第18讲 有限域的基本结构
有限域
元素个数无限的域称为无限域；元素个数有限的域称为有 限域，用GF(q)或Fq表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域。
子环
定义
➢ 若环R中的子集S，在环R中的定义的代数运算也构 成环，则称S为R的子环，R为S的扩环
判定
➢ 非空子集S是R的子环的充要条件是：
f j gi j
i m 1,
,m n
多项式剩余类环
结论
➢ 按上述定义的加法和乘法运算，Fp[x]构成一个具有单 位元、无零因子的可换环
多项式剩余类环
➢ 以一个Fp上的多项式f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+…+ f1x+f0为模 的剩余类全体构成一个多项式剩余类环
➢ Fp[x]上任一多项式f(x)的一切倍式集合If(x)组成一个理 想。以此理想把Fp[x]划分陪集，这些陪集全体就构成 了模f(x)的剩余类环
若p(x)是f(x)的k重既约因式，则p(x)必是f’(x)的k-1重既约 因式
GCD&LCM
GCD (f(x), g(x))：同时除尽f(x)和g(x)的次数最高的首一 多项式 LCM [f(x), g(x)]：同时被f(x)和g(x)除尽的次数最低的首 一多项式 f(x) g(x)= (f(x), g(x)) [f(x), g(x)] Euclidean算法
A(x) f (x) B(x)g(x)
多项式的加法和乘法
设 f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+…+ f1x+f0
g(x)=gmxm+ gm-1xm-1+…+ g1x+g0 多项式相等
有限域
定义
f (x).g (x)= ( a j bi -j )x i .
i =0 j =0
M
i
设f (x),g (x) F[x],有 0 (f (x)+g (x)) max ( 0 f (x), 0 g (x)) [什么时候<成立?] 0 (f (x).g (x))= 0 f (x)+ 0 g (x) 由此可推导出： F[x]中的元素对于所定义的加法和乘法不能成为域. 本章将利用域上的多项式，通过多项式求余和 有理分式的方法来构造域.
系理1 设F 是个域,而F0是F 的一个子域.那么F 的零元和单位元 一定都属于F0 ,而且分别就是F0的零元和单位元. 证：设0是F 的零元， 00是F0的零元. 因为00 F ，所以00 0=00 . 又因为00 F0 , 所以00 00 =00 . 由此， 00 0=00 00，所以0=00 . 同样的方法可以证明单位元. 系理2 设F 是个域,a F 而a a 0,那么a -1 0. 证：假定a -1 0, 那么e aa 1 a 0 0, 与域的定义不符.
有 限 域 (Finite Fields)
信息安全实验室
参考书目
• 《代数与编码》万哲先，科学出版社出 版，华中科技大学出版社影印。
• 《有限域》冯克勤，走向数学丛书，湖 南教育出版社。 • 《近世代数》熊全淹，武汉大学出版社。
一、域的基本性质
1.0 有限域的起源
•17世纪起，费尔马(Fermat,1601-1665)、欧拉(Euler,17071783),勒让德(Legendre,1752-1833)和高斯(Gauss,17771855)等大数学家研究数论得到了同余式的许多性质，实质上 也就研究了p元有限域的许多性质。 •第一个明确讨论任意有限域的是法国年青数学家伽罗华 (Galois,1811-1832),1828年《关于五次方程的代数解法问 题》，产生群的概念，1830年《关于数论》在p元有限域的基 础上，利用扩张方法构造了全部可能的有限域。所以有限域 通常也叫伽罗华域。
有限元法的基本构架
有限元法的基本构架目前在工程领域内常用的数值模拟方法有：有限元法、边界元法、离散单元法和有限差分法，就其广泛性而言，主要还是有限单元法。
它的基本思想是将问题的求解域划分为一系列的单元，单元之间仅靠节点相连。
单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值得到。
由于单元形状简单，易于平衡关系和能量关系建立节点量的方程式，然后将各单元方程集组成总体代数方程组，计入边界条件后可对方程求解。
有限元的基本构成：1. 节点（Node）：就是考虑工程系统中的一个点的坐标位置，构成有限元系统的基本对象。
具有其物理意义的自由度，该自由度为结构系统受到外力后，系统的反应。
2. 元素（Element）：元素是节点与节点相连而成，元素的组合由各节点相互连接。
不同特性的工程统，可选用不同种类的元素，ANSYS提供了一百多种元素，故使用是必须慎重选则元素型号。
3. 自由度（Degree Of Freedom）：上面提到节点具有某种程度的自由度，以表示工程系统受到外力后的反应结果。
要知道节点的自由度数，请查看ANSYS自带的帮助文档（Help/Element Refrence），那里有每种元素类型的详尽介绍。
