2013高考数学专题十：三角函数(3)

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2013年高考数学试题精编：43三角函数的图像和性质

再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
y = sin(1 x − π ) 2 10 .
答案：C
12.
（
天
津
卷
文
8
）
右图是函数y
=
A
sin（ω
x+ϕ）（x
∈
R）在区间
⎡⎢⎣-
π 6
，5π 6
⎤ ⎥⎦
上的图象，
为
了
得
到
这
个
函数的图象，只要将 y = sin x（x ∈ R）的图象上所有的点
y = sin(2x − π )
（A）
10
y = sin(2x − π )
（B）
5
y = sin(1 x − π )
（C）
2 10
y = sin(1 x − π )
（D）
2 20
π 解析：将函数 y = sin x 的图像上所有的点向右平行移动 10 个单位长度，所得函数图象的解
π 析式为 y＝sin(x－ 10 )
【解析】
6=
12 ，
3=
6 ，所以将
y = sin(2x + π )
π
y = sin(2x − π )
6 的图像向右平移 4 个长度单位得到
3 的图像，故选 B.
9.（陕西卷理 3）对于函数 f ( x ) = 2 s i n x c o s x ，下列选项中正确的是（）
ππ （A） f (x) f（x）在（ 4 ， 2 ）上是递增的
选 B。【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。
3 sin( x − π ), x ∈ R

2013年高考数学三角函数的题型分析word精品文档5页

2013年高考数学三角函数的题型分析[文献标识码]A近几年的高考中，三角函数题所占的分值不少，题目的类型比较固定，但是考查的知识点全面，涉及的内容广。

在2013年的高考题中，三角函数是怎样出题的？考查了哪些知识点？所占的分值是多少？与其他部分的知识点有哪些联系？针对上述这些问题，笔者对2013年各省市理科数学高考题中三角函数的试题进行了研究，统计了2013年各省市理科数学三角函数的知识点分布以及在各套试卷中所占的分值。

在这一统计工作的基础上，笔者对去年三角函数各知识点出现的频率进行了统计，对去年三角函数知识点的考查重点进行了分析。

各个知识点的考查都不是单独进行的，三角函数它是一种特殊的函数，三角函数体现出了函数的很多性质，那么这一特殊函数它通常和哪些知识点间有紧密的联系？笔者针对上述问题对去年的高考题进行了分析，并针对研究的结果，相应地提出了一些建议。

在现在的高考中，知识点之间的联系越来越紧密，三角函数与其他知识块综合考查。

笔者通过对这部分题型的统计、分析，总结出在2013年的高考中和三角函数综合考查的知识点有哪些，对高考中这些知识点间做个系统的梳理。

通过以上工作，对高考中三角函数有个整体的把握，摸清“出什么，怎么出”，有利于学生在复习中分清主次、找到联系。

对最新的高考题进行分析，有利于学生抓住高考试题的走向与重点所在。

对于2013年理科高考中三角函数试题的研究与分析，有助于对2014年三角函数这部分系统的把握。

现在对与各省市理科试卷中三角函数试题逐题进行系统统计与分析这样的研究相对较少，所以笔者进行这样的一项工作，通过分析“2013”把握“2014”。

三角函数这部分主要考查是从基础出发，稳中求变，稳中求新，能有自己的思维。

一、 2013年高考数学（理科）三角函数试题的统计与分析以2012年高考中全国各省市理科数学试卷中的三角函数试题为调研对象，进行统计、分析。

见下表：由表1得出，三角函数这部分知识在2013的高考试题中，主要集中在17、5、11这几道题中，尤其第17题。

2013高考数学真题—三角函数分类汇编 (1)

2013高考数学—三角函数分类汇编1．（2013山东卷理5）将函数)2sin(ϕ+=x y 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数，则ϕ的一个可能取值是2.（2013山东卷8）函数x x x y sin cos +=的图像大致为3.（2013陕西卷理16）已知向量)21,(cos -=x a ，)2cos ,sin 3(x x b =，R x ∈，设函数b a x f ⋅=)(（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值；4.（2013新课标2卷15）设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则θθcos sin +=5.（2013新课标1卷）设当θ=x 时，函数x x x f cos 2sin )(-=取得最大值，则=θcos 。

6.（2013江西卷理11）函数x x y 2sin 322sin +=的最小正周期T 为。

7.（2013大纲卷理12）已知函数x x x f 2sin cos )(=，下列结论错误的是.A )(x f y =的图像关于点)0,(π中心对称 .B )(x f y =的图像关于直线2π=x 对称.C )(x f y =的最大值为23.D )(x f 既是奇函数，又是偶函数 8.（2013大纲卷理13）已知α是第三象限角，31sin -=α，则=αcot 。

