将能够全面了解牛顿-拉夫逊方法的特点及其在科学研究和工程实践中的价值和重要性。
1.3 目的本文旨在深入探讨牛顿-拉夫逊方法，介绍其定义、原理、应用领域以及优缺点。
通过对该方法的全面分析，希望读者能够更清晰地了解牛顿-拉夫逊方法在数值计算中的重要性和实用性，进而为相关领域的研究和实践提供参考和指导。
同时，对牛顿-拉夫逊方法的展望也是本文的一个重要内容，希望能够带给读者新的启发和思考，促进该方法在未来的进一步发展和应用。
最终，通过对牛顿-拉夫逊方法的详细介绍和分析，期望能够为读者打开一扇通往数值计算领域的新视角，激发对该方法以及数值计算理论的兴趣和探索欲望。
2.正文2.1 牛顿-拉夫逊方法的定义与原理牛顿-拉夫逊方法，又称为牛顿迭代法，是一种用于求解方程的数值方法。
它是由著名的物理学家和数学家牛顿发现的一种迭代求根方法，并由拉夫逊进一步完善和推广。
在数学上，牛顿-拉夫逊方法用于求解非线性方程组的根。
牛顿-拉夫逊图像重建算法研究
牛顿-拉夫逊图像重建算法研究
牛顿-拉夫逊图像重建算法（NLR）是一种基于牛顿迭代的图像
重建方法，它通过优化一个能量函数来生成高质量的图像。
与传统
的基于滤波的方法相比，NLR可以更好地去除噪声、保留图像细节
和边缘信息。
NLR算法的核心思想是将图像重建问题转化为非线性最小二乘
问题。
它先假设存在一个高质量的图像，然后通过减小它与观察到
的低质量图像之间的差异来逐步优化它。
为了描述图像之间的差异，NRL算法使用了拉夫逊函数。
在NLR算法中，通过牛顿法来解决非线性最小二乘问题。
牛顿
法是一种迭代算法，其主要思想是通过逐步改进初始解来逼近最优解。
在每次迭代中，使用当前解的二阶导数信息来更新解向最小化
函数。
通过迭代过程，可以逐渐优化能量函数并产生高质量的图像。
实验结果表明，NLR算法在去噪、超分辨率、图像复原等方面
有很好的效果，并且可以处理不同类型和复杂度的图像。
尽管NLR
算法的计算量相对较大，但在图像重建的应用中，它仍然是一种非
常有效的方法。
潮流计算的基本算法及使用方法
潮流计算的基本算法及使用方法一、 潮流计算的基本算法1. 牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。
这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。
1．2 一般概念对于非线性代数方程组即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1)在待求量x 的某一个初始计算值()0x附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ (1－3)将()0x∆和()0x相加，得到变量的第一次改进值()1x。
接着再从()1x出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x出发，应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' (1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
通俗理解牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's method），又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
这种方法的核心思想是利用泰勒级数展开式去近似地代替非线性函数，通过不断迭代，多次修正方程的解，使解不断逼近非线性方程的真实解，最后使原方程的残差平方和达到最小。
具体来说，假设要求解的函数为F(x)=0，我们可以先选取一个初始的近似值x0，然后计算F(x0)和F'(x0)（F'(x)是F(x)的导数）。
根据泰勒级数展开式，F(x)可以近似地表示为F(x0)+F'(x0)*(x-x0)。
令这个近似式等于0，解出x，就得到了一个新的近似值x1。
然后，用x1重复上述过程，得到x2，x3，……，直到收敛到某个值。
这个值就是F(x)=0的一个近似解。
牛顿迭代法的优点是在方程的单根附近具有平方收敛，也就是说，每迭代一次，解的精度大致会提高两倍。
这使得牛顿迭代法在求解高精度解时非常有效。
但是，如果初始值选取不当，或者函数在某些点没有定义（即导数不存在），那么牛顿迭代法可能无法收敛到正确的解，甚至可能发散。
因此，使用牛顿迭代法时需要谨慎选择初始值，并检查函数的定义域和导数是否存在。
此外，牛顿迭代法在计算机编程中也有广泛的应用。