典型的分析过程ANSYS分析过程包含三个主要的步骤：1.创建有限元模型1）创建或读入限元模型2）定义材料属性3）划分网格2.施加载荷并求解1）施加载荷及设定约束条件2）求解3.查看结果1）查看分析结果2）检查结果是否正确ANSYS 文件及工作文件名ANSYS在分析过程中需要读写文件，文件格式为jobname.ext，其中jobname是设定的工作文件名，ext是由ANSYS定义的扩展名，用于区分文件的用途和类型，默认的工作文件名是file。
ANSYS分析中有一些特殊的文件，其中主要的几个是数据库文件jobname.db、记录文件jobname.log、输出文件jobname.out、错误文件jobname.err、结果文件jobname.rxx 及图形文件jobname.grph。
有限域有限域的结构有限域特征PPT课件
g(x) r(x) mod f(x)
Fp[x]模 f(x)的全体两两不同余的代表元为
Байду номын сангаасpn
{r(x) Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n第三} 单7元 第十课
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设 f(x)是Fp上的n次不可约多项式 F = {r(x)Fp[x] | r(x) = 0 或deg(r(x)) < n } 多项式的加 : g(x) + h(x)
模 f(x)的乘法: g(x)h(x) (mod f(x))
是否域？
F关于加法构成群 F\{0}关于乘法构成群 F是 pn元有限域
Fp[x]/(f(x)) F
第三单8元 第十课
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16元有限域F24 f(x) = x4 + x +1是F2上的不可约多项式
第三单12元 第十课
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本原元（ primitive element ） 乘法群Fq*的生成元称为Fq中的本原元。
Fq中有(q1)个本原元
第三单13元 第十课
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Fp上n次不可约多项式的存在性 定理 设有限域Fr是Fq的扩域，则Fr是Fq上的单代数扩张 。
证明
设
q
3，q
1
r e1
1
r e2 2
r en n
.
多项式 x(q1)/ri 1在 Fq 中至多有(q1)/ri 个根
有限域密码学
有限域密码学
有限域密码学（finite field cryptography）是一种基于有限域（finite field）的密码学方法。
有限域是一个具有有限元素的数学结构，它具有特定的加法和乘法运算。
在有限域密码学中，使用有限域上的加法和乘法运算进行加密、解密和其他密码学操作。
有限域密码学广泛应用于公钥密码学中的椭圆曲线密码学（Elliptic Curve Cryptography，ECC）。
椭圆曲线密码学基于有限域上的椭圆曲线上的点的数学性质，利用椭圆曲线运算实现安全的加密和签名操作。
相比传统的RSA算法，椭圆曲线密码学具有更高的安全性和更小的密钥长度。
除了椭圆曲线密码学，有限域密码学还可以应用于其他密码学算法，如椭圆曲线Diffie-Hellman密钥交换、椭圆曲线数字签名算法等。
有限域密码学的研究和应用不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中得到了广泛的应用。
有限域介绍
例子：(R, +)中，实数 0 符合这一要求，所以(R, +)是幺半群，0 是它的单位元。
群
如果一个幺半群(S, +)中的每一个元素 a 都有唯一一个元素 b 与之对应且满 足以下性质：
a+b=b+a=e，其中 e 是单位元 a+b=b+a=e，其中 e 是单位元
例子：(R, ⋅)中，除了实数 0（(R, +)的单位元）以外所有数都有倒数，一个数和 他的倒数之积为 1（单位元），也就是一个实数的倒数就是它的乘法逆元。所以 (R, +, ⋅)是一个除环。但是如果把其中的实数集改为整数集，就不满足这个性质 了，因为大于 1 的整数倒数不在整数集中，因此没有乘法逆元。
抽象代数基础
抽象代数，其实就是对我们日常使用的代数运算进行了抽象，将其泛化到更一般 的领域。我们学习加法和乘法，里面有说它们满足结合律、交换律、分配律。这 么多年我们一直把这些性质当成自然而然的东西，但是在抽象代数中，定义某些 运算时，他们未必就像在普通加法乘法里那么显然。
集合
这是高中数学就有的内容。集合具有三个性质：
1. 无序性。集合中的元素是无序的。 2. 唯一性。集合中每个元素都是唯一、不重复的。 3. 确定性。给定一个元素和一个集合，这个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集
合，不存在其它情况。
比较常见的集合有：整数集（ZZ）、有理数集（QQ）、实数集（RR）等。
半群
