2011年高考广东省理科数学试题A卷及试卷答案

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2011年高考数学广东卷(理科)-带答案

2011年高考数学广东卷(理科)注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面面积,h 为锥体的高. 球的表面积公式24S R π=, 其中R 为球的半径．如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合}{220A x x x =-≤，}{11B x x =-<<, 则A B =A ．}{01x x ≤<B ．}{10x x -<≤ C ．}{11x x -<< D ．}{12x x -<≤ 2. 若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为A ．2-B ．1-C ．1D ．2 3. 已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q，则+p q 的值为AB C ．5 D ．13 4. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上 A ．是减函数 B ．是增函数 C ．有极小值 D ．有极大值 5. 阅读图1的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为. A ．2 B ．3NMD 1C 1B 1A 1DCBA图3(度)150140110100 C ．4 D ．56. “a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. 将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为 A ．96 B ．114C ．128D ．136图1 8. 如图2所示,已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2, 长为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π图2 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在区间[)110,120上共有150户, 则月均用电量在区间[)120,150上的居民共有户.10. 以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点，那么该圆的方程为 .D 11. 已知数列{}n a是等差数列, 若468212a a a++=, 则该数列前11项的和为.12.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知3,,3c Cπ==2a b=, 则b的值为 .13. 某所学校计划招聘男教师x名,女教师y名, x和y须满足约束条件25,2,6.x yx yx-≥⎧⎪-≤⎨⎪<⎩则该校招聘的教师最多是名.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (几何证明选讲选做题)如图4, CD是圆O的切线, 切点为点A、B在圆O上，1,30BC BCD︒=∠=，则圆O15. (坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中，若过点(极轴垂直的直线交曲线4cosρθ=于A、B两点，则AB图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()2sin cos cos2f x x x x=+(x∈R).(1)当x取什么值时,函数()f x取得最大值,并求其最大值;(2)若θ为锐角，且83fπθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求tanθ的值.17.（本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.DC 1A 1B 1CBA若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1 表2 (1) 求,a b 的值；(2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.18.（本小题满分14分）如图5，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点, 12A A AB ==.(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；(2) 若四棱锥11-B AAC D 的体积为3, 求二面角1--C BC D 的正切值.图519.（本小题满分14分）已知直线2y =-上有一个动点Q ,过点Q 作直线1l 垂直于x 轴,动点P 在1l 上,且满足OP OQ ⊥(O 为坐标原点),记点P 的轨迹为C . (1) 求曲线C 的方程；(2) 若直线2l 是曲线C 的一条切线, 当点()0,2到直线2l 的距离最短时,求直线2l 的方程.20.（本小题满分14分）已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有()f x x ≥,且 1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,令()()()10g x f x x λλ=-->. (1) 求函数()f x 的表达式； (2) 求函数()g x 的单调区间；(3) 研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.21.（本小题满分14分）已知函数y =()f x 的定义域为R , 且对于任意12,x x ∈R ,存在正实数L ,使得 ()()1212f x f x L x x -≤-都成立. (1) 若()f x =求L 的取值范围；(2) 当01L <<时，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，1,2,n = .① 证明：112111nk k k a a a a L+=-≤--∑； ② 令()121,2,3,k k a a a A k k ++== ，证明：112111nk k k A A a a L +=-≤--∑.参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．说明：第10小题写对一个答案给3分. 9. 325 10. ()(2219x y -+±= 11. 3312. 13. 1014.π15. 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: ()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos 2x x =+ …… 1分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭…… 2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. …… 3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,…… 5分 (2)解法1:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. …… 6分 ∴1cos 23θ=. …… 7分∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.∴sin 2θ==…… 8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==…… 9分∴22tan 1tan θθ=-. …… 10分2tan 0θθ+=.∴)(1tan 0θθ-=.∴tan 2θ=或tan θ=不合题意,舍去) …… 11分∴tan 2θ=. …… 12分解法2: ∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∴212cos 13θ-=. …… 8分∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos 3θ=. …… 9分∴sin θ==. …… 10分∴sin tan cos θθθ==…… 12分解法3:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭, 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=. …… 7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<, ∴02θπ<<.EDA 1B 1BA∴sin 23θ==…… 8分 ∴sin tan cos θθθ=…… 9分 22sin cos 2cos θθθ= …… 10分sin 21cos 2θθ=+=…… 12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：…… 2分 ∴ 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,即50.9a b -=. …… 3分 ∵ 0.60.20.11a b ++++=, 即0.3a b +=, …… 4分解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b == . …… 6分 (2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品. …… 8分故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=. …… 12分18. （本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点.∵D 为AC 的中点， ∴OD 为△1ABC 的中位线,∴ 1//OD AB . …… 2分 ∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 4分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ⊂平面11AAC C ,∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C AC =.作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ……6分设BC a =，在Rt △ABC 中，AC =AB BC BE AC ==∴四棱锥11-B AAC D 的体积()1111132V AC AD AA BE =⨯+126=a =. …… 8分依题意得，3a =，即3BC =. …… 9分 (以下求二面角1--C BC D 的正切值提供两种解法)解法1:∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ， ∴AB ⊥平面11BB C C .取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且112DF AB ==. ∴DF ⊥平面11BB C C .作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ，由于1DF BC ⊥，且DF FG F = ， ∴1BC ⊥平面DFG .∵DG ⊂平面DFG , ∴1BC ⊥DG .∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 12分由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BFCC BC =,得1132BF CC GF BC ⨯=== 在Rt △DFG 中, tan DF DGF GF ∠==∴二面角1--C BC D. …… 14分解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ⊂平面11BB C C ，1BB ⊂平面11BB C C ，∴AB ⊥平面11BB C C .以点1B 为坐标原点,分别以11B C ,1B B ,11B A y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz -. 则()0,2,0B ,()13,0,0C ,()0,2,2A ,3,2,12D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴()13,2,0BC =- ,3,0,12BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面1BC D 的法向量为n (),,x y z =,由n 10BC = 及n 0BD = ,得320,30.2x y x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令2x =,得3,3y z ==-.故平面1BC D 的一个法向量为n ()2,3,3=-, …… 11分又平面1BC C 的一个法向量为()0,0,2AB =-,∴cos 〈n ,AB 〉= ⋅n AB n AB200323⨯+⨯+-⨯-==. …… 12分 ∴sin 〈n ,AB 〉==. …… 13分 ∴tan 〈n ,AB 〉= .∴二面角1--C BC D . …… 14分 19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 解:设点P 的坐标为(),x y ,则点Q 的坐标为(),2x -. ∵OP OQ ⊥,∴1OP OQ k k =- .当0x ≠时,得21y x x-=-,化简得22x y =. …… 2分当0x =时, P 、O 、Q 三点共线，不符合题意，故0x ≠.∴曲线C 的方程为22x y =()0x ≠. …… 4分 (2) 解法1:∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴直线2l 的斜率存在.设直线2l 的方程为y kx b =+, …… 5分由2,2,y kx b x y =+⎧⎨=⎩ 得2220x kx b --=.∵ 直线2l 与曲线C 相切,∴2480k b ∆=+=,即22k b =-. …… 6分点()0,2到直线2l 的距离d=212+=…… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=，即k =.此时1b =-. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分解法2：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中21112y x =，则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得211102x x y x --=. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d =212=…… 7分12⎫= …… 8分12≥⨯ …… 9分=…… 10分=，即1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分解法3：由22x y =，得'y x =， …… 5分 ∵直线2l 与曲线C 相切, 设切点M 的坐标为()11,x y ，其中211102y x =>，则直线2l 的方程为：()111y y x x x -=-，化简得110x x y y --=. …… 6分点()0,2到直线2l的距离d ==…… 7分12⎫=+…… 8分12≥⨯…… 9分=…… 10分=11y =时，等号成立,此时1x =. ……12分∴直线2l10y --=10y ++=. …… 14分 20．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1) 解：∵()00f =，∴0c =. …… 1分 ∵对于任意x ∈R 都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即122b a -=-，得a b =. …… 2分又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且∆()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==．∴()2f x x x =+． …… 4分(2) 解：()()1g x f x x λ=--()()22111,,111,.x x x x x x λλλλ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪++-<⎪⎩…… 5分① 当1x λ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12x λ-=，若112λλ-≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增； …… 6分若112λλ->，即2λ>，函数()g x 在1,2λ-⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．…… 7分 ② 当1x λ<时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112x λλ+=-<，则函数()g x 在11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减． …… 8分综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2λ+⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭； …… 9分当2λ>时，函数()g x 单调递增区间为11,2λλ+⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2λ-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为 1,2λ+⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和11,2λλ-⎛⎫ ⎪⎝⎭． …… 10分(3)解：① 当02λ<≤时，由(2)知函数()g x 在区间()0,1上单调递增，又()()010,1210g g λ=-<=-->，故函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点． …… 11分 ② 当2λ>时，则1112λ<<，而()010,g =-<21110g λλλ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()121g λ=--，（ⅰ）若23λ<≤，由于1112λλ-<≤，且()211111222g λλλλ---⎛⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21104λ-=-+≥，此时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点； …… 12分（ⅱ）若3λ>，由于112λ->且()121g λ=--0<，此时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 13分综上所述，当03λ<≤时，函数()g x 在区间()0,1上只有一个零点；当3λ>时，函数()g x 在区间()0,1上有两个不同的零点． …… 14分 21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意12,x x ∈R ，有 ()()12f x f x -=-==. …… 2分由()()1212f x f x L x x -≤-,12L x x ≤-.当12x x ≠时,得L ≥.12,x x >>且1212x x x x +≥+，12121x x x x +<≤+. …… 4分∴要使()()1212f x f x L x x -≤-对任意12,x x ∈R 都成立,只要1L ≥. 当12x x =时, ()()1212f x f x L x x -≤-恒成立.∴L 的取值范围是[)1,+∞. …… 5分 (2) 证明：①∵()1n n a f a +=，1,2,n = ,故当2n ≥时，()()111n n n n n n a a f a f a L a a +---=-≤-()()21212112n n n n n L f a f a L a a L a a -----=-≤-≤≤- . …… 6分∴112233411nkk n n k aa a a a a a a a a ++=-=-+-+-++-∑()21121n L L La a -≤++++- …… 7分1211nL a a L-=--. …… 8分 ∵01L <<, ∴112111nk k k a a a a L+=-≤--∑(当1n =时,不等式也成立). …… 9分 ②∵12kk a a a A k++=,∴1212111k k k k a a a a a a A A k k ++++++++-=-+ ()()12111k k a a a ka k k +=+++-+()()()()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +=-+-+-++-+()()12233411231k k a a a a a a k a a k k +≤-+-+-++-+ . …… 11分 ∴1122311nkk n n k AA A A A A A A ++=-=-+-++-∑ ()()122311111121223123341a a a a n n n n ⎛⎫⎛⎫≤-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯+⨯⨯+⎝⎭⎝⎭()()34111113344511n n a a n a a n n n n +⎛⎫+-+++++-⨯ ⎪ ⎪⨯⨯++⎝⎭ 1223112111111n n n a a a a a a n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--++-- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤12231n n a a a a a a +-+-++- 1211a a L≤--. ……14分。