许多编程语言都提供了实现牛顿迭代法的库函数或工具，使得求解非线性方程的近似解变得非常方便。
以上就是对牛顿迭代法的一种通俗理解。
希望这个解释能帮助你更好地理解这个方法。
牛顿拉夫逊算法对初值的要求-概述说明以及解释
牛顿拉夫逊算法对初值的要求-概述说明以及解释1.引言1.1 概述:牛顿拉夫逊算法是一种用于求解非线性方程组的数值方法，该算法通过不断迭代逼近方程组的根。
在实际应用中，初值的选取对算法的收敛性和稳定性起着至关重要的作用。
本文将重点讨论牛顿拉夫逊算法对初值的要求，以及初值敏感性的分析，希望能够为算法的实际应用提供一定的指导和参考。
的内容1.2 文章结构：本文将围绕牛顿拉夫逊算法对初值的要求展开讨论。
首先我们将介绍牛顿拉夫逊算法的基本原理和应用场景，为读者提供算法背景的了解。
接着将详细分析算法对初值的要求，包括初值选择的关键因素和如何优化初值选取，以及初值对算法收敛性的影响。
最后，我们将进行初值敏感性分析，探讨不同初值对算法效果的影响程度。
通过这些内容的呈现，读者能够全面了解牛顿拉夫逊算法对初值的要求，为实际应用提供指导和参考。
1.3 目的:本文的目的在于探讨牛顿拉夫逊算法对初值的要求。
通过分析该算法在求解非线性方程组时对初始值的敏感性，我们可以更深入地理解算法的稳定性和收敛性。
同时，通过研究算法对初值的要求，可以为使用牛顿拉夫逊算法解决实际问题提供指导，帮助我们选择合适的初值以提高算法效率和精度。
本文旨在从理论和实践角度出发，全面分析牛顿拉夫逊算法对初值的影响，为相关领域的研究和应用提供有益参考。
2.正文2.1 牛顿拉夫逊算法简介牛顿拉夫逊算法是一种数值优化算法，用于求解非线性方程组的根。
该算法基于数学家牛顿和拉夫逊的工作而命名，通过不断迭代逼近方程组的根。
算法的基本思想是在每一步迭代中，利用函数的一阶和二阶导数信息来更新当前的估计值，以便更接近真实的根。
通过不断迭代，算法收敛于方程组的根。
具体来说，牛顿拉夫逊算法的迭代公式为：\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \]其中，\( x_n \) 是第\( n \)步的估计值，\( f(x) \) 是方程组的函数，\( f'(x) \) 是函数的一阶导数。
牛顿拉夫逊算法
(0) (0) f 2 ( x1 , x2 )
f 2 f (0) (0) x1 2 x 2 0 x1 0 x2 0
f 1 x 2 f 2 x2 ( 0)
矩阵形式：
f 1 f1( 0) x1 ( 0) f 2 f 2 x1
(0) (0) (0) (0) f1 ( x1 x1 , x2 x2 )0
(0) (0) (0) (0) f 2 ( x2 x2 , x2 x2 )0
第十一章 电力系统潮流计算
3、多维非线性方程组的迭代公式
展开：
(0) (0) f1 ( x1 , x2 )
f1 f (0) (0) x1 1 x 2 0 x1 0 x2 0
ji n n
(iG eB fB ijG ( Gii e ij2 f GB eiij f i B f jii)e j ii ij j )( i Gii ei i )) ij ( G f B e G f B e ij j ii i j 1 ij j j 1ii i
j 1 ji
jn 1 n n ii i j1 1 j j 1 n
n
ji
i
第十一章 电力系统潮流计算
讨论：
① J为非奇异方阵。 ② 与Y相同的稀疏性∵表示 ③ 结构对称性，分块不对称。 ④ 修正方程求解：高斯消去法。逐行消元逐行规格化 （
1 代）。回代提及复习线性代数的相关内容。 m
⑤ 节点优化编号：静态按最少出路数排序，动态按最 少出路数排序。 ⑥ 收敛性：平直电压启动时，迭代次数与实际规模 无关，线性迭代时间仅与节点数N成正比。 ⑦ ⑧ 引入修正系数。 初值、平值电压启动。
Pi e i Pi f i Qi e i Qi f i
牛顿-拉夫逊优化算法流程
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2. 计算目标函数的梯度：计算目标函数$f(x)$在当前点$x_k$处的梯度$\nabla f(x_k)$。
牛顿拉夫逊法概要
一、牛顿－拉夫逊法概要首先对一般的牛顿－拉夫逊法作一简单说明。
已知一个变量X的函数（4－6）解此方程式时，由适当的近似值X（0）出发，根据（4－7）反复进行计算，当X（n）满足适当的收敛判定条件时就是（4－6）式的根。
这样的方法就是所谓的牛顿－拉夫逊法。
式（4－7）就是取第n次近似解X（n）在曲线上的点处的切线与X轴的交点作下一次X （n+1）值的方法。