在一个集合 S 中定义了某种运算（记作加法“+”，但这个加法指代广泛意义 上的运算，并不是指日常使用的加法），那么在这个集合上，如果这种运算满足 以下性质，那么他和集合 S 共同组成一个半群，记作(S, +)：
有限域基础选讲
有限域的基本概念
01 有限域是一种特殊的代数结构，由有限个元素组 成，且满足一定的代数运算规则。
02 有限域中的元素个数是有限的，且每个元素都有 逆元，满足交换律、结合律和分配律。
03 有限域可以是有理数域的子域，也可以是其他数 域的子域，其元素个数是素数幂。
有限域的应用软件
密码学软件
密码学软件中常常用到有限域的计算，例如RSA算法、DiffieHellman密钥交换等。
编码理论软件
编码理论软件中常常用到有限域的计算，例如Goppa码、ReedSolomon码等。
计算机图形学软件
计算机图形学软件中常常用到有限域的计算，例如离散傅里叶变换、 离散余弦变换等。
有限域上的离散对数问题
离散对数问题的定义
离散对数问题是指给定两个元素 (a) 和 (b) 在有限域 (F) 中， 求 (x) 使得 (a^x = b) （mod (n)) 的问题。
求解离散对数问题的方法
求解离散对数问题的方法有多种，如指数演算法、 Pollard's rho算法、Shanks's baby-step/giant-step方法
02
有限域的代数性质
子域和商域
子域
如果一个域的元素个数小于原有限域的元素个数，那么这个域就是原有限域的 一个子域。例如，在整数模n的剩余类环中，模n的剩余类环是原有限域的一个 子域。
商域
如果一个域的元素个数等于原有限域的元素个数，那么这个域就是原有限域的 一个商域。例如，在整数模n的剩余类环中，模n的剩余类环是原有限域的一个 商域。
THANKS
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03
有限域的应用
编码理论
有限域
定义：设F为域，1为乘法单位元素，如果对任 意正整数m，都有m*1≠0,则称F的特征是0，否 则若适合条件的最小正整数p，则成F的特征为p， 记为charF。
7.2 有限域的基本性质
有限域F的特征=F的素域的阶
分析：charF=p,则p*1=0, F的素域K中必包含 {0,1}，因此必包含n*1，因此<1>≤素域K的加 群，所以p≤|F|,因为F最小子域，|F|=p
有限域 Galois Field
巫玲
Wuling751@
7.1 域的扩张
域 整环 可交换环 无零因子环 环 Abel群 Abel群 群 半群 A B 含幺环 除环
表示满足A 表示满足A 则满足B 则满足B
7.1 域的扩张
定义7-1
非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且 满足：
1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 3) 加法和乘法之间满足分配律
7.1 域的扩张
AES
AES的主要环节
字节代换：使用一个s盒
S盒的构造：x行y列初始值xy，16进制下的，然后每个求出 有限域中的逆，在进行矩阵变换
行移位：一个简单的置换 列混淆：相互加、乘后形成新值 轮密钥加：按位xor
多轮，每个阶段均可逆
7.1 域的扩张
循环冗余码 CRC
检错码与纠错码 CRC的工作过程可以简单的概括为四步。
charF=p,p一定素数
7.2 有限域的基本性质
7.2 有限域的基本性质
有限域的加法特性：特征
若F是一个域，则F的特征要么是0要么是素数p 若F是特征为p的有限域，则对任意a,b∈F都有 （a+b)p=ap+bp
有限域
多项式乘
f(x) g(x)=hn+m xn+m+ hn+m-1 xn+m-1+…+ h1x+h0
i f j gi j i 0,1, , m, n m j 0 hi i f j gi j i m 1, , m n j i m
f ( x) x9 x8 x 7 x 2 x 1 ( x5 x3 x)( x 4 x 3 x 1) ( x 3 1) g ( x) x 4 x3 x 1 ( x 1)( x3 1)
f ( x), g ( x) x3 1 1f ( x) ( x5 x3 x)( x 4 x3 x 1)
x 1:1+x
对所定义的加法和乘法运算， 0,1, x, x 1 构成域
结论：若n次首一多项式f(x)在域Fp上既约，则f(x) 的剩余类环构成一个有pn个元素的有限域
主理想环与同构
多项式环Fp[x]的一切理想均是主理想 多项式剩余类环Fp[x]/f(x)中的每一个理想都是主 理想。且该主理想的生成元必除尽f(x)
群
设G是一个非空集合，并在G内定义了一种代数运算 “ 。”，若满足：
1) 封闭性。对任意 a, b G ，恒有 a b G a, b, c G，恒有 a b c a b c 2) 结合律。对任意 3) G中存在一恒等元e,对任意 a G ，使 a e e a a
密码学基础 有限域
3.16 有限域
1.域
加法 +
封闭;零元;负元;结合律;交换律
乘法
封闭;单位元;非零元有逆元;结合律;交换律
乘法,关于加法+满足分配律
例1：