2011年高考数学理科试题广东A卷(word版)

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式，其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -２．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３３．若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则()2a a b ⋅+= Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．０４．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．()()f x g x +是偶函数Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数Ｄ．()()f x g x -是奇函数5.在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2011年全国高考理科数学试题及答案-广东

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式其中,x y 表示样本均值。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．33. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．()()f x g x +是偶函数Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2011年全国高考理科数学试题及答案-广东

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程y bx a =+中系数计算公式其中,x y 表示样本均值。

2011年广东省高考数学试卷(理科)含详解-推荐下载

x
y2
2y
给定.若
D.3
y
C
B
A
x
z (x, y) ( 2,1) 2x y,即z为直线则y 2x z
的纵截距,显然当直线y 2x z经过点B( 2,2)时, z取到最大值,
从而z max ( 2)2 2 4,故选C.
6 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.
3．若向量 a,b, c满足a // b,且a c,则c (a 2b)
A．4
B．3
解析 : c (a 2b) c a c 2b c a 2c b 0 0 0,故选D.
4．设函数 f (x) 和 g(x )分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A． f (x) +|g(x)|是偶函数
C．2+2i
2．已知集合 A={ (x，y)|x，y 为实数，且 x 2 y 2 1 }，B={(x，y) |x，y 为实数，且 y=x}，则 A ∩
B 的元素个数为
A．0
B． 1
C．2
D．3
解析 : 集合A表示由圆x2 y 2 1上的所有点组成的集合;集合B表示直线y x上的所有点组成的集体,由于直线经过圆内的点O(0,0), 故直线与圆有两个交点, 故选C.
(一)必做题(9—13 题) [来源:]
9.不等式 x 1 x 3 0 的解集是______.
解析原: x不等1 式x的 3解集0为 (x 1)2 (x 3)2, 1 0. x(x 2)7 的展开式中， x4 的系数是______ (用数字作答).
x
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2011年广东省高考数学试卷(理科)及答案

2011年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y 为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．04．（5分）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数5．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．36．（5分）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．188．（5分）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c ∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

满分30分）9．（5分）不等式|x+1|﹣|x﹣3|≥0的解集是．10．（5分）x（x﹣）7的展开式中，x4的系数是．11．（5分）等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和．若a1=1，a k+a4=0，则k=．12．（5分）函数f（x）=x3﹣3x2+1在x=处取得极小值．13．（5分）某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为．15．如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，∠BAC=∠APB，则AB=．三、解答题（共1小题，满分12分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（1）求f（）的值；（2）设α，β∈[0，]，f（3α+）=，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．17．（13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．18．（13分）如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．19．（14分）设圆C与两圆（x+）2+y2=4，（x﹣）2+y2=4中的一个内切，另一个外切．（1）求C的圆心轨迹L的方程；（2）已知点M（，），F（，0），且P为L上动点，求||MP|﹣|FP||的最大值及此时点P的坐标．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，a n≤+1．21．（14分）在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=x2．实数p，q满足p2﹣4q≥0，x1，x2是方程x2﹣px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．（1）过点，A（p0，p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=；（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2﹣4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，），E′（p2，p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X⇔|P1|＜|P2|⇔φ（a，b）=．（3）设D={（x，y）|y≤x﹣1，y≥（x+1）2﹣}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值（记为φmin）和最大值（记为φmax）2011年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）（2011•广东）设复数Z满足（1+i）Z=2，其中i为虚数单位，则Z=（）A．1+i B．1﹣i C．2+2i D．2﹣2i【分析】我们可以利用待定系数法求出Z，我们设Z=x+yi，结合已知中（1+i）Z=2，结合复数相等的充要条件，我们易构造出一个关于x，y的方程组，解方程组即可求出满足条件的复数Z的值．【解答】解：设Z=x+yi则（1+i）Z=（1+i）（x+yi）=x﹣y+（x+y）i=2即解得x=1，y=﹣1故Z=1﹣i故选B2．（5分）（2011•广东）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B={（x，y）|x，y为实数，且y=x}，则A∩B的元素个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】据观察发现，两集合都表示的是点集，所以求两集合交集即为两函数的交点，则把两集合中的函数关系式联立求出两函数的交点坐标，交点有几个，两集合交集的元素就有几个．【解答】解：联立两集合中的函数解析式得：，把②代入①得：2x2=1，解得x=±，分别把x=±代入②，解得y=±，所以两函数图象的交点有两个，坐标分别为（，）和（﹣，﹣），则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）（2011•广东）若向量，，满足∥且⊥，则•（+2）=（）A．4 B．3 C．2 D．0【分析】利用向量共线的充要条件将用表示；垂直的充要条件得到；将的值代入，利用向量的分配律求出值．【解答】解：∵∴存在λ使∵∴=0∴=2=0故选D4．（5分）（2011•广东）设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）A．f（x）+|g（x）|是偶函数B．f（x）﹣|g（x）|是奇函数C．|f（x）|+g（x）是偶函数D．|f（x）|﹣g（x）是奇函数【分析】由设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，我们易得到|f（x）|、|g（x）|也为偶函数，进而根据奇+奇=奇，偶+偶=偶，逐一对四个结论进行判断，即可得到答案．【解答】解：∵函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则|g（x）|也为偶函数，则f（x）+|g（x）|是偶函数，故A满足条件；f（x）﹣|g（x）|是偶函数，故B不满足条件；|f（x）|也为偶函数，则|f（x）|+g（x）与|f（x）|﹣g（x）的奇偶性均不能确定故选A5．（5分）（2011•广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（，1），则z=•的最大值为（）A．4 B．3 C．4 D．3【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．【解答】解：如图所示：z=•=x+y，即y=﹣x+z首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（，2），故z的最大值为4．故选：C．6．（5分）（2011•广东）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的比赛规则，我们可得甲要获得冠军可分为甲第一场就取胜，或甲第一场失败，第二场取胜，由分类事件加法公式，我们分别求出两种情况的概率，进而即可得到结论．【解答】解：甲要获得冠军共分为两个情况一是第一场就取胜，这种情况的概率为一是第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×=则甲获得冠军的概率为故选D7．（5分）（2011•广东）如某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12D．18【分析】由已知中三视图我们可以确定，该几何体是以正视图为底面的直四棱柱，根据已知三视图中标识的数据，求出棱柱的底面积和高，代入棱柱体积公式即可得到答案．【解答】解：由已知中三视图该几何体为四棱柱，其底面底边长为3，底边上的高为：=，故底面积S=3×=3，又因为棱柱的高为3，故V=3×3=9，故选B．8．（5分）（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的【分析】本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．【解答】解：若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确．故选A．二、填空题（共7小题，每小题5分，其中14、15只能选做一题。

2011广东省高考数学试卷(理科数学).doc

绝密★启用前试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=A ．1+iB ．1-iC ．2+2iD ．2-2i2．已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且x 2+y 2=l}，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}，则A ∩B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．33．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a+2b)=A ．4B ．3C ．2D ．04．设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数5已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组02{22x y x y ≤≤≤≤给定.若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为(2，1)．则z OM OA =u u u u r u u u r g的最大值为 A.42 B.32 C.4 D.36甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A.12B.35C.23D.347如图l —3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.63 B.93 C.123 D.183二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每小题5分．满分30分.(一)必做题(9—13题)9.不等式130x x +--≥的解集是______.10.72()x x x-的展开式中，4x 的系数是______ (用数字作答).11.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .12.函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.13.某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos (0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为 . 15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B 。