9.（2013辽宁理17）设向量)sin ,sin 3(x x a =，)sin ,(cos x x b =，]2,0[π∈x 。

（1=，求x 的值；（2）设函数b a x f ⋅=)(，求)(x f 的最大值。

10.（2013湖南卷理17）已知函数)3cos()6sin()(ππ-+-=x x x f ，2sin 2)(2x x g = （1）若α是第一象限角，且353)(=αf ，求)(αg 的值（2）求使)()(x g x f ≥成立的x 的取值范围11.（2013天津卷理15）已知函数1cos 2cos sin 6)42sin(2)(2+-++-=x x x x x f π，R x ∈（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 在区间]2,0[π上的最大值和最小值。

2013年数学高考题分类三角函数资料

任意角和弧度制及任意角的三角函数、三角函数的诱导公式一、选择题1. （2013·浙江高考理科·Ｔ6）已知R α∈，sin 2cos αα+=则t a n 2α=（） A.43 B. 34 C. 34- D. 43- 【解题指南】由已知条件和22sin cos 1αα+=联立方程组可求得sin α与cos α的值，从而求得tan α，再利用倍角公式求tan 2α.【解析】选C.由22sin 2cos sin cos 1αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1tan 3α=-或tan 3α=，当1tan 3α=-时，2222tan 33tan 21tan 4113ααα-===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭当tan 3α=时，222tan 63tan 21tan 134ααα===---，故选C.2. （2013·广东高考文科·Ｔ4）已知51sin()25πα+=，那么cos α=（）A ．25- B ．15- C ．15D ．25【解题指南】本题考查三角函数诱导公式，可以直接利用公式计算. 【解析】选C. 51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭.3.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ2）已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则（） A.1213- B.513- C.513 D.1213【解题指南】由1cos sin 22=+αα及αsin 求出αcos 的值，并利用a 所在象限判断αcos 的符号.【解析】选 A.因为1cos sin 22=+αα，所以169144sin 1cos 22=-=αα，则1312cos ±=α，又a 是第二象限角，所以1312cos -=α 二、填空题4.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ13）已知1sin ,cot 3是第三象限角，则=-=ααα .【解析】98sin 1cos 22=-=αα，而α为第三象限角，所以0cos <α，解得322cos -=α，又223322sin cos cot =--==ααα. 【答案】22三角函数的图象与性质一、选择题1.（2013·湖北高考文科·Ｔ6）与（2013·湖北高考理科·Ｔ4）相同将函数y=3cosx+sinx （x ∈R ）的图象向左平移m （m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A.12π B. 6π C. 3π D 65π【解题指南】先化简，再平移，余弦函数关于y 轴对称。

2013版高考数学人教A版一轮复习课件第3单元-三角函数、解三角形(理科)

6
理解了解掌握理解掌握
2011课标全国11 2011安徽9 2011山东6
2011浙江6 2011辽宁7 2011天津6 2011辽宁4
8
6
第三单元 │ 高考纵览
题型三角函数与三角恒等变换解三角形
考点统计任意角的三角函数、同角三角函数、诱导公式三角函数的图象与性质和差的三角函数公式、简单的三角恒等变换正弦定理和余弦定理、定义
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理，把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理和余弦定理加以解决，教师在引导学生思考解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际应用问题的本质所在．
图16－1
第16讲 │ 问题思考问题思考
► 问题1 角的概念的推广 ) )
(1)小于90° 的角是锐角；(
(2)第一象限的角一定不是负角．(
[答案] (1)错
(2)错
[解析] (1)小于90° 的角也可以是零角或负角；(2)第一象限的角可以是负角，如α＝－300° 就是第一象限的角．
第16讲 │ 问题思考
第三单元 │ 高考纵览高考纵览
题型
三角函数与三角恒等变换解三角形
考点统计
任意角的三角函数、同角三角函数、诱导公式三角函数的图象与性质和差的三角函数公式、简单的三角恒等变换正弦定理和余弦定理、定义
考查频度
8
考查要求
了解
考例展示
2011课标全国5 2011山东3

