第5章 狭义相对论基础习题解答

第5章 狭义相对论基础

5-1 设K′系以1.8×108m/s 的速度相对于K 系沿x 轴正向运动，某事件在K′系中的时空坐标为（3×108m ，0m ，0m ，2s ）。试求该事件在K 系中的时空坐标。

解 根据洛仑兹变换

2 x y y z z ux t t ⎧

⎪

⎪⎪⎪'=⎪

'⎨=⎪

'⎪'+⎪⎪⎪⎩

计算得该事件在K 系中的时空坐标（8.25×108m ，0m ，0m ，3.25s ）。

5-2 在惯性系K 中，有两个事件同时发生在x 轴上相距3

1.010m ⨯处，从惯性系K ′观测到这两个

事件相距3

2.010

m ⨯，试问从K ′测到此两事件的时间间隔是多少？

解 根据洛仑兹变换，有

(1) (2)

u x

t x t ∆∆-

''∆∆

依题设条件，31.010x =⨯Δ m ，0s t ∆=，3

'，由(1)解得

u = 代入(2) 26 57710s u x

t .-∆-

'∆-⨯ 负号表示在K '系中观测，'

22()x x 处的事件先发生。

5-3 在正负电子对撞机中，电子和正电子以0.9c υ=的速率相向运动，两者的相对速率是多少？

解 取地球为K 系，电子为K '系，并沿x 轴负方向运动，正电子为研究对象，根据洛仑兹速度变换

公式，有

1x x x u 'u

c υυυ-=

-

09(09)

099409(09)1.c .c .c .c .c c --=

=--

5-4 一光源在K ′系的原点'O 发出一光线，其传播方向在''y x 平面内且与'x 轴夹角为'θ。试求在K 系中测得的此光线的传播方向，并证明在K 系中此光线的速度仍是c 。

解 已知'cos x

c υθ'=，'sin y c υθ'=。根据洛仑兹速度变换，有

2''1x x x u u c υυυ+=+cos cos 1c u u c θθ'+=

'

+

，1y x υ

+1c +在K 系中与x 轴的夹角为

arctan y x υθ=而光的速度为

c υ

==

5-5 若从一惯性系中测得宇宙飞船的长度为其固有长度的一半，宇宙飞船相对于该惯性系的速率是多少？

解

根据相对论的长度收缩效应，l l =有

u =

5-6 一根直杆位于K 系中Oxy 平面。在K 系中观察,其静止长度为0l ,与x 轴的夹角为θ,试求它在K ′系中的长度和它与'x 轴的夹角。

解 设在K 系中，直杆两端的坐标分别为（0,0）和()00cos ,sin l l θθ。由于长度收缩发生在运动方

向，且0cos x l θ∆=为x 方向的固有长度 所以

0cos x l '∆= 0sin y l θ'∆= 在K'系中，直杆的长度为

l l 直杆与'x 轴的夹角为 1222arctan =arctan tan 1/y u x c θθ-⎡⎤'⎛⎫∆'=-⎢⎥ ⎪'∆⎢⎥⎝⎭⎣⎦

5-7 设K′系以恒定速率相对于K 系沿x （x ′）轴运动。在惯性系K 中观察到两个事件发生在同一地点，其时间间隔为4.0s ，从另一惯性系K′中观察到这两个事件的时间间隔为6.0s ，试问K′系相对于K 系的速度为多少？

解 由题意知在K 系中的时间间隔为固有时，即0

4.0s τ=而 6.0s τ=，根据时间延缓效应的关

系式τ，可得K ′系相对于K 系的速度为

21/20[1()]3

u c c ττ=-=

5-8 某人测得一静止棒长为0l ，质量为0m ，于是求得此棒的线密度为00/m l ρ=。(1)假定此棒

以速度υ在棒长方向运动，此人再测棒的线密度应为多少？(2)若棒在垂直长度方向运动，它的线密度又为多少？

解 (1)棒以速度υ在棒长方向运动，此时 棒长

l

l =

质量

m 线密度为 022

0(1/)

m m l l c ρυ==

- (2)

若棒在垂直长度方向运动，棒的长度不变，它的线密度为

ρ 5-9 匀质细棒静止时质量为0m ,长度为0l ,当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时,测得它的长为l ,则该棒所具有的动能k E 是多少?

解

由题意0l l

所以

2

2000

1(1)k l E

m c m c l ⎛⎫⎪==-⎪⎭

5-10 一个被加速的电子，其能量为93.010eV ⨯，试求该电子的速率。

解 根据相对论能量公式

2

E

得

0999999985.c υ== 5-11 如果将电子从0.8c 加速到0.9c ，需要对它作多少功？该电子的质量增加多少？ 解 根据相对论质量与能量关系，有

2

2

2

210c W m c mc m ⎛⎫

=-=

31161459111091051410(J)32110 eV ...--=⨯⨯⨯⨯=⨯=⨯ 电子的质量增加量为

210m m m m ⎛⎫∆=-=

31319111057110 (kg)

..--=⨯⨯=⨯