参考图4－2（a）。
在这一方法中为了能收敛于真解，初值X（0）的选取及函数f（X）必须满足适当的条件，如图4－2（b）所示的那种情况就不能收敛或收敛到别的根上去。
这一方法还可以做下面的解释，设第n次迭代得到的解与真值之差，即的误差为时，则（4-8）把在附近对用泰勒级数展开（4-9）上式略去以下的项（4-10）的误差可近似由上式计算出来图4-2（4-11）比较式（4-7）和（4-11），可以看出牛顿-拉夫逊法的修正量和的误差的一次项相等。
用同样的方法考虑，给出对n个变量的n个方程式（4－12）对其近似解的修正量，可以解下面的方程式来确定（4－13）式（4－13）的右边的矩阵的等都是对于的值。
这一矩阵称为雅可比（Jacobi）矩阵。
按上述得到的修正量后，得到如下关系：这比进一步接近于真值。
这一步骤在收敛到希望的值以前重复进行。
一般要反复计算到满足时为止。
ε为预先规定的小正数，此处是第n次迭代Xi的近似值。
一、牛顿－拉夫逊法潮流计算把牛顿法用于潮流计算，要求将潮流方程改写成形如方程式（4－12）所示的形式。
为此，首先应将潮流方程（4－5）的变形式的右端展开，并且分开实部和虚部。
采用直角坐标时，节点电压可表示为：节点导纳矩阵元素则表示为：将上述表示式代入的右端，展开并分出实部和虚部，便得：（4－14）按照上节的分类，PQ节点的有功功率和无功功率给定的，第I个节点的给这功率设为Pis 和Qis。
假定系统中的第1，2，………m号节点为PQ节点，对其中每一个节点可列（i=1，2，…………，m）（4－15）PV节点的有功功率和节点电压幅值是给定的。
牛顿-拉夫逊法
牛顿-拉夫逊法是一种求解非线性方程的数值解法，由于便于编写程序用计算机求解，应用较广。
下面以一元非线性代数方程的求解为例，来说明牛顿-拉夫逊法的基本思想。
设欲求解的非线性代数方程为f(x)=0设方程的真实解为x*，则必有f(x*)=0。
用牛顿-拉夫逊法求方程真实解x*的步骤如下：首先选取余割合适的初始估值x°作为方程f(x)=0的解，若恰巧有f(x°)=0，则方程的真实解即为x*= x°若f(x°)≠0，则做下一步。
取x¹=x°+Δx°为第一次的修正估值，则f(x¹)=f(x°+Δx°)其中Δx°为初始估值的增量，即Δx°=x¹-x°。
设函数f(x)具有任意阶导数，即可将上式在x°的邻域展开为泰勒级数，即：f(x¹)=f(x°+Δx°)=f(x°)+f'(x°)Δx°+[f''(x°)(Δx°)2]/2+…若所取的|Δx°|足够小，则含(Δx°)²的项及其余的一切高阶项均可略去，并使其等于零，即：f(x¹)≈f(x°)+f'(x°)Δx°=0故得Δx°=-f(x°)/f'(x°)从而x¹= x°-f(x°)/f'(x°)可见，只要f'(x°)≠0，即可根据上式求出第一次的修正估值x¹，若恰巧有f(x¹)=0，则方程的真实解即为x*=x¹。
若f(x¹)≠0，则用上述方法由x¹再确定第二次的修正估值x²。
如此反复叠代下去，直到求得真实解x*为止。
潮流计算的基本算法及使用方法
潮流计算的基本算法及使用方法一、 潮流计算的基本算法1. 牛顿－拉夫逊法1．1 概述牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法.这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。
牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数—-雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。
因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。
而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1）启动即在此邻域内。
1．2 一般概念 对于非线性代数方程组()0=x f即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= （1－1）在待求量x 的某一个初始计算值()0x附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组()()()()()0000=∆'+x x f x f (1－2)上式称之为牛顿法的修正方程式。
由此可以求得第一次迭代的修正量()()()[]()()0100x f x f x -'-=∆ （1－3)将()0x ∆和()0x相加，得到变量的第一次改进值()1x 。