(2021年整理)2013年高考数学知识点总结：三角函数公式

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三角函数公式1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1错误!=tanαtanαcotα=12．诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限）（一）sin（π－α）＝___________ sin（π+α）＝ ___________ cos(π－α）＝___________ cos（π+α）＝___________tan（π－α）＝___________ tan(π+α）＝___________sin（2π－α）＝___________ sin（2π+α）＝___________cos（2π－α)＝___________ cos(2π+α）＝___________tan（2π－α)＝___________ tan（2π+α）＝___________（二） sin(错误!－α）＝____________ sin(错误!+α)＝____________cos（π2－α)＝____________ cos（错误!+α)＝_____________tan(错误!－α)＝____________ tan（错误!+α)＝_____________ sin(错误!－α)＝____________ sin(错误!+α）＝____________ cos（错误!－α)＝____________ cos(错误!+α)＝____________tan(3π2－α)＝____________ tan(错误!+α)＝____________sin(－α)＝－sinα cos(－α）=cosα tan(－α)=－tanα公式的配套练习sin(7π－α）＝___________ cos(5π2－α)＝___________cos(11π－α）＝__________ sin(错误!+α）＝____________3．两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β)=cosαcosβ＋sinαsinβsin （α+β)=sinαcosβ＋cosαsinβsin （α－β)=sinαcosβ－cosαsinβtan（α+β）=tanα+tanβ1－tanαtanβtan（α－β）= 错误!4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2αtan2α=错误!5．公式的变形（1）升幂公式:1＋cos2α＝2cos2α 1-cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝错误! sin2α＝错误!（3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β）（1－tanαtanβ)tanα－tanβ＝tan（α－β)(1＋tanαtanβ)（4）万能公式（用tanα表示其他三角函数值）sin2α＝错误! cos2α＝错误! tan2α＝错误!6．插入辅助角公式asinx＋bcosx=a2+b2 sin（x+φ) （tanφ= ba )特殊地：sinx±cosx＝错误!sin（x±错误!)7．熟悉形式的变形（如何变形）1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx错误!错误!若A、B是锐角,A+B＝错误!，则（1＋tanA）（1+tanB)=2cosαcos2αcos22α…cos2 nα= 错误!8．在三角形中的结论（如何证明)若：A＋B＋C=π错误!=错误!tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCtan错误!tan错误!＋tan错误!tan错误!＋tan错误!tan错误!＝19．求值问题(1）已知角求值题如：sin555°（2)已知值求值问题常用拼角、凑角如：1）已知若cos（错误!－α)＝错误!，sin（错误!＋β）＝错误!,又错误!<α〈错误!，0〈β<错误!,求sin（α＋β)。

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08 三角函数三角恒等变换)

2013年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（08三角函数三角恒等变换）一、选择题：1．(2013福建文) 将函数)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f 的图象向右平移)0(>ϕϕ个单位长度后得到函数)(x g 的图象，若)(),(x g x f 的图象都经过点)23,0(P ，则ϕ的值可以是（） A ．35π B ．65π C ．2π D ．6π 【答案】B【解析】本题考查的三角函数的图像的平移．把)23,0(P 代入)22)(2sin()(πθπθ<<-+=x x f ，解得3πθ=，所以)232sin()(ϕπ-+=x x g ，把)23,0(P 代入得，πϕk =或6ππϕ-=k ，观察选项，故选B2．(2013广东文) 已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．25【解析】：考查三角函数诱导公式,51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭,选C.3、(2013湖北文、理) 将函数()sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A. 12πB. 6πC. 3πD. 56π【解析与答案】解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6. 答案 B【相关知识点】三角函数图象及其变换4. (2013江西文) sincos 23αα==若（）A. 23-B. 13-C. 13D.23[答案]：C[解析]：211cos 12sin12233αα=-=-⨯=5. (2013江西文) 如图。

2013高考数学试题_三角函数(高一下用2)

2013高考数学三角函数选做 2013年6月19日1.（2013大纲卷理12）已知函数x x x f 2sin cos )(=，下列结论错误的是.A )(x f y =的图像关于点)0,(π中心对称 .B )(x f y =的图像关于直线2π=x 对称.C )(x f y =的最大值为23.D )(x f 既是奇函数，又是偶函数 2.（2013重庆卷理9）=-040tan 50cos 4.A 2 .B 232+ .C 3 .D 122- 3.（2013四川卷理5）函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π4.（2013新课标1文9）函数x x x f sin )cos 1()(-=在],[ππ-的图像大致是A B C D5.（2013江西卷文3）若332sin=α，则=αcos .A 32-.B 31- .C 31 .D 326.（2013湖北卷理4）将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=的图像向左平移m （0>m ）个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值为12.πA 6.πB 3.πC π65.D7.（2013浙江卷理6）已知210cos 2sin ,=+∈αααR ，则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-8.（2013大纲卷文9）若函数)sin(ϕ+=wx y （0>w ）的部分图像如图，则=w.A 5 .B 4 .C 3 .D 29.（2013四川卷文6）函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π- （B ）2,6π-（C ）4,6π- （D ）4,3π10.（2013广东卷文4）已知51sin()25πα+=，那么cos α= A ．25- B ．15- C ．15 D ．2511.（2013江西卷理11）函数x x y 2sin 322sin +=的最小正周期T 为。