实数域=;复数域C;有理数域<;模素数域
非负实数集合，关于数的加法乘法，不是域
2.有限域
命题：对每个,恰好有一个含有p个元素的有限域；所有的有限域也仅限于此。
定义：含p个元素的有限域称为Galois Field，记作GF。
3. GF构造方法：
step1：选取多项式集合；
step2：选取次数为n 的不可约多项式
step3：令GF为模.
例2 构造GF
step1：选取多项式集合；
step2：选取次数为2的不可约多项式
step3：令GF为模.
得：
(
4.1.3.1
)
例3 构造step1：；step2：；
step3：GF =模.得：在GF =模
，其中
：
故
（2）将GF 的元素表示成二进制串：
中计算：
11101001+10101001
=；
目录。
7.6-有限域
ψ(x)=x2+x+2为Φ8(x)在R3上的一个二次质因式。
Φ8(x)在R3上若可约，则可分为一次质因式或二 次质因式，但0，1，2都不是Φ8(x)的根，因此 Φ8(x)只能分解为两个二次质因式的乘积。 用待定系数法， 不妨设 Φ8(x)=x4+1=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(d+ac+b)x2+(ad+bc)x+bd 比较系数，解出 a=1,b=2,c=2,d=2(a=2,b=2,c=1,d=2) 因此，Φ8(x)=x4+1=(x2+x+2)(x2+2x+2) 故ψ(x)=x2+x+2为Φ8(x)在R3上的一个二次质因 式(0,1,2都不是ψ(x)的根)。
2
2
1+ξ 1 ξ ξ
2
2
ξ 2+ξ ξ 2+ξ +1 1 ξ 2+1 ξ +1 ξ
ξ +1 ξ 2+ξ +1 ξ 2+ξ ξ ξ 2+1
ξ 2+ξ
ξ +1 ξ 2+ξ +1 1 ξ 2+ξ + 1 ξ 1
2
0
0
ξ 2+1 ξ
2+ξ
ξ 2+ξ +1 ξ +1
ξ 2+ξ +1
0
ξ 2+ξ +1 ξ 2+1
9
证明：
2)往证σ是Rp[x]到F的同态映射。 σ(ƒ(x)+g(x))=ƒ(ξ)+g(ξ)=σ(ƒ(x))+σ(g(x))， σ(ƒ(x)g(x))=ƒ(ξ)g(ξ)=σ(ƒ(x))σ(g(x)) 3)设σ的核为主理想ρ(x)Rp[x](见7.2习题4)。 因ξ是ψ(x)的根，σ(ψ(x))=ψ(ξ)=0，所以ψ(x)在 核内，故ρ(x)∣ψ(x)。因为ψ(x)不可约，ρ(x)或 是常元素或与ψ(x)相通。 因为F不只有一个元素0，所以σ的核不能是Rp[x] 全部，因而ρ(x)不是常元素。可见ρ(x)与ψ(x)相 通，而σ的核可以写成ψ(x)Rp[x]的形式。
有限域的结构
＄有限域的结构对于这一节,我们将要证明三个结构定理:定理1 设F 就是一个特征p 的有限域,那么F 的元素个数一定就是p 的一个幂。
定理2 设p 就是任一素数而n 就是任一正整数,那么总存在着一个恰含n p 个元素的有限域。
定理3 设F 就是一个有限域,它含有一个q 个元素的有限域q F 作为子域,那么F 的元素个数一定就是q 的一个幂。
证明:先将q F 改记为1F 、如果1F F =,那么F 就就是恰含有q 个元素的有限域,因此定理成立。
如果1F F ≠,那么F 就含有一个元素2e ,而12F e ∉、令},:{1212212F a a e a a F ∈+=、下面我们来证明:如果12121221221,,,,F b b a a e b b e a a ∈+=+,则一定有2211,b a b a ==、因为从上式可以推出11222)(a b e b a -=-、若22b a ≠,那么有1111222)()(F a b b a e ∈--=-、这与12F e ∉相矛盾。
所以有22b a =、于就是有11b a =、则2F 恰含2q 个两两不同的元素。
如果2F F =,那么F 就就是恰含2q 个元素的有限域,此时定理成立。
如果2F F ≠,那么F 就会有一个元素3e ,而23F e ∉、令 },,:{1321332213F a a a e a e a a F ∈++=、假设133********,,F b a e b e b b e a e a a i i ∈++=++、那么)()()(11222333a b e a b e b a -+-=-、若33b a ≠,那么有2111332221333)()()()(F a b b a e a b b a e ∈--+--=--、这与23F e ∉相矛盾。
故有33b a =、于就是有221221e b b e a a +=+、由此知,2211,b a b a ==。
有限域算法——精选推荐
有限域算法⼀、有限域介绍有限域亦称伽罗⽡域（Galois Fields），是伽罗⽡于 18 世纪 30 年代研究代数⽅程根式求解问题时引出的概念。
有限域在密码学、近代编码、计算机理论、组合数学等⽅⾯有着⼴泛的应⽤在抽象代数中，域是⼀个对加法和乘法封闭的集合，其中要求每个元素都有加法逆元，每个⾮零元素都有乘法逆元。
若域 F 只包含有限个元素，则称为有限域，有限域中元素的个数称为有限域的阶。