2011年全国高考理科数学试题及答案-广东

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

不按以上要求做大的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式其中,x y 表示样本均值。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．()()f x g x +是偶函数Ｂ．()()f xg x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

2011年高考广东省理科数学试题

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔讲试卷类型（A ）填涂在答题卡相应的位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i - 2．已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．33. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．()()f x g x +是偶函数Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM ON =的最大值为A． B． C ．4 D ．3 6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．23 D ．347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A. 63B. 93C. 123D. 1838.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的二填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011年广东高考理科数学试题及标准答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）试卷类型：A 成本文参考公式：柱体的体积公式V =Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高；线性回归方程y bx a =+中系数计算公式为1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x yxy b xx xnxη====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，其中,x y 表示样本均值；若n 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i -C. 22i +Ｄ．22i -２．已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３３．若向量a, b, c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则(2)⋅+=c a b Ａ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．０４．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．()()f x g x +是偶函数Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数Ｄ．()()f x g x -是奇函数5．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则=⋅z OM OA 的最大值为 A ．42 B ．32 C ．４ D ．３６．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．23 D ．34７．如下图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为Ａ．63Ｂ．93Ｃ．123Ｄ．1838．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，TV Z =且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A.,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C.,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011广东数学高考试题和答案

2011普通高等学校统一考试数学(广东卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i2．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 3．若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )等于 ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．04．设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z OM OA =⋅的最大值为( )A ．42B ．32C ．4D ．36．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A ．12B ．35C ．23D ．347．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为… ()A ．63B ．93C ．123D ．1838．设S 是整数集Z 的非空子集，如果∀a ，b ∈S ，有ab ∈S ，则称S 关于数的乘法是封闭的．若T ，V 是Z 的两个不相交的非空子集，T ∪V ＝Z ，且∀a ，b ，c ∈T ，有abc ∈T ；∀x ，y ，z ∈V ，有xyz ∈V ，则下列结论恒成立的是( )A ．T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．T ，V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．T ，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．T ，V 中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9．不等式|x ＋1|－|x －3|≥0的解集是____________．10．72()x x x-的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)11．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 12．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 13．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (0≤θ＜π)和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩ (t ∈R )，它们的交点坐标为________． 15．(几何证明选讲选做题)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R .(1)求5()4f π的值； (2)设α，β∈[0，2π]，10(3)213f a π+=，6(32)5f βπ+=，求cos(α＋β)的值．17．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 7081(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．18．如图，在锥体P －ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB ＝60°，P A ＝PD ＝2，PB ＝2，E 、F 分别是BC 、PC 的中点．(1)证明：AD ⊥平面DEF ；(2)求二面角P －AD －B 的余弦值．19．设圆C 与两圆22(5)4x y ++=，22(5)4x y -+=中的一个内切，另一个外切．(1)求C 的圆心轨迹L 的方程；(2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点．求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．20．设b ＞0，数列{a n }满足a 1＝b ，1122n n n nba a a n --=+-(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+.21．在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =.实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝ma x {|x 1|，|x 2|}．(1)过点A (p 0，2014p )(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有0(,)2p p q ϕ=；(2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b ＞0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E (p 1，2114p )，E ′(p 2，2214p )，l 1，l 2与y 轴分别交于F ，F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|＞|p 2|⇔1(,)2p a b ϕ=；(3)设D ＝{(x ，y )|y ≤x －1，215(1)44y x ≥+-}．当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin )和最大值(记为φma x )．参考答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．D 7．B 8．A 9．答案：{x |x ≥1} 10．答案：84 11．答案：10 12．答案：2 13．答案：185 14．答案：(1，255) 15．答案：3516．解：(1)55()2sin()2sin 241264f ππππ=-==. (2)10(3)2sin 213f παα+==，∴5sin 13α=，又α∈[0，2π]，∴12cos 13α=，6(32)2sin()2cos 25f πβπββ+=+==，3cos 5β=，又β∈[0，2π]，∴4sin 5β=，16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=. 17．解：(1)乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35. (2)样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14. (3)ξ＝0，1，2，22325=i i i C C P C ξ-（）=(i ＝0，1，2)，ξ的分布列为ξ 012P310 35 110均值E (ξ)＝1×35＋2×110＝45. 18．解：(1)取AD 的中点G ，又P A ＝PD ，∴PG ⊥AD ，由题意知△ABC 是等边三角形，∴BG ⊥AD ．又PG ，BG 是平面PGB 的两条相交直线， ∴AD ⊥平面PGB ， ∴EF ∥PB ，DE ∥GB ， ∴平面DEF ∥平面PGB ， ∴AD ⊥平面DEF .(2)由(1)知∠PGB 为二面角P —AD —B 的平面角，在Rt △PGA 中，PG 2＝(2)2－(12)2＝74；在Rt △BGA 中，BG 2＝12－(12)2＝34；在△PGB 中，22221cos 27PG BG PB PGB PG BG +-∠==-⋅.19．解：(1)两圆的圆心分别为A (－5，0)，B (5，0)，半径为2，设圆C 的半径为r .由题意得|CA |＝r －2，|CB |＝r ＋2或|CA |＝r ＋2，|CB |＝r －2，两式相减得|CA |－|CB |＝－4或|CA |－|CB |＝4，即||CA |－|CB ||＝4.则C 的轨迹为双曲线，其中2a ＝4，c ＝5，b 2＝1∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为2214x y -=. (2)由(1)知F 为双曲线L 的一个焦点，如图，连MF 并延长交双曲线于一点P ，此时|PM |－|PF |＝|MF |为||PM |－|FP ||的最大值．又2235455=255MF =-+（）（） MF 的方程为2(5)y x =--即252y x =-代入x 2－4y 2＝4并整理得215325840x x -+=，解得x ＝14515或x ＝18515＝655，显然x ＝655为点P 的横坐标，点P 的纵坐标为125252555p y =-=-. 即||MP |－|FP ||的最大值为2，此时点P 的坐标为(655，－255)．20．解：(1)法一：112(1)n n n a ba n a n --=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+⋅，设n n n b a =，则121n n b b b b-=⋅+(n ≥2)，设12()n n b b b λλ-+=⋅+，则122(1)n n b b b bλ-=⋅+-，当b ≠2时令21(1)b b λ-=，得12b λ=-，∴1121()22n n b b b b b -+=⋅+--(n ≥2)，知12n b b +-是等比数列，∴11112()()22n n b b b b b -+=+⋅--，又11b b =，∴12112()222n n n n n b b b b b b b -=⋅-=⋅---，∴(2)2n n n nnb b a b-=-. 当b ＝2时，2n n b =，a n ＝2，∴(2)(2)22(2)n n nnnb b a b b b ⎧-=≠⎪-⎨⎪=⎩. 法二：当b ＝2时，a n ＝2；当b ≠2时a 1＝b ，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33323333(2)242b b b a b b b -==++-，猜想(2)(2)2n n n nnb b a b b-=≠-，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，猜想显然成立；②假设当n ＝k 时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k kk k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++⋅+⋅-+-===+--+⋅--，所以当n ＝k ＋1时，猜想成立．由①②知，∀n ∈N *，(2)2n n n nnb b a b -=-. (2)b 2n ＋22n ≥2222nn b⋅＝2n ＋1b n ，b 2n －1·2＋b ·22n －1≥2222nn b ⋅＝2n ＋1b n ，…b n ＋1·2n －1＋b n －1·2n ＋1≥2222nnb ⋅＝2n ＋1b n ，以上n 个式子相加得b 2n ＋b 2n －1·2＋…＋b n ＋1·2n －1＋b n －1·2n ＋1＋…＋b ·22n －1＋22n ≥n ·2n ＋1b n ，221212111(222)2(2)2(2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b n b b a b b ----+⎡⎤+⋅++⋅+-⋅-⋅-⎣⎦=≤-- 2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n n b b b b b b b --+⎡⎤+⋅++⋅+--⋅-⎣⎦=- 2121111(2)222(2)n n n n n n n n n b b b b +++-+--⋅+⋅=-2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n n b b b b +++++-+⋅-=-1112n n b ++=+. 21．解：(1) 0001|()|2AB x p x p k y x p '＝＝＝＝＝，直线AB 的方程为200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-，∴2001124q p p p =-，方程x 2－px ＋q ＝0的判别式Δ＝p 2－4q ＝(p －p 0)2，两根001,222p p p p x ±-==或02pp -，∵p ·p 0≥0，∴0022p pp p -=-，又0≤|p |≤|p 0|，∴000222p p p p -≤-≤，得000222p p p p p -=-≤，∴φ(p ，q )＝02p.(2)由a 2－4b ＞0知点M (a ，b )在抛物线L 的下方．①当a ＞0，b ≥0时，作图可知，若M (a ，b )∈X ，则p 1＞p 2≥0，得|p 1|＞|p 2|；若|p 1|＞|p 2|，显然有点M (a ，b )∈X ；∴M (a ，b )∈X ⇔|p 1|＞|p 2|. ②当a ＞0，b ＜0时，点M (a ，b )在第二象限，作图可知，若M (a ，b )∈X ，则p 1＞0＞p 2，且|p 1|＞|p 2|；若|p 1|＞|p 2|，显然有点M (a ，b )∈X ； ∴M (a ，b )∈X ⇔|p 1|＞|p 2|.根据曲线的对称性可知，当a ＜0时，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|＞|p 2|. 综上所述，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|＞|p 2|(*)由(1)知点M 在直线EF 上，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根x 1，2＝12p 或12p a -，同理点M 在直线E ′F ′上，方程x 2－ax ＋b ＝0的两根x 1，2＝22p 或22pa -，若φ(a ，b )＝12p ，则12p |不比12p a -、22p 、22pa -小，∴|p 1|＞|p 2|，又|p 1|＞|p 2|⇔M (a ，b )∈X ，∴φ(a ，b )＝12p ⇔M (a ，b )∈X ；又由(1)知，M (a ，b )∈X ⇔φ(a ，b )＝12p ； ∴φ(a ，b )＝12p⇔ M (a ，b )∈X ，综合(*)式，得证．(3)联立y ＝x －1，215(1)44y x =+-得交点(0，－1)，(2，1)，可知0≤p ≤2，过点(p ，q )作抛物线L 的切线，设切点为(x 0，2014x )，则20001142x qx x p -=-，得200240x px q -+=，解得204x p p q =+-，又215(1)44q p ≥+-，即p 2－4q ≤4－2p ， ∴042x p p ≤+-，设42p t -=，∴2201152(1)222x t t t ≤-++=--+， ∵0max max2x ϕ=，又052x ≤，∴max 54ϕ=； ∵q ≤p －1，∴204422x p p p p p ≥+-+=+-=，∴0min min12x ϕ==.。