接着再从()1x 出发，重复上述计算过程。
因此从一定的初值()0x出发,应用牛顿法求解的迭代格式为()()()()()k k k x f x x f -=∆' （1－4)()()()k k k x x x ∆+=+1 (1－5)上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵,即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。
由式(1－4)和式子（1－5）可见,牛顿法的核心便是反复形成求解修正方程式。
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3、多维非线性方程组的迭代公式
将F(X ) 0 展开，写成矩阵形式，则第k+1次迭代时：
(k ) (k ) (k ) f1 ( x1 , x2 , xn ) (k ) (k ) (k ) f ( x , x , x 2 n ) 2 1 (k ) (k ) (k ) f n ( x1 , x2 , xn )
Qi P i (Gij ei Bij f i ) e j f j Pi Qi Bij ei Gij f i f j e j
Vi 2 Vi 2 0 e j f j
第十一章 电力系统潮流计算
二、 直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
计算 i=j 时雅可比矩阵各元素
n n Pi Pis Pi Pis ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 n n Qi Qis Qi Qis f i (Gij e j Bij f j ) ei (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 V 2 V 2 V V 2 e 2 f 2 0 is i is i i i
( 0) x1 0 ( 0) x 2
(1) ( 0) ( 0) x1 x1 x1 (1) ( 0) ( 0) x2 x2 x2
第十一章 电力系统潮流计算
3、多维非线性方程组的迭代公式
基于同样的思想，我们可以得到 n维非线性方程 —牛顿 拉夫逊迭代公式
f 1 x1 f 2 x1 f n x1
k
f 1 x 2 f 2 x 2 f n x 2
k
k
k
k
k
f 1 x n k (k ) x1 f 2 ( k ) x 2 x n k (k ) x n f n x n k
n n Pi Pis Pi Pis ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 n Qi Qis Qi Qis f i (Gij e j Bij f j ) ei (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 V 2 V 2 V V 2 e 2 f 2 0 is i is i i i
第十一章 电力系统潮流计算
3.5 牛顿拉夫逊算法
牛顿拉夫逊法 牛顿－拉夫逊法潮流计算 迭代法潮流计算 潮流计算的其它问题 小结
第十一章 电力系统潮流计算
３.5 牛顿一拉夫逊法的潮流计算
核心：将非线性方程的求解转换成相应线性修正 方程多次迭代求解
第十一章 电力系统潮流计算
一、牛顿一拉夫逊法的基本原理
2、设初始点 xo , f ( xo ) 0
f ( xo x ) 0 df f ( xo ) dx f ( xo ) x df dx 1 d2 f x 2 dx 2 x 0
x0
x 2 0
x0
x0
f ( xo ) df dx x0
f ( xk ) xk 1 xk df dx xk f ( xk )
(0) (0) (0) (0) f1 ( x1 x1 , x2 x2 )0
(0) (0) (0) (0) f 2 ( x2 x2 , x2 x2 )0
第十一章 电力系统潮流计算
3、多维非线性方程组的迭代公式
展开：
(0) (0) f1 ( x1 , x2 )
f1 f (0) (0) x1 1 x 2 0 x1 0 x2 0
n
jn i
f(( ij 2f B eiB ( GB f ii B G f G fe G e G G B ij G ij e j) ij e jjii ij ij j) ii jf i f iiB i ii ei ii i j) i (Gij f j Bij e j j1) Bii ei Gii f i