可以证明，有限域的阶必为素数的幂，即有限域的阶可表⽰为 p n（p 是素数，n 是正整数）。
有限域通常记为 GF(p n)有限域 GF(p n) 中的元素可以看成有限域 GF(p) 上次数⼩于 n 的多项式，因此 GF(p n) 构成 GF(p) 上的 n 维线性空间，其中的⼀组基为 {1, x, x2, ......, x n-1}，所以有限域 GF(p n) 中的所有元素可以⽤基 {1, x, x2, ......, x n-1} 的线性组合来表⽰，其线性组合的系数在 GF(p) 中，即 GF(p n) = {a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a n-1 x n-1 | a i ∈ GF(p), i = 0, 1, 2, ..., n-1}。
若将 GF(p) 上的加法单位元记作 0，乘法单位元记作 1，元素 a 的加法逆元记作 -a，⾮零元素 b 的乘法逆元记作 b-1，则有：a + (-a) = 0 (mod p), b × b-1 = 1 (mod p)。
针对GF(p) 中的元素 a 和⾮零元素 b，加法是 (a + b) mod p，减法是 (a + (-b)) mod p，乘法是 a × b mod p，除法是 a × b-1 mod p，该算法对多项式运算同样成⽴，因此GF(p n) 上的四则运算可以由 GF(p) 上多项式的四则运算导出。
特别地，当 p=2 时，GF(2n) 中的元素 a0 + a1 x + a2 x2 + ... + a n-1 x n-1 可以转化为⼆进制数 a n-1 ... a2 a1 a0。
有限域介绍
加法和减法
GF(2^m)上的加法和减法都是异或运算。加法单位元是 0。 010 和 110 都是 GF(2^3)的元素。那么 010+110=010 ⊕ 110010−110=010 ⊕ 110=100=100010+110=010 ⊕ 110=100010−110=010 ⊕ 110=100 因为长度为 m 的二进制数异或结果还是长度为 m 的二进制数，所以不需要考虑结果超出范 围的情况。
也就是解下面的方程：
bx=1mod7bx=1mod7
bx=1+7k,其中 k∈Z+bx=1+7k,其中 k∈Z+
这个方程的求解需要用到扩展欧几里得算法，这里不再赘述。下面直接给出结果：
3÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=63÷4=3∗(4−1)=3∗2=6mod7=6
有限域 GF(2^m)
半群
在一个集合 S 中定义了某种运算（记作加法“+”，但这个加法指代广泛意义 上的运算，并不是指日常使用的加法），那么在这个集合上，如果这种运算满足 以下性质，那么他和集合 S 共同组成一个半群，记作(S, +)：
1. 封闭性。也就是运算的结果始终在集合 S 内 2. 结合律。也就是满足：(a + b) + c= a + (b + c)
但这个加法指代广泛意义上的运算并不是指日常使用的加法那么在这个集合上如果这种运算满足以下性质那么他和集合共同组成一个半群记作s而运算是实数加法那么它们共同形成了一个半群记作中存在一个元素e使得那么这个半群被称为幺半群元素被称为单位元或者幺元
抽象代数基础
有限域的运算
有限域GF（2n）运算在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。
同时我们引入概念，域。
一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。
加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。
给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。
交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群）结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c.分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3.有限域多项式：GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串01010111，即16进制表示的57。
1、有限域加法多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。
而各系数求和是在域F中进行的；c(x)=a(x)+b(x) 等价于ci=ai+bi2、有限域乘法多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。
单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。