2011年广东高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z = （） A ． 1i + B ． 1i - C ． 22i + D ． 22i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的等式形式，变形为分数形式再通分化简即可求其代数形式. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】∵(1i)2z +=，∴22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-． 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 【测量目标】集合的交集运算（描述法）.【考查方式】给出一个一元二次方程和一个二元二次方程，联立求出解，进而得出交集元素. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】联立两集合的函数解析式得：221x y y x⎧+=⎨=⎩⇒221x =，解得22x =±，分别把22x =±代入y x =，解得22y =±，所以两函数的交点有两个，坐标分别为22(,)22和22(,)22--，则A B 的元素个数为2个. 3．若向量,a b,c 满足a b ∥且⊥a c ，则(2)c a +b= （） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出向量间垂直或平行的关系，进而求出向量积. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】∵a b ∥且⊥a c ，∴(2)20=c a +b c a +c b =． 4．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，则下列结论成立的是（）A ． ()()f x g x +是偶函数B ． ()()f x g x -是奇函数C ． ()()f x g x +是偶函数D ． ()()f x g x -是奇函数【测量目标】函数奇偶性的判断.【考查方式】由奇函数和偶函数的特性，考查加上绝对值符号后奇偶性的变化关系. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵()g x 是R 上的奇函数，∴ )(x g 是R 上的偶函数,从而()()f x g x +是偶函数,故选A.5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩剟……给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =的最大值为（）A ．3B ．4C ．32D ．42【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值，向量的数量积运算.【考查方式】利用向量积构造出目标函数，由不等式组画出可行域，进而求出其最值. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】作出可行域如图所示（步骤1）∵2z OM OA x y ==+，∴当直线02=+y x 平移到)2,2(M 时，z 取到最大值4．（步骤2）6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）第5题图A ．12 B ．35 C ．23 D ．34【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出两人获胜概率相等的条件，根据条件求出其中某人获胜的概率. 【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】43212121=⨯+=P ． 7．如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）A ．63B ．93C ．123D ．183 【测量目标】由三视图求几何体（棱柱）的体积.【考查方式】给出几何体的三视图，推测出几何体的形状，进而由线段关系得出体积. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由三视图可推测该几何体为四棱柱.(步骤1)高为31222=-=h ，底面面积为933=⨯=s ，∴39==sh V ．(步骤2)8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有a b S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集, T V =Z ，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（）第7题图A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ． ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ． ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ． ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【测量目标】集合间的关系.【考查方式】给出集合的特殊关系，利用特殊值法或假设法判断对应的选项. 【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】当{=T 奇数},V {=偶数}，T ，V 关于乘法都是封闭的，故B,C 错误；（步骤1） ∵T V =Z ，∴整数1一定在T ,V 两个集合中的一个中，不妨设T ∈1，则T b a ∈,，（步骤2）∵T b a ∈1,,，∴ 1a b T ∈，即 a b T ∈ ,∴T 对乘法封闭，即V T ,中至少有一个关于乘法是封闭的；（步骤3）当{=T 非负整数},V {=负整数}，T 关于乘法封闭，而V 关于乘法不封闭，故D 错误．（步骤4）二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式130x x +--…的解集是．【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】给出绝对值不等式，利用平方去绝对值符号，再进行求解. 【难易程度】容易【参考答案】),1[+∞【试题解析】∵13x x +-…，∴22(1)(3)x x +-…，解得1x …． 10．7)2(xx x -的展开式中4x 的系数是（用数字作答）．【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式的通项公式得出所求系数的通项，再根据所给乘积关系求出所满足项的系数. 【难易程度】中等【参考答案】84【试题解析】所求的4x 的系数就是7)2(xx -展开式中3x 的系数，（步骤1） ∵7)2(xx -的通项为772177C (2)(2)C r r r r r r r r T x x x ---+=-=-，（步骤2） ∴令327=-r ，解得2=r ． ∴令4x 的系数是227(2)C 84-=．（步骤3）11．等差数列{}n a 的前9项和等于前4项和，若0,141=+=a a a k ，则=k ．【测量目标】等差数列的通项.【考查方式】给出等差数列的通项所满足的关系和首项的值，由此求出等式中的对应参数. 【难易程度】中等【参考答案】10【试题解析】∵}{n a 的前9项和等于前4项和，且11=a ，∴d d 23442899⨯+=⨯+，解得61-=d ．（步骤1）∴06223)1(114=+-=++-+=+k d a d k a a a k ，解得10=k ．（步骤2） 12．函数13)(23+-=x x x f 在=x 处取得极小值．【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出函数的解析式，利用导数求出单调区间和极值点，进而判断得出极小值. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】∵()f x ')2(3632-=-=x x x x ，（步骤1）∴)2,0(∈x 时，()0f x '<；),2(+∞∈x 时，()0f x '>；（步骤2） ∴13)(23+-=x x x f 在2=x 处取得极小值．（步骤3）13．某数学老师身高176cm ，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm 和182cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm ．【测量目标】线性回归方程.【考查方式】由所给数据求出直线回归方程，进而求出对应的数值. 【难易程度】中等【参考答案】185【试题解析】根据题中所提供的信息，可知父亲和儿子的对应数据可列表如下：∵176,173==y x ，∴3132221()()361(3)3()iii ii x x y y b x x ==--⨯===-+-∑∑，父亲的身高(x ) 173 170 176 儿子的身高(y )1701761821761733a y bx =-=-=， ∴回归直线方程为3+=x y ，（步骤1） ∴预测他孙子的身高是182+3＝185cm ．（步骤2）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos (0π)sin x y θθθ⎧=⎪<⎨=⎪⎩…和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245()t ∈R ，它们的交点坐标为．【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出曲线的参数方程形式，转化为普通方程，联立求出交点坐标. 【难易程度】中等【参考答案】)552,1( 【试题解析】两曲线的方程分别为1522=+y x 和x y 542=，（步骤1）由05454152222=-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+x x x y y x ，∴1=x 或5-=x （舍去），∴⎪⎩⎪⎨⎧±==5521y x ．（步骤2） ∵sin (0π)y θθ=<…，∴]1,0[∈y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==5521y x （步骤3）.15．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点P 分别做圆的切线和割线交圆于A 、B 两点，且7=PB ，C 是圆上一点使得5=BC ，APB BAC ∠=∠，则=AB ．第15题图【测量目标】圆的性质与应用.【考查方式】结合三角形和圆的位置关系，利用三角形相似得出比例关系，进而求出对应线段长度. 【难易程度】中等【参考答案】35【试题解析】∵APB BAC ∠=∠,BCA PAB ∠=∠，∴BAP △∽BCA △，（步骤1）∴ABBCPB AB =，∴35AB PB BC == ．（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1π()2sin(),36f x x x =-∈R ．（1）求5π()4f 的值；（2）设π,[0,]2αβ∈，π10(3)213f α+=，6(32π)5f β+=，求cos()αβ+的值．【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦.【考查方式】给出三角函数的解析式，直接求其对应未知数的函数值；由解析式满足的关系，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系变形化简得出余弦值和正弦值，再求出对应的三角函数值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）5π15πππ()2sin()2sin 243464f =⨯-==．（2）∵π1ππ10(3)2sin[(3)]2sin 232613f ααα+=⨯+-==，∴5sin 13α=．（步骤1）∵π6(32π)2sin()2cos 25f βββ+=+==，∴3cos 5β=．（步骤2）∵π,[0,]2αβ∈，∴124cos ,sin 135αβ==．（步骤3）∴16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=．（步骤4）17．（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素y x ,的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号1 2 3 4 5 x169 178 166 175 180 y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中微量元素y x ,满足175x …且75y …时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．【测量目标】分层抽样，分布列与期望.【考查方式】利用样本和总体的比例关系求出某层的样本容量；由给定条件得出概率进而求出满足的样本容量；直接利用给定条件画出分布列得出离散型随机变量的期望. 【难易程度】中等【试题解析】（1）设乙厂生产的产品数量为m 件，则14985m=，解得35=m ．答：乙厂生产的产品数量为35件．（步骤1）（2）∵产品中微量元素y x ,满足175x …且75y …时的概率为52，（步骤2） ∴用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量为143552=⨯．（步骤3）（3）∵ξ的可能值为0，1，2，则 2223()C ()()55iiiP i ξ-==， 0,1,2i =．（步骤4）ξ的分布列为∴ξ的数学期望为54522)(=⨯=ξE ．（步骤5） 18．（本小题满分13分）如图，在锥体P ABCD -中，A B C D 是边长为1的菱形，且60DAB ∠= ，2PA PD ==，2PB E F =，，分别是BC PC ，的中点．(1) 证明：AD ⊥平面DEF ； (2) 求二面角B AD P --的平面角．第18题图【测量目标】线面垂直和线面平行的判定与线面角的求法. 【考查方式】线线垂直⇒线面垂直，由对应线段关系利用余弦定理求出线面角. 【难易程度】较难【试题解析】（1）设AD 中点为H ，连接BH PH ,，X 012P9251225425,,PA PD PH AD =∴⊥ 1,1,60,2AH AB DAB ==∠= 可得出3,2BH =（步骤1）从而222,,AH BH AB AH HB +=∴⊥即,AD HB ⊥AD ∴⊥平面,PHB （步骤2）又,E F 分别是,BC PC 的中点，,EF PB EF ∴∴∥∥平面,PHB 又显然,BH DE DE ∴∥∥平面,PHB 又,DE EF ⊂平面,,DEF DE EF E = ∴平面DEF ∥平面,PHB （步骤3） AD ⊥ 平面,PHB AD ∴⊥平面.DEF （步骤4）（2）由（1）知，,,PH AD BH AD ⊥⊥且PH ⊂平面,PAD BH ⊂平面,BAD PHB ∴∠就是二面角P AD B --的平面角，（步骤5）22173(2)(),,2,222PH BH PB =-===（步骤6）2227334321442cos ,277321212222PH BH PB PHB PH BH +--+-∴∠====-=-⨯⨯即二面角P AD B --的余弦值为21.7-（步骤7）第18题图19．（本小题满分14分）设圆C 与两圆22(5)4x y ++=，22(5)4x y -+=中的一个内切，另一个外切．（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M （553，554），)0,5(F ，且P 为L 上的动点，求FP MP -的最大值及此时点P 的坐标．【测量目标】圆与圆的位置关系，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系和圆锥曲线的综合应用. 【考查方式】给出曲线与两圆之间的位置关系，利用圆心距求出曲线的轨迹方程；根据双曲线上动点与定点的线段关系，联立直线方程与曲线方程求出交点，进而得出取最值时的点坐标. 【难易程度】较难【试题解析】（1）设两圆22(5)4x y ++=，22(5)4x y -+=的圆心分别为21,O O ,半径为r ，则r CO CO 221=-， ∴点C 轨迹L 为双曲线，其中1,2,5===b a c ，（步骤1）∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为1422=-y x ．（步骤2）（2）直线MF 的方程为)5(2)5(5553554--=--=x x y ，（步骤3）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧--==-155215514)5(21422y x x y y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==552556y x ．设)552,556(),1552,15514(-Q E , ∴当点P 在点Q处时，满足2MP FPMF -==．（步骤4）20．（本小题满分14分）设0>b ，数列}{n a 满足b a =1,11(2)22n n n nba a n a n --=+-…．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ,1112n n n ba +++…．【测量目标】已知递推关系求通项，不等式恒成立问题.【考查方式】由递推关系化简变形求出最简式，再利用配凑法或书数学归纳法求出其通项；利用并项求合法、放缩法以及均值不等式得出不等式恒成立的关系. 【难易程度】较难【试题解析】(1)由1122n n n nba a a n --=+-得1211n n n n a b a b--=+ ,当2b =时, 1112n n n n a a ---=, 所以{}n n a 是以首项为1112a =,公差为12的等差数列,所以11(1)222n n nn a =+-= ,从而2n a =.（步骤1）当2b ≠时, 11211()22n n n n a b b a b --+=+--,所以1{}2n n a b +-是首项为11122(2)a b b b +=--,公比为2b 的等比数列,所以11222()2(2)(2)nn n n n a b b b b b b -+==--- ,从而(2)2n n n n nb b a b -=-. 综上所述,数列{}n a 的通项公式为2,2(2),22n n n n b a nb b b b=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩（步骤2）（Ⅱ）当2b =时,不等式显然成立;当2b ≠时,要证1112n n n b a +++…,只需证11(2)122n n n n n nb b b b ++-+-…,即证11122(2)2n n n n n n b n b b b +++-+- …(*) 因为1111122312(2)(2)(222)2n nn n n n n n n n b b b b b b b ++++-----+=+++++- （步骤3） 1122222111(222)(22)n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++ 1112121222[()()]222n n n n nn n n b b b b b b b --++=+++++++ 21122311222[()()()]222n nn n n n b b b b b b b -++=++++++ 2111122311222(222)2(111)2222n nn nn n n n n n b b b b b n b b b b -+++++++=+++= …（步骤4）所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；综上所述，当0b >时，对于一切正整数n ,11 1.2n n n b a +++…（步骤5） 21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线21:4L y x =，实数,p q 满足240p q -…，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{||,||}p q x x ϕ=．（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0||(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240,0a b a ->≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ，证明：112||(,)||||(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =-+-剠，当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．【测量目标】抛物线与直线的位置关系，导数在实际问题中的应用，不等式的大小比较.【考查方式】应用导数建立直线方程，求出抛物线上点与线段的对应关系，得出证明；利用切线方程的关系，得出不等式的推导关系；在所给范围内代入函数解析式求出对应的最值.【难易程度】较难【试题解析】（１）00011|()|22AB x p x p k y x p =='===，直线AB 的方程为200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-，（步骤1） 2001124q p p p ∴=-，方程20x px q -+=的判别式2204()p q p p ∆=-=-，两根001,2||22p p p p x ±-==或02p p -，（步骤2） 00p p …，00||||||||22p p p p ∴-=-，又00||||p p 剟， 000||||||||222p p p p ∴--剟，得000||||||||||222p p p p p ∴-=-…，（步骤3） 0(,)||2p p q ϕ∴=．（步骤4）（２）由240a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方，（步骤5）①当0,0a b >…时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >…，得12||||p p >；若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈； (,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>．（步骤6） ②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >>，且12||||p p >；若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈；(,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>．（步骤7）根据曲线的对称性可知，当0a <时，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>，综上所述，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>（*）；（步骤8）由（１）知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，同理点M 在直线E F ''上，方程20x ax b -+=的两根21,22p x =或22p a -，（步骤9）若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -、2||2p 、2||2p a -小， 12||||p p ∴>，又12||||p p >(,)M a b X ⇒∈， 1(,)||2p a b ϕ∴=⇒(,)M a b X ∈；又由（１）知，(,)M a b X ∈1(,)||2p a b ϕ⇒=； 1(,)||2p a b ϕ∴=⇔(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证．（步骤10）（３）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p 剟，（步骤11）过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x q x x p -=-，得200240x px q -+=，解得204x p p q =+-，（步骤12）又215(1)44q p +-…，即2442p q p --…， 042x p p ∴+-…，设42p t -=，20122x t t ∴-++…215(1)22t =--+，（步骤13） 0max max ||2x ϕ= ，又052x …，max 54ϕ∴=；（步骤14） 1q p - …，2044|2|2x p p p p p ∴+-+=+-=…， 0min min ||12x ϕ∴==．（步骤15）。