2013年数学高考题分类三角函数-推荐下载

首先判断函数的奇偶性进行排除，然后再根据函数的图象特征取最佳值进行验证排除.，即x x x f sin )cos 1()(--=-)(f x f -=-关于原点对称，所以函数为奇函数，排除B.又当)(x f ，排除A. 当时012sin >=π43π=x 123+π等问题，合理利用管线敷设技术。

线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。

调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。

对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。

对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

A. B.54【解题指南】观察图象可知，【解析】选B.由图像可知，2.（2013·山东高考理科π移个单位后，得到一个偶函数的图象，则C.D.4,6π-4,对函数,ωϕ()2sin(f x ω=.，根据图象可知359()412312T πππ=--==B.2,-D.4,3π式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。

高考数学-三角函数专题复习

高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。

解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。

解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。

解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。

解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。

解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。

解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。

【命中考心】2013高考数学必考点之三角函数典型解答题解读

【命中考心】2013高考数学必考点之三角函数典型解答题1在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且.21222ac b c a =-+ （1）求B CA 2cos 2sin 2++的值；（2）若b=2，求△ABC 面积的最大值．解：(1) 由余弦定理：conB=14sin22A B++cos2B= -14 （2）由.415sin ,41cos ==B B 得 ∵b=2， a2+c 2=12ac+4≥2ac,得ac ≤38,S △ABC =12acsinB ≤315(a=c 时取等号)故S △ABC 的最大值为3152在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cosB 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，,0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则因此.31cos =B…………6分（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，,,0)(,12,cos 2,6,31cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又所以a ＝c ＝ 63已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = （2，0），且m 与n 所成角为π3，其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角。

2013年重庆高考数学三角函数大题攻略word版(精品)

2013届重庆高考三角函数大题攻略一、计算公式1、两个口诀：“奇变偶不变，符号看象限”----- 和“一全正，二正弦，三切，四余弦”2、同角三角函数关系：αααtan cos sin = ，1cos sin 22=+αα。

3、和差公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+，βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+，βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+，βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4、降次扩角：)2sin(21cos sin ααα=•，)2cos 1(21sin 2αα-=，)2cos 1(21cos 2αα+= 5、倍角公式：αααcos sin 22sin =，ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=。

6、辅助角公式：A B B A B A y =++=+=ϕϕαααtan ),sin(cos sin 22其中二、函数公式：以xy sin =为例 1、定义域：R2、值域：[-1,1]3、周期性：ωπ2=T4、奇偶性：奇函数5、单调性：单调增区间：]22,22[ππππ+-k k , 单调减区间：]232,22[ππππ++k k 6、对称轴方程：ππk x +=2，z k ∈7、对称中心：)0,(πk三、三角函数的图像变换振幅A 管上下伸缩，ω管左右伸缩，但是成反比例扩大2倍，ω缩小21，ϕ决定左右平移，但平移单位为ωϕ，b 决定上下平移。

初中函数平移口诀：“左加右减，上加下减”例1．（本小题满分13分）已知函数2()23sin cos 2cos 1(0)f x ax ax ax a =+->图象上的一个最低点为A ，离A 最近的两个最高点分别为B ，C, 2.1616AB AC π=-u u u r u u u r （I ）求a 的值；（II ）求()f x 的单调递增区间．解：（Ⅰ）()3sin 2+cos 22sin(2)6f x ax ax ax π==+……………3分令000(,2),(2),(,2)22T T A x B x C x -+-，，其中T 为最小正周期, 则(,4),(,4)22T T AB AC =-=u u u r u u u r 221616416T AB AC π⋅=-+=-u u u r u u u r ,故222T aππ==得2a =；……………7分（Ⅱ）因为()2sin(4)6f x x π=+ 所以242262k x k πππππ-++≤≤……………10分解得26212k k x ππππ-+≤≤, 所以()f x 的单调递增区间为[]()26212k k k Z ππππ-+∈，……………13分特别提醒：周期有六种考法：①直接告诉周期②两条相邻对称轴的距离⨯2=周期③两个相邻的对称中心的距离⨯2=周期④图像与x 轴相邻的交点的距离⨯2=周期⑤两个相邻的最高点的距离=周期⑥两个相邻的最低点的距离=周期17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）设函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,A ωπϕπ>>-<< ）在6x π=处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为2π（I ）求()f x 的解析式；（II ）求函数426cos sin 1()()6x x g x f x π--=+的值域。