F J X ( k 1) (k ) (k ) X X X
迭代收敛条件：
max(| Fi |)
第十一章 电力系统潮流计算
二、 直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
计算 i j 时雅可比矩阵各元素
n n Pi Pis Pi Pis ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 n n Qi Qis Qi Qis f i (Gij e j Bij f j ) ei (Gij f j Bij e j ) 0 j 1 j 1 V 2 V 2 V V 2 e 2 f 2 0 is i is i i i
x1 xo x
一般迭代公式：
迭代过程的收敛判据：
第十一章 电力系统潮流计算
x 120 0 例题： 2
2
xo 10, f ( x ) x 120, f ( x ) 2 x
f ( xo ) 20 x1 x 10 11 f ( xo ) 20 f ( x1 ) 1 x2 x1 11 10.9141414 f ( x1 ) 22 f ( x2 ) 0.8815175 x3 x2 10.9141414 10.954526 f ( x2 ) 2 10.9141414 f ( x3 ) 0.00163988 x4 x3 10.954526 10.954451 f ( x3 ) 2 10.954526
xi ( k 1) xi ( k ) xi ( k )
可以缩写为：
J
(k )
(i 1, 2, , n)
(k)
X
(k )
F(X
)
其中 J ( k )
F X
k
X ( k 1) X ( k ) X ( k )
第十一章 电力系统潮流计算
讨论：
① 雅可比矩阵元素是节点电压函数，迭代过程中每 次迭代电压都要修正，因此雅可比矩阵中元素每次都 改变。 ② 雅可比矩阵不是对称阵
(0) (0) f 2 ( x1 , x2 )
f 2 f (0) (0) x1 2 x 2 0 x1 0 x2 0
f 1 x 2 f 2 x2 ( 0)
矩阵形式：
f 1 f1( 0) x1 ( 0) f 2 f 2 x1
e1 P1 e1 f Q f 1 1 1 e e P m m m f Q fm m m X X F e em 1 Pm 1 m 1 f f Y m 1 m 1 m 1 e n 1 e n 1 Pm 1 f f V n 1 n 1 n 1
ji n n
(iG eB fB ijG ( Gii e ij2 f GB eiij f i B f jii)e j ii ij j )( i Gii ei i )) ij ( G f B e G f B e ij j ii i j 1 ij j j 1ii i
③
雅可比矩阵为稀疏矩阵
第十一章 电力系统潮流计算
二、 直角坐标下的牛顿拉夫逊法潮流计算
n, m n m 1 1, 2, , m m 1, , n 1 n
PQ PV
Pi ei (Gij e j Bij f j ) f i (Gij f j Bij e j )
f1 ( x1 , x2 , xn ) 0 f 2 ( x1 , x2 , xn ) 0 f n ( x1 , x2 , xn ) 0
记：
F f1 , f 2 , , f n
T
X x1 , x2 , , xn
T
则方程为： F ( X ) 0
第十一章 电力系统潮流计算
n
n
2 V n G (G (2 f B e ) ( G f B e ) B e f B e ) B e G f i ii i ij ij ii j i ij ii j ii i j ii i ij j i 2 f i j 1 (Gij e j Bij f j ) Gii ei Bii f i j 1 f
j 1 ji
jn 1 n n ii i j1 1 j j 1 n
n
ji
i
第十一章 电力系统潮流计算
讨论：
① J为非奇异方阵。 ② 与Y相同的稀疏性∵表示 ③ 结构对称性，分块不对称。 ④ 修正方程求解：高斯消去法。逐行消元逐行规格化 （
1 代）。回代提及复习线性代数的相关内容。 m
⑤ 节点优化编号：静态按最少出路数排序，动态按最 少出路数排序。 ⑥ 收敛性：平直电压启动时，迭代次数与实际规模 无关，线性迭代时间仅与节点数N成正比。 ⑦ ⑧ 引入修正系数。 初值、平值电压启动。
1.
2.
几何认识
设初始点 xo , f ( xo ) 0
3.
多维非线性方程组的迭代公式
第十一章 电力系统潮流计算
1、几何认识
y
y f ( x)
第k+1步 迭代
下一步 迭代
y (k )