2011年高考数学广东理(word版含答案)

【选择题】【1】．设复数z 满足()1i 2z +=，其中i 为虚数单位，则z =( )（A ）1i +（B ）1i -（C ）2+2i（D ）22i -【2】．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为( )（A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【3】．若向量a,b,c 满足a ∥b 且⊥a c ，则()+2c a b =( )（A ）4（B ）3（C ）2 （D ）0【4】．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )（A ）()()f x g x +是偶函数（B ）()()f x g x -是奇函数（C ）()()f x g x +是偶函数（D ）()()f x g x -是奇函数【5】．已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA =⋅的最大值为( )（A）（B）（C ）4（D ）3【6】．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )（A ）12 （B ）35 （C ）23（D ）34【7】．如图1-3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为（A）（B）（ C）（D）【8】．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的.若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T U =Z ,且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（A ）,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的（B ）,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的（C ）,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的（D ）,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【填空题】【9】．不等式13x x +--≥0的解集是 .【10】．72x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是（用数字作答）【11】．等差数列n a 前9项的和等于前4项的和．若141,0,k a a a =+=则k =____________．【12】．函数()3231f x x x =-+在x =____________处取得极小值.【13】．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm ．【14】．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为,(0π)sin x y θθθ⎧=⎪<⎨=⎪⎩≤ 和25,()4x t t y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩R ，它们的交点坐标为___________．【15】．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，图3C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = .【解答题】【16】．已知函数1π()2sin(),.36f x x x =-∈R （1）求5π()4f 的值；（2）设ππ106,0,,(3),(32π),22135f f αβαβ⎡⎤∈+=+=⎢⎥⎣⎦求cos()αβ+的值．【17】．为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.【18】．如图．在椎体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60︒，PA PD ==PB =2,,E F 分别是,BC PC 的中点．（1）证明：AD ⊥平面DEF ; （2）求二面角P -AD -B 的余弦值．【19】．设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y +=+=中的一个内切，另一个外切.（1）求C 的圆心轨迹L 的方程;（2）已知点MF ，且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标．【20】．设b>0,数列{}n a 满足1a b =，()11222n n n nba a n a n --=+-≥.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a +++≤【21】．在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L :214y x =，实数,p q 满足240p q -≥，1,2x x 是方程20xpx q -+=的两根，记{}12(,)max ,p q x x ϕ=.（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上任一点(),Q p q 有0(,);2p p q ϕ=（2）设(),Ma b 是定点，其中,a b 满足240a b ->,0a ≠．过(),M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '.线段EF 上异于两端点的点集记为X ．证明：(),M a b X ∈⇔12P P >⇔(,)a b ϕ12p =;（3）设()()215,|1,144D x y y x y x ⎧⎫=-+-⎨⎬⎩⎭≤≥．当点(),p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．【参考答案】【1】．B提示：由(1i)2z +=，得22(1i)1i 1(1i)(1)zi i -===-+-+. 【2】．C提示：由221x y y x ⎧+=⎨=⎩，得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B的元素为,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭.【3】．D 提示：因为a ∥b ，所以λ=b a ，故2(12)λ++a b =a ，又因为⊥a c ，所以(2)+=c a b (12)0λ+a c =. 【4】．A提示：设()()|()|F x f x g x =+,则()()|()|F x f x g x -=-+-()|()|()f x g x f x =+-=+|()|g x()F x =，所以()F x 是偶函数.【5】．C提示：由不等式组得平面区域D的四个顶点坐标为1234(0,0),(0,2),A A A A ，将它们分别代入2z OM OA x y =∙=+，得12340,2,4,3z z z z ====.【6】．D提示:只打一局时必须甲队赢，概率为12，打两局时必须乙队先赢第一局，甲队赢第二局，概率为111224⨯=，所以甲队获得冠军的概率为113244+=. 【7】．B提示：由三视图可知，该几何体是底面边长为3的正方形，高为h 方形的面积为339S =⨯=，故几何体的体积为3V Sh ===.【8】．A提示：用特殊值法进行求解：（1）当T 和V 有一个为有限集时，不妨设T 为有限集，例如{0,1,2}T =，显然T 关于乘法是封闭的，此时{,3,2,1,3,4,}V =---，有(1)(2)2V -⨯-=∉，所以V 关于乘法是不封闭的；（2）当T 和V 都是无限集时，例如，{,5,3,1,1,3,5,}T =---，{,4,2,0,2,4,}V =--,此情形下，T 和V 都关于乘法都是封闭的 .再如{1,2,3,}T =---，{0,1,2,3,}V =，此情形下,T 关于乘法是不封闭的，但V 关于乘法是封闭的.综上所述，,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的. 【9】．[1,)+∞ 提示：13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥1.【10】．84提示：72()x x x-的通项7821772()(2)r rr r r r r T x C x C x x--+=-=-，由824r -=，得2r =，则227(2)84C -=.【11】．10 提示：方法1：由94S S =，得9364d d +=+,求得16d =-,则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =.方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =. 【12】．2提示：2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时，()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时，()0f x '>.函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值.【13】．185提示:设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：则173,176x y ==，3132221()()00361033()iii ii x x y y b x x ==--++⨯===++-∑∑，3a y bx =-=，所以线性回归方程为3y x =+，所以当182x =时，185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．【14】．⎛ ⎝⎭提示：将参数方程化为普通方程分别为：2215x y += (0)y ≥ 与 254x y = .联立方程组，可解得1,x y ==【15】提示：∵ AP 为切线，∴PAB ACB ∠=∠. 又∵B A C AP B ∠=∠,PAB ∴∆～ACB ∆, PB ABBA BC∴=, AB ∴===【16】．解：（1）5π15πππ2sin 2sin 43464f ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由π1ππ1032sin 32sin 232613f ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得135sin =α. 由()()1ππ632π2sin 32π2sin 2cos 3625f ββββ⎛⎫⎛⎫+=⨯+-=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得53cos =β. 又π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故1312sin 1cos 2=-=αα，54cos 1sin 2=-=ββ. ()651654135531312sin sin cos cos cos =⨯-⨯=-=+βαβαβα.【17】．解：（1）设乙厂生产的产品数量为n ，则有9814,5n =解得n =35，故乙厂生产的产品数量为35件.（2）样本中只有编号为2，5的产品为优等品，所以可估计乙厂生产的产品中的优等品率为2,5故乙厂生产有大约235145⨯=（件）优等品，（3）ξ的可能取值为0，1，2，且21123323222555331(0),(1),(2)10510C C C C P P P C C C ξξξ⨯=========. 所以ξ的分布列为故012.105105E ξξ=⨯+⨯+⨯=的均值为【18】．证法1：（1）如图1，连接BD .∵∠DAB =60°，ABCD是边长为1的菱形.∴△ABD ，△CBD 均为边长为1的正三角形. ∵E 为BC 的中点，∴BC DE ⊥.又∵AD ∥BC ， ∴AD DE ⊥.取AD 的中点G ，连结,PG BG .图1 ∵PA PD G ==为AD 的中点，∴PG AD ⊥.∵1AB AD ==，G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥. 而PGBG G =∴AD ⊥平面PBG .∴AD PB ⊥.∵,E F 分别是,BC PC 的中点.∴EF ∥PB . ∴AD EF ⊥. 由AD DE ⊥，AD EF ⊥、EFDE E =，知AD ⊥平面 DEF .(2) 由（1）的证明知PG AD ⊥，BG AD ⊥.又∵PG ⊂平面PAD ，BG ⊂平面BAD . 平面PAD 平面BAD AD =.∴∠PGB 为二面角P -AD -B 的平面角.在Rt△PAG 中，2722=-=AG PA PG , 在Rt△ABG 中，3sin 60BGAB =⋅=∴222cos 2PG BG PB PBG PG BG+-∠=⋅ .734+-==. 