13年高考真题—理科数学3：三角函数-推荐下载

sin BAC ________。
13．【2013 新课标 15】当 x 时，函数 f x sin x 2 cos x 取得最大值，则
cos ______。 14．【2013 福建 13】如图 ABC 中，已知点 D 在 BC 边上，
AD AC ， sin BAC 2 2 3 ， AB 3 2 ， AD 3 ，则
（A） 10 10
（B） 10 5
（C） 3 10 10
4．【2013 山东 5】将函数 y sin 2x 的图象沿 x 轴向左平象，则的可能取值为( ) （A） 3 4 （B） 4 （C）0 （D）
4
5．【2013 辽宁 6】已知 ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，
则角 A 等于( )
（A） 12
（B） 6
（C） 4
11．【2013 湖北 4】将函数 y 3 cos x sin x x R的图像向左平移 m m 0个长
度单位后，所得到的图像关于 y 轴对称，则 m 的最小值是( )
（A） 12
（B） 6
12．【2013 浙江 16】 ABC 中， C 900 ， M 是 BC 的中点，若 sin BAM 1 3 ，则
f x 2sin x 0, 2 2
的部分图象如
图所示,则, 的值分别是( )
（A） 2, 3 （B） 2, 6
4, 3
（C） 4, 6 （D）
10．【2013 湖南 3】在锐角中 ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a, b ，若 2a sin B 3b ，
a sin B cos C c sin B cos A b 2 ，且 a b ，则 B （）

2013年高考真题解析分类汇编(理科数学)3：三角函数学生卷和答案

2013高考试题解析分类汇编（理数）3：三角函数一、选择题1 ．（2013年普通高考浙江数学（理））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定3 ．（2013年普通高考天津数学（理））在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =4 ．（2013年普通高考山东数学（理））将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（）(A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π-5 ．（2013年普通高考辽宁数学（理））在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=（）A.6πB.3π C.23π D.56π6 ．（2013年普通高考大纲版数学（理））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是（）(A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2x π=对称(C)()f x的最大值为2(D)()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（2013年普通高考山东数学（理））函数cos sin y x x x =+的图象大致为8 ．（2013年高考四川卷（理））函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( ) (A)2,3π-(B)2,6π-(C)4,6π-(D)4,3π9．（2013年普通高考重庆数学（理））04cos50tan 40-= ( )1 10．（2013年高考湖南卷（理））在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A.12π B.6π C.4π D.3π11．（2013年高考湖北卷（理））将函数()sin yx x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后,所得到的图像关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.12πB.6πC.3πD.56π二、填空题12．（2013年普通高考浙江数学（理））ABC ∆中,090=∠C ,M 是BC 的中点,若31sin =∠BAM ,则=∠BAC sin ________.13．（2013年高考新课标1（理））设当x θ=时,函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值,则cos θ=______14．（2013年普通高考福建数学（理））如图ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________ 15．（2013年高考四川卷（理））设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.16．（2013年高考上海卷（理））若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=,则sin()_x y += 17．（2013年高考上海卷（理））已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c,若22232330a ab b c ++-=,则角C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)18．（2013年普通高考大纲版数学（理））已知α是第三象限角,1sin 3a =-,则cot a =____________. 19．（2013年普通高考江苏卷（数学））函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为___________.20．（2013年普通高考安徽数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.21．（2013年普通高考新课标Ⅱ卷数学（理））设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=________.22．（2013年高考江西卷（理））函数2sin2y x x =+的最小正周期为T 为_________.三、解答题23．（2013年高考北京卷（理））在△ABC 中,a =3,b B =2∠A .(I)求cos A 的值; (II)求c 的值.24．（2013年高考陕西卷（理））已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.25．（2013年普通高考重庆数学（理））在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且222a b c +=.(1)求C ; (2)设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==,求tan α的值.26．（2013年普通高考天津数学（理））已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.27．（2013年普通高考辽宁数学（理））设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦(I)若.a b x =求的值； (II)设函数()(),.f x a b f x = 求的最大值28．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)已知函数()2sin()f x x ω=,其中常数0ω>;(1)若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增,求ω的取值范围;(2)令2ω=,将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位,再向上平移1个单位,得到函数()y g x =的图像,区间[,]a b (,a b R ∈且a b <)满足:()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[,]a b 中,求b a -的最小值.29．（2013年普通高考大纲版数学（理））设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.(I)求B (II)若1sin sin 4A C =,求C .30．（2013年高考四川卷（理））在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-.(Ⅰ)求cos A 的值; (Ⅱ)若a =5b =,求向量BA 在BC方向上的投影.31．（2013年普通高考山东数学（理））设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且6a c +=,2b =,7cos 9B =. (Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求sin()A B -的值.32．（2013年普通高考安徽数学（理））已知函数()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π.(Ⅰ)求ϖ的值; (Ⅱ)讨论()f x 在区间[]0,2上的单调性.33．（2013年普通高考福建数学（理））已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π,图像的一个对称中心为(,0)4π,将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像.(1)求函数()f x 与()g x 的解析式; (2)是否存在0(,)64x ππ∈,使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定0x 的个数;若不存在,说明理由.(3)求实数a 与正整数n ,使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点.34．（2013年普通高考江苏卷（数学））本小题满分14分.已知(c o s ,s i n)(c a b ααββ= ＝，,παβ<<<0.(1)若||a b -= 求证:a b ⊥ ;(2)设(0,1)c =,若a b c += ,求βα,的值.35．（2013年普通高考广东省数学（理）卷）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值; (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.36．（2013年高考湖南卷（理））已知函数2()sin()cos().()2sin 632xf x x xg x ππ=-+-=.(I)若α是第一象限角,且()5f α=.求()g α的值; (II)求使()()f x g x ≥成立的x 的取值集合.37．（2013年普通高考江苏卷（数学））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲.乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为min /50m .在甲出发min 2后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留min 1后,再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ,山路AC 长为m 1260,经测量,1312cos =A ,53cos =C . (1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?38．（2013年高考湖北卷（理））在ABC ∆中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c .已知()cos23cos 1A B C -+=.(I)求角A 的大小;(II)若ABC ∆的面积S =,5b =,求sin sin B C 的值.39．（2013年普通高考新课标Ⅱ卷数学（理））△ABC 在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ; (Ⅱ)若2b =,求△ABC 面积的最大值.40．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA; (2)若∠APB=150°,求tan∠PBAC BA41．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴正半轴上,点n P 在x 轴上,其横坐标为n x ,且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列,记1n n n P AP θ+∠=,n N *∈. (1)若31arctan 3θ=,求点A 的坐标; (2)若点A的坐标为(0,求n θ的最大值及相应n 的值.42．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围2013高考试题解析分类汇编（理数）3：三角函数答案一、选择题1 ．（2013年普通高考浙江数学（理））已知210cos 2sin ,=+∈αααR ,则=α2tan A.34 B. 43 C.43- D.34-C 因为，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得，或故tan α==，或tan α=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===2 ．（2013年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定B 【解析】因为cos cos sin bC c B a A +=，所以A A B C C B sin sin cos sin cos sin =+ 又A C B B C C B sin )sin(cos sin cos sin =+=+。