为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a （x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积：C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x))二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。
在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。
不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。
Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下：m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7)(b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02'记为xtime（）。
数学中的抽象代数与有限域
数学中的抽象代数与有限域一、抽象代数基础1.1 集合论基础：集合、元素、集合运算（并集、交集、补集）、集合的性质（互异性、无序性、确定性）。
1.2 代数结构：群、环、域、域扩张。
1.3 群论：群的定义、性质、生成群、群同态、群同构、循环群、交换群、拉格朗日定理、西罗定理。
1.4 环论：环的定义、性质、交换环、整环、域、域的扩张。
1.5 域论：域的定义、性质、域的扩张、伽罗瓦理论、有限域、多项式环。
二、有限域及其应用2.1 有限域的定义：有限域是一种具有加法和乘法运算的代数结构，其元素个数为有限个，且满足交换律、结合律、分配律。
2.2 有限域的性质：有限域的元素个数为素数的幂，有限域的子域为有限个，有限域的乘法群为循环群。
2.3 有限域的表示：多项式表示、二进制表示。
2.4 有限域的扩张：有限域的扩张是通过添加元素来实现的，扩张过程中保持原有运算规律。
2.5 伽罗瓦理论：伽罗瓦理论是研究域扩张性质的理论，核心概念是域的自同构和域的子域。
2.6 有限域的应用：密码学、编码理论、计算机科学、信息安全。
三、抽象代数在中小学数学中的应用3.1 整数：整数是加法和减法的代数结构，满足群性质。
3.2 分数：分数是整数的扩张，通过域的扩张实现。
3.3 多项式：多项式是代数表达式，可以通过域的扩张来定义。
3.4 方程：方程是通过代数结构来描述的数学问题，解方程的过程涉及到群、环、域等概念。
3.5 线性代数：线性代数中的向量空间、线性映射与抽象代数中的域、群、环等概念密切相关。
四、抽象代数与实际生活的联系4.1 密码学：抽象代数中的群、环、域等概念在密码学中具有重要意义，如哈希函数、公钥加密等。
4.2 计算机科学：抽象代数在计算机科学中有着广泛应用，如数据结构、算法、编程语言等。
4.3 信息安全：抽象代数在信息安全领域中发挥着重要作用，如数字签名、身份认证等。
4.4 编码理论：抽象代数中的有限域在编码理论中具有重要意义，如错误检测、纠正码等。
现代密码学理论与实践-有限域
– (A4) 逆元Inverse element: 对于G中任意元素a, G中 都存在一个元素a’，使得a•a’=a’•a=e成立
2019/9/6
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群、有限群和无限群
• 用Nn表示n个不同符号的集合，{1,2,…,n}. n个不同符号的一 个置换是一个Nn到Nn的一一映射。定义Sn为n个不同符号的所有 置换组成的集合。Sn中的每一个元素都代表集合{1,2,…,n}的 一个置换，容易验证Sn是一个群：
②对称性：若a=b mod n，则b=a mod n ③传递性: 若a=b mod n 且b=c mod n，则a=c mod n ④如果 a=b mod n且 c=d mod n，则
a+c=(b+d) mod n a-c=(b-d) mod n a•c=(b•d) mod n
⑤ (a+b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n (a-b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n (a•b) mod n = (a mod n • b mod n) mod n
现代密码学理论与实践
有限域
本章要点
• 域是一些元素的集合，其上定义了两个算术运算(加 法和乘法)，具有常规算术性质，如封闭性、结合律、 交换律、分配律、加法逆和乘法逆等。
• 模算术是一种整数算术，它将所有整数约减为一个固
定的集合[0,1,…,n-1]，n为某个整数。任何这个集 合外的整数通过除以n取余的方式约减到这个范围内。
模n。对于任意整数a，我们总可写出： a =⌊a/n」x n + (a mod n)
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F 中的 q 个元素都是多项式 x q x 的根. 而多项式 x q x 的根至多有q 个. (2)成立.