证法2：(1) 连接BD ，∵∠DAB =60°，ABCD 是边长为1的菱形.∴△ABD ，△CBD 均为边长为1的正三角形. ∵E 为BC 的中点，∴BC ⊥DE .又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥DE .以D 为原点，,DA DE 的方向分别为x 轴，y 轴的正向，建立如图2所示的空间直角坐标系.图2则有D （0，0，0），C （0,23,21-），(1,0,0)A . 取AD 的中点G ，连PG ，GB . 由 GB ∥DE ， AD ⊥BG ，可得 B（12），G （0,0,21）. ∵PA =PD ∴PG ⊥AD ， ∴可设P （z y ,,21）.于是，31(0,,),(,,)22PB y z DP y z =--=（或用1(,,),2PA y z =--）∴222||()42PB y z =-+= ① 2221||24PD y z =++= ②解得 P （1,23,21-）.又C （0,23,21-），∴F （21,0,0）. (1,0,0),DA = ∴13(0,0,),(0,22DFDE ==∵0,0DA DF DA DE ⋅=⋅=，∴DA ⊥DF ，DA ⊥DE . ∴AD ⊥平面DEF. (2）由（1）得1(,22DP =-，(1,0,0)DA = ，设面PAD 的法向量为(,,)xy z =n ,由于1022DP x y z ⋅=-+=n ，且0DA x ⋅==n ，所以取(0,1,).2=--n 又∵面ABD 的法向量(0,0,1)=m ，∴cos ,||||⋅<>=mn m n m n=7-. 【19】．（1）解：设C 的圆心的坐标为(,)x y，由题设条件知|4,-=化简得L 的方程为22 1.4x y -= （2）解：过,M F 的直线l 的方程为2(y x =-，将其代入L 的方程得215840.x-+=解得1212x x l L T T ==故与的交点为因1T 在线段MF 外，2T 在线段MF 内，如图.故11||||||2,MT FT MF -==22|||||| 2.MT FT MF -<=若P 不在直线MF 上，则在MFP ∆中有|||||| 2.MP FP MF -<=故||||MP FP -只在1T 点取得最大值2，此时点P的坐标为55⎛- ⎝⎭.【20】．（1）解：由1111112211210,0,,.22n n n n n n n n nba a n n n a b a a n a nba a b b a -----+--=>=>==++-知令11,nn n A A a b==，当1122,n n n A A b b -=+≥时2112111222n n n n A b bb b----=++++21211222.n n n n b b b b---=++++①当2b ≠时，12(1)2,2(2)1nn n n n b b b A b b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭==--②当2,.2n n b A ==时(2),2,22, 2.n n nn nb b b a b b ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩. （2）证明：当2b ≠时，（欲证1111(2)21,(1)2222n n n n n nn n n n n nb b b b b a nb b b ++++--=++--≤只需证≤）11111212(2)(2)(22)2n nn n n n n n n b bb b b b ++++----+=++++-112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++21212222()222n n n nn n n n b b bb b bb --=+++++++12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=⋅=⋅，11(2) 1.22n n n n nn nb b b a b ++-∴=<+-当112,2 1.2n n n b b a ++===+时综上所述11 1.2n n n b a +++≤【21】．解：（1）由题214y x =，则2xy '= ，从而过A 点的切线方程为20001()42py p x p -=-，即200124p y x p =-.由于点(,)p q 在线段上，则200124p q p p =-，从而由20x px q -+=得22001024p x px p p -+-=，即00()022p p x x p ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即0012,22p p x x p ==-. 如图1，①当00p >时，有00p p ≤≤，0021,22p px p x =-=≤此时01(,)2p p q x ϕ==； ②当00p <时，有00p p ≤≤，000121222p p px p x x =-=-=-≤≤，此时01(,)2p p q x ϕ== . 综上，0(,)2p p q ϕ=. （2）21,l l 的方程分别为2222114121,4121p x p y p x p y -=-=. 求得21,l l 交点),(b a M 的坐标)4,2(2121p p p p +. 由于0,042≠>-a b a ,即2212121240242p p p p p p +-⎛⎫⎛⎫-⋅=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图1故有21p p ≠.1）先证: 21),(p p X b a M >⇔∈. 充分条件：12(,)M a b Xp p ∈⇒>.设X b a M ∈),(. 如图2. 当01>p 时,211211212020p p p p p p p p >⇒<+<⇒<+<. 当01<p 时, 212112110202p p p p p p p p >⇒<+<⇒<+<.必要条件：12(,)M a b Xp p ∈⇐>.设21p p >,则201111211212<+<⇒<<-⇒<p p p p p p p . 当01>p 时, 12120p p p <+<;当01<p 时，02211<+<p p p , 注意到),(b a M 在1l 上,故X b a M ∈),(.2）再证：1||(,)(,).2p M a b X a b ϕ∈⇔=充分条件：1||(,)(,)2p M a b X a b ϕ∈⇒=.因为,),(X b a M ∈由（1）中的结论可知有1||(,)2p a b ϕ=.即充分条件成立. 必要条件：1||(,)(,)2p M a b X a b ϕ∈⇐=. 由(１)知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根112p x =或2x =12p a -，同理点M 在直线E F ''上，方程20x ax b -+=的两根212p x =或222p x a =-，若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -,2||2p ,2||2pa -小.又因为21p p ≠，所以12||||p p >.又12||||(,)p p M a b X >⇒∈，所以1(,)||2p a b ϕ=⇒(,)M a b X ∈. 综上，.2||),(||||),(121p b a p p X b a M =⇔>⇔∈ϕ （3）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，图2可知0p ≤≤2，过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x qx x p -=-，得200240x px q -+=，解得0x p =+又q ≥215(1)44p +-，即24p q -42p -≤，∴0x≤pt =， ∴0x ≤221152(1)222t t t -++=--+，0max max ||2x ϕ=，又0x ≤52，∴max 54ϕ=；q ≤1p -，∴0x ≥|2|2p p p +=+-=，∴0min min ||12x ϕ==. 【End 】。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(广东卷)(精校版含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）试卷类型：A 成本文参考公式：柱体的体积公式V =Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高；线性回归方程y bx a =+中系数计算公式为1122211()()()nnii i ii i nniii i xx y y x yxyb xx xnxη====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，其中,x y 表示样本均值；若n 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+）.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i -C. 22i +Ｄ．22i -２．已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221xy +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３３．若向量a, b, c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则(2)⋅+=c a bＡ．４Ｂ．３Ｃ．２Ｄ．０４．设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．()()f x g x +是偶函数Ｂ．()()f x g x -是奇函数Ｃ．()()f x g x +是偶函数Ｄ．()()f x g x -是奇函数5．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则=⋅z OM OA 的最大值为A． B． C ．４ D ．３６．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12 B ．35 C ．23 D ．34７．如下图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则几何体的体积为正视图侧视图Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若T ,V 是Z 的两个不相交的非空子集，TV Z =且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A.,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C.,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011年高考理科数学(广东卷)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设复数z 满足2)1(=+z i ，其中i 为虚数单位，则z =A ．i +1B ．1i -C ．i 22+D ．i 22-2．已知集合{}22(,)|,1A x y x y x y =+=为实数,且，}1,,|),{(=+∈=y x R y x y x B 且，则A B 的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．13．若向量a ，b ，c ，满足//a b 且a b ⊥，则 =A ． 4B ．3C ．2D ．04．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤yx y x 2220给定，若(,)M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为()12，，则z ∙=的最大值为A ．24B ．23C ．4D ．36．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A ．21 B ．53 C ．32 D ．437．如图1～3，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为 A ．36 B ．39 C ．312 D ．3188．设S 是整数集Z 的非空子集，如果S b a ∈∀,，有S ab ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的，若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集，T V Z = ，且T c b a ∈∀,,，有T c ab ∈,；V z y x ∈∀,,，有V xyz ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011广东省高考数学试卷(理科数学)