三角函数解答题2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)

(1)若，求B；
(2)求的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
解析：(1)因为，即，
而，所以；
(2)由(1)知，，所以，
而，所以，即有．
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题
【题目来源】2022新高考全国I卷·第18题
4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在中，角、、所对的边长分别为、、，，．．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：
可得，，
【答案】(1)
(2)
解析：(1)由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
(2)由正弦定理得：，则，则，．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第18题
3．(2022新高考全国I卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
则，
所以，
故，
所以，
所以的周长为．
【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题
【题目来源】2022年全国乙卷理科·第17题
2．(2022新高考全国II卷·第18题)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．

专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案

第一讲三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)；单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性奇偶奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．审题破题利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1．已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2．设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3．函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4．设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

2013年高考数学试题集(5)三角函数

2013年高考数学试题集(5)三角函数将2013年的全国及各省市的高考试题按高考考查知识点分类，有利于广大教师备课和学生系统复习，如有不足和遗漏之处请各位同仁批评指证。

1.（安徽理科第9题）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）]6,3[ππππ+-k k (Z k ∈) （B ）]2,[πππ+k k )(Z k ∈（C ）)](32,6[Z k k k ∈++ππππ （D ）],2[πππk k -)(Z k ∈ 解：根据条件，函数在6π=x 取到最值，代入6π=x 得到262ππϕπ+=+⨯k所以，6ππϕ+=k ，又)()2(ππf f >有0sin <ϕ，可以取πϕ65-=此时函数为)652sin()(π-=x x f ，解不等式2265222πππππ+≤-≤-k x k得：]32,6[ππππ++k k 为函数的单调的递增区间。