由定理1的证明过程得
推论 1
有限域的乘法群是循环群。
定理1的反问题:
(1) q = pn ( p是素数), 一定有 q 个元 的域吗? (2) 如果有, 怎样构造?
分析 定理1的反问题:
• 数学 • 是人类最高超的智力成就， • 是人类心灵最独特的创作。 •音乐能激发和抚慰情怀， •绘画能使人赏心悦目， •诗歌能动人心弦， •哲学使人获得智慧， •科学能改善物质生活， •而数学可以给予以上一切。
人类的知识是有限的，离散的, 未知的奥秘是无限的； 当前的行为是有限的， 渴望的总量是无限的； 不断地积累有限才是可行的。
F= Zp 1+ Zp 2+ … + Zp n ． 故 |F| = q = pn.
定理 1
(1) 特征为 p 的有限域 F 所含元数为 q = pn.
(2) pn个元 的域 F由 F上的多项式 xq x 的全部根组成. 证明 (2) 由定理1.7.7知, F*是 q 1 阶循环群, a ∈F*, 有 a q 1 = 1 . a ∈F, 有 a q = a .
作业：P106, 2,5.
q = pn ( p是素数), 设 F 是 q 个元 的域, 由定理1知
域 F由 F上的多项式 xq x 的全部根组成. xq x 作为Zp上的多项式, 能否构造 Zp 上的扩域 E 包含 xq x 的全部根? 为此, 我们考虑一般性的问题: 对于任意域 F 上的多项式 f(x), 能否构造 F的扩域 E 包含 f(x) 的全部根?
能否构造 F的扩域 E 包含 f(x) 的全部根?
设 f(x) = p(x) g(x), p(x) 不可约, 由定理2.6.2, 结论 可以构造 F上的扩域 K 包含 p(x) 的一个根 . 对于任意域 F 上的多项式 f(x), 于是, 在扩域 F()上有分解 : 一定有F的扩域 包含 = (f(x)) 1. f(x) = (x ) h(x) , E(h(x))f(x) 的全部根.
令 F 是由 xq x 的全部根组成的 E 的子集.
即 F={ aE | a q = a }.
∈
容易验证 F 是 E 的子域:
(1) 运算封闭: (a+b)q = aq + bq, (ab)q = aqbq, a,b∈F;
(2) 子加群: (a)q = ((1)a)q = (1)aq = a . (3) 乘法子群: (a1)q = (aq) 1 = a 1. F 为所求
可 若对(f(x))进行归纳, 则有F()上的扩域 E 包含 h(x) 的全部根.
当然, E 也是 F上的扩域, 且包含 f(x) 的全部根.
现在回答定理1的反问题(1):
q = pn ( p是素数), 一定有 q 个元 的域.
设E是Z p 上的扩域, 且包含多项式 xq x 的全部根.
有限系统大有用武之地！
命题1
命题2
有限域的特征是一个素数.
特征为 p 的有限域必有子域与 Zp 同构. (1) 特征为 p 的有限域 F 所含元数为 q = pn.
定理 1
(2) pn个元 的域 F由 F上的多项式 xq x 的全部根组成. 证明 (1) 设[F:Zp]= n,
1, 2,…,n 是F作为 Zp 上的向量空间的一个基, 则