绝密★启用前试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分。

满分40分•在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的.1 •设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z= A • 1+i B • 1-i C • 2+2i D • 2-2i2. 已知集合 A={ (x , y)|x , y 为实数，且 x +y =l} , B={(x , y) |x , y 为实数，且 y=x}, 则 A P B 的元素个数为A • 0B • 1C • 2D • 33. 若向量 a , b , c 满足a //b 且a 丄c ,贝U c • (a+2b)= A • 4 B • 3 C • 2 D • 04 •设函数f(x)和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A. f(x)+|g(x)| 是偶函数 B • f(x)-|g(x)|是奇函数C. | f(x)| +g(x)是偶函数D • | f(x)卜g(x)是奇函数0 x 25已知平面直角坐标系 xOy 上的区「域D 由不等式组{ y 2 给定•若M (X,y)为D 上动点,x 2y-ujun mu点A 的坐标为(2 , 1) •则z 0M QA 的最大值为A. 4.2B. 3 2C.4D.3 6甲、乙两队进行排球决赛•现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A.7如图I — 3•某几何体的正视图(主视图)是平行四边形, 则该几何体的体积为C.侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，A. 6,3B. 9 3C. 12,3D. 18,3E设5是型埶集2的非空孑集，如果gbUh W abGS,刚称S关于蠟的兼法是封诩的. 若丁」@是£的两个不相交朗E空子集.TU".且九哄匸丁」有abc^Tj Vx s y,工E期，W syzGV.则下列结谕怛成立的是A.T, V中至少有一个关于乘法是封闭的B. T,廿中至多有一于乘法是封闭的C. T, V中有且貝有一个关于乘法是封闭的D. T,領中每一个关于乘法都是封闭的二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题•每小题5分•满分30分.（一）必做题（9 —13题）9.不等式x 1 x 3 0的解集是______________ .1”0.X（X 2）7的展开式中，X4的系数是 ________ （用数「字作答）.X11. 等差数列a n前9项的和等于前4项的和.若印1,3k 34 0,则k .12. 函数f（x） X3 3x2 1在x __________ 处取得极小值•13. 某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为cm.（二）选做题（14 —15题，考生只能从中选做一题）X 5cos（0< V）和y sin 14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为4 （t R），它们的交点坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于代B。