2.(安徽理科第14题）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________解：设三边长为)0(8,4,>++m m m m ，则︒120的对边为8+m ，由余弦定理可得：︒+⨯-++=+120cos )4(2)4()8(222m m m m m ，化简得：02422=--m m又0>m ，解得6=m 315120sin 10621=︒⨯⨯⨯=∴S 3.(安徽文科第15题）设()f x =sin 2cos 2a x b x +，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，则①11()012f π= ②7()10f π＜()5f π ③()f x 既不是奇函数也不是偶函数 ④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交以上结论正确的是（写出所有正确结论的编号）.(15)①③【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.【解析】2222()sin 2cos2sin(2)f x a x b x a b x a b ϕ=+=+++…，又31()|sincos |||63322f a b a b πππ=+=+，由题意()()6f x f π≤对一切则x ∈R 恒成立，即|2123|22b a b a +=+，平方化简得： 22323a b ab +==，此时b a 3=.所以()3sin 2cos 22sin 26f x b x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.①11()2sin 2012f b ππ==，故①正确； ②7747()2sin()2sin 105630f b b ππππ=+=， 217()2sin()2sin 55630f b b ππππ=+=，所以7()10f π=()5f π，②错误；③()()f x f x -≠±，所以③正确；④由①知()3sin 2cos 22sin 26f x b x b x b x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0>b 时，由222262k x k πππππ-++剟2知63ππππ+≤≤-k x k 所以④不正确；⑤由①知b a 3=，要经过点（a ，b ）的直线与函数的图()f x 像不相交，则此直线与横轴平行，又()f x 的振幅为|2|b ，所以直线必与()f x 图像有交点.⑤不正确.4.（安徽文科第16题）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高. 解：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以A C B -︒=+180，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 23b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+2321312()22222+=⨯+⨯=. （16）解：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以A C B -︒=+180，又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=，即12cos 0A -=，1cos 2A =，又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 23b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC ·sinC ＝2sin 752sin(4530)=+2321312()22222+=⨯+⨯=. 5.（北京理科第9题）在ABC ∆中，若5=b ，4B π∠=，2tan =A ，则=A s i n ____________；=a _______________。

高考复习文科数学之三角函数(3)

各地解析分类汇编:三角函数（3）1 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<的图象如图所示，则ω等于（）A ．13 B ．1 C ．32D ．2 (第3题图 ) 【答案】C 【解析】由图象可知153122888T πππ=-=,所以3T π=，又23T ππω==，所以23ω=，选C.2 【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】要得到)32sin(π-=x y 的图象，只要将x y 2sin =的图象（）A.向左平移3π个单位B.向右平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位【答案】C【解析】因为sin(2)sin 2()36y x x ππ=-=-，所以要得到)32sin(π-=x y 的图象，只要将x y 2sin =的图象向右平移6π个单位，选C.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】在ABC ∆中，ab b c a 3222=+-，则∠C=（）A.30°B.45°C.60°D.120° 【答案】A【解析】由余弦定理可得222cos 222a b c C ab ab +-===，所以6C π=，选A.4 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】设向量a =（1,cos θ）与b=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（）A2 B 12C .0 D.-1 【答案】C【解析】因为向量a b ⊥ ，所以0a b = ，即212cos 0θ-+=，即cos20θ=，选C.5 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】定义运算：222x y x y xy *=-+，则sincos33ππ*的值是( )A ．12BC ．12D【答案】D【解析】由定义运算得22sincos(sin )(cos )2sin cos 333333ππππππ*=-+221131()22244=-+=-+=，选D. 6 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】将函数y=sin(2x+4π)的图象向左平移4π个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是( ) A ．y=2cos 2(x+8π) B ．y=2sin 2(x+8π)C ．sin(2)4y x π=-- D ．y=cos2x 【答案】C【解析】函数向左平移4π个单位得到函数3sin[2()]sin(2)444y x x πππ=++=+，再向上平移2个单位得到3sin(2)24y x π=++，即sin(2)4y x π=--，选C. 7 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是( ) A.]3,0[πB.]127,12[ππC. ]65,3[ππD.],65[ππ【答案】C【解析】因为2sin(2)2sin(2)66y x x ππ=-=--，由3222,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数的增区间为5[,]36k k k Z ππππ++∈，所以当0k =时，增区间为5[,]36ππ，选C.8 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】在△ABC 中的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2cos ,2cos ,b c A c b A ==则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】由正弦定理得sin 2sin cos ,sin 2sin cos ,B C A C B A ==，即s i n ()2s i nc o s s i n A C C A A C A C +==+，即sin cos cos sin 0A C A C -=，所以sin()0,A C A C -==，同理可得A B =，所以三角形为等边三角形，选C.9 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（文）】若角︒600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）A. 34B. 34-C. 34±D.3【答案】B【解析】因为000600360240=+为第三象限，所以0a <，00tan 600tan 240tan 604a====- ，所以a =- B. 10 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（文）】下图是函数()()R x x A y ∈+=ϕωsin 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,6ππ上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将()R x x y ∈=sin 的图象上所有的点（）A. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变B. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变D. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】由图象知1A =，5()66T πππ=--=，又2T ππω==，所以2ω=，所以函数为sin(2)y x ϕ=+，当3x π=时，23πϕπ⨯+=，解得3πϕ=，所以函数为sin(2)3y x π=+所以要得到函数sin(2)3y x π=+，则只要sin y x =先向左平移3π单位，然后再把所得各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，选A. 11 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】函数cos(2)[,]62y x πππ=+-在区间的简图是【答案】B【解析】将cos 2y x =的图象向左平移12π个单位得到函数cos 2()cos(2)126y x x ππ=+=+的图象，选B.12 【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】化简2sin 44sin ()tan()44αππαα+-得A ．sin 2αB ．cos2αC ．sin αD ．cos α【答案】A【解析】224sin ()tan()4cos ()tan()4cos()sin()444444ππππππαααααα+-=--=-- 2sin(2)2cos 22παα=-=，所以2sin 4sin 42sin 2cos 2sin 22cos 22cos 24sin ()tan()44αααααππαααα===+-，选A.13 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文】函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为( )(A)2 (B)0 (C)－1(D)1-【答案】A【解析】当09x ≤≤时，3062xππ≤≤，336323x πππππ-≤-≤-，即73636x ππππ-≤-≤，所以当633x πππ-=-时，函数有最小值2(2⨯-=632x πππ-=时，函数有最大值2，所以最大值和最小值之和为2，选A. 14 【山东省兖州市2013届高三9月入学诊断检测文】在则这个三角形的形状为中，若在,cos cos B b A a ABC =∆（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】根据正弦定理可知cos cos sin cos sin cos a A b B A A B B =⇒=，即s i n 2s i n A B =，所以22A B =或22A B π=-，即A B =或2A B π+=，即2C π=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，选C.15 【天津市天津一中2013届高三上学期一月考文】函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为( )A. 3,1-B.2,2-C. 33,2- D. 32,2- 【答案】C【解析】22()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin sin )1f x x x x x x x =+=-+=--+2132(sin )22x =--+,因为1sin 1x -≤≤，所以当1sin 2x =时，函数有最大值32，当sin 1x =-时，函数有最小值3-，选C. 16 【天津市天津一中2013届高三上学期一月考文】已知函数2()(1c o s 2)s i n ,f x x x x R =+∈，则()f x 是( )A ．最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数【答案】D【解析】222211()(1cos 2)sin 2cos sin sin 2(1cos 4)24f x x x x x x x =+===-,所以函数为偶函数，周期2242T πππω===，选D. 17 【天津市天津一中2013届高三上学期一月考文】要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点（） A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度【答案】C 【解析】将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到)4y x π=+，然后向左平移4π个单位得到函数442y x x x πππ=+++，选C.18 【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（文）】已知a 3a 4sin ,cos 2525==-，那么角a 的终边在 A.第一象限 B.第三或第四象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】因为3424sin 2sincos2()0225525ααα==⨯⨯-=-<且sin 1α≠-，所以α为三或四象限.又2247cos 2cos 12()10525αα=-=--=>且cos 1α≠，所以α为一或四象限，综上α的终边在第四象限，选D.19 【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（文）】要得到函数y sin x 3π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数y sin x 6π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象 A.向左平移6π个单位 B.向右平移6π单位 C.向左平移2π个单位D.向右平移2π个单位【答案】B【解析】因为y sin x sin(x)sin[(x )]36666πππππ⎛⎫=-=+-=--⎪⎝⎭，所以只需将函数y sin x 6π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移6π单位，选B.20 【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（文）】已知函数()()()f x 2sin x 0,0=ω+ϕωϕπ><<，且函数的图象如图所示，则点(),ωκ的坐标是A.2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C.22,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由图象可知56()22424244T ππππ=--==,所以2T π=,又22T ππω==，所以4ω=，即()()f x 2sin 4x =+ϕ，又55f 2sin()2246ππ⎛⎫=+ϕ=-⎪⎝⎭，所以5s i n ()16π+ϕ=-，即52k 62ππ+ϕ=-+π，542k 2k 263πππϕ=--+π=-+π，因为0ϕπ<<，所以当1k =时，42233ππϕ=-+π=，选D. 21 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】ABC ∆中，若2lg sin lg lg lg -==-B c a 且)2,0(π∈B ，则ABC ∆的形状是A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】由2lg sin lg lg lg -==-B c a ，得l g l g s i nl g a B c==，所以得sin ,sin 22a B B c ===，所以4B π=。