2011高考题广东卷及解析

④2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()nii i nii xx y y b xx ==--=-∑∑ ， ay b x =- ，其中x ，y 表示样本均值． n 是正整数，则1221()()nnn n n n a b a b aab abb-----=-++++ ．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，则z =A ．1i +B ．1i -C ．22i +D ．22i - 1．（B ）．22(1)11(1)(1)iz i i i i -===-++- 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线y x =的交点个数，显然有2个交点 3．若向量,,a b c 满足a ∥b 且⊥a c ，则(2)⋅+=c a bA ．4B ．3C ．2D ．0 3．（D ）．依题意得⊥c a ，⊥c b ，则(2)20⋅+=⋅+⋅=c a b c a c b4．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()()f x g x +是偶函数 B ．()()f x g x -是奇函数 C ．()()f x g x +是偶函数 D ．()()f x g x -是奇函数4．（A ）．由()f x 是偶函数、()g x 是奇函数，得()f x 和()g x 都是偶函数，所以()()f xg x +与()()f x g x -都是偶函数，()()f x g x +与()()f x g x -的奇偶性不能确定正视图图1 侧视图图2俯视图图35．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组2xyx⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM OA=⋅的最大值为A．．．4 D．35．（C）．zy=+，即y z=+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线yz=+经过点2)时，z取得最大值，max24z=+=6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．12B．35C．23D．346．（D）．乙获得冠军的概率为111224⨯=，则甲队获得冠军的概率为13144-=7．如图 1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图的体积为A．．．．7．（B）．该几何体是一个底面为平行四边形，高为3的四棱柱，，则33V Sh==⨯=8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z的两个不相交的非空子集，T V Z ⋃=，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的8．（A ）．若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 13题）9．不等式13x x +--≥0的解集是． 9．[1,)+∞．13x x +--≥0 ⇒1x +≥3x -⇒2(1)x +≥2(3)x -⇒x ≥110．72()x x x -的展开式中，4x 的系数是（用数字作答）10．84．72()x x x-的通项7821772()(2)r rr r r rr T x C x C xx--+=-=-，由824r -=得2r =，则227(2)84C -=11．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．11．10．方法1：由94S S =得93646d d+=+，求得16d =-，则4111(1)()13()066k a a k +=+-⨯-++⨯-=，解得10k =方法2：由94S S =得567890a a a a a ++++=，即750a =，70a =，即104720a a a +==，即10k =12．函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值． 12．2．2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=得0x =或2x =，显然当0x <时()0f x '>；当02x <<时()0f x '<；当2x >时()0f x '>，函数32()31f x x x =-+在2x =处取得极小值13．某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm ．因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm ． 13．185．设父亲的身高为x cm ，儿子的身高为y cm ，则根据上述数据可得到如下表格：上表中的最后一组(182,?)是预测数据，173,176x y ==12221()()00361033()nii i ni i xx y y bx x ==--++⨯===++-∑∑， 3ay b x =-= 线性回归方程 3y x =+，所以当182x =时， 185y =，即他孙子的预测身高为185 cm ．（二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x ty t ⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________． 14．5．图4COPBAsin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215xy +=(01)x y ≤≤≤，254x t y t ⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x=22221(01)5450145x y x y x x x y x ⎧+=≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为(1,515．（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ，且7P B =，C 是圆上一点使得5B C =，BAC APB ∠=∠，则A B =___________．15．由弦切角定理得P A B A C B ∠=∠，又B A C A P B ∠=∠，则△P A B ∽△AC B ，则P B A B A BB C=，235AB PB BC =⋅=，即AB =三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求5()4f π的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求cos()αβ+的值．16．解：（1）515()2sin()2sin 43464f ππππ=⨯-==（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴12cos 13α==，4sin 5β==∴1235416cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=17．（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．17．解：（1）设乙厂生产的产品数量为a 件，则98145a =，解得35a =所以乙厂生产的产品数量为35件（2）从乙厂抽取的5件产品中，编号为2、5的产品是优等品，即5件产品中有2件是图5CDPBAEFCDPBAE FH优等品由此可以估算出乙厂生产的优等品的数量为235145⨯=（件）（3）ξ可能的取值为0，1，223253(0),10C P C ξ===1123256(1),10C C P C ξ===22251(2),10C P C ξ===∴ξ的分布列为：∴3614012.1010105E ξ=⨯+⨯+⨯=18．（本小题满分13分）如图5，在锥体P A B C D -中，A B C D 是边长为1的菱形，且60DAB ∠=，PA PD ==2PB =，,E F分别是B C ,PC 的中点．（1）证明：AD ⊥平面D E F ；（2）求二面角P AD B --的余弦值．18．（1）证明：取A D 的中点H ，连接,,PH BH BD∵PA PD =，∴AD PH ⊥∵在边长为1的菱形A B C D 中，60DAB ∠=∴△ABD 是等边三角形∴AD H B ⊥，PH HB H = ∴AD ⊥平面PH B ∴AD PB ⊥∵,E F 分别是B C ,PC 的中点∴E F ∥P B ，H B ∥D E∴AD D E ⊥，AD EF ⊥，DE EF E = ∴AD ⊥平面D E F（2）解：由（1）知PH AD ⊥，H B AD ⊥ ∴P H B ∠是二面角P AD B --的平面角易求得,22PH BH ==∴2227334cos 27222PH H B PBPH B PH H B+--+-∠====-⋅∴二面角P AD B --的余弦值为7-19．（本小题满分14分）设圆C与两圆22(4x y ++=，22(4x y -+=中的一个内切，另一个外切．（1）求C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点55M，0)F ，且P 为L 上动点，求M P FP - 的最大值及此时点P 的坐标．19．解：（1）设(0),0)F F '，圆C 的半径为r ，则(2)(2)4CF CF r r '-=+--=< ∴C 的圆心轨迹L 是以,F F '为焦点的双曲线，2a =，c =，1b =∴C 的圆心轨迹L 的方程为2214xy -=（2）2 M P FP M F-≤== ∴M P FP-如图所示，P必在L直线M F的斜率2k=-:2M F y x=-+22142xyy x⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩215280x-+=6)0--=12155x x==∵Px>5Px=5Py=-∴M P FP- 的最大值为2，此时P为()55-20．（本小题满分14分）设0b>，数列{}na满足1a b=，1122nnnnbaaa n--=+-(2)n≥．（1）求数列{}na的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，1112nn nba++≤+．20．（1）解：∵1122nnnnbaaa n--=+-∴1122n nna ban a n--=+-∴1211nn n n a b a b--=⋅+ ① 当2b =时，1112nn n n a a ---=，则{}nn a 是以12为首项，12为公差的等差数列∴11(1)22nn n a =+-⨯，即2n a =② 当0b >且2b ≠时，11211()22nn n n a b b a b--+=+-- 当1n =时，122(2)nn a bb b +=--∴1{}2nn a b +-是以2(2)b b -为首项，2b为公比的等比数列∴112()22nn n a bb b+=⋅-- ∴212(2)2(2)nnn nnnn ba b bbb b-=-=---∴(2)2nn nnn b b a b-=-综上所述(2),02222nn n n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且，（2）方法一：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，12212(2)(222)n n n n n n b b b bb -----=-++++1221222nnnn n n n n n ba b bb----⋅=≤=++++11121111222222222n nn n n n n n bb b b+++---++=====<=⋅1112n n b +++∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．方法二：证明：① 当2b =时，11122n n n b a ++=+=；② 当0b >且2b ≠时，要证1112n n n b a ++≤+，只需证11(2)122nn nnn nb b b b++-≤+-，即证1(2)122nnn nn b b b b+-≤+-即证1221112222n n n n n nnb b b bb----+≤+++++即证122111()(222)2n n n n n nb b bbn b----++++++≥即证2112231122221()()2222n nn n nn nn b b bb n bbbb---+-+++++++++≥∵2112231122221()()2222n nn n nn nn b b bb bbbb---+-+++++++++2121232111222()()()()2222n n nn nn n nb b bb bbbb----+=++++++++n ≥+= ，∴原不等式成立∴对于一切正整数n ，1112n n n b a ++≤+．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：214y x =．实数,p q 满足24p q -≥0，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{,}p q x x ϕ=．（1）过点2001(,)4A p p 0(0)p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段A B 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b ->，0a ≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2111(,)4E p p ，2221(,)4E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段E F上异于两端点的点集记为X．证明：112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设{(,)|D x y y =≤1x -，y ≥215(1)}44x +-．当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为m in ϕ）和最大值（记为max ϕ）21．解：（1）2001(,)4A p p 是抛物线L 上的点，12y x '=，则切线的斜率012k p = 过点A 的抛物线L 的切线方程为A B ：200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-∵(,)Q p q 在线段A B 上，∴2001124q p p p =-，∴22220001144()()24p q p p p p p p -=--=-≥0不妨设方程20x px q -+=的两根为12x =22x =则012p p p x --=，022p p p x +-=① 当00p >时，00p p ≤≤，001222p p p x p -==-，022p x =∵00122p p x -<≤，∴12x x ≤，∴122(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =② 当00p <时，00p p ≤≤，012p x =，002222p p p x p -==-∵00222p p x ≤<-，∴12x x ≥，∴121(,)max{,}p q x x x ϕ==02p =综上所述，对线段A B 上的任一点(,)Q p q ，有0(,)2p p q ϕ=（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+=∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴1,2p a =±① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔1p a =+，2p a =-⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔1p a =-，2p a =+⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段E F 上，有1(,)2p a b ϕ=∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ= ③由（1）可知，方程20x a x b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a -若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、2122p p ≥、 2122p a p -≥∴12p p > ∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N 2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H由（2）知200240x px q -+=，解得0x p =±，①若0x p =+(,)G p q 在线段N H 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥+=+-=，∴0m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =+≤+令t =，则2122p t =-+，02t ≤≤∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤∴0max max 5)24(x ϕ==②若0x p =-(,)G p q 在线段N H 的延长线上方程20x px q -+=的两根为012p p x x --=，022p p x x +-=即01,22x x =或02x p -∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x x p q x x p p ϕ==-=-2p -==，同理可得51(,)4p q ϕ≤≤综上所述m in 1ϕ=，m ax 54ϕ=全卷分析:【试卷亮点】今年的理科数学试题依然保持总体平稳，局部稍有变化，将学生的“知识、能力、素质为一体”，内容上体现了“考查学生对基础知识、基本技能的掌握程度”和“考查学生对数学思想方法和数学本质的的理解水